Prépas Ondes Et Électromagnétisme

Ondesetlectromagntisme

PARCOURSINGNIEUR

Cours avec applicationsTests de connaissancesExercices avec corrigs dtaills

Maxime NICOLAS

PeiP1er cycle ingnieurPrpa intgre

Maxime NICOLAS

Professeur Polytech Marseille

Ondes

et lectromagntisme

Dunod, Paris, 2009

ISBN 978-2-10-054276-5

Table des matires

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Chapitre 1. Temps, espace, nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Temps, frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Espace, longueur donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 2. Les oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Quest-ce quun oscillateur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Quatre exemples doscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Oscillateur harmonique non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Forage et rsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Couplage de deux oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7 Couplage linaire de N oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Chapitre 3. Lquation donde simple et ses solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 quation donde simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Fonction donde monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Superpositions et interfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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iv Table des matires

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Chapitre 4. Ondes et vibrations mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1 Ondes de compression dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Corde vibrante : ondes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Vibrations transversales des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Vibration des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Chapitre 5. Ondes dans les uides : lacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1 Introduction sur les uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 quations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Hypothses de lacoustique linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4 Linarisation des quations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5 quation donde acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.6 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.7 Ondes dans les tuyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.8 Intensit et niveau acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.9 Vrication des hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.10 Acoustique musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Chapitre 6. Ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1 Dimensions, units et constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2 Lois de llectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Charges mobiles et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.4 Lois de la magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.5 Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.6 quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.7 quation donde lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Table des matires v

6.8 Propagation dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.9 Onde plane lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.10 Polarisation des ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.11 nergie lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Chapitre 7. Ondes lectromagntiques et matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.1 Ce quest la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2 Conduction lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.3 Polarisation dun milieu matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.4 Induction magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5 quations de Maxwell dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.6 quation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.7 Propagation dans les milieux matriels homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.8 Ondes et interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.9 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.10 Rexion totale sur une interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.11 Propagation guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Chapitre 8. Ondes et vibrations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.1 Pendule pesant faiblement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.2 Oscillations de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.3 Frottement solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.4 Optique non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.5 Loscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Annexe A. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

A.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

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vi Table des matires

A.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

A.3 Oprations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.4 Oprateurs diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.5 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A.6 Thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Annexe B. Index des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Bibliographie et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Avant-propos

Prsentes dans des domaines aussi diffrents que lacoustique et llectromagn-

tisme, les ondes sont universelles. Cet ouvrage suit donc un choix thmatique et

propose un parcours riche et vari dans la physique contemporaine, les phnomnes

naturels, les systmes appliqus et industriels et les dispositifs de laboratoire.

Le premier chapitre met en place le vocabulaire, les dimensions et units des quan-

tits physiques utiles pour dcrire les phnomnes vibratoires et ondulatoires. Le

deuxime chapitre est entirement consacr aux oscillateurs, brique de base pour

construire une thorie des ondes. Plus mathmatique, le chapitre 3 prsente les outils

et mthodes danalyse qui seront utiliss dans les chapitres suivants. Le chapitre 4

offre un panorama des vibrations et ondes mcaniques dans des systmes solides

et lastiques une, deux ou trois dimensions. Le chapitre 5 porte sur lacoustique

linaire, avec une attention particulire pour les ondes sonores. Les chapitres 6 et 7

sont consacrs llectromagntisme avec dabord des rappels sur llectrostatique,

la magntostatique, puis ltablissement des quations de Maxwell. Les solutions

de propagation donde dans le vide puis dans les milieux matriels sont prsentes.

Enn le chapitre 8 montre une ouverture vers les systmes non linaires.

Cet ouvrage sadresse prioritairement aux tudiants des cycles prparatoires des

coles dingnieurs Polytech mais aussi aux lves ingnieurs ainsi quaux tudiants

de licence scientique. Peu de connaissances pralables sont ncessaires, si ce nest

une bonne matrise de la loi de Newton, des lois de base de llectrostatique et de la

magntostatique, des techniques de drivation et dintgration et une bonne connais-

sance des fonctions circulaires et exponentielles. Les principaux outils mathma-

tiques utiliss dans cet ouvrage sont rappels dans un formulaire (Annexe A).

Dans chaque chapitre le lecteur trouvera des encarts loupe , qui dtaillent un point

un peu technique ou abordent un calcul plus spcialis, et des encarts application

qui illustrent la thorie avec des exemples concrets.

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autorise

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viii Avant-propos

Les exercices, dont les corrigs sont dtaills, sont classs en trois catgories : des

tests de connaissance sous forme de QCM, des exercices dapplication qui viennent

illustrer les rsultats dun chapitre, et des exercices dapprofondissement qui per-

mettent daller un peu plus loin ou de dtailler certains calculs qui ne sont pas dve-

lopps compltement dans le chapitre. Le niveau de difcult des exercices dapplica-

tion et dapprofondissement est signal par

,

ou

. Les exercices de niveau

seront plus protables aux tudiants de niveau L3 ou en formation dingnieur.

En n douvrage, un index des symboles et un index terminologique pourront aider

le lecteur retrouver rapidement une notation, un terme ou une formule et le chapitre

correspondant.

Temps, espace, nergie

1

Plan Objectifs

Cours

1.1 Gnralits

1.2 Temps, frquence

1.3 Espace, longueur donde

1.4 nergie

Synthse

Exercices

Corrigs

Dnir le vocabulaire

Connatre quelques ordres de

grandeur

Comprendre et utiliser la notion

de dimension dune grandeur

physique

Cours

Nous sommes entours par les ondes. La lumire, le son, les vibrations du sol ou

dune machine, les vagues, sont des exemples varis qui peuvent tous tre dcrits

comme des ondes. Ltude des ondes se place au carrefour de nombreux domaines de

la physique microscopique ou macroscopique, de la mcanique, des mathmatiques

appliques, des sciences de la Terre, et mme des sciences de la vie. Malgr la varit

des phnomnes rencontrs, nous pouvons dgager une description commune, car

toutes les ondes impliquent un couplage entre le temps et lespace.

1.1 GNRALITS

Driv du latin unda, le mot onde dsigne dabord leau mobile, en particulier les

mouvements de la surface de la mer. partir du XVIII

e

sicle, le mot onde dsigne

une propagation la surface dun liquide. Il est ensuite gnralis tout phnomne

de propagation, support par un milieu matriel (les ondes mcaniques) ou sans sup-

port matriel (les ondes lectromagntiques). Cest dans ce cadre gnral que nous

allons dnir une onde.

Toute onde est associe une vibration, une oscillation, qui se transmet de proche

en proche. Une oscillation ou une vibration est un changement priodique dune

quantit physique : une position, une hauteur, un champ lectrique, une force, etc.

Cela implique une notion forte de priodicit, qui indique le retour la situation

initiale intervalle de temps rgulier. Cet intervalle de temps dnit une priode.

2 Chap. 1. Temps, espace, nergie

Dans un milieu continu (un uide ou un solide par exemple), une perturbation ou

une information locale priodique va avoir un effet sur le voisinage. Ce voisinage

va son tour perturber un autre voisinage et, par cet enchanement, la perturbation

initialement localise va se dplacer dans le milieu.

La vitesse de propagation est lie aux proprits physiques du milieu. Pour un uide,

cette vitesse dpend principalement de la masse volumique et de la compressibilit. Par

exemple, la vitesse du son dans lair est de lordre de 340 ms

1

, mais cette vitesse peut

changer en fonction de la temprature et de la pression de lair. Dans le cas dun solide

la vitesse de propagation dune perturbation (un choc par exemple) dpend de la masse

volumique et de llasticit. Pour un milieu non matriel, et en particulier pour le vide,

ce sont les proprits lectriques et magntiques qui gouvernent cette vitesse. La vitesse

de la lumire, proche de 300 000 000 ms

1

, est relie deux constantes physiques de

lUnivers : la permittivit lectrique et la permabilit magntique du vide.

partir dun intervalle de temps (la priode) mesur en secondes et dune vitesse

mesure en mtres par seconde, le produit des deux donne une longueur. Cest la

distance parcourue par la perturbation ou linformation durant une priode. Si la

vitesse est constante, la distance parcourue augmente avec le temps et la perturbation

sest dplace dune certaine longueur appele la longueur donde.

