PHQ111 Capacité thermique massique

PHQ111 Capacité thermique massique

Sécurité : Vous utiliserez de l'azote liquide et de l'eau bouillante pour cette expé-rience. Protéger vos yeux avec vos lunettes de sécurité et porter les gantsdisponibles au laboratoire. Désinfecter vos mains avant et après l'utili-sation des gants avec du gel hydroalcoolique. Utiliser un contenant destyromousse au lieu des thermos en verre pour contenir l'azote liquide.Porter un sarrau. Il vous faut porter des souliers fermés au deux boutsde même que des pantalons longs.

Devoir à remettre à votre arrivée au laboratoire

Un contenant est rempli de 500 grammes d'un liquide quelconque à une température Ti =22oC. On y plonge un bloc de 50 grammes d'un métal à une température Tbloc = 55oC. Leliquide voit alors sa température augmenter jusqu'à 30oC. Sachant que Cp(liquide) = 2J

g·K ,calculer Cp (métal). Le symbole Cp représente la capacité thermique massique à pressionconstante.

Buts : Mesurer la chaleur de vaporisation de l'azote liquide.Déterminer la capacité thermique massique de quelques matériaux (alu-minium, cuivre et graphite) à la température ambiante et à basse tem-pérature.

1 Introduction

Le terme capacité thermique massique est également connu sous le nom de chaleur spéci�queou chaleur massique. C'est une grandeur qui re�ète la capacité d'un matériau à accumulerde l'énergie sous forme thermique, pour une masse donnée, quand sa température augmente.Un corps possédant une grande capacité thermique massique peut emmagasiner une grandequantité d'énergie pour une augmentation relativement faible de sa température. La chaleurspéci�que s'exprime en joules par kelvin et par kilogramme (JK−1kg−1) et est indépendantede la quantité de matière.

2 Théorie

2.1 Dé�nition de la température

La notion de température est intuitive à l'origine. Le toucher nous dit que certains corpssont plus chauds que d'autres. Les variations de température peuvent même entrainer deschangements de phase de la matière : fusion, vaporisation, ...


Sur une base empirique, on a convenu de mesurer la température d'un milieu à l'aide del'amplitude de dilatation d'un liquide enfermé dans un réservoir en verre. Un thermomètrede ce type est présenté à la �gure suivante :

L0 100

1 degré

Il est formé d'un réservoir prolongé par une colonne cylindrique de section constante. Il estrempli de liquide de façon à ce que la surface libre se trouve dans le tube mince pour lagamme de température considérée. La température du milieu dans lequel le réservoir estimmergé est donnée par la distance L de l'extrémité de la colonne à un repère �xe. On achoisi comme repère �xe la position (0) de l'extrémité de la colonne lorsque le réservoirest immergé dans un mélange de glace et d'eau en équilibre sous la pression atmosphériquenormale (101.3 kPa). On a également donné la valeur 100 à la température d'ébullition del'eau sous la même pression. L'unité de mesure θ représente donc le centième de la distanceentre le repère 0 et le repère 100. θ est exprimé en degrés Celcius (oC).

Par la suite, il fut constaté que la pression d'un gaz enfermé dans une enceinte de volumeconstant variait proportionnellement au paramètre θ (loi de Gay-Lussac) à condition quecette pression reste faible).

P = P0(1 + αθ)

P0 étant la pression pour T = 0oC.

Cette loi n'est valide que pour les gaz dont les molécules n'exercent aucune action les unessur les autres, mis à part les échanges d'énergie lors de leurs rencontres, c'est-à-dire quepour les gaz que nous avons quali�és de gaz parfaits. Il n'existe pas de gaz parfait mais laplupart des gaz réels se comportent comme des gaz parfaits aux pressions inférieures ou peusupérieures à la pression atmosphérique.

Dans l'équation précédente, le coe�cient α est nécessairement un nombre. On constateexpérimentalement qui si l'on porte P en fonction de θ, en extrapolant pour des valeursdécroissantes de P, la pression devient nulle pour θ = −273.16 oC. Donc, 1/α = 273.16.Cette valeur de θ apparait comme la température limite. C'est pourquoi on a posé :

T (K) = θ(oC) + 273.16 (1)

T a été appelée la température absolue. Elle est nulle pour la température à laquelle lapression devient nulle dans la relation mathématique. On exprime T en degré Kelvin (oK).

3.2


00 K

différents gaz

Pres

sion

température

Figure 1: Pression vs Température. (PV = nRT ) fonctionne pour les gaz parfaits (hélium,azote, ...). Certains gaz deviennent liquides ou solides à di�érentes températures. Par contre,si on extrapole la droite, on arrive au zéro absolu.

2.2 Chaleur et température

Il existe plusieurs mécanismes qui permettent à un système d'échanger de l'énergie avec sonenvironnement. Considérons un cylindre contenant un gaz pouvant être comprimé à l'aided'un piston.

courant électrique

radiations du soleilpiston

flamme

Figure 2: Di�érents mécanismes pouvant permettre un changement de température.

On ajoute au système une �amme qui chau�e le cylindre exposé aux radiations du soleil. Deplus, le cylindre renferme un élément chau�ant qui dissipe de l'énergie lorsqu'on y fait circulerun courant. Tous ces mécanismes produisent un échange d'énergie avec le gaz contenu dansle cylindre. Par contre, seul l'e�et du piston peut être mis sous la forme d'un déplacementmultiplié par une force (la pression exercée par le gaz). On appellera travail mécanique, touttravail résultant du produit d'une force par un déplacement. Toutes les les autres formes detravail représentées plus haut porteront le nom de chaleur.

Prenons le cas de la �amme. Pour traiter correctement ce problème, il faudrait additionnertous les échanges d'énergie produits lors de chacune des collisions entre une molécule dela �amme et une autre du cylindre. En pratique, ceci est impossible à cause du trop grandnombre de particules en jeu. Nous devons donc nous tourner vers un concept statistique, � lachaleur �, qui représente la somme de tous les échanges d'énergie entre un système et son

3.3


environnement sans qu'il n'y ait de déplacement collectif (le gaz dans le cylindre ne changepas de volume).

Lorsqu'il y a apport d'énergie du milieu vers un système sans que son volume change, il ya augmentation de l'agitation des molécules dans le système. C'est la température qui estle terme désigné pour quanti�er ce degré d'agitation des molécules. La relation qui unit latempérature et le degré d'agitation des molécules dépend de la nature du milieu en question.Évidemment, la température est un concept statistique qui ne s'applique pas aux systèmescontenant une seule particule.

2.3 Chaleur de vaporisation

Considérons un liquide quelconque en contact avec l'air à la pression atmosphérique. Par undispositif approprié, on introduit de l'énergie dans ce liquide, disons sous forme de chaleur.Le liquide s'échau�e jusqