Physique - électricité : TC1 · dans le vide et parcourus par des courants permanents I 1 et I 2...

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie

Université Virtuelle de Tunis

Physique - électricité : TC1

Le champ magnétique

Concepteur du cours:

Jilani LAMLOUMI & Mongia BEN BRAÏEK

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Physique -

électricité : TC1


2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI


I. INTRODUCTION

La magnétostatique est l'étude des champs magnétiques créés par les distributions

permanentes de courants, c'est à dire par des répartitions de courants volumiques,

superficielles ou filiformes, indépendantes du temps.

Par analogie avec les développements présentés pour l'étude du champ électrostatique,

nous énoncerons la loi de Biot et Savart , déduite à partir de l'interaction magnétique.

Nous en déduirons l'analogue du théorème de Gauss, connu sous le nom du théorème

d'Ampère. Il ne faut cependant appliquer l'analogie entre régimes électrostatique et

magnétostatique qu'avec prudence. Les différences essentielles entre électrostatique et

magnétostatique sont :

- Il est impossible d'isoler des masses magnétiques d'un signe déterminé,

contrairement aux charges électriques. Si on brise un aimant en deux, les deux morceaux

obtenus sont deux aimants.

- On ne peut définir la position des pôles d'un aimant et leur distance avec précision

mais seulement la direction de l'axe magnétique.

- Alors que le champ électrique est un vecteur le champ magnétique est un vecteur

spécial appelé pseudo-vecteur ou vecteur axial ; l'analogie ne s'étend donc pas aux

propriétés géométriques des champs électrique et magnétique qui sont en général

orthogonaux pour des sources (charges ou courants) de même symétrie.

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électricité : TC1




- Alors que la force électrique a la même direction que le champ électrique, la force

magnétique qui s'exerce sur une charge en mouvement a une direction perpendiculaire au

champ magnétique

B .

II. DEFINITION DU CHAMP MAGNETIQUE

Des phénomènes magnétiques sont observés depuis l'antiquité. Le plus ancien de ces

phénomènes est l'attraction exercée sur le fer par un minerai naturel (oxyde de fer : Fe2 O3)

appelé alors magnétite d'où le nom de magnétisme. Le magnétisme est alors défini comme

étant la propriété qu’a un corps d'attirer le fer ou l'acier. Un tel corps est appelé aimant. Il

peut être orienté par la terre ; repousser ou attirer d'autres aimants. Ces interactions de

type magnétiques liées aux effets produits par des aimants relèvent en fait d'un type de

force à caractère plus général : interaction électromagnétique. C'est depuis le 19ème siècle

et suite aux expériences d'Oersted et d'Ampère; que l'on ne pouvait plus dissocier les

phénomènes électriques des phénomènes magnétiques.

- La circulation d'un courant électrique le long d'un fil disposé au-dessus d'une

aiguille aimantée (boussole) fait dévier l'aiguille aimantée. Ainsi on met en évidence

l'existence de forces magnétiques dues au courant électrique.

- Un fil conducteur parcouru par un courant électrique et placé au voisinage d'un

aimant subit un déplacement dont le sens dépend du sens du courant. Un courant électrique

subit des effets d'origine magnétique.

- Deux fils conducteurs parallèles, parcourus par des courants électriques

s'attirent ou se repoussent.

Tous ces phénomènes ont la même origine. On peut donc conclure que dans la région où se

manifestent ces effets, règne un champ d'un type nouveau qu'on appellera champ

magnétique B

( B

est en fait appelé induction magnétique ).

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Comme en électrostatique, il sera donc possible de décrire ces effets avec la connaissance de

la seule grandeur physique vectorielle B

.

Pour définir B

il suffit de choisir un de ses effets observés expérimentalement.

Dans le système international, B s'exprime en Tesla (T). On utilise aussi le Gauss, unité du

système C G S (1 T = 104 G).

Remarques

- L'intensité du champ magnétique terrestre, au voisinage de la surface de la terre, vaut

environ 5.10-5 T soit 0,5 G.

- En laboratoire, on peut produire des champs magnétiques de l'ordre de 0,1 T à 2 T entre les

pôles d'un électroaimant et des champs de quelques dizaines de Teslas à l'aide de bobines

supraconductrices.

III. LOI DE BIOT ET SAVART

III.1. Force d'interaction entre deux courants

permanents

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Considérons deux circuits(C1)et

(C2) filiformes, immobiles, placés

dans le vide et parcourus par des

courants permanents I1 et I2

(fig.1). L'expérience montre qu'ils

interagissent entre eux et

la force 12F

que le circuit (C1) d'intensité I1 exerce sur le circuit (C2) d'intensité I2 a pour

expression :

3r

rddII

4 F 12

2C 1C 12

012 (1)

où

r représente le vecteur

21MM qui joint l'élément de courant

d 1 à l'élément d2 et 0

est une constante caractéristique des propriétés magnétiques du vide, appelée perméabilité

magnétique et dépend du système d'unités choisi. Dans le système d'unités SI : 0 = 4 10-7

et s'exprime , comme nous le verrons plus loin, en Henry par m².

