Électromagnétisme 2015 - 2016profge2.iut-cachan.u-psud.fr/physic/ElectroMagn-CM.pdfIUT Cachan –...

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GEII2 - 1º année / S2

2013/2014

PHYSIQUE

Électromagnétisme

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2015 - 2016

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IUT Cachan – S2 Page 1 Cours Électromagnétisme A. CHARBONNIERAS / S. DUGARD

1- Champ électrique

La petite histoire de l’électrostatique commence en Grèce, en 600 avant JC.

Avec un certain Thalès…

Il observe les premiers phénomènes d'électricité statique : un morceau

d'ambre jaune frotté à sec est capable d'attirer des corps légers tels que la

poussière ou des brins de paille. Il interprète ce phénomène en attribuant

une âme à l’ambre jaune. Cette mystérieuse propriété est donc appelée

"électricité" puisque cette résine fossilisée se dit "àlektron" en grec.

Une explication plus rationnelle viendra beaucoup plus tard avec les théories des savants du

XVIIIe siècle et l’établissement des premières lois de l’électrostatique.

1 La charge électrique

L’électrostatique est, en physique, l’étude des phénomènes liés à l’électrisation de corps

immobiles (ou en mouvement assez lent non accéléré) dans le référentiel lié à l’observateur.

En d’autres termes, le mouvement des corps ou des charges ponctuelles est caractérisé à

chaque instant par un état d’équilibre total (Forces/corps = 0).

Remarque : on parle ici d'électricité statique par opposition au courant électrique, qui est un

déplacement de charges électriques.

Reprenons l’expérience de Thalès et frottons un bâton d’ébonite avec un tissu sec. Nous

constatons qu’en l’approchant de petits morceaux de papier, ceux-ci sont attirés.

Nous allons essayer dans un premier temps de comprendre ce phénomène physique et par la

suite d’en déduire les outils qui permettent de le modéliser et donc de l’utiliser.

Notons que dans l’expérience de Thalès il est nécessaire de frotter l’ambre pour qu’elle

devienne « attractrice ». Pour comprendre ce qui s’est passé après cette action mécanique,

rappelons qu’un matériau est composé de plusieurs atomes. La solution est certainement là…

Un atome est la quantité élémentaire de la matière. Il est constitué d’un noyau entouré d’un

nuage d’électron, la cohésion de l’ensemble étant assurée par une interaction particulière dite

« interaction forte ».

noyau électron

proton neutron

Matériau

(~1 nm=10-9

m)

Atome

(~10-10

m)

Noyau

(~10-15

m)


Par convention on a attribué une charge négative au nuage d’électrons et une charge positive

au noyau.

Le noyau est lui-même composé de protons chargés positivement et de neutrons non

chargés.

Le nuage d’électrons est pour sa part constitué de un ou plusieurs électrons qui gravitent

sur des orbites que l’on appelle des couches.

L’atome, et donc le matériau qu’il constitue, est électriquement neutre puisqu’il comporte

autant de protons que d’électrons. La dernière couche ou couche externe, la plus éloignée de

l’atome, est plus ou moins remplie d’électrons suivant la nature de l’atome.

Certains matériaux verront donc leurs atomes plus aptes à céder des électrons et d’autres à

capter des électrons, ce qui peut perturber leur neutralité électrique localement ou

globalement. C’est ce que l’on appelle l’électrisation du matériau. Cette électrisation peut

se produire par contact simple, par frottement mécanique ou par influence (voir plus loin).

Frottons par exemple deux matériaux. Si le matériau (1) ne possède par exemple qu’un seul

électron sur sa couche extérieure et qu’il manque un électron au matériau (2) sur sa couche

externe, après frottement, le matériau (1) deviendra donc chargé positivement (perte de

l’électron solitaire) et le matériau (2) négativement (gain de l’électron).

Le nombre d’électrons perdus étant strictement identique au nombre d’électrons gagné, on

montre que la charge électrique totale de tout corps électrisé est un multiple entier de la

charge élémentaire notée e, dont l’unité est le Coulomb.

e = 1,6.10-19

C

La charge de l’électron est négative : q = - e = -1,6.10-19

C

La charge élémentaire positive, appelé aussi "trou", est donc q = +e = +1,6.10-19

C

2 La force électrostatique (ou force de Coulomb)

Maintenant que nous savons que lors d’une électrisation

il y a transfert de charges entre les deux corps, nous

devons bien constater que ce phénomène doit être à

l’origine de l’attraction mutuelle qui en résulte.

Dans notre cas, les deux matériaux (1) et (2) s’attirent

lorsqu’on les approche. On constate aussi qu’en

approchant du matériau (2) un matériau (2’) identique à

(2), également frotté à (1), ceux-ci se repoussent.

Après électrisation, ce sont donc les charges en excès à la

surface des matériaux qui s’attirent ou se repoussent. Il

existe donc une force qui tend à rapprocher ou à éloigner

les corps.

On l’appelle la force électrostatique, ou encore force de Coulomb.

- -

+ +

+ +

+ +

+ + +

- -

- - - - -

(1)

(2)

(1)

(2)


En effet, c’est Coulomb (1736-1806) qui a énoncé les lois permettant de définir cette force.

Elle est matérialisée par un vecteur F

dont nous devons déterminer la direction, le sens et

l’intensité (son module).

Pour cela prenons le cas de deux charges ponctuelles q1 et q2 (de dimensions nulles, c’est une

vue théorique…), qui n’agissent donc pas sur elles-mêmes, et que l’on immobilise

respectivement aux points géométriques O1 et O2.

Dans un premier temps, la loi de Coulomb peut s’exprimer simplement par :

Des charges de même signe se repoussent, on parle de forces "répulsives"

Des charges de signes opposés s’attirent, on parle de forces "attractives"

D’après cet énoncé, nous pouvons en déduire directement la direction et le sens de la force qui

s’exerce sur chacune des charges :

- Par le principe de l’action est de la réaction, les forces 2/1F

et 1/2F

sont égales en

module, de même direction, mais de sens opposés

- La direction de ces forces est donnée par le segment de droite [O1,O2]

Pour quantifier cette force, Coulomb utilise en 1780 une balance de torsion et en déduit une

expression de 2/1F

et de 1/2F

: u

r

qqKFF

2

211/22/1 .

où r est la distance entre les

points O1 et O2, et le vecteur u

un vecteur "unitaire" (de norme égale à 1) porté par la droite

O1O2 et dirigé de O1 vers O2.

La loi de Coulomb peut maintenant s’énoncer plus complètement par :

L’interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles est :

- d'intensité proportionnelle aux charges q1 et q2

- d'intensité inversement proportionnelle au carré de la distance entre les charges

- de direction donnée par la droite joignant les deux charges

- attractive si les charges sont de signes opposés, répulsive si les charges sont de même

signe

Le coefficient K s’écrit K=41 avec 0 r la permittivité diélectrique absolue du

milieu où se trouvent les charges q1 et q2.

o est la permittivité diélectrique du vide

r est la permittivité relative du milieu dans lequel se trouvent les charges : o

r

2/1F

2/1F

q2 u

u

1/2F

q1

O1 O2

q1 q2

O1 O2

1/2F

q1.q2 > 0 (mêmes signes)

q1.q2 < 0 (signes opposés)

Répulsion

Attraction


Dans les unités du Système International (USI), le coefficient K est égal à :

Ko = o4

1 = 9.10

9 USI dans le vide

K = ro4

1 =

r

910.9USI dans un milieu quelconque de permittivité relative r

La permittivité diélectrique du vide vaut donc o = 91036

1

= 8,8537.10

-12 F.m

-1

Le tableau suivant regroupe les valeurs de permittivité de quelques matériaux usuels :

Matériau r Matériau r

vide 1 huile 4.0

air 1.0006 mica 5.0

téflon 2.0 porcelaine 6.0

papier paraffiné 2.5 bakélite 7.0

caoutchouc 3.0 verre 7.5

On remarquera que l'air a quasiment la même permittivité diélectrique que le vide, on

assimilera donc en général (sauf précision contraire) l'air au vide dans les problèmes

d'électrostatique.

