Programmation dans l'incertitude

1 P. Lang, L.Benabbou

Programmation linaire dans lincertitude

Dcision en situation de risque:Critres de gain/cot esprCritre dutilit espre

Dcisions squentielles:Arbres de dcisionProgrammation linaire dans lincertitude


Rappel: tapes dun processus de dcision

La dcision est le rsultat dun processus comportant plusieurs tapes parmi lesquelles on retrouve celle de la conception (structuration, formulation, .) du problme et celle du choix de la meilleure action. N.B. ce n est pas la seule problmatique.

Phase Intelligence Identifier et dfinir le problme

Phase Conception Rechercher les actions envisageables valuer les consquences de ces actions

Phase Choix et Implmentation Choisir la "meilleure" action Implmenter laction choisie


Dcision dans lincertitude

Connaissance absolue Ignorance absolue

Certitude Incertitude

Incertitude totale Risque Incertitude partielle

Prob. Objectives Prob. Subjectives Pas de Prob.


Dcision dans lincertitude

Dcideur

Actions

Nature

tats

Consquences

Les tats possibles de la nature sont connusLe choix de la nature est

simplement inconnu inconnu mais probabilisable

Situation dincertitude totaleSituation de risque


Incertain: Les imperfections dans les connaissances

La carte nest pas le territoire

Le futur nest pas le prsent venir Les donnes ne sont pas le rsultat dune mesure exacte

Le modle nest pas la description dune entit relle

indpendante du modle


Exercice 6.1

La demande quotidienne pour un journal est inconnue, pouvant varier chaque jour entre 100 et 500 exemplaires. Le vendeur sapprovisionne pendant la nuit prcdente au prix de 40$ par centaine dexemplaires. Il revendra chaque exemplaire 1$ lunit sil trouve preneur. Combien dexemplaires le vendeur devrait-il avoir en stock chaque matin ?

Dcision du vendeur: S = # dexemplaires en stock en dbut de journe.tat de la nature: D = # dexemplaires demands dans la journe.

0,4 0,6 si Profit: ( , ) 0,4 si S S S S DV S DD S S D

= =

{ }min , 0,4S D S=


Table de dcision

500

400

300

200

100

D

3002001000-100

24024014040-60

18018018080-20

12012012012020

6060606060

S

500400300200100

( , )V S D

( )300 400 0 6 300V , ,= ( )400 200 200 0 4 400V , ,=


Dcision en situation de risqueExercice 6.1 (2)

Le vendeur est capable de dcrire la demande inconnue, D, comme une variable alatoire, il peut assigner des probabilits (subjectives)

p(d) Prob {D = d} chacune des occurrences possible d de la demande.

0,150,300,250,200,10p(d)500400300200100d


G(S)500400300200100d

1203002001000-100500

14524024014040-6040014018018018080-20300

11012012012012020200606060606060100

S

0,150,300,250,200,10p(d)

Choisir S = 400

[ ] 500100( ) ( , ) ( ) ( , )dG S E V S D p d V S d== =Gain espr si le stock initial est S :

Max ( )S G S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 100 0 2 0 0 25 100 0 3 200 0 15 300, , , , , + + + +


Attitude du dcideur face au risque

Pour le dcideur, la valeur subjective dun dollar nest pas ncessairement la mme en toutes circonstances. Par exemple, obtenir un dollar supplmentaire peut tre moins utile sil a gagn au gros lot que sil est prs de la faillite

Pour reprsenter ces prfrences du dcideur , on peut avoir recours une fonction dutilit.

Une fonction dutilit convertit des $ en valeur subjective (utilit) de ces $. Cest habituellement une fonction croissante car plus de $ est habituellement prfr moins .

Une fonction dutilit permet de reprsenter comment le dcideur choisirait entre des loteries . On appelle L(a,p,b) une loterie qui rapporterait

soit un montant a avec probabilit p; soit un montant b avec probabilit 1p.

Le gain espr dune telle loterie est C(a,p,b) = pa + (1p)b.


