Physique - électricité : TC1 - UVT - Université Virtuelle de … - électricité : TC1 Champ et...

of 35/35
Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Physique - électricité : TC1 Champ et potentiel électrostatiques Concepteur du cours: Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.
  • date post

    29-May-2018
  • Category

    Documents

  • view

    217
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Physique - électricité : TC1 - UVT - Université Virtuelle de … - électricité : TC1 Champ et...

  • Ministre de lEnseignement Suprieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie

    Universit Virtuelle de Tunis

    Physique - lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    Concepteur du cours:

    Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek

    Attention !

    Ce produit pdagogique numris est la proprit exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire des fins commerciales. Seul le tlchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par

    utilisateur) est permis.

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    2 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    En analysant la loi de Coulomb prsente dans le chapitre prcdent, nous

    introduisons le champ lectrostatique

    E . Ltude des proprits de ce champ laide des

    notions mathmatiques conduit au potentiel lectrostatique et au thorme de Gauss. les

    mthodes permettant de calculer le champ et le potentiel lectrostatiques lorsque la

    distribution de charges est donne seront prsentes.

    I. LE CHAMP ELECTROSTATIQUE

    I.1. Dfinition

    Toute rgion de lespace dans laquelle une charge lectrique subit une force

    lectrique est appele un champ lectrique.

    Une charge q exerce sur une charge q' place une distance r, dans le vide, une force

    qui est donne par la loi de Coulomb:

    r

    r

    r

    'qq

    4

    1F

    2

    0

    Cette force dpend de la grandeur des charges q et 'q mais si on considre le rapport

    r

    r

    r4

    q

    'q

    F2

    0

    , on constate quil ne dpend plus de la charge q' mais seulement de la charge

    q. On pose

    E'q

    Fet on dsigne ce vecteur sous le nom de vecteur champ lectrique au

    point M cr par la charge ponctuelle q.

    r

    r

    r

    q

    4

    1E

    2

    0

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    3 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    PMr ,rdirection la de unitaire vecteur:ur

    r

    Remarques:

    1. Le champ lectrique qui existe en tout point de lespace dfinit un champ de vecteurs.

    Pour mettre en vidence ce champ on introduit une charge q0, appele charge

    dpreuve , dans ce champ, il sexerce sur cette dernire la force : EqF 0

    La charge lectrique tant une quantit algbrique,

    F et

    E sont de mme sens si q0>0 et de

    sens contraire si q00

    E

    P r M q

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    4 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Considrons maintenant une charge q0 place en un point M et se trouvant en

    prsence dautres charges qi places en des points Pi (i = 1 n). Le principe de superposition

    permet dcrire la force

    F sexerant sur la charge q0 sous la forme:

    ) MPr ( r

    r

    4

    qqF ii3

    i

    in

    1i 0

    i0

    soit: r

    rq

    4

    1E avec EqF

    3

    i

    iin

    1i 0

    0

    On remarque que le champ E

    est la somme des champs

    iE crs en M par les

    diffrentes charges qi, ce que nous crivons:

    r

    r

    r

    q

    4

    1E avec EE

    i

    i

    2

    i

    i

    0

    i

    n

    1i

    i

    Le principe de superposition sapplique donc pour les champs dus diffrentes

    charges.

    I.2.2. Cas dune distribution continue de charges

    Ce sont des charges reparties dans un volume, sur une surface ou sur un fil. On peut

    considrer ces rpartitions de charges comme continues dans la limite o la distance entre

    deux charges est trs petite par rapport la distance qui les spare du point o on calcule le

    champ.

    a. Distribution volumique

    Considrons une rpartition continue de charges lintrieur dun certain volume V,

    rpartition considre en chaque point P du volume par la donne de la densit volumique

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    5 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    de charges dv

    dq o dq dsigne la charge lectrique contenue dans llment de volume

    dv entourant le point P.

    Le champ

    dE cr en un point M par la charge dq a pour expression:

    ) r

    ru , PMr ( u

    r

    dv

    4

    1

    r

    r

    r

    dq

    4

    1dE

    2

    0

    2

    0

    Nous crivons donc pour lensemble de la rpartition:

    u r

    dv

    4

    1E

    v 2

    0

    b. Distribution surfacique

    Pour une rpartition surfacique de charges caractrise par la donne de la densit

    surfacique dS

    dq en chaque point dune surface S, nous crirons de faon analogue:

    s u

    r

    dS

    4

    1E

    2

    0

    c. Distribution linique

    Pour une rpartition linique de charges caractrise en chaque point dune courbe

    , par la densit linique d

    dq , nous crirons:

    .u r

    d

    4

    1E

    2

    0

    I.3. Proprits de symtrie et principe de Curie

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    6 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Les proprits de symtrie dune distribution de charges lectriques permettent de

    dterminer par calcul, en un point quelconque de lespace, la direction du champ lectrique

    cr par cette distribution et les variables despace dont dpend E . En physique, les

    considrations de symtrie constituent un outil extrmement puissant qui intervient dans

    des nombreux domaines.

