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DS n°3 : Partie PHYSIQUE

Partie n°1 : Pression de turgescence dans les cellules de dionée (d’après Agro – BCPST – 2015)

Document 1

Figure 2. Piège de la dionée dans l’état

ouvert (à gauche) et dans l’état fermé (à

droite).

Figure 1. Piège de la dionée. Trigger hairs : poils déclencheurs ; marginal teeth : dent marginale (cil) ; midrib :

nervure centrale ; doubly curved lobe surfaces : surfaces incurvées des lobes.

La dionée (Dionaea muscipula) est une plante carnivore originaire des Etats-Unis d’Amérique. C’est une plante de petite

taille (une quinzaine de centimètres de diamètre), constituée d’un pied principal duquel émergent entre dix et vingt

longues tiges qui portent chacune un piège d’environ 2 à 3 cm de diamètre. Habituées à vivre dans des tourbières, sols

très pauvres en minéraux, ces plantes ont développé la capacité d’attraper des insectes (mouches, fourmis, etc.) dans

leurs pièges. Chacun des petits pièges est constitué de deux lobes en regard reliés par une nervure principale. Sur la face

interne de chaque lobe, se trouvent des milliers de glandes digestives ainsi que trois ou quatre grands poils sensitifs

(Figure 1). Un contact mécanique avec ces poils, deux fois en moins de 30 secondes, produit un signal électrique qui se

propage dans toute la feuille et déclenche la fermeture immédiate du piège. Le piège se ferme en une fraction de seconde

mais il met entre 12 et 24 heures pour se rouvrir lorsqu’il est vide.

Document 2

Lorsque le piège se déclenche, la plante change activement la courbure

naturelle des lobes. Le mécanisme de fermeture du piège comprend deux

phases : une phase active nécessitant un apport d’énergie et une phase passive

pendant laquelle l’énergie précédemment emmagasinée est brutalement libérée

(Figure ci-contre). Le mécanisme par lequel la plante change activement sa

courbure naturelle pour franchir le seuil d’énergie est encore fortement débattu.

Une des hypothèses suppose que la fermeture est produite par un transport

d’eau de type osmotique à travers l’épaisseur de la feuille, en réponse à un

changement de pression de turgescence (Figure ci-dessous).

2/10 Document 3

Représentation de la variation de la courbure moyenne

𝜅𝑚 d’un lobe en fonction du temps lors de la

fermeture du piège (Figure 5). Une courbure nulle

signifie que le lobe n’est pas incurvé (il est

sensiblement plan). Plus la courbure est grande en

valeur absolue, plus le lobe est incurvé. Un

changement de signe de la courbure signifie que le

lobe est incurvé dans l’autre sens.

Figure 5 : Courbure moyenne d’un lobe en fonction

du temps : (a) mesurée (+) (b) théorique (trait plein)

Document 4

Une cellule végétale peut être décrite, dans un

modèle très simplifié, par une poche, appelée

vacuole, contenant une solution aqueuse, entourée

par une membrane, elle-même entourée par une

paroi rigide (Figure 6). On considèrera que chaque

cellule végétale du piège de la dionée a la forme d’un

cube de volume V. Les membranes seront supposées

parfaitement semi-imperméables, c’est-à-dire

qu’elles sont perméables à l’eau et imperméables aux

solutés.

On définit le potentiel hydrique Ψ de la cellule par :

Ψ =

où µ(T,P,xe) est le potentiel chimique de l’eau dans la solution, à la température T, la pression P et pour une fraction

molaire en eau xe, µ°(T) le potentiel chimique standard de l’eau à la même température T et où Vm est le volume molaire

de l’eau, que l’on peut supposer constant, de même que la température. On modélise la solution par la présence d’un

seul soluté, très dilué, de fraction molaire xs = 1 - xe . Pour ce qui est du solvant, le mélange peut être considéré idéal.

On peut alors montrer que le potentiel hydrique de la cellule s’écrit :

Ψ = PT – Π

où PT est la pression de turgescence, égale par définition à la différence entre la pression et la pression standard, et où

Π est la pression osmotique. A l’équilibre osmotique, il y a égalité des potentiels hydriques de part et d’autre de la

membrane.

Document 5

La pression dans les cellules de dionée a été mesurée grâce à un dispositif de sonde de pression cellulaire. Les mesures

étant très délicates à obtenir et affectées d’une incertitude relativement grande, plusieurs mesures ont été effectuées dans

les mêmes conditions. Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :

Mesure n° 1 2 3 4 5 6 7

Pression (bar) 6,75 4,60 6,55 4,45 6,22 3,02 5,54

m

e

V

TxPT )(µ),,(µ −

3/10 Questions

1. Estimer numériquement la durée de la phase active de fermeture du piège de la dionée et celle de la phase

passive.

2. On considère de l’eau dans un mélange liquide de fraction molaire en eau xe, à une température T et une pression

P. Rappeler la définition de son état standard.

3. On rappelle que pour un corps pur : (𝜕𝜇∗

𝜕𝑃)𝑇= 𝑉𝑚. Établir l’expression du potentiel chimique 𝜇∗ de l’eau pure à

une température T et à une pression P, noté µ*(T,P), en fonction du potentiel chimique standard, du volume

molaire Vm de l’eau supposé constant, de la pression P et de la pression standard P°.