Attitude variable face

au risque

Prfrences variables entre C(a,p,b) et

L(a,p,b)Variable

Aversion au risque

C(a,p,b)toujours prfr

L(a,p,b)Dcroissante

Neutralit face au risque

L(a,p,b)toujours indiffrente

C(a,p,b)Constante

Attrait pour le risque

L(a,p,b)toujours prfre

C(a,p,b)Croissante

Attitude face au risqueUtilit marginale


Critre utilit espreExercice 6.1 (3)

Le vendeur a une fonction dutilit prcise dnotant une forte aversion au risque:

100( ) 1 ( gain en $).g

U g e g

= =

6.Critre de lutilit espre:

[ ]500

100( , )

500 100100

( ) ( ( , ))( ) ( ( , ))

( ) 1

dV S d

d

W S E U V S D

p d U V S d

p d e

=

=

=

=

=

Utilit espre si le stock initial est S :

Max ( )S W S


W(S)500400300200100d

0,3881 0,9502 0,8647 0,6321 0,00001,71835000,58130,90930,90930,75340,32970,82214000,67230,83470,83470,83470,55070,22143000,64710,69880,69880,69880,69880,18132000,45120,45120,45120,45120,45120,4512100

S

0,150,300,250,200,10p(d)

Choisir S = 300

( ( , ))U V S D

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 7183 0 2 0 0 25 0 6321 0 3 0 8647 0 15 0 9502, , , , , , , , , + + + + ( )( ) 200100500 400 200

200 1 0 8647

V ,

U e ,=

= =

Max


Dcisions squentielles dans lincertitude

Dcideur

Nature

Action 1

tat 1

Consquence 1

Action 2

tat 2

Consquence 2


Dcision squentielleExercice 6.1

La demande quotidienne Dt pour un journal est une variable alatoire avec la distribution de probabilit suivante:

La demande Dt du jour t est indpendante des demandes des jours prcdents. Le vendeur sapprovisionne pendant la nuit prcdente au prix de 40$ par centaine dexemplaires. Il revendra chaque exemplaire 1$ lunit sil trouve preneur. Combien dexemplaires le vendeur devrait-il avoir en stock au dbut des jours 1, 2, et 3 pour maximiser lesprance de son profit?

0,150,300,250,200,10Prob {Dt = d}500400300200100d


Dcision du vendeur: St = # dexemplaires en stock en dbut du jour t.tat de la nature: Dt = # dexemplaires demands dans le jour t.

0,6 si Profit au jour : ( , ) 0,4 si t t t

t t tt t t t

S S Dt V S D D S S D

=

{ }min , 0,4t t tS D S=

Les demandes sont indpendantes de jour en jourConnatre Dt-1 napporte aucune information sur Dt

Les invendus ne peuvent pas tre stocks pour le jour suivant. Les dcisions sont indpendantes de jour en jour. La politique optimale est myope: choisir un stock initial

St = 400 chaque jour t.


Arbre de dcision: Exercice 6.2Un trader dun produit prissable achte le produit 2$ au dbut du jour et le revend 3$ au cours de la journe. Le trader ne connat pas le nombre exact de clients N (qui est fixe chaque jour, un client non satisfait va revenir le lendemain), mais a estim une distribution de probabilit:

0,500,300,20Prob {N = n}504030n

Le trader souhaite maximiser son revenu. Quelle serait sa stratgie optimale sur 1 jour ? Sur 2 jours ? Sur 3 jours ?


Dcision du trader: St = # de produits achets en dbut du jour t.tat observ de la nature: Vt = # de produits vendus dans le jour t.

Profit au jour : ( , ) 3 2 ( )t t t t t t tt G S V V S V S= { }min , tN S=


Politique optimale sur un jour

E[G(S,V)]504030n

295020105034404010403030303030

S

0,500,300,20Prob {N = n}

Choisir S = 40


Politique optimale sur 2 jours:construction dun arbre de dcision

Arbre de dcision: une arborescence forme de nuds et de flches choix dune action par le dcideurchoix dun tat par la nature

Nud de dcision: tant donn un tat antrieur de la nature, cest au tour du dcideur de jouer. on observe ltat de la nature on liste toutes les actions possibles

Nud dincertitude: tant donn une action antrieure du dcideur, cest au tour de la nature de jouer. On liste tous les tats de la nature possibles, avec leurs probabilits.

0,35

0,45

0,2

Plus tard, il sagira de choisir parmi ces actions possibles


Politique optimale sur 2 jours:observations pour construire larbre

Remarques:

Si Vt = St, N Vt

Si Vt < St, N = Vt

Si on vend toute la quantit achete, le nombre de clients est au moins gal cette quantit.

