Le 11 mars 2005

1

Prise en compte de la variabilité

et de l'incertitude dans une

analyse de risque par des modèles

hiérarchiquesbayésiens

Le 11 mars 2005

2

Appréciation du risque

•Textes internationaux : l’appréciation quantitative

du risque doit inclure lavariabilitéet l’incertitude

qui lui sont associées.

Part de la varianceau sens

statistique qui est produite par des

effets non reproductibles(effets

aléatoires) dus à la diversité et

hétérogénéité des populations

d’intérêt (individus, souches)

Part de la varianceau sens

statistique qui est due au modèle,

au manque de connaissance, de

donnéessur le phénomène étudié

Non réductible

Réductible

Le 11 mars 2005

3

Estimation de la variabilitéet de

l’incertitude

•Approche bayésienne: tout ce qui est incertain est

probabilisé. Il n’y a pas de paramètres fixes

inconnus. Tout paramètre est aléatoire entaché

d’incertitude et/ou de variabilité s’il y a lieu.

Distinguer les notions de

variabilité et incertitude

par des niveaux

hiérarchiques dans la

modélisation

Le 11 mars 2005

4

–Données bibliographiques internationales :

•91 études répertoriées

Dans chaque étude i, n

iprélèvements réalisés et rirésultats positifs

Par étude, l’estimation de la prévalence est donnée par :

.ˆ

iii

nrp

=

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

5

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

52

55

58

61

64

67

70

73

76

79

82

85

88

91

Prévalence

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

6

Supposons qu’il y ait une prévalence mondiale unique de L.

monocytogenesdans le lait cru, p.

–En statistique bayésienne, psuit une distribution dite a priori car p

est incertain.

–On évalue à partir des données cette incertitude (par la distribution

dite a posteriori de p).

()

001

.0)

(,

035

.0)

(

,1,

1~

),

(~

),1,1(~

==

−+

+∑

∑

pp

En

Applicatio

rn

rBêta

p

np

Bino

rBêta

p

i

ii

i

i

ii

σ

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

7

Supposons qu’il y ait une variabilité de la prévalence

mondiale de L. mono.dans le lait cru.

On va distinguer chaque étude.

Niveaux hiérarchiques :

•L’étude :

•L’ensemble des étude :

En statistique bayésienne, les hyperparamètres étant eux-

même aléatoires com

me tout paramètre en stat. bayésienne, ils

possèdent des distributions a prioriqui m

esure l’incertitude sur la

prévalence mondiale de la contamination.

),

(~

βα

Bêta

pi

),

(β

α

()

),

(~

,i

ii

ii

pn

Bin

pn

r

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

8

ni

pi

étude i :1 à 91α

β

r i

078

.0)

(,

062

.0)

(=

=psim

psim

Eσ

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

9

Supposons qu’il y ait une variabilité de la prévalence

mondiale de L. mono.dans le lait cru avec deux

sous-populations

Même modèle que précédemment m

ais la prévalence suit un

mélange de deux lois Bêta

L’attribution des différentes observations à l’une ou l’autre des

distributions n’est pas connue

()

)(

~

)(

~

),

(~)

(

),

(~

,

π

βα

Dirichlet

P

PCat

w

Bêta

wp

pn

Bin

pn

r i

ww

ii

ii

ii

i

ii

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

10

ni

pi

wi

αj

population j : 1 à 2

P

αi

βj

βi

étude i :1 à 91

r i

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

11

Résultats :

Dans 25% des itérations, seules les publications 82 et 91 sont classés

dans la seconde catégorie. Dans 50% des itérations, seules les

observations 88 à 91 sont classées dans la seconde catégorie.

06.0)

(

94.0)

(

21

==

PE

PE

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

12

Résultats : 14.0

)2(

,51.0

)2(

05.0)1

(

,041

.0)1

(

====

psim

psim

E

psim

psim

E σσ

Exemple I :Déterminer la prévalence de la

contamination par L.monocytogenesdans le

lait cru.

Le 11 mars 2005

13

–Article : Estimation ofuncertainty and variabilityin

bacterial growth

using Bayesian inference. Application toListeria monocytogenes. R.

Pouillot, I. Albert, M. Cornu, J.-B. D

enis. IJFM, 2003.

–Pour un pathogène vivant, l’appréciation du risque est lié à la

croissance, décroissance ou surviedu pathogène tout au

long du process de la production à la consommation.

