PREPARATION HEG - ECCG Monthey · 2018. 8. 5. · KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG Page 3 sur 92 3.3...
Transcript of PREPARATION HEG - ECCG Monthey · 2018. 8. 5. · KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG Page 3 sur 92 3.3...
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 1 sur 92
PREPARATION HEG En plus des informations utiles pour la suite du cursus au niveau mathématique en HEG, ce document est un résumé, non exhaustif, des chapitres des cours I, II et III ème année MPC/ESC de math. La finalité de ce document est d’assister l’étudiant dans son travail de révision et de préparation à des cours d’un niveau supérieur. Il ne se substitue pas aux notes de cours, recap. et autres documents reçus pendant les cours réguliers. Ce document sera ponctuellement adapté en fonction des exigences de la branche dans le module math/stat/informatique de l’HEG de Sierre. Prof. concernés par la matière (math) : - ESC Monthey 1ère année : M. Alain Dorsaz - ESC Monthey 2ème année : M. Pierre-Benoît Veuthey - ESC Monthey 3ème année : M. Elvezio Borrini - HEG Sierre : M. François Chaghaghi PLAN (changements possibles)
Ce document concerne les élèves de la section MPC/ESC Monthey
1.TABLE DES MATIERES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 2 1.1. RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 5 2. PLAN DES CHAPITRES TRAITES EN 2ème ANNEE p. 8 2.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 2ème ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 9 3. PLAN DES COURS DE 3ème ANNEE p. 14 3.1 THEORIE DES COURS DE 3EME ANNEE p. 15 4. CHAPITRES COMPLEMENTAIRES DE 3Ème ANNEE MPC/ESC p. 48 4.1 CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES P. 49 EXERCICES P. 52 CORRIGES P. 54 4.2 CHAPITRE B : VECTEURS-PRODUIT SCALAIRE-NORME P. 68
EXERCICES P. 74 CORRIGES P. 75 4.3 CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE P. 82
EXERCICES P. 85 CORRIGES P. 86 5. NIVEAU REQUIS POUR DEBUTER LA PREMIERE ANNEE HEG + OUVRAGE (FORTEMENT) CONSEILLE p. 90 6. PROGRAMME DE MATH I ET II HEG p. 91
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 2 sur 92
1. TABLE DES MATIERES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF)
1 Consolidation
A. CALCUL AVEC DES FRACTIONS NUMÉRIQUES
1.1.1 Simplification 1.1.2 Amplification 1.1.3 Addition (réduction au même dénominateur) 1.1.4 Multiplication 1.1.5 Division (multiplication par la fraction inverse)
B. HIÉRARCHIE DES OPÉRATIONS
C. ENSEMBLES NUMÉRIQUES
1.3.1 Nombres entiers naturels 1.3.2 Nombres entiers relatifs 1.3.3 Nombres rationnels 1.3.4 Nombres réels
D. PUISSANCES
E. CALCUL LITTÉRAL
2 Les polynômes
2.1 ADDITION
2.2 SOUSTRACTION
2.3 MULTIPLICATION
2.3.1 Monôme par monôme 2.3.2 Monôme par polynôme 2.3.3 Polynôme par polynôme 2.3.4 Puissance d’un monôme
2.4 PRODUITS REMARQUABLES
2.4.1 Carré d’un binôme 2.4.2 Produit de la somme de deux nombres par leur différence
2.4.3 Cube d’un binôme 2.4.4 Autres identités remarquables
2.5 DIVISION
2.5.1 Monôme par monôme 2.5.2 Polynôme par monôme
2.5.3 Polynôme par polynôme
3 Factorisation
3.1 MISE EN ÉVIDENCE DES FACTEURS COMMUNS
3.2 IDENTITÉS REMARQUABLES
3.2.1 Différence des carrés de deux termes 3.2.2 Différence de puissances semblables 3.2.3 Somme des puissances semblables de degré impair 3.2.4 Trinôme carré parfait 3.2.5 Quadrinôme cube parfait
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 3 sur 92
3.3 DÉCOMPOSITION D'UN TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
3.4 MÉTHODE DES GROUPEMENTS ET ARTIFICES DE CALCUL
3.4.1 Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper 3.4.2 Dédoubler un terme, puis grouper 3.4.3 Effectuer, puis grouper
3.5 MÉTHODE DU DIVISEUR BINÔME
3.5.1 Calcul de la valeur numérique d’un polynôme 3.5.2 Décomposition d’un polynôme par le binôme (x – a)
3.6 PGDC ET PPMC
4 Fractions rationnelles
4.1 GÉNÉRALITÉS
4.2 SIMPLIFICATION
4.3 RÉDUCTION AU MÊME DÉNOMINATEUR
4.4 ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS RATIONNELLES
4.5 MULTIPLICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES
4.6 DIVISION DE FRACTIONS RATIONNELLES
5 Equations
5.1 DÉFINITIONS
5.2 Principes d'équivalence 5.2.1 Premier principe d’équivalence 5.2.2 Second principe d’équivalence 5.3 Equations singulières
5.3.1 Equation impossible 5.3.2 Equation indéterminée
5.4 Equations de la forme 0...)()()( =⋅⋅⋅ xCxBxA (équations produit)
5.5 Equations fractionnaires
6 Systèmes d'équations du premier degré
6.1 EQUATIONS À PLUSIEURS INCONNUES
6.2 SYSTÈMES D'ÉQUATIONS
6.3 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES
6.4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION
6.4.1 Méthode de substitution 6.4.2 Méthode d’addition 6.4.3 Méthode de Cramer
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 4 sur 92
6.4.3.1 Introduction aux déterminants 6.4.3.2 Résolution d’un système 2× 2 par Cramer
6.5 SYSTÈMES DE TROIS ÉQUATIONS À TROIS INCONNUES
6.5.1 Cas particulier 6.5.2 Règle de résolution
6.6 SYSTÈMES DE QUATRE ÉQUATIONS À QUATRE INCONNUES
7 Inégalités et inéquations
7.1 Inégalités 7.2 Inéquations (+ intervalles) 7.3 Règles pour résoudre des inéquations (addition/soustraction/multiplication/division) 7.4 Inéquations simultanées 7.5 Inéquations du second degré
7.5.1 Signe du binôme bax + 7.5.2 Signe des polynômes et fractions rationnelles 7.5.3 Résolution des inéquations de type 7.5.2 par la factorisation
8 Problèmes
8.1 Problèmes du premier degré à une inconnue
8.1.1 Moyenne scolaire 8.1.2 Problèmes dur les âges 8.1.3 Problèmes sur les nombres 8.1.4 Problèmes sur le thème distance et vitesse
8.2 Problèmes du premier degré à plusieurs inconnues
8.2.1 Facture 8.2.2 Gestion de production 8.2.3 Problèmes sur les nombres
8.3 Problèmes de degré supérieur à 1 9 Représentation graphique de fonctions diverses 9.1 Notion de fonction 9.2 Représentation graphique d’une fonction 9.3 Fonction affine 9.4 Fonction linéaire 9.5 Exemples et exercices 9.6 Représentation graphique des solutions d’une inéquation 9.7 Systèmes d’inéquations et solutions graphiques + Autres chapitres en fonction du temps 1 Puissances Puissances entières et négatives Puissances fractionnaires
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 5 sur 92
2 Racines carrées 3 Systèmes d’équations à deux inconnues, discussion de systèmes paramétriques 4 La droite dans le plan (équation de la droite/longueur d’un segment/point milieu/droites parallèles et
perpendiculaires) 5 Seuils de rentabilité et autres applications
1.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) Il s’agit d’un résumé des principaux points traités à ce jour en 1ère et 2ème année. Il s’agit d’une liste non
exhaustive ( !). Les examens et autres contrôles pourront porter sur des chapitres ou points non explicités sur
cette feuille.
1) EFFECTUER ET REDUIRE
->mise sous même dénominateur ex) 2a2x
aax
a
−−
−
ex) 3x
2
x3
42x9
12−
++
−−
ex) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
ax
xa
:2a
2x2x
2a
->utilisation des identités remarquables ex) 2)n2b3m3a2( − ex)
3)b1ma1mab( +++−
->traitement des puissances paires et impaires
et mise en évidence ex) n2ym3a9m5a − ex) 5y5x − ex) 6y6x +
-> changement de signes ex) x1
31x
2−
−−
…
2) FACTORISATION
-> par les identités remarquables ex) 92a − ex) 83a − ex) 6b6a −
->par regroupement ex) 12xx3x −−+
->par la méthode mn et m+n ex) 92x64x +− ex) 9x62x +−
->par la division (si >trinôme) méthode P( ?)=0 ex) 3-2x : 3x142x173x6 −+−
ex) 2x42x23x4 +−−
…
3) RESOUDRE LES EQUATIONS
-> simples ex) 4x)2x(3x2x3 +=++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
-> fractionnaires ( !! DD=R-{} !!) ex) 2x4
282x22x8x3
2x2x2
−
−=++−
−−
(mise sous même dénominateur avec ou sans changement de signe)
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 6 sur 92
� simultanées (simples) via la méthode de substitution (éventuellement Cramer)
ex) 4y10x731y15x8
=−=+ x)
1z4y2x311z23x3zyx2
=+−=−+=+−
ex) x23
3yx2
27x
y422
3x
+=−−+
=−+
-> en utilisant – si nécessaire la division avec P( ?)=0 et/ou mn et m+n
ex) 2x32x33x2 −−+
…
4) RESOUDRE LES PROBLEMES
ex) Ages, distances, ….
5) INEQUATIONS SIMPLES
ex) 4(3x-5)>2x+10
Attention !!!! => changement de « signe » ex) -9x<48 x>-16/3
6) SYSTEME D’INEQUATIONS
ex)
62X
X37
3X43
2X783
X535X2
25
X43
42X3
58X4
−−<−−−
−≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
−≥+
7) INEQUATIONS PRODUITS SIMPLES
EX : 0)18X5)(7X4)(3X2( <−−−+− -> forme correcte pour étude
6x2x15 ≥− -> !!! remettre sous la bonne forme puis…> mn et m+n
030x372x133x12 ≥+−− -> !!! il faut diviser …trouver P(a)=0 etc…
08x102x3
482x3 ≤−−
− -> !!! NE JAMAIS SUPPRIMER LE DENOMINATEUR
!!! FAIRE ATTENTION à « l’impossibilité » au dénominat.
Méthode de résolution :
Etape 1 : remettre sous la bonne forme càd sous forme de produits de facteurs !!!
Etape 2 : étudier les signes
Etape 3 : tableau ∞+−∞ 5 2-
…
…
Etape 4 : déterminer la réponse X ] [[[ ...U...Σ
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 7 sur 92
8) SYSTEMES D’INEQUATIONS PRODUITS
Ex : ( )( )( )
( )( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤−−<−+
≥−−−−−
15x318x3
16x216x26x2040x1035x20x614x5
Méthode de résolution :
Etape 1 : remettre sous la bonne forme càd sous forme de produits de facteurs !!!
Etape 2 : étudier les signes
Etape 3 : les tableaux ∞+−∞ 5 2- trois tableaux ici
…
…
Etape 4 : établir une « ligne de résolution » UNIQUE et définir les « champs » communs
Etape 5 : déterminer la réponse X ] [[[ ...U...Σ
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 8 sur 92
2. PLAN DES CHAPITRES TRAITES EN 2ème ANNEE Chapitre 1 : analyse de l'équation du premier degré avec paramètre
( ) ( ) ( )16212 −++=− xmxxm
Chapitre 2 : analyse du système de deux équations du premier degré avec paramètre
⎩⎨⎧
+=−++=−−−
6)2(
1)2()1(
mmyxm
mymxm
Chapitre 3 : racines carrées
271838250 −+−
Chapitre 4 : inéquations et systèmes d'inéquations
( )( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤−+
≤−
373753
452
xxxx
x
Chapitre 5 : équations du second degré et analyse
a) résoudre ( ) ( ) ( ) 01123 2 =−+−+− mxmxm
b) nombre et signes des racines ( ) ( ) 01156 22 =−+−+ mxmx
c) déterminer les valeurs du paramètre m pour que l'équation suivante admette 2 racines distinctes
négatives ( ) ( ) 0331 2 =−++++ mxmxm
Chapitre 6 : équations réductibles au second degré
01252 24 =−+ xx
030251902530 234 =+−−− xxxx La somme des carrés de trois nombres pairs consécutifs dépasse de 406 la somme des carrés des deux nombres impairs intermédiaires. Quels sont ces cinq nombres ?
Chapitre 7 : système d’équations simultanées (degré > 1)
⎩⎨⎧
==+
45364
18023
xy
yx
Chapitre 8 : la fonction du second degré : donner les caractéristiques de la fonction
2524 2 −− xx
10283 2 +−− xx
Chapitre 9 : les équations irrationnelles 136223 +=−++ xxx
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 9 sur 92
2.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 2ème ANNEE (NON EXHAUSTIF) 1) EQUATIONS PARAMETRIQUES 1ER DEGRE ���� AX+B=0
� ex) 02mx)42m( =++−
1) examiner si l’equation est au départ sous la forme ax+b=0
2) respecter le mode de résolutin :
Etape 1 : mise en forme de l’équation (si pas sous la forme ax+b=0)
Etape 2 : déterminer a=
b=
Etape 3 : 1er cas : a 0≠ donc …
X= ab−
… S={ }
2ème cas : a= 0 donc …
� substituer la valeur de m dans la donnée et répondre
3) SYSTEME D’EQUATIONS PARAMETRIQUES ->
ax+by=c
a’x+b’y=c’
ex) )3m(2y)9m(x32my)m23(x)1m(
−=−++=−+−
Méthode de résolution :
Etape 1 : vérifier si les deux équations sont sous la forme ci-dessus !!!!
Etape 2 : déterminer
D= a b = a.b’ – a’b
a’ b’ c b = c.b’ – c’b Nx= c’ b’ a c = a.c’ – a’c Ny= a’ c’ Etape 3: 1er cas: D 0≠ donc…. ET ….. X= Nx = D Y= Ny = D 2ème cas: D=0 donc…. OU ….. => remplacer « m » dans la donnée ( !!! il y a deux équations) 3) RACINES CARREES
1) simples (additions, soustractions, multiplications)
2) avec dénominateur irrationnel simple
3) avec au moins un terme irrationnel au dénominateur (utilisation de l’ident. remarq. A2 –B2
4) doubles racines (avec terme divisible par 4 ou non) etc…
« c’est beau »
« assez ! »
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 10 sur 92
4) EQUATIONS PARAMETRIQUES 2ème DEGRE ���� ax2+bx+c =0
Rappel : a2
ac42bbx
−±−=
Il faudra faire attention à ce qui sera demandé. Lorsqu’il sera demandé
A) RESOUDRE
Il s’agit de la résolution « simple » d’une équation paramétrique du 2ème degré. Schéma de résolution Pour résoudre une équation du type ax2+bx+c =0
Ex) 1mx4mx2xmx 22 −−=+−− Il faudra toujours respecter une méthodologie précise soit : Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=
Etape 3) Calculer le delta soit : ac42b − Etape 4) 1er cas : 0a ≠
* ac42b − >0 donc…
a2
ac42bbx
−±−=
* ac42b − =0 donc… x= -b/2a
* ac42b − <0 donc… 2ème cas : 0a = B) ETUDIER LE NOMBRE ET LE SIGNE …..