Encart 1.1 Dimensions des quantits physiques

Chaque quantit physique mesurable est lie une dimension, elle-mme lie

une ou plusieurs units. Ainsi, une distance a la dimension dune longueur

(L) et peut avoir comme unit le mtre (unit du systme international), le

pouce, le dcamtre, le parsec, etc. Les dimensions de base et les units du

systme international sont :

Dimension Symbole Unit SI

courant I Ampre (A)

longueur L mtre (m)

masse M kilogramme (kg)

temps T seconde (s)

On peut construire les dimensions de quantits plus complexes partir de ces

dimensions de base. Par exemple, la vitesse a comme dimension LT

1

et

sexprime en ms

1

, et lacclration a comme dimension LT

2

et sexprime

en ms

2

. Une force, la force de pesanteur par exemple, a comme dimension

le produit dune masse par une acclration, soit LMT

2

.

On utilise parfois des quantits sans dimension. Un angle en est un exemple

utile. Cest une quantit qui peut varier entre 0 et 2p (ou 0 et 360 degrs) mais

dont la dimension est 1. Toutefois un angle a une unit de mesure, le degr, le

radian ou le grade.

1.2 Temps, frquence 3

1.2 TEMPS, FRQUENCE

Pour dcrire un systme en mouvement, lvolution dune quantit physique, une

variation dun nombre, on utilise des fonctions mathmatiques qui dpendent du

temps. Note t , la variable temps ne peut quaugmenter, et lvolution dune quantit

ne peut que dpendre du pass. Cest la notion de causalit.

Parmi toutes les fonctions qui dpendent dune variable, il existe un ensemble de

fonctions appeles fonctions priodiques. Ces fonctions ont une reprsentation gra-

phique qui peut tre fractionne en une innit de motifs identiques. La priode t

dune fonction est le plus petit intervalle de temps pour lequel la fonction retrouve sa

valeur initiale. La priode se mesure en unit de temps, avec une unit de base qui est

la seconde (abrviation s) dans le systme international dunits (SI). On appellera

ces fonctions les fonctions t-priodiques.

Dnitions

Une fonction est t-priodique de priode t si

f (t) = f (t + t)

quel que soit linstant t .

La priode est une dure et se mesure en s.

La frquence n est linverse de la priode :

n =

1

t

et son unit est le hertz (Hz), 1 Hz est quivalent 1 s

1

.

La pulsation ou frquence angulaire v est le produit de la frquence par 2p :

v = 2pn =

2p

t

et se mesure en rads

1

.

On peut facilement dmontrer que si une fonction est priodique de priode t, elle est

galement priodique de priode nt, o n est un nombre entier strictement suprieur

un. En effet, si on note t

= t + t, on a f (t + 2t) = f (t

+ t) = f (t

) = f (t). Le

mot priode dsigne donc la plus petite valeur de lensemble des intervalles de temps

pour lesquels la fonction est priodique.

La gure 1.1 montre quatre exemples de fonctions priodiques temporelles. La repr-

sentation graphique de ces fonctions peut tre complexe, comme dans lexemple des

battements cardiaques, ou trs simple, comme dans le cas dune fonction en crneaux.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


t

(a)

(c)

(b)

(d)

t

t

t

f(t)

f(t)

f(t)

f(t)

Figure 1.1 Exemples de fonctions t-priodiques.

(a) fonction en dents de scie, (b) fonction crneau, (c) fonction circulaire,

(d) signal lectrique typique dun lectrocardiogramme.

Exemple 1 : les battements cardiaques

Les battements cardiaques sont un exemple de mouvement priodique pour un orga-

nisme vivant. Chez lhomme, on peut les mesurer au travers de lactivit lectrique

des muscles du cur. Le signal obtenu est appel un lectrocardiogramme (ECG).

La frquence cardiaque est bien sr variable dun individu lautre et dpend gale-

ment des efforts demands au cur. La frquence cardiaque peut tre trs variable

dune espce lautre mais, en rgle gnrale, plus lanimal est gros, plus sa fr-

quence cardiaque est basse. Ainsi la frquence cardiaque dune baleine est de 10

battements par minute (bpm), de 25 pour un lphant, de 60 100 chez lhomme

adulte, et de 500 chez les oiseaux de petite taille. Cette rgle se vrie mme au

sein dune mme espce : la frquence cardiaque dun ftus de 10 semaines est

proche de 200 bpm, puis baisse 150 bpm vers la 14

e

semaine.

Exemple 2 : des frquences astronomiques

une chelle beaucoup plus grande, les mouvements des toiles et des plantes sont

galement priodiques. Par exemple, la position de la Terre autour du Soleil est une

fonction priodique dune priode dun an, soit 31 536000 secondes. La frquence

associe est donc denviron 3, 1710

8

Hz. Parmi tous les objets clestes, les pulsars

tirent leur nom de leur luminosit variable. Un pulsar est une toile neutrons qui

est en rotation rapide autour delle-mme et qui met un rayonnement puissant dans

une direction diffrente de son axe de rotation. Un observateur loign, sur la Terre

en particulier, voit donc un signal apparatre puis disparatre de faon priodique.

Certains pulsars ont une priode de lordre de la seconde, mais le plus rapide observ

actuellement, baptis Ter5ad, a une frquence de rotation de 716 Hz.

1.3 Espace, longueur donde 5

Exemple 3 : les frquences lectromagntiques

Toujours dans le domaine de la physique, le rayonnement lectromagntique (dve-

lopp au chapitre 6) montre une trs large gamme de frquences, appele spectre.

Mme si la nature physique du rayonnement est identique, le spectre est dcoup

en bandes de frquences lies aux applications ou la provenance du rayonnement.

Par exemple, les ondes radio sont des ondes lectromagntiques dont la frquence

est comprise entre 9 kHz et 3 000 GHz, selon lUnion internationale des tlcom-

munications dont le rle est de rglementer lutilisation des diffrentes frquences.

lautre extrmit du spectre lectromagntique, on trouve le rayonnement gamma

(g), issu par exemple de la raction dannihilation lectron + positron. Ce rayon-

nement, trs dangereux pour les organismes vivants, a une frquence suprieure

10

19

Hz.

Le tableau 1.1 regroupe quelques frquences remarquables que lon peut rencontrer

dans la vie quotidienne.

Tableau 1.1 Quelques frquences remarquables.

Domaine Frquences Dnomination, application

gophysique 0,01 10 Hz ondes sismiques

acoustique < 20 Hz infrasons

de 20 20 000 Hz bande de frquences audibles

440 Hz diapason (LA), tonalit tlphonique

> 20 000 Hz ultrasons

horlogerie 32 768 Hz oscillation dun quartz de montre

9,192631770 GHz horloge atomique au csium

lectromagntisme 2 450 MHz four micro-ondes, wi

88 108 MHz radio FM

174 223 MHz radio numrique terrestre

470 860 MHz tlvision numrique terrestre

physique atomique 10

14

Hz vibration des atomes dans les solides

1.3 ESPACE, LONGUEUR DONDE

Aprs avoir dni des fonctions t-priodiques, on peut dnir des fonctions prio-

diques selon une ou plusieurs coordonnes de lespace. Dans un espace tridimension-

nel, chaque point est dni par trois coordonnes (x , y, z) dans un repre cartsien.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


La gure 1.2a montre une surface qui est priodique dans une direction, la direction

x . Il sagit dune forme ondule dont llvation h(x) est une fonction sinusodale :

h(x) = h

0

sin(2px/l). La fonction sinus est une fonction de priodicit 2p, ce qui

indique que sin(u + 2p) = sin u pour nimporte quel angle u. En appliquant cette

relation la forme ondule, on a

sin

2px

l

+ 2p

!

= sin

2p

l

(x + l)

!

= sin

2px

l

!

,

ce qui montre que la longueur l est la priode spatiale de la fonction h(x). Cette

quantit est appele longueur donde, cest--dire la longueur pour laquelle la fonc-

tion x-priodique retrouve sa valeur.

x

x

x

y

y

y

z

z

z

(a) (b)

(c)

Figure 1.2 Reprsentation de surfaces priodiques.

(a) surface x-priodique, (b) surface priodique dans les deux directions x

et y, (c) motif priodique selon les trois dimensions de lespace. Ce motif

est bas sur la rptition dune maille cubique (en bleu).

Dnitions

Une fonction est x-priodique de priode l si

f (x) = f (x + l)

quelle que soit la position x .

La longueur l est la longueur donde de la fonction f .

1.4 nergie 7

Le nombre donde k

x

est dni par :

k

x

=

2p

l

,

sa dimension est L

1

et son unit est le m

1

.

