Physique quantique.… · MICHEL LE BELLAC La physique quantique permet de comprendre en profondeur...
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MICHEL LE BELLAC
La physique quantique permet de comprendre en profondeur les phénomènes qui régissent le comportement des solides, des semi-conducteurs, des atomes, des particules élémentaires et de la lumière. Cette nouvelle édition contient trois chapitres entièrement re-rédigés, un nouveau chapitre sur la mécanique quantique relativiste (construction de Wigner et équation de Dirac), une sélection de corrigés d’exercices et de nom-breuses mises à jour. Elle offre une approche originale permettant de traiter immédiatement et de façon simple des applications importantes comme l’atome à deux niveaux, le laser ou la résonance magnétique nucléaire. Le formalisme est ensuite développé en privilégiant l’utilisation des symétries et permet de traiter les applications usuelles comme le moment angulaire, les approximations semi-classiques, la théorie de la diffusion ou la physique des atomes et des molécules.L’ouvrage accorde aussi une large place à des domaines nouveaux apparus depuis une trentaine d’années et qui occupent aujourd’hui le devant de la scène : non-localité et information quantiques, refroidissement d’atomes par laser, condensats de Bose-Einstein, états du champ électromagnétique, sujets qui ne sont pas traités dans la plupart des manuels.Ce livre s’adresse aux étudiants de L3 et de master de physique et aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est également susceptible d’intéresser un large public de physiciens, chercheurs ou enseignants, qui souhaitent s’initier aux développements récents de la physique quantique.« Je suis vraiment admiratif devant l’effort fait par l’auteur pour donner à son lecteur une vision si moderne et si attrayante de la physique quantique. » (Claude Cohen-Tannoudji, préface à la première édition)« Plus encore dans cette nouvelle version, cet ouvrage est un concentré d’informations et d’idées dans presque tous les domaines qui touchent au quantique, qui servira beaucoup non seulement aux étudiants, mais également aux physiciens des laboratoires comme ouvrage de référence. » (Franck Laloë, préface à la troisième édition)
Michel Le Bellac est professeur émérite à l’Université de Nice-Sophia Antipolis. Il a enseigné la mécanique quantique dans les trois cycles universitaires. Ses travaux portent sur la physique théorique des particules élémentaires et la théorie quantique des champs à température finie, sujet sur lequel il a écrit “Thermal Field Theory”. Il est également l’auteur de trois livres portant sur la théorie statistique des champs, la physique statistique et l’information quantique, tous traduits en anglais, ainsi que d’un ouvrage de vulgarisation : « Le monde quantique ».
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.
C r é a t i o n g r a p h i q u e : B é a t r i c e C o u ë d e l
I SBN EDP Sc i en ce s 978 -2 -7598-0803-8 ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-07736-3
45 €
MICHEL LE BELLAC MICHEL LE BELLAC
PRÉFACES DE CLAUDE COHEN-TANNOUDJI
ET DE FRANCK LALOË
CNRS ÉDITIONS
A C T U E L SS A V O I R S
SAVOIRS ACTUELSSérie Physique et collection dirigée par Michèle LEDUC
CNRS ÉDITIONSwww.cnrseditions.fr
PHYSIQUE QUANTIQUE FONDEMENTS – TOME I
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PHYSIQUE QUANTIQUE FONDEMENTS - TOME I
www.edpsciences.org
3e ÉDITION
PHYSIQUE QUANTIQUE.indd 1 19/03/13 16:35
Extrait de la publication
Michel Le Bellac
Physique quantiqueTome I : Fondements
3e édition
S A V O I R S A C T U E L S
EDP Sciences/CNRS Éditions
Illustration de couverture : Vue d’artiste du comportement d’un photon. Onobserve une transition continue depuis un comportement ondulatoire (arrière-plan du dessin) à un comportement corpusculaire (avant-plan du dessin).F. Kaiser, T. Coudreau, P. Milman, D. Ostrowsky and S. Tanzilli, Entangle-ment enabled delayed choice experiment, Science 338, 637 (2012). Copyright :F. Kaiser et S. Tanzilli, CNRS. Courtoisie de Sébastien Tanzilli.
