Physique biomédicale : travaux pratiques

Physique biomédicale : travaux pratiques

Introduction : analyse graphique et erreurs de mesure

Version du 17/9/2021

Plan

1. Analyse graphiqueo Construction d’un graphique

o L’échelle logarithmique

o Régression et paramètres

2. Calculs d’erreuro Mesures directes

o Moyennes de mesure

o Fonctions de plusieurs variables et notion de dérivée partielle

o Erreur relative

3. Manipulationo Dans les grandes lignes

o Quelques consignes

Avant toute chose...

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• Toute mesure est entachée d’une erreur expérimentale. Il est important de pouvoir les calculer.

• Le graphique est un moyen important de communication de résultats scientifiques.

• Un graphique doit être

Soigné

Complet

Porteur d’information

Aussi clair que possible

Analyse graphique, calculs d’erreur, pourquoi ?

ANALYSE GRAPHIQUE CALCULS D’ERREUR

Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

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Un bon graphique comprend

Deux axes orthogonaux orientés et annotés : nom de la variable, symbole, unités adaptées aux données.

Un titre qui fournit une information supplémentaire sur l’expérience réalisée.

Une échelle choisie de façon à ce que tous les points soient représentés sur le graphique, et qu’ils occupent un maximum d’espace sur la feuille. Elle ne doit pas forcément commencer à zéro !

Quelques repères sur les axes (mais pas les points expérimentaux).

Des points expérimentaux marqués de façon visible.

Des barres d’erreur pour accompagner les points expérimentaux.

Analyse graphique : les bonnes pratiques



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Exemple :

Analyse graphique : les bonnes pratiques



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La représentation graphique permet de visualiser la loi que suivent les données expérimentales. C’est souvent l’une de ces trois lois :

Selon la loi, on utilisera un graphique différent.

Analyse graphique : tendances



LinéaireLes deux échelles sont

linéaires

Log-logLes deux échelles sont

logarithmiques

Semi-logUne échelle est linéaire,

l’autre logarithmique

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L’échelle linéaire est une échelle sur laquelle la distance entre deux graduations est proportionnelle à l’écart entre les valeurs représentées.

L’échelle logarithmique est une échelle sur laquelle la distance entre deux graduations est proportionnelle à l’écart entre les logarithmes décimaux des valeurs représentées.

Analyse graphique : différents types d’échelles



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Elle ne permet de représenter que les nombres strictement positifs.

Elle est constituée d’un motif qui se répète : Une base qui est un multiple de 10.

Les lignes suivantes sont les multiples de cette base.

Jusqu’à arriver à 10 fois la base, qui constitue une nouvelle base.

Deux bases successives sont donc séparées d’un facteur 10.

Analyse graphique : l’échelle logarithmique



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L’échelle logarithmique permet de visualiser les lois de puissance et d’exponentielle sous la forme de droites.

Analyse graphique : différents types d’échelles



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Savoir que des données suivent une loi en puissance

𝑦 = 𝛽 𝑥𝑛,

une loi exponentielle :𝑦 = 𝑎 𝑒𝑏𝑥

ou une loi linéaire :𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝

c’est bien !

… Mais en connaître les paramètres, c’est mieux !

Analyse graphique : la régression



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Pour déterminer ces paramètres, il faut construire la droite de régression.

Par exemple, sur papier linéaire, on considère la force nécessaire pour allonger un ressort :




La meilleure droite• Passe au plus près de l’ensemble

des points expérimentaux• Passe dans toutes les barres

d’erreur (ou au plus près)• Ne passe pas forcément par les

graduations du papier

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La droite a pour équation𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝

Sa pente m et son ordonnée à l’origine p peuvent être déterminées en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) :

𝑚 =(𝑦2 − 𝑦1)

(𝑥2 − 𝑥1)𝑝 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 = 𝑦2 − 𝑚𝑥2

Puisque l’équation d’élongation d’un ressort est 𝐹 = −𝑘𝑥, la pente du graphique m donne sa constante de rappel, qu’on peut ainsi déterminer.




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Pour les paramètres d’une loi exponentielle, on trace les données sur papier semi-log.