3 Quelques principes...

3.1 Principe de superposition

Notons que pour des raisons pratiques, nous représenterons les charges par de petites

sphères. Mais gardons à l’esprit qu’une charge n’a pas de dimension, elle n’est définie que

ponctuellement.

Imaginons que plusieurs charges se trouvent à proximité les unes des autres. L’interaction

entre deux charges prises deux par deux est indépendante de la présence des autres

charges. Il y a simplement addition vectorielle des forces électrostatiques qu’exercent les

charges entre elles deux à deux : c’est le principe de superposition.

Dans les deux exemples précédents, la force électrostatique qui s’exerce sur la charge QC est

la somme de la force de la charge B sur C et de celle de A sur C : CF

= C/BF

+ C/AF

.

+

+ +

QC

QA QB

C/AF

C/BF

CF

+

+ -

QC

QA QB

C/AF

C/BF

CF

QA = QB = QC >0 QA = -QB = QC >0


3.2 Principe de symétrie

La notion de symétrie semble relativement claire puisqu’elle accompagne et intrigue

l’Homme dans toutes les civilisations et ce depuis les débuts de l’art. La symétrie (ou sa

cassure) est une composante de l’esthétisme artistique que l’on rencontre en peinture, en

sculpture, en architecture, en musique...

Son rôle en science ne date que du 19ème

siècle même si quelques philosophes et savants

(Faraday, Newton, Kepler, Platon, Aristote) l’ont intégré dans leurs raisonnements bien avant

cela. Il faut attendre Pasteur puis Pierre Curie (1880) pour énoncer des principes dont le

plus connu, le principe de symétrie de Curie :

« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des

causes doivent se retrouver dans les effets produits. »

« Lorsque certains effets révèlent une cause de dissymétrie, cette dissymétrie doit

se retrouver dans les causes qui lui ont donné naissance. » (proposition inverse de

la précédente)

Ce principe permet souvent de simplifier certains problèmes (théorèmes d'Ampère, de Gauss,

etc…) ou de prédire si un phénomène est possible ou impossible.

4 Le champ électrostatique (ou champ électrique)

4.1 Expression du champ électrostatique

Nous avons vu que lorsque deux charges sont en présence, elles exercent l’une sur l’autre soit

une force d’attraction soit une force de répulsion.

L’idée maintenant est de voir ce qui se passe lorsque l’une des deux charges est "isolée", c'est-

à-dire seule dans son environnement. Reprenons les deux charges mises en présence

précédemment :

La charge q2 en O2 subira ou non une force, selon que l’on place ou non la charge q1 en O1.

La charge q1 modifie donc les propriétés de l’espace dans lequel elle se trouve, et la charge q2

est sensible à ce changement.

On traduit la modification des propriétés de l’espace suite à la présence de q1 par l’existence

d’un champ électrostatique 1E

, défini comme « la force, par unité de charge, créé par la

charge q1 » : 2

2/11

q

FE

. Son unité est le V.m

-1 (homogène à des N/C)

On considère donc que si une charge q1 est placée dans un espace donné, celle-ci crée partout

autour d’elle un champ électrostatique, qui existe donc par la seule présence de q1. Il est

indépendant de la présence de q2. C’est la rencontre de q2 avec le champ créé par q1 qui va

créer une force 2/1F

sur q2.

2/1F

2/1F

q2 u

u

1/2F

q1

O1

O2

q1 q2

O1 O2

1/2F

q1.q2 > 0 (mêmes signes)

q1.q2 < 0 (signes opposés)

Répulsion

Attraction


Plus généralement, toute charge q se trouvant en un point M de l'espace où règne un champ

électrique E

sera soumise à une force électrostatique eF

(c'est la force de Coulomb

généralisée) qui s'exprime par : Eq.elec

F

L’expression vectorielle du champ électrostatique créé par la charge ponctuelle q1 au point où

se trouve la charge q2, se déduit de la loi de Coulomb : 2/1F

= ur

qqK

2

21 = u

r

qK.q

2

12

= 12 E.q

, d'où

l'expression du champ électrostatique créé par une charge q en un point M distant de r :

)(rE

= ur

qK

2

.

Le champ électrostatique diminue donc rapidement quand on s'éloigne de la charge.

Remarque : si q2 = 1 C, alors 2/11 FE

>> Le vecteur champ électrostatique s’identifie à la

force s’exerçant sur cette charge unité. Cette méthode dite de la « charge unité positive »

peut-être utile pour déterminer facilement les caractéristiques vectorielles d’un champ

électrostatique.

On remarquera l'analogie avec la force de d'attraction gravitationnelle et le champ de

pesanteur terrestre :

r

T

Tr

T uhR

MGhggmu

d

mMGP

22 )(

)(

4.2 Les lignes de champ (modèle 2D)

On appelle ligne de champ, l’ensemble des courbes orientées (dans le sens du vecteur E ) et

tangentes en chaque point au vecteur E résultant de la présence d’une ou plusieurs charges

dans l'espace (principe de superposition). C'est aussi la trajectoire que suivrait une charge

ponctuelle soumise à ce champ. L'ensemble des lignes de champs s'appelle le spectre du

champ.

Pour une charge ponctuelle isolée, le vecteur champ E est radial, c'est-à-dire

perpendiculaire aux cercles centrés sur la charge q. Plus le rayon du cercle est grand, plus

l'intensité du champ E est faible. En d’autres termes, plus on s’éloigne de la charge moins les

propriétés de l’espace sont modifiées. L'orientation de ces lignes de champ dépend du signe

de la charge.

q > 0 : Champ sortant q < 0 : Champ entrant

+ -

M q r u


Pour deux charges ponctuelles « proches » il suffit d'appliquer le principe de superposition :

Remarque : Les lignes tracées en pointillés (ici des cercles), orthogonales aux lignes de

champ, sont en fait les "équipotentielles" de la distribution de charges (voir

chapitre suivant)

On peut remarquer les lignes de champ électrique se "concentrent" sur les charges qui les

créent (convergence ou divergence, selon le signe des charges, aux points où il y a des

charges), contrairement aux lignes de champ magnétique qui "tournent" autour des courants

qui les créent.

5 Théorème de Gauss

Ce théorème permet de calculer plus facilement le champ électrostatique E dans certains cas,

lorsque le problème présente des symétries notamment, qui permettent de connaître

l'orientation du champ dans l'espace, et qu'il ne reste plus alors qu'à déterminer son module.

Ce théorème permet de calculer le flux du champ électrique à travers une surface S

fermée, dite "surface de Gauss" (à choisir "judicieusement" en fonction du problème posé !),

en fonction de la répartition de charges qui est à l'origine du champ électrique recherché.

Ce flux se calcule par l'intégrale "double" ci-dessous (double car intégration en deux

dimensions, d'où les deux signes "intégrale"), où dS est un "vecteur surface élémentaire"

(équivalent du "dx" des intégrales à une dimension) porté par la normale sortante à la surface.

