DS Physique-chimie 4

1 Ecoulement dans un oleoduc

La construction de l’oleoduc reliant les villes de Bakou en Azerbaıdjan et Ceyhan en Turquie a ete l’undes plus importants projets de genie civil du debut du XXIe siecle, et certainement un des plus importantsjamais conduits dans la partie orientale de l’Asie depuis la chute de l’union sovietique. Sa construction anecessite l’assemblage de 150 000 sections de tube de 12 m de long, correspondant a une masse de 594 000tonnes. Il est prevu pour transporter un million de barils par jour. Son architecture comprend 8 stations depompage, deux stations intermediaires de relayage et 101 postes de vannes d’arret. Le diametre du tube estde 1070 mm sur sa plus grande longueur, se reduisant a 865 mm a l’approche de Ceyhan. Le 10 mai 2006,du petrole fut injecte, cote Bakou, dans l’oleoduc. Il parvint a Ceyhan le 28 mai 2006.

Donnees :Contenance d’un baril de petrole normalise 1 baril = 159 LMasse volumique du petrole ρp = 800 kgm

3

Viscosite du petrole η 0, 2 Pas

1. Calculer le debit volumique Dv (en m3s1

) de petrole prevu dans l’oleoduc.

2. En deduire une estimation de la vitesse moyenne (vitesse debitante) vm du petrole dans l’oleoduc.

3. Calculer la vitesse moyenne (debitante) sur une section de conduite du petrole lors de la premiere injec-tion (on la notera v1). Commenter.

On cherche a determiner, en regime permanent, leprofil de vitesse du petrole dans la conduite, c’est-a-dire la loi vr donnant la vitesse v du petrole aune distance r de l’axe de la conduite. On adopte lemodele suivant :- la conduite est un cylindre d’axe Oz horizontal etde rayon R ;- l’ecoulement est stationnaire, incompressible, et asymetrie de revolution autour de l’axe Oz ;

On isole a une date donnee une portion cylindrique Σde petrole en mouvement, d’axe Oz, de rayon r $ Ret de longueur l. On note P1 la pression en amontde la portion cylindrique et P2 la pression en aval.Les pressions sont supposees etre uniformes dans unesection droite.

On rappelle que la force tangentielle de viscosite exercee par un fluide newtonien sur une surface S pa-rallele a la direction de l’ecoulement et situee a la distance r de l’axe s’ecrit en norme Ft ηS

dvdr

.

4. Effectuer le bilan des forces horizontales appliquees au systeme Σ. Exprimer ces forces en fonction desdonnees.

5. Que peut-on dire de la resultante de ces forces ? Justifier la reponse en raisonnant sur la quantite demouvement du systeme. En deduire une equation differentielle sur la fonction vr.

6. Determiner l’expression de vr en tenant compte des conditions aux limites.

7. Par un calcul integral, en deduire l’expression du debit volumique Dv . Montrer que l’on obtient unerelation de la forme P1 P2 RHDv avec RH a exprimer en fonction de R, η et l.

8. Quelle est la signification physique de la grandeur RH ? Ecrire et nommer une loi physique ou intervientune grandeur analogue.

1

La vitesse moyenne de l’ecoulement est definie par la relation Dv vmπR2.

9. En adaptant les notations au cas d’une surface Σ de longueur l dz entre z et z dz, montrer que lapression Pz dans l’oleoduc verifie la relation dP

dz

8ηvmR2 . Faire l’application numerique pour vm 2

m/s et R 0, 5 m.

10. Calculer en bar la diminution de pression qui existerait entre le point de depart et le point d’arrivee dansl’oleoduc si on ne compensait pas cette diminution par des pompes de releve.

Cette diminution de pression est prejudiciable au transport du petrole. Il est donc necessaire de la com-penser : c’est le role des stations de pompage et de relevage qui sont reparties le long du parcours del’oleoduc. Le petrole est injecte dans l’oleoduc a une pression de 60 bar. La pression du petrole dansl’oleoduc ne doit jamais descendre en-dessous de 20 bar.

11. A quelle distance doit se trouver la premiere station de relevage de la pression ? En deduire le nombre destations theoriquement necessaires au bon acheminement du petrole de son point de depart a son pointd’arrivee. Pourquoi ce nombre est-il sous-evalue par rapport au nombre reel de pompes necessaires ?