Par exemple, sur papier semi-logarithmique, on considère la croissance exponentielle du nombre de malades au début d’une épidémie :








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La loi exponentielle a pour équation

𝑦 = 𝑎 𝑒𝑏𝑥,

ce qui donne une droite sur graphique semi-log puisque ln 𝑦 = ln 𝑎 + 𝑏𝑥

Son argument a et son facteur b peuvent être déterminés en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) :

𝑏 =(ln(𝑦2) − ln(𝑦1))

(𝑥2 − 𝑥1)𝑎 = 𝑦1𝑒−𝑏𝑥1 = 𝑦2𝑒−𝑏𝑥2

Dans l’équation de propagation de l’épidémie, on peut déterminer le facteur T de croissance exponentielle du nombre de malades grâce au graphique !




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Pour les paramètres d’une loi de puissance, on trace les données sur papier log-log.

Par exemple, sur papier log-log, on considère l‘évolution de la distance de freinage d’une voiture en fonction de sa vitesse initiale :








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La loi de puissance a pour équation

𝑦 = 𝛽 𝑥𝑛,

ce qui donne une droite sur graphique log-log puisque log(𝑦) = log(𝛽) + 𝑛 log(𝑥)

Son exposant n et son facteur β peuvent être déterminés en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) :

𝑛 =(log(𝑦2)) − log(𝑦1))

(log(𝑥2) − log(𝑥1))𝛽 = 𝑦1𝑥1

−𝑛 = 𝑦2𝑥2−𝑛

Dans l’équation de freinage, on peut ainsi déterminer l’exposant (n=2) de la relation reliant la distance de freinage à la vitesse initiale grâce au graphique !




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Analyse graphique : la régression - résumé



Type de loi Linéaire Loi exponentielle Loi de puissance

Equation 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 𝑦 = 𝑎 𝑒𝑏𝑥 𝑦 = 𝛽 𝑥𝑛

Type de graphique LinéaireLes deux échelles sont linéaires

Semi-logUne échelle est linéaire, l’autre

logarithmique

Log-logLes deux échelles sont

logarithmiques

Paramètre 1𝑚 =

(𝑦2 − 𝑦1)

(𝑥2 − 𝑥1)𝑏 =

(ln(𝑦2) − ln(𝑦1))

(𝑥2 − 𝑥1)𝑛 =

(log(𝑦2)) − log(𝑦1))

(log(𝑥2) − log(𝑥1))

Paramètre 2 𝑝 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 = 𝑦2 − 𝑚𝑥2 𝑎 = 𝑦1𝑒−𝑏𝑥1 = 𝑦2𝑒−𝑏𝑥2 𝛽 = 𝑦1𝑥1−𝑛 = 𝑦2𝑥2

−𝑛

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Les calculs d’erreur



La mesure d’une grandeur n’est jamais parfaitement précise :

• La mesure de la taille d’un enfant à la visite médicale se fait au centimètre près.

• La mesure de la distance entre deux villes sur l’autoroute se fait au kilomètre près.

• La mesure de la distance entre deux atomes dans une molécule se fait avec une précision de 10-12 m.

… et c’est tant mieux !

→ Un bon scientifique s’interroge donc toujours sur la précision de sa mesure.

→ Il s’attache à déterminer son intervalle d’erreur, qui constitue l’intervalle dans lequel on est certain de trouver le résultat exact.

L’erreur sur la mesure, qui donne l’étendue de l’intervalle, dépend de l’appareil utilisé, et doit rester faible, au risque de ne pas être acceptable.

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L’intervalle d’erreur



L’intervalle d’erreur correspond à l’intervalle dans lequel on est certain de trouver le résultat exact. Il permet également de déterminer si deux résultats de mesure sont compatibles.

Par exemple, on peut mesurer la longueur d’un cube par deux techniques différentes. On obtient ainsi deux valeurs entachées d’une erreur :

𝑑1 = 10,190 ± 0,010 cm

𝑑2 = 10,174 ± 0,020 cm

Lorsqu’on compare les résultats avec leurs barres d’erreur, c’est-à-dire qu’on compare leurs intervalles d’erreur, on observe qu’ils partagent des valeurs communes. Ces résultats sont compatibles, ou égaux aux erreurs expérimentales près.