Le petit rond sur les deux signes "intégrale" précise que la surface d'intégration est une

surface fermée.

surf

S

QQ

SdE 2

1

.int

)(

Dans cette formule, Qint représente l'ensemble des charges électriques contenues à l'intérieur

du volume défini par la surface S fermée (les éventuelles charges en surface étant exclues), et

Qsurf l'ensemble de charges électriques présentes éventuellement sur la surface de Gauss

choisie. est la permittivité diélectrique absolue du milieu dans lequel se trouvent les charges.

+

M

q1 q2 = q1

+ + -

M

q1 q2 = -q1

Au point M, le champ électrostatique résultant de deux charges q1 et q2, est la

somme vectorielle des champs créés séparément en M par q1 et q2, soit :

E

(M) = 1E

(M) + 2E

(M)


2- Potentiel – Énergie - Condensateur

1 Potentiel électrostatique

On montre, par des calculs énergétiques, que le vecteur champ électrostatique E

(M) "dérive"

d’un scalaire, appelé potentiel et noté V(M), c’est à dire que le champ E

(M) existe entre

deux points de l’espace si et seulement ces deux points présentent un potentiel différent.

La relation vectorielle entre potentiel et champ s’exprime par l’opérateur mathématique

gradient qui est défini (dans un repère cartésien) par :

z

VE

y

VE

x

VE

MVgradME

z

y

x

)]([)(

Pour illustrer la signification de cette relation, considérons l’exemple où le champ

électrostatique E

(M), et donc le potentiel électrostatique V(M), n’est fonction que d’une

seule coordonnée spatiale x.

Donc si V(M) = V(x) et E

(M)= E

(x), le champ et le potentiel sont liés localement par :

0

0

0

0))(()(

z

y

x

z

y

x

E

Edx

dVE

E

Ex

VE

MVgradME

Les relations entre le champ électrostatique et le potentiel sont donc :

dx

dVEx => kdxEV x .

où k est une constante d’intégration arbitraire (analogie avec le choix du niveau de la mer

comme référence des altitudes). Lorsque la distribution de charges ne comporte pas de

charges à l'infini, on choisit en général k de manière à avoir un potentiel nul à l'infini.

PROPRIÉTES importantes :

Les équipotentielles (lieux où V=Cte) sont orthogonales aux lignes de champ

Le vecteur champ électrique est orienté dans le sens des potentiels décroissants (conséquence : le potentiel décroît en parcourant une ligne de champ dans le sens de son orientation)

Il y a continuité du potentiel

Exemples :

Pour une unique charge Q, E(r) = Q/4or2 = -dV/dr => V(r) = Q/4or + K, et

en général, on choisit V(∞) = 0 donc K = 0


Cas "classique" : lorsque le champ électrique est constant dans une région de

l'espace, le champ et le potentiel sont reliés par la relation x

VE

2 Énergie potentielle électrostatique d’un système de charges

On l’appelle énergie potentielle électrostatique U de la charge q soumise au potentiel V,

le travail nécessaire (à un opérateur extérieur) pour amener cette charge depuis l'infini

jusqu'au point de l'espace où le potentiel est V.

Nous allons imaginer une petite expérience en prenant deux charges QA et q.

La charge QA est fixe. Imaginons maintenant que l’on peut déplacer la charge q de B vers C.

Calculons le travail de la force électrostatique qF

lorsque la charge se déplace du point B

(position initiale) vers le point C (position finale). Par définition, le travail s’exprime par :

W( qF

)B→C =

Co

A

Bo

A

C

B

C

Bo

A

o

AC

Bq

r

Q

r

Qq

r

Qq

r

drQqrdF

1

4

1

4

1

4²4.

q (VB-VC)

avec r = AM (distance entre les points A et M), et dr = déplacement "élémentaire" de la

charge q.

L'énergie U recherchée est l'opposé du travail de la force électrostatique à laquelle est soumise

la charge q, et puisque VB=0 (à l'infini le potentiel est nul), on a donc :

U = q.VC unité : le Joule (J)

Donc, dans le cas général du déplacement de la charge q entre les points B et C, le travail de

la force électrostatique peut aussi s'exprimer en fonction de l'énergie électrostatique de la

charge q :

WB→C = -q[VC-VB] = -[UC-UB] = -UB→C avec U = [UC-UB]

Le travail de la force électrostatique est égal à l'opposé de la variation d'énergie

potentielle. Il ne dépend pas du trajet suivi, mais uniquement des points de départ et

d'arrivée.

E

E0

O d

V

-E0.d

Cas d’une région de l’espace où

Ex = E = cste

d.Edx.EVV 000d

V

V0

O d

E

Cas d’une région de l’espace où

V varie linéairement

d

V

dx

dVE 0

x

x

x

x d

V0

A M

QA

C

q

N B


3 Conducteurs et isolants

Reprenons l'expérience de Thalès et frottons deux corps l'un contre l'autre. Dans un premier

temps nous constatons qu'il existe deux catégories de matériaux. Ceux pour lesquels l'état

d'électrisation parait conservé dans la région où le frottement a eu lieu sont dits isolants, et

ceux pour lesquels l'état d'électrisation se répartit sur toute la surface du corps sont dits

conducteurs.

Pour un isolant, les charges sont liées et ne s'écartent que très légèrement de leur

position d'équilibre.

Dans un conducteur, les charges sont mobiles et peuvent se déplacer sous l'action

d'une force électrostatique sur des distances macroscopiques.

Il existe aussi une catégorie "intermédiaire" très utilisée dans le domaine de l'électronique : les

semi-conducteurs, que nous n'étudierons pas ici.

4 Conducteur en équilibre électrostatique

4.1 Définition

On dit qu'un conducteur (parfait) est en équilibre électrostatique s'il n'est le siège d'aucun

déplacement de charges.

En conséquence, on a les importantes propriétés suivantes :

Le champ électrique moyen est nul DANS un conducteur en équilibre

Les charges en excès sont localisées uniquement A LA SURFACE du conducteur

Le potentiel dans le conducteur, et par continuité à sa surface, est constant

On peut résumer cela en disant qu'un conducteur est en équilibre électrostatique si et

seulement si le volume du conducteur est un volume équipotentiel.

Le schéma ci-dessous résume les deux étapes amenant un conducteur à l'équilibre

électrostatique :

En apportant une quantité localisée de charges électriques à la surface d’un conducteur

initialement neutre il se crée en tout point de ce conducteur un champ électrique iE . Les

électrons du matériau subissent alors une force électrostatique F (dessin de gauche). Il en

résulte un mouvement des charges et l’apparition de charges négatives réparties près de la

surface du conducteur, de telle sorte que le champ iE est nul en tout point du conducteur

(dessin de droite).

4.2 Champ électrique dans un conducteur en équilibre électrostatique

Le champ au voisinage immédiat de la surface, à l'extérieur du

conducteur, est perpendiculaire en tout point à la tangente à la surface en

ce point (puisque la surface est une équipotentielle) et sa norme s'exprime

(théorème de Gauss) par o

E

où est la densité surfacique de

charge (en C/m²). Le champ est dirigé vers l'extérieur du conducteur si la

charge est positive, et vers l'intérieur dans le cas contraire.

E

0

iE

- -

- - -

-

- e-

F iE -

-

-

- - -

-

- -

0iE

V=Cte


4.3 Plan conducteur « infini » uniformément chargé

On considère qu’un conducteur est "plan" (idéalement : surface sans

épaisseur) si son épaisseur W est très petite devant ses autres dimensions

(L et H). De plus, ce plan pourra être considéré comme "infini" depuis un

point d'étude si la distance entre ce point et le plan est petite devant les

dimensions du plan.