On considere une station de pompage qui recoit en entree le petrole a une pression de 20 bar et qui lereinjecte dans l’oleoduc a une pression de 60 bar.

12. Calculer la puissance minimale que doit fournir la pompe. Commenter.

2 Diagramme potentiel-pH du Chrome

Donnees a 298 K : E`O2©H2O 1, 23 V ; E

`H©H2 0, 00 V ; Ke 1014

.

Le diagramme E – pH de l’element chrome ci-dessous a ete trace pour une concentration en especes dissoutesde Ctrace 10

2mol/L avec les conventions usuelles. Le diagramme fait intervenir les especes solides Crs

et CrOH3s ainsi que les especes en solution Cr2

, Cr3

, CrOH4 , Cr2O27 et CrO

24 . Les droites

relatives aux couples de l’eau ont ete ajoutees sur le diagramme en pointille.

2

On admet que le domaine 3 correspond a Cr3

, le domaine 4 correspond a CrOH3s, le domaine 6correspond a Cr

2.

1. Calculer les nombre d’oxydation du Chrome dans les especes restantes : Crs, CrOH4 , Cr2O27 et

CrO24 . Ecrire l’equilibre acido-basique existant entre Cr2O

27 et CrO

24 . Associer les 4 especes a leur

domaine.

2. Determination de grandeurs thermodynamiques a partir du diagramme

a. Par lecture graphique, et en justifiant avec soin, determiner le potentiel standard des couples Cr3©Cr2

et Cr2©Crs.

b. De meme, determiner le produit de solubilite Ks de CrOH3s.c. Determiner la pente de la frontiere entre les domaines CrOH3s et Cr

2.

3. Superposition du diagramme potentiel – pH de l’eau.

a. Quelles sont les especes contenant l’element chrome thermodynamiquement stables dans l’eau ?

b. Ecrire l’equation de la reaction traduisant l’action d’une solution aqueuse de pH 9 sur le chromesolide. Pour cela, identifier les deux couples redox qui interviennent, ecrire les demi-equations et lescombiner.

Les reactions sur l’eau etant relativement lentes, nous n’en tiendrons plus compte pour la suite.

4. A partir d’une solution de Cr2

on augmente le pH. Comment appelle-t-on la reaction qui se produit ?Ecrire l’equation de reaction modelisant la transformation observee. (A nouveau, bien indiquer les deuxcouples qui interviennent et les demi-equations..)

3 Filtrage actif

Dans le circuit ci-dessous, les ALIs sont ideaux et fonctionnent en regime lineaire. Pour justifier vos reponses,veiller a reproduire les parties de circuit utiles et y indiquer d’eventuelles notations supplementaires (lescourants par exemple).

1. Fonction de transfert.

Dans cette partie, le signal d’entree est sinusoıdal de pulsation ω.

a. Determiner la relation entre s, u2 et α. Quel montage classique reconnaissez-vous ?

b. Quelle est la relation entre u1 et u2. Quel montage classique reconnaissez-vous ?

c. Determiner la relation entre u1, VA, R, C, jω.

d. Par application de la loi des noeuds au point A, etablir une relation entre VA, u1, e, s, R, C, jω.

Des resultats precedants, on peut deduire la fonction de transfert globale H s

eci-dessous, admise

(ne pas chercher a la montrer : il n’y a pas de points attribues pour cela).

H

α

3 1 αRjCω 1RjCω

3

On donne la forme canonique suivante :

H

H0

1 jQ ωω0

ω0

ω

e. Identifier les expressions de H0, ω0 et Q en fonction de R, C, α.

f. De quel type de filtre s’agit-il ? Calculer numeriquement H0 et Q pour α 15. Donner la definitiongenerale de la bande passante ∆ω d’un filtre. Quelle est son expression en fonction de ω0 et Q. Cefiltre vous semble-t-il selectif ? Justifier.