Imprimé en France.
c© 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,91944 Les Ulis Cedex AetCNRS Éditions, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés
pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelqueprocédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisationde l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, lesreproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifiqueou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent êtreréalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droitde copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0803-8ISBN CNRS Éditions 978-2-271-07736-3
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Table des matières
Tome I : Fondements
Avant-propos xxi
Préface de la première édition xxv
Préface de la troisième édition xxvii
1 Introduction 11.1 Structure de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Échelles de longueur : de la cosmologie auxparticules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 États de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Constituants élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Interactions (ou forces) fondamentales . . . . . . . . . 8
1.2 Physique classique et physique quantique . . . . . . . . . . . 111.3 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 L’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Ondes et particules : interférences . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Hypothèse de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Diffraction et interférences avec des neutrons
froids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Interprétation des expériences . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Inégalités de Heisenberg I . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.5 Interféromètre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Niveaux d’énergie en mécanique classique et modèles
classiques de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 L’atome de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.3 Ordres de grandeur en physique atomique . . . . . . . 38
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.2 Le corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.3 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iv Physique quantique : Fondements
1.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 421.6.5 Atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6.6 Interféromètre à neutrons et gravité . . . . . . . . . . 451.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente
de neutrons par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Mathématiques de la mécanique quantique I :dimension finie 492.1 Espaces de Hilbert de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 502.2 Opérateurs linéaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens, unitaires . . . . . . . 512.2.2 Projecteurs et notation de Dirac . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Décomposition spectrale des opérateurs hermitiens . . . . . . 552.3.1 Diagonalisation d’un opérateur hermitien . . . . . . . 552.3.2 Diagonalisation d’une matrice 2 × 2 hermitienne . . . 572.3.3 Ensemble complet d’opérateurs compatibles . . . . . 592.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens . . . . 602.3.5 Fonctions d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . 622.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel . . . . . 622.4.2 Espaces de dimension d = 2 . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1 Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2 Commutateurs et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.3 Déterminant et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.4 Projecteur dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.5 Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.6 Propriétés des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.7 Intégrale gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.8 Commutateurs et valeur propre dégénérée . . . . . . . 682.5.9 Matrices normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.10 Matrices positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.11 Identités opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.12 Indépendance du produit tensoriel par rapport au choix
de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.13 Produit tensoriel de deux matrices 2 × 2 . . . . . . . 702.5.14 Propriétés de symétrie de |Φ〉 . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Polarisation : photon et spin 1/2 733.1 Polarisation de la lumière et polarisation d’un photon . . . . 73
3.1.1 Polarisation d’une onde électromagnétique . . . . . . 733.1.2 Polarisation d’un photon . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.3 Cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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Table des matières v
3.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.1 Moment angulaire et moment magnétique
en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.2 Expérience de Stern-Gerlach et filtres
de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.3 États de spin d’orientation arbitraire . . . . . . . . . 963.2.4 Rotation d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.5 Dynamique et évolution temporelle . . . . . . . . . . 104
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1 Polarisation elliptique et détermination
de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 1073.3.3 Polarisation circulaire et opérateur de rotation
pour les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.4 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 1093.3.5 Expérience à choix retardé . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.6 Autres solutions de (3.45) . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3.7 Décomposition d’une matrice 2 × 2 . . . . . . . . . . 1113.3.8 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 1113.3.9 Tenseur εijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.10 Mesures successives d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . 1123.3.11 Rotation de 2π d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.12 Diffusion de neutrons par un cristal : noyaux
de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Postulats de la physique quantique 1154.1 Vecteurs d’état et propriétés physiques . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.1.2 Propriétés physiques et mesure . . . . . . . . . . . . . 1184.1.3 Inégalités de Heisenberg II . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.1 Équation d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.2 Opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.3 États stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.4 Inégalité de Heisenberg temporelle . . . . . . . . . . . 1334.2.5 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg . . . . 138