On montre que le circuit (C2) exerce sur le circuit (C1) une force 21F

qui satisfait au principe

de l'action et de la réaction 1221 FF

.

III. 2. Loi de Biot et Savart

La formule (1) peut se mettre sous la forme

2 1C C 311

02212

r

rdI

4dIF

Or l'expression vectorielle entre parenthèses ne dépend que du circuit (C1), on peut donc

considérer, comme nous l'avons fait en électrostatique pour E , que cette expression

2d

I2 I1

(C2) (C1)

Fig.1

12F

M1 M2

1d

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exprime une modification des propriétés due à la présence du seul circuit (C1). Cette

expression vectorielle définit le champ d'induction magnétique B1 au point M2 créé par le

circuit (C1) parcouru par un courant I1.

1C 3110

1

r

r d I

4B

D'une manière générale, un circuit fermé filiforme (C) parcouru par un courant I crée en un

point M de l'espace un champ d'induction magnétique B (M) donné par :

C 3

0

r

r d I

4)M(B (2)

Ce résultat découle des résultats purement expérimentaux et constitue ce qu'on appelle la

loi de Biot et Savart.

Un circuit (C) parcouru par un courant I, placé dans un champ d'induction magnétique B ,

est soumis à la force

C

B dI F .

Remarques

1. Le champ d'induction magnétique

B donné par la formule (2) peut être considéré comme

la résultante des champs élémentaires créés par les éléments de courants qui constituent le

circuit (C); Le champ d'induction élémentaire dB

créé par l'élément

d parcouru par le

courant I et situé en P, en un point M tel que rPM

est donné par :

3

0

r

r d I

4 dB

d I

P Fig.2

u

M

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r

r u ;

²r

u dI

4 dB

0

Ses caractéristiques sont :

- il a pour module :

)u,d( ; ²r

sin dI

4 dB 0

- il est perpendiculaire au plan défini par d

et u

- son sens est tel que le trièdre ( dBrd ,,

) est direct.

Toutefois, il est en général plus commode de déterminer le sens du champ d'induction

élémentaire dB

à partir de l'une des règles suivantes :

Règle du bonhomme d'Ampère

Un observateur placé sur l'élément de courant de telle façon que le courant le traverse des

pieds vers la tête voit le champ magnétique orienté de sa droite vers sa gauche.

Règle de tire-bouchon.

Un tire-bouchon progressant dans le sens du courant voit sa rotation s'effectuer dans le sens

du champ magnétique.

2. Physiquement, le champ magnétique dB

créé par un élément de courant

dI n'a aucun

sens. En effet, il n'est pas possible d'isoler un élément d

et le considérer parcouru par un

courant permanent I. On ne peut avoir 0j div

(régime permanent) que dans un circuit

fermé. Le champ élémentaire dB

n'est donc pas mesurable. Seul aura donc un sens

physique le champ magnétique B créé par un circuit fermé (C).

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3. La loi de Biot et Savart n'est valable rigoureusement que pour un courant continu

d'intensité constante (régime stationnaire). Si l'intensité varie assez lentement, par exemple

dans le cas d'un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz, la loi de Biot et Savart reste encore

applicable mais si les variations d'intensité sont rapides (courants haute fréquence HF) alors

il intervient d'autres phénomènes (telle que la propagation).

4. Principe de superposition pour l'induction

A la superposition géométrique des forces correspond, d'après

BdI FC

, une

superposition géométrique des inductions . En effet la force exercée par n circuits sur le

circuit C peut se décomposer en n forces élémentaires créées par chaque circuit pris

individuellement, on a :

BdI )B d I( FFC

n

1i

i

n

1iC

i

D'où :

n

1i

iBB où iB

désigne l'induction, créée par le circuit Ci, au point M où se

trouve l'élément

d .