Exemple II : Évaluation de la variabilitéet

de l’incertitude de la croissance de L.

monocytogenesdans le lait cru

Le 11 mars 2005

14

Modèle croissance

λ

pente : µmax

Tem

ps (t)

y(t) (log(UFC/ml))

Phase de latence

Phase de

croissance

exponentielle

Phase de

diminution

de la croissance

Phase

stationnaire

Phase de

décroissance

y 0

y max

Le 11 mars 2005

15

Modèle de croissance

•Modèle primaire :

modèle logistique avec délai de rupture

(Kono, 1968)

•y 0:

log de la concentration initiale (log(cfu.ml-1))

•y m

ax: log de la concentration maximale permise par le milieu (log(cfu.ml-1))

•λ:

temps de latence

•µmax: taux de croissance maximal

()

()

()

()

()

()

>−

−−

−+

−

≤=

λλ

µ

λ

tt

yy

y

ty

tf

,exp

1exp

1log

,

max

0max

max

0

Le 11 mars 2005

16

010

20

30

40

50

0.00.20.40.60.81.0

Te

mp

era

ture

(°C

)

µ max

Modèle croissance

Le 11 mars 2005

17

Modèle de croissance

•Modèle secondaire :

modèle àvaleurs cardinales (Rosso, 1995)

•Tmin,T

opt,Tmax: températures cardinales liéàl’espèce

•µopt:

taux de croissance optimal liéàl’espèce

•K:

constante liée àl’espèce

•C :

constante liée aux autres paramètres

environnementaux du milieu

()

()

[]

()

()(

)(

)()(

)(

)()

[]

[]

()

()

=

∈−

+−

−−

−−

−−

=

∉==

KT

T

TT

Tsi

TT

TT

TT

TT

TT

T

TT

TT

T

TT

Tsi

T

TC

opt

opt

opt

opt

optopt

max

max

min

min

max

min

min

2min

max

max

min

max

,,

2

,,0

µλϕϕ

ϕµ

µ

Le 11 mars 2005

18

ymax

yn,0

t n,t

µmax,n

PM

n,t

Tmin,i

Topt,i

Tmax,i

µopt,i

MTmin

MTopt

MTmax

Mµopt

strain

i

growth curven

point t

σPM

Tn

STmin

SM1n

σSM1

Yn,t

λn

σSM2

STopt

STmax

Sµopt

Ki

MK

Kn

SK

Yn,0

Le 11 mars 2005

19

•Lois sur les paramètres de croissance au niveau de

la population générale des souches

Paramètre

Distribution

µopt,i

N(M

µopt, Sµopt)I(0,

∞)

Tmin,i

N(M

Tmin, S

Tmin)

Topt,i

N(M

Topt, STopt)

Tmax,i

N(M

Tmax, S

Tmax)

Ki

N(M

K, S

K) I(0,

∞)

Exemple II : Évaluation de la variabilitéet

de l’incertitude de la croissance de L.

monocytogenesdans le lait cru

Le 11 mars 2005

20

–Résultats : Estimation de la variabilité inter-souches et de l’incertitude de la

température de croissance minimale, optimale, maximale,… de L. mono.dans le lait

cru à partir de 22 souches et 124 courbes en conditions environnementales constantes

Param

ètre

Moyenne

Ecart-type

Distribution ajustée

MTmin

-2.47

0.69

N(-2.47, 0.690)

MTopt

37.3

0.56

LND(2.19, 0.0621, 28.3)

MTmax

45.0

0.95

LND(2.08, 0.117, 36.9)

Mµopt

0.69

0.05

GD(601, 0.00199, -0.508)

MK

1.36

0.14

LND(0.981, 0.0534, -1.32)

STmin

1.26

0.61

W(2.21, 1.43)

STopt

0.56

0.25

LND(-1.02, 0.538, 0.140)

STmax

0.59

0.32

LND(-1.05, 0.645, 0.164)

Sµopt

0.18

0.03

LND(-1.73, 0.160, -9.0610

-4)

SK

0.40

0.08

LND(-1.32, 0.269, 0.112)

y max

7.92

0.02

BD(8.89, 9.47, 7.84, 8.01)

Exemple II : Évaluation de la variabilitéet

de l’incertitude de la croissance de L.

monocytogenesdans le lait cru

Le 11 mars 2005

21

–Au cours d’un process: variation de température (modèle

thermique)

–Différents scénarios pour la prise en compte de la variabilité et de

l’incertitude

–Mesurer les effets sur la concentration finale en bactéries, surles

facteurs influençant cette concentration

Évaluer l’effet de la prise en compte de

ces composantes sur la quantification de

la concentration bactérienne en sortie de

tank àlait

Le 11 mars 2005

22

Description du process

•Process simple

–Stockage d’un lait cru dans un tank de ferme

réfrigérant, entre deux passages de camion de

collecte

Tank réfrigérant

1°traite

2°traite

3°traite

4°traite

t

Le 11 mars 2005

23

Modèle thermique

Arrivé de lait tiède lors

de la traite

Tank

Déperdition de

chaleur

Installation

réfrigérante

()

[]

dV

V

lT

Tk

dt

dV

TVT

dT

Text

+

+−

++

=+

on

0

T0: Température d’arrivée du lait

k: constante liée à la déperdition de chaleur

Text: tem

pérature extérieure

l: constante liée à la puissance réfrigérante

on= 1 en phase de réfrigération, on= 0 sinon

Le 11 mars 2005

24

Simulations stochastiques

•Paramètres d’entrée :