4.3 Approximations et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4.1 Dispersion et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . 1424.4.2 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.4.3 Théorème de Feynman-Hellmann . . . . . . . . . . . 1434.4.4 Évolution temporelle d’un système à deux niveaux . . 1434.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 144
Extrait de la publication
vi Physique quantique : Fondements
4.4.6 L’énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 1454.4.7 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg . . . . 1474.4.8 Borne de Helstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4.9 Règle de Born généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4.10 Le système des mésons K neutres : évolution non
unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Systèmes à nombre de niveaux fini 1535.1 Chimie quantique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.1.1 Molécule d’éthylène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.1.2 Molécule de benzène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2 Résonance magnétique nucléaire (RMN) . . . . . . . . . . . . 1605.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique . . . 1615.2.2 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.3 Principes de la RMN et de l’IRM . . . . . . . . . . . 166
5.3 La molécule d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.1 La molécule d’ammoniac comme système à deux
niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.2 La molécule dans un champ électrique : le maser
à ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.3 Transitions hors résonance . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 Atome à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.4.1 Absorption et émission de photons . . . . . . . . . . . 1795.4.2 Principes du laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.4.3 Franges de Ramsey et principe des horloges
atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres . . . . . . . . . 1915.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde . . . . . 1915.5.3 Le butadiène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.5.4 Vecteurs propres du hamiltonien (5.22) . . . . . . . . 1945.5.5 L’ion moléculaire H+
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.6 Compléments sur la RMN . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6 Mathématiques de la mécanique quantique II : dimensioninfinie 1976.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1.2 Réalisations d’espaces séparables et de dimensio
infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2 Opérateurs linéaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.2.1 Domaine et norme d’un opérateur . . . . . . . . . . . 2016.2.2 Conjugaison hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . 203
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Table des matières vii
6.3 Décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.1 Opérateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.2 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.4.1 Espaces de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . 2096.4.2 Spectre d’un opérateur hermitien . . . . . . . . . . . 2096.4.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . 2096.4.4 Opérateurs de dilatation et de transformation
conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7 Symétries en physique quantique 2117.1 Transformation d’un état dans une opération de symétrie . . 212
7.1.1 Invariance des probabilités dans une opération desymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.1.2 Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2 Générateurs infinitésimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.2.3 Relations de commutation des générateurs
infinitésimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . . . . . 225
7.3.1 Cas de la dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3.2 Réalisation explicite et commentaires . . . . . . . . . 2277.3.3 L’opération parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4 Invariance galiléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.4.1 Hamiltonien en dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . 2307.4.2 Hamiltonien en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . 234
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.1 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.2 Rotations et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.3 Relations de commutation entre l’impulsion
et le moment angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu . . . . . . . . . . 2387.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . . . 2397.5.6 Centre de masse et masse réduite . . . . . . . . . . . 2397.5.7 Transformation de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . 2407.5.8 Hamiltonien dans un champ magnétique . . . . . . . 240
7.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8 Mécanique ondulatoire 2438.1 Diagonalisation de X et de P ; fonctions d’onde . . . . . . . . 244
8.1.1 Diagonalisation de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.1.2 Réalisation dans L(2)
x (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Extrait de la publication
viii Physique quantique : Fondements
8.1.3 Réalisation dans L(2)p (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.1.4 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.1.5 Évolution du paquet d’ondes libre . . . . . . . . . . . 251
8.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.2.1 Hamiltonien de l’équation de Schrödinger . . . . . . . 2548.2.2 Probabilité de présence et vecteur courant . . . . . . 255
8.3 Résolution de l’équation de Schrödinger indépendantedu temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.3.2 Réflexion et transmission par une marche
de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.3.3 États liés du puits carré . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.3.4 Diffusion par un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.4 Potentiel périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4.1 Théorème de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4.2 Bandes d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.5 Mécanique ondulatoire en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . 2768.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.5.2 Espace de phase et densité de niveaux . . . . . . . . . 2788.5.3 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.1 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.2 Étalement du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.3 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.6.4 Heuristique de l’inégalité de Heisenberg . . . . . . . . 2878.6.5 Potentiel de Lennard-Jones pour l’hélium . . . . . . . 2878.6.6 Marche de potentiel et retard à la réflexion . . . . . . 2888.6.7 Potentiel en fonction δ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.6.8 Niveaux d’énergie du puits cubique infini