4. Que devient l’expression précédente dans un mélange liquide idéal en notant 𝑥𝑒 est la fraction molaire en eau ?

5. En déduire les expressions du potentiel hydrique et de la pression osmotique données dans les documents pour

des solutions très diluées. Montrer alors que Π = cs R T, où cs est la concentration en soluté, R est la constante

des gaz parfaits (R = 8,314 J.K-1.mol-1) et T la température. On rappelle que ln(1 + 𝑥)~𝑥 si 𝑥 ≪ 1.

6. Calculer numériquement la pression de turgescence d’une cellule végétale contenant un soluté de concentration

0,2 mol.ℓ-1, à une température de 298 K, en équilibre avec de l’eau pure à la pression standard.

7. Exprimer le résultat des mesures du pression P dans une cellule de dionée par une valeur moyenne et une

incertitude élargie pour un intervalle de confiance de 95%. La valeur du coefficient d’élargissement de Student

sera pris égal à 2,45. Commenter avec le résultat obtenu à la question précédente.

4/10 Partie n°2 : Etude d’un cycle réfrigérant à compression de vapeur (d’après Banque-PT – 2019)

Nous nous proposons d’étudier un cycle à compression de vapeur utilisé dans un réfrigérateur. La source chaude est la

cuisine, de température Tc, la source froide est {l’armoire du réfrigérateur et son contenu} de température homogène Tf.

Un fluide frigorigène décrit le cycle schématisé ci-dessous.

Il y subit les transformations suivantes :

De l’état 4 à l’état 1 : évaporation à Tevap = 0 °C puis surchauffe isobare jusqu’à 10 °C.

De l’état 1 à l’état 2 : compression adiabatique dans le compresseur.

De l’état 2 à l’état 3 : refroidissement isobare, liquéfaction isobare à Tcond = 40 °C

puis sous-refroidissement du liquide jusqu’à 30 °C.

De l’état 3 à l’état 4 : détente isenthalpique du fluide (sans travail utile ni chaleur échangés)

On note hi, si et vi respectivement l’enthalpie, l’entropie et le volume massiques du fluide dans l’état i.

On note Pi et Ti respectivement la pression et la température du fluide dans l’état i.

Entre les états i et j, on note :

ijh la variation d’enthalpie massique du fluide (les notations utilisées pour d’autres variations de grandeurs d’état

s’en déduisent)

qij le transfert thermique massique reçu par le fluide

wij le travail massique utile reçu par le fluide.

7. Annoter la figure 1 du document annexe à rendre en plaçant les différents points correspondant aux états 1 à 4.

Identifier la source chaude et la source froide. Donner le sens des transferts thermiques entre les sources et le

fluide dans l’évaporateur et dans le condenseur.

5/10 Le diagramme enthalpique (P, h) du fluide frigorigène R410A est donné en fin de sujet (Figure 2a).

L’allure des diagrammes (P, h) est similaire à celle d’un

diagramme de Clapeyron (P, v). Outre, la pression P (en

bar), portée en ordonnée, et l’enthalpie massique h (en

kJ.kg-1), portée en abscisse de ces diagrammes, on peut

aussi y lire la température T (en °C), et l’entropie massique

s (en J.kg-1. K-1).

On indique ci-contre l’allure sommaire, dans ce

diagramme, de la courbe de saturation, de celle d’une

isotherme et de celle d’une isentrope. Les différents

domaines (L : Liquide ; V : Vapeur) sont aussi indiqués.

Le diagramme entropique (T, s) du fluide frigorigène R410A est donné en fin de sujet (Figure 2b).

L’allure des diagrammes (T, s) est aussi similaire à celle d’un

diagramme de Clapeyron (P, v). Outre la température T (en°C),

portée en ordonnée, et l’entropie massique s (en J.kg-1.K-1),

portée en abscisse de ces diagrammes, on peut aussi y lire la

pression P (en bar), et l’enthalpie massique h (J.kg-1).

On indique ci-contre l’allure sommaire, dans ce diagramme, de

la courbe de saturation, de celle d’une isobare et de celle d’une

isenthalpe. Les différents domaines (L : Liquide ; V : Vapeur)

sont aussi indiqués.

8. Rappeler l’allure du diagramme de Clapeyron (P, v), en indiquant la courbe saturation, le point critique, la

courbe d’ébullition, la courbe de rosée, les différents domaines ainsi que les isothermes.

Cycle avec compression réversible

Dans un premier temps, on suppose que la compression est adiabatique et réversible. L’état 2 est alors noté 2s.

9. Les cycles, ainsi que chacun des points correspondant aux états 1, 2s, 3 et 4, sont représentés sur les diagrammes

P(h) et T(s) du fluide R134a en annexe (figures 2a et 2b). (Remarque : les points 1’ et 2’ déjà placés sur le

diagramme P(h) servent à la dernière la partie du problème, ne pas s’en préoccuper ici).