    Les symtries propres dune distribution de charges sont les oprations de symtries

    (rotations, translations, symtries par rapport un plan ...) qui laissent le systme de

    charges gomtriquement invariant, cest dire qui le superposent lui-mme.

    Le principe de Curie permet de comparer les lments de symtrie dune distribution

    de charges ( systme appel cause) aux lments de symtrie du champ lectrique

    (systme appel effets).

    Ce principe snonce de la manire suivante:

    - Lorsque certaines causes produisent certains effets, les lments de symtrie des

    causes doivent se retrouver dans les lments de symtrie des effets produits.

    - Lorsque certains effets rvlent une certaine dissymtrie, cette dissymtrie doit se

    retrouver dans les causes qui lui ont donn naissance.

    I.3.1. Elments de symtrie et variables despace

    a. Symtrie de translation

    On dcrit linvariance dune distribution de charges par translation en utilisant les

    coordonnes cartsiennes (x, y, z). Une distribution de charges invariante dans toute

    translation parallle un axe,

    z'z par exemple, est caractrise par une densit de charges

    indpendante de z. Le champ E

    cr ne dpend pas donc de z.

    b. Symtrie de rotation autour dun axe

    On dcrit linvariance dune distribution de charges par rotation autour dun axe en

    utilisant les coordonnes cylindriques (r,,z), laxe

    z'z tant laxe de rotation. Une

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    7 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    distribution de charges invariante dans toute rotation par rapport un axe

    z'z est

    caractrise par une densit de charges indpendante de langle . Le champ E

    cr ne

    dpendra que de r et de z: )z,r(E)z,,r(E)M(E

    c. Symtrie de rotation autour dun point (Symtrie sphrique)

    On dcrit linvariance dune distribution de charges par rotation autour dun point en

    utilisant les coordonnes sphriques (r,,). Une distribution de charges invariante dans

    toute rotation autour dun point fixe O, prsentant la symtrie sphrique, est caractrise

    par une densit de charges indpendante de et de . Le champ E

    cr ne dpendra que de

    r:

    )r(E),,r(E)M(E

    I.3.2. Plans de symtrie et direction du champ E

    On dit quune distribution de charge volumique possde un plan de symtrie (ou

    plan de symtrie paire) lorsque lopration de symtrie par rapport ce plan ne la modifie

    pas: )P()'P( ( 'P : symtrique de P par rapport au plan ). Lorsquune opration de

    symtrie par rapport un plan ' change une distribution de charge en son oppose:

    )P()'P( , on dit que le plan de symtrie ' est un plan dantisymtrie ( ou plan de

    symtrie impaire ).

    Les consquences de lapplication du principe de Curie pour le champ

    E conduisent

    aux rsultats suivants pour la direction du champ

    E :

    - Le champ, cr en tout point M appartenant au plan , est contenu au plan de

    symtrie paire . En effet:

    Soient deux charges lementaires dq1 et dq2, dq1

    est symtrique de dq2 .

    (dq1= dq2, P1M = P2M = r )

    Le champ lectrique cr.au point M par ces

    charges est:

    P1(dq1)

    P2(dq2)

    M H

    1dE

    2dE

    dE

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    8 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    r

    HM2kdq

    r

    )MPMP(kdq

    MP

    MPkdq

    M1

    P

    MPkdqdEdEdE

    33

    21

    2

    3

    223

    1121

    le champ E appartient donc au plan de symtrie

    - Le champ, cr en tout point M appartenant au plan, est perpendiculaire au

    plan de symtrie impaire.En effet:

    Le champ lectrique cr Au point M par dq1 et dq2

    (dq1 = -dq2 ) est donn par :

    r

    PPkdq

    r

    )MPMP(kdqdEdEdE

    3

    21

    3

    2121

    Le champ E est donc perpendiculaire au plan

    d'antisymtrie '

    I.4. Exemples de calcul direct du champ E

    I.4.1. Fil uniformment charg avec une densit linique >0

    Considrons un fil AB de longueur 2L uniformment charg concidant avec laxe Oz

    et charg avec une densit linique constante. Calculons directement le champ cr en

    tout poit M d'un axe orthogonal AB passant par le point O milieu de AB. La distance OM

    sera note a ( Fig.1 ).