Dans ces conditions, au voisinage d'un conducteur "plan" et "infini"

portant une densité surfacique de charges , le champ électrostatique

résultant des charges uniformement réparties en surface est, en tout point

de l'espace, strictement perpendiculaire à la surface du plan (ce qui était

vrai à la surface d'un conducteur en équilibre le reste aussi si on s'en

éloigne, car lorsque le plan est infini, en tout point, on "voit" le plan de la

même manière).

Pour une répartition de charges positives, le champ électrostatique E est

orienté vers l’extérieur du conducteur, et pour une répartition de charges

négatives, E est orienté vers l’intérieur du conducteur.

Son module est constant quelle que soit la distance au plan, et égal à

o

2 (calcul par le théorème de Gauss).

En faisant l’hypothèse que le plan conducteur a un potentiel fixé à V = 0, nous pouvons alors

tracer l’allure des variations du champ électrostatique E (ici, sa composante selon la direction

du vecteur i

perpendiculaire au plan) et du potentiel V, en fonction de la distance r au plan.

H

L

W

E

E

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

- i

i

o

2

r

E+

V o

2

r

E-

V


4.4 Capacité d’un conducteur isolé

On définit la capacité C d’un conducteur isolé en équilibre, de charge Q et de potentiel V, par

V

QC unité : le farad (F)

Pour un conducteur donné, il n’existe qu’une seule répartition d’équilibre, qui correspond à

une seule charge Q et un seul potentiel V possibles (lorsque l'on impose Q, ou V), dont le

rapport est constant et caractérise donc bien le conducteur.

Remarque : la capacité est une grandeur toujours POSITIVE.

Exemple :

Pour un conducteur sphérique isolé de rayon R portant

la charge totale Q, le potentiel à l’intérieur du conducteur est constant et on démontre qu’il vaut :

Rπ4

QV

o

Sa capacité est donc : Rπ4C o

La Terre est un conducteur sphérique isolé,

globalement neutre, et dont le potentiel est nul par

convention. Son rayon étant de 6400 km, sa capacité est

égale à 710 F.

5 Le condensateur plan

5.1 Champ électrique, potentiel, capacité

Un condensateur plan est formé de deux plaques planes conductrices, placées en vis-à-vis.

On peut déduire des résultats précédents l’allure

du champ et du potentiel entre deux conducteurs

plans (1) et (2) parallèles et distants de e. Si

l’armature (1) a une densité de charges + (charge

totale Q1 = +Q) et l’armature (2) une densité de

charges - (charge Q2 = -Q), le principe de

superposition donne :

E = E+

+ E - =

o

Ce champ constant correspond à une variation

linéaire du potentiel entre les armatures (1) et (2).

Si on fixe le potentiel de (2) à V2 = 0, le potentiel

sur l’armature (1) est donc :

V1 = E.e = o

e

E

E

V

V

+

+

+

+

+

+

+

+ +

e

E

o

r

(1) (2)

o

e

Vide (o)

+

+

+ + + +

+ + V=Cte

V

Rπ4

Q

o

r


Dans le cas général, si le potentiel V2 n’est pas fixé, le champ étant constant entre les plaques,

on aura cette fois V1 - V2 = E.e , soit V1 - V2 = eo

La charge Q portée par les armatures valant SQ . , on en déduit l’expression de la

capacité d’un condensateur plan :

21 VV

QC

e

So

5.2 Le condensateur plan avec diélectrique

Il est composé de deux plans conducteurs parallèles A et B

(les armatures), de surface "en regard" S, écartés d’une

distance e (petite devant les dimensions des armatures), et

séparés par un matériau isolant appelé diélectrique (D).

En faisant l’hypothèse que les deux armatures A et B sont

uniformément chargées et en appliquant le théorème de

Coulomb, permettant de calculer le champ E dans des

milieux comportant un diélectrique et un conducteur

(théorème que nous admettrons ici), nous obtenons

l’expression de la capacité C d'un tel condensateur :

e

SεC avec = o . r

Rappel : est la permittivité diélectrique absolue du matériau constituant le diélectrique,

avec

r la permittivité relative du diélectrique

o la permittivité diélectrique du vide

o = 1 / (36.109) = 8,85.10

-12 F/m = 8,85 pF/m

La capacité C d'un condensateur dépend, comme la résistance R pour un conducteur ou

l'inductance L pour une bobine, uniquement de sa géométrie et de la nature des matériaux

qui le constituent.

5.3 Energie emmagasinée dans un condensateur plan

Considérons un conducteur isolé de capacité C, portant une charge Q, et ayant un potentiel

constant V. Si on apporte une charge dQ sur ce conducteur, son énergie potentielle augmente

de VdQdU . Or CVQ donc dQC

QdU .

L'énergie totale emmagasinée dans le conducteur au potentiel V est donc :

²2

1

2

1²

2

1

2

²11

00

CVQVC

QQ

CQdQ

CdUU

QQ

Q

U

UoT

De même, pour un condensateur de capacité C soumis à une différence de potentiel V

constante entre ses plaques, on obtient, comme précédemment :

²2

1

2

1²

2

1CVQV

C

QUT

A B D

S

L


3- Champs magnétiques

1 Champ d'excitation magnétique H

1.1 Définition

Le champ magnétique peut être créé de deux manières :

Il existe à l’état naturel. Il est alors généré par certains matériaux, comme par exemple la

magnétite, découverte dans l’antiquité. On mit en évidence à cet époque plusieurs propriétés

de ce matériau : la magnétite possède la propriété d’attirer un morceau de fer. D’autre part, un

morceau de magnétite pouvant tourner librement a tendance à s’orienter vers une direction

constante (le nord magnétique, très proche du nord géographique). Il existe toutefois d’autres

sources naturelles de champ magnétique : la terre par exemple.

On peut d’autre part générer un champ magnétique grâce au passage d’un courant dans un

fil conducteur. Oersted quantifia ce phénomène en approchant une boussole d’un fil rectiligne

parcouru par un courant donné. Il montra que l’amplitude du champ magnétique est

proportionnelle au courant, inversement proportionnelle à la distance au fil, et que le vecteur

champ magnétique est ortho radial.

Le champ magnétique (ou excitation magnétique) est noté H et est exprimé en A m-1

.

1.2 Exemple : Champ créé par un fil infini

Pour un fil infini rectiligne traversé par un

courant I, le champ magnétique à la distance r du

fil s’exprime par :

I

H( r ) u2 r

avec u le vecteur ortho radial en coordonnées

cylindriques,

Le champ H est orienté selon la règle des trois

doigts de la main droite:

Index = sens du courant I

Majeur = pointe du fil vers le point M où l’on

calcule H

Pouce >> donne le sens de H

ou selon la règle du tire-bouchon : si le tire-

bouchon tourne en suivant H, il avance dans le

sens de I, et inversement.

Règle des trois doigts de la main droite

CHAMP H

Pouce

COURANT I dl

Index Majeur

dirigé vers

le point M

Progression

dans la direction

du courant I

CHAMP H

Sens de rotation du tire-

bouchon

CHAMP H

Sens de progression

du tire-bouchon Rotation

du tire bouchon

comme

le courant I


1.3 Loi de Biot et Savart

Dans le cas général, les fils conducteurs sont toutefois rarement infinis et rectilignes. Lorsque

la forme du conducteur est quelconque, on doit "découper" ce conducteur en morceaux de

conducteur rectilignes de taille infinitésimale, et calculer la contribution de chacun de ces

morceaux au champ magnétique total.