III. 3. Expressions du champ magnétique

III. 3.1. Champ magnétique créé par une charge en mouvement

Une charge q animée d'une vitesse

v est équivalente, en première approximation, à un

élément de courant d I . En effet:

si on considère un élément de longueur

d du circuit, la charge totale contenue

dans cet élément est :

vdt S q nd S q ndQ , où n est le

S

q

v

d

t t+dt

Fig.3

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nombre de charges mobiles par unité

de volume et

v est la vitesse du

déplacement.

v S q ndt

dQI

Donc : d I dtvIQd v

De la loi de Biot et Savart, nous pouvons ainsi formuler une expression du champ

magnétique créé par une charge q animée d'une vitesse

v en un point M situé à la distance

r. Soit :

r

r vq

4 B 3

0

(3)

III.3.2. Champ magnétique créé par une distribution de courants

a. Cas d'une distribution de courants filiformes

Dans le cas d'un circuit filiforme

(les dimensions transversales des

fils sont négligeables) parcouru

par un courant continu

d'intensité I, le champ

magnétique créé en un point

M ) PMr(

est :

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C 3

0

r

rd I

4 (M)B

(4)

b. Cas d'une distribution de courants non filiformes

* Distribution volumique

Dans le cas d'une distribution volumique

de courants de vecteur densité vj

, on a

:

djd j

d dS .j dI

2

v

S v

Le champ magnétique créé par cette distribution de courant en M est :

d

r

r(P)j

4 (M)B

)( 3

v0 (5)

* Distribution superficielle

Si la distribution de

courants peut être

modélisée par une

distribution superficielle

parcourue par un courant

de vecteur densité sj

, on

Fig.5 (C)

M

P

d

()

u

(C)

P

M

I

u

Fig.4

d

M

Fig.6

P dS

(S)

r

u

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a :

dSj Sd² j .d ) 'd.j (dI sS

sS

s

Le champ magnétique créé par une distribution superficielle de courant en un point M s'écrit

donc :

S 3

0 dS r

r(P)j

4 )M(B

S (6)

Remarque

Calculons , à partir de l’expression du champ magnétique

B , l’expression de sa divergence :

][][ τd

PM

PM)P(jdiv

4τd

PM

PM)P(j

4div)r(Bdiv

3

0

3

0

(On peut intervertir l’opérateur divergence avec l’intégrale puisque la

divergence ne porte pas sur les variables décrivant la distribution de

charges).

Or, on a les deux propriétés suivantes ( voir annexe) :

arot.bbrot.a)ab(divet0fgradrot

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Par conséquent :

)P(jrot

PM

PM-

PM

1gradrot)P(jτd

PM

PM)P(jdiv

33][

En outre,

0jrot puisque

j est une fonction du point source P, alors que l’opérateur

rotationnel ne fait intervenir que les dérivés par rapport aux coordonnées du point M où on

veut calculer

B .

D’où finalement :

0Bdiv

III. 4. Exemples de calcul du champ magnétique

III. 4. 1. Symétries du champ magnétique

La loi de Biot et Savart donnant B est une intégrale vectorielle c'est à dire définie par trois

composantes, aussi, lorsque le problème ne se présente pas simplement, on doit calculer

successivement chacune des trois composantes Bx, By et Bz.

Fréquemment, dans le cas de systèmes de courants possédant un plan ou un axe de

symétrie, il est facile de connaître la direction du champ magnétique dans le plan ou sur l'axe

de symétrie, en composant les champs élémentaires créés par deux éléments de courant

disposés symétriquement. Connaissant la direction de B , on peut alors calculer le module

de B par une seule intégrale.

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Dans l'utilisation de cette méthode, on remarque que les éléments de symétrie jouent un

rôle considérable, aussi on va établir deux résultats intéressants relatifs aux propriétés de

symétrie du champ B (M), déduites de la loi de Biot et Savart, en un point M d'un plan de

symétrie.

a. cas d'un plan de symétrie

on dit qu'une distribution de courants admet un plan de symétrie (), si en deux points P1 et

P2, symétriques par rapport à (), on a : )P(jimage)P(j 1/2

Le champ magnétique B (M), créé par une distribution de courants présentant un plan de

symétrie (), en tout point M du plan (), est orthogonal à ce plan de symétrie (Fig.7). (Cas

d'un fil infini ou d'un solénoïde infini). En effet :

Soient 1dI

et 2dI

, deux éléments de

courants disposés en P1 et P2

symétriquement par rapport à ()

) rr r ;r MP; r MP( 212211

:

Le champ élémentaire dB

créé en M par l'ensemble de ces deux éléments de courants est :

) rr d

rr d (

4

I dBdBdB

3

2

3

11

021 2

HMHP HMHP MP r et HMHP MP r 1222111

D'où :

HP )dd( HM )dd(

r4

I dB 121213

0

1d

2d

P1

Fig.7

H

M

P2

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électricité : TC1




Comme )dd( 21

est perpendiculaire au plan () et de même que HP1

, le produit

vectoriel HP )dd( 121

est nul. Par contre )dd( 21

est contenu dans le plan () qui

contient

HM et le produit vectoriel HM )dd( 21

est perpendiculaire à

(); il en résulte que dB

est perpendiculaire au plan () et par suite )M(B

est

perpendiculaire au plan ().

b. cas d'un plan d'antisymétrie

on dit qu'une distribution de courants admet un plan d'antisymétrie ('), si en deux points P1

et P2, symétriques par rapport à ('), on a : )P(jimage)P(j 1'/2

.