    Un lment de fil de longueur d la distance de O porte une charge d et cre

    au point M un champ

    rdE :

    '

    P1(dq1)

    P2(dq2)

    M H

    1dE

    2 dE

    dE

    ru

    P

    u

    a

    O

    rdE

    rdE

    dE

    M

    d

    r 0

    A

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    9 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    ) OP ; aOM ; r

    ru ; rPM (

    ur

    d

    4

    1dE

    r

    r2

    0

    r

    En raison de la symtrie du problme, chaque lment d la distance au-dessus de O,

    correspond un lment d au-dessous de O la mme distance.

    Laddition vectorielle des champs crs par des lments symtriques deux deux

    donne une rsultante dont la composante parallle au fil est nulle. Seule la composante

    parallle OM perpendiculaire au fil est diffrente de zro et vaut :

    ) OM

    OMu( ; ucos

    r4

    d ucosdEdE

    2

    0

    r

    Sur la figure on vrifie que

    cos

    ar et atg

    On a donc: cosa4

    d dE 3

    2

    0

    Le calcul du champ total cr au point M resultera de l'intgration de cette

    expression sur toute la longueur de la tige. On remarque que dans cette expression,

    l'lment de longueur d est rper par l'angle . Il serait donc intressant de choisir

    comme variable d'intgration.

    On a: . dcos

    ad

    2

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    10 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Soit: d cosa4

    dE0

    Intgrons cette expression entre -0 et 0 qui sont les deux angles dlimitant le fil AB

    vu du point M.

    a2

    sindcos

    a4E

    0

    0

    0

    0

    0

    On peut remplacer 0sin par son expression en fonction des donnes a et L:

    22

    0

    La

    Lsin

    D'o l'expression finale du champ lectrique en M:

    u

    La2

    LE

    22

    0

    Remarque: cas d'un fil infini uniformment charg.

    * L'expression du champ lectrique cr par un fil infini au point M est donne par:

    a2dcos

    a4E

    0

    2

    20

    Puisque

    E a la direction de

    u , on obtient finalement sous forme vectorielle:

    u

    a2E

    0

    * Un plan 1 passant par M et contenant Oz est un plan de symtrie paire. Il en est de

    mme pour un plan 2 passant par M et perpendiculaire Oz. Le champ

    E doit donc tre

    contenu la fois dans 1 et dans 2; il est donc port par la direction commune de 1 et 2

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    11 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    cest dire quil est perpendiculaire au fil. Le systme de coordonnes adapt la symtrie

    est celui de coordonnes cylindriques dans lequel le point M est dfini par , et z

    (=OM=a). Le module de

    E est le mme pour un mme , ceci quelque soit . Dautre part,

    E est invariant par une translation suivant Oz.

    Finalement E est indpendant de z et de et varie seulement en fonction de . Ceci

    correspond bien au rsultat trouv prcdemment pour

    E :

    u

    a2E

    0

    I.4.2. Disque uniformment charg

    Considrons un disque de rayon R

    portant la charge totale Q uniformment

    rpartie sa surface, ce qui correspond une

    densit surfacique uniforme R

    Q

    ; nous

    nous proposons de calculer le champ

    lectrostatique cr par ce disque en un

    point M de son axe Oz la distance z (z>0) de

    son centre O ( Fig.2).

    Tout plan contenant la droite OM est

    un plan de symtrie paire; le champ

    E est

    ncessairement port par la direction

    commune tous ces plans, cest dire par

    Oz.

    Le champ

    dE d un lment de surface dS, de charge dSdq , a pour expression:

    ) r

    ru , PMr ( udEu

    r4

    dSdE

    0

    dE

    r

    z

    M

    dS P

    R

    O

    Fig.2

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    12 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    On peut associer deux deux les lments de surface de faon que les composantes

    normales Oz des champs correspondants se compensent comme nous lavons prvu

    partir des lments de symtrie du problme, seules sajoutent les composantes

    cosdEdE z .

    r

    cosdS

    4dE

    0

    z

    avec dS = dd (en coordonnes polaires); r = + z ( = OP ; z = OM) et

    z

    zcos

    Soit: 2/30

    zz

    dd

    4

    zdE

    Lexpression du champ

    E en M ( qui se confond avec sa composante sur Oz) est

    donne par:

    zR

    z

    z

    z

    2E

    d z

    d

    4

    zE

    0

    R

    0

    2

    02/3

    0

    Soit:

    z

    0

    uzR

    z

    z

    z

    2E

    Cette expression est valable quelque soit le signe de z.