en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.9 Courant de probabilité à trois dimensions . . . . . . . 2908.6.10 Densité de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.11 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . 2918.6.13 Modèle de mesure de von Neumann . . . . . . . . . . 2928.6.14 Transformation de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9 Moment angulaire 2959.1 Diagonalisation de �J 2 et de Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.2 Matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2999.3 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.3.1 Opérateur moment angulaire orbital . . . . . . . . . . 3049.3.2 Propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . 308
Table des matières ix
9.4 Particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . 3119.4.1 Équation d’onde radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3119.4.2 Atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.5 Distributions angulaires des désintégrations . . . . . . . . . . 3199.5.1 Rotations de π, parité, réflexion par rapport
à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3199.5.2 Transitions dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.5.3 Désintégrations : cas général . . . . . . . . . . . . . . 327
9.6 Composition de deux moments angulaires . . . . . . . . . . . 3289.6.1 Composition de deux spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . 3289.6.2 Cas général : composition de deux moments
angulaires �J1 et �J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.6.3 Composition des matrices de rotation . . . . . . . . . 3349.6.4 Théorème de Wigner-Eckart (opérateurs scalaires
et vectoriels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.7.1 Propriétés de �J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.7.2 Rotation d’un moment angulaire . . . . . . . . . . . . 3389.7.3 Rotations (θ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.7.4 Moments angulaires j = 1
2 et j = 1 . . . . . . . . . . 3389.7.5 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.7.6 Relation entre les matrices de rotation et les
harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.7.7 Indépendance de l’énergie par rapport à m . . . . . . 3409.7.8 Puits sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.7.9 Atome d’hydrogène pour l �= 0 . . . . . . . . . . . . . 3409.7.10 Éléments de matrice d’un potentiel . . . . . . . . . . 3419.7.11 Équation radiale en dimension d = 2 . . . . . . . . . . 3419.7.12 Propriété de symétrie des matrices d(j) . . . . . . . . 3429.7.13 Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429.7.14 Mesure du moment magnétique du Λ0 . . . . . . . . . 3439.7.15 Production et désintégration du méson ρ+ . . . . . . 3459.7.16 Interaction de deux dipôles . . . . . . . . . . . . . . . 3479.7.17 Désintégration du Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.7.18 Coefficients de Clebsch-Gordan du couplage �L · �S . . 3489.7.19 Opérateurs tensoriels irréductibles . . . . . . . . . . . 349
9.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10 Oscillateur harmonique 35110.1 L’oscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.1.1 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . 35210.1.2 Diagonalisation du hamiltonien . . . . . . . . . . . . 35310.1.3 Fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique . . . . . 355
10.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
x Physique quantique : Fondements
10.2.1 Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . 35710.2.2 Opérateurs de déplacement et de phase . . . . . . . . 361
10.3 Mouvement dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . 36510.3.1 Invariance de jauge locale . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.3.2 Champ magnétique uniforme : niveaux de Landau . . 368
10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.1 Éléments de matrice de Q et de P . . . . . . . . . . . 37110.4.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.3 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.4 Couplage à une force classique . . . . . . . . . . . . . 37310.4.5 Opérateur de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.4.6 Conservation du courant en présence d’un champ
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37510.4.7 Transformations de jauge non abéliennes . . . . . . . 375
10.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11 Intrication et non localité quantiques 37911.1 Opérateur statistique (ou opérateur densité) . . . . . . . . . . 379
11.1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 37911.1.2 Opérateur statistique réduit . . . . . . . . . . . . . . 38211.1.3 Opérateur statistique pour un système à deux
niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38711.1.4 Non unicité de la préparation . . . . . . . . . . . . . . 39011.1.5 Dépendance temporelle de l’opérateur statistique . . 39311.1.6 Postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.2 Inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39511.2.1 Démonstration de l’inégalité BCHSH . . . . . . . . . 39511.2.2 Physique quantique et borne de Cirelson . . . . . . . 39811.2.3 Expériences avec des photons . . . . . . . . . . . . . . 40311.2.4 EPR et la non localité quantique . . . . . . . . . . . . 408
11.3 Compléments sur les inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . 41111.3.1 Conditions sur les probabilités . . . . . . . . . . . . . 41111.3.2 Boîtes de Popescu-Rohrlich . . . . . . . . . . . . . . . 41311.3.3 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41411.3.4 Contextualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.4 Décohérence et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41711.4.1 Intrication et perte de cohérence . . . . . . . . . . . . 41711.4.2 Définition générale de la décohérence . . . . . . . . . 42011.4.3 Modèle pour l’émission spontanée . . . . . . . . . . . 42211.4.4 Modèle de von Neumann pour la mesure . . . . . . . 42411.4.5 Modèle de Zurek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42711.4.6 La réduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . 43011.4.7 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.5 Information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Extrait de la publication
Table des matières xi
11.5.1 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 43511.5.2 Calcul quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43811.5.3 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 44411.5.4 Échange d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
11.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45311.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques . . . . . . . . . 45311.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium . . . . 45311.6.3 11.6.3 Ondes de spin et magnons . . . . . . . . . . . . 45511.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux
en RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45611.6.5 Non unicité de la préparation de l’opérateur statistique