2. Filtrage d’un signal creneau.

On considere maintenant en entree un signal creneau de periode T 2π©ω 10 ms, d’amplitude A 1V et de valeur moyenne B 2 V. On donne sa decomposition en serie Fourier :

et B

4Aπ

=p0

1

2p 1sin2p 1ωt

α est toujours fixe a la valeur 15.

a. Tracer l’allure de et.b. Tracer le spectre de et en vous limitant aux pics jusqu’a p 2 dans le developpement de Fourier.

c. Quelle sera la valeur moyenne du signal de sortie ? Justifier.

d. On souhaite tenter d’obtenir en sortie un signal sinusoıdal de frequence 300 Hz. Proposer un couplede valeurs (R, C) qui vous semble adapte. Expliquer votre demarche.

e. Ces valeurs de R et C etant choisies, determiner l’amplitude des harmoniques de sortie de frequences100 Hz, 300 Hz et 500 Hz. L’objectif est-il rempli ?

4 Regulation de temperature

Dans un ballon d’eau chaude, un thermostat controle la temperature de l’eau. Si le thermostat detecte unebaisse de la temperature en-dessous de la temperature de consigne, il ferme le circuit electrique du chauffe-eau de sorte que la resistance chauffante soit mise sous tension. Elle chauffe alors l’eau jusqu’a ce que lethermostat detecte que la temperature souhaitee a ete atteinte : le circuit electrique s’ouvre et la resistanceest mise hors tension. La temperature de consigne ne doit etre ni trop faible pour eviter la proliferationdes bacteries responsables de la legionellose, ni trop elevee pour eviter un entartrage rapide, les risques debrulures et une consommation d’electricite superflue. La temperature de consigne ideale de l’eau sera doncprise entre Tmin 333 K (θmin 60

`

C) et Tmax 338 K (θmax 65`

C).

Pour reguler la temperature, le capteur de temperature choisi est une thermistance a coefficient de tempera-ture negatif (CTN). La valeur de la resistance R de cette thermistance varie en fonction de la temperaturesuivant la relation :

RT R0 exp α 1

T

1

T0

ou R0 designe la resistance de la thermistance a T0 298 K et α est un coefficient caracteristique de lathermistance.

La thermistance a ete prealablement etalonnee. Les valeurs de la resistance de la thermistance en fonctionde la temperature ont ete relevees dans le tabeau de valeur ci-dessous.

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La courbe d’etalonnage suivante a ete obtenue.

1. A l’aide de quel instrument de mesure peut-on relever la valeur de la resistance de la thermistance ?

2. Grace a la courbe d’etalonnage, determiner la valeur du coefficient α en justifiant. Preciser son unite.

On positionne la thermistance sur un support et on la plonge dans un bain d’eau thermostate. La ther-mistance est ensuite placee dans le circuit electrique dont le schema du montage est donne sur la figureci-dessous. Dans ce montage, l’amplificateur lineaire integre (ALI) est suppose ideal. On note V

(respec-tivement V

le potentiel de l’entree non inverseuse (respectivement le potentiel de l’entree inverseuse)et ε V

V

la tension differentielle d’entree. Vsat et Vsat designent respectivement les tensions desaturation haute et basse de l’ALI. La diode est ideale.

Donnees : R1 200 Ω et E2 10 V.

3. Tracer la caracteristique is fud de la diode ideale. A quelle condition sur Vst la diode est-ellepassante ou bloquee ?

4. Quel est le regime de fonctionnement de l’ALI ? Justifier.

5. Determiner l’expression de V

en fonction de R1, RT et E2.

6. A l’aide du tableau de valeurs, calculer la valeur de V

lorsque la temperature est Tmax 338 K, puislorsque la temperature est Tmin 333 K. Comment evolue V

lorsque la temperature augmente ?

7. Determiner l’expression de V

en fonction de E1, Vs et des resistances R1 et R2.

8. En deduire l’expression de la tension differentielle ε. A quelle condition sur ε la resistance electriquechauffante est-elle en fonctionnement ?

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9. On rappelle le cahier des charges :- lorsque la temperature du bain augmente, et qu’elle atteint la temperature maximale Tmax, la resistancechauffante s’eteint.- lorsque la temperature du bain diminue et qu’elle atteint la temperature minimale Tmin, la resistancechauffante s’allume.Question : Determiner les valeurs de E1 et R2 permettant ce fonctionnement.Remarque : il s’agit d’une question demandant de la reflexion et du calcul, il est normal d’y passer uncertain temps et le bareme tient compte de la demarche meme si vous n’aboutissez pas.

10. A l’instant t 0, le bain d’eau a une temperature T $ Tmin. Decrire l’evolution du circuit. Tracer l’allurede Vs en fonction de V

.

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