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    13 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Cas limites:

    * Si le point M est trs loign du disque Rz , on aura:

    z

    z

    z4

    R

    z

    z

    z4

    R

    z2

    R11

    z

    z

    2

    z

    R1

    z

    z

    z

    z

    2)M(E

    00

    00

    Cest lexpression du champ cr en M par une charge RQ (cest la charge totale du

    disque) place en O.

    * Si le point M est trs proche du disque Rz , lexpression du champ devient

    approximativement gale :

    z

    z

    2)M(E

    0

    Nous retrouvons ainsi, au voisinage immdiat du disque, le champ dun plan

    uniformment charg .

    00 20)E(zet

    2)0z(E

    Remarquons la discontinuit de 0

    de E la traverse de la couche superficielle

    charge.

    0

    0)E(z)0z(E

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    14 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    II. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

    II.1. Circulation du champ lectrostatique - Dfinition du potentiel lectrostatique

    II.1.1. Circulation du champ lectrostatique dune charge ponctuelle

    Une charge ponctuelle fixe q place

    en O cre en tout point de lespace un champ

    lectrostatique:

    r2

    0

    3

    0

    ur4

    q

    r

    r

    4

    qME

    La circulation lmentaire dC de

    E correspondant un dplacement lmentaire

    d du point M sur la courbe

    AB est:

    d.u

    r4

    qd.EdC r

    0

    or .)usur d de projection laest (dr dru.dd.u rrr

    Cter4

    qV(r) avec

    )r(dVr4

    qddr

    r4

    qdC

    0

    00

    La circulation lmentaire dC est donc la diffrentielle totale dune fonction de r.

    )M(E

    ru

    O

    A

    B

    M

    d

    Fig.3

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    15 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    II.1.2. Potentiel lectrostatique

    Nous venons de montrer que pour une charge ponctuelle, on a:

    Cter4

    q)r(V avec )r(dVd.E

    0

    .

    La fonction V(r) est appele potentiel lectrostatique; V(r) est dfinie une

    constante prs.

    Cter4

    q)r(V

    0

    Lunit du potentiel lectrostatique dans le systme SI est le Volt (V). Remarquons

    que le choix du volt justifie le nom du Volt/mtre attache lunit de

    E .

    Relation entre

    E et V:

    Le potentiel lectrostatique a t dfini partir de la circulation lmentaire de

    E :

    dV.graddV or dVd.EdC

    do la relation locale entre

    E et V:

    V(M)gradME

    Cette relation locale montre que le champ lectrostatique

    E drive du potentiel

    lectrostatique V.

    II.1.3. Notion de diffrence de potentiel

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    16 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    La circulation AB

    C du champ

    E le long du contour AB (Fig.4) est:

    ABBA0

    BA

    B

    AAB r

    1

    r

    1

    4

    qVV)r(dVdCC

    Cette circulation est donc gale la

    diffrence de potentiel VA-VB.

    BA

    B

    AVVd.E

    La circulation du champ lectrostatique entre deux points A et B est indpendante du

    trajet suivi pour aller de A B et ne dpend que des potentiels du point de dpart et

    darrive.

    Remarque: Physiquement, on na aucun moyen pour dterminer le potentiel V. Par contre

    on sait mesurer des diffrences de potentiel entre deux points A et B.

    II.2. Expressions du potentiel lectrostatique

    II.2.1. Cas dune distribution ponctuelle de charges

    a. Cas dune charge ponctuelle

    E d

    B A

    Fig.4

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    17 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Le potentiel lectrostatique cr par une charge ponctuelle en un point M de lespace

    distant de r, est donn par lexpression suivante:

    Cter4

    q)r(V)M(V

    0

    On choisit en gnral la valeur de la constante de faon satisfaire la condition V=0

    linfini (potentiel coulombien). Dans ce cas la constante est nulle et le potentiel scrit:

    r4

    q)r(V)M(V

    0

    b. Cas de n charges ponctuelles

    La formule du potentiel donne par le paragraphe (II.1.2.) se gnralise n charges.