pour le spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45811.6.6 Inégalité de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45811.6.7 États de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45911.6.8 Photons intriqués en polarisation . . . . . . . . . . . 46011.6.9 Stratégies gagnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46111.6.10 États de Bell et mesure de Bell . . . . . . . . . . . . . 46211.6.11 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46211.6.12 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 46311.6.13 Discrimination entre deux états non
orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46411.6.14 Interférences des temps d’émission . . . . . . . . . . . 46511.6.15 Calcul quantique avec des ions piégés . . . . . . . . . 466
11.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Annexes 471
A Théorème de Wigner et renversement du temps . . . . . . . . 471A.1 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . 472A.2 Renversement du sens du temps . . . . . . . . . . . . 474
B Méthode de Wigner et Weisskopf . . . . . . . . . . . . . . . . 480C Constantes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
References x1
Index x11Tome II : Applications et exercices corrigés
Avant-propos xxi
12 Méthodes semi-classiques 48512.1 Propagateurs et fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . 488
12.1.1 Propagateur de l’équation de Schrödinger . . . . . . . 48812.1.2 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48912.1.3 Propagateur libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
12.2 L’intégrale de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49212.2.1 Mouvement brownien et diffusion . . . . . . . . . . . 49212.2.2 Propagateur euclidien et fonction de partition . . . . 496
xii Physique quantique : Fondements
12.2.3 Intégrale de chemin de Feynman . . . . . . . . . . . . 49912.3 Applications de l’intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . 501
12.3.1 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.3.2 Intégrale de chemin en présence d’un champ
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50312.3.3 L’effet Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
12.4 L’approximation BKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812.4.1 Forme asymptotique de la fonction d’onde . . . . . . 50812.4.2 Formules de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . 51112.4.3 Phénomène de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51312.4.4 États liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51512.4.5 Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
12.5 Mécanique quantique dans l’espace de phase . . . . . . . . . . 52212.5.1 Conditions pour une représentation dans l’espace de
phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212.5.2 La distribution de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . 52312.5.3 Distribution de Wigner pour les états purs . . . . . . 526
12.6 Théorème adiabatique et phases géométriques . . . . . . . . . 52712.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52712.6.2 Théorème adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52912.6.3 La phase géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
12.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.7.1 Formule de Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité . . . . . . . 53512.7.3 Fonctionnelle génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur
euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.7.5 Équation de Schrödinger et intégrale de chemin . . . 53712.7.6 Calcul de la fonctionnelles génératrice pour
l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 53712.7.7 Formules de raccordement pour K < 0 . . . . . . . . 54012.7.8 Propriétés de la distribution de Wigner . . . . . . . . 54112.7.9 Évolution temporelle de la distribution de Wigner . . 54112.7.10 Probabilités de transition à l’approximation
adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54212.7.11 Spin 1/2 dans un champ magnétique : relation avec
l’étude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54412.7.12 Phase de Berry et effet Aharonov-Bohm . . . . . . . . 545
12.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
13 Théorie de la diffusion 54713.1 Section efficace et amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . 548
13.1.1 Sections efficaces différentielle et totale . . . . . . . . 54813.1.2 Amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Extrait de la publication
Table des matières xiii
13.2 Ondes partielles et déphasages . . . . . . . . . . . . . . . . . 55313.2.1 Développement en ondes partielles . . . . . . . . . . . 55313.2.2 Diffusion à basse énergie . . . . . . . . . . . . . . . . 55713.2.3 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56113.2.4 Diffusion neutron-proton à basse énergie . . . . . . . 563
13.3 Diffusion inélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56513.3.1 Théorème optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56513.3.2 Potentiel optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
13.4 Développements formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57013.4.1 Équation intégrale de la diffusion . . . . . . . . . . . 57013.4.2 Matrice T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57213.4.3 Diffusion d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . 575
13.5 Théorie opératorielle de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 57713.5.1 Équations de Lippman-Schwinger . . . . . . . . . . . 57713.5.2 Matrice T et matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . 58113.5.3 Collisions inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58413.5.4 Symétries de la matrice T . . . . . . . . . . . . . . . 588
13.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59113.6.1 Pic de Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59113.6.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une molécule
d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59313.6.3 Propriétés analytiques de l’amplitude de diffusion
neutron-proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59413.6.4 Approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . 59613.6.5 Optique neutronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59613.6.6 Section efficace d’absorption de neutrinos . . . . . . . 59913.6.7 Non hermiticité de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60113.6.8 Unitarité et théorème optique . . . . . . . . . . . . . 60113.6.9 Opérateurs de Møller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
13.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
14 Particules identiques 60514.1 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
14.1.1 Symétrie ou antisymétrie du vecteur d’état . . . . . . 60614.1.2 Spin et statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
14.2 Diffusion de particules identiques . . . . . . . . . . . . . . . . 61614.3 États collectifs de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