Le champ magnétique )M(B

, créé par une distribution de courants présentant un plan

d'antisymétrie ('), en tout point M du plan ('), est contenu dans ce plan de symétrie (')

(Fig. 8).

(Cas d'une spire). En effet :

HP )dd (

HM )dd(

r4

IdB

121

213

0

)' (HM)dd(

)'(àHM

)' ( )dd(21

21

1d

2d

P2 Fig.8

' H M

P1

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Il en résulte que : dIetdI ,)'( dB 21

du circuit et par suite )'( )M(B

.

III.4.2. Champ magnétique créé par un fil rectiligne

parcouru par un courant I

Si on désigne par

)u,u,u( zr

la base

orthonormée directe

associée au système de

coordonnées cylindriques, le

plan )u,u,M( zr

contenant

OM et le fil est un plan de

symétrie. Le champ )M(B

est donc normal à ce plan, il

est porté par

u :

u)M(B)M(B

Ce résultat s'applique dans le

cas d'un fil de longueur finie ou

infinie.

Chaque élément de courant

dI

crée au point M un

champ dB

donné par:

u

ru

zu

z

z’

Fig.9

I

M O

B (M)

zu

u

ru

dI

a

u P

Fig.10

1

2

O

z

z’

PMr

OP

M

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3

0

PM

PM d

4

I )M( dB

, de module :

sin

r

d

4

I)M(dB

2

0

Si on choisit comme variable , on a :

²cos

²a ²r

cos

a r

r

a cos )

2sin( sin

d ²cos

a d tga

a tg

Soit :

dcos

a 4

I)M(dB 0

D'où : ) sin sin ( a 4

I d cos

a4

I B(M) 12

0

0 2

1

Soit :

u) sin sin (

a 4

I (M)B 12

0

Le champ B

créé par un fil rectiligne de longueur infinie, en un point M distant de a du fil,

est obtenu en écrivant

12

et 2

2

.

Soit :

u a 2

I )M(B 0 (8)

Remarque

Le vecteur B

est tangent en M au cercle de rayon a et de centre O, il en est de même pour

tous les vecteurs B

situés sur ce cercle. Les lignes de champ sont donc des cercles ayant

pour axe le courant et dont le sens est donné par la règle de tire - bouchon (ou du

bonhomme d'Ampère).

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III.4.3. Champ magnétique créé par une spire

circulaire en un point de son axe

Soit une spire circulaire

filiforme de rayon R, de

centre O, parcourue par un

courant d'intensité

I(fig.11).

Tout plan contenant l'axe

x'x de la spire est un plan

d'antisymétrie.

Le champ )(MB

créé en un point M de l'axe est dirigé suivant cet axe.

Un élément de courant dI de la spire, centré en P, crée en M un champ élémentaire

(M )dB

perpendiculaire à PM donné par :

3

0

PM

PMd

4

I (M)dB

Puisque )M(B

est porté par x' x, seule la composante de (M )dB

suivant

x'x nous

intéresse.

Soit: ) 2

( sin )M(dB cos )M(dB )M(dBx

sin d r 4

I (M )dB :Soit

r

d

4

I =

r

d

4

I dB(M )

:aon,2

) PM,d(et rPM : Avec

2

0x

2

0

2

0

x

Fig.11

M

dBx x x'

I

O

R r

dI

dB

P

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Pour tous les éléments d , est le même. L'intégration de xdB sur toute la spire donne le

module du champ résultant B(M) . Donc :

R2

0

oo sin r² 2

IR d sin

r²4

I (M)B

:obtienton,sin

R r commete

sin3 R2

I (M)B

o (9)

Ou en fonction de x :

x

2

3

o u

²)x²R(

²R

2

I )M(B

(10)

Remarques

1. Le champ magnétique )M(B1

créé par une bobine plate ayant N spires est

: )M(BN)M(B1

.

2. Si M est confondu avec O, on a 2

et R2

I )O(B o : C'est le champ magnétique créé

au centre de la spire.

Le champ magnétique créé par une bobine plate en son centre est : xo

1 uR 2

I N )O(B

.

3 - Allure de la courbe B(x)

B(x)

x O

R2

I0

Fig.12

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2

3

3

2

3

0

²)x²R(

RB(O)

²)x²R(

²R

2

I )x(B

III.4.4. Champ magnétique créé par un solénoïde en un point de son axe

On considère un

solénoïde de

longueur comportant

N spires jointives de

même rayon R

régulièrement

réparties. On se

propose de déterminer

le champ magnétique

créé en un point M

quelconque de l'axe du

solénoïde.