    En effet, la loi de composition pour les champs:

    n

    1i

    n

    1i i0

    i

    i0

    in

    1i

    i Cter4

    qgradCte

    r4

    qgradEE

    entrane la loi de superposition pour les potentiels:

    Cter4

    qVV

    n

    1i i0

    in

    1i

    i

    II.2.2. Cas dune distribution continue de charges

    - Pour une rpartition linique de charge caractrise par la densit linique , nous

    crirons:

    r

    d

    4

    1)M(V

    0

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    18 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    - Pour une rpartition surfacique de charge caractrise par la donne de la densit

    surfacique , nous crirons:

    S0 r

    dS

    4

    1)M(V

    - Pour une rpartition volumique de charge caractrise par la donne de la densit

    volumique , nous crirons:

    v0 r

    dv

    4

    1)M(V

    Remarque:

    Ces expressions du potentiel reposent sur la convention suivant laquelle V tend vers

    zro lorsque lon sloigne infiniment des charges.

    II.3. Exemples de calcul du potentiel lectrostatique

    II.3.1. Segment uniformment charge

    a. Le point M est sur la mdiatrice du segment

    Calculons le potentiel lectrique cr

    en un point M de la mdiatrice (OM=a) du

    segment AB.

    Le potentiel lmentaire dV, cr au

    point M par la charge dq contenue dans

    llment de longueur ddq d , centr

    en P, est :

    d

    -L

    L

    O

    P

    A

    B

    a

    M

    r

    Fig.5

    AB=2L

    PM=r

    OP=

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    19 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    L

    L 220

    22

    00

    a

    d

    4)M(V

    a4

    d

    r4

    d)M(dV

    On pose:

    2222

    22

    a

    d

    t

    dt

    a

    dddtat

    Soit: 22

    22

    LaL

    LaL00

    Logt4t

    dt

    4)M(V

    22

    22

    0 LaL

    LaLLog

    4)M(V

    Cas limites:

    a- Si le point M est trs loign (a>>L):

    ) L2Q ( a4

    Q

    a4

    L2)M(V

    00

    b- Si le point M appartient laxe, extrieur au segment :

    L

    L0

    00

    a

    )a(d

    4)M(V

    a4

    d

    r4

    dq)M(dV

    P

    L

    M B A O

    -L

    PM=a-

    OP=

    OM=a

    Fig.6

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    20 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    La

    LaLog

    4)M(V

    0

    II.3.2. Disque uniformment charg

    On peut calculer le potentiel lectrostatique V(z) sur laxe (Fig.2) soit partir de

    z

    VEz

    en tenant compte de la condition 0V linfini, soit par sommation directe;

    cest cette seconde mthode que nous allons utiliser ici:

    2

    0

    R

    02

    1

    0

    2

    1

    00

    d

    z

    d

    4)M(V

    z

    dd

    4

    1

    r

    dS

    4

    1)M(dV

    zzR2

    )M(V0

    Remarque: V est continu la traverse du disque : 2

    R)0(V)0z(V

    0

    II.4. Surfaces quipotentielles et lignes du champ lectrique

    II.4.1. Surfaces quipotentielles

    Ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel a une valeur constante, leur quation

    est donc: ConstanteMV

    II.4.2. Lignes de champs

    Ce sont des courbes qui sont tangentes au vecteur

    E en chacun de leurs points. Ces

    lignes sont orientes dans le sens de

    E .

    Si

    d dsigne un vecteur lmentaire, tangent la ligne de champ, on a:

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    21 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    dkE (k est un coefficient de proportionnalit)

    En coordonnes cartsiennes, on a:

    kdzE , kdyE , kdxE zyx

    Et lquation des lignes du champ scrit:

    zyx E

    dz

    E

    dy

    E

    dx

    Remarque:

    Lensemble des lignes de champ qui sappuie sur une courbe C constitue ce quon

    appelle tube de force.

    II.4.3. Proprits diverses

    a. Le long dun trajet petit sur une quipotentielle on a dV = 0 do,

    daprs

    d.EdV , 0d.E

    E est donc perpendiculaire un dplacement

    d quelconque sur lquipotentielle.

    Les lignes du champ sont donc perpendiculaires aux quipotentielles.

    b. Les lignes du champ vont dans le sens des potentiels dcroissants.

    En effet, 0d.EdV

    .

    III. FLUX DU VECTEUR CHAMP ELECTROSTATIQUE - THEOREME DE

    GAUSS

    III.1. Angle solide

    Dans le plan, on peut dterminer langle par:

    B

    A

    O

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    22 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    r

    AB

    (

    AB est la mesure de l'arc AB)

    Par analogie, dans lespace, on dfinit

    aussi langle, not , qui permet la mesure

    de ltendue dun cne de sommet O et dont

    les gnratrices sappuient sur une surface

    (S). dsigne langle solide sous lequel du

    point O, on voit la surface (S).

    R

    S

    o S dsigne la surface intercepte par le cne sur une sphre de rayon R centre en

    O.

