Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

Physique DS no4

le 21 novembre 2020durée 4h

L’usage des calculatrices n’est pas autorisé

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et laprécision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation descopies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidatssont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les différentes parties seront rédigées sur des copies séparées

I - Centrale inertielle

1. Donner, en précisant la méthode utilisée, les ordres de grandeur des accélérations subies

par la manette de jeu placée dans la main d’un joueur agitant rapidement ou lentement

le bras. Les situer relativement aux valeurs annoncées par le constructeur.

Un accéléromètre pendulaire peut être assimilé à un système masse-ressort amorti, dont

le schéma de principe est présenté sur la figure 1. L’accéléromètre se compose d’une

masse d’épreuve m, astreinte à se déplacer selon un axe u⃗ solidaire du bôıtier extérieur

de l’accéléromètre. La masse d’épreuve est reliée au bôıtier par un ressort de raideur k. On

note X la position de la masse d’épreuve par rapport au centre du bôıtier. La position au

repos de la masse d’épreuve, lorsque l’axe u⃗ est horizontal, est X = 0. On suppose que la

masse d’épreuve subit également une force de frottement visqueux F⃗ = −2mγẊu⃗ où γ estune constante positive.

Figure 1: Schéma d’un accéléromètre pendulaire.

Le bôıtier se déplace dans un référentiel R supposé Galiléen et on note a⃗ son accélérationdans ce référentiel. Lorsque le bôıtier subit une accélération, la masse d’épreuve quitte sa

position d’équilibre. La mesure de la position X permet alors de déduire l’accélération du

bôıtier.

On suppose tout d’abord que l’accéléromètre garde une orientation fixe et horizontale selon

l’axe Ox (u⃗ = e⃗x). De plus, l’accéléromètre ne se déplace que selon l’axe Ox (⃗a = a(t)e⃗x).

On note ωr =√

k/m.

2. Donner l’équation différentielle vérifiée par la variable X, faisant intervenir ωr, γ et

a(t).

On suppose que l’accéléromètre ainsi que sa masse d’épreuve sont immobiles pour des temps

t négatifs, et que l’accéléromètre subit une accélération constante a⃗ = ae⃗x pour les temps t

positifs.

3. Donner l’expression de la solution de l’équation différentielle dans le cas faiblement

amorti où γ < ωr et dans le cas fortement amorti où γ > ωr. On ne cherchera pas à

calculer les constantes d’intégration qui apparaissent dans les expressions.

2

Figure 1: Schéma d’un accéléromètre pendulaire.

Une centrale inertielle est un en-semble d’accéléromètres et de gy-romètres qui mesure l’accélérationet la vitesse angulaire d’un mobileet permet de le positionner dansl’espace. La miniaturisation et ledésormais faible coût de ces cap-teurs permettent de les intégrer dansde nombreux dispositifs électroniquesembarqués. On les retrouve parexemple dans les systèmes de naviga-tion automobile pour pallier la perte

momentanée du signal GPS, dans les disques durs d’ordinateurs pour prévenir des chocs éventuels etprotéger les têtes de lecture, dans les smartphones ou dans les manettes de jeu vidéo pour détecter lesmouvements du joueur.

Détection électrostatique

Figure 2: Mesure capacitive de la position de la masse d’épreuve.

La mesure du déplacement de la masse d’épreuve revient donc à une mesure électronique de

la capacité d’un condensateur.

On assimile les deux électrodes à deux plans infinis parallèles séparés d’une distance e + X.

La différence de potentiel entre l’électrode fixe et l’électrode mobile est U .

12. Etablir l’expression du champ électrique entre les deux électrodes du condensateur en

fonction de U , e, X. On précisera la méthode et les arguments de symétrie employés.

13. En déduire l’expression de la capacité C1 du condensateur formé par les deux électrodes.

On exprimera le résultat en fonction de e, X, et de la capacité C du condensateur pour

X = 0, dont on précisera l’expression.