Si on vend moins que la quantit achete, alors on connat le nombre de clients: il est gal aux ventes.

Consquences:Avec une quantit achete de 50, on connatra parfaitement le nombre de clients.Avec une quantit de 40, deux ventualits sont possibles: les ventes sont de 30 (p = 0,2) : le nombre de clients est alors de 30; les ventes sont de 40 (p = 0,8) : le nombre de clients est alors de 40 ou 50;

Avec un stock de 30, on na aucune information sur le nombre de clients.


NatDcNatDc1 1 2 VS V S 2

50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3

N est maintenant connu

N = 40 ou 50

N = 30

N = 30, 40 ou 50



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3

N = 40 ou 50



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3

N = 30

55 3

.

. .

=

+

35 3

.

. .

=

+



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3

N = 30, 40 ou 50



50 50 5050 40 40 40

30 30 3050

5040 40

40 40 4030 30 30

5050 40

3030 30 40

4030

30 30

.5

.2.3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2.3


Calcul de la meilleure stratgie pour le trader

plusieurs occasions, le trader se trouve devant plusieurs actions/options/alternatives, entre lesquelles il doit choisir.

Pour comparer des actions bon escient, il faut tenir compte de toutes leurs consquences sur le profit espr.

Cela nous amne calculer le profit espr en remontantdans larbre de dcision, de la fin vers le dbut.


S1 V1 S2 V2

50 50 50

50 40 40 40

30 30 30

50 50 40 40

40 40 40

30 30 30

50

50 40

30

30 30 40 40 30

30 30

.5

.2 .3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2 .3


90303030

120404040

150505050

V2S2V1

1

1

1

= 3$50

= 3$40

= 3$30


9030303030

12040404040

15050505050

V2S2V1

1

1

1

= 1502$50

= 1202$40

= 902$30


9030303012030

12040404016040

15050505020050

V2S2V1

1

1

1

= 50+3$50

= 40+3$40

= 30+3$30


S1 V1 S2 V2

50 200 50 50 50 150

50 40 160 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 50 40 40

40 40 40

30 30 30

50

50 40

30

30 30 40 40 30

30 30

1 .5

.2 .3

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

1

1

5/8

3/8

.5

.2 .3


30

40

40

50

V2

903030

12040

120

15050

40

S2V1

1

1

5/8

3/8

= 3$50

= 3$40

= 3$40

= 3$30


30

40

40

50

V2

90303030

1204040

120

1505038,75

40

S2V1

1

1

5/8

3/8

= (5/8)150+ (3/8)120 2$50

= 120 2$40

= 90 2$30


30

40

40

50

V2

90303012030

1204040

120

1505038,75

16040

S2V1

1

1

5/8

3/8= 40 + 3$40

= 30 + 3$30


S1 V1 S2 V2

50 200 50 50 50 150

50 40 160 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150 38,75 50 40 160 40 120

40 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50

50 40

30

30 30 40 40 30

30 30

1 .5

.2 .3

1

1

5/8

.8

.2

1

1

.8

.2

1

1

3/8

.5

.2 .3


903030

9030

1204040

9030

12040

15050

50

30

V2S2V1

1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.2

= 3$50

= 3$40

= 3$30

= 3$40

= 3$30

= 3$30


90303030

9030

120404034

9030

12040

15050

5029

30

V2S2V1

1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.2

= .5150+.3120+.2 90 2$50

=.8120+.2 90 2$40

=90 2$30


90303030

9030

120404034

9030

12040

15050

5029

12430

V2S2V1

1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.2

=34 +3$30


S1 V1 S2 V2

50 200 50 50 50 150

50 40 160 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150 38,75 50 40 160 40 120

40 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150

29 50 40 120

30 90

30 30 124 40 120 34 40 30 90

30 30 30 90

1 .5

.2 .3

1

1

5/8

.8

.2

1

1

3/8

.5

.2 .3

1

1

.8

.2


12030

1243030

1604040

12030

16040

20050

50

V1S1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.2

1


12030

124303064

160404072

12030

16040

20050

5072

V1S1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.2

1

= .5200+.3160+.2 120 2$50

=1242$30

=.8160+.2 1202$40


S1 V1 S2 V2

50 200 50 50 50 150 72 50 40 160 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150 38,75 50 40 160 40 120 72 40 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150