On peut dnir des fonctions qui sont multi-priodiques, cest--dire que la fonc-

tion est priodique pour plusieurs variables. La gure 1.2b montre une surface prio-

dique selon les deux directions x et y. Cest une fonction du type sin(k

x

x) sin(k

y

y)

avec deux nombres dondes k

x

et k

y

. Dans lexemple de la gure, les deux nombres

dondes sont gaux.

Ne pas confondre la longueur donde avec le nombre donde. La longueur

donde se mesure en m, tandis que le nombre donde se mesure en m

1

.

Comme une frquence, une longueur donde est un nombre positif. On va principa-

lement rencontrer les longueurs dondes les plus courtes dans le domaine de llec-

tromagntisme et de la physique des particules. Dans le tableau 1.2 sont indiques

quelques longueurs dondes remarquables.

Tableau 1.2 Quelques longueurs dondes remarquables.

Domaine Longueur donde Dnomination, application

lectromagntisme >10 cm ondes radio

1 300 mm infra-rouge

400 700 nm lumire visible

10 400 nm ultraviolet

acoustique 1,7 cm 17 m domaine audible

ondes de surface de 1 m 100 km vagues ocaniques

1.4 NERGIE

Lnergie dun systme physique est une quantit qui peut prendre plusieurs formes.

La dimension de lnergie est L

2

MT

2

, et lunit standard est le joule (J). En mca-

nique, lnergie totale se dcompose en une nergie cintique, lie au mouvement,

en une nergie potentielle, lie la prsence dune masse dans un champ de force, et

en un travail des diffrentes forces qui agissent sur le systme, par exemple une force

de frottement.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


Exemple : nergie cintique dune masse oscillante

Une masse m qui se dplace une vitesse v possde une nergie cintique

E

c

=

1

2

mv

2

. Si cette masse suit un mouvement priodique de la forme

x(t) = x

0

sin vt ,

sa vitesse est

v(t) =

x(t) = x

0

v cos vt ,

et son nergie cintique est

E

c

=

1

2

m

x

2

=

1

2

mx

2

0

v

2

cos

2

vt .

Dautres formes existent : lnergie lectrique, magntique, thermique, et des proces-

sus complexes font souvent intervenir de nombreux changes entre ces diffrentes

formes dnergie. La technologie prsente de nombreux dispositifs qui permettent de

convertir lnergie dune forme une autre. Un microphone assure la conversion de

lnergie mcanique acoustique en nergie lectrique. Cette conversion correspond

la traduction dun signal acoustique en un signal lectrique. Une fois ampli et

conditionn, ce signal peut tre envoy vers un dispositif metteur, une antenne, qui

va convertir lnergie lectrique en nergie lectromagntique transporte par une

onde radio. En inversant le processus, le signal lectromagntique est converti par un

rcepteur en signal lectrique qui son tour est converti en signal acoustique par un

dispositif haut-parleur. Cette chane de transformation des nergies est un exemple

dun systme de communication utilis pour la diffusion par radio hertzienne ou par

tlphonie, pour ne citer que des applications de la vie courante.

Dans les milieux continus, lnergie est rpartie dans un volume, espace trois

dimensions. Si la rpartition est homogne, on peut dnir une densit volumique

dnergie, mesure en Jm

3

. Cest le cas des ondes lectromagntiques dans le vide

qui transportent lnergie dans tout le volume disponible.

SYNTHSE

Savoirs

Une onde est la propagation de proche en proche dune oscillation, dune vibra-

tion ou dune information priodique.

La priode est lintervalle de temps ncessaire pour retrouver ltat initial.

La longueur donde est la distance entre deux valeurs identiques dune fonc-

tion dune variable spatiale.

La frquence n est linverse de la priode t ; le nombre donde est 2p/l.

Exercices 9

Savoir-faire

Convertir une priode en frquence et une longueur donde en nombre donde.

Connaissant la vitesse de propagation dune onde, relier la frquence la lon-

gueur donde.

Mots-cls

Frquence

Priode

Pulsation

Longueur donde

Nombre donde

Exercices

Tester ses connaissances

1 La quantit 2px/l a comme unit :

a. le mtre. b. le m

1

. c. sans unit.

2 Un nombre donde a comme unit :

a. le mtre. b. le m

1

. c. sans unit.

3 La vitesse de la lumire (vitesse de propagation des ondes lectromagntiques)

est proche de :

a. 300 000 kms

1

. b. 300 000 ms

1

. c. 300 000000 kmh

1

.

4 La pression est une force par unit de surface. Sa dimension est :

a. LT

1

. b. L

1

MT

2

. c. L

2

MT

1

.

Exercices dapplication

5

Donner la priode en secondes, la frquence en Hz et la pulsation en rad s

1

associes un rythme cardiaque de 80 battements par minute.

6

Un tambour de machine laver tourne 1 500 tours par minute. Dterminer la

priode, la frquence et la pulsation correspondantes.

7

Une voiture roule une vitesse v = 90 km h

1

. Un des pneus (diamtre

D = 62 cm) a un dfaut sous la forme dune petite bosse sur la bande de

roulement. Dterminer la frquence de vibration qui peut tre ressentie par le

conducteur.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


8

Donner les longueurs dondes associes aux frquences sonores 20 Hz (limite

basse de laudition), 440 Hz (diapason), 20 kHz (limite haute de laudition),

5 MHz (ultrasons).

9

Quelles sont les frquences associes aux couleurs dont les longueurs dondes

sont donnes ci-dessous :

Couleur Longueur donde l

bleu 470 nm

rouge 650 nm

jaune 580 nm

vert 530 nm

10

Quelles sont les longueurs donde associes aux ondes lectromagntiques de

frquences n = 100 MHz (radio en modulation de frquence) et n = 2 450 MHz

(chauffage par micro-onde) ?

Exercices dapprofondissement

11 La perception du relief sonore

r

a. Dterminer la diffrence de temps de propagation

entre une source sonore et les oreilles gauche et

droite dun auditeur. La distance entre les deux

oreilles est 2d = 20 cm. On placera un repre dont

lorigine est entre les oreilles et la source sonore

est repre par des coordonnes polaires (r , u).

b. Simplier lexpression obtenue en supposant que

la source est loigne de lauditeur : r d .

c. Calculer la diffrence de temps de parcours de

londe sonore pour une source place r = 10 m

et oriente u = 45

.

Corrigs

Tester ses connaissances

a. b. c.

1

2

3

4

Un nombre donde est calcul comme linverse dune longueur.

Exercices dapplication

5 Un rythme de 80 battements par minute correspond 1,33 battements par seconde. La

frquence est donc n = 1, 33 Hz et la priode t = 1/n = 0, 67 s. La pulsation est

2pn = 8, 37 rads

1

.

6 La rotation correspond 1 500/60 = 25 tours par seconde, la frquence est donc

n = 25 Hz, la priode t = 40 ms et la pulsation est v = 157 rads

1

.

7 Si on note n la frquence de rotation des roues, la vitesse est le produit de cette fr-

quence et de la distance parcourue pour un tour de roue, soit v = pDn. La frquence

est donc n = v/pD = 12, 8 Hz pour les donnes numriques proposes.

8 Les ondes sonores se propagent la vitesse de c = 340 m s

1

. La longueur donde

associe une frquence n est l = c/n, ce qui donne pour les frquences proposes :

17 m pour la frquence de 20 Hz, 77 cm pour la frquence de 440 Hz, 1,7 cm pour la

frquence de 20 kHz et 340 mm pour les ultrasons 1 MHz.

9 Les ondes lectromagntiques se dplacent la vitesse de la lumire c = 310

8

m/s. La

frquence associe une longueur donde est n = c/l ce qui donne pour les couleurs

proposes :

Couleur Longueur donde l (nm) Frquence (Hz)

bleu 470 6, 3810

14

rouge 650 4, 6210

14

jaune 580 5, 1710

14

vert 530 5, 6610

14

10 Avec la relation l = c/n et avec c = 3 10

8

m/s, la longueur donde associe une

frquence de 100 MHz est l = 3 m et la longueur donde gnre par un four micro-

ondes est l = 12 cm.

Corrigs 11

Exercices dapprofondissement

11 La perception du relief sonore

a. Le trac gomtrique de la conguration montre que la distance entre la source

est loreille gauche r

G

est plus courte que la distance entre la source et loreille

droite r

D

.