Cette méthode capacitive est couramment utilisée pour détecter des déplacements d’objets

massifs. Cependant la capacité C1 ne dépend pas linéairement du déplacement X et dans les

accéléromètres miniatures la force électrostatique produite par le système de détection peut

se révéler gênante.

14. Donner la force qu’exerce l’électrode fixe sur l’électrode mobile en fonction de U , e, X,

et C. On précisera si cette force est attractive ou répulsive.

Les caractéristiques typiques d’un accéléromètre miniature sont C = 0, 1 pF, e = 1 µm,

U = 1 V et la masse d’épreuve est de 1 µg.

15. Pour X = 0, donner l’ordre de grandeur de la force électrostatique s’exerçant sur

l’électrode mobile et discuter de la possibilité de réaliser une mesure capacitive

du déplacement de la masse d’épreuve d’un accéléromètre prévu pour mesurer des

accélérations de 1g.

Dans les systèmes miniatures tels que l’accéléromètre ADLX, une seconde électrode fixe est

placée symétriquement par rapport à X = 0 (voir figure 3). La distance entre cette électrode

et l’électrode mobile est donc e − X. La première électrode fixe est portée au potentiel Vs, laseconde au potentiel −Vs. On mesure alors le potentiel de l’électrode mobile.

4

Figure 2: Mesure capacitive de la position de la masse d’épreuve.

La détection du déplacement de la masse d’épreuve de l’accéléromètre se fait par détection capacitivedont le principe est présenté sur la figure ci-contre. Une électrode est déposée sur la masse d’épreuve etfait face à une électrode fixe, le tout formant un condensateur plan. Un mouvement de la masse d’épreuvemodifie la distance entre les électrodes et donc la capacité de ce condensateur.La mesure du déplacement de la masse d’épreuve revient donc à une mesure électronique de la capacitéd’un condensateur. On assimile les deux électrodes à deux plans parallèles séparés d’une distance e+Xet de surface S telle que

√S � (e+X), on négligera les effets de bord. La différence de potentiel entre

l’électrode fixe et l’électrode mobile est U = V1 − V2 avec V1 le potentiel de l’électrode fixe et V2 < V1 lepotentiel de l’électrode mobile.

1

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

1. Etablir l’expression du champ électrique entre les deux électrodes du condensateur en fonction de U ,e et X. On précisera la méthode et les arguments de symétrie employés.

2. En déduire l’expression de la capacité C1 du condensateur formé par les deux électrodes. On expri-mera le résultat en fonction de e, X, et de la capacité C du condensateur pour X = 0, dont on préciseral’expression.

Cette méthode capacitive est couramment utilisée pour détecter des déplacements d’objets massifs.Cependant la capacité C1 ne dépend pas linéairement du déplacement X et dans les accéléromètres mi-niatures la force électrostatique produite par le système de détection peut se révéler gênante.

3. On note −Q la charge totale portée par l’électrode mobile. Exprimer la force électrostatique ~F1−→2qu’exerce l’armature fixe sur l’armature mobile en fonction de Q.

4. En déduire que cette force peut se mettre sous la forme :

~F1−→2 = −C.U2.e

2.(e+X)2~ux

.Les caractéristiques typiques d’un accéléromètre miniature sont C = 0, 1 pF, e = 1µm, U = 1 V et la

masse d’épreuve est de 1 µg.

5. Pour X = 0, donner l’ordre de grandeur de la force électrostatique s’exerçant sur l’électrode mobileet discuter de la possibilité de réaliser une mesure capacitive du déplacement de la masse d’épreuve d’unaccéléromètre prévu pour mesurer des accélérations de 10m.s−2.

Dans les système miniatures tels que l’accéléromètre ADLX, une seconde électrode fixe est placéesymétriquement par rapport à X = 0 (voir figure suivante). La distance entre cette électrode et l’électrodemobile est donc e−X. La première électrode fixe est portée au potentiel Vs, la seconde au potentiel −Vs.On mesure alors le potentiel de l’électrode mobile.

Figure 3: Mesure électrostatique de position à deux électrodes fixes.

16. En considérant que l’électrode mobile reste isolée et globalement neutre, donner le

potentiel V de l’électrode mobile en fonction X, e, et Vs.

17. Dans cette configuration, quelle est la force électrostatique s’exerçant sur l’électrode

mobile ?

18. Déduire des deux questions précédentes l’avantage d’un système possédant 2 électrodes

fixes par rapport à celui à une seule électrode fixe.

III Accéléromètre vibrant

Dans un accéléromètre vibrant, la masse d’épreuve est fixée à une ou plusieurs lames vibrantes.

Un système électronique maintient constamment les lames en oscillation à leur fréquence

propre. Lorsque la masse d’épreuve subit une force inertielle, elle applique un effort de tension

sur les lames, dont les fréquences de résonance vont changer, telles des cordes vibrantes. La

mesure de l’accélération consiste à suivre les modifications de fréquence propre des lames.

Figure 4: Principe d’un accéléromètre vibrant.

On considère l’accéléromètre de la figure 4 : au centre du bôıtier de l’accéléromètre, une

masse d’épreuve est astreinte à se déplacer selon l’axe Ox. Elle est reliée au bôıtier par deux

5

Figure 3: Mesure électrostatique de position à deux électrodes fixes.

6. En considérant que l’électrode mobile reste isolée et globalement neutre, déterminer le potentiel V del’électrode mobile, c’est à dire le potentiel de l’espace entre les armatures 1 et 2 à la position de l’armaturemobile en fonction de X, e et Vs.

7. Dans cette configuration, quelle est la résultante des forces électrostatiques s’exerçant sur l’électrodemobile ?

8. Déduire des deux questions précédentes l’avantage d’un système possédant 2 électrodes fixes parrapport à celui à une seule électrode fixe.

2

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

II - Champ magnétique créé par une décharge

Une machine électrostatique comme la machine de Wimshurst permet de générer des déchargesélectriques dans l’air entre deux électrodes appelées éclateurs. Par un phénomène d’influence et de frot-tements, des charges sont accumulées au niveau des éclateurs. La décharge se produit lorsque le champélectrique est suffisant pour ioniser l’air et le rendre conducteur.

La décharge électrique entre les éclateurs délivre un courant électrique d’intensité i, générant unchamp magnétique dont on se propose de déterminer l’expression.

O"A"

z"L"

L/2"

d"i"

M0

α0

Décharge électrique entre les éclateurs et sa modélisation

On assimile la décharge à un fil rectiligne de longueur L parcouru par un courant d’intensité i. Oncherche le champ magnétique en un point M0 de son plan médiateur, à une distance d du fil. On utiliserales coordonnées cylindriques d’axe Oz.

1. Déduire des symétries du système la direction du champ ~B(M0).

2. Déterminer l’expression du champ magnétique que l’on obtiendrait en M0 par l’application du théorèmed’Ampère dans le cas de l’ARQS magnétique.

La loi de Biot et Savart permet de calculer directement le champ magnétique créé en M0 par ce filfini de longueur L :

~B(M0) =µ0i

2πdsinα0~uθ

3

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

3. Comparer ce résultat à celui obtenu précédemment. Commenter.

En fait, les éclateurs O et A, supposés ponctuels, portent des charges respectives −q(t) et q(t) quivarient dans le temps en donnant lieu à la décharge électrique de courant i(t).

4. On veut montrer que l’application du théorème d’Ampère généralisé permet de retrouver le champmagnétique attendu au point M0. On admettra pour cela qu’il est possible d’utiliser la loi de Coulombpour calculer le champ électrique créé par les charges −q(t) et q(t) (cas d’un régime quasistationnaireélectrique).

β β0

d!S

!L/2%2d%

q0%% O%

z%

4.a Montrer que le flux du champ électrostatique créé par lacharge q0 à travers le disque de rayon d placé à la distance L/2de la charge s’écrit :

Φ =q02�0

(1− cosβ0)

où tanβ0 =d

L/2

4.b Déterminer ~B(M0) par le théorème d’Ampère généralisé.

Les charges qui apparaissent au niveau des éclateurs s’accumulent en fait dans des condensateurs (quià l’origine étaient des bouteilles de verre remplies de feuilles d’étain appelées bouteilles de Leyde, visiblessur le cliché) de capacité voisine de 1 nF. La décharge électrique d’une durée de deux microsecondes seproduit dans l’air sec dès que le champ électrique avoisine le champ disruptif de l’air de l’ordre de 36kV.cm−1.

5. On place les éclateurs à 2 cm l’un de l’autre. Estimer la différence de potentiel entre les éclateurspermettant la création d’une décharge électrique dans l’air.

6. En considérant que les éclateurs sont reliés aux deux armatures d’un condensateur, estimer la chargeélectrique transférée lors de la décharge et l’intensité du courant électrique correspondant.

7. En déduire la valeur du champ magnétique à 1 mm de l’étincelle.

8. Comparer le champ magnétique créé à 1 m de l’étincelle au champ magnétique terrestre. Commentexpliquer qu’une telle étincelle puisse provoquer des perturbations dans un circuit électronique situé àcette distance ?Quel est l’ordre de grandeur de la tension générée aux bornes d’une bobine de 200 spires ayant chacuneune surface de 10 cm2 placée à cet endroit ?

Aide au calcul 73/4 ≈ 18 ; arctan(10) = 84◦

III - Microscopie

Dans ce problème, on s’intéresse à l’observation d’objets de taille très faible, ainsi qu’à la mesure deleurs dimensions.Cette étude trouve tout son intérêt en biologie, ainsi que dans le contrôle des matériaux.Dans les parties A (non traitée ici) et B, nous étudierons les techniques de microscopie. La partie Cenvisagera des dispositifs électroniques, accessoires du microscope.

PARTIE B : MICROSCOPE ELECTRONIQUE A BALAYAGEPour améliorer la résolution du microscope, on remplace les photons par des électrons, de charge

q = −e et de masse m.

4

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

On rappelle la relation de De Broglie : p = h/λ où p est la quantité de mouvement, λ la longueurd’onde associée à la particule et h la constante de Planck.On rappelle la relation de conjugaison d’une lentille et l’expression du grandissement γ :

1

OA′− 1OA

=1

f ′et γ =

OA′

OA

B.1. Aspect électriqueLes électrons sont accélérés dans un canon à électrons (Figure 7) constitué de deux armatures planes

et parallèles, distantes de d = 1 cm, et séparées par du vide quasi-parfait.

B.1.1. On applique entre les armatures une tension positive U = V1–V2. Sur quelle armature les électronsdoivent-ils être émis sachant que leur vitesse initiale est nulle ?

B.1.2. Ecrire l’équation de Poisson satisfaite par le potentiel V en précisant de quelle équation de Max-well elle découle. Que devient cette équation dans le vide situé entre les deux armatures ?

Ces dernières étant de grande dimension, le potentiel ne dépend que d’une variable z comprise entre0 et d, l’origine étant prise au point de départ des électrons.

B.1.3. Exprimer V (z) et en déduire le champ électrique entre les armatures, en fonction de U et d.

B.1.4. On se place dans le cadre de la mécanique classique.

On donne les valeurs numériques approchées :e

m≈ 2.1011 S.I. et h

m≈ 7.10−4 S.I.

B.1.4.a) Exprimer la vitesse v atteinte par les électrons lorsqu’ils arrivent sur l’armature opposée, enfonction de U , e, m.

Calculer v sachant que U = 105 V. Commenter l’ordre de grandeur obtenu.

B.1.4.b) Calculer la longueur d’onde λ associée aux électrons ainsi accélérés.

B.1.5. On envisage une approche relativiste du mouvement des électrons. Le théorème de l’énergiecinétique s’écrit de la même façon qu’en mécanique classique, mais les expressions de l’énergie cinétiqueet de la quantité de mouvement doivent être corrigées ainsi :

Ec = (γ − 1)mc2 et p = γmv avec γ =1√

1−(vc

)2 et c = 3.108 m.s−1.

B.1.5.a) Exprimer γ en fonction de e, U , m, c, puis en déduire λ en fonction de h, m, c, γ.

B.1.5.b) Calculer la valeur de γ ainsi que la valeur affinée de λ, sachant que

√(11

9

)2− 1 ≈ 0, 7.

B.1.5.c) Conclure d’une part sur le gain en précision du modèle relativiste, et d’autre part sur l’avantagedu microscope électronique par rapport au microscope optique.

5

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

B.2. Déflecteur magnétique

Le rôle d’un déflecteur magnétique est simplement de dévier le faisceau d’électrons.

On suppose qu’un électron de vitesse v0 arrive dans une zone où règne un champ magnétique uniforme~B perpendiculaire au vecteur vitesse.

B.2.1. Justifier le fait que le mouvement de l’électron est uniforme.

B.2.2. On admet que la trajectoire de l’électron est circulaire.B.2.2.a) Tracer cette trajectoire, en faisant clairement apparâıtre les vecteurs ~v0 et ~B.B.2.2.b) Déterminer l’expression du rayon du cercle décrit, en fonction de m, v, e, B.

B.2.3. Que devient cette expression dans le cas d’une particule relativiste ?

B.3. Lentille magnétique

Une lentille magnétique sert à assurer la focalisation du faisceau d’électrons.

Le champ magnétique est créé par un bobinage de spires de faible largeur 2z0 parcouru par un courantd’intensité i.

La figure 8 suivante représente les lignes de champ magnétique.

La position de l’électron est repérée par le point M de coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe Ozétant l’axe de symétrie de la bobine centrée en O.

La figure 9 représente la courbe r(z) faisant apparaitre qu’un électron issu d’un point A de l’axe dumicroscope ressort, après traversée de la lentille, par un point A’ du même axe.

On suppose que l’électron est non relativiste, qu’il est soumis uniquement à la force magnétique etque sa vitesse initiale ~v0 est quasi colinéaire à l’axe Oz : ~v0 = v0~uz.

B.3.1. Justifier le fait que le champ magnétique soit de la forme : ~B(M) = Br(r, z)~ur +Bz(r, z)~uz.Aucune expression n’est demandée pour Br et Bz.

B.3.2. Dans quelle zone le champ magnétique est-il le plus intense ?

B.3.3. Montrer qu’à l’intérieur de la bobine, les équations du mouvement de l’électron peuvent s’écrire :

6

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2= − e

mr

dθ

dtBz

1

r

d

dt

(r2

dθ

dt

)=

e

m

(dr

dtBz −

dz

dtBr

)

d2z

dt2=

e

mr

dθ

dtBr

B.3.4. On admet que la résolution du système conduit, pour la fonction r(z), à l’équation approchée

suivante :d2r

dz2≈ − e

2

4m2v20r0B

2z où r0 est la valeur de r à l’entrée et à la sortie de la lentille.

En remarquant que

(dr

dz

)

−z0≈ − r0

OAet

(dr

dz

)

+z0

≈ − r0OA

, déduire de l’équation précédente que OA

et OA′ sont liés par la relation de conjugaison d’une lentille et préciser sa distance focale image f ′ enfonction de e, m, v0 et de l’intégrale I =

∫ +z0−z0 B

2z dz que l’on ne cherchera pas à calculer.

B.3.5. La tension accélératrice U étant fixée, sur quel (s) paramètre (s) peut-on agir pour influer sur f ′ ?

PARTIE C : L’ELECTRONIQUE AU SERVICE DE LA MICROSCOPIE

Le microscope électronique nécessite un générateur de balayage qui commande le déflecteur électromagnétique,et qui sert également à synchroniser l’affichage de l’image sur un écran cathodique. Par ailleurs, on utilisesouvent un capteur CCD pour transformer un signal lumineux en signal électrique.

Dans cette partie, aucune connaissance préalable sur les diodes ou photodiodes n’estnécessaire.

C.1. Générateur de balayage

Le générateur de balayage délivre un signal en rampes. On propose le montage de la figure 10 suivantepour la réalisation de ce signal.

Les amplificateurs linéaires intégrés (A.L.I.) sont supposés idéaux. Ils sont alimentés par des tensionscontinues ±V0 avec V0 = 15 V, et on suppose que leur tension de saturation est Vsat = V0.Les diodes D1 et D2 sont des interrupteurs commandés par la tension ve :

- Si ve > 0 D1 est fermé et D2 est ouvert- Si ve < 0 D1 est ouvert et D2 est fermé

7

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

C.1.1 Que peut-on dire des courants d’entrée et du gain d’un ALI idéal ?

C.1.2 Justifier que l’un des deux ALI fonctionne nécessairement en régime de saturation.

C.1.3 On observe expérimentalement pour la tension u(t), l’os-cillogramme de la figure 11 ci-contre.

Echelle horizontale : 1 ms/divisionEchelle verticale : 1 V/division

Justifier que l’autre ALI fonctionne en régime linéaire.

C.1.4 On suppose qu’à l’instant initial t = 0, le spot de l’os-cilloscope est au point central de l’écran (u(0) = 0), le conden-sateur étant déchargé, et que ve = +V0. Exprimer u(t) pourt ≥ 0.

C.1.5 Pour l’ALI 2, exprimer V+ en fonction de u et vs, puis endéduire l’instant t1 où se produit le basculement vers la tensionvs = −V0.

C.1.6 Pourquoi la tension u(t) ne peut-elle pas subir de discontinuité ?

C.1.7 Pour t ≥ t1, exprimer u(t) puis déterminer l’instant t2 où la tension u s’annule à nouveau.

C.1.8 En s’aidant de l’oscillogramme et en utilisant les résultats précédents, déduire :a) L’expression de la période T de la tension u(t) en fonction de R1, R2, R3, R4 et C.b) Les valeurs de R1, R2, R3 en kΩ, sachant que C = 1 µF et R4 = 1 kΩ.

IV - Courants de Foucault dans une plaque en régime lentementvariable

Une plaque de cuivre d’épaisseur a, de conductivité γ, est limitée par les plans z = −a/2 et z = +a/2/Les dimensions de la plaque suivant Ox et Oy sont considérées comme infinies. Elle est plongée dans unchamp uniforme variant sinusöıdalement dans le temps : ~B = B~ux avec B = B0 cosωt. Nous supposeronsque le champ magnétique reste égal à cette expression à l’intérieur de la plaque, ce qui est une bonneapproximation si la fréquence est suffisament basse.

1. a Montrer que l’existence du champ magnétique ~B variable dans le temps implique l’apparition d’unchamp électrique ~E et, dans la plaque, d’un courant induit de densité ~j.1.b Par des arguments de symétrie montrer que ~E est parallèle à ~uy et que ~E(−z) = − ~E(z). En appli-quant une des équations de Maxwell, déterminer ~E(M).1.c Donner la densité de courant ~j(M) correspondante.Tracer le graphe de la variation de de l’amplitudede cette densité de courant en fonction de z.

2. On considère une portion de la plaque limitée par un cylindre droit de génératrices parallèles à Oz, etdont les bases situées dans les deux plans z = ±a/2 ont pour aire S. Soit τ = S × a le volume de cetteportion de plaque. Calculer la puissance P (τ) dissipée en moyenne par effet Joule dans le volume τ et lapuissance volumique P̃ = P/τ . Exprimer P̃ en fonction de γ, ω et B0.

Application numérique : a = 5 cm ; ω = 100π rad.s−1 ; B0 = 1 T ; γ = 6, 2.107 Ω−1.m−1.

2.b Un cube fait de plaques de cuivres isolées et empilées comme l’indique la figure ci-dessous peut êtresoumis à un champ magnétique uniforme ~B = B0 cosωt~uz ou ~B = B0 cosωt~ux. Dans quel cas la puissance

8

Jules Ferry PT/PT* Physique 2020-2021

volumique moyenne dissipée par les courants, appelés courants de Foucault, dans la plaque, est-elle laplus grande ?

z’

z

x’ x

9