29 50 40 120

30 90 64 30 30 124 40 120 34 40 30 90

30 30 30 90

1 .5

.2 .3

1

1

5/8

.8

.2

1

1

3/8

.5

.2 .3

1

1

.8

.2


S1 V1 S2 V2

50 200 50 50 50 150 72 50 40 160 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150 38,75 50 40 160 40 120 72 40 40 40 40 120

30 120 30 30 30 90

50 150

29 50 40 120

30 90 64 30 30 124 40 120 34 40 30 90

30 30 30 90

1 .5

.2 .3

1

1

5/8

.8

.2

1

1

3/8

.5

.2 .3

1

1

.8

.2

Politique optimale 1:1. S1 = 502. Si V1 = 50, S2 = 50

Si V1 = 40, S2 = 40Si V1 = 30, S2 = 30

Politique optimale 2:1. S1 = 402. Si V1 = 40, S2 = 40

Si V1 = 30, S2 = 30

Profit espr: 72 $


Dcisions

4343T-14ST=V1

S3=V1S2=V1S1=50T jours

38,3115S3=V1S2=V1S1=503 jours

S2=V1S1=40Pol 23672

S2=V1S1=50Pol 12 jours

3434S1=401 jour

Gainesprmoyen

GainesprtotalJ TJ 3J 2J 1

Horizon

Politique optimale

Rgles de dcision


Arbres de dcision: exercice 6.3 Votre compagnie dassurance projette externaliser une partie de la gestion de son portefeuille pour les 9 mois qui restent de lanne. Vous avez ngoci avec une socitde gestion un mandat de gestion de portefeuille aux termes suivants:trois tapes, de trois mois chacune, sont dfinies. la fin de chaque tape, on valuera, selon des critres accepts par les 2 parties, la performance du gestionnaire.si, la performance du gestionnaire a t satisfaisante, la gestion du fonds ddi se poursuit automatiquement, et le gestionnaire reoit un forfait de 200 000$. Si ce nest pas le cas (la performance a t insuffisante), vous avez 2 choix:

rsilier le mandat de gestion, et obtenir un ddommagement de 500 000 $; poursuivre lexcution du mandat de gestion, sans quil y ait aucun paiement de part ou dautre pour cette tape.

Vous estimez que la probabilit dune performance satisfaisante dans un trimestre est de 60%, indpendamment de ce qui est advenu dans des trimestres antrieurs. Le montant externaliser de 1 000 000 $.1) Dessiner larbre de dcision2) Quelle est la meilleure stratgie ? Quelle est la valeur espre du mandat ? Quelle est la probabilit que la socit de gestion remplisse le mandat ?


Programmation linaire en situation de risque

Dcideur

Nature

Action 1

tat 1

Consquence 1

Action 2

tat 2

Consquence 2

Il sagit encore de dcisions squentiellesMais (contrairement aux arbres de dcision) les actions possibles sont reprsentes par des variables de dcisionplutt que par des listes dactions possibles.


Accepter

Refuser

P

R

P

R

P

R

SatisfaisantS

I Insuffisant

P Poursuivre

R Rsilier

S

I

0,6

0,4

S

I0,6

0,4

S

I

0,6

0,4

S

I0,4

0,6

S

I

0,6

0,4

S

I

0,6

0,4S

I

0,6

0,4

Fin du trimestre 1 Fin du trimestre 2 Fin trim. 3 Dbut


S

I

S

I

S

I

S

I

P

R

P

R

S

I

S

IP

R

S

I

Accepter

Refuser

SatisfaisantS

I Insuffisant

P Poursuivre

R Rsilier 0,8

(0)Profit (M$)

0

0

0

0

0,5

0,5

0,8

0,8

0,8

0,28

0,28

0,48

0,48

0,5

0,5

= 0,60,8+ 0,40 (profit espr) 0,2 (paiement)

= 0,60,8+ 0,40 (profit espr)


S

I

S

I

S

I

S

I

P

R

P

R

S

I

S

IP

R

S

I

Accepter

Refuser

SatisfaisantS

I Insuffisant

P Poursuivre

R Rsilier 0,8

(0)Profit (M$)