G

A

B

S

D

x

y

r

d d

d

La relation de Pythagore applique aux triangles rectangles AGS et BDS donne

r

2

G

= r

2

cos

2

u + (r sin u d)

2

et r

2

D

= r

2

cos

2

u + (r sin u + d)

2

, soit

r

G

= r

'

1

2d

r

sin u +

d

2

r

2

,

r

D

= r

'

1 +

2d

r

sin u +

d

2

r

2

,

et la diffrence de temps de vol de londe acoustique est

Dt =

r

D

r

G

c

.

b. Si on suppose que d/r 1, alors le terme quadratique d

2

/r

2

dans les

expressions de r

G

et r

D

peut tre nglig, et on peut galement dvelopper


&1 2d/r 1 d/R, ce qui donne pour la diffrence de temps :

Dt =

2d sin u

c

, pour d r .

On remarque que, par cette hypothse, la diffrence de temps est indpendante de

la distance r de la source.

c. Avec un angle u = 45

et une vitesse c = 340 ms

1

, on trouve une diffrence de

temps de 0,3 ms. Cette diffrence de temps de perception nest pas la seule informa-

tion utilise par le cerveau pour localiser une source sonore. Lattnuation ainsi que

le dphasage entre les deux signaux sont galement importants.

Corrigs 13

2Les oscillateurs

Plan Objectifs

Cours

2.1 Quest-ce quun

oscillateur ?

2.2 Quatre exemples

doscillateurs

2.3 Oscillateur harmonique

non amorti

2.4 Oscillateur amorti

2.5 Forage et rsonance

2.6 Couplage de deux

oscillateurs

2.7 Couplage linaire de N

oscillateurs

Synthse

Exercices

Corrigs

Dnir la notion doscillateur

Dterminer la frquence propre

dun oscillateur

Identier les phnomnes de

rsonance

Modliser lamortissement et la

dissipation dnergie

Cours

La propagation dune onde repose sur des oscillations ou vibrations locales. Loscil-

lation la plus simple est obtenue par la prsence de deux forces : une force motrice et

une force de rappel. partir des principes de base de la physique et de la mcanique,

il est possible de dcrire le mouvement dun oscillateur simple par deux quantits :

lamplitude doscillation et la frquence doscillation. Si en plus on prend en compte

la dissipation dnergie (frottement par exemple), on peut calculer comment loscil-

lation sattnue au cours du temps. Enn, quand loscillateur est en contact avec une

source dnergie, on peut modliser ladaptation de loscillateur cette source.

2.1 Quest-ce quun oscillateur ? 15

2.1 QUEST-CE QUUN OSCILLATEUR ?

Commenons par une vritable exprience de table. Sur le bord dune table, main-

tenez fermement lextrmit dune rgle (en plastique ou en mtal) avec le pouce.

Lautre extrmit est dans le vide. Appuyez sur lextrmit libre et relchez. La rgle

vibre en mettant un son caractristique d aux chocs rpts entre la rgle et la

table. En changeant la longueur de la rgle au-dessus du vide, on change la sonorit.

Exprience simple raliser mais complexe transcrire mathmatiquement : la rgle

oscille autour dune position de repos qui est trs proche de lhorizontale.

la suite de cet exemple, nous choisirons une dnition trs gnrale :

Dnition

Un oscillateur est un objet ou une quantit physique qui dcrit une variation

priodique autour dune position dquilibre.

Un systme physique en quilibre est un systme dont les caractristiques physiques

sont constantes dans le temps. Ces caractristiques peuvent tre la position, la vitesse,

la charge lectrique, etc.

Par exemple, une bille au fond dune cuvette est un systme en quilibre. Si on per-

turbe la bille en lui donnant un coup, elle va retourner au fond de la cuvette et retrou-

ver sa position dquilibre (gure 2.1). Au contraire, une bille immobile au sommet

g

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2.1 Les positions dquilibres (en bleu) peuvent tre stables (a, c) ou

instables (b, d). Dans ces exemples, cest la force de pesanteur qui est motrice.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit

16 Chap. 2. Les oscillateurs

dune colline ne retrouvera jamais sa position dquilibre si on lui donne une impul-

sion. Cet exemple montre la distinction entre un quilibre stable (la cuvette) et un

quilibre instable (la colline).

Un quilibre stable est donc dni par lexistence dune force de rappel qui ramne le

systme vers la conguration dquilibre. Dans le cas de la cuvette, la force de gravit

couple avec la forme incurve du sol impose un retour de la bille vers le fond.

Lexprience de la rgle montre quau bout dun certain temps, la vibration samortit

et la rgle redevient immobile : lnergie initiale fournie par la dformation de la

rgle sest dissipe au cours du mouvement.

Pour commencer ltude des oscillateurs, nous ne prenons pas en compte

ces pertes dnergie.

2.2 QUATRE EXEMPLES DOSCILLATEURS

Ces quatre exemples nexistent que dans un monde idal o les frottements, la fric-

tion et, plus gnralement, la dissipation dnergie nexistent pas. Lnergie initiale

du systme est donc indniment conserve, mme si cette nergie peut prendre

plusieurs formes. Malgr cette hypothse, il convient de se pencher avec beaucoup

dattention sur ces modles car ils sont la base de toute la physique des ondes et

des vibrations.

2.2.1 Systme masse-ressort

Le premier exemple doscillateur est un ressort attach un point xe une extrmit

et une masse libre son autre extrmit (gure 2.2). Comme tous les frottements

sont ngligs, la seule force le long de laxe Ox est la force de rappel du ressort

R = kx . La constante k est la raideur du ressort, dont la valeur se mesure en

Nm

1

. Plus cette valeur est leve, plus le ressort va rsister lallongement ou la

compression.

Lquation du mouvement masseaccleration = somme des forces scrit ici sim-

plement

m

d

2

x

dt

2

= R = kx (2.1)

ou encore

d

2

x

dt

2

+

k

m

x = 0. (2.2)

Le seul coefcient du second terme k/m a la dimension dun temps la puissance

2. En effet

k

m

=

M.T

2

M

= T

2

2.2 Quatre exemples doscillateurs 17

position

d'quilibre

la force de rappel

du ressort ramne

la masse vers la

position d'quilibre.

m

O

R

x

x

t

x(t)

(a) (b)

Figure 2.2 Oscillation dune masse lie un point xe par un ressort.

Ce coefcient est homogne une pulsation au carr et on choisit dcrire lquation

(2.2) sous la forme

d

2

x

dt

2

+ v

2

0

x = 0, avec v

0

=

'

k

m

. (2.3)

Ce systme vibrant est larchtype des oscillateurs. Cest pourquoi dans

la suite de ce chapitre, cest ce modle qui sera choisi comme exemple

lorsquune description physique sera ncessaire.

2.2.2 Pendule simple

Un pendule est constitu dune masse m au bout dune tige (ou corde) de longueur l.

La masse est soumise la gravit et la position dquilibre est la verticale sous le

point de xation. Ce point dquilibre est stable. Un autre point dquilibre, instable

celui-l, se trouve la verticale au-dessus du point de xation.

Quel que soit son mouvement, la masse se dplace sur un arc de cercle de rayon l

(gure 2.3). La coordonne curviligne qui permet de reprer la position de la masse

est lu o u est langle de la tige par rapport la verticale. En projection sur laxe

tangent la trajectoire, la loi de Newton scrit

ml

d

2

u

dt

2

= mg sin u, (2.4)

et aprs simplication

d

2

u

dt

2

+

g

l

sin u = 0. (2.5)

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


6

P = m6g

T

6

g

Figure 2.3 Dnition des paramtres pour le pendule simple.

Comme dans lexemple du systme masse-ressort, le seul coefcient de lquation,

g/l, est homogne au carr dune pulsation :

g

l

=

L.T

2

L

= T

2

,

et lquation du pendule scrit

d

2

u

dt

2

+ v

2

0

sin u = 0, avec v

0

=

'

g

l

. (2.6)

La projection de la force de pesanteur sur laxe donne un terme en sin u. Lquation

du pendule simple est donc non linaire. Si on limite le mouvement aux petites

oscillations (u 1), on peut utiliser un dveloppement de la fonction sinus en srie

de Taylor :

sin u = u

u

3

3!

+

u

5

5!

+ , u 1.

Encart 2.1 Dveloppement de fonctions en srie et linarisation

dquations

Toutes les fonctions peuvent tre dveloppes en polynme autour dun point,

sous rserve quelles soient drivables. Soit f (x) une fonction et x

0

un point

autour duquel on cherche un dveloppement, appel dveloppement de Taylor-

Young. Le dveloppement est

f (x)

xx

0

= f (x

0

) +

,

n = 1

1

n!

d

n

f

dx

n

!