    * Expression de langle solide lmentaire

    Soit M le point moyen dun lment de surface dS, r la distance de O M et

    u un

    vecteur unitaire port par

    OM .

    Lexpression de langle solide d

    sous lequel de O on voit dS cest dire

    langle solide dlimit par le cne de

    sommet O et de base dS est donne par:

    r

    u.ndS

    r

    u.dS

    r

    cosdS

    r

    dSd

    2

    0

    R

    0dS

    O S

    d

    dS

    O

    u

    M

    r

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    23 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    III.2. Flux du vecteur champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle

    III.2.1. Flux lmentaire

    Soit q une charge ponctuelle fixe

    place en O et dS un lment de surface

    orient (Fig.7). Le champ lectrostatique

    E cr en M par q, a pour expression:

    u

    r

    q

    4

    1E

    0

    Le flux lmentaire d de

    E travers dS est donn par:

    r

    dS.u

    4

    qdS.Ed

    0

    d4

    qd

    0

    d tant langle solide lmentaire sous lequel de O on voit llment de surface dS.

    III.2.2. Flux sortant dune surface ferme

    Soit S une surface ferme dlimitant un volume fini de lespace. Soit q une charge

    ponctuelle place en un point O; cette charge se trouve soit lintrieur de S soit

    lextrieur (nous ne considrons pas le cas o la charge viendrait se trouver justement sur S).

    d

    u

    dS

    q

    O

    Fig.7

    M

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    24 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Nous nous proposons, dans les deux cas, de calculer le flux, de

    E cr par la charge

    q, sortant de S.

    a- Charge situe lintrieur de S

    Dans ce cas (Fig.8), du point O o se trouve la

    charge q, on voit la surface S sous langle solide

    4d , cette intgrale correspond langle

    solide sous lequel on voit lespace tout entier.

    do:000

    q

    4

    4qd

    4

    q

    b- Charge situe lextrieur de S

    Si la charge q se trouve lextrieur de S, un cne lmentaire issu de la charge

    coupe un nombre pair de fois la surface (Fig.9), les flux lmentaires correspondants ont

    tous mme module mais ont des signes diffrents cause des variations de signe de

    dS.u puisque les normales ont une orientation diffrente.

    u

    dS

    dS

    dS2 dS1

    q

    Fig.9

    u

    O

    q

    Fig.8

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    25 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    En effet, sur dS1,

    dS.u est ngatif, tandis que sur dS2,

    dS.u est positif. On a donc pour

    lensemble des surfaces dS1 et dS2, 0ddd 21 . On peut ainsi associer par couples

    tous les lments de la surface S et en dduire que 0

    En rsum, le flux, du champ cr par une charge ponctuelle, sortant dune surface ferme

    S est nul si la charge est lextrieur de S et vaut 0

    q

    si la charge est lintrieur de S.

    III.3. Flux du champ cr par une distribution de charges- Thorme de Gauss

    Si lon considre maintenant plusieurs charges q1, q2 ,..., qn , elles crent un champ

    E d la superposition des champs ,E,...,E,E n21

    on a donc:

    jj

    ii

    avec i les flux des charges qi intrieures S ( S tant une surface ferme dlimitant le

    volume fini v de lespace ) et j les flux des charges qj extrieures.

    Or, comme nous lavons vu, 0et q

    j

    0

    ii

    , nous crirons donc pour le flux

    total sortant de S:

    0

    int

    i 0

    Q soit ,

    qi

    o i

    iint qQ est la charge lectrique totale intrieure la surface S.

    Ce rsultat constitue le thorme de Gauss qui peut snoncer ainsi:

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    26 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Le flux sortant, du champ lectrostatique cr par une distribution donne de charges

    place dans le vide, travers une surface ferme S est gal la somme algbrique des

    charges intrieures la surface divise par 0.

    i

    i

    0S

    q1

    dS.E

    Remarques:

    1. Le thorme de Gauss est trs utile dans les applications car il permet de calculer

    dune faon simple et rapide les champs dans les problmes o la symtrie des donnes est

    assez grande.

    2. Pour que le calcul du flux sortant dune surface soit simple, il faut choisir

    judicieusement une surface ferme, appele surface de Gauss, telle que:

    *

    E soit perpendiculaire cette surface EdSdS.E

    (la direction

    de

    E devrait tre dtermine au pralable en utilisant la symtrie de distribution).

    *.

    E doit avoir en chaque point de la surface une valeur constante

    ESEdS (S tant laire de ).