Le champ magnétique infinitésimal créé par un élément de conducteur de longueur

infinitésimale d et parcouru par un courant I en un point M situé à une distance r du

conducteur est donné par : 2

1 I d udH

4 r

avec u le vecteur unitaire dirigé du conducteur vers M

Le champ magnétique total créé par le conducteur est ensuite calculé par intégration des

champs magnétiques élémentaires :

cond.

H dH

Il ne faut pas oublier que le champ magnétique est un vecteur. L’intégration des vecteurs dH

n’est donc pas égale à l’intégration des valeurs dH.

Quand elles existent, les symétries de courant permettent de simplifier le calcul.

1.4 Symétries

De la même manière que certaines symétries relatives aux charges permettent de déterminer la

direction du champ électrique, certaines symétries relatives aux courants permettent de

déterminer la direction du champ magnétique.

si (P) est un plan d’antisymétrie du courant, le champ magnétique résultant appartient à P.

si (P’) est un plan de symétrie du courant, le champ

magnétique résultant est orthogonal à (P’).

Application au fil infini (voir figure ci-contre) :

Tout plan (P) orthogonal au fil est un plan d’antisymétrie.

Le champ magnétique appartient donc au plan (P). Tout

plan (P’) contenant le fil est plan de symétrie. Le champ

magnétique est donc orthogonal au plan (P’). Le vecteur H

est donc orthoradial.

2 Lignes de champ magnétique

2.1 Définition

Comme pour le champ électrique, on peut définir la ligne de champ magnétique : c’est la

ligne le long de laquelle le vecteur champ est constamment tangent. On peut considérer que la

ligne ‘suit’ le champ magnétique. Les lignes de champ magnétiques sont des courbes fermées

(éventuellement refermées à l’infini). Elles sont de plus orientées par le sens du champ

magnétique. Ainsi, reprenant l’exemple du fil infini, les lignes de champ magnétique sont

représentées par des cercles centrés sur le fil.

M dl

I

u

r (M)dH


Le figure suivante montre les lignes de champ (et leurs lignes orthogonales = équipotentielles)

pour deux conducteurs parallèles parcourus par des courants de sens contraires (gauche) ou de

même sens (droite).

2.2 Champ créé par un matériau magnétique

Un matériau magnétique aimanté (qui a été plongé dans un champ magnétique puis en a été

retiré) garde la trace de cette aimantation. Cette trace est d’autant plus marquée que le

matériau est magnétiquement "dur". Par exemple, un morceau d’acier (dur) collé à un aimant

puis séparé de cet aimant est capable, à son tour, de se comporter comme un aimant. Par

contre, un morceau de fer pur (doux) ne garde aucune trace du fait d’avoir été collé à un

aimant puis séparé de cet aimant.

La terre peut elle-même être considérée comme un objet aimanté. Le champ magnétique créé

par la terre, déformé par les vents solaire, est appelé magnétosphère. Le champ magnétique à

sa surface est d’environ 40 A m-1

.

En fait, on peut montrer qu’un matériau magnétique aimanté se comporte comme une bobine

traversée par un courant. Il suffit pour cela de comparer les lignes de champ d’un aimant et

celles d’une spire de courant (voir figure ci-dessous).

Nous pourrons ainsi toujours faire l’analogie entre un matériau magnétique aimanté et une

spire de courant.

Lignes de champ


Par convention, les lignes de champ sortent de l’objet aimanté par le pôle nord et y

entrent par le pôle sud.

Lignes de champ créées par un barreau magnétique aimanté de forme rectangulaire :

La représentation est exactement la même que pour une spire de courant de petite dimension

placée orthogonalement au matériau.

3 Théorème d’Ampère

On considère une surface S définie par une courbe fermée et

orientée C. Cette surface S est traversée par un ou plusieurs

courants.

Le théorème d'Ampère s'énonce dans ces conditions par :

"La circulation du vecteur excitation magnétique H

le long

d'une courbe fermée est égale à la somme algébrique des

courants enlacés"

ou encore sous sa forme mathématique :

C

.enlacés

IldH

ATTENTION : La somme des courants est algébrique, c'est-à-dire que les courants dont le

sens de traversée de la surface S correspond à celui de l’orientation de la ligne de champ sont

comptés avec le signe +, les autres avec le signe - . Les courants qui ne traversent pas la

surface S n'interviennent pas dans le calcul.

Exemple : Dans le cas de la figure ci-dessus, le théorème d'Ampère s'exprimera par :

C

321. IIIldH

APPLICATION : Ce théorème permet donc de calculer facilement la valeur du module du

champ magnétique H sur une ligne de champ "isomodule" (ligne de champ où le module du

champ reste constant tout le long). On trouvera en général de telles lignes par examen des

symétries du circuit étudié (ex : pour un fil infini, ce sont les cercles centrés sur le fil).


En effet, dans ce cas, le produit scalaire ldH

. se réduit au produit des normes H.dl car la

courbe C étant une ligne de champ, le vecteur H

est constamment parallèle au vecteur

ld

tangent à la courbe. De plus, si le module du champ est constant tout le long de la ligne de

champ, on peut le sortir de l'intégrale : C

..CCdlHdlHldH

, et on a alors l'expression

simplifiée du théorème d'Ampère (dans ce cas UNIQUEMENT):

enlacés I.H l

où l est la longueur de la ligne de champ.

Ainsi, si N conducteurs, parcourus chacun par un courant I positif, traversent la surface S

définie par une ligne de champ isomodule de longueur , le module du champ d'excitation

magnétique H sur cette ligne est tel que :

NIH l

4 Champ d'induction magnétique B

4.1 Matériaux magnétiques

Il existe trois grandes familles de matériaux magnétiques :

les matériaux dits non magnétiques (en réalité para- ou dia-magnétiques), en fait très

faiblement magnétiques. Ex : cuivre, aluminium, carbone, gaz, plastique… Ces matériaux,

lorsqu’ils sont sollicités par un champ magnétique, n’ont qu’une très faible réaction.

les matériaux ferrimagnétiques. Ex : ferrites .Ils peuvent être de type doux (ils sont alors

plutôt utilisés lorsque l’on travaille en haute fréquence) ou dur (aimants).

les matériaux ferromagnétiques. A température ambiante, il n’existe que trois métaux purs

ferromagnétiques : le fer, le cobalt et le nickel. Certains alliages faits à partir de ces matériaux

peuvent aussi être ferromagnétiques. Doux (fer, FeSi, FeNi), ils sont plutôt utilisés dans les

systèmes travaillant à basses fréquences (transformateurs, machines tournantes). Durs (SmCo,

NdFeB), ils servent à fabriquer des aimants.

4.2 Champ d'induction B

L'induction magnétique est la "réponse" de la matière lorsqu’on lui applique un champ

d'excitation magnétique H . C’est un vecteur noté B , son unité est le tesla.

Dans un milieu linéaire, l’induction B est proportionnelle au champ magnétique H appliqué.

On peut définir la perméabilité magnétique absolue du matériau par le rapport entre

l’induction créée et le champ magnétique appliqué :

B H

Dans le vide (comme dans l’air, ou dans tout matériau dit ‘non-magnétique’), on a HμB o

avec 0= 4 10-7

H.m-1

la perméabilité magnétique du vide.

Dans tout matériau magnétique, l’induction est multipliée, par rapport à sa valeur dans le

vide, par une valeur appelée perméabilité magnétique relative µr. Cette dernière est donc

sans dimension. On a donc la relation 0 r


5 Cycle d’hystérésis, saturation

5.1 Cycle réel

Nous avons jusqu’à présent considéré les matériaux magnétiques comme des milieux

linéaires, caractérisés par une perméabilité relative constante. La réalité est un peu plus

complexe, dans la mesure où l’on doit tenir compte de trois phénomènes supplémentaires :

- la non-linéarité de la réaction du matériau à un champ magnétique

- la saturation, correspondant à une diminution de la perméabilité relative au fur et à mesure

que le champ magnétique appliqué augmente (en valeur absolue).

- l’hystérésis, correspondant à un comportement magnétique du matériau différent selon que

le champ magnétique appliqué augmente ou diminue.

Le cycle d’hystérésis rend compte de l’évolution de l’induction B d’un matériau soumis à un

champ électrique H. On y distingue :

l’induction à saturation : valeur de B pour H infini

l’induction rémanente : valeur de B lorsque le matériau,

après saturation, n’est plus soumis à aucune excitation

le champ coercitif : valeur négative de H à appliquer pour

réobtenir une aimantation nulle.

On peut montrer que l'aire A du cycle est égale à l’énergie volumique perdue dans le

matériau pour "tracer" le cycle : A = Wvol . Si le cycle est effectué avec une période T = 1/f,

alors la puissance volumique nécessaire pour tracer le cycle, correspondant donc aux "pertes

magnétiques" dans le matériau, s'écrira :

volvol

vol WfT

WP . f. A

Ainsi, selon que le cycle est plus ou moins large, on parle de matériau ‘dur’ (cycle "large",

Hc > 10 kAm-1

) comme par exemple les aimants, ou de matériau ‘doux’ (cycle "étroit",

Hc < 100 Am-1

) comme le FeSi, utilisé dans les machines électriques tournantes ou les

transformateurs.

Remarque : l’induction à saturation est caractéristique du matériau. Elle ne dépend donc pas

de la fréquence du champ magnétique. En revanche, le champ coercitif est minimal pour un

champ statique et augmente avec la fréquence.

Le tableau suivant donne la perméabilité relative de quelques matériaux ainsi que leur

induction à saturation et leur champ coercitif :

matériau r BS (T) HC (Am-1

)

air 1 0

Matériaux

doux

ferrite HF 10 à 2000 0.3 50 à 1000

ferrite BF 5000 à 15000 0.4 à 0,6 2 à 10

fer pur 180000 max 2.2 > 4

Fer-silicium 3000 à 7000 2 10 à 100

Supermalloy 106 1 < 1

Aimants Ferrite / 0,4 180.103

AlNiCo / 1,2 50.103

NdFeB / 1,2 2300.103


Explication théorique du cycle d'hystérésis :

Le volume global des matériaux ferro- et ferrimagnétique est divisé en domaine de Weiss, dans lequel l’aimantation

J est égale à sa valeur maximale Js, séparés par des parois. À l’état désaimanté, l’orientation aléatoire des domaines

conduit à une valeur globale, sur l’ensemble du matériau,

nulle. Lorsque l’on applique un champ magnétique H, les parois

bougent de manière à ce que les domaines dans le sens du

champ grossissent, et que les domaines transversaux ou

opposés diminuent. Globalement, la polarisation dans le sens du champ augmente. Lorsqu’il n’y a plus qu’un

domaine dans la direction du champ, la saturation est

atteinte. Lorsque le champ magnétique diminue à nouveau, les

parois ‘accrochent’ les impuretés du matériau, et

l’aimantation, à champ nul, ne retrouve pas sa valeur nulle

d’origine. On appelle polarisation rémanente cette valeur. Pour retrouver une aimantation globalement nulle, il faut

appliquer un certain champ magnétique négatif.

5.2 Cycle simplifié

Lorsque le matériau est doux, l’hystérésis est faible, on peut donc le négliger (figure suivante,

au centre). En général, on considère que le champ coercitif doit être au moins dix fois plus

faible que le champ de travail pour cela.

De plus, on peut encore simplifier le cycle en considérant le matériau comme linéaire. Le seul

facteur limitant reste donc la saturation (figure suivante, à droite).

6 Sources magnétiques

6.1 Notion de circuit magnétique

On appelle circuit magnétique un ensemble de matériaux (l’air inclus) qui peuvent conduire le

champ magnétique, de la même manière qu’un circuit électrique est constitué de matériaux

conduisant le courant électrique.

Un circuit magnétique est, la plupart du temps, entouré d’air.

On dit que le circuit magnétique est fermé lorsqu’il est uniquement constitué d’une succession

de matériaux magnétiques. Il n’y a pas de coupure (pas d’entrefer).


6.2 Flux magnétique

Dans un circuit magnétique, on définit le flux magnétique comme le produit scalaire de

l’induction magnétique B

avec le vecteur surface S

du circuit (défini par nSS

. où n

est

un vecteur unitaire normal à la surface):

cos... SBSB

Lorsqu’un matériau magnétique possède une perméabilité beaucoup plus importante que celle

de l’air, le champ magnétique est "attiré" vers le matériau. On dit aussi qu’il "canalise" les

lignes de champ :

Ainsi, dans un circuit magnétique, le champ magnétique (donc l’induction magnétique) est

d’autant mieux canalisé que la perméabilité du circuit est grande devant celle de l’air. On peut

partir du principe que le champ magnétique est totalement canalisé lorsque la perméabilité

relative du matériau est d’au moins 100.

PROPRIETE IMPORTANTE: Il y a conservation du flux magnétique

Si on considère, comme sur la figure de gauche ci-dessous, un flux entrant et un flux sortant :

e s

Lorsque le champ magnétique n’est pas totalement canalisé, on dit qu’il y a des fuites

magnétiques. Ces dernières sont représentées par les lignes de champ sortant du circuit pour

aller dans l’air (figure de droite).

La conservation du flux s’exprime alors par : e s fuites

Application : concentration des lignes de champ

Si l’on reprend la figure de droite précédente, on peut exprimer l’induction à la sortie par

rapport à l’induction à l’entrée :

ee s e e s s s e

s

SB S B S B B

S

Exemple : si la section de la sortie est 10 fois plus petite que la section d’entrée, on obtient

une induction 10 fois plus grande en sortie qu’en entrée. Cet effet est mis à profit par exemple

dans les pièces polaires de forts électroaimants.

Note : la représentation des lignes de champ tient compte de cet effet, puisque les lignes sont

plus rapprochées à la sortie qu’à l’entrée. Plus les lignes de champ sont denses, plus

l’induction est importante.


6.3 Bobinage

Une partie du circuit magnétique est bobiné, c’est-à-dire que

l’on a enroulé le fil conducteur sous forme de spires, le

circuit magnétique constituant le noyau de la spire :

On définit m la longueur (moyenne) du circuit magnétique et

S sa section, que l’on suppose constante et µm sa perméabilité

magnétique relative. D’autre part, le bobinage est constitué

de n spires parcourues par un courant I.

L’application du théorème d’Ampère le long d’une ligne de

champ permet de calculer la relation entre le champ

magnétique dans le matériau Hm et le courant I : m mH nI

La valeur nI est parfois appelée force magnétomotrice et notée F (ou encore ).

La relation entre le champ magnétique et l’induction est : m 0 m mB H

On obtient donc : m 0 m

m

nIB . La valeur du flux est :

0 m

m

S

F

On définit la réluctance R (unité : H-1

) du circuit magnétique par le rapport entre la force

magnéto motrice F = n I et le flux magnétique , c'est la loi d'Hopkinson :

SμμΦInF

mo

mlRR

Remarque importante :

Un circuit magnétique parfait a une réluctance R = 0 (m infini, et Hm = 0).