(x

0

)(x x

0

)

n

(2.7)


Les fonctions circulaires ont comme dveloppement lordre au voisinage de

x = 0 :

sin u =

n

,

j = 0

(1)

j

(2 j + 1)!

u

2 j+1

,

cos u =

n

,

j = 0

(1)

j

(2 j )!

u

2 j

.

Grce au dveloppement (2.7), une quation non linaire (par exemple lqua-

tion du pendule 2.6) peut tre linarise autour dun point particulier. Une

quation est dite linaire pour une variable ou une fonction x si toute combi-

naison linaire de deux solutions x

1

et x

2

indpendantes forme une solution.

En ne gardant que le premier terme de ce dveloppement, on fait lapproximation

sin u u, et lquation du mouvement est alors rendue linaire, mais restreinte aux

petites oscillations :

d

2

u

dt

2

+ v

2

0

u = 0. (2.8)

Lhypothse dune petite oscillation est dans la pratique difcile formu-

ler, car cela dpend de la prcision choisie. Si on accepte une erreur dun

pour-cent dans le dveloppement sin u u, cela correspond un angle

u < 0, 25 rad, soit un maximum de 14 degrs.

Encart 2.2 Mesure du temps

La frquence dun pendule pesant ne dpend que de sa longueur. Ainsi, un pen-

dule dune exacte longueur de 9, 81/p

2

= 99,4 cm oscille avec une priode

de deux secondes. Comme le pendule passe deux fois par priode au point

dquilibre, on peut dnir la seconde comme lintervalle de temps entre deux

passages successifs au point dquilibre dun pendule de cette longueur.

2.2.3 Oscillateur lectronique

Loscillateur lectronique le plus simple est compos de deux diples : une induc-

tance idale et un condensateur (gure 2.4). Cet oscillateur est idal car il ny a pas

de perte. Dans la ralit, la rsistance des conducteurs et des contacts induit une

perte dnergie sous forme de chaleur (leffet Joule). Une modlisation plus raliste

comporte une rsistance en srie R.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


L

I

C

Figure 2.4 Loscillateur lectronique le plus simple.

Il est compos dune inductance (self) L et dun condensateur de capa-

cit C.

Si on note I lintensit du courant dans le circuit et q la charge du condensateur, la

diffrence de potentiel aux bornes de linductance est Ld I/dt et celle aux bornes du

condensateur est q/C . Dautre part, lintensit est relie la charge par I = dq/dt .

La loi des mailles applique ce circuit donne donc

L

d

2

q

dt

2

+

q

C

= 0, (2.9)

ou encore

d

2

q

dt

2

+

1

LC

q = 0. (2.10)

Encore une fois, la constante 1/LC est homogne linverse dun temps au carr, et

on crit lquation pour la charge instantane :

d

2

q

dt

2

+ v

2

0

q = 0, avec v

0

=

1

LC

. (2.11)

Encart 2.3 Oscillateurs lectroniques

Ce principe est prsent dans tous les oscillateurs lectroniques, de haute ou

basse frquence. De nombreux oscillateurs ont t invents dans le premier

quart du XX

e

sicle lors du dveloppement des communications par radio. Les

oscillateurs sont utiliss pour slectionner une frquence particulire et mettre

ainsi en communication deux appareils distants.

Dans les annes 1960, les oscillateurs ont t utiliss pour la synthse sonore

avec la mise en uvre des premiers synthtiseurs analogiques, les oscillateurs

de plus basse frquence (low frequency oscillator, LFO) tant utiliss pour

moduler la frquence ou la phase dun signal cr par un oscillateur de fr-

quence audible (typiquement on considre que loreille humaine est sensible

aux vibrations acoustiques entre 20 et 20 000 Hz).


2.2.4 Modle harmonique de la liaison atomique

Une liaison atomique est la mise en commun dun ou plusieurs lectrons par deux

atomes. Deux atomes ainsi lis forment une molcule. Linteraction entre ces deux

atomes est reprsente par un potentiel qui dpend de la distance r sparant les

centres (noyaux) des deux atomes (gure 2.5).

V(r)

r

r

e

O

H H

k

m

H

m

H

(a) (b)

Figure 2.5

(a) Modle mcanique dune liaison atomique simple : les deux atomes

(par exemple deux atomes dhydrogne) sont modliss par deux masses

relies par une liaison lastique, un ressort. (b) Reprsentation du poten-

tiel dinteraction V entre les deux atomes (trait continu), et son approxi-

mation parabolique (trait pointill).

Le potentiel est en gnral une fonction complique mais il peut se dcomposer en

deux parties :

une partie attractive longue porte (r > r

e

) ;

une partie fortement rpulsive courte porte (r < r

e

).

Pour une distance dquilibre r = r

e

le potentiel passe par un minimum. La force

dinteraction F entre les deux atomes drive du potentiel et passe donc par zro

cette distance particulire :

F (r

e

) =

dV

dr

!

r = r

e

= 0.

Si la distance entre les atomes varie peu par rapport la valeur dquilibre r

e

, on peut

dvelopper le potentiel sous la forme

V (r r

e

) = V (r

e

) +

,

n = 1

1

n!

d

n

V

dx

n

!

r = r

e

(r r

e

)

n

.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


Comme le potentiel admet un minimum, la drive premire du potentiel est nulle et

les deux premiers termes du dveloppement sont

V (r r

e

) V (r

e

) +

1

2

d

2

V

dx

2

!

r = r

e

(r r

e

)

2

+

et le potentiel approch est de forme parabolique (gure 2.5b). Avec cette approxi-

mation, la force de liaison est

F =

d

2

V

dx

2

!

r = r

e

(r r

e

) + ,

qui est de la mme forme que la force de rappel du ressort prsent plus haut ( 2.2.1).

Lanalogie montre que la raideur du ressort est quivalente la drive seconde du

potentiel valu la distance dquilibre.

Exemple : la molcule H

2

Le modle mcanique de cette molcule est compos de deux masses identiques

m

H

relies par un ressort de raideur k. Notons x

1

et x

2

les carts de chaque masse

par rapport leurs positions dquilibre respectives. Les quations du mouvement

des atomes sont

m

H

d

2

x

1

dt

2

= k(x

1

x

2

), (2.12)

m

H

d

2

x

2

dt

2

= +k(x

1

x

2

). (2.13)

Dans ce systme, cest lcart de position entre les masses qui produit la force,

cest donc la seule variable x

12

= x

1

x

2

qui est pertinente. La diffrence des deux

quations ci-dessus produit

m

H

d

2

(x

1

x

2

)

dt

2

= 2k(x

1

x

2

), (2.14)

ou encore

d

2

x

12

dt

2

+ v

0

x

12

= 0, (2.15)

avec

v

0

=

'

2k

m

H

=

%

2

m

H

d

2

V

dr

2

!

r = r

e

.

Le facteur 2 dans cette quation vient de la prsence de deux masses identiques. Le

systme est un systme masse-ressort avec une masse rduite m

H

/2. Dans le cas

o les masses sont diffrentes (m

1

et m

2

), la masse rduite est m

1

m

2

/(m

1

+ m

2

).

2.3 Oscillateur harmonique non amorti 23

Encart 2.4 Spectroscopie infrarouge

Ce modle simple est largement utilis en spectroscopie infrarouge (IR). Un

spectromtre est un appareil qui compare les spectres lectromagntiques avant

et aprs la traverse dun chantillon. La diffrence des spectres montre les

bandes des frquences absorbes par lchantillonde matire analyser.Ces fr-

quences sont relies aux diffrentes liaisons atomiques prsentes. Chaque liai-

son est rpertorie par une frquence propre et on peut lui associer une constante

de raideur k selon le modle mcanique. Quelques exemples de constantes de

raideur et de frquences propres n

0

= v

0

/2p sont donns ci-dessous :

Liaison k(Nm

1

) n

0

(10

13

Hz)

H-Cl 480 8,66

H-F 970 8,72

H-Br 410 7,68

H-I 320 6,69

C-O 1 860 6,42

N-O 1 530 6,63

2.3 OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI

Les quatre exemples prcdents aboutissent tous une quation de la mme forme.

On peut donc crire une quation gnrale pour lamplitude de loscillateur A(t).

Cette amplitude peut tre la position de la masse, lcart du pendule avec la verticale,

etc. Cette quation est :

d

2

A

dt

2

+ v

2

0

A = 0. (2.16)

Lquation (2.16) est une quation diffrentielle ordinaire du deuxime ordre. La

dtermination complte de la solution ncessite donc la connaissance de deux condi-

tions initiales sur lamplitude et la vitesse de loscillateur t = 0. Posons :

lamplitude initiale A

0

= A(t = 0) ;

la vitesse initiale

A

0

= d A/dt(t = 0).