Par raison de symétrie, )M(B

est dirigé suivant l'axe, son sens est donné par la règle de tire-

bouchon.

xu

2

x

Fig.13

R

dx

M 1

I

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Soit une tranche du solénoïde d'épaisseur dx située à la distance x (fig.13 ) et vue du point M

sous l'angle . Cette tranche contient

xdN spires. En utilisant le résultat obtenu pour une

spire, on voit que le champ magnétique élémentaire créé par cette tranche sera :

xd sin N

R2

I )M(dB 3o

Si on désigne par

Nn le nombre de spires par mètre, on a :

xd sin R2

In )M(dB 3o

Choisissons comme variable d'intégration l'angle .

On a :

d

²sin

R xd ,

tg

R x donc

x

R tg

Soit:

d sin 2

In )M(dB o

En intégrant entre les angles 21 et , il vient :

2

1

12

0o ) cos cos ( 2

In d sin

2

In- B(M)

Soit: x120 u ) cos cos ( 2

In )M(B

(11)

Remarques

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électricité : TC1




1. Si le point M est à l'intérieur du solénoïde,

la formule reste valable :

x120 u ) cos cos ( 2

In )M(B

2. Si le solénoïde est très long "infiniment long", dans ce cas : 12 , 0 et

2coscos 12

D'où : x0 u In (M )B

(12)

En pratique, il est impossible de réaliser des solénoïdes de longueur infinie, toutefois pour

un solénoïde de longueur R10 , le champ magnétique reste sensiblement constant sur

l'axe.

IV. CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE

THÉORÈME D'AMPÈRE

IV. 1. Circulation du champ magnétique dans le cas

d'un courant rectiligne filiforme indéfini

(infiniment long)

IV.1.1. Circulation élémentaire

Fig.14

x x' M

1

2

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électricité : TC1




Soit un fil infiniment long parcouru par un courant I, l'axe oz est confondu avec ce courant.

Le champ magnétique créé en un point M, distant de r de l'axe, est :

u

r2

I )M(B o

Quand on passe de M à M', la

circulation élémentaire de

B est :

'MM.BdC , avec :

k dz u rd u r d d 'MM r

Soit :

d

2

IdC o

Remarque

Cette circulation élémentaire ne dépend que de d, par conséquent sa valeur le long de

MM' est la même que celle calculée le long de sa projection mm'.

IV.1.2. Circulation le long d'un contour fermée

La courbe fermée n'entoure (n'enlace) pas le

courant

Nous pouvons donc prendre une courbe plane )AECDA ( contenue dans le plan

normal au courant.

M'

x

y

z

I

r

m

m'

M

Fig.15

B

o

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électricité : TC1




AEB CDB d.B 12

(Sur les côtés DA et EC, la circulation est

nulle car ruB

). Or :

1

o

1

11

2

o

2

22

r 2

I

r

k Bet r AE

r 2

I

r

k Bet r CD

Ainsi :

0= r r

k r

r

k AEBCDB 1

1

2

2

12

Toute circulation de

B le long d'un contour fermé qui n'entoure pas le courant est donc

nulle.

b. La courbe fermée entoure le courant

Quand on décrit la courbe ,

l'angle varie continuellement

jusqu'à la valeur 2 quand on fait

un tour . Donc :

I d2

I C o

0

2o

(13)

Fig.16

D

E

I

2B

B

A

C

x

1r

r1

2r

r2

1B

I

Fig.17

( )

B

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électricité : TC1




La circulation de

B sur une courbe fermée quelconque entourant un fil conducteur est

égale à 0I.

Remarques

La circulation de

B est positive si elle se fait dans le sens positif de , elle est négative si elle

se fait dans le sens contraire.

Le sens de parcours, le long de la courbe , est positif quand il se fait de la droite vers la

gauche de l'observateur d'Ampère placé sur le fil dans le sens du courant.

V. 2.Cas général

IV. 2. 1. Circulation élémentaire du champ

Soit un circuit C parcouru par un

courant I. En un point M

quelconque, il crée une induction

B donnée par la loi de la Biot et

Savart :

²r

ud

4

IB

C

o

Pour un déplacement élémentaire ) 'MMda ( da

, la circulation élémentaire du champ est

:

da

B

d

Fig.8 (C) (C')

u

M M'

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électricité : TC1




da.