Schéma de résolution Lorsqu’il s’agira de déterminer le nombre et le signe d’ une équation du type ax2+bx+c =0
Ex) 1mx4mx2xmx 22 −−=+−− Il faudra toujours respecter une méthodologie précise soit : Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=
Etape 3) Calculer le delta soit : ac4b2 − => faire le tableau Etape 4) Calculer P = c/a (calcul du produit) => faire le tableau Etape 5) Calculer S = -b/a (calcul de la somme) => faire le tableau Etape 6) Faire la grille complète m ∆ P S résultat
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 11 sur 92
Rappel : C) DETERMINER « m » afin que l’équation admette ….
Schéma de résolution Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=
Etape 3) Calculer le delta soit : ac42b − => faire le tableau Etape 4) Calculer P = c/a (calcul du produit) => faire le tableau Etape 5) Calculer S = -b/a (calcul de la somme) => faire le tableau Etape 6) Faire une « ligne » de résolution pour chaque question
5) EQUATIONS REDUCTIBLES AU 2Eme DEGRE
5.1 EQUATIONS RECIPROQUES DU 4Eme degré (5 termes)
Ex :Forme : ax4+bx3+cx2+bx+a=0 3 étapes principales : 1) réduire par x2
2) utiliser une inconnue auxiliaire x1
xy += mais !!!! car 2x
12x22y +=−
3) utiliser a2
ac42bbx
−±−= pour la résolution
5.2 EQUATIONS RECIPROQUES DU 4Eme degré (4 termes)
Ex :Forme : ax4+bx3-bx-a=0 3 étapes principales : 1) Regrouper 2) Simplifier 3) Déterminer les valeurs de x
5.3 EQUATIONS RECIPROQUES DU 3Eme degré
Ex :Forme : ax3+bx2-bx-a=0 3 étapes principales : 1) Regrouper 2) Simplifier 3) Déterminer les valeurs de x
1. Le signe de delta (b2-4ac) donne le nombre de racines
racinede pas- 0 si
double)(racineracine 1 - 0 siracines 2 - 0 si
><∆>=∆>>∆
2. Le signe du Produit (P) donne le signe des racines si P>0 -> 2 racines de même signe si P=0 -> au moins une racine = 0 si P<0 -> 2 racines de signes différents
3. Les signes du Produit (P) et de la Somme (S) déterminent
le signe des racines si P>0 et S >0 -> 2 racines positives si P<0 et S <0 -> 1 racine + et une racine – si P=0 et S >0 -> 1 racine nulle et 1 racine + si P>0 et S <0 -> 2 racines négatives
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 12 sur 92
5.4 EQUATIONS BICARREES
Ex :Forme : ax4+bx2+c=0 3 étapes principales :
1) utiliser une inconnue auxiliaire 2xy =
2) appliquer a2
ac42bbx
−±−= pour la résolution
Ne pas oublier de substituer y
6) SYSTEME D’EQUATIONS D’UN DEGRE > 1
Ex : 12yx
742y2x=+
=+
Résolution :
Etape 1 : Substitution I (une inconnue dans une équation des deux équations)
Etape 2 : Utiliser la formule a2
ac42bbx
−±−=
Etape 3 : Substitution II (reconstitution)
7 ) ETUDE DE FONCTIONS ET OPTIMISATIONS
a) Détermination de la forme ( IU ou ) de la parabole La forme de la parabole dépendra du signe du coefficient a
- si le coefficient est positif (+), la forme sera un U
- si le coefficient est négatif (-), la forme sera un I b) Détermination du nombre de « croisements » sur l’axe des abscisses Le nombre de « croisements » dépend du nombre de racines x. Ce nombre va donc dépendre du delta. - si delta est positif (D>0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole croisera en deux points l’axe des abscisses - si delta est nul (D=0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole ne croisera pas mais touchera en 1 seul point l’axe des abscisses (cf. annexe 2) - si delta est négatif (D<0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole ne croisera ni ne touchera l’axe des abscisses Lorsque la parabole croisera ou touchera l’axe des abscisses, il va de soit que le(s) couple(s) de points sera(seront) -> (x ;0) et/ou (-x ;0) c) Détermination de l’extremum (maximum ou minimum) Le point le plus haut (maximum) ou le plus bas (minimum) de la parabole est déterminé à l’aide de la dérivée de la fonction La technique pour obtenir la fonction dérivée de f(x) dite f’(x) consiste à « descendre » de 1 les puissances de la fonction f(x).
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 13 sur 92
8) EQUATIONS IRRATIONNELLES
Une équation (ou inéquation) est irrationnelle si l’inconnue figure sous une racine. L’ensemble des solutions de l’équations f(x)=g(x) est contenu dans l’ensemble des solutions de l’équation
)x(g)x(f 22 =
Forme d’une équation irrationnelle p.ex : x225x3 2 =+ Marche à suivre pour la résolution des équations irrationnelles :
A) Déterminer l’ensemble de définition de l’équation (ED) B) Elever au carré les deux membres de l’équation (après avoir effectué, si nécessaire, certaines
transformations) C) Si l’équation ainsi obtenue n’est pas rationnelle, procéder à une nouvelle élévation au carré (après avoir
opéré les transformations nécessaires) D) Résoudre l’équation rationnelle obtenue E) Vérifier si les solutions trouvées satisfont à l’équation proposée et, le cas échéant, exclure les solutions
étrangères de l’ensemble de définition !!! AUX SIGNES DES RACINES CARREES + OU - !!!
-> si une seule possibilité vérifie l’égalité, alors le tout est considéré comme VRAI
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 14 sur 92
3. PLAN DES COURS DE 3ème ANNEE Ch. 1 Logarithmes (décimaux) Définition Propriétés (4 principales) Equations logarithmiques Ch. 2 Exponentielles (équations) Définition Théorème Ch. 3 Analyses combinatoires (notions) Définition Permutations/arrangements Permutations/arrangements simples sans remise sans répétition Permutations/arrangements simples sans remise avec répétition Arrangements sans remise Combinaisons sans répétition Ch. 4 Limites Limites en l’infini Limite infinie Limite finie Pas de limite Limite en un point Notion de voisinage Limites des fonctions de référence Propriétés et formes des limites Limite d’une somme ou d’une différence Limite d’un produit Limite d’un quotient (x/x) (x/0) Limite d’une racine Forme indéterminée (mais pas à l’infini) (0/0) Forme indéterminée (à l’infini) Cas des polynômes Cas complexes Ch. 5 Notions de statistiques Définition Vocabulaire de base Classification des variables Classes / milieux/ fréquences et fréquences relatives Histogramme et Polygone des fréquences Mode / Mediane / Moyenne Variance / Ecart-type Brève interprétation de l’écart-type (intervalles) Ch. 6 Dérivées II Démonstration graphique de la notion de pente et croissance/ décroissance
� calcul de la pente Théorème 1 : dérivée d’une fonction constante est nulle Théorème 2 : la dérivation (effet sur la puissance) Théorème 3 : dérivation de x
Démonstration de la dérivée en un point (rappel de l’extremum) Démonstration de la notion de dérivée en un point et de limite en un point Tableau des dérivées Tableau des fonctions dérivées
Ch. 7 Intérêts composés Différence entre intérêts simples et composés Formules des intérêts composés Différentes capitalisations
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 15 sur 92
Ch. 8 Calculs de Rentes / Crédits / Leasing (Rente temporaire (limitée) immédiate à termes constants et entiers) Définitions (praenumérando, postnumérando, temporaires, perpetuelles, immédiates, différées, valeur initiale, valeur finale, termes entiers, termes fractionnés) Rente temporaire limitée immédiate à termes constants et entiers
3.1 THEORIE DES COURS DE 3EME ANNEE CHAPITRE 1 : LOGARITHMES 1.1 LES LOGARITHMES DECIMAUX 1.1.1 Définition On appelle logarithme décimal d’un nombre l’exposant x de la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir N Remarque :
Le logarithme « décimal » concerne la base 10, donc dans l’expression )a(log a (la base) est toujours égal à
10. Nous écrirons donc toujours log sans la référence à la base 10 Ex : x=log N ���� 10x=N x est le log de N et N est l’antilog de x ------� ex : log 1000 = 3 car 103=1000 : 0.01=10 ? …. 10-2 car log 0.01=-2 : 0.00001=10 ? …. 10-5 car log 0.00001=-5 : 1000=10 ? …. 103 car log 1000=3 : 100000=10 ? …. 105 car log 100000=5 : 3 antilog = ? …. 1000 ce qui est égal à 103 :-2 antilog = ? …. 0.01 ce qui est égal à 10-2 TROUVER LE LOG D’UN NOMBRE REVIENT A CHERCHER A QUELLE PUISSANCE DOIT-ON ELEVER 10 POUR TROUVER CE NOMBRE Ex) 25 =>log 25 = 1.39794 car 10 1.39794 =25 TROUVER L’ANTILOG D’UN NOMBRE REVIENT à CHERCHER QUELLE EST LE RESULTAT DE 10 A LA PUISSANCE DE CE NOMBRE Ex) 3 =>antilog 3 = 1000 car 10 3 = 1000 Remarques :
1) Seuls les nombres N positifs ont un log, en effet 10x est positif quelque soit x 2) Si N > 1 on a log N > 0 ex : log 1.2 = 0.07918 Si N < 1 on la log N < 0 ex : log 0.4 = -0.39794 3) log 10 =1 en effet 101=10 4) log 1 =0 en effet 100=1
1.1.2 Propriétés des logarithmes Les logarithmes sont définis à l’aide des puissances. On doit s’attendre à ce qu’ils possèdent des propriétés analogues
1) le log d’un produit est égal à la somme des log des facteurs de ce produit - log (a.b.c)=log a + log b + log c
2) le log d’un quotient égale le log du dividende – log du diviseur
- B log- A logBA
log =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3) le log d’une puissance égale le log de ce nombre multiplié par l’exposant de la puissance
- a) log( b)(a log b =
4) le log d’une racine d’un nombre égale le log de ce nombre divisé par l’indice de la racine
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 16 sur 92
- b
a log)alog( b =
1.1.3 Equations logarithmiques Une équation logarithmique est une équation dans laquelle la variable apparaît comme argument dans un logarithme. La résolution des équations logarithmiques est basée sur le théorème suivant :
log (x)=log(y) si x=y Remarque 1: Les logarithmes ne sont définis que pour des nombres strictement positifs. Le théorème n’est donc un principe d’équivalence que si les arguments sont strictement positifs ! Il faut par conséquent vérifier si les expressions logarithmiques sont définies pour les solutions de l’équation associée. Exemple : Log(x2-4x+3)=log(5-3x) (x2-4x+3)=(5-3x) x2-x-2=0 (x-2)(x+1)=0 donc x1= 2 x2=-1 Vérification => dans la donnée avec x=2 j’obtiens log(-1)=… impossible ! avec x= -1 j’obtiens log 8=log 8 S={-1} Remarque 2: Il faudra faire la différence lorsque l’on aura à compléter une équation qui a déjà des log et lorsque l’on aura a introduire les logarithmes dans une équation qui n’en n’a pas du tout Exemple : a) log x + log y = 1 : ici l’équation a déjà des log, il faut compléter par ….=log 10 en faisant l’antilog de 1 qui est 10
b) 1710 x = : ici l’équation n’a pas du tout de log, il faut introduire les log …xlog 10=log 17 Remarque 3: Il faudra faire TRES ATTENTION lorsque il y aura des racines dans les équations log. Il faudra les transformer avant d’y appliquer la règle des log. sinon les calculs seront très…très long. CHAPITRE 2 : EXPONENTIELLES …suite des logarithmes 2.1 LES EQUATIONS EXPONENTIELLES REMARQUE IMPORTANTE Ce chapitre est un complément de celui des logarithmes, un certain nombre d’exercices se résolvent aussi à l’aide des logarithmes 2.1.1 Définition Une équation exponentielle est une équation dans laquelle la variable apparaît en exposant 2.1.2 Théorème
Soit un nombre réel positif : yx yaxa =⇔= mais il faut que la « base » càd « a » soit
identique des deux côtés de l’égalité !
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 17 sur 92
CHAPITRE 3 : ANAYLSES COMBINATOIRES (notions) Définition Une expérience aléatoire est une expérience qui possède les deux propriétés :
a) on ne peut pas prédire avec certitude le résultat de l’expérience b) on peut énumérer, avant l’expérience, tous les résultats possibles
3.1 : Permutations 3.1.1 Permutations (OU arrangements ) simples SANS REMISES et sans répétitions « d’objets semblables » L’ordre est important, on ne remet pas en jeu après tirage ABC≠ BAC et il n’y a pas deux lettres A On appelle permutations simples, de n éléments de m (avec m=n), les diverses suites que l’on peut former en prenant chaque fois tous les éléments
Forme : nmP ou n! (n! se dit n factorielle). L'arrangement prend le nom de permutation.
Calcul : n != n.(n-1)…3.2.1 Exemple : 5 !=5.4.3.2.1 = 120 => faut utiliser la machine touche « n! » Exemple 1 : Soit 5 équipes de foot (A,B,C,D,E). Combien de classements différents peut-on obtenir ? (cf schéma 1 ci-dessous) Réponse : 5! =120 Observez : Qu’avec la lettre A (Equipe) une en première position, je peux obtenir 24 possibilités. Comme il y a 5 lettres (équipes), j’obtiens ainsi 24*5=120 possibilités
Exemple 2: Combien de mots peut-on former avec ne nom de la ville de SION ? Réponse : 4 !=24 => il n’y a pas deux lettres identiques Exemple 3 : de combien de façons 6 personnes peuvent-elles se placer sur un banc ? Ce nombre est celui des permutations : 6! = 720.
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 18 sur 92
3.1.2 Permutations (OU arrangements ) simples SANS REMISES mais AVEC répétitions « d’objets semblables » L’ordre est important mais on ne remet pas en jeu après tirage AABC=BAAC mais il y a deux (ou plusieurs) lettres semblables Les permutations simples sans remises et sans répétitions concernent les permutations possibles d’éléments TOUS DIFFERENTS –p.ex dans le nom SION, il n’y a pas deux lettres identiques- p.ex les 5 équipes ci-dessus sont toutes différentes. Par contre, lorsque l’on recherche l’on recherche combien de mots différents peut-on faire avec : ACCES-> la permutation entre les deux C ne forme pas deux mots différents Ainsi, si r objets dans un ensemble de n objets sont semblables et si les objets restants sont différents les uns des autres et différents des r objets, alors le nombre de permutations simples de n objets est
Forme : !