2.3.1 Solution gnrale

Pour rsoudre lquation (2.16), on doit chercher une fonction A(t) telle que sa dri-

ve seconde soit gale v

2

0

A. Sans hypothse particulire, la solution gnrale de

(2.16) scrit sous la forme dexponentielles complexes :

A(t) = A

1

e

iv

0

t

+ A

2

e

iv

0

t

,

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


o les constantes A

1

et A

2

sont dtermines par les conditions initiales (t = 0) :

A

1

=

1

2

A

0

i

A

0

v

0

,

A

2

=

1

2

A

0

+ i

A

0

v

0

.

Finalement, aprs rarrangement, la solution gnrale est

A(t) = A

0

cos v

0

t +

A

0

v

0

sin v

0

t . (2.17)

Cette solution peut galement scrire sous la forme dune seule fonction circulaire,

mais avec une phase initiale f

0

:

A(t) = A

1

cos(v

0

t + f

0

). (2.18)

Graphiquement, lamplitude dcrit une sinusode de priode 2p/v

0

(gure 2.6a) et

la vitesse montre la mme forme, mais avec un dcalage temporel (un dphasage)

de t/2 (gure 2.6b). Une autre faon de reprsenter graphiquement lvolution de

loscillateur consiste tracer la vitesse

A en fonction de lamplitude A : cest le

portrait de phase (gure 2.6c). La proprit principale de ce trac est de montrer

A(t)

A(t)

A(t)

A(t)

t

t

t = 0

t =

4

t =

3

4

t =

2

2 3

2 3

A

0

(a)

(b) (c)

Figure 2.6

Au cours du temps, lamplitude (a) dun oscillateur non amorti dcrit une

courbe sinusodale, de mme que sa vitesse (b). Ces deux courbes sont

dcales dune demi-priode t/2, ce qui correspond un dphasage de

p. Si on trace la vitesse

A(t) en fonction de lamplitude A(t), le portrait

de phase est une courbe ferme (c). Les conditions initiales sont une

amplitude non nulle A

0

= 0 et une vitesse nulle

A

0

= 0.

2.3 Oscillateur harmonique non amorti 25

une forme ferme : le systme retrouve son tat aprs chaque intervalle de temps gal

la priode t.

Lquation (2.16) a t obtenue pour des systmes idaux, en labsence de dissipation

dnergie. La courbe ferme du portrait de phase montre non seulement la priodicit

de loscillateur, mais galement la conservation de lnergie totale du systme.

2.3.2 Conservation de lnergie totale

Une nergie a comme dimensionML

2

T

2

et lunit SI associ est le joule (J). Pour

construire une nergie partir de lquation (2.16), il est plus ais de revenir un

modle mcanique, par exemple le systme masse-ressort. Lamplitude A dsigne

donc lallongement du ressort x par rapport sa position dquilibre.

Lquation (2.16) met en relation lamplitude A et laccleration d

2

A/dt

2

. On peut

faire apparatre la vitesse

A en crivant :

d

A

dt

+ v

2

0

A = 0.

En multipliant par m

A, on a :

m

A

d

A

dt

+ mv

2

0

AA = 0,

puis en intgrant une fois par rapport au temps, on obtient :

1

2

m

A

2

+

1

2

mv

2

0

A

2

= E , (2.19)

o E est une constante, lnergie totale du systme.

En rintroduisant la masse m et la raideur k, et en posant A = x et v = dx/dt on a :

1

2

mv

2

+

1

2

kx

2

= E

c

+ E

p

= E . (2.20)

soit la somme de lnergie cintique et de lnergie potentielle crites sous une forme

traditionnelle.

Au cours du mouvement oscillatoire, lnergie effectue un va-et-vient : en sloi-

gnant de la position dquilibre stable, le systme ralentit jusqu larrt complet

avec une nergie potentielle maximum. Au contraire, au passage au point dqui-

libre, la vitesse donc lnergie cintique est maximale et lnergie potentielle

est nulle.

La solution tant priodique de priode t, on peut calculer la moyenne temporelle de

lnergie :

E

t

=

1

t

t

0

1

2

m

A

2

dt +

1

t

t

0

1

2

mv

2

0

A

2

dt ,

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


ce qui donne

E

t

=

1

4

m(v

2

0

A

2

0

+

A

2

0

) +

1

4

m(v

2

0

A

2

0

+

A

2

0

).

On constate donc que, sur une priode, lnergie cintique moyenne est gale lner-

gie potentielle moyenne.

2.4 OSCILLATEUR AMORTI

Dans les systmes rels, il y a change dnergie entre loscillateur et lenvironne-

ment extrieur : soit loscillateur transmet de lnergie donc il en perd soit il

en absorbe. On peut imaginer de nombreuses sources de frottement, ainsi que dif-

frents modes de dissipation dnergie. Dans la suite de ce chapitre, nous discutons

uniquement du frottement de type visqueux o la force est proportionnelle la

vitesse.

Encart 2.5 Le frottement visqueux

Un objet solide qui se dplace dans un milieu uide (gaz ou liquide) subit une

force de frottement de direction oppose la vitesse. La force de frottement

est dautant plus forte que la viscosit du milieu est grande. Lexpression de la

force de frottement dpend de la gomtrie de lcoulement autour de lobjet

considr et cet coulement est caractris par un nombre sans dimension

appel nombre de Reynolds :

Re =

r

f

U L

h

f

,

o r

f

et h

f

sont la masse volumique et la viscosit dynamique du uide, U

est la vitesse caractristique relative entre le solide et le uide, et L la taille

caractristique de lobjet solide. Quand le nombre de Reynolds est petit devant

1 (Re 1), la force de frottement est proportionnelle la vitesse de lobjet

6

U et la taille de lobjet :

6

F

f

= Ch

f

L

6

U .

Par exemple, pour une sphre de rayon a se dplaant une vitesse

6

U dans un

uide au repos, G. G. Stokes (18191903) a montr que la force de frottement

est

6

F

f

= 6ph

f

a

6

U .

2.4 Oscillateur amorti 27

Pour rendre compte de ce frottement, on ajoute un terme proportionnel la vitesse

A

dans lquation damplitude (2.16) :

d

2

A

dt

2

+ g

d A

dt

+ v

2

0

A = 0 (2.21)

o g est une constante damortissement qui a la dimension de linverse dun temps

([g] = T

1

).

La solution gnrale dune telle quation diffrentielle est du type A = e

ut

, ce qui

donne une quation caractristique du second degr u

2

+gu +v

2

0

= 0 dont les racines

sont

u

1,2

=

1

2

g

$

g

2

4v

2

0

!

=

g

2

a avec a =

1

2

$

g

2

4v

2

0

.

La solution de (2.21) est donc de la forme

A(t) = e

gt/2

A

1

e

at

+ A

2

e

at

et les conditions initiales (A

0

,

A

0

) permettent de dterminer les constantes A

1

et A

2

,

pour obtenir nalement la solution gnrale de (2.21) :

A(t) =

e

gt/2

2a

aA

0

e

at

+ e

at

+

g

2

A

0

+

A

0

e

at

e

at

. (2.22)

Selon la nature de a (imaginaire, nul ou rel), on peut distinguer trois rgimes dcrits

ci-dessous.

2.4.1 Rgime oscillant

Si (g

2

4v

2

0

) < 0, alors a est un imaginaire pur, que lon crit sous la forme a = iv

1

avec

v

1

= v

0

%

1

g

2

4v

2

0

. (2.23)

Dans ce cas, la solution (2.22) devient

A(t) = e

gt/2

A

0

cos v

1

t +

1

v

1

g

2

A

0

+

A

0

sin v

1

t

(2.24)

et lamplitude dcrit une oscillation de pulsation v

1

avec une enveloppe exponentiel-

lement dcroissante. Ce rgime est appel pseudo-priodique car il ne satisfait pas

la dnition de la priodicit vue au chapitre 1. La gure 2.7 montre lamplitude

(a), la vitesse (b) et le portrait de phase (c) pour un exemple damortissement faible.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


(c)

(a)

(b)

t

t

A(t)

A(t)

A(t)

A(t)

t =

1

4

t =

1

2

t =

3

1

4

Figure 2.7

Au cours du temps, lamplitude dun oscillateur non amorti dcrit une

courbe sinusodale (en haut gauche) dont lamplitude est module par

une fonction exponentielle dcroissante (pointille), de mme que sa

vitesse (en bas gauche). Ces deux courbes sont dcales dune demi

priode t

1

/2, ce qui correspond un dphasage de p . Si on trace la

vitesse

A en fonction de lamplitude A, le portrait de phase est une courbe

spirale (droite). Les conditions initiales sont une amplitude non nulle

A

0

= 0 et une vitesse nulle

A

0

= 0.