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L’écriture des résultats et erreurs



Les résultats de mesure doivent toujours être écrits sous la forme :𝑎 = 𝑥 ± 𝜀 …

• a est la grandeur à mesurer

• x est le résultat de la mesure

• ε est son erreur de mesure

• Une grandeur physique a toujours des unités !

A combien de chiffres après la virgule arrondit-on ?

C’est l’erreur de mesure qui le détermine

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Règle d’écriture des résultats :

1. On arrondit l’erreur

On repère le premier chiffre significatif, c’est-à-dire le premier chiffre différent de zéro en partant de la gauche.

S’il est supérieur ou égal à cinq, c’est le dernier chiffre que l’on garde. On arrondit en fonction du suivant.

S’il est inférieur à cinq, on le garde ainsi que le chiffre suivant. On arrondit.

2. On arrondit le résultat au même rang que l’erreur : à la même décimale, à l’unité, à la dizaine, … selon les cas

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Exemple : x = 4,580832 et εx = 0,00804

• On identifie le premier chiffre significatif de l’erreur.

• Il est plus grand que cinq, on s’arrête à son rang.

• Le chiffre suivant est 0 donc on arrondit vers le bas :

εx = 0,008

• Le résultat s’arrête au même rang, celui des millièmes

• Le chiffre suivant est 8 donc on arrondit vers le haut : x = 4,581

X = (4,581 ± 0,008)

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L’écriture des résultats et erreurs : à vous de jouer !



Exemples supplémentaires :

• x = 254,53488 et εx = 0,043585

• x = 653,58856 et εx = 14,89867

• x = 148532,253 et εx = 6285,624

• x = 1601,253 et εx = 0,199

x = (254,535 ± 0,044)

x = (654 ± 15)

x = (149000 ± 6000)

x = (1601,25 ± 0,20)

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Les types d’erreurs



Mais quelle est l’erreur sur une moyenne de mesures ? Et que se passe-t-il si on utilise notre grandeur entachée d’erreur pour en calculer une autre ?

On distingue deux types de mesures :

• Les mesures directes : l’appareil de mesure donne directement la grandeur, qu’on peut mesurer une fois ou plusieurs pour établir une moyenne.

• Les mesures indirectes : on calcule une grandeur recherchée à partir d’une autre, de données entachées d’une erreur.

Lorsque la détermination de la grandeur n’est pas directe, il faut se livrer à un calcul d’erreur.

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Les mesures directes



Lorsqu’on utilise un appareil peu précis, il ne sert à rien d’effectuer plusieurs mesures.

L’erreur expérimentale est simplement donnée par la précision de l’appareil.

Par exemple :

• Lorsqu’on mesure une longueur avec une latte, l’erreur est d’une graduation, c’est-à-dire de 1mm.

• Lorsqu’on mesure une température au thermomètre, l’erreur est 1 graduation, c’est-à-dire bien souvent un demi degré celsius.

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Les moyennes de mesures



Parfois, il est nécessaire de répéter une mesure un petit nombre de fois.

On en extrait alors la moyenne. L’erreur sur cette valeur est donnée par la somme de :

• l’écart entre la valeur la plus éloignée de la moyenne et celle-ci ;

• l’erreur de précision de l’instrument.

Si par exemple, on mesure cinq longueurs L1 = 25,55, L2 = 25,60, L3 = 25,59, L4 = 25,58 et L5 = 25,62 mm à 0,01 mm près, on a en moyenne une longueur de 25,59 mm avec une erreur de 0,01 + 0,04 = 0,05 mm :

L = (25,59 ± 0,05) mm

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Les mesures indirectes



Bien souvent, la grandeur qui nous intéresse est déduite de la mesure à partir d’une formule f(x).

C’est par dérivation qu’on peut alors en obtenir l’erreur :

𝜀𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑥0

𝜀𝑥

• x0 est la mesure effectuée

• εx est son erreur

• x est la grandeur mesurée

• f est la grandeur déduite

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Les mesures indirectes : explication physique



L’intervalle des valeurs mesurées correspond à un intervalle de la grandeur calculée, a priori inconnu.