!
r
n et il y aura autant de fois de r que de groupe d’objets différents
Exemples : Combien de mots différents peut-on former avec le mot
a) ACCES !2
!5 -> 60
2
120 =
a) ACCESS !2!2
!6 -> 180
4
720 =
b) MISSISSIPPI !2!4!4
!11 -> 34650=
3.1.3 Arrangements SANS REMISES
Forme : )!(
!
nm
mAn
m −= l’ordre (l’arrangement) est important
On appelle arrangements simples de m éléments pris n à n les divers groupes que l’on peut former en prenant chaque fois n de ces éléments LES ELEMENTS SONT TOUS DISTINCTS Exemple : Dans une classe de 10 élèves de combien de façons peut-on choisir 3 élèves pour jouer respectivement les rôles d’Harpagon, Cléante et Valère dans L’Avare de Molière ? L’ordre est important ici car les 3 élèves qui sont choisis auront un unique rôle (une fois choisi, les 3 ont un rôle fixe)
720!7
!10
)!310(
!10 3
10 ==−
=A
Exemple : Supposons 17 chevaux au départ d'une course. La notion de tiercé dans l'ordre correspond à celle d'arrangement de ces 17 chevaux pris par 3. 2 tiercés joués diffèrent soit parce qu'ils ne contiennent pas les mêmes chevaux, soit parce qu'ils contiennent les mêmes chevaux, mais pas dans le même ordre [(chevaux A, B, C) et (chevaux C, A, B)]. Nombre de tiercés possibles dans l'ordre pour 17 chevaux :
4080!14
!17
)!317(
!17 3
17 ==−
=A Il y a 4080 tiercés dans l’ordre possible …
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 19 sur 92
3.1.4 Combinaisons simples SANS REPETITION
Forme : )!(!
!
nmn
mCn
m −= l’ordre N’EST PAS important
On appelle combinaisons simples de m éléments pris n à n les divers groupements que l’on peut former en prenant chaque fois n de ces éléments lorsque leur ordre n’a pas d’importance. LES ELEMENTS SONT TOUS DISTINCTS Exemple : Dans une classe de 10 élèves de combien de façons peut-on choisir 3 élèves pour s’occuper de la bibliothèque ?
120!7!3
!10
)!310(!3
!10 3
17 ==−
=C
Exemple : Soit 17 chevaux au départ d'une course. La notion de tiercé dans le désordre correspond à celle de la combinaison de 17 chevaux pris 3 à 3. 2 tiercés dans le désordre ne diffèrent que s'ils ne contiennent pas les mêmes chevaux : {A, B,C} et {B, A, C} représentent le même tiercé dans le désordre ou la même combinaison de 17 chevaux 3 par 3. Nombre de tiercés possibles dans le désordre pour 17 chevaux :
680!14!3
!17
)!317(!3
!17 3
17 ==−
=C
CHAPITRE 4 : LIMITES
CHAPITRE 4 : LIMITES 1. LIMITES EN L’INFINI
a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est :
Lorsque x s'en va vers +∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ est égale à +∞.
Ce que l'on résume par :
Définition : Dire que la limite de f en +∞ est +∞ signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que xest suffisamment grand.
b) Limite finie Considérons maintenant la fonction f dont la courbe représentative est :
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 20 sur 92
Lorsque x s'en va vers +∞, f(x) se rapproche de plus en plus de 2. On dit alors que f(x) tend vers 2. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ est égale à 2.
Ce que l'on résume par :
Définition : Dire que la limite de f en +∞ est 1 signifie que f(x) reste dans un intervalle ] 1 − r ; 1 + r [ où rest un réel positif, dès que x est suffisamment grand
Note : Lorsque x tend vers +∞, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Dd'équation y = 2. On dit alors que D est une "asymptote" à la courbe de f au voisinage de +∞.
c) Sans limite !
Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞. C'est par exemple le cas avec les fonctions sinus et cosinus :
Lorsque x s'en va vers +∞, sinus et cosinus hésitent quant à l'attitude à adopter. Oscillant à jamais, ils n'ont aucune limite finie ou infinie...
2. LIMITES EN UN POINT Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] 3 ; +∞[ dont la courbe représentative est :
Lorsque x se rapproche de 3, f(x) devient de plus en plus grand sans qu'aucun plafond ne l'arrête. On dit alors que f(x) tend vers +∞∞∞∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 3 est égale à +∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :
Définition : Dire que la limite de f en α est +∞ signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment proche de a
Note : Lorsque x tend 3, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation x = 3. On dit alors que D est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de 3.
3
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 21 sur 92
Par la droite
Nous avons exclusivement évoqué des fonctions qui tendent vers +∞ à l'approche d'un point. Mais il existe aussi des fonctions qui ont pour limite -∞.
3. NOTION DE VOISINAGE (limite à gauche et limite à droite)
Dans ce qui suit, f désignera la fonction inverse. Ainsi pour tout x : f(x) = 1x
La fonction inverse f est définie sur l'intervalle ] -∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [. Autrement écrit, lorsqu'elle tend vers 0, elle peut le faire :
lorsque x se rapproche de 0 par la gauche ou par valeurs inférieures, f(x) tend vers -∞∞∞∞. On dit alors que la limite à gauche de f(x) en 0 est égale à -∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :
lorsque x se rapproche de 0 par la droite ou par valeurs supérieures, f(x) tend vers +∞∞∞∞. On dit alors que la limite à droite de f(x) en 0 est égale à +∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :
La fonction inverse n'admet pas de limite en 0 car elle a une limite à gauche de 0 qui vaut -∞∞∞∞ et une limite à droite de 0 qui vaut +∞∞∞∞.
4. LIMITES DES FONCTIONS DE REFERENCE
Fonction Ensemble de définition Limite en -∞ Limite en 0 Limite en +∞x ] –∞ ; +∞ [ – ∞ 0 +∞x2 ] –∞ ; +∞ [ + ∞ 0 +∞x3 ] –∞ ; +∞ [ – ∞ 0 +∞
x
1 ] –∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [ 0 0
x [ 0 ; +∞ [ 0 +∞sin(x) cos(x)
] –∞ ; +∞ [ N'existe pas 0 1
N'existe pas
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 22 sur 92
5. PROPRIETES ET FORMES DES LIMITES
Exemples :
1) xx
12>−
lim �2
112
=>− xx
lim
2) 5
132 +
−>− x
xxlim �
7
5
5
132
=+−
>− xx
xlim
3) 542
3−+
>−xx
xlim � = 1653432 =−+ *
Soit une fonction f dont la limite pour ax → est égale à 1b et une fonction g dont la limite pour ax →est égale à 2b . On démontre les théorèmes suivants :
5.1 Limite d’une somme ou d’une différence
( )( ) ( ) ( ) 21 bbxgxfxgfaxaxax
+=±=±→→→
limlimlim
Ainsi la limite d’une somme (différence) est égale à la somme(différence) des limites
5.2 Limite d’un produit
( )( ) ( ) ( ) 21 bbxgxfxgfaxaxax
*lim*lim*lim ==→→→
Ainsi la limite d’un produit est égale au produit des limites
5.3 Limite d’un quotient Pour autant que 02 ≠b
( )( )( ) 2
1
bb
xg
xfx
gf
ax
ax
ax==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
→
→→ lim
limlim
Exemple : la forme « commune » enx
x
1) 4
42
2
1 +−
>− x
xxlim =
5
3
41
41 −=+−
Ainsi si le dénominateur tend vers une limite non nulle, la limite du quotient est égale au quotient des limites
Par contre, si 02 =b alors une étude particulière est nécessaire dans chaque cas et faire attention…
Nous parlerons de la forme « commune » en0
x
Exemple 1 :
2
12 −>− xx
lim ∞==−>− 0
1
2
12 xx
lim
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 23 sur 92
� IL Y A UN « TROU » DANS LA FONCTION LORSQUE X=2, il faut donc examiner ce qui se passe avant et après X=2
=>− +2x (par la droite : prendre p.ex 2,1) =>++
donc +∞=−+>− 2
1
2 xxlim
=>− −2x (par la droite, prendre p.ex 1,9) =>−+
donc −∞=−−>− 2
1
2 xxlim
5.4 Limite d’une racine (cf. point 5.6 et 5.7 ci-dessous)
Si x=a appartient au domaine de définition de la racine, la limite de celle-ci s’obtient en prenant la racine de a
nn
axxx =
→lim
5.5 Forme indéterminée (pas à l’infini) de type 0
0
Si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux simultanément vers 0, la limite doit être déterminée par un calcul particulier. Il va falloir transformer la donnée.Généralement, pour ramener l’indétermination dans le domaine rationnel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée de l’expression critique. Il faut essayer également de retrouver des identités remarquables.
Exemple :
12
12
3
1 +++
−>− xx
xxlim
0
0
12
12
3
1=
+++=
−>− xx
xxlim
=> FAUT TRANSFORMER
))(())((
lim11
11 2
1 +++−+=
−>− xxxxx
x
=> FAUT SIMPLIFIER
)()(
lim1
12
1 ++−=
−>− xxx
x
±∞==+
+−=−>− 0
1
1
12
1 )()(
limxxx
x
=> on « tombe » dans le cas classique avec b2=0 => faut regarder à droite et à gauche
±∞==+
+−=−>− 0
1
1
12
1 )()(
limxxx
x
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 24 sur 92
=−>− +1x (par la droite p.ex -0.9) =>++
donc
+∞=+
+−+−>− 1
12
1 xxx
xlim
=−>− −1x (par la gauche p.ex -1.1) => −+
donc
−∞=+
+−−−>− 1
12
1 xxx
xlim
5.6 Formes indéterminées (à l’infini) Si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux simultanément vers l’infini, la limite doit être déterminée par un calcul particulier. Il va falloir transformer la donnée.Par principe, l’on met en évidence la plus haute puissance de x au numérateur et au dénominateur. Les exemples vont démontrer que l’on pourra ignorer tous les termes sauf celui de plus haut degré du numérateur et celui de plus haut degré du dénominateur. MAIS ( !!!) en cas de racines, il faudra commencer par éliminer la racine en multipliant par la forme conjuguée… IMPORTANT : à l’infini, quelque soit la forme, la méthode de résolution sera toujours la même…peut importe le type
Exemple :
25
32
xx
xx −
−∞>−
lim
� METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER
=)(
)(lim
15
32
2 −
−
∞>−
xx
xx
x
=> après simplification et à l’infini
022
15
32
=∞−
=−
=−
−
∞>− xx
x
xx )(
)(lim
Ne pas oublier de vérifier à + et à – l’infini…
022
lim =∞−
=−+∞>− xx
022
lim =∞+
=−−∞>− xx
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 25 sur 92
Exemple :
31 x
xx −∞>−lim
A) VERIFIER SI IMPOSSIBILITE …Ici la limite ne pourra être calculée que vers + l’infini, sinon impossibilité au numérateur (racine)
B) ELIMINER la racine (binôme conjugué)
=xx
xxx *)1(
*lim
3−+∞>−=
xx
xx *)1(lim
3−+∞>−=
xxx
xx 3lim
−+∞>−
C) METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR puis SIMPLIFER
=
)(
lim
33 x
x
xx
xx
−+∞>−
on regarde ….. et on simplifie par x
=
)(
1lim
32 x
x
xx
x
−+∞>−
� on refait un essai à la limite pour éliminer ce qui tend vers zéro
=
)(
1lim
32 x
x
xx
x
−+∞>−
=2
1lim
( )x x x−>∞ −=
1
( )∞ −∞=
1
−∞ =0
Réponse :
30
1lim
x
x
x−>+∞=
− ou aussi 0lim ( )
xf x
−>+∞=
RAPPELS :
1) le -∞ ne peut pas être pris en considération car hors du DD de la racine carrée
2) ∞−1
= ∞1
= 0
5.7 Cas des polynômes
Exemple :
)(lim 625 2 +−−∞>−
xxx
625 2 +−=−∞>−
xxx
lim (indéterminé)
=> METTRE EN EVIDENCE LE PLUS HAUT DEGRE DE X
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 26 sur 92
)(lim2
2 625
xxx
x+−=
−∞>−
=> après simplification et à l’infini 25x
x −∞>−= lim
� pas de problèmes de signes (carré)
+∞==−∞>−
25xx
lim
Exemple :
)(lim 32652 22 −+−+−∞>−
xxxxx La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines) => FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)
)(
))((lim
32652
326523265222
2222
−+++−
−+++−−+−+−=∞>− xxxx
xxxxxxxxx
32652
3265222
22
−+++−
−+−+−=∞>− xxxx
xxxxx
)(lim
32652
9722
2
−+++−
+−=∞>− xxxx
xxxlim
=> QUI DEVIENT à L’INFINI
32652
9722
2
−+++−
+−=∞>− xxxx
xxxlim
=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER
)(
)(lim
222
22
321
652
971
xxxxx
xxx
x−+++−
+−=
∞>−
=> simplification
( )12
2
+=
∞>− x
xxlim
=> je ne peux pas simplifier car je risque de perdre un signe (le moins) qui est un des résultats possible de la racine. ON LAISSE LE NOMBRE SANS SON SIGNE. Certains considèrent uniquement le signe + . Nous convenons que dans un tel cas, nous allons prendre le résultat de la valeur absolue de X dans le sens du signe de l’infini
( ) +∞=++=
+=
+∞>− 12lim
2
x
xx
et ( ) +∞=++=
+=
−∞>− 12
2
x
xxlim
nous considérons ici que le résultat nous considérons ici que le résultat de |x| = +x de |x| = -x
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 27 sur 92
Exemple :
12lim
22 +−−∞>− xxx
xx
La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines)
=> FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)
))((
)(lim
1212
122222
22
++−+−−
++−=∞>− xxxxxx
xxxxx
)(
)(lim
12
1222
22
+−−++−=
∞>− xxx
xxxxx 12
12 22
−−++−=
∞>− xxxxx
x
)(lim
=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER à L’INFINI
)(
)(lim
xx
xxxxx 1
2
12 22
−−
++−=∞>−
x
xxxx 1
2
12 22
−−
++−=∞>−
lim
x
xxxx 1
2
12 22
−−
++−=∞>−
lim
Réponses :
−∞=−
∞+=−
+∞++∞=−
++−=+∞>− 22
)()(
2
12lim
22 xxxx
−∞=−
∞+=−
+∞++∞=−
++−=−∞>− 22
)()(
2
12lim
22 xxxx
6. CAS COMPLEXES
12
12222
22
+−−
−+−∞>− xxx
xxxxlim
La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines)
=> FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)
))()((
))()((lim
1221212
12122122
222222
222222
−++++−+−−
++−−++−+−=
∞>− xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
x
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 28 sur 92
)]([
)]([lim
12212
121222222
2222
−++−−−
++−+−−=∞>− xxxxxx
xxxxxxx
)]([
)]([lim
12212
121222
222
−++−−
++−+−=∞>− xxxx
xxxxxx
=> QUI DEVIENT à L’INFINI 2 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 2 1
[ ]( )lim
[ ]( )x
x x x x x
x x x x−>∞
− + − + +=− − + + −
=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER
)()(
)()(lim
22
22
2
1212
12
11
21
121
xxx
xx
xxx
xxx
x−++−−
++−+−=
∞>−
=> SIMPLIFICATION
))((
))((lim
2
2
1212
12
11
21
121
xxx
xxxxx
x−++−−
++−+−=
∞>−
=> QUI DEVIENT à L’INFINI
))((
))((lim
122
111
+−+=
∞>−
xx ))((
)(lim
122
11
+−+=
∞>−
xx
=> QUI DEVIENT à L’INFINI
2−=
∞>−
xxlim
le reste devient négligeable à l’infini
=> QUI DEVIENT
2−=
∞>−
xxlim = ±∞= soit
−∞=−+=
−=
+∞>− 2
xxlim et +∞=
−−=
−=
−∞>− 2
xxlim
nb) il n’y a pas d’impossibilités d’aller vers -∞ car au départ il y a des 2x sous les racines
Dépendra du signe de x
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 29 sur 92
CHAPITRE 5 : STATISTIQUES Définition La statistique est la science qui traite des principes et des méthodes servant à recueillir, à classer, à organiser, à synthétiser et à présenter des données numériques, puis, avec le concours du calcul des probabilités, à analyser, à interpréter, à tirer des conclusions et à prendre des décisions à partir de ces données numériques. Vocabulaire statistique de base Une population est un ensemble sur lequel porte une étude statistique. Une population peut être
formée de personnes, d’animaux, d’objets, de faits, etc… Les individus les éléments d’une population sont les individus. Variables statistiques sont un attribut, une caractéristique que possède ses individus. On note une
variable statistique par X, Y, …(majuscule) Les modalités sont les différentes valeurs que peut prendre une variable statistique. On note les
modalités d’une variable par la même lettre (minuscule) avec un indice xi, yi (i= 1,2,3…autant de modalités que nécessaire)
Ex) Population : ensemble des étudiants de l’ESCM Monthey Individu : tout étudiant inscrit à l’ESCM Monthey Variables statistiques : X sexe Y âge au 1er septembre U taille en cm V poids en kg Modalités statistique de X : donc x1 et x2 sont p.ex {Masculin ; Féminin} de Y : {15 ;16 ;17 ;18 ;19 ;20} de U : [140 ;210] de V : [ 40 ;120] Classification des variables statistiques On classifie les variables statistiques (VS) d’après le TYPE DE MODALITES.