Lamortissement introduit une diffrence importante par rapport au cas de loscilla-

teur idal car il modie sa pulsation. Lexpression (2.23) montre que la pulsation

v

1

est plus petite que la pulsation v

0

de loscillateur idal. En faisant augmenter le

facteur damortissement jusqu une valeur critique 4v

0

, la pulsation v

1

tend vers

0, et lamortissement supprime totalement les oscillations. On parle alors de rgime

critique pour g = 4v

0

et de rgime apriodique pour g > 4v

0

. Ces rgimes sont

abords dans les exercices 12 et 13 de ce chapitre.

2.4.2 Dissipation dnergie

On peut appliquer lquation (2.21) le mme traitement quau 2.3.2, savoir une

multiplication par

A et une intgration par rapport au temps, ce qui donne

1

2

A

2

+

1

2

v

2

0

A

2

= g

A

2

dt .

Lnergie du systme est maintenant une fonction du temps :

E(t) = g

A

2

dt ,

2.5 Forage et rsonance 29

et son volution dpend du signe de g. Dans les cas ralistes o g est positif, lnergie

dcrot vers 0 avec le taux de dcroissance

dE

dt

= g

A

2

.

Lamortissement dun oscillateur est caractris par un nombre sans dimension

appel le facteur de qualit.

Dnition

Le facteur de qualit est calcul par

Q =

v

0

g

. (2.25)

En rgime oscillant, lenveloppe de lamplitude de loscillateur dcrot exponentiel-

lement avec le temps, et le temps ncessaire pour diminuer lamplitude dun facteur

e 2, 7 est Qt/p, avec t la priode. Q/p est donc le nombre doscillations nces-

saires pour que lenveloppe diminue dun facteur e.

Exemple 1 : oscillateur quartz

Les oscillateurs quartz utiliss pour les horloges lectroniques ont un facteur de

qualit de lordre de 10

6

.

Exemple 2 : amortisseur de voiture

Un amortisseur de voiture doit au contraire amortir trs rapidement lnergie appor-

te par une irrgularit de la route, et son facteur de qualit doit tre lgrement

suprieur 1.

2.5 FORAGE ET RSONANCE

2.5.1 quation damplitude de loscillateur forc

Quand le systme est soumis une force extrieure variable, lquation damplitude

devient

d

2

A

dt

2

+ g

d A

dt

+ v

2

0

A = F (t),

o F (t) est une fonction de forage. Cest une quation linaire inhomogne car

elle contient un terme source F (t) qui ne dpend pas de A. Grce la linarit, on

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


peut toujours dcomposer la fonction F (t) en une srie de Fourier et ne travailler

quavec un seul mode de pulsation v (cet aspect est dvelopp dans le chapitre sui-

vant). Lquation rsoudre devient donc

d

2

A

dt

2

+ g

d A

dt

+ v

2

0

A = A

F

cos(vt). (2.26)

avec une constante damplitude de forage A

F

. La solution complte de cette qua-

tion comprend deux termes :

la solution gnrale de lquation sans second membre, solution obtenue dans la

section prcdente. Cette solution est un mouvement amorti avec une amplitude

qui tend vers 0 pour t . Cest un transitoire ;

une solution particulire relie au rgime permanent, une fois le transitoire com-

pltement amorti.

La solution particulire devra reter plus ou moins dlement le forage qui lui

fournit lnergie. On choisit donc comme solution gnrale une fonction

A(t) = A

1

cos(vt + f),

o A

1

est une constante inconnue et f un dphasage dterminer. En injectant cette

solution dans (2.26), on obtient la relation

(v

2

0

v

2

) cos(vt + f) vg sin(vt + f) =

A

F

A

1

cos(vt).

Pour dterminer A

1

et f partir dune seule quation, on choisit dabord un instant

t

tel que vt

+ f = 0, ce qui donne

(v

2

0

v

2

) =

A

F

A

1

cos f,

puis un instant t

tel que vt

+ f = p/2, ce qui donne

vg =

A

F

A

1

sin f.

Avec ces deux dernires galits, on peut dterminer lamplitude A

1

et le dpha-

sage f :

A

1

A

F

=

1

$

(v

2

0

v

2

)

2

+ v

2

g

2

tan f =

vg

v

2

0

v

2

.

(2.27)

(2.28)

2.5 Forage et rsonance 31

2.5.2 Rsonance

Trace sur la gure 2.8a, lexpression (2.27) de lamplitude de loscillateur amorti et

forc prsente un maximum pour une pulsation

v

R

=

'

v

2

0

g

2

2

= v

0

%

1

1

2Q

2

. (2.29)

Cette pulsation est la pulsation de rsonance entre loscillateur et le forage. Le

maximum de la fonction A

1

(v) augmente quand lamortissement diminue, et la

courbe prsente une divergence v = v

0

pour g = 0. Le dphasage f (gure 2.8b)

0

2

4

6

8

10

0

0

0

A

1

A

F (a)

(b)

= 1

= 1

Figure 2.8 Amplitude et dphasage f de loscillateur harmonique forc,

avec et sans amortissement.

(a) amplitude A

1

/A

F

en fonction de la pulsation ; (b) dphasage f en

fonction de la pulsation.

est toujours ngatif car loscillateur est toujours en retard par rapport au forage. Ce

dphasage passe par la valeur p/2 pour la pulsation propre v

0

.

La gure 2.9 montre un exemple dvolution temporelle dun oscillateur amorti et

forc une frquence diffrente de sa frquence propre. Aprs un transitoire, lam-

plitude A(t) (a) est une fonction circulaire de pulsation v

1

, et le portrait de phase (b)

est une cyclode complique qui converge vers un cycle limite impos par le forage,

une fois le transitoire teint.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


t

A(t)

A(t)

A(t)

(a) (b)

rgime permanent

rgime transitoire

Figure 2.9 Oscillateur amorti for.

Aprs un transitoire, loscillateur adopte la frquence du forage en rgime

permanent, avec une amplitude et une phase dnies par les relations

(2.27) et (2.28).

Encart 2.6 La chute du pont de Tacoma Narrows

Le pont de Tacoma est un exemple clbre doscillateur forc qui entre en rso-

nance. Construit dans ltat de Washington, il est ouvert la circulation le 1

er

juillet 1940. Le 7 novembre de la mme anne, par des conditions mtrolo-

giques qui nont rien dexceptionnelles (un vent constant de 65 km/h), le tablier

du pont se met osciller en se tordant puis se brise. Il ny a pas eu de victimes.

Soumis un vent de travers qui longe la rivire, le pont a cr un sillage de

tourbillons, phnomne de mcanique des uides connu sous le nom de tour-

billons de Bnard-Von Karman. Les tourbillons se dcrochent du pont inter-

valle rgulier, crant une dpression locale priodique. Comme la frquence de

dcrochement des tourbillons tait proche de la frquence naturelle doscilla-

tion du pont (v v

0

), il est entr en rsonance, jusqu ce que les amplitudes

de balancement, et donc les contraintes mcaniques, soient trop fortes.

Encart 2.7 Physiopathologie des vibrations

Lorsquun corps humain est soumis des vibrations, mouvements mcaniques

priodiques, il peut y avoir des effets pathologiques. La complexit du corps

humain incite une modlisation simplie. Les mdecins et ergonomes qui sin-

tressent ces effets utilisent des modles simples o le corps est assimil un

ensemble de masses lies entre elles par des liaisons lastiques qui jouent aussi le

rle damortisseurs (les ligaments, les muscles, les disques intervertbraux).

2.6 Couplage de deux oscillateurs 33

En dessous de 2 Hz, le corps soumis une vibration se comporte comme une

masse unique. Pour des frquences plus leves, certaines parties du corps

peuvent entrer en rsonance avec la vibration extrieure. Quelques exemples

sont donns dans le tableau ci-dessous. Il faut galement noter que les vibra-

tions sont en gnral perceptibles au-dessus dune acclration de 0,01 ms

2

.

Partie du corps Gamme de frquence (Hz)

thorax 3 7

cur 4 8

bassin 4 9

tte 20 30

globes oculaires 60 90

Une exposition prolonge des vibrations (par exemple pour un conducteur

dengin de chantier, un marin) peut provoquer des troubles visuels, des

troubles cardiaques, pulmonaires ou osto-articulaires.