²r

ud

4

I da.BdC

)C(

o

Or : ²r

dda.u

²r

dau.d )

²r

ud( .da

La circulation de

B s'écrit alors :

²r

d da .u

4

I da.BC o

Supposons qu'au lieu de déplacer M en M', on laisse fixe M et on fait subir au circuit (C ) une

translation ) da (

qui l'amène en (C'), l'aire balayée est )dda(- dS

et la circulation de

B devient alors :

d4

I

²r

) dS(.u

4

I C oo

d est l'angle solide élémentaire sous lequel on voit cet élément de surface dS depuis le

point M.

Si on désigne par l'angle solide sous lequel on voit depuis M le circuit (face sud du circuit),

l'angle solide sous lequel on voit depuis M' le circuit est + d .

La surface balayée par (C) et les surfaces propres qu'il délimite dans ses positions initiale et

finale forment une surface fermée. L'angle solide sous lequel on voit de l'extérieur cette

surface est nul; donc la contribution en angle solide de la surface balayée est égale mais de

signe contraire à celle de la surface propre de (C). D'ou : d = - d

Et par conséquent :

d

4

I d

4

I C oo

Soit :

d

4

I Cd

o

d étant la variation de l'angle solide sous lequel on voit du point M le circuit (en fait la

face sud du circuit).

Physique -

électricité : TC1




IV.2.2.Circulation du champ magnétique le long

d'une courbe fermée

a. Courbe fermée enlaçant le courant

Pour simplifier, considérons une

spire plane parcourue par le

courant I. La circulation de B le

long de la courbe est :

o dI4

C , avec

4d

D'où : I C 0 (14)

Remarques

- Si on se déplace sur la courbe en sens inverse, la circulation sera négative et égale à (- µ0 I

).

Si on enlace n fois le courant dans le sens positif,

on a :C = nµo I

- Si on enlace une fois plusieurs courants, on a : C = µ0 Ii où Ii désigne le courant total

enlacé, avec la convention suivante :

Un courant traversant () suivant la normale positive est affecté du signe (+) dans le cas

contraire du signe (-).

Courbe fermée n'enlaçant pas le courant

Fig.19

I

Physique -

électricité : TC1




Si le chemin d'intégration (courbe fermée) n'enlace pas le circuit, est uniforme et ne subit

pas de discontinuité 0 . D'où :

0d.B (15)

IV.3. Enoncé du théorème d'Ampère

Dans le vide, la circulation du vecteur induction magnétique

B le long d'une courbe

fermée est égale au produit par µo de la somme algébrique des intensités des courants qui

traversent cette courbe.

i0 I d.B C (16)

Remarque

Le théorème d'Ampère en magnétostatique est analogue au

théorème de Gauss en électrostatique.

Exemples

Physique -

électricité : TC1




Fig.20

n

n

I2 I1

I2d.B 0

)II(d.B 120

I

I

I

n

n

Id.B 0

0)II(d.B 0

Physique -

électricité : TC1




IV.4. Applications du théorème d'Ampère

IV.4.1 Champ magnétique d'un conducteur

cylindrique indéfini

On se propose de déterminer le champ magnétique )M(B

créé par un conducteur

cylindrique de longueur infinie de rayon a et parcouru par un courant d'intensité I.

Le plan )k,u,M( r

est un plan de symétrie. Le champ )M(B

est normal à ce plan, il est

porté par

u . La distribution de courants présente une symétrie cylindrique: indépendante

de toute translation et rotation autour de l'axe z'z. Le champ magnétique ne dépend donc

que de la distance r.

u)r(B)M(B

* r < a

i r 2 B i d.B o

o

l'intensité i étant l'intensité du

courant qui passe par le disque

de rayon r.

²r ²a

I ²r

²a

I S ji

D'où :

200 r

²a

I i=r 2 B

Soit :

ur

²a 2

I B 0

* r > a

u

M

B

Fig.21

M

k

r

a

a

z

z'

ru

I

Physique -

électricité : TC1




I =r 2 B0

u

r 2

I B o

Remarque

Pour r = a, on a :

)ar(B a 2

I B in

o

Il n'y a pas de

discontinuité du champ

magnétique B quand on

passe de l'intérieur à

l'extérieur du conducteur.

IV.4.2. Champ d'un solénoïde infini

Un solénoïde, de longueur infinie et d’axe z’z, comporte n spires jointives par unité de

longueur. Les spires ont pour rayon R et sont parcourues par un courant d’intensité I.

1. En tenant compte de la symétrie, montrer, en utilisant le théorème d’Ampère, que le

champ magnétique )M(B

est uniforme à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde.

2. En faisant l’hypothèse que le champ est nul à l’extérieur du solénoïde, déterminer le

champ )M(B

à l’intérieur du solénoïde.