a) si les modalités d’une VS sont des nombres --------� la VS est dite QUANTITATIVE b) si les modalités d’une VS ne sont pas des nombres-� la VS est dite QUALITATIVE
ETUDE DE VARIABLES STATISTIQUES QUANTITATIVES 5.1) CLASSES / MILIEUX/ FREQUENCES ET FREQUENCES RELATIVES Une variable statistique est : CONTINUE Si l’ensemble des modalités est un intervalle de nombres réels. P.Ex, la
température du corps humain est une VS continue puisque, à priori, la température peut prendre n’importe qu’elle valeur entre [30 ;44]
DISCRETE Si l’ensemble des modalités est un ensemble fini ou dénombrable. Ex, le nombre de buts marqués par une équipe de foot à chacun des matchs de la saison est une VS discrète puisque ces valeurs sont des nombres entiers
En pratique, cette différence n’est pas évidente. Dans presque tous les cas, il faudra, quelque soit le type de variable, SYNTHETISER l’information fournie par les données brutes et les REGROUPER PAR CLASSES. Pour imager cette méthode de regroupement en classes représentons un ensemble de données par des points au-dessus d’un axe.
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 30 sur 92
Le choix des bornes des classes doit si possible satisfaire les critères suivants :
Remarque : Il peut être difficile ou même impossible de respecter tous ces critères à la fois. Selon les situations il faudra faire un choix. Le bon sens et l’expérience seront les meilleurs guides. Lorsque le regroupement en classes est complété, commence l’analyse avec la détermination du/des : - MILIEUX - FREQUENCES - FREQUENCES RELATIVES
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 31 sur 92
EXEMPLE COMPLET 1 Le club d’athlétisme FIT a noté la taille n en centimètres de tous ses membres. Voici les données brutes que l’on a rangées dans un ordre ascendant :
142.4 162.1 172.1 178.3 181.2 188.5148.7 163.4 172.3 178.5 181.4 189.1151.5 165.1 172.7 179 182.1 190.3153.6 165.2 173.4 179.2 183.5 191.4156.1 166.3 175.2 179.6 184.2 192.5158.2 167.1 175.3 179.8 186.1 193.3159.8 170.3 176.1 180.2 187.2 196.2160.5 171.1 177.2 180.4 188.3 197.1161.3 171.2 177.4 180.9 188.4 205.2
Population : l’ensemble des membres du club d’athlétisme FIT Variable statistique : taille des membres de ce club (mesurée en centimètres) Type : variable statistique continue Taille la plus petite de la population : 142.4 Taille la plus grande de la population : 205.2
Choix ob : 140
Choix kb : 210
Nombre de classes : 7 p.ex ( 210-140=70 donc 7 classes de 10) Largeur de chaque classe : 10
Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES ou fréquences RELATIVES
[140;150[ 145 2 0.0370[150;160[ 155 5 0.0926[160;170[ 165 8 0.1481[170;180[ 175 18 0.3333[180;190[ 185 14 0.2593[190;200[ 195 6 0.1111[200;210[ 205 1 0.0185
Totaux 54 1.0000
mi ni fixi
Pour représenter graphiquement une distribution de fréquences lorsque les données ont été regroupées en classes, on utilise deux types de graphiques :
Milieux : Représente le milieu de la classe. Sert à la construction des graphes (cf. ci-après)
Fréquences : (absolues) Pour chaque modalité ou pour chaque classe, on calcule le nombre d’individus appartenant à cette modalité ou à cette classe. La somme des fréquences absolues est toujours égale au nombre d’individus
Nnk
1ii =∑
=
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 32 sur 92
- l’histogramme
est un diagramme en colonnes où les rectangles sont juxtaposés. En effet le4s modalités sont ici remplacées par des classes et ces classes sont formées d’intervalles successifs de sorte qu’il n’y a plus lieu de séparer ces rectangles. Chaque rectangle représente l’ensemble des données comprises dans la classe définie par l’intervalle à la base. Comme ces rectangles ont tous des bases égales et que les hauteurs dépendent de la fréquence, on en conclut que l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence de la classe correspondante.
Taille des membres du club d’athlétisme FIT
- le polygone des fréquences
est une ligne brisée obtenue en joignant les points milieux consécutifs des sommets des rectangles de l’histogramme. On débute et on termine le polygone des fréquences sur l’axe horizontal en imaginant une classe de fréquence nulle avant la première classe et une autre après la dernière classe et en considérant le point milieu de ces rectangles de hauteurs nulles.
Taille des membres du club d’athlétisme FIT
5.2) MODE / MEDIANE / MOYENNE Pour décrire un ensemble de données, on cherche à dégager des caractéristiques d’une distribution des fréquences. On définit des mesures indiquant où se situent le centre et par extension toute autre position. Ce sont les mesures de tendance centrale, les mesures de position, les mesures de dispersion et la mesure de dissymétrie. Au sujet de la tendance centrale, nous pouvons définir trois mesures : le mode, la médiane et la moyenne Nb) nous ne considérerons pas ici l’ajustement de classes qui pourrait être nécessaire
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 33 sur 92
5.2.1 : MODE )M( O
Définition : Il s’agit de la modalité ou de la classe modale qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Par extension, la classe modale est la classe ayant la plus grande fréquence
Exemple : cf. ci-après Caractéristiques : - Il peut y avoir plus d’un mode dans une distribution -> distrib. bimodale ou plurimodale - ne tient pas compte de toutes les données et n’est pas influencé par les données extrêmes de la distribution - dans le cas de données groupées, il peut être grandement influencé par le choix des classes - n’est pas une mesure très stable, sa valeur varie beaucoup d’un échantillon à l’autre
choisi dans une même population
5.2.2 : MEDIANE )Md(
Définition :
La médiane est la valeur )x( i où l’on a 50 % des observations au dessous de cette valeur et 50% en dessous
de cette valeur. C’est la première modalité dont la fréquence relative cumulée atteint ou dépasse donc 0.5. La classe médiane est la première classe où la fréquence relative cumulée atteint ou dépasse 0.5
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 34 sur 92
Exemple : cf. ci-après Caractéristiques : - elle provient d’une conception simple de la notion de centre - elle ne tient pas compte de toutes les données, mais uniquement de la position des données ; elle n’est donc pas influencée par les données extrêmes de la distribution - dans le cas de données groupées, elle est peu influencée par le choix des classes - elle remplace la moyenne lorsqu’il y a des classes ouvertes - elle est surtout utilisée lorsque la distribution de fréquences est fortement dissymétrique 5.2.3 : MOYENNE ( X ) Il existe plusieurs types de moyennes : moyenne arithmétique simple, pondérée, avec effectifs, géométrique, harmonique. Nous allons retenir ici la MOYENNE ARTHMETIQUE AVEC EFFECTIFS. Si les données sont CONDENSEES en classe, la moyenne de la distribution des fréquences de la variable statistique X est définie par :
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 35 sur 92
Si les données sont GROUPEES en classe, on calcule à l’aide du milieu de la classe comme si toutes les données étaient situées au centre de la classe qui les contient. La moyenne de la distribution des fréquences de la variable statistique est alors définie par :
� nous utiliserons principalement des données GROUPEES dans ce chapitre Caractéristiques : - elle est sans doute la mesure de tendance centrale la plus familière - elle tient compte de toutes les données ; elle est donc influencée par les données extrêmes de la
distribution - dans le cas de données groupées, elle est peu influencée par le choix des classes - ne peut pas être calculée s’il y a des classes ouvertes - sa valeur est stable, c’est-à-dire varie peu, d’un échantillon à l’autre, du fait qu’elle tient compte de
toutes les données Exemple : cf. ci-après AFIN DE FAIRE UN EXEMPLE DES TROIS MESURES CENTRALES, IL NOUS FAUT AVOIR AU DEPART UN TABLEAU COMPLET (avec plus d’éléments que le 1er ci-devant)
X=
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 36 sur 92
EXEMPLE : Voici le même tableau que celui initial avec l’ajout d’une nouvelle colonne :
Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES FREQ. RELAT. ou fréquences RELATIVES CUMULEES
[140;150[ 145 2 0.0370 0.0370[150;160[ 155 5 0.0926 0.1296[160;170[ 165 8 0.1481 0.2778[170;180[ 175 18 0.3333 0.6111[180;190[ 185 14 0.2593 0.8704[190;200[ 195 6 0.1111 0.9815[200;210[ 205 1 0.0185 1.0000
Totaux 54 1.0000
mi ni Fixi fi
Mode et classe modale
a) classe modale = [170 ;180[ puisque cette classe à le plus grand effectif b) mode
10*)1418()818(
)818(170MO −+−
−+=
14.177M O =
Médiane et classe médiane
c) classe médiane = [170 ;180[ puisque c’est la première classe où la fréquence relative cumulée dépasse 0.5
d) médiane
10*3333.0
2778.05.0170Md
−+=
66.176Md = Moyenne
e) 54
1*2056*19514*18518*1758*1655*1552*145X
++++++=
175,X =
Remarque pour éviter ces calculs, il suffit d’ajouter une colonne au tableau iimn
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 37 sur 92
5.3) VARIANCE / ECART-TYPE Le point précédent a été consacré à l’étude d’une importante caractéristique d’une distribution de fréquence, la tendance centrale. Cette tendance centrale, que l’on mesure par le mode, la médiane ou la moyenne, indique autour de quelle valeur se situent les données étudiées. Cette mesure ne donne pas une description suffisamment précise de la distribution de fréquences. Par exemple : Si la moitié d’une classe obtient la note 10 à un test et l’autre moitié de la classe la note 2 ou si toute la classe obtient la note 6, la moyenne de la classe est la MEME et pourtant les DISTRIBUTIONS des notes sont très différentes. Pour exprimer cette différence, il faut définir des grandeurs pour mesurer la DISPERSION, l’étalement des données autour de la mesure de tendance centrale : les mesures de dispersion. Ces mesures permettent de juger de la représentativité des mesures de tendance centrale. Calculs : 1/ La variance est la moyenne des écarts (par rapport à la moyenne) au carrés
2)(1
)( xxnn
xV ii
i −= ∑ ET AVEC LE TABLEAU
2k
1iii
k
1ii
2i mfmf)x(V ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
==
2/ L’écart-type est la racine carrée de la variance ou encore, la moyenne quadratique des écarts (à la moyenne)
22/12/1
2 )()()(1
xVxVxxnn i
ii ==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑σ
REMARQUE IMPORTANTE : Si les données sont groupées en classe, on calcule comme si toutes les données étaient situées au centre de la classe qui les contient. Exemple : Moyenne des salaires dans une entreprise est de 3000 euros, et l’écart type est de 500 euros, alors on dira qu’en moyenne les salariés gagnent entre 2500 et 3500 euros (ou encore 5003000 ± euros). Propriétés de l’écart type : MEILLEURE MESURE QUE LA VARIANCE • L’écart type s’exprime avec la même unité que la moyenne (ce n’est pas le cas de la variance V(x)
exprimées en unités ‘au carré’). • L'écart-type est aussi utile quand on compare la dispersion de deux ensembles de données séparés qui ont
approximativement la même moyenne. Un petit écart type renseigne sur une dispersion étroite autour de la moyenne.
• L'écart-type n'est jamais négatif. • L'écart-type est zéro si toutes les valeurs d'un ensemble de données sont les mêmes (parce que chaque
valeur est égale à la moyenne). Exemple : cf.ci-dessous AFIN DE FAIRE UN EXEMPLE COMPLET, IL NOUS FAUT AVOIR AU DEPART UN TABLEAU COMPLET
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 38 sur 92
EXEMPLE COMPLET avec données groupées en classes
Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES FREQ. RELAT. ou fréquences RELATIVES CUMULEES
[140;150[ 145 2 0.037 0.037 5.370 778.704[150;160[ 155 5 0.093 0.130 14.352 2224.537[160;170[ 165 8 0.148 0.278 24.444 4033.333[170;180[ 175 18 0.333 0.611 58.333 10208.333[180;190[ 185 14 0.259 0.870 47.963 8873.148[190;200[ 195 6 0.111 0.981 21.667 4225.000[200;210[ 205 1 0.019 1.000 3.796 778.241
Totaux 54 1.0000 175.926 31121.296
mi ni Fixi fi
fimi fimi2
1) Classe modale et mode :
a)classe modale = [170 ;180[ puisque cette classe à le plus grand effectif
b)mode 10*)1418()818(
)818(170MO −+−
−+= => 14.177M O =
2) Médiane et classe médiane
c) classe médiane = [170 ;180[ puisque c’est la première classe où la fréquence relative cumulée dépasse 0.5
d) médiane 10*3333.0
2778.05.0170Md
−+= => 66.176Md =
3) Moyenne
e) 54
1*2056*19514*18518*1758*1655*1552*145X
++++++=
175,X = 4) Variance
2k
1iii
k
1ii
2i mfmf)x(V ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
===
2)926.175(296.31121 − = 171,338
5) Ecart-type
338.171= =13,08
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 39 sur 92
Formules à disposition : effectifs groupés en classes seulement Classes xi Effectifs ni Milieu mi Fréquences relatives fi Fréquences relatives cumulées Fi Calculs 1 fimi Calculs 2 fimi
2 Mode
oo m21
1mo L*bM
∆+∆∆
+=
Mediane
mdmd
1mdmd L*
f
F5.0bMd −−
+=
Moyenne
N
mnx ii
)(Σ= avec N : effectif total
Variance
2k
1iii
k
1ii
2i mfmf)x(V ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
==
Ecart-type
)x(V=σ
borne inférieure de la classe modale
Différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe précédente
Largeur de la classe modale
Différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe qui suit
borne inférieure de la classe médiane
Fréquence relative cumulée de la classe qui précède la classe médiane Largeur de la classe médiane
Fréquence relative de la classe médiane
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 40 sur 92
CHAPITRE 6 : DERIVEES II 1. Démonstration de la notion de pente et croissance / décroissance Lorsque le point B(4 ;0) de la sécante AB se rapproche du point A sur la tangente, la pente varie jusqu’au point où la sécante va se « fondre » dans la tangente. C’est cette pente que mesure la dérivée.