Pour le déterminer, on suppose qu’autour du point de mesure, la fonction est proche de sa tangente, et on en déduit ainsi l’intervalle des valeurs calculées :

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Les mesures indirectes : exemple



Par exemple, considérons un cube dont on mesure le volume.

On en mesure les côtés : 𝑐0 = 5,10 ± 0,10 𝑐𝑚

On calcule ainsi le volume du cube :𝑣 = 𝑐0

3 = 132,651 𝑐𝑚3

L’erreur sur ce volume est donnée par :

𝜀𝑣 =𝜕𝑣

𝜕𝑐5,10

𝜀𝑐0= 3 𝑐0

25,10

0,10 = 7,803 𝑐𝑚3

On a donc :

V = (133 ± 8) cm³

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Les mesures indirectes : fonctions plus complexes



Comment faire si la fonction qui détermine la grandeur comporte plusieurs variables ?

• On calcule l’erreur pour chaque variable.

• On additionne les erreurs.

Si u = f(x1,x2,…) alors

𝜀𝑢 =𝜕𝑓

𝜕𝑥1𝜀𝑥1

+𝜕𝑓

𝜕𝑥2𝜀𝑥2

+𝜕𝑓

𝜕𝑥3𝜀𝑥3

+ ⋯ =

𝑖=1

𝑛𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜀𝑥𝑖

∂ dénote la dérivée partielle

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La dérivée partielle



𝜕𝑓

𝜕𝑥1représente la dérivée partielle de f par rapport à x1.

C’est simplement la dérivée usuelle, pour laquelle on considère pour unique variable x1

(les autres variables sont supposées constantes).

Quelques exemples :

• f(a,b) = ab

• f(a,b) = a + b²

• f(a,b) = cos(a/b) →𝜕𝑓

𝜕𝑎= −

sin(𝑎/𝑏)

𝑏et

𝜕𝑓

𝜕𝑏=

𝑎

𝑏2 sin(𝑎/𝑏)

→𝜕𝑓

𝜕𝑎= 1 et

𝜕𝑓

𝜕𝑏= 2𝑏

→𝜕𝑓

𝜕𝑎= 𝑏 et

𝜕𝑓

𝜕𝑏= 𝑎

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Les mesures indirectes : exemple



On connaît la période T = (5,10 ± 0,10) s d’une balançoire, et on voudrait déterminer sa fréquence f (et son erreur).

• Fréquence f = 1/T = 0,19607 Hz

• Erreur 𝜀𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑇 𝑇0

𝜀𝑇 =1

𝑇25,10

0,10 = 0,00384 Hz

• L’erreur s’arrondit à 0,0038 Hz

• Le résultat s’écrit donc finalement :

f = (0,1961 ± 0,0038) Hz

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L’erreur relative



Souvent, il est plus simple de se représenter les erreurs sous leur forme relative.

L’erreur relative est donnée par :

𝜀𝑟 =𝜀

𝑎

avec a la mesure et ε son erreur absolue (obtenue directement ou calculée).

Elle est sans unités et peut être exprimée en %.

Si par exemple on mesure la longueur d’un objet à (25 ± 1) mm au millimètre près, l’erreur relative sur cette mesure est de 1/25 = 0,04 = 4%.

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Manipulation



1. Mesure des dimensions d’un parallélépipède à l’aide de deux outils, et comparaison des deux résultats (entâchés d’erreur !)• Règle• Pied à coulisse digital

2. Mesure de la période d’un pendule, et comparaison des deux résultats• Directe• A partir de la mesure de 10

périodes (petit nombre de déterminations)

1. Graphique linéaire

2. Graphique semi-log

3. Graphique log-log

… et extraction des paramètres de la loi sous-jacente.

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Quelques consignes pratiques



• Remplissez la fiche de présence avant la fin de la séance.

• Les travaux pratiques se réalisent par groupes de 3. Votre numéro de table est inscrit en haut de la table. Vous le garderez tout le long du quadrimestre !

• Les techniciens et moi passerons dans les groupes pour vous aider dans les parties plus techniques des manipulations.

• Chaque étudiant rend un rapport en fin de séance.

• Par facilité, exprimez tout en mm.

• Lisez le règlement du labo et des examens disponible sur Moodle.

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