14.3.1 Le gaz de Fermi à température nulle . . . . . . . . . . 61914.3.2 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . 62114.3.3 Opérateurs de champ et hamiltonien . . . . . . . . . 62414.3.4 Autres formes du hamiltonien . . . . . . . . . . . . . 629
14.4 États collectifs de bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63214.4.1 La condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . 63214.4.2 L’équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . 635
Extrait de la publication
xiv Physique quantique : Fondements
14.4.3 L’approximation de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . 63814.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
14.5.1 Particule Ω− et couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 64214.5.2 Parité du méson π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64214.5.3 Fermions de spin 1/2 dans un puits infini . . . . . . . 64314.5.4 Désintégration du positronium . . . . . . . . . . . . . 64314.5.5 Lame séparatrice et fermions . . . . . . . . . . . . . . 64414.5.6 Fonctions d’onde et opérateurs de champ . . . . . . . 64414.5.7 Hiérarchie BBGKY et approximation de
Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64514.5.8 Approximation semi-classique pour la condensation
dans un piège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64814.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
15 Atomes à un électron 65115.1 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
15.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65115.1.2 Cas d’une valeur propre simple de H0 . . . . . . . . . 65315.1.3 Cas d’un niveau dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . 65415.1.4 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
15.2 Atomes à un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65715.2.1 Niveaux d’énergie en l’absence de spin . . . . . . . . . 65715.2.2 Structure fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65715.2.3 Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66015.2.4 Structure hyperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
15.3 Manipulation d’atomes par laser . . . . . . . . . . . . . . . . 66415.3.1 Équations de Bloch optiques . . . . . . . . . . . . . . 66415.3.2 Forces dissipatives et forces réactives . . . . . . . . . 66815.3.3 Refroidissement Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . 67015.3.4 Piège magnétooptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67615.3.5 Fontaines atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
15.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67915.4.1 Perturbation au second ordre et forces
de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67915.4.2 Corrections d’ordre α2 aux niveaux d’énergie . . . . . 68015.4.3 Atomes muoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68215.4.4 Atomes de Rydberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68315.4.5 Terme diamagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
15.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
16 Atomes complexes et et molécules 68716.1 L’atome à deux électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
16.1.1 L’état fondamental de l’atome d’hélium . . . . . . . . 68716.1.2 États excités de l’atome d’hélium . . . . . . . . . . . 690
16.2 Modèle en couches de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
Table des matières xv
16.2.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69216.2.2 Couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
16.3 Molécules diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69616.3.1 Fonctions d’onde électroniques . . . . . . . . . . . . . 69616.3.2 Niveaux de rotation-vibration . . . . . . . . . . . . . 699
16.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70016.4.1 États np3 permis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70016.4.2 Théorème de non croisement des niveaux . . . . . . . 70116.4.3 Structure hyperfine du deutérium . . . . . . . . . . . 70116.4.4 Modèle en couches du noyau atomique . . . . . . . . 703
16.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
17 Champ électromagnétique quantifié 70717.1 Quantification du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 707
17.1.1 Quantification d’un mode . . . . . . . . . . . . . . . . 70817.1.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
17.2 États du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . 71817.2.1 Fluctuations quantiques du champ
électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71817.2.2 Lames séparatrices et détection homodyne . . . . . . 72217.2.3 Hamiltonien de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . 726
17.3 Interaction atome-champ électromagnétique . . . . . . . . . . 73017.3.1 Théorie semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73117.3.2 Approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . 73317.3.3 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73517.3.4 Champ électromagnétique quantifié : émission
spontanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73717.3.5 Décohérence par émission de photons . . . . . . . . . 743
17.4 Corrélations de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74617.4.1 Détection de photons et fonctions de corrélation . . . 74617.4.2 Cohérences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74917.4.3 Expérience de Hanbury Brown et Twiss . . . . . . . . 752
17.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.1 Potentiels scalaire et vecteur en jauge
de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.2 Dépendance temporelle du coefficient de Fourier
classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.3 Relations de commutation du champ
électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75617.5.4 Détection homodyne et lame séparatrice
déséquilibrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75617.5.5 Oscillations de Rabi dans une cavité . . . . . . . . . . 75717.5.6 Effet Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75817.5.7 Observation non destructive de photons . . . . . . . . 759
Extrait de la publication
xvi Physique quantique : Fondements
17.5.8 Cohérences et interférences . . . . . . . . . . . . . . . 76317.5.9 Forces réactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76317.5.10 Capture radiative de neutrons par l’hydrogène . . . . 76517.5.11 L’expérience de Badurek et al. . . . . . . . . . . . . . 767
17.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
18 Systèmes quantiques ouverts 77118.1 Superopérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
18.1.1 Représentation de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . 77318.1.2 Modèle pour l’amortissement de phase . . . . . . . . 777
18.2 Équations pilotes : la forme de Lindblad . . . . . . . . . . . . 77918.2.1 L’approximation markovienne . . . . . . . . . . . . . 77918.2.2 L’équation de Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . 78118.2.3 Exemple : l’oscillateur harmonique amorti . . . . . . 783