0

0

0

0

0,5

0,5

0,5 0,8

0,8

0,8

0,28

0,28

0,48

0,480,5

0,168

0,368

0,5

0,5

= 0,60,28+ 0,40,5(profit espr)

= 0,60,28+ 0,40,5 (profit espr) 0,2 (paiement)

0,3008

= 0,60,168+ 0,40,5(profit espr)

0


S

IS

I

R

S

I

Accepter

SatisfaisantS

I Insuffisant

P Poursuivre

R Rsilier 0,8

(0)Profit (M$)

0

0,4

0,5

0,168

0,50,5

0,3008 0,6

0,6

0,6

0,4

0,4

0,4

Sinon, ne rien faireSi Ins., rsilierSinon, ne rien faire

Si Ins., rsilierAccepterFin Trim.2Fin Trim.1Dbut

Stratgie Profit espr:0,3008 M$

0,216

Probabilit daboutissement du mandat: 0,216

R0,5

0,3008


Exercice 6.4: Stratgies ex ante/adaptive

Un spculateur de matires premires gre un silo de bl d'une capacit de 50 tonnes. Au dbut de la semaine 1, le silo contient 20 tonnes. Les prix d'achat et de vente de bl esprs ont t estims pour les 4 prochaines semaines:

Le bl vendu une semaine donne est retir du stock en dbut de semaine. Le bl achet dans une semaine donne arrive en milieu de semaine, et ne pourrait donc tre revendu au plus tt quen semaine suivante. Les cots de stockage sont de 2$ par tonne restant en stock la fin de chaque semaine.Formuler un programme linaire qui permette de maximiser les profits (esprs) du spculateur.

33302117Prix de vente ($/tonne)36322020Prix dachat ($/tonne)

4321Semaine


Variables de dcision: # de tonnes de bl achetes en semaine # de tonnes de bl vendues en semaine 1 4# de tonnes de bl conserves en stock en fin de semaine

t

t

t

V tA t tS t

= = = 1 1 1, ,V A S 2 2 2, ,V A S 3 3 3, ,V A S 4 4 4, ,V A S

Paramtres: } esprance du prix de vente ($/tonne) en semaine 1 4 esprance du prix d'achat ($/tonne) en semaine

t

t

p ttq t

= =

Programme linaire:( )4 1

1 1 1

1

1

1

Max 2S.l.c.: 20

2 420

2 450 1 4

, , 0 1 4

t t t t tt

t t t t

t t

t

t t t

Z p V q A SS A VS S A V tVV S tS tV A S t

=

=

= +

= +

Stratgie ex ante (anticipative)


MAX 17V1 + 21V2 + 30V3 + 33V4 - 20A1 - 20A2- 32A3 - 36A4 - 2I1 - 2I2 - 2I3 - 2I4 ST I1 - A1 + V1 = 20I2 - A2 + V2 - I1 = 0I3 - A3 + V3 - I2 = 0I4 - A4 + V4 - I3 = 0V1 < 20V2 - I1 < 0V3 - I2 < 0V4 - I3 < 0END SUB I1 50 SUB I2 50 SUB I3 50 SUB I4 50


0505020St

8301650-100-680-40Profitespr

00500At

500200Vt

36322020qt

33302117pt

Total4321t

Solution optimale:

( , , )t t tV A S0,0,20 20,50,50 0,0,50 50,0,0

Profit espr : 830 $


Exercice 6.3: stratgie adaptative.Les prix dachat et de vente du bl en vigueur en semaine t sont incertains priori, mais seront connus au dbut de la semaine t. Le spculateur a numr les principales possibilits, et leurs probabilits conditionnelles:

34A35V

36A37V

42A27V

27A32V

30A28V

34A32V

32A30V

24A19V

14A24V 1

1

0,6

0,4

0,5

0,5 1

0,7

0,3

4321Semaine:

20A17V

3 2 1

3 2 1

32 19 17Prob ,

34 24 20p p pq q q

= = =

Le spculateur veut maximiser lesprance de son profit.