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 41 sur 92
Ainsi :
La dérivée est donc x
y
∆∆
=0
0 )()(
xx
xfxf
−−
= pente de la sécante = pente de la tangente
Le nombre dérivé de f en 0x est égal à x
y
xxou
x ∆∆
>−
>−∆
0
0lim
Théorème 1 : la dérivée d’une fonction constante est nulle Ex : f(x)=C p.ex f(x)= 4 signifie que qq soit la val de x -> le y sera toujours 4
La dérivée est donc x
y
∆∆
=0
0 )()(
xx
xfxf
−−
=x
CC
∆−
=x∆
0= 0
Théorème 2 : explication de la dérivation (effet sur la puissance)
Nous savons que : )()( 0xfxf − = y∆ et que 0xx − = x∆
or )()( 0 xxfxf ∆+= comme x
y
∆∆
=0
0 )()(
xx
xfxf
−−
alors x
xfxxf
∆−∆+ )()( 00
Si l’on veut démontrer que la dérivée de 2x =2x on pose le calcul suivant :
2)( xxf = (p.ex si x=2 alors f(x)=4 donc f(2)=4
d’après x
xfxxf
∆−∆+ )()( 00 alors =>
x
xxx
∆−∆+ 2
02
0 )()(=
x
xxxxx
∆−∆+∆+ 2
02
02
0)(])(2)[(
après simplification il reste x
xxx
∆∆+∆+ 2
0 )(2 puis
x
xxx
∆∆++∆ ]2[ 0 puis xx ∆++ 02
comme le nombre dérivé de f en 0x est égal à x
yx ∆
∆>−∆ 0
lim alors de xx ∆++ 02 ci-dessus
il restera 02x+ et nous pouvons confirmer que la dérivée de est bien 2x
Théorème 3 : Du théorème 2 nous pouvons aisément déduire que la dérivée de x ou 1x est 1 (ou 1 fois
le coefficient de x – ex : dérivée de 8x=8). En effet si xxf =)( alors d’après
x
xfxxf
∆−∆+ )()( 00 nous obtenons
x
xxx
∆−∆+ 1
01
0 )()(=
x
xxx
∆−∆+ 00 =
x
x
∆∆
= 1
)(xf y∆ y∆ )( 0xf
0x x∆ x
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 42 sur 92
2. Démonstration de la notion de dérivée en un point La dérivée d’une fonction f(x) en un point A -> soit f’(A) donne la pente de la tangente en ce point
Soit f(x)= 2082 +− xx donc
f’(x)= 82 −x
La dérivée de f(x) au point A= 5 (x=5) donne f’(5)=2
Soit f(x)= 2082 +− xx donc
f’(x)= 82 −x
La dérivée de f(x) au point A= 6.5 (x=6.5) donne f’(6.5)=5
Soit f(x)= 2082 +− xx donc
f’(x)= 82 −x
La dérivée de f(x) au point A= 4 (x=4) donne f’(4)=0
TRES IMPORTANT : Lorsque la dérivée (càd la pente de la tangente) = 0 (càd une pente nulle) nous atteignons un l’EXTREMUM…cf 2ème
année…
Soit f(x)= 2082 +− xx donc
f’(x)= 82 −x
La dérivée de f(x) au point A= 1 (x=1) donne f’(1)= -6
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 43 sur 92
3. Démonstration de la notion de dérivée en un point et de limite en en point Si nous reprenons l’exemple ci-dessus, soit la fonction : f(x)= 2082 +− xx Lorsque nous calculons la dérivée f’(x) de cette fonction en x=6.5 cela revient à calculer la limite de la dérivée en ce point soit 82lim
5.6−
>−x
x
Ex 4. Tableau des dérivées Fonction Dérivée Commentaires 1 f(x) f’(x) 2 C 0 3 x 1 4 2x 2x
5 nx 1. −nxn 6
x
1 2
1
x−
x
1 = 1−x = 21 −− x donc 2
1
x−
7 x
x2
1 x = 2
1
x =1
2
1
2
1 −x = 2
1
2
1 −x =
2
1
1*
2
1
x
=x2
1
8 sin x cos x 9 cos x -sin x 10 tan x
xou
x
2
2
cos
1
tan1+
11 ln x
x
1
12 xalg
)ln.(
1
ax
13 xe xe 14 xa aa x ln.
Tableau des fonctions dérivées Fonction Dérivée Commentaires15 U+V U’+V’ 16 U.V U’V+U.V’ 17 U.V.W U’.V.W+U.V’.W+U.V.W’ 18
V
U 2
'.'.
V
VUVU −
5. Dérivées de fonctions composées : !!! il faut aussi dériver la « fonction intérieure »
DERIVEE Calculer la dérivée f’(6.5) de f(x)= 2082 +− xxf’(x)= 2x-8 f’(6.5)= 2(6.5)-8= 5
LIMITES 82lim
5.6−
>−x
x
=> 2*(6.5)-8 = 5
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 44 sur 92
CHAPITRE 7 : INTERETS COMPOSES On ajoute périodiquement sur un compte épargne les intérêts échus au capital. On obtient ainsi un nouveau capital pour le calcul des intérêts lors de la prochaine période. On parle donc de capitalisation des intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque période (une période n’est pas nécessairement toujours une année). Les intérêts s’ajoutent donc à chaque début de nouvelle période au capital de la période passée. Cette méthode de calcul est dite des intérêts composés. Il s’agit de la méthode de calcul la plus utilisée et utilisée dans les remboursements de prêts, les placements, les assurances. 7.1 Différence entre intérêts simples et intérêts composés Ex. Une somme de CHF 100'000.- est placée dans un compte épargne au taux annuel de 2%. Les intérêts
sont capitalisés à la fin de chaque année. Calculons le capital disponible à la fin des 5 prochaines années dans les deux cas (intérêts simples et composés) 7.2 La formule des intérêts composés
n
0n )i1(CC +=
nC : Capital final. Il s’agit du montant qui aura été capitalisé à un certain taux
pendant une certaine durée
0C : Capital initial. Il s’agit du montant investi en début de période. Le capital
initial est déduit de la formule principale ci-dessus, soit
nn
0)i1(
CC
+=
)i1( et i + : i => taux d’intérêt exprimé en t/100 ex) 5 % -> i=0.05
1+i => facteur de capitalisation. Important : on exprime ce facteur par la lettre « r » soit r=1+i Le facteur de capitalisation r est déduit de la formule générale, soit
n
0
n
CC
r =
n : durée du placement. Il peut correspondre à l’année, au semestre, au trimestre, au mois, au jour. Il se déduit de la formule générale, soit
)i1 log(
C
C log
n 0
n
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
Exemples : a) Un capital de CHF 6'000.- est placé à intérêts composés au taux annuel de 3%. Quelle sera la valeur de
ce capital dans 3 ans ? b) Quelle somme doit-on placer dans un compte au taux annuel de 3 %, capitalisation des intérêts trimestrielle, si on veut disposer d’une somme de CHF 10'000.- dans 7 ans ? => le calcul de la valeur actuelle d’un capital à partir d’une valeur future est une
actualisation. Dans ce cas, le facteur (1+i) ou r est le facteur d’actualisation.
c) A quel taux faut-il placer CHF 3'000.-, intérêts capitalisés semestriellement , si la valeur acquise en 4 ans est de CHF 4'266.30 ? d) Combien de temps faut-il placer un capital de CHF 10'000.- au taux de 5%, intérêts capitalisés annuellement, pour obtenir CHF 22'920.20 ?
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 45 sur 92
CHAPITRE 8 : RENTES +(CREDITS et LEASING) (ATTENTION AUX SIGNES ….A COMPLETER MANUELLEMENT) 8.1 Définitions L’effet de l’intérêt composé sur un capital unique a été examiné dans le chapitre précédent. Nous allons étudier dans ce chapitre le cas d’une succession de capitaux (rentes) Par définition, une rente est une suite de montants qui se succèdent à des intervalles de temps. Ces montants sont appelés les termes de la rente. Entre chaque terme de la rente il y a un intervalle de temps. On distingue principalement deux types de rentes :
a) rente praenumérando Les termes sont échus au début de l’intervalle de temps. Le paiement du terme a lieu au début de la période. On s’en sert p.ex. pour constituer un capital, cumuler des fonds pour la retraite ou payer une assurance-vie
b) rente postnumérando Les termes sont échus à la fin de l’intervalle de temps. Le paiement du terme a lieu à la fin de la période. On s’en sert p.ex. pour rembourser une dette
La rente est dite aussi: a) temporaire si le nombre des termes est limité b) perpétuelle si le nombre des termes est illimité
La rente est dite également : a) immédiate lorsque la durée de la rente se confond avec sa durée de payement b) différée lorsque l’on envisage une durée de rente dans laquelle la durée de payement est précédée
d’une autre durée, sans payements de termes. Nous faisons aussi la distinction entre a) valeur initiale : si l’époque à laquelle on calcule la valeur actuelle de la rente est située au début de
la durée b) valeur finale : si l’époque à laquelle on calcule la valeur actuelle de la rente est située à la fin de la
durée
Distinction entre les termes : a) termes entiers : quand l’intervalle de temps qui sépare les échéances de deux termes consécutifs
est égal à la période du taux d’intérêt utilisé pour calculer la valeur actuelle de la rente, les termes sont dits entiers
b) termes fractionnés : quand l’intervalle de temps est une fraction de période, les termes sont dits fractionnés
8.2 Rente temporaire (limitée) immédiate à termes constants et entiers
Lorsque la rente comprend n termes entiers, tous égaux à 1, les valeurs actuelles sont désignées par les notations suivantes : Rente payable : Valeur initiale Valeur finale POSTNUMERANDO an sn PRAENUMERANDO än sn !!!! à compléter
L’angle précise que le nombre qu’il encadre est une durée de payement. Ainsi, par exemple, pour une rente de 8 termes entiers égaux chacun à CHF 1000.-, le premier étant payable une période après l’époque de calcul, la valeur actuelle est désignée par 1000 a8 8.2.1 Valeur actuelles de la rente payable postnumérando a) Valeur initiale
On obtient la valeur initiale de la rente en escomptant les termes à intérêt composé i
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 46 sur 92
iv1an
n−= où v=
i 11+
où =r1
b) Valeur finale
On obtient la valeur initiale de la rente en capitalisant les termes à intérêt composé i
i1 rS
n
n−= où r=1+i
8.2.2 Valeur actuelles de la rente payable praenumérando c) Valeur initiale
dv1 än
n−= où d=
i1i+
où =ri
d) Valeur finale
d1 r s
n
n−= où d=
i1i+
où =ri
8.3. Relations entre valeurs actuelles Le schéma suivant montre que la même rente peut être considérée comme payable postnumérando ou praenumérando selon le moment auquel on fixe l’époque de calcul Valeur initiale d’une rente payable POSTNUMERANDO
� valeur de tous les termes 1 an avant le 1er versement 1 1 1 1
iv1an
n−= où v =
i 11+
où =r 1
Epoque de calcul
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 47 sur 92
Valeur finale d’une rente payable POSTNUMERANDO
� valeur de tous les termes au moment du dernier versement 1 1 1 1
i1 rS
n
n−= où r=1+i
Valeur initiale d’une rente payable PRAENUMERANDO � valeur de tous les termes au moment du 1er versement 1 1 1 1
dv1 än
n−= où d=
i1i+
où =ri
Valeur finale d’une rente payable PRAENUMERANDO � valeur de tous les termes 1 an après le dernier versement 1 1 1 1
d1 r s
n
n−= où d=
i1i+
où =ri
8.4. Utilisation des tables Les valeurs numériques des fonctions ci-dessus sont indispensables pour les calculs de mathématiques financières. Les valeurs données par les tables (cf.annexes) correspondent à nä et ns
ainsi, les valeurs na et ns s’obtiennent au moyen des relations suivantes : 1aa 1nn −= + et
1ss 1nn += −
Epoque de calcul
Epoque de calcul
Epoque de calcul
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 48 sur 92
4. Chapitres complémentaires 3ème année MPC/ESC CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES Avec exercices corrigés CHAPITRE B : VECTEURS (intro)+produit scalaire et norme Avec exercices corrigés CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE (NOTIONS) Avec exercices corrigés Nb) il va de soi que des exercices supplémentaires peuvent se trouver très facilement sur le net
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 49 sur 92
4.1 CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES PROGRESSIONS ARITHMETIQUES 1.1 Définition Une progression arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal au précédent plus un nombre constant, différent de zéro, appelé raison de la progression. ex : 90,92,94,96,98,100,…, : raison = 2 On note le premier terme d’une progression arithmétique (PA) -> a1 et la raison r On indique le rang d’un terme dans une PA par un indice et on désigne le nème terme par -> an . Une progression arithmétique s’écrit alors : a1, a2=a1+r, a3=a2+r, a4=a3+r,….., an=an-1+r ou encore a1, a2=a1+r, a3=a1+2r, a4=a1+3r,….., an=a1+(n-1)r an=a1+(n-1)r 1.2 Somme des termes d’une PA : On désire calculer la somme des termes d’une progression arithmétique sans avoir à écrire tous les termes pour les additionner. On peut trouver une formule générale permettant de faire cette opération très simplement. Notons S la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique:
Ecrivons cette somme deux fois en renversant l’ordre des termes et additionnons membre à membre ces deux égalités:
)aa(2n
S n1n += ou ]r)1n(a2[2n
S 1n −+=
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 50 sur 92
1.3 Autres propriétés d’une PA :
Remarque :
Les formules an=a1+(n-1)r et )aa(2n
S n1n += renferment 5 quantités, soit
an , a1 , n, r, Sn . On pourra calculer deux de ces cinq quantités, quand les trois autres seront donnés. 1.3 Moyenne arithmétique dans une PA : La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est définie par (a+b)/2. C’est la
moyenne de a et b. Soit � b,2
ba,a
+ . Les trois nombres forment une PA (limitée)
avec une raison r= ½ (b-a) Ce concept peut être généralisé de la manière suivante : Si c1,c2,..ck sont des nombres réels tels que : a, c1,c2 ,…, ck,b alors c1,c2 ,…, ck, sont les k moyens arithmétiques entre les nombres a et b Lorsque l’on introduit k moyens arithmétiques entre des nombres, la question est de déterminer la raison de la « nouvelle » PA Deux méthodes :
1) La raison de la PA cherchée s’obtient en divisant l’excès du second membre sur le premier par le nombre des moyens (m) à insérer augmenté d’une unité
2) Utiliser la formule de « base » an=a1+(n-1)r en redéfinissant les
données de la PA
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 51 sur 92
PROGRESSIONS GEOMETRIQUES 1.1 Définition Une progression géométrique (PG) est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal au précédent multiplié par un nombre constant, différent de +-1, appelé raison de la progression. Nous ne considérons que des progressions géométriques dont tous les termes sont positifs. Une PG est croissante quand sa raison est supérieure à l’unité ; elle est décroissante quand sa raison est inférieure à l’unité ex : 1,2,4,8,16, …. 1,0.5,0.25,0.125,… On note le premier terme d’une progression géométrique (PG) -> a1 et la raison r On indique le rang d’un terme dans une PG par un indice et on désigne le nème terme par -> an . Une PG s’écrit alors : a1, a2=a1r, a3=a2r, a4=a3r,….., an=an-1r ou encore a1, a2=a1r, a3=a1r
2, a4=a1r3,….., an=a1r
n-1 an=a1r
n-1 1.2 Somme des termes d’une PG : On désire calculer la somme des termes d’une PG sans avoir à écrire tous les termes pour les additionner. On peut trouver une formule générale permettant de faire cette opération très simplement. Notons S la somme des n premiers termes d’une PG :
Multiplions les deux membres de cette égalité par r :
On soustrait membre à membre ces deux égalités
r
raS
n
n −−
=1
11
Si
intérêt.d' peu présente casCe grande. infiniment aussidevienttermesdessommela et grand infinimentdevientgénéraltermele:1r >
:formulela pardonnéeestElleinfinie. PG la de sommela S notéelimite, unevers tend termes des sommela et 0 verstend généraltermele:1r
∞
<
r1
aS 1
−=∞
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 52 sur 92
1.3 Autres propriétés d’une PG :
Exercices 1. Les 3 premiers termes d’une PA sont 8,19,30. Calculer le 29ème terme. 2. Les 3 premiers termes d’une PA sont 20,16.5,13. Calculer le 15ème terme. 3.