    III.4. Applications du thorme de Gauss

    III.4.1. Fil infini uniformment charg

    Considrons un fil coincidant avec l'axe Oz et uniformment charg avec une densit

    linaire .

    Le plans (P1) passant par M et contenant l'axe

    Oz est un plan de symtrie. Il en est de mme

    pour un plan (P2) passant par M et

    h

    r

    z

    M

    E

    O

    ru

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    27 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    perpendiculaire Oz. Le champ E doit donc

    tre contenu la fois dans (P1) et dans (P2); il

    est donc port par la direction commune de

    (P1) et (P2) c'est dire qu'il est radial.

    ru)z,,r(E)M(E

    La distribution de charges est invariante par

    translation le long de Oz et par rotation

    autour de Oz . Par consquent, le module de

    E ne peut dpendre que de la distance r de

    M l'axe Oz.

    ru)r(E)M(E

    Appliquons le thorme de Gauss un cylindre de hauteur h, d'axe Oz et de rayon r .

    Le flux sortant de E travers les surfaces des bases est nul (

    dSE ). En chaque point de la

    surface latrale dS etE sont colinaires et E(r) a une valeure constante. Le flux de

    E

    travers la surface latrale est donc gal E(r )2rh .

    La charge contenue dans la surface de Gauss est Q = h; le thorme de Gauss s'crit donc:

    0

    hrh2)r(E

    D'o l'expression du champ :

    r

    0

    u r

    1

    2E

    III.4.2. Sphre uniformment charge en volume

    a- Calcul du champ

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    28 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Considrons une sphre de centre O et de rayon R,

    de charge Q. Cette charge est rpartie avec une

    densit volumique uniforme.

    Nous allons dterminer lexpression de

    E

    lintrieur comme lextrieur de la sphre.

    Tout plan contenant OM est un plan de symtrie. Le champ

    E est ncessairement

    port par la direction commune tous ces plans, donc par OM .

    Soit r = OM la distance de O au point M o lon veut calculer le champ et

    r

    r

    OM

    OMu

    le vecteur unitaire port par OM . La distribution de charges prsente une

    symtrie sphrique, le module de

    E est indpendant de et de , il ne peut dpendre que

    de r et nous poserons

    u)r(E)r(E)M(E .

    La surface de Gauss est une sphre de centre O et de rayon r. Le champ

    E est en

    tout point de port par la normale

    u et son module est constant en tout point de . Le

    flux de

    E travers est donc:

    r4 r ES rEdS.E)E(

    1er cas : r > R

    La charge intrieure la surface de Gauss est la charge totale :

    3R3

    4Q

    Le thorme de Gauss se traduit donc par la relation:

    M

    E

    R

    r

    Fig.10

    O

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    29 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    3

    00

    R3

    4Qr4)r(E

    Soit : r

    R

    3

    1)r(E

    3

    0

    Lexpression de

    E sous forme vectorielle est donc:

    u

    r4

    Qu

    r3

    R)Rr(E)M(E

    00

    3

    1

    2me cas : r < R

    La charge comprise lintrieur de la surface de Gauss est cette fois infrieure Q et

    vaut: 3int r 3

    4Q

    et le thorme de Gauss scrit:

    3

    0

    r 3

    4r4)r(E

    do lexpression de

    E :

    u

    3

    r)Rr(E)M(E

    0

    2

    Remarque:

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    30 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    On remarque que E est continu en

    tout point de lespace, en particulier pour r

    =R; ce fait est gnral en prsence dune

    distribution volumique de charges.

    b- Calcul du potentiel

    A cause de la symtrie sphrique, le potentiel V ne peut dpendre que de r; V=V(r) et

    la relation VgradE

    scrit ici:

    E(r)dr-V(r)ou dr)r(dV

    )r(E

    1er cas : r > R

    1

    0

    3

    0

    3

    1 Cr3

    Rdr

    r3

    R)r(V

    o C1 est une constante dintgration; en supposant que 0)(V ( il ny a pas de charges

    linfini ), nous obtenons C1=0, do lexpression de V(r) scrit :

    r 3

    R)r(V

    0

    3

    1

    2me cas : r < R

    r R

    E(r)

    Fig.11

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    31 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    2

    00

    C6

    rdr

    3

    r)r(V

    o C2 est une constante dintgration que nous

    allons dterminer en exprimant la continuit de

    V(r) pour r = R. Cette condition de continuit se

    traduit en crivant :V1(r = R) =V2(r = R). Soit:

    0

    2

    2

    0

    2

    0

    3

    2

    0

    2

    2

    RC

    3

    R

    R 3

    RC

    6

    R

    Do lexpression de V2(r) lintrieur de la sphre charge:

    )rR3(6

    )r(V0

    III.4.3. Sphre uniformment charge en surface

    Considrons une sphre de centre O et de rayon R, charge uniformment avec une

    densit superficielle . Soit 2S

    R4SdSQ sa charge totale.