Arbre de scnarios

34A35V

36A37V

42A27V

27A32V

30A28V

34A32V

32A30V

24A19V

14A24V

20A17V

0,6

0,4

1

0,5

0,5

1

1

0,7

0,3

4321Semaine:

tat de la nature


Arbre de scnarios

734A35V

836A37V

942A27V

1027A32V

430A28V

534A32V

632A30V

224A19V

314A24V

120A17V

0,6

0,4

1

0,5

0,5

1

1

0,7

0,3

4321Semaine:

scnario(complet)

scnariopartiel1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) 1 1 2 2 3 4 5 6 6k

a kChaque tat k > 1 a un prdcesseur a(k) :


Arbre de scnarios

0,37

34A35V

0,38

36A37V

0,289

42A27V

0,1210

27A32V

0,34

30A28V

0,35

34A32V

0,46

32A30V

0,62

24A19V

0,43

14A24V

11

20A17V

0,6

0,4

1

0,5

0,5

1

1

0,7

0,3

4321Semaine:

= probabilit totale que l'tat se ralisek kpi


Variables de dcision: # de tonnes de bl achetes dans l'tat # de tonnes de bl vendues dans l'tat 1 10# de tonnes de bl conserves en stock dans l'tat

k

k

k

V kA k kS k

=

=

=

1 1 1, ,V A S

2 2 2, ,V A S

3 3 3, ,V A S

4 4 4, ,V A S

5 5 5, ,V A S

6 6 6, ,V A S

7 7 7, ,V A S

8 8 8, ,V A S

9 9 9, ,V A S

10 10 10, ,V A S


Variables de dcision: # de tonnes de bl achetes dans l'tat # de tonnes de bl vendues dans l'tat 1 10# de tonnes de bl conserves en stock dans l'tat

k

k

k

V kA k kS k

= = =

Programme linaire:

( )10 11 1 1

( )

1

( )

Max 2S.l.c.: 20

2 1020

2 1050 1 10

, , 0 1 10

k k k k k kk

k a k k k

k a k

k

k k k

Z p V q A SS A VS S A V kVV S kS kV A S k

pi=

=

= +

= +

Paramtres: prix de vente ($/tonne) dans l'tat prix d'achat ($/tonne) dans l'tat 1 10 probabilit de ralisation de l'tat

k

k

k

p kq k k

kpi

= = =


V01 < 20 V02 - S01 < 0 V03 - S01 < 0 V04 - S02 < 0 V05 - S02 < 0 V06 - S03 < 0 V07 - S04 < 0 V08 - S05 < 0 V09 - S06 < 0 V10 - S06 < 0 END

SUB S01 50 SUB S02 50 SUB S03 50 SUB S04 50 SUB S05 50 SUB S06 50 SUB S07 50 SUB S08 50 SUB S09 50 SUB S10 50

MAX

17V01 + 11.4V02 + 9.6V03 + 8.4V04 + 9.6V05+ 12.0V06 + 10.5V07 + 11.1V08 + 7.56V09 + 3.84V10- 20A01 - 14.4A02 - 5.6A03 - 9.0A04 - 10.2A05- 8.8A06 - 10.2A07 - 10.8A08 - 11.76A09 - 3.24A10- 2S01 - 1.2S02 - 0.8S03 - 0.6S04 - 0.6S05- 0.8S06 - 0.6S07 - 0.6S08 - 0.56S09 - 0.24S10STS01 - A01 + V01 = 20S02 - A02 + V02 - S01 = 0S03 - A03 + V03 - S01 = 0S04 - A04 + V04 - S02 = 0S05 - A05 + V05 - S02 = 0S06 - A06 + V06 - S03 = 0S07 - A07 + V07 - S04 = 0S08 - A08 + V08 - S05 = 0S09 - A09 + V09 - S06 = 0S10 - A10 + V10 - S06 = 0


Solution optimale:

( , , )k k kV A S

0,30,50

0,0,50

50,50,50

50,0,00,0,50

0,0,50

50,50,50

50,0,0

50,0,0

50,0,0

Profit espr: 1110 $


Stratgies adaptative vs. ex-ante

Une stratgie est adaptative si chaque dcision tient compte de toute linformation disponible au moment o cette dcision doit tre prise. Les dcisions sont donc conditionnes sur les tats de la nature. Dans chaque priode on a une rgle de dcision.

Dans une stratgie ex ante les dcisions de chaque priode sont fixes lavance, indpendamment de ltat qui se ralise dans cette priode.

Proprit: la meilleure stratgie adaptative est toujours au moins aussi avantageuse que la meilleure stratgie ex ante.