Trouvez le 15ème terme de la PG 128,64,32,16,8,….
4. Sachant que le 4ème terme d’une PA est 5 et que le 9ème est 20, calculer le 17ème 5. Trouvez le 20ème terme d’une PA sachant que le 1er est 3 et le 7ème est 12 6. Trouvez le 11ème terme de la PG et la somme des 11 premiers termes de la PG suivante :
3
16 ;
3
8− ;
3
4 ;
3
2− ….
7. Calculez la somme de tous les entiers pairs de 2 à 100 8. Dans une PA de 12 termes, la somme des termes est 336. La différence des extrêmes est 44. Quelle est
la progression ? 9. On sait que le 3ème terme et le 8ème terme d’une PA donnent pour somme 20, sachant aussi que le 5ème
terme et le 10ème terme donnent 28 pour somme, quels sont ces 4 termes ? 10. Une PG comporte 8 termes dont le 1er est 78'125 et le dernier 128. Trouver la raison et la somme 11. Quel prix va offrir aujourd’hui un garagiste à son client pour une voiture vendue il y a 7 ans CHF
52'000.- sachant que la valeur du véhicule se déprécie de 15% par an ?
12. On sait que le 5ème terme et le 7ème terme d’une PA donnent pour somme -46, sachant aussi que le 17ème terme et le 19ème terme donnent -166 pour somme, quels sont ces 4 termes ?
13. La somme de 3 nombres en PA est 54, leur produit est 4374. Quels sont ces trois nombres ? 14. La raison d’une PA de 4 termes est 4, le produit des 4 termes est 6144, Quelle est la progression ? 15. Un employé à reçu en 1995, CHF 35'000.- de salaire de base. De 1996 à 2001, il a reçu en moyenne 3
% d’augmentation par année. Dès 2002, l’augmentation annuelle est de 1,5 %.
a) quel salaire aura-t-il en 2004 ? b) au total, combien aura-t-il reçu en salaires de 1995 à 2005 ?
16. Une balle a une élasticité telle que , lorsqu’elle tombe sur le sol d’une certaine hauteur, elle rebondit au
3/5 de cette hauteur. On lache cette balle d’une hauteur de 20 mètres. Quelle distance totale parcourra la balle avant de s’arrêter ?
17. En 1990, une usine a fabriqué 1000 moteurs. De 1991 à 1998, cette même usine a pu augmenter sa production de 50 moteurs par année. De 1999 à 2001, suite à une crise dans le secteur automobile, la production a diminué et n’a augmenté pendant cette période que de 25 moteurs par année.
a) combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ? b) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ? c) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990
et 2001 ? Pour cette même usine, les coûts de production étaient de CHF 900'000.- en 1990. Ces coûts ont augmenté de 2 % par année jusqu’en 2001. d) quel était le coût de production en 2000 de cette usine ?
18. En 1998, une société a eu CHF 735'000 de charges d’exploitation. Sachant que ces charges augmentent de 7 % par année, fera-t-elle un bénéfice en 2004 si son chiffre d’affaires estimé à cette date (2004) sera de CHF 1'403'036 ? Si oui, combien ?
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 53 sur 92
19. En 1998 il y a eu 45 naissances dans un hôpital. Sachant que les naissances augmentent de 4 % par
année, combien y aura-t-il de naissances dans cet hôpital a) en 2003 ? b) 10 ans après ?
20. Sylvain joue chaque semaine à la loterie. Il a commencé par miser 4.- puis 2.- de plus chaque semaine. a) combien a-t-il misé la 25ème semaine ?
b) depuis le début et jusqu’à la 25ème semaine (comprise), Sylvain a gagné CHF 570.-. A-t-il gagné ou perdu de l’argent ? Combien ?
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 54 sur 92
Corrigés Exercice 1 : Les 3 premiers termes d’une PA sont 8,19,30. Calculer le 29ème terme.
rnaan )( 11 −+= et 1−−= nn aar
=1a 8
=2a 19
=3a 30
CALCUL DE LA RAISON r donc r= −2a =1a
19-8= 11 = r ou (30-19) aussi CALCUL DU 29Eme terme
alors ))(( 11129829 −+=a DONC 31629 =a
Exercice 2 : Les 3 premiers termes d’une PA sont 20,16.5,13. Calculer le 15ème terme.
rnaan )( 11 −+= et 1−−= nn aar
=1a 20
=2a 16.5
=3a 13
CALCUL DE LA RAISON r : donc r= −2a =1a
16.5 - 20= -3.5 = r ou (13-16.5) aussi CALCUL DU 15èME TERME :
alors ).)(( 531152015 −−+=a 2915 −=a
Exercice 3 : Trouvez le 15ème terme de la PG 128,64,32,16,8,…. Formule :
11
−= nn raa
=
1a 128 =
2a 64 =3a 32 …
2
1
128
64==r
=15a ?
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 55 sur 92
115
15 2
1128
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=a
14
2
1128 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
16384
112815 *=a
==16384
12815a
128
1
Exercice 4 : Sachant que le 4ème terme d’une PA est 5 et que le 9ème est 20, calculer le 17ème
=4a 5
=9a 20
=17a ?
rnaan )( 11 −+=
raa
raa
)(
)(
19
14
19
14
−+=
−+=
ra
ra
820
35
1
1
+=
+=
J’ai maintenant le choix, soit éliminer 1a soit éliminer r
=> p.ex j’élimine 1a
ra
ra
820
35
1
1
+=
+= )(*1−
ra
ra
820
35
1
1
+=
−−=−
r515 = r=3 donc dans p.ex
ra 351
+=
)(335 1 +=a
14 a=−
J’utilise la formule rnaan )( 11 −+= et donc
))(( 3117417 −+−=a
4417
=a
Exercice 5 : Trouvez le 20ème terme d’une PA sachant que le 1er est 3 et le 7ème est 12
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 56 sur 92
=1a 3
=7a 12
=20a ?
rnaan )( 11
−+=
ra )( 1737 −+= donc
r)( 17312 −+= et
2
3
6
9==r
))((2
3120320 −+=a
5.3120 =a
Exercice 6 :
Trouvez le 11ème terme de la PG et la somme des 11 premiers termes de la PG suivante : 3
16 ;
3
8− ;
3
4 ;
3
2− ….
=11a ? =11S ?
=1a 3
16 =2a
3
8− =3a
3
4 …
r=
3
163
8−
=16
3
3
8*− =
2
1
1
1*− =
2
1−
Formules :
11
−= nn raa
r
raS
n
n −−
=1
11
r1a
S 1
−=∞
1ère question : =11a ?
111
11 2
1
3
16 −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=a =10
2
1
3
16⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− =192
1
2ème question : somme r est ??? r <1 et PG illimitée :nous utilisons la 2ème formule de la somme
r1a
S 1
−=∞
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 57 sur 92
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
2
11
3
16
11S
2
33
16
= …… = 9
32
Exercice 7 : Calculer la somme de tous les entiers pairs de 2 à 100
=1a ?
= 2 =na 100
r =2
rnaan )( 11 −+= ])([ rnan
Sn 122 1
−+= )aa(2n
S n1n +=
Déterminons n :
rnaan )( 11 −+=
212100 )( −+= n
n=50 La somme
)( nn aan
S +=12
)( 10022
5050
+=S
…
255050 =S
Exercice 8 : Dans une PA de 12 termes, la somme des termes est 336. La différence des extrêmes est 44. Quelle est la progression ? n = 12
=12S 336
=− 112 aa 44
PA= ?
On sait ici que 441 +=aan
On sait que )( nn aan
S += 12
nb) j’utilise cette formule car je n’ai pas la raison r
Donc )( 442
12336
11++= aa
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 58 sur 92
)( 4422
12336 1 += a ���� mise sous même dénominateur
)( 44212672 1 += a
…
61 =a
Donc si 44112 += aa et que 61 =a alors 50
12=a
Pour trouver la progression , il me faut trouver la raison (r)
rnaan )( 11 −+=
r)( 112650 −+=
4=r
PA={6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50}
Exercice 9 : On sait que le 3ème terme et le 8ème terme d’une PA donnent pour somme 20, sachant aussi que le 5ème terme et le 10ème terme donnent 28 pour somme, quels sont ces 4 termes ?
:termeème3 raa )( 1313 −+= s’écrit donc ra 21+ ainsi la donnée devient ->
ratermeème 23
1+:
20 ratermeème 78 1+:
ratermeème 45
1+:
28 ratermeème 910
1+:
ratermeème 23 1 +:
20 20921
=+ ra
ratermeème 78 1 +:
ratermeème 45 1 +:
28 281321
=+ ra
ratermeème 910 1 +:
2092 1 =+ ra (*-1) 2092 1 −=−− ra
28132 1 =+ ra 28132 1 =+ ra
84 =r
2=r dans 2092 1 =+ ra si r= 2
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 59 sur 92
20182 1 =+a
11=a
Ainsi les 4 termes sont :
2213
)(+=a =5
2415
)(+=a =9
2718
)(+=a =15
29110
)(+=a =19
Exercice 10 :
Une PG comporte 8 termes dont le 1er est 78'125 et le dernier 128. Trouver la raison et la somme 8S
N=8
=1a 78125
=8a 128
r= ? =8S ?
Formules :
11
−= nn raa
1
1
a
ar nn =−
r
raS
n
n −−
=1
11
r1a
S 1
−=∞
1ère question : r=?
11
−= nn raa
188 78125 −= ra *
1878125128 −= r* donc 7
78125
128r=
rou =7
7
78125
128
78125
128
r= 5
2
2ème question : somme r est <1 et PG limitée :nous utilisons la 1ère formule de la somme
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
5
21
5
21
78125
8
nS
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 60 sur 92
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−
5
21
390625
2561
78125 = … =
…=130123 Exercice 11 : Quel prix va offrir aujourd’hui un garagiste à son client pour une voiture vendue il y a 7 ans CHF 52'000.- sachant que la valeur du véhicule se déprécie de 15% par an ?
1ère année 2ème année 3ème année 52000.00 44200.00 37570.00-7800.00 -6630.00 -5635.5044200.00 37570.00 31934.50
Etc…
=7
a ?
=1a 44200 =2a 37570 …
r=44200
37570=0.85
Formules :
11
−= nn raa
1
1
a
ar nn =−
r
raS
n
n −−
=1
11
r1a
S 1
−=∞
67 85044200 ).(=a
= 16'670.- Exercice 12 : On sait que le 5ème terme et le 7ème terme d’une PA donnent pour somme -46, sachant aussi que le 17ème terme et le 19ème terme donnent -166 pour somme, quels sont ces 4 termes ?
:termeème5 raa )( 1515
−+= s’écrit donc ra 41 + ainsi la donnée devient ->
ratermeème 45 1 +:
-46 ratermeème 67 1 +:
ratermeème 1617 1 +:
-166
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 61 sur 92
ratermeème 1819 1 +:
ratermeème 45 1 +:
-46 461021
−=+ ra
ratermeème 67 1 +:
ratermeème 1617 1 +:
-166 1663421
−=+ ra
ratermeème 1819 1 +:
46102 1 −=+ ra (*-1) 46102 1 =−− ra
166342 1 −=+ ra 166342 1 −=+ ra
12024 −=r
5−=r dans 46102 1 −=+ ra si r= -5
46502 1 −=−a
21 =a
Ainsi les 4 termes sont :
))(( 5425
−+=a =-18
))(( 5627
−+=a =-28
))(( 516217
−+=a =-78
))(( 518219
−+=a =-88
Exercice 13 : La somme de 3 nombres en PA est 54, leur produit est 4374. Quels sont ces trois nombres ? Rappel théorique : Chaque terme d’une PA est égal à la moyenne arithmétique des deux termes qui l’encadrent (cf. 1.3 théorie) Mathématiquement l’énoncé devient : X-r (r= raison) x X+r La somme de ces trois nombres est donc : X-r (r= raison) x X+r 3x=54 x=18 Le produit de ces trois nombres est donc :
))(( rxrxx +− et
comme x=18 et le produit = 4374
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 62 sur 92
4374181818 =+− ))(( rr
2431818 =+− ))(( rr
243324 2 =− r …
812 =r donc r=+9 et r=-9 PA = {9;18 ;27} ET {27 ;18 ;9}
Exercice 14 : La raison d’une PA de 4 termes est 4, le produit des 4 termes est 6144, Quelle est la progression ? La raison (r) entre x-r et x+r est bien de 4 MAIS si je calcule à partir de x ma raison n’est plus de 4 mais de 2 (car x = 3 ici) Si on généralise à 4 termes : rx 3− rx −
x r= 2 rx + rx 3+ rx 3− 2r rx −
x 2r et comme r= 2 alors entre chaque terme j’ai bien 4 rx + 2r rx 3+ Le produit de ces 4 termes s’écrit: (x-3r)(x-r)(x+r)(x+3r) ainsi comme r=2 alors
61446226 =++−− ))()()(( xxxx
on effectue pour trouver ce x :
6144436 22 =−− ))(( xx
….
0600040 24 =−− xx … on arrive à une bicarrée (!) ….
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 63 sur 92
a) 1002 =x et x=+10 x= -10
b) 602 −=x impossible Exercice 15 : Un employé à reçu en 1995, CHF 35'000.- de salaire de base. De 1996 à 2001, il a reçu en moyenne 3 % d’augmentation par année. Dès 2002, l’augmentation annuelle est de 1,5 %.
c) quel salaire aura-t-il en 2004 ? d) au total, combien aura-t-il reçu en salaires de 1995 à 2005 ? 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Question a)
=1a 35000
r=1.03
=10a ?