–Contamination : nom

bre qidéfini de bactéries

introduites lors de chaque traite i

–Paramètres nécessaires au modèle thermique

•Nom

breux et variés

–caractéristique des tanks (déperdition, puissance, volum

e),

–température extérieure moyenne et variation dans les laiteries,

–production laitière …

•Spécification empirique, à partir de données bibliographiques

–Paramètres du modèle de croissance

•Modèle bayésiend’estimation des paramètres de croissance, incluant

les modèles primaire et secondaire

•Ajustement paramétrique des distributions empiriques a posteriori

Le 11 mars 2005

25

Différents scénarios pour la prise en

compte de la variabilité et incertitude

•Scénario S0: scénario moyen

–Les paramètres des modèles de croissance sont fixés aux moyennesdes

lois ajustées

•Scénario Sv: scénario sans incertitude mais avec

juste la variabilité sur les paramètres de croissance

–Les paramètres des modèles de croissance sont tirés des distributions

fixées au niveau de la population générale avec les moyennes deslois

ajustées

•Scénario Svu

: scénario variabilité + incertitude

–Tirages dans les lois ajustées puis dans les distributions fixées au niveau

de la population générale avec les paramètres tirés des lois ajustées

Le 11 mars 2005

26

10

20

30

40

50

60

70

1416182022a

: O

uts

ide

Te

mp

era

ture

(°C)1

02

03

04

05

06

07

0

0100300

b:

Milk

Vo

lum

e

(liters)

10

20

30

40

50

60

70

5152535

c:

Milk

Te

mp

era

ture

(° C)

10

20

30

40

50

60

70

0.00.40.8

d:

To

tal B

ac

teri

al C

on

ce

ntr

atio

n

(log10)

10

20

30

40

50

60

70

0.00.40.8

e:

Ba

cte

ria

l P

ha

se

%

10

20

30

40

50

60

70

-0.50.00.51.0

f: in

div

idu

al B

ac

teri

al C

on

ce

ntr

atio

n

(log 10)

Exemple de simulation

( Scénario S0 -10

2cfu lors la première traite –10

3cfulors de la seconde)

Le 11 mars 2005

27

Simulations stochastiques

•Contaminations initiales fixés : 103ufc/traite i

•10 000 simulations (jeux de paramètres d’entrée

avec R)

•Algorithm

e déterministe de modélisation (Perl)

•Paramètres de sortie :

–Concentration finale par contamination y i

–Concentration finale totale, y

–Paramètre φ

ien fin de process, nom

bre de phases de

latence potentielles effectuées par la bactérie

–Paramètre Λ

i, facteur de multiplication de la population

bacterienne, calculési φ

i> 1

Le 11 mars 2005

28

Résultats

Scenario

Mean

yStd. dev.

Minimum

P2.5

P50

P97.5

P99

Maximum

S0

0.56

0.33

-0.05

0.14

0.48

1.45

1.77

2.40

Sv

0.59

0.34

-0.02

0.15

0.52

1.47

1.79

2.64

Svu

0.59

0.33

-0.01

0.16

0.51

1.48

1.75

2.85

Le 11 mars 2005

29

Résultats Scénario

0S

Scénario

vS

Scénario

vuS

Le 11 mars 2005

30

Résultats

0S

vS

vuS

1≥

iφ

iφ i

Λ

ithContamination

13365

3811

3884

2708

1867

1969

37

420

530

40

622

1[0.27-0.83-1.70]

[0.14-0.81-2.92]

[0.10-0.82-3.14]

2[0.18-0.57-1.16]

[0.09-0.56-2.01]

[0.07-0.55-2.18]

3[0.10-0.33-0.69]

[0.05-0.32-1.15]

[0.04-0.32-1.31]

4[0.02-0.08-0.19]

[0.01-0.08-0.30]

[0.01-0.08-0.34]

1[1.00-1.00-2.50]

[1.00-1.00-5.03]

[1.00-1.00-5.90]

2[1.00-1.00-1.24]

[1.00-1.00-2.26]

[1.00-1.00-2.51]

3[1.00-1.00-1.00]

[1.00-1.00-1.12]

[1.00-1.00-1.24]

4[1.00-1.00-1.00]

[1.00-1.00-1.00]

[1.00-1.00-1.00]

Le 11 mars 2005

31

–L’approche bayésienne

permet beaucoup de

flexibilité pour l’estimation des «modèles à effets

aléatoires».

–En analyse de risque, attention aux

raisonnements qui éliminent l’incertitude sur les

paramètres et ne gardent que la variabilité des

paramètres car la variabilité estimée est conditionnelle à

une certaine incertitude et si celle-ci change la

variabilité estimée du phénom

ène change.

•Pour un spectre d’incertitude, donner un sceptre de variabilité

Discussion