Solution optimale: ( , , )t t tV A S Profit espr: 830 $

0,0,20 20,50,50 0,0,50 50,0,0

0,30,50

0,0,50

50,50,50

50,0,00,0,50

0,0,50

50,50,50

50,0,0

50,0,0

50,0,0

Solution optimale:( , , )k k kV A S Profit espr: 1110 $

Stratgie ex-ante

Stratgie adaptative


Exercice 6.4La demande pour un produit est alatoire. Dun mois sur lautre, elle peut soit augmenter de 10%, avec probabilit 0,2; rester au niveau du mois prcdent, avec probabilit 0,7; diminuer de 15%, avec probabilit 0,1.Au mois 1, cette demande sera de 1 000 units.Le cot de production mensuel est gal a 0$ si aucune quantit nest produite; 150$ + 10$(le # dunits produites) si ce dernier est >0.La capacit de production est de 2 500 units par mois.

Lentreprise doit normalement satisfaire la demande. Exceptionnellement, elle pourra livrer seulement 90% de la demande. Ce cas dexception ne peut pas se produire plus dune fois en trois mois.1. Dessinez larbre des vnements.2. Dfinissez les paramtres pertinents et les variables de dcision.3. Formuler un programme linaire en vue de minimiser lesprance du cot total.

Le produit peut tre stock, au cot de 2$ par unit restant en stock en fin de mois. Le stock initial du trimestre 1 est nul.


Arbre de scnarios DemandeProbtat

11000,22

10000,73

8500,14

100011

321Mois:


Arbre de scnarios DemandeProbtat

12100,045

11000,146

9350,027

11000,22

11000,148

10000,499

8500,0710

9350,0211

8500,0712

722,50,0113

10000,73

8500,14

100011

321Mois:


Paramtres# d'tatk =

( ) tat prcdent immdiatement a k k= probabilit (totale) de ralisation de l'tat k kpi = demande sous l'tat kd k=

722,59509358501000110093511001210850100011001000dk

0,010,070,020,070,490,140,020,140,040,10,70,21pik

444333222111a(k)13121110987654321k


Variables

quantit produite sous l'tat 1 13kx k, k=

quantit en stock en fin de mois sous l'tat 1 13kS k, k=

( ){1 s'il y a de la production sous l'tat 0 1 130 sinon kk k xy k>= {1 si on livre moins que la demande sous l'tat 1 130 sinonk ku k=


Programme linaire

( )13 1Min 150 10 2S.l.c.:

k k k kk y x Spi= + +

( )1 1 1 1 10 1

0 1 2 13k a k k k k kS x d , d uS S x d , d u k

= += + +

2500 1 13k kx y k

( ){ }1 1 5 13 (tats )jj k ,a k , u k terminaux

0 1 13kx k

{ }0 1 1 13k ky ,u , k


( ){ }1 1 5 13 (tats )jj k ,a k , u k terminaux

5

6

7

2

8

9

10

11

12

13

3

4

1

1 2 5 1u u u+ +

1 2 6 1u u u+ +

1 2 7 1u u u+ +

1 3 8 1u u u+ +

1 3 9 1u u u+ +

1 3 10 1u u u+ +

1 4 11 1u u u+ +

1 4 12 1u u u+ +

1 4 13 1u u u+ +


Exercice 6.4Vous avez 10 000 $ sur un compte dpargne qui rapportera du 1% par mois au cours des 2 prochains mois. Vous pouvez en tout temps retirer tout ou partie du montant plac sur ce compte ou y rajouter une somme supplmentaire.On vous a vant les mrites de la spculation sur lallium, un mtal rare qui se transige actuellement 100 $/Ag . Vous anticipez que les prix en vigueur aux dbuts des mois et seront alatoires mais conformes la loi suivante :

Vous rviserez votre situation financire chaque dbut de mois. Les achats dallium seront dbits de votre compte dpargne, le produit des ventes dallium revers sur le compte dpargne. Vous refusez tout recours lemprunt. Au dbut du mois 3, vous liquiderez tout avoir en allium pour conclure lexprience.