6.4 Aimant (voir aussi TD)

L’avantage d’utiliser un aimant comme source

magnétique est que le système n’a pas besoin de source

d’énergie extérieure. L’inconvénient est toutefois que

l’état magnétique est figé. Il n’est plus possible de piloter

le champ ou l’induction par le courant de bobinage.

On définit m la longueur (moyenne) du circuit

magnétique et S sa section, que l’on suppose constante et

µm sa perméabilité relative. D’autre part, l’aimant est de

longueur a et de section S.

L’application du théorème d’Ampère le long d’une ligne

de champ permet de calculer la relation entre les champs

magnétiques dans le matériau Hm et dans l’aimant Ha :

am m a a m a

m

H H 0 H H

Le champ magnétique dans le matériau et dans l’aiment sont donc de sens contraires.

La relation entre le champ magnétique et l’induction est toujours : m 0 m mB H

D’autre part, la conservation du flux (on considère un circuit sans fuites) donne :

m m a a m aB S B S B B

L’induction est donc la même tout le long du circuit magnétique.

On obtient donc : aa 0 m a

m

B H


Cette relation permet de déterminer le point de fonctionnement du circuit. Il faut pour cela

trouver l’intersection de la droite correspondante avec le cycle d’hystérésis de l’aimant.

On peut remarquer que cette relation peut être dérivée de celle calculée précédemment dans le

cas d’une source magnétique bobinée en remplaçant : a anI H F

6.5 Circuits avec entrefer

* Principe

On appelle entrefer une partie du circuit magnétique constituée d’air. Il doit être de

dimensions réduites pour éviter l’épanouissement des lignes de champ. On peut ainsi

supposer que les lignes de champ dans l’entrefer sont orthogonales au circuit. La section d’air

à considérer est alors la même que celle du matériau magnétique au bord de l’entrefer.

L’étude est similaire selon que la source magnétique est un bobinage ou un aimant. On note

généralement He le champ magnétique à l’intérieur de l’entrefer et e son épaisseur.

L’application du théorème d’Ampère donne alors :

m m eH H e nI dans le cas d’un circuit bobiné

m m a a eH H H e 0 dans le cas d’un circuit à aimant

Dans l’air, la relation entre champ magnétique et induction est : e 0 eB H

D’autre part, la conservation du flux et l’uniformité de la section impose m e aB B ( B )

Si l’on note B0 l’induction dans le circuit sans entrefer, on obtient dans les deux cas de source

magnétique :

0m

m

m

BB

e1

L’induction diminue lorsque la longueur relative de l’entrefer par rapport au circuit augmente,

ainsi que lorsque la perméabilité du matériau magnétique augmente.

Application numérique : Avec une perméabilité relative de 1000 et un entrefer d’1% de la

longueur totale, l’induction est divisée par un facteur 11.


* Applications

L’intérêt d’introduire un entrefer dans un circuit magnétique est de diminuer artificiellement

la perméabilité apparente d’un matériau.

En effet, si l’on reprend le calcul précédent, la perméabilité relative apparente du matériau

magnétique est : mapp

m

m

e1

Avec les valeurs numériques précédentes, on obtient µapp = 99, à comparer avec la valeur

µm = 1000 du matériau magnétique.

Dans le cas où le matériau magnétique est linéaire (µr = const.), on peut montrer que l’énergie

par unité de volume emmagasinée dans un circuit magnétique entre un état (B=0, H=0) et un

état (B,H) s’exprime par : 2

2

magn vol. 0 r

0 r

1 BW BH 2 H

2 2

Dans le cas pratique, c’est la valeur de B qui limite le fonctionnement, à cause de la saturation

du matériau.

De ce fait, à B limité, l’énergie volumique emmagasinée dans le matériau augmente lorsque la

perméabilité diminue, donc avec l’introduction d’un entrefer dans un matériau. Cela trouve

son application au lissage du courant par exemple.

Remarque : L’énergie volumique emmagasinée dans l’entrefer est µm fois plus grande que

celle qui est emmagasinée dans le matériau magnétique. C’est pourquoi l’on dit parfois que

toute l’énergie emmagasinée l’est dans l’entrefer.


5- Induction, auto-induction

1 Champ magnétique variable

On peut générer un champ magnétique variable grâce au passage d’un courant variable dans

un conducteur. Les formules vues précédemment en magnétostatique (champs et courants

continus) restent valables aussi en régime dynamique.

2 Flux magnétique

On rappelle que le flux magnétique est le flux du vecteur B à travers une section d'un

circuit magnétique, caractérisée par son vecteur surface S (défini par nSS

. où n

est un

vecteur unitaire normal à la surface, et S l'aire de la surface) :

B.S BScos

étant l’angle entre les deux vecteurs B et S

Ce flux est donc maximal lorsque les vecteurs sont colinéaires, et nul lorsqu’ils sont

orthogonaux. Un circuit libre de se déplacer s'orientera toujours de telle façon que le flux

magnétique qui le traverse soit maximum : c'est la RÈGLE DU FLUX MAXIMAL.

3 Phénomène d'induction- Lois de Lenz et de Faraday

On considère un spire ouverte caractérisée par un vecteur surface S . Cette spire baigne dans

un champ d’induction magnétique B uniforme, mais potentiellement variant dans le temps.

Le flux de B dans la spire est donc celui calculé précédemment.

Deux cas peuvent alors se présenter :

B variable et spire fixe

Il apparaît, lorsque le champ d’induction varie, une différence

de potentiel (de type fem) entre les bornes de la spire égale à la

variation dans le temps du flux de B dans la spire (loi de

FARADAY) :

d d(B.S) d(B(t))e Scos

dt dt dt

Cette différence de potentiel "e" est couramment appelée fem

induite. Elle est telle qu'elle tend à faire circuler dans le circuit

un courant induit qui s'oppose à celui qui lui a donné

naissance (loi de LENZ).

B constant et spire mobile

Dans ce cas très différent du précédent, il apparaît une fem aux

bornes de la spire pouvant pourtant s’exprimer de la même manière :

d d(B.S)e

dt dt

On dit, dans ce cas, que est le flux coupé par la spire.

Il est possible de retrouver les deux phénomènes en même temps. Les fem induites s’ajoutent

alors.


4 Auto-induction, mutuelle

4.1 Inductance

Une spire ouverte parcourue par un courant i(t) génère un champ d'excitation magnétique

H(t), donc une induction magnétique B(t). Si le courant est variable dans le temps, le champ

magnétique le sera aussi. Une fem induite e(t) apparaîtra donc aux bornes de la spire, tendant

à s’opposer à celle qui a permis de générer le champ (la fem induite est donc en convention

générateur par rapport au courant dans la spire).

Le coefficient d’auto-inductance L, plus couramment appelé inductance, est défini par le

rapport entre le flux généré et le courant nécessaire pour le générer :

(t) Li(t)

On sait d’autre part que :

d (t) di(t)e(t) L

dt dt

Nous avons vu que la tension e(t) est définie en convention générateur par rapport au courant.

En convention récepteur, la relation liant courant et tension au borne d’une inductance

est donc :

di(t)v(t) L

dt

4.2 Mutuelles

Si l’on considère deux spires parcourues par des courants I1 et I2, chaque spire va générer une

induction magnétique proportionnelle au courant la traversant.

Le flux total à travers la spire n°1 sera donc égal à celui de sa propre induction additionné de

celui de l’induction créé par la spire n°2. Le premier est proportionnel à I1, le second à I2 :

tot1 1 2 1 1 1 21 2L I M I

On définit alors le coefficient M21 appelé coefficient de mutuelle de la spire 2 vers la spire 1.