    En utilisant le mme raisonnement que celui dune sphre charge en volume on

    peut montrer que :

    *

    u)r(E)M(E r4)r(E)E(

    Et on obtient:

    r

    uR)Rr(E)M(E

    0)Rr(E)M(E

    0

    2

    1

    r R

    V(r)

    Fig.12

    0

    2

    3

    R

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    32 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    De la relation VgradE

    on dduit le potentiel:

    r

    R)Rr(V)M(V

    R)Rr(V)Rr(V)M(V

    0

    2

    0

    1

    La reprsentation des variations de V(r) et E(r) en fonction de r ( Fig.13 ) montre que le

    potentiel est continu alors que le champ E(r) subit, la traverse de la surface charge, une

    discontinuit gale 0

    .

    III.4.4. Plan uniformment charg

    Considrons un plan infini portant

    la charge surfacique uniforme sur

    toute sa surface.Soit M un point de

    lespace extrieur . Tout plan

    passant par M et perpendiculaire au

    plan est un plan de symtrie paire; le

    V(r )

    E

    E

    Fig.14

    M M

    1

    L 2

    E(r)

    r R R

    0

    R

    r

    0

    Fig. 13

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    33 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    champ

    E appartient donc lun de ces

    plans. La seule direction commune

    tous ces plans tant la perpendiculaire

    passant par M, le champ en M est

    ncessairement port par cette

    direction.

    Pour calculer le module de

    E en un point M, nous allons considrer une surface de

    Gauss constitue dun cylindre droit, dont les gnratrices sont normales au plan charg,

    ferm par deux sections droites daire S parallles au plan et symtriques par rapport celui-

    ci dont lun passe par M ( Fig.14 ).

    L21

    Le flux de

    E sortant de la surface latrale L du cylindre est nul, car en tout point de

    L, 0dS.E

    . Le flux sortant de se rduit au flux sortant de 1 et 2 :

    ES2dS).M(EdS).M(EdS.E)E(21

    Daprs le thorme de Gauss:

    00

    int SQ

    Do le champ

    E :

    n

    2E

    0

    n est un vecteur unitaire normal au plan dirig du plan vers M.

    IV. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP ELECTRIQUE ET DU

    POTENTIEL

    IV.1. Les quations locales de

    E

    IV.1.1. Le rotationnel

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    34 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Si on prend le rotationnel de lexpression VgradE

    , et sachant que le rotationnel dun

    gradient est toujours nul, on obtient lquation locale

    0Erot vrifie en chaque point.

    Cette relation est valable pour une distribution quelconque de charges et on a :

    0Erot

    Le champ lectrique est donc un champ rotationnel nul.

    Remarque:

    Si on calcule le flux du vecteur

    Erot , travers une surface (S), sappuyant sur une

    courbe (C) ferme quelconque on a:

    0dS.Erot)S(

    or daprs le thorme de Stokes:

    )C()S(

    d.EdS.Erot

    On en dduit que:

    )C(0d.E

    La circulation du vecteur

    E le long dun circuit ferm est nulle.

    IV.1.2. La divergence

    Si on applique le thorme de Green- Ostrogradski au champ

    E :

    S v

    dvEdivdS.E

    Et sachant que, pour une distribution volumique de charges, le thorme de Gauss

    est:

    v

    0

    dv

    On obtient:

    0dv)Ediv(v

    0

  • Physique -

    lectricit : TC1

    Champ et potentiel lectrostatiques

    35 Concepteur du cours: M. BEN BRAEK & J. LAMLOUMI

    Universit Virtuelle de Tunis

    Cette expression est valable quelque soit le volume dv, on a donc:

    0

    Ediv

    Cette expression reprsente la forme locale du thorme de Gauss. Elle est appele

    aussi quation de Poisson pour le champ.

    Lorsquil ny a pas de charges au point considr, 0Ediv

    ; le champ

    E est flux

    conservatif.

    IV.2. Les quations locales de V:

    On a vu que 0

    Ediv

    , or VgradE

    on en dduit donc:

    0

    VVgraddivEdiv

    Soit:

    0

    V

    Cest lquation de Poisson pour le potentiel; V est le Laplacien de la fonction potentiel et

    la densit volumique de charges.

    Remarque: Si = 0 on a: 0V Cest lquation de Laplace.