Justifier l’allure des portions 1 → 2𝑠 et 3 → 4 dans chacun des diagrammes.

10. Par lecture des diagrammes, remplir alors les colonnes représentant les états 1, 2s, 3 et 4 du tableau 3 du

document annexe à rendre.

11. Justifier que l’on ait choisi dans l’évaporateur T Tf et dans le condenseur T Tc (où 𝑇 est la température du

fluide)

6/10 Cycle avec compression non réversible

La compression n’est en réalité pas réversible. Le compresseur est caractérisé par son rendement isentropique défini

par :

12

12s

h - h

h - h =

Le rendement isentropique du compresseur est de 75 %.

Le cycle étudié est désormais 1 → 2 → 3 → 4 → 1.

12. Déduire des valeurs de h1, h2s et 𝜂, celle de h2. Placer alors le point correspondant à l’état 2 sur la figure 2a. On

rappelle pour cela que la pression au point 2 reste identique à celle du point 2s. Tracer le cycle sur la figure 2a

en utilisant un stylo de couleur.

13. Compléter la colonne 2 du tableau 3 du document annexe.

14. Placer le point correspondant à l’état 2 sur le diagramme T(s) (figure 2b). Tracer le cycle sur la figure 2b en

utilisant un stylo de couleur.

Détermination de l’efficacité de la machine

15. On considère un système ouvert à une entrée et une sortie. On se place en régime stationnaire et on néglige toute

variation d’énergie cinétique et d’énergie potentielle. On rappelle que pour un tel système pris dans ces

conditions, le premier principe de la thermodynamique s’écrit :

Δℎ = 𝑤′ + 𝑞 (1)

a. Nommer chaque grandeur introduite dans l’expression (1).

b. Que devient cette expression exprimée en puissance ?

c. Démontrer l’expression (1). On fera intervenir des grandeurs nécessaires que l’on prendra soin de définir et

de positionner sur un schéma illustratif. Les systèmes (ouvert ou fermé) y seront clairement distingués par

leurs frontières à deux instants t et t+dt. Les travaux des forces pressantes seront clairement explicités.

16. Montrer que l’on peut exprimer l’efficacité du réfrigérateur en fonction des enthalpies massiques de différents

points du cycle 1 → 2 → 3 → 4 → 1.

17. Déterminer, à l’aide de données évaluées sur le graphique, l’efficacité du cycle réfrigérateur décrit par le fluide.

18. Déterminer la puissance thermique f

thP extraite de la source froide et la puissance P du compresseur. Le débit

massique du fluide sera pris égal à 𝐷 = 1,0 × 10−1𝑘𝑔. 𝑠−1.

7/10 Association réfrigérateur-congélateur

La plupart des réfrigérateurs domestiques sont associés à un congélateur. Pour réaliser ce dispositif, on peut modifier le

cycle à compression précédent en faisant passer le fluide dans deux évaporateurs successifs.

Le cycle modifié est décrit ci-dessous. Les états 3 et 4 restent identiques à ceux décrits précédemment.

De l’état 4 à l’état 4’ : vaporisation isobare partielle dans le premier évaporateur (étape 4 → 4’) au contact

de l’intérieur du réfrigérateur

De l’état 4’ à l’état 4’’ : détente isenthalpique jusqu’à -20 °C

De l’état 4’’ à l’état 1’ : évaporation à -20 °C dans le second évaporateur puis surchauffe isobare jusqu’à 0

°C. Ces étapes se font au contact de l’intérieur du congélateur.

De l’état 1’ à l’état 2’ : compression

De l’état 2’ à l’état 3 : refroidissement, liquéfaction et sous-refroidissement isobares.

De l’état 3 à l’état 4 : détente isenthalpique (sans travail utile ni chaleur échangés)

On souhaite que la puissance thermique extraite au cours de l’étape 4 → 4’ soit la même que celle extraite au cours de

l’étape 4’’ → 1’.

19. Sur le diagramme P(h) du fluide R134a (figure 2a), justifier le positionnement du point correspondant à l’état

1’. Compléter alors le tableau 3.

20. En appliquant notamment le premier principe en système ouvert exprimé en puissance, sur les étapes 4 ⟶ 4′, et 4′′ ⟶ 1′, déterminer les enthalpies des états 4 et 4’. Placer alors les points correspondant sur la figure 2a.

21. Le point caractéristique de l’état 2’ est déjà placé sur le diagramme. Représenter le cycle 3 → 4 → 4’ → 4’’ →

1’ → 2’ → 3 (avec une couleur différente de celles utilisées pour les cycles précédemment tracés).

22. Que vaut l’efficacité globale de l’ensemble réfrigérateur-congélateur ?

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ANNEXE (à rendre avec votre copie)

Figure 1 :

Tableau 3 :

Points 1 2s 2 3 4 1’ 2’

P (bar) 10

T (°C) 80

Etat du

fluide

Vapeur

sèche

h (kJ.kg-1) 465