De la même manière,on peut exprimer le flux total dans la spire 2 :

tot2 2 1 2 2 2 12 1L I M I

On peut alors calculer les tensions induites dans les deux spires :

tot1 1 21 1 21

tot2 1 22 12 2

d (t) dI (t) dI (t)v (t) L M

dt dt dt

d (t) dI (t) dI (t)v (t) M L

dt dt dt

Remarque : si les deux spires sont identiques, on a :

12 21M M M et 1 2L L L


4.3 Aspect énergétique

Bobine SANS résistance

La puissance instantanée absorbée par une bobine d’inductance L "pure" (on néglige la

résistance du fil d’enroulement) est :

di(t)p(t) u(t)i(t) L i(t)

dt

On considère une variation d’état entre un instant t = 0 et un instant t = t0. A l’état initial, le

courant est i(0) = 0. A l’état final, sa valeur est i(t0) = I.

L’énergie emmagasinée dans la bobine est égale à l’intégration de la puissance entre l’état

initial et l’état final :

0 0It t t t I 2

2

t 0 t 0 0 0

di(t) i 1W p(t) dt L i(t) dt L idi L LI

dt 2 2

* Dans le cas d’un courant sinusoïdal effi(t) I 2 sin( t) on a donc :

2 2

eff effp(t) 2LI sin( t)cos( t) LI sin(2 t) => T

p(t)dt 0

Une bobine "pure" (sans résistance) n’emmagasine donc pas d’énergie en moyenne sur une

période de fonctionnement en régime sinusoïdal. De l'énergie est cependant effectivement

emmagasinée dans la bobine pendant chaque première moitié de la période, mais est restituée

ensuite pendant la seconde moitié.

Bobine AVEC résistance

On considère maintenant que le fil d’enroulement a une résistance R. On peut exprimer la

tension aux bornes de la bobine par di(t)

u(t) R i(t) Ldt

D’où l’expression de la puissance : 2 di(t)p(t) R i (t) Li(t)

dt

Ainsi, entre un état initial i(t = 0) = 0 et i(t = t0) = I, l’énergie absorbée par la bobine est : 0 0 0t t t t t t

2 2 2

t 0 t 0 t 0

di(t) 1W p(t) dt Ri (t) L i(t) dt LI Ri (t)dt

dt 2

Energieperdue par

effet Joule

> Cette énergie dépend de la forme d'onde (carré, triangle, sinus…) du courant dans la bobine.

* Dans le cas d’un courant sinusoïdal : effi(t) I 2 sin( t) on a ainsi :

2 2 2

eff effp(t) LI sin(2 t) 2RI sin ( t) => 2

eff

T

p(t)dt RI

La puissance perdue dans une bobine "réelle" (avec résistance) n’est donc due qu’à l’effet

Joule.


4- Forces et interactions d’origine magnétique

La mise en évidence des forces magnétiques est à l’origine de l’étude du magnétisme. Ces

forces magnétiques peuvent toutefois prendre plusieurs formes : un aimant attire certains

métaux, deux aimants s’attirent ou se repoussent selon les positions relatives de leurs pôles

respectifs, une aiguille de boussole tourne pour s’orienter vers le nord magnétique (qui est

donc en fait un pôle magnétique "sud" !)…

Toutefois, toutes ces actions ont la même origine : un matériau magnétique aimanté (ou un

conducteur parcouru par un courant) créé un champ magnétique qui agit sur l’environnement.

Un autre matériau magnétique (ou un autre conducteur parcouru par un courant) amené dans

cet environnement subira une force dépendant de sa nature et de l’intensité du champ

magnétique.

1 Force de Lorentz et force de Laplace

Une particule de charge q se déplaçant à une vitesse v dans un champ d’induction

magnétique B subit une force, dite de Lorentz : F qv B

Dans un conducteur, le déplacement des électrons

correspond à un courant électrique. On peut donc exprimer

la force dF (de Laplace) appliquée à une longueur

infinitésimale dl d’un conducteur traversé par un courant I

par : dF Id B

Exemple : Deux fils rectilignes parallèles parcourus par un

même courant (schéma ci-contre)

L’induction magnétique crée par chaque fil au niveau de

l’autre fil a pour conséquence l’application de deux forces

opposées ayant tendance à rapprocher les deux fils.

C’est ainsi qu’est défini l’ampère: il correspond au courant

nécessaire pour que la force par unité de longueur

appliquée à deux conducteurs séparés de 1 mètre soit de 2.10-7

newtons.

2 Moment magnétique

2.1 Définition

On considère une spire indéformable de surface S

parcourue par un courant I. Cette spire est orientée

dans un sens choisi, généralement celui du courant.

On définit la normale à la spire n selon la règle des

trois doigts (ou du tire-bouchon) appliquée à

l’orientation de la spire. On définit le vecteur surface

S comme étant le vecteur de norme S et porté par la normale orientée de la spire.

On définit alors le moment magnétique de cette spire par : ISM

Nous avons vu que l’on peut faire une analogie entre matériau aimanté et spire de courant.

Nous pouvons donc définir, pour un matériau magnétique aimanté, un moment magnétique

équivalent.

Remarque : le moment magnétique est indépendant de la forme de la spire (ronde, carrée…).


2.2 Couple appliqué à un moment magnétique dans un champ

Si cette spire est placée dans un champ d’induction magnétique B , les électrons se déplaçant

dans la spire vont subir une force. Cette force est telle qu’elle tend à aligner le moment

magnétique parallèlement à l’induction. C'est la règle du flux maximal : un circuit libre de se

déplacer, parcouru par un courant, et soumis à l'action d'un champ magnétique, tend à se

positionner de telle façon que le flux qui le traverse soit maximum, ce qui sera bien le cas si

S

et B

sont colinéaires et de même sens.

On peut montrer que le couple appliqué au moment magnétique (donc à la spire) s’écrit :

BMC

L’analogie entre une spire de courant et un objet aimanté permet de tenir le même

raisonnement pour calculer le couple subi par un objet aimanté dans un champ magnétique.

La valeur du moment magnétique dépend alors de la nature et du volume du matériau.

Exemples : une boussole (matériau aimanté) subit un couple dans le champ magnétique

terrestre, qui tend à l’aligner sur ce dernier. Le rotor d’une machine à courant continu (spire

traversée par un courant) subit un couple qui tend à l’aligner sur le champ magnétique créé

par l’inducteur.

3 Pression magnétostatique

Un matériau doux, lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique, s’aimante dans le sens du

champ magnétique appliqué. Il se comporte donc comme un aimant orienté de manière à être

attiré par le champ. C’est ce qui explique qu’un morceau de fer, de nickel ou de cobalt soit

attiré par un aimant.

Ainsi, de la même manière qu’une force attire les deux armatures d’un condensateur, une

force s’exerce entre les deux faces de l’entrefer d’un circuit magnétique.

Avec les données du circuit magnétique avec entrefer étudié précédemment, le champ

magnétique dans l’entrefer s’exprime par : 0m

m

m

BB

e1

On sait que l’énergie emmagasinée dans le matériau est : 22

0magn vol.entrefer 2

0

0 m

m

eSBeSBW eSW

2 e2 1

Pour un entrefer suffisamment petit, on peut simplifier cette expression par 2

0magn

0

eSBW

2

La minimisation de l’énergie tend à diminuer e, donc à rapprocher les faces de l’entrefer.

On définit la force s’exerçant entre les deux faces par magnW F e

Soit la force qui attire les deux faces de l’entrefer 2

0

0

SBF

2

On définit généralement la pression magnétique par : 2

0m

0

BFp

S 2

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