1. Dessinez larbre des scnarios avec les paramtres pertinents (nos dtats, probabilits totales de ralisation, et prix).

321

Achatdallium

Achat ou ventedallium

Ventedallium

Intrts sur pargne

Intrts sur pargne

Fortune finale10 000

Mois

1

1

1 2 avec probabilit 0,42 3

0 9 avec probabilit 0,6t t

t t

P , Pt ,

P , P

==

=


Arbre des scnarios

100, 1

1

120, .4

2

90, .6

3108, .24

6

81, .36

7 Prix, probabilit totale

tat

144, .16

4

108, .24

5

Lgende :


Exercice 6.4 (2)Vous avez 10 000 $ sur un compte dpargne qui rapportera du 1% par mois au cours des 2 prochains mois. Vous pouvez en tout temps retirer tout ou partie du montant plac sur ce compte ou y rajouter une somme supplmentaire.On vous a vant les mrites de la spculation sur lallium, un mtal rare qui se transige actuellement 100 $/Ag . Vous anticipez que les prix en vigueur aux dbuts des mois et seront alatoires mais conformes la loi suivante :

Vous rviserez votre situation financire chaque dbut de mois. Les achats dallium seront dbits de votre compte dpargne, le produit des ventes dallium revers sur le compte dpargne. Vous refusez tout recours lemprunt. Au dbut du mois 3, vous liquiderez tout avoir en allium pour conclure lexprience.

2. Formulez un programme linaire dtaill qui permettra de trouver une stratgie maximisant la valeur espre de votre fortune au dbut du mois 3, aprs liquidation de vos positions en allium.

321

Achatdallium

Achat ou ventedallium

Ventedallium

Intrts sur pargne

Intrts sur pargne

Fortune finale10 000

Mois

1

1



t t

P , Pt ,

P , P

==

=


Variables de dcision

ventes dallium (Ag) au dbut de ltat k

achats dallium (Ag) au dbut de ltat k

=kC

1 3k

kF 4 7k

kA 1 3k

kV 2 3k

kS

1 3k

stock dallium (Ag) aprs transactions sous ltat k=

=

=

fortune finale ($) sous ltat final k=

pargne disponible ($) en fin de mois sous ltat k


Programme linaire

4 5 6 70 16 0 24 0 24 0 36Z , F , F , F , F= + + +

1 1

2 1 2 2

3 1 3 3

S AS S A VS S A V

=

= + = +

1 1

2 1 2 2

3 1 3 3

10100 1011 01 121 2 121 21 01 90 9 90 9

C AC , C , A , VC , C , A , V

=

= += +

4 2 2

5 2 2

6 3 3

7 3 3

14410810881

F C SF C SF C SF C S

= += += += +

0k k k kC ,S ,A ,V 1 3k

MaxS.l.c.:


Exercice 6.4 (3)Vous avez 10 000 $ sur un compte dpargne qui rapportera du 1% par mois au cours des 2 prochains mois. Vous pouvez en tout temps retirer tout ou partie du montant plac sur ce compte ou y rajouter une somme supplmentaire.On vous a vant les mrites de la spculation sur lallium, un mtal rare qui se transige actuellement 100 $/Ag . Vous anticipez que les prix en vigueur aux dbuts des mois et seront alatoires mais conformes la loi suivante :

Vous rviserez votre situation financire chaque dbut de mois. Les achats dallium seront dbits de votre compte dpargne, le produit des ventes dallium revers sur le compte dpargne. Vous refusez tout recours lemprunt. Au dbut du mois 3, vous liquiderez tout avoir en allium pour conclure lexprience.Vous prouveriez un vif regret si cette exprience spculative ramenait votre fortune totale en dessous du montant initial de 10 000 $. Vous avez choisi une fonction dutilit refltant ces prfrences.

Reformulez votre programme linaire prcdent de faon maximiser lutilit espre de votre fortune finale

( ) ( )10000 si 10000

10 10000 si 10000F F

U FF F

=

F

U(F)

10000

1

1



t t

P , Pt ,

P , P

==

=


Programme linaire avec utilit espre

Max

S.l.c.:

4 5 6 7

4 5 6 7

0 16 0 24 0 24 0 361 6 2 4 2 4 3 6

Z , v , v , v , v, w , w , w , w

= + + +

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

10000100001000010000

F v wF v wF v wF v w

=

=

=

=

0k kv ,w

Autres contraintes inchanges

{ 10000 si 100000 sinonk kk F Fv = {10000 si 100000 sinonk kk F Fw = 4 7k

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