2.6 COUPLAGE DE DEUX OSCILLATEURS

2.6.1 Formulation gnrale

Un exemple mcanique de deux oscillateurs coupls est prsent sur la gure 2.10 :

un oscillateur compos dune masse m

1

et dun ressort de raideur k

1

est reli un

oscillateur compos dune masse m

2

et dun ressort de raideur k

2

par lintermdiaire

dun ressort de couplage de raideur k

c

. Chaque masse subit les forces de rappel de

deux ressorts. On crit les quations de mouvement

m

1

x

1

= k

1

x

1

+ k

c

(x

2

x

1

)

m

2

x

2

= k

2

x

2

k

c

(x

2

x

1

)

(2.30)

que lon met sous la forme

x

1

= v

2

01

x

1

+ v

2

c1

(x

2

x

1

)

x

2

= v

2

02

x

2

v

c2

(x

2

x

1

)

(2.31)

avec les dnitions suivantes :

v

2

01

=

k

1

m

1

, v

2

02

=

k

2

m

2

, v

2

c1

=

k

c

m

1

, v

2

c2

=

k

c

m

2

.

Les pulsations des deux oscillateurs coupls sont inconnues, mais on peut supposer

que les oscillations sont monochromatiques. On choisit donc comme solutions des

fonctions

x

1

(t) = X

1

cos(vt + f

1

) et x

2

(t) = X

2

cos(vt + f

2

).

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


k

c

x

1

x

2

(a)

(b)

(c)

m

1

m

2

k

2

k

1

m

1

m

2

k

2

k

1

Figure 2.10 Couplage de deux oscillateurs mcaniques par une liaison lastique.

(a) oscillateurs isols, (b) oscillateurs coupls en position dquilibre,

(c) oscillateurs coupls hors position dquilibre. Les variables x

1

et x

2

sont les carts des positions des masses par rapport leurs positions

dquilibre.

o X

1

et X

2

sont des constantes damplitude. Les acclrations se calculent facile-

ment :

x

1

= v

2

X

1

cos(vt + f

1

) = v

2

x

1

,

x

2

= v

2

X

2

cos(vt + f

2

) = v

2

x

2

,

et le systme (2.31) devient un systme de deux quations pour les positions x

1

et

x

2

:

(v

2

v

2

01

v

2

c1

)x

1

+ v

2

c1

x

2

= 0,

v

2

c2

x

1

+ (v

2

v

2

02

v

2

c2

)x

2

= 0.

(2.32)

Ce systme peut scrire avantageusement sous forme matricielle

v

2

v

2

01

v

2

c1

v

2

c1

v

2

c2

v

2

v

2

02

v

2

c2

!

x

1

x

2

!

= 0, (2.33)

et admet une solution non nulle (x

1,2

= 0) si le dterminant de la matrice est nul,

cest--dire :

v

2

(v

2

01

+ v

2

c1

)

v

2

(v

2

02

+ v

2

c2

)

v

2

c1

v

2

c2

= 0. (2.34)

Cette dernire quation est un polynme dordre 4, mais ne comporte que des

puissances paires. En posant V = v

2

, on obtient une quation du second degr

AV

2

+ BV + C = 0, avec

A = 1,

B = (v

2

01

+ v

2

02

+ v

2

c1

+ v

2

c2

),

C = v

2

01

v

2

02

+ v

2

01

v

2

c2

+ v

2

02

v

2

c1

.


Comme une pulsation est un nombre positif, seules deux racines de la relation (2.34)

sont physiquement pertinentes :

v

=

'

1

2

(B

&

B

2

4C) et v

+

=

'

1

2

(B +

&

B

2

4C). (2.35)

Lintensit du couplage est caractrise directement par la raideur du ressort k

c

. Pour

interprter leffet du couplage sur les pulsations v

et v

+

, on introduit une pulsation

de couplage v

c

telle que

v

2

c

= v

2

c1

+ v

2

c2

= k

c

1

m

1

+

1

m

2

!

.

La gure 2.11 montre comment la pulsation de couplage v

c

inue sur les pulsations

v

et v

+

. Dans la limite dun couplage trs faible (k

c

0), les deux pulsations du

systme coupl sont simplement les deux pulsations des oscillateurs isols. Dans la

limite dun fort couplage (k

c

), la liaison entre les deux oscillateurs se com-

porte comme une liaison trs rigide. La pulsation v

correspond la pulsation dun

oscillateur simple de masse m

1

+ m

2

et de raideur k

1

+ k

2

:

lim

v

c

(v

) =

'

k

1

+ k

2

m

1

+ m

2

+

01

02

c

lim

c

(

+

) =

c

lim

c

(

) =

k

1

+ k

2

m

1

+ m

2

mode antisymtrique ( )

mode symtrique ( )

Figure 2.11 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propres de

deux oscillateurs coupls.

Pour cette pulsation, les deux masses se dplacent en phase, et on dnit ce mode

doscillation comme le mode symtrique (gure 2.12a). Comme le couplage entre

les deux oscillateurs est trs fort, les raideurs des ressorts k

1

et k

2

sont ngligeables

devant k

c

. Tout se passe comme si les deux masses ntaient relies que par le ressort

de couplage. Dans ce cas, la pulsation de vibration est dtermine par la raideur k

c

et

par la masse rduite du systme. On a donc

lim

v

c

(v

+

) =

%

k

c

1

m

1

+

1

m

2

!

= v

c

.

D

unod

L

aphotocopie

non

autorise

est

un

dlit


Cette pulsation correspond un mode de vibration o les masses sont en opposition

de phase. On dnit ce mode comme le mode antisymtrique (gure 2.12b).

(a) (b)

t

+


mode symtrique ( )

Figure 2.12 Modes de vibrations de deux oscillateurs coupls.

(a) mode symtrique de pulsation v

o les deux oscillateurs vibrent en

phase, et (b) mode antisymtrique de pulsation v

+

o les oscillateurs

sont en opposition de phase.

Le couplage de deux oscillateurs donne deux modes de vibration possibles. Puisque

le systme est linaire, on peut superposer linairement ces deux solutions indpen-

dantes et la forme gnrale de la solution est donc

x

1

(t) = X

cos(v

t + f

) + X

+

cos(v

+

t + f

+

), (2.36)

x

2

(t) = X

cos(v

t + f

) X

+

cos(v

+

t + f

+

). (2.37)

Les quatre constantes X

, X

+

, f

et f

+

sont dtermines partir des conditions

initiales du systme, savoir les positions et vitesses initiales des deux oscillateurs.

Encart 2.8 La sparation des frquences

On peut montrer que lcart entre les pulsations propres dun systme coupl

est plus grand que lcart entre les pulsations des oscillateurs isols :

|v

+

v

| |v

02

v

01

|.

La sparation des frquences ou des pulsations est dautant plus grande que

lintensit du couplage est importante. Dans lexemple des masses et des res-

sorts, la raideur du ressort de couplage vient sajouter aux raideurs des ressorts

isols, ce qui produit une augmentation des frquences du systme.


2.6.2 Couplage de deux oscillateurs identiques

Quand les deux oscillateurs sont identiques (m

1

= m

2

= m et k

1

= k

2

= k), ils ont

la mme pulsation propre

v

01

= v

02

= v

0

=

'

k

m

,

et la pulsation de couplage est v

c

=

&

2k

c

/m. Daprs les rsultats tablis la

section prcdente, les deux pulsations propres de vibration du systme coupls sont

maintenant

v

= v

0

, (2.38)

v

+

=

$

v

2

0

+ 2v

2

c

. (2.39)

La pulsation du mode symtrique est indpendante de lintensit du couplage. Si le

couplage est fort, la pulsation du mode antisymtrique tend vers une limite

lim

v

c

(v

+

) =

'

2k

c

m

= v

c

.

La gure 2.13 illustre lvolution des pulsations propres v

et v

+

en fonction de la

pulsation de couplage.

+

c

lim

c

(

+

) =

c


mode symtrique ( )

0

Figure 2.13 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propres

de deux oscillateurs coupls identiques.

2.6.3 Phnomne de battements

Dans le cas dun faible couplage, cest--dire v

c

v

0

, les deux frquences v

et

v

+

sont trs proches. La superposition des deux modes va produire un phnomne

de battements. En effet la solution gnrale est la somme de deux fonctions cosinus

avec arguments proches. En utilisant la relation

cos u

1

+ cos u

2

= 2 cos

u

1

+ u

2

2

!

cos

u

1

u

2

2

!

,

D

unod

L

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