0

Fig.22

r r = a

B(r)

a 2

I 0

Physique -

électricité : TC1




1. Le plan )u,u,M( r

est un plan

de symétrie.

B est donc

perpendiculaire à ce plan, c’est à

dire parallèle à l’axe du solénoïde :

k)z,,r(BB .

Le solénoïde étant infini, il est

invariant dans toute translation

parallèle à l’axe z'z et dans toute

rotation autour de celui - ci :

B ne

peut dépendre donc que de la

distance de l’axe au point où l’on

mesure :

k)r(B)M(B

Dans un plan passant par l’axe, considérons deux courbes d’Ampère (C1) et (C3)

rectangulaires et de côtés parallèles ou perpendiculaires à l’axe, les côtés parallèles ayant

pour longueur commune .

] )(r B - )(r B [ )(r B - 0 )(r B 0

d.Bd.Bd.Bd.Bd.B

1212

DA CD BC AB C 3

Aucune intensité de courant

ne traverse (C3); la circulation de

B sur (C3) est donc nulle : 0= ] )(r B-)(r B [ 12 . Ce qui

donne )(r B=)(r B 12 .

Le champ de vecteur

B est donc uniforme à l’extérieur du solénoïde.

. (C3)

(C1)

D

B A

C

r1

r2 r1

r2

I

z

z'

Fig.23

M ru

u

k

B

n

Physique -

électricité : TC1




De même la circulation de

B sur (C1) vaut ] )(r B-)(r B [ 12 . Cette courbe (C1) n’est

traversée par aucun courant : La circulation de

B est donc nulle et

B est uniforme à

l’intérieur du solénoïde.

2.

0)Rr(BBex

)B-(

)B-B(d.B

in

C inex

2

La courbe (C2) est traversée N fois par I dans le sens contraire de sa normale positive. La

circulation de

B sur (C2) vaut : I N 0

D’où : I N B 0in

k I n B=B :oùD'

longueur.deunitéparspiresdenombre lerepresentequiN

=n Avec

In =I N

=B : Soit

0int

00in

V. LE POTENTIEL VECTEUR

En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire.

Nous allons montrer que le vecteur champ magnétique )M(B

dérive lui aussi d'un potentiel

mais que ce potentiel est de nature vectorielle.

(C2)

B C I

I

Fig.24

n

D A

Physique -

électricité : TC1




On sait que 0rotdiv

.On peut donc définir un vecteur )M(A

tel que : )M(Arot)M(B

(17)

)M(A

est appelé potentiel vecteur du champ magnétique )M(B

. Les expressions de )M(A

sont données par :

V.1. cas d'un circuit filiforme

C

o

rdI

4)M(A (18)

V.2. cas d'une distribution surfacique de courant

)S(

so

r

dSj

4)M(A (19)

V.3. cas d'une distribution volumique de courant

)(

o r

dj

4)M(A (20)

VI. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP MAGNETIQUE ET DU POTENTIEL

VECTEUR

VI. 1. Les équations locales du champ magnétique

L'expression du théorème d'Ampère est : I d.BC

0

Dans le cas d'une distribution volumique du courant, on a :

S

dS)n .j(I

Soit :

S

0C

dS)n .j(d.B

Or d'après le théorème de stockes :

Physique -

électricité : TC1




dS) n.Brot(dS.Brotd.BS S C

Soit encore : 0 dS n).jBrot( 0S

: expression qui doit être nulle quelque soit la

surface S s'appuyant sur la courbe (C) . On en déduit donc que l'on doit avoir en chaque

point :

jBrot 0 (21)

L'expression (21) représente la formule de Maxwell - Ampère, appelée aussi forme locale

du théorème d'Ampère.

Comme la divergence d'un rotationnel est toujours nulle, on en déduit que

: 0Arotdiv B div

0Bdiv

(22)

Remarque

S 0 dS.B 0 Bdiv (d'après le théorème de Green Ostrogradski)


B est donc un champ de vecteurs à flux conservatif.

VI.2. Les équations locales du potentiel vecteur

Le potentiel vecteur

A d'une distribution volumique de courant de densité

j répartie à

l'intérieur d'un volume est défini par :

o dr

j

4A

Physique -

électricité : TC1




Si on fait l'analogie entre

A et le potentiel scalaire électrostatique V (

d

r

4

1V

o

et

o

V

), on aura en notation vectorielle :

j A o (23)

Dans les régions de l'espace où il n'y a pas de courants, on a :

0A

Sachant que :

ArotB et

jBrot 0.

Et

j A)Adiv(grad)Arot(rot)Brot( o

cte Adiv 0 )Adiv(grad jA o

, la constante peut être prise égale à zéro.