18.3 Couplage à un bain thermique d’oscillateurs . . . . . . . . . . 78518.3.1 Équations d’évolution exactes . . . . . . . . . . . . . 78518.3.2 Déduction de l’équation pilote . . . . . . . . . . . . . 78718.3.3 Relaxation d’un système à deux niveaux . . . . . . . 79018.3.4 Mouvement brownien quantique . . . . . . . . . . . . 79318.3.5 Décohérence d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . 798
18.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79918.4.1 La transposition n’est pas complètement positive . . . 79918.4.2 Représentation de Kraus pour le modèle
d’émission spontanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80018.4.3 Modèle de dépolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 80018.4.4 Amortissements de phase et d’amplitude . . . . . . . 80118.4.5 Détails de la preuve de l’équation pilote . . . . . . . . 80118.4.6 Superposition d’états cohérents . . . . . . . . . . . . 80218.4.7 Dissipation dans un système à deux niveaux . . . . . 80418.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad . . . 80418.4.9 Modèles simples de relaxation . . . . . . . . . . . . . 80518.4.10 Un autre choix pour la fonction spectrale J(ω) . . . 80618.4.11 L’équation de Fokker-Planck-Kramers pour une
particule brownienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80618.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
19 Physique quantique relativiste 80919.1 Les groupes de Lorentz et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . 810
19.1.1 Transformations de Lorentz spéciales . . . . . . . . . 81019.1.2 Produit scalaire de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 81119.1.3 Groupe de Lorentz connexe . . . . . . . . . . . . . . . 81419.1.4 Relation avec le groupe SL(2,C) . . . . . . . . . . . . 81519.1.5 Cinématique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
19.2 L’analyse de Wigner : masse et spin des particules . . . . . . 81919.2.1 Algèbre de Lie du groupe de Poincaré . . . . . . . . . 819
Extrait de la publication
Table des matières xvii
19.2.2 États à une particule : masse et spin . . . . . . . . . 82419.2.3 Particules de masse non nulle . . . . . . . . . . . . . . 82719.2.4 Particules de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 829
19.3 L’équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83219.3.1 Construction de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 83219.3.2 Courants de de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83819.3.3 Courant de Dirac en présence d’un champ
électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84019.3.4 Le hamiltonien de structure fine . . . . . . . . . . . . 84319.3.5 L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
19.4 Symétries de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 85119.4.1 Invariance de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85119.4.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85219.4.3 Conjugaison de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 85319.4.4 Inversion du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854
19.5 Quantification du champ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 85519.5.1 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85519.5.2 Champ de Dirac quantifié . . . . . . . . . . . . . . . . 85719.5.3 Hamiltonien du champ de Dirac . . . . . . . . . . . . 858
19.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86019.6.1 Décomposition polaire d’une transformation
de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86019.6.2 Relations de commutation des Jαβ et des Pμ . . . . . 86119.6.3 Rotation de Thomas-Wigner et précession
de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86119.6.4 Relation de commutation des Jμν et des Wλ . . . . . 86519.6.5 Cas de la masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.6 Courant de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.7 Automorphismes de SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.8 Équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.9 Courant de Dirac en présence d’un champ
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.10 Transformation de Lorentz d’un spineur
de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.11 Relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . 86819.6.12 Relation de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
19.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
20 Corrigés d’une sélection d’exercices 87120.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
1.6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 8731.6.6 Interféromètre à neutrons et gravité . . . . . . . . . . 874
Extrait de la publication
xviii Physique quantique : Fondements
1.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente deneutrons par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
20.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8762.5.3 Déterminant et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8762.5.10 Matrices positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8772.5.11 Identités opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
20.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8783.3.1 Polarisation elliptique et détermination
de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8783.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 8793.3.5 Autres solutions de (3.45) . . . . . . . . . . . . . . . . 8803.3.7 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 8813.3.12 Diffusion de neutrons par un cristal :
noyaux de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88220.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
4.4.4 Évolution temporelle d’un système à deuxniveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
4.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 8844.4.6 L’énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 8854.4.8 Borne de Helstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8864.4.9 Règle de Born généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . 8874.4.10 Le système des mésons K neutres : évolution non
unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88820.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
5.5.3 Le butadiène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8895.5.5 L’ion moléculaire H+
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8915.5.6 Compléments sur la RMN . . . . . . . . . . . . . . . 892
20.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.4.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . 892
20.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8947.5.2 Rotations et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8947.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu . . . . . . . . . . 8957.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . . . 8967.5.8 Hamiltonien dans un champ magnétique . . . . . . . 897