Formules :
11
−= nn raa
- salaire en 2001
( ) 177 03.135000a −= = 41'791.83
- salaire en 2002 41791.83*1.5%=626.87+41791.83=42418.70
- salaire en 2004
( ) 133 015.170.42418a −= =43’700.80
Question b)
r
raS
n
n −−
=1
11
- total de 1995 à 2001
03.11
)03.1(135000S
7
7 −−= = 268'186.17
- total de 2002 à 2005
I. SI X= -10
2310 .−− = -16 210 −− = -12
10− 210+− = -8
2310 .+− = -6
II. SI X= +10
2310 .− = 4 210 − = 8
10 210 + = 12
2310 .+ = 16
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 64 sur 92
015.11
)015.1(170.42418S
4
4 −−= = 173'530.80
TOTAL : 268'186.17+173'530.80 = 441'716.97 ou env. 441'717.-
Exercice 16 : Une balle a une élasticité telle que , lorsqu’elle tombe sur le sol d’une certaine hauteur, elle rebondit au 3/5 de cette hauteur. On lache cette balle d’une hauteur de 20 mètres. Quelle distance totale parcourra la balle avant de s’arrêter ? 20 12 20 12 12 7.2 7.2 4.32 etc… Nous avons donc deux séries distinctes : montantes et descendantes Total distance parcourue = total distances montantes + total distances descendantes Remarque : En théorie il s’agit de deux séries illimitées… car ½ de la ½ etc… (philosophie) Série descendante : 20, 12, 7.2, 4.32 …
r= 605
3
20
12.==
Somme : r<1 et PG illimitée
r1a
S 1
−=∞
5
31
20
−=∞S
=50 mètres
Série montante : 12, 7.2, 4.32 …
r= 605
3
12
27.
.==
Somme : r<1 et PG illimitée
r1a
S 1
−=∞
5
31
12
−=∞S
=30 mètres
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 65 sur 92
Total : 50+30= 80 mètres Exercice 17 : En 1990, une usine a fabriqué 1000 moteurs. De 1991 à 1998, cette même
usine a pu augmenter sa production de 50 moteurs par année. De 1999 à
2001, suite à une crise dans le secteur automobile, la production a diminué et n’a augmenté pendant cette
période que de 25 moteurs par année.
a) combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ?
b) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ?
c) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 2001 ?
Pour cette même usine, les coûts de production étaient de CHF 900'000.- en 1990. Ces
coûts ont augmenté de 2 % par année jusqu’en 2001.
d) quel était le coût de production en 2000 de cette usine ?
combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ?
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
=1a 1000
n= 8 r= 50 (jusqu’en 1998)
rnaan )( 11 −+=
501810008
)( −+=a
13508
=a
quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ?
=1a 1000
n= 9 r= 50
])([ rnan
Sn 122 1
−+=
])(*[ 5019100022
99
−+=S
108009 =S
quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 2001 Je suis obligé de procéder par étapes Production totale de 1990 à 1998 La production totale a été de 10800 moteurs (cf. point ci-dessus) 1999 Je dois connaître la production de cette année pour aller plus loin
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 66 sur 92
1998 : 501910009
)( −+=a = 1400 moteurs
1999 : 1400+25= 1425 moteurs
� il faut procéder ainsi car en 1999, la raison passe de 50 à 25
a) Production totale de 1999 à 2001
=1a 1425
n= 3 r= 25
])([ rnan
Sn 122 1
−+=
])(*[ 2513140022
33 −+=S
42753
=S
Production totale de 1990 à 2001 : 10800+4275=15150 moteurs Question d) Coût de production 2000
=1a 900000 =2a 918000 =3a 936360 etc…
r=900000
918000=1.02
n= 11
=11a ?
1
1−= n
n raa
1011 021900000 ).(=a
= 1’097’095.- Exercice 18 : En 1998, une société a eu CHF 735'000 de charges d’exploitation. Sachant que ces charges augmentent de 7 %
par année, fera-t-elle un bénéfice en 2004 si son chiffre d’affaires estimé à cette date (2004) sera de CHF
1'403'036 ? Si oui, combien ?
98 99 00 01 02 03 04 1 2 3 4 5 6 7
=1a 735000 =2a 786450 etc
r= 071735000
786450.=
?=7a
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 67 sur 92
11
−= nn raa
( )67
071735000 .=a
= 1'103’036 Donc CA-Charges : 1'403’036-1'103’036= 300'000.- de bénéfice Exercice 19 : En 1998 il y a eu 45 naissances dans un hôpital. Sachant que les naissances augmentent de 4 % par année, combien y aura-t-il de naissances dans cet hôpital en 2010 ? 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=1a 45 =2a 46.8 etc
r= 04145
846.
.=
?=
13a
1
1−= n
n raa
( )1213
04145 .=a
= 72 naissances en 2010 Exercice 20 : Sylvain joue chaque semaine à la loterie. Il a commencé par miser 4.- puis 2.- de plus chaque semaine.
b) combien a-t-il misé la 25ème semaine ? c) depuis le début et jusqu’à la 25ème semaine (comprise), Sylvain a gagné
CHF 570.-. A-t-il gagné ou perdu de l’argent ? Combien ? La 25ème semaine :
=1a 4
r=2 =25a ?
rnaan )( 11
−+=
2125425
)( −+=a
5225
=a francs
Question b) gain ou perte :
=1a 4 r=2 =25a 52
)aa(2n
S n1n += ou ])([ rna
nSn 12
2 1 −+=
)( 5242
2525 +=S DONC 70025 =S francs ET 700-570=130.- de perte
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 68 sur 92
4.2 CHAPITRE B : VECTEURS-PRODUIT SCALAIRE-NORME
3.1 Définition
Un vecteur est une quantité physique et est défini par : - sa direction (représentée par la droite qui le supporte). - son sens (un vecteur est une grandeur orientée-> représenté par la flèche). - sa grandeur (distance entre ses deux extrémités, autrement dit sa longueur) -> norme
Comment se note un vecteur ? - deux lettres surmontées d'une flèche si le vecteur est représenté par une flèche d'origine A et d'extrémité B
A B ab - une lettre surmontée d'une flèche (repère hortonormée)
ur
3.2 Propriétés
a) 2 vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même longueur dire que 2 vecteurs sont égaux revient à dire que les segments formés par ces 2 vecteurs sont parallèles
CDAB= ���� BDAC =
b) Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs : de même longueur ,de même direction mais de sens opposés.
3.3 Addition de deux vecteurs 3.3.1 La relation vectorielle de Chasles un vecteur est égal à la somme de 2 vecteurs ayant un point commun : l'extrêmité pour le 1er et l'origine pour le deuxième
Interprétation :
A B
C D
A
B
A
AB B
ACBCAB =+
BC C
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 69 sur 92
Je pars de A pour arriver en B - Puis, je pars de B pour arriver en C = Résultat : cela équivaut à partir de A pour
arriver en C - DONC : + = (le point B commun, extrêmité de vecteur puis origine s'annule) : C'est ça, la relation de Chasles !! => faire la projection sur un axe pour voir graphiquement le résultat
Exemple : calculer : + +
Conformément à la propriété associative de l'addition, ja vais regrouper mes vecteurs de façon à pouvoir appliquer la relation de Chasles :
J'écris : + +
+ = , d'après la relation de Chasles
Mon expression devient : +
+ = , d'après la relation de Chasles
Par conséquent, + + = Mon addition de vecteurs est terminée
3.3.2 Règle du parallèlograme consiste à déplacer parallèlement à lui-même un vecteur (ici W) de façon à avoir une origine commune avec l’autre vecteur resté fixe. La résultante est alors la diagonale du parallèlogramme formé par les deux vecteurs avec, comme origine commune, l’origine des deux vecteurs
D
ADACAB =+
B C
A
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 70 sur 92
3.4 soustraction d’un vecteur (soustraction vectorielle)
soustraire le vecteur u au vecteur w c'est additionner à w l'opposé de u.
w
)( uw −+
u− u
3.5 multiplication d’un vecteur par un nombre réel (un scalaire)
Soit le vecteur ab . On peut le multiplier par un scalaire λ , ça n’affectera que sa norme (longueur) et éventuellement son sens mais jamais sa direction. Ainsi :
a) abab .. λλ =
b) si 1>λ , le résultat donnera un vecteur dont la norme sera plus grande
si 1<λ , le résultat donnera un vecteur dont la norme sera plus petite
si 0<λ , le résultat donnera un vecteur dont le sens sera opposé
3.6 notion de repère
Un repère est définit par une origine et deux (plan) ou trois axes suivant le nombre de dimension à considérer. Si nous désirons représenter l’espace (3 dimensions) le repère aura 3 axes. Le repère le plus connu est le repère orthonormé.
C'est une partie du plan délimitée par 2 droites perpendiculaires orthogonales e t normées : munies d'une norme (graduation)
(Y)
jo i
(X)
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 71 sur 92
L'intersection des 2 droites perpendiculaires est appelée origine du repère : point O
Les vecteurs et représentent la norme : soit ici 2 carreaux soit 1 cm : c'est l'échelle de graduation des axes à partir du point d'origine O
Tracer un repère orthonormé tel que = = 1 cm revient à tracer deux droites perpendiculaires, ayant pour intersection le point O, qui devient l'origine du repère : la droite verticale sera toujours en y et représente l'axe des ordonnées ; la droite horizontale sera toujours en x et représente l'axe des abcisses: les 2 axes seront gradués selon l'échelle de la
norme représentée par les vecteurs et . Ici la norme est de 1 cm :
Le point i du vecteur sera toujours placé sur l'axe des abcisses .Le point j du vecteur
sera toujours placé sur l'axe des ordonnées.
Un vecteur n’est autre qu’une droite, avec un sens, qui relie deux points dans un repère
3.7 coordonnées et composantes
Il s’agira de ne pas confondre ces deux notions - nous parlons de coordonnées lorsque nous parlons d’un point dans un repère - nous parlons de composantes lorsque nous parlons de vecteurs
Nous allons démontrer ces deux défintions à l’aide de deux exemples
(Y) P
j O i
(X)
(Y) A
B j
O i(X)
Vecteurs dont l’origine est l’origine du repère- les coordonnées du point O sont O(0 ;0) - les coordonnées du point P sont P(3 ;4) - les composantes du vecteur OP se trouvent à l’aide de la formule suivante :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
op
op
yy
xxOP => ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=04
03OP = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4
3OP
on va bien de O vers P, donc on soustrait les coordonnées de P à celle de O ; si on était allé de
po
Vecteurs dont l’origine n’est pas l’origine du repère- les coordonnées du point A sont A(2 ;5) - les coordonnées du point B sont B(4 ;2) - les composantes du vecteur ab se trouvent à l’aide de la formule suivante :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=AB
AB
yy
xxAB => ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=52
24AB = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
3
2AB
Si nous avions le sens opposé :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=BA
BA
yy
xxBA => ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=25
42BA = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
3
2BA
nb) la formule reste la même mais s’adapte au sens
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 72 sur 92
Constatation :
Pour vérifier les coordonnées de mon vecteur, je regarde le "chemin" que je dois parcourir sur mon dessin pour me rendre du point A au point B
3.8 la norme ou longueur d’un vecteur
La norme d’un vecteur notée p.ex. ab m’indique la longueur de mon vecteur.
3.8.1 Propriétés :
1) la norme (longueur ou distance) ne peut pas être négative. Donc sera toujours ab >0
2) la norme (longueur ou distance) n’est pas sensible au sens du vecteur : baab =
3.8.1 Calculs
Si nous avons les coordonnées de a et b 22 )()( ABAB yyxxab −+−=
Si nous avons les composantes du vecteur 22 )()( yx uuu += ou idem avec ab
Exemples :
1) Soit les coordonnées A(2 ;5) et B(4 ;2), calculez la norme du vecteur AB
22 )()( ABAB yyxxab −+−= donc
22 )52()24( −+−=ab =
22 )3()2( −+ = 94 + = 13 = 3.60 (cm p.ex)
2) Soit le vecteur ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
3
2ab , calculez la norme de ce vecteur
22 )()( yx uuu += , nous avons déjà les composantes du vecteur donc
22 )3()2( −+=ab = 94 + = 13 = 3.60 (cm p.ex)
3.9 le produit scalaire de deux vecteurs
Soit ur
et vr
deux vecteurs d’un repère orthonormé. On appelle produit scalaire de ur
et vr
le réel, noté
vurr. :
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 73 sur 92
a) correspondant à la somme des produits de leurs composantes.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
b
aur
et ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
d
cvr
alors vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = ac+bd
a,b,c,d sont les composantes des vecteurs
exemple : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3
2ur
et ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
1vr
alors vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = 2+6 = 8
b) correspondant au produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier sur le deuxième par la norme du deuxième (définition géométrique)
vurr. = θcos×× vu
rr si u
r ≠ 0ret v
r ≠ 0r,où
θ désigne une mesure
de l’angle ( )vurr
,
car ur . v
r = 0 si u
r = 0
r ou v
r= 0
r par extension
ab * ac = θcos×× acab
Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
3.9.1 Propriété fondamentale: On suppose A≠ B. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). Alors:
AB . AC = AHAB × .
autre démonstration
Si ur
= AB et vr
= AC avec A≠ B et A≠ C, alors u
r. vr
= AB . AC = AB × AC × cos B A C.
.
Le produit scalaire est donc positif pour � aigu, négatif pour � obtu.
A H B
C
A B
C
θ
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 74 sur 92
3.9.2 Propriétés du produit scalaire Propriétés opératoires: Soit u
r, vr, wr
trois vecteurs du plan et a un réel:
ur. vr
= vr.ur
ur.( vr
+ wr) = u
r. vr
+ ur.wr
(ur
+ vr).wr
= ur.wr+ v
r.wr
(aur). vr
= a(ur. vr) = u
r.(a v
r)
Condition d’orthogonalité : u
r et v
r sont orthogonaux ssi u
r. vr
= 0.
(AB) et (CD) sont perpendiculaires ssi AB .CD = 0. Liens avec la norme (pour mémoire)
=²ur
ur.ur
= ur
² et AB² = AB ²
2 ur. vr
= ²²² vuvurrrr −−+ donc u
r. vr
= [ ]²²²2
1vuvurrrr −−+
Exercices : 10
Soit le vecteur AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−3
3, calculez la norme de ce vecteur
11 Soit le vecteur u = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
4
1, calculez la norme de ce vecteur
12 Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA 13
Soit les points A(2 ;5) B(-1 ;6) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA
14 Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) C(2 ;-1),
a) calculez le produit scalaire AB . AC b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
15 Soit les points A(5 ;3) B(5 ;7) C(7 ;3),
a) calculez le produit scalaire AB . AC b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
16 Soit les vecteurs u = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
5
11 et v = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−1
8
a) calculez le produit scalaire u . v b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
17 Soit les vecteurs u = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1
4 et v = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
8
13
a) calculez le produit scalaire u . v b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
18 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 35, que l’angle entre les deux vecteurs est
=θ 43.31532 degrés ,que le vecteur AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
1
5, que la composante x de AC = -8 et que l’autre
(y) est positive :
Calculez a) la norme du vecteur AC puis b) le vecteur complet AC 19 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 60, que l’angle entre les deux vecteurs est
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 75 sur 92
=θ 3.814075 degrés ,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−8
7, que la composante x de AB = -4 et que l’autre
(y) est positive :
Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB 20 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 12, que l’angle entre les deux vecteurs est
=θ 65.22486 degrés ,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−2
4, que la composante y de AB = -4 et que l’autre
(x) est négative :
Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Corrigés Exercice 10 :
Soit le vecteur AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−3
3, calculez la norme de ce vecteur
AB =22 33 +− = 4.24
Exercice 11 :
Soit le vecteur u = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
4
1, calculez la norme de ce vecteur
u =22 41 −+− = 4.12
Exercice 12 :
Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA Nous adoptons la formule (bien qu’il soit possible de passer par le calcul du vecteur avant)
22 )57()36( −+−=ab = 3.60
22 )75()63( −+−=ba = 3.60
Exercice 13 :
Soit les points A(2 ;5) B(-1 ;6) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA Nous adoptons la formule (bien qu’il soit possible de passer par le calcul du vecteur avant)
22 )56()21( −+−−=ab = 3.16
22 )65())1(2( −+−−=ba = 3.16
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 76 sur 92
Exercice 14 : Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) C(2 ;-1),
a) calculez le produit scalaire AB . AC b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
a) calculez le produit scalaire AB . AC
vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = ac+bd DONC
AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
57
36= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
3 ET AC = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
51
32= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
6
1 alors AB . AC = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
6*2
1*3= -3+-12 = -15
=> nous savons déjà que l’angle est obtu car le produit scalaire est négatif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
ab * ac = θcos×× acab
AB =22 23 + = 3.60…
AC =22 61 −+− = 6.08…
08.6*60.3
15cos
−=θ = - 0.68394
=θ 133.15 degrés Exercice 15 : Soit les points A(5 ;3) B(5 ;7) C(7 ;3),
a) calculez le produit scalaire AB . AC b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
a) calculez le produit scalaire AB . AC
vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = ac+bd DONC
AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
37
55= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4
0 ET AC = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
33
57= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
2 alors AB . AC = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0*4
2*0= 0+0 = 0
=> nous savons déjà que l’angle est à 90 degré car le produit scalaire est 0 b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 77 sur 92
ab * ac = θcos×× acab
AB =22 40 + = 4
AC =22 04 + = 4
4*4
0cos =θ = 0
=θ 90 degrés -> les deux vecteurs sont orthogonaux Exercice 16 :
Soit les vecteurs u = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
5
11 et v = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−1
8
a) calculez le produit scalaire u . v b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
a) calculez le produit scalaire u . v
vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = ac+bd DONC
u . v = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−1*5
8*11= 88+-5 = 83
=> nous savons déjà que l’angle est aigu le produit scalaire est positif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
ab * ac = θcos×× acab
u = 22 811 + = 12.08…
v = 22 18 −+ = 8.06…
06.8*08.12
83cos =θ = 0.85201
=θ 31.56 degrés Exercice 17 :
Soit les vecteurs u = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1
4 et v = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
8
13
a) calculez le produit scalaire u . v b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 78 sur 92
a) calculez le produit scalaire u . v
vurr. = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
db
ca
*
* = ac+bd DONC
u . v = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−8*1
13*4= -52+8 = -44
=> nous savons déjà que l’angle est obtu, le produit scalaire est négatif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs
ab * ac = θcos×× acab
u = 22 14 +− = 4.12…
v = 22 813 + = 15.26…
26.15*12.4
44cos
−=θ = - 0.69912
=θ 134.35 degrés Exercice 18 :
Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 35, que l’angle entre les deux vecteurs est =θ 43.31532 degrés
,que le vecteur AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
1
5, que la composante x de AC = -8 et que l’autre (y) est positive :
Calculez a) la norme du vecteur AC puis
b) le vecteur complet AC Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter
ab * ac = θcos×× acab
35 = AB * AC * 0.727589354 mais je peux connaître
AB car nous connaisons le vecteur AB
AB = 22 15 −+− = 5.09901951… donc
35 = 5.09901951 * AC * 0.727589354 je peux ainsi connaître
AC
35 = 3.709992314* AC
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 79 sur 92
709992314.3
35 = AC
9.43398… = AC
b) Calcul du vecteur AC Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :
AC = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AC
Nous connaissons….à part la norme … la composante x qui est -8 et savons que l’autre sera positive donc
9.43398…= 228 y+−
9.43398…= 264 y+
( )2..43398.9 =2
264 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + y
9999.88 = 264 y+
24.9999= 2y � 25= 2y
donc y= +5
AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−5
8
Exercice 19 :
Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 60, que l’angle entre les deux vecteurs est =θ 3.814075 degrés
,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−8
7, que la composante x de AB = -4 et que l’autre (y) est positive :
Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter
ab * ac = θcos×× acab
60 = AB * AC * 0.99779… mais je peux connaître
AC car nous connaisons le vecteur AC
AC = 22 87 +− = 10.630145… donc
60 = AB * 10.630145*0.99779… je peux ainsi connaître AB
60 = 10.6066523…* AB
..6066523.10
60 = AB
5.656827… = AB
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 80 sur 92
b) Calcul du vecteur AB Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :
AB = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AB
Nous connaissons….à part la norme … la composante x qui est -4 et savons que l’autre sera positive donc
5.656827 …= 224 y+−
5.656827 …= 216 y+
( )2..656827.5 =2
216 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + y
31.999= 216 y+
15.999= 2y � 16= 2y
donc y= 4
AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−4
4
Exercice 20 :
Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 12, que l’angle entre les deux vecteurs est =θ 65.22486 degrés
,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−2
4, que la composante y de AB = -4 et que l’autre (x) est négative :
Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter
ab * ac = θcos×× acab
12 = AB * AC * 0.41906… mais je peux connaître
AC car nous connaisons le vecteur AC
AC = 22 24 +− = 4.472135..… donc
12 = AB * 4.472135…* 0.41906… je peux ainsi connaître AB
12 = 1.874092…* AB
..874028.1
12 = AB
6.4030977… = AB
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 81 sur 92
b) Calcul du vecteur AB Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :
AB = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AB
Nous connaissons….à part la norme … la composante y qui est -4 et savons que l’autre sera négative donc
6.4030977 …= 22 4−+x DONC 6.4030977 …= 162 +x DONC
( )2..4030977.6 =2
2 16 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +y PUIS 40.999= 162 +x 24.999= 2x � 25= 2x
donc x= -5
AC = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
4
5
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 82 sur 92
4.3 CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE (INTRODUTION SANS SIMPLEXE NI VAR. D’ECARTS) Le but de la programmation linéaire est de maximiser, optimiser un objectif économique sous contrainte technique de gestion. Les contraintes doivent être linéaires. Cette méthode a été mise au point au cours de la deuxième guerre mondiale.
Un camelot(Cf. B.Solnik) vend des chaussettes sur les marchés. En fait, il ne vend que des chaussettes de 2
types en lots:
- des mi-bas en fil de coton
- des chaussettes en laine.
L’expérience de celui-ci a montré que la clientèle portait son choix indifféremment sur:
- un lot à 6 CHF comprenant 2 paires de chaussettes en coton et 4 paires en laine
- un lot à 8 CHF comprenant 2 paires de chatissettes en coton et 8 paires en laine.
Notre camelot dispose au total de 24 paires de chaussettes on fil de coton et 84 paires de chaussettes en laine
et il se demande alors quels lots il doit présenter à sa clientèle
pour réaliser une recette maximale. .
Essayons de formuler de façon synthétique le problème :
a) Le camelot cherche à maximiser le produit de ses ventes.
Appelons:
1x le nombre de lots à 6 CHF qu'il aura vendu,
2x le nombre de lots à 8 CHF qu'il aura vendu.
Quand il aura tout vendu, il trouvera dans sa caisse une somme S :
21 86 xxS +=
Son but sera donc de vendre 1x et 2x lots tels que S soit maximum, soit )x8x6max(S max 21+=
b) Seulement il ne dispose que de 84 paires de chaussettes en laine, il ne peut donc
en vendre plus.
S’il vend 1x lots à 6 CHF cela entraîne qu'il vend 4 fois 1x paires de chaussettes en
laine ; s'il vend 2x lots à 8 CHF cela entraîne la vente de 8 2x paires de chaussettes
en laine. Il faut donc que le nombre total des chaussettes de ce type qu’il aura
ainsi vendu soit inférieur ou égal 84
Ceci nous donne sous forme algébrique :
84x8x4 21 ≤+
Il en va de même pour les chaussettes en coton, on trouve alors :
24x2x2 21 ≤+ Le bon sens nous dicte aussi que :
0x;0x 21 ≥≥
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 83 sur 92
La formulation du problème devient ainsi : Trouver le maximum de :
21 x8x6S += avec
84x8x4 21 ≤+
24x2x2 21 ≤+
0x;0x 21 ≥≥
A) RESOLUTION GRAPHIQUE
Nous avons deux inconnues 1x et 2x , plaçons-nous donc dans un repère orthonormé à deux dimensions,
d’axes 1Ox et 2Ox
Les contraintes 0x;0x 21 ≥≥ nous limitent au 1er quadrant :
Les deux droites sont placées sur le repère
- pour 84x8x4 21 ≤+ avec 1x = 0 alors 2x =10.5
avec 2x = 0 alors 1x =21
- pour 24x2x2 21 ≤+ avec 1x = 0 alors 2x =12
avec 2x = 0 alors 1x =12
Les zone hachurées représentent les contraintes ; les zones possibles sont donc à l’intérieur
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 84 sur 92
En résumé, le graphique devient :
Le point B, soit l’intersection entre les deux droites des contraintes, représente la meilleure solution possible, ici
nous avons B(3 ;9) soit, 1x =3 et 2x =9.
A ces points, le bénéfice de notre camelot sera maximal
)9(8)3(6S +=
90S= Le camelot devra donc vendre 3 lots du premier type et 9 lots du second type pour que son bénéfice soit maximal B) RESOLUTION ALGEBRIQUE Il s’agit de résoudre un système simple d’inéquation
2422
8484
21
21
=+=+
xx
xx
4844
8484
21
21
−=−−=+
xx
xx
364 2 =+ x donc 92 =x puis logiquement 31 =x
donc )9(8)3(6S += et 90S=
Remarque importante : Il faut faire attention avec cette méthode algébrique surtout si les contraintes sont de « signes » contraires….
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 85 sur 92
Exercices : 1. Un boulanger dispose de :
- 30 pâtisseries A - 24 pâtisseries B - 18 pâtisseries C
Il veut faire des lots et peut offrir à sa clientèle : a) des lots à 20 CHF comprenant : * 5 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 1 pâtisseries C b) des lots à 15 CHF comprenant : * 3 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 3 pâtisseries C Combien de lots de chaque genre doit-il vendre pour rendre sa recette optimale ? 2. Soit deux aliments, le pain et le fromage contenant chacun deux éléments mesurés en calories et grammes de protéines. Pour une livre de pain et une livre de fromage, les contenus nutritifs sont : Pain : 1100 calories et 25 grammes de protéines Fromage : 2300 calories et 85 grammes de protéines Sachant que le régime alimentaire minimum qui doit être atteint par un adulte est de 3000 calories et 100 grammes de protéines par jour ; combien de fromage et de pain faut-il acheter pour atteindre le minimum alimentaire et minimiser les dépenses sachant qu’une livre de pain coûte CHF 2.50 et une livre de fromage CHF 10 ? 3.
Maximiser 21 x5x6S += sachant que
9xx2 21 ≤+
6xx3 21 ≥+
14x2x2 21 ≤+
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 86 sur 92
CORRIGES : EXERCICE 1 : Un boulanger dispose de :
- 30 pâtisseries A - 24 pâtisseries B - 18 pâtisseries C
Il veut faire des lots et peut offrir à sa clientèle : a) des lots à 20 CHF comprenant : * 5 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 1 pâtisseries C b) des lots à 15 CHF comprenant : * 3 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 3 pâtisseries C Combien de lots de chaque genre doit-il vendre pour rendre sa recette optimale ? Il faut poser le problème :
1x le nbr. de lots à 20 CHF
2x le nbr. de lots à 15 CHF Contraintes :
0x;0x 21 ≥≥
30x3x5 21 ≤+
24x3x3 21 ≤+
18x3x1 21 ≤+
max 21 x15x20S += GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes �
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
A
C
B
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 87 sur 92
ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation
30x3x5 21 ≤+
24x3x3 21 ≤+
18x3x1 21 ≤+ => multiplier la 3ème par -1 : TRAITER COMME UNE EQUATION
2433 21 =+ xx
183 21 −=−− xx
62 1 =x
donc
31 =x et 52 =x alors
)5(15)3(20S +=
S= 135 Le boulanger devra vendre 3 lots x1 et 5 lots x2 pour avoir un gain maximal de 135 CHF EXERCICE 2: Soit deux aliments, le pain (x1) et le fromage (x2) contenant chacun deux éléments mesurés en calories et grammes de protéines. Pour une livre de pain et une livre de fromage, les contenus nutritifs sont : Pain : 1100 calories et 25 grammes de protéines Fromage : 2300 calories et 85 grammes de protéines Sachant que le régime alimentaire minimum qui doit être atteint par un adulte est de 3000 calories et 100 grammes de protéines par jour ; combien de fromage et de pain faut-il acheter pour atteindre le minimum alimentaire et minimiser les dépenses sachant qu’une livre de pain coûte CHF 2.50 et une livre de fromage CHF 10 ? Il faut poser le problème :
1x le nbr. livres de pain à 2.5 CHF
2x le nbr. livres de fromages à 10 CHF Contraintes :
0x;0x 21 ≥≥
3000x2300x1100 21 ≥+
100x85x25 21 ≥+
min 21 x10x5.2S += GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes �
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 88 sur 92
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
A
C
B
ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation
3000x2300x1100 21 ≥+
100x85x25 21 ≥+ => multiplier la 2ème par -44 : TRAITER COMME UNE EQUATION
300023001100 21 =+ xx
440037401100 21 −=−− xx
14001440 2 −=− x
donc
97.02 =x et 70.01 =x alors
)97.0(10)7.0(5.2S +=
S= 11.45 Il faut acheter 0.7 livres de pain et 0.97 livres de fromages ce qui aura un coût optimal de CHF 11.45
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 89 sur 92
EXERCICE 3:
Maximiser 21 x5x6S += sachant que
9xx2 21 ≤+
6xx3 21 ≥+
14x2x2 21 ≤+ GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A
C
B
ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations qui se croisent et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation ICI :
9xx2 21 ≤+
14x2x2 21 ≤+ � TRAITER COMME UNE EQUATION Réponse : x1= 2 x2=5 et S= 37
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 90 sur 92
5. NIVEAU REQUIS POUR DEBUTER LA PREMIERE ANNEE HEG + OUVRAGE (FORTEMENT) CONSEILLE
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 91 sur 92
6. PROGRAMME DE MATH I ET II HEG
KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG
Page 92 sur 92