D’où : 0(M )Adiv

: Condition de jauge de Coulomb (24)

Remarques

*

C S S

d.A dS.ArotdS.B Arot B

Le flux du vecteur

B à travers une surface (S) limitée par une courbe (C) est égal à la

circulation du potentiel vecteur

A le long de (C)

C S

d.A dS.B

* Analogie électrostatique - magnétostatique :

Physique -

électricité : TC1




Electrostatique Magnétostatique

VgradE

ArotB

o

Ediv

jBrot 0

o

V

j A o

0Erot 0Bdiv

S o

iQ dS.E

C io I d.B

VII . Action magnétique sur les courants-

Forces magnétiques

VII.1. Actions exercées par des charges ponctuelles en

mouvement sur une charge ponctuelle elle

même en mouvement

On a vu en électrostatique, si toutes les charges ponctuelles sont au repos, elles créent en un

point M où est placée la charge ponctuelle q, elle-même au repos, un champ électrostatique

E et la charge q est alors soumise à une force

Eq F .

Physique -

électricité : TC1




Lorsque toutes les charges sont en mouvement, la force subie par la charge q n'a pas une

expression aussi simple. On montre que la force totale subie par la charge q comporte deux

composantes :

- Une force électrique de la forme

Eq F1 où le champ électrique

E est indépendant

de la charge q ;

- Une force magnétique due en particulier au mouvement de la charge q de la

forme

v,Bvq F 2 étant la vitesse de la charge q et

B est le vecteur champ magnétique

créé par toutes les charges en mouvement autre que la charge q au point où est placée la

charge q à l'instant t.

La force totale agissant sur la charge q sera donc :

)BvE( q F

(25)

Cette force s'appelle force de Lorentz.

Remarque


B peut être créé également par un aimant ou une distribution de

courants. Ainsi, une charge ponctuelle q, placée dans une région où règne un champ

magnétique

B et animée d'une vitesse

v , sera soumise à une force magnétique

Bvq .

VII.2. Loi de Laplace

Soit un circuit (C) filiforme parcouru par un courant continu d'intensité I et placé dans un

champ magnétique B

extérieur. Un élément de longueur d du circuit (C), contenant dq

charges mobiles, est soumis à une force magnétique :

Bvdq dF

Or

dIdtvIdt Ivdqv

On en déduit la force magnétique agissant sur l'élément de longueur d du circuit, appelée

force de Laplace :

Physique -

électricité : TC1




BdIdF (26)

L'expression ci-dessus constitue la loi de Laplace. Cette expression vectorielle de

dF montre

que :

-

dF est perpendiculaire au plan formé par

d et B

;

- le trièdre (

d , B

,

dF ) est direct.

- le module de

dF est :

sinB d IdF , étant l'angle

entre

d et B

.

VII.3. Effet Hall

Soit un ruban (plaquette)

métallique plat de forme

parallèlépipédique de

longueur a, de largeur b

et d'épaisseur d. Ce

ruban est placé dans un

champ magnétique

B

permanent

et uniforme, perpendiculaire aux grandes faces (Fig. 25).

Le ruban est traversé suivant son épaisseur par un courant d'intensité I. Le courant I est dû

au mouvement des électrons libres, de vitesse

v . En présence du champ magnétique, ces

électrons sont soumis à une force magnétique

mdF , normale à

v , qui est à l'origine d'une

accumulation d'électrons sur la face avant du ruban.

Fig.25

B

I

A

C

*

mdF

d

b

a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _

-

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + +

d

edF

HE

Physique -

électricité : TC1




dBven Bvd q n dFm

( n : étant le nombre d'électrons contenus dans d ).

L'accumulation d'électrons sur la face avant et l'excès de charges positives sur la face arrière

sont à l'origine d'une différence de potentiel entre les deux faces du ruban et un champ

électrique HE

appelé champ de Hall. Ce champ exerce sur les électrons libres du volume d

une force

edF opposée à

mdF donnée par

Ed q n dFe .

Le régime permanent est atteint quand :

0dFdF me

Soit :

0)EBv( dqn H

D'où :

BvEH (27)

La différence de potentiel UH appelée tension de Hall sera donnée par :

B v b Eb d.EVVU HH

C

A CAH

Or b d v q ndS.j I

Soit : b d q n

Iv

Par suite : q n

1

d

B IUH

Soit, en posant qn

1 R H , constante de Hall, on a :

HH Rd

B IU (28)

Physique -

électricité : TC1




Remarques

1. Dans le cas où les charges mobiles sont des électrons RH < 0 et UH > 0.

2. La valeur du champ magnétique B étant connu, les mesures de la d.d.p UH et de l'intensité

du courant I permettent de déterminer la densité des porteurs et la nature des charges.

dF dl q P

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