20.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8988.6.2 Étalement du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . 8988.6.3 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 8998.6.7 Potentiel en fonction δ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9018.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . 9058.6.13 Modèle de mesure de von Neumann . . . . . . . . . . 906
20.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.7.5 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.7.6 Relation entre les matrices de rotation et les
harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
Extrait de la publication
Table des matières xix
9.7.8 Puits sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9099.7.13 Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 9109.7.14 Mesure du moment magnétique du Λ0 . . . . . . . . . 9129.7.15 Production et désintégration du méson ρ+ . . . . . . 9139.7.17 Désintégration du Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9169.7.18 Coefficients de Clebsch-Gordan du couplage �L · �S . . 917
20.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91710.4.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 91710.4.3 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91810.4.4 Couplage à une force classique . . . . . . . . . . . . . 92110.4.5 Opérateur de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92210.4.7 Transformations de jauge non abéliennes . . . . . . . 924
20.11 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92511.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques . . . . . . . . . 92511.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium . . . . 92611.6.3 Ondes de spin et magnons . . . . . . . . . . . . . . . 92811.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux en
RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93011.6.6 Inégalité de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93111.6.7 États de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93211.6.8 Photons intriqués en polarisation . . . . . . . . . . . 93311.6.11 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93411.6.13 Discrimination entre deux états non
orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93411.6.14 Interférences des temps d’émission . . . . . . . . . . . 93511.6.15 Calcul quantique avec des ions piégés . . . . . . . . . 936
20.12 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93912.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité . . . . . . . 93912.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur
euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94012.7.6 Calcul de la fonctionnelle génératrice pour
l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 94112.7.10 Probabilités de transition à l’approximation
adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94520.13 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
13.5.1 Pic de Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94813.5.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une
molécule d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95113.5.3 Propriétés analytiques de l’amplitude de
diffusion neutron-proton . . . . . . . . . . . . . . . . 95213.5.5 Optique neutronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95813.5.6 Section efficace d’absorption des neutrinos . . . . . . 96013.6.7 Non hermiticité de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
20.14 Exercices du chapitre 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
Extrait de la publication
x20 Physique quantique : Fondements
ordinaire 75rayonnement du corps noir
(ou thermique) 14, 752rayonnement gaussien 751réduction du paquet d’ondes
122, 430référentiel tournant 162réflexion quantique 34refroidissement Doppler 670refroidissement laser 664registre de données 441registre de résultats 441règle
de Bohr-Sommerfeld 37, 516de Born 117, 148, 395de factorisation 82de Hund 695de sélection 734de supersélection 118d’or de Fermi 284, 738, 792
relationd’anticommutation canonique(RAC) 623, 857de commutation canonique(RCC) 140, 226, 638de commutation du champélectromagnétique 717de commutation du momentangulaire 22, 295de fermeture 55, 207, 245, 277d’Einstein 676, 795de Planck-Einstein 19, 132d’unitarité 569, 584, 601
renormalisation 38, 718renversement du temps 230, 474,
588, 854représentation
chirale 838de Kraus 774des relations de commutation227de Wigner (voir distribution de)irréductible 302projective 216, 225spinorielle 216vectorielle 216
répulsion (ou non-croisement) desniveaux 173, 697
réseau réciproque 43résolvante 62, 491résonance 161, 165, 595
magnétique nucléaire(RMN) 161, 166
rotateur sphérique 307rotation 218
de Thomas-Wigner 823,829, 861de Wick 493, 811
rydberg 38, 316
S
saut quantique 775section efficace
cohérente 598de Rutherford 596différentielle 548élastique 566incohérente 598inélastique 567totale 549, 567
semi-groupe dynamique 783sensibilité d’un détecteur 748séparabilité (d’un espace) 199simplement connexe 224, 815source 501
classique 373de particules 259du champ électromagnétique 11,708
sous-espace d’une valeur propre 57spectre 205
continu 206de rotation 308de niveaux 37, 318discret 206
sphèrede Fermi 621de Poincaré-Bloch 103, 389dure 550
spin 92, 702spin 1/2 92, 161, 303, 329spineur de Dirac 837spineur de Majorana 854
Extrait de la publication
Index x21
spineur de Pauli 833spineur de Weyl 833statistique 609
de Bose, ou de Bose-Einstein609de Fermi, ou de Fermi-Dirac 609de Maxwell-Boltzmann 633
structure fine 454, 657, 694, 843structure hyperfine 663, 701superfluidité 642superopérateur 775superposition cohérente 121, 389,
778superposition incohérente 390, 778surface de Fermi 620symétrie 211
de jauge 375interne 375
symétrisation 611système
à deux niveaux 387à nombre de niveaux fini 140intégrable 517quantique fermé 127, 771quantique ouvert 666, 771
T
téléportation quantique 444température
critique 634de Curie 615de Néel 615de recul 673Doppler 675
tempsde cohérence 186de décohérence 421, 778, 798,803de relaxation 779de relaxation longitudinale T1
167, 772de relaxation transverse T2
167, 456, 772imaginaire (ou euclidien) 493
tenseur complètementantisymétrique d’ordre 3 εijk101, 112
tenseur complètementantisymétrique d’ordre 4εμνρσ 826
tenseur métrique 813terme
d’échange 631de Darwin 682, 845diamagnétique 684direct 631
test 84idéal 120maximal 123
tétrade 827théorème
adiabatique 529d’addition desharmoniques sphériques 310de Bell 403de Bloch 271de Feynman-Hellmann 143d’Ehrenfest 133de Gleason 387de Kochen-Specker 416de nonclonage quantique 87,109, 435de purification de Schmidt 385de représentation de Kraus 776de Stone 208de von Neumann 227de Wigner 215, 472de Wigner-Eckart 337, 350GHJW 392optique 568, 603spin-statistique 612, 859
théoriede Fermi 600de jauge abélienne 376de jauge non abélienne 375des perturbations dégénérée 652des perturbations dépendant dutemps 282des perturbations non dégénérée652, 688électrofaible 600locale 406
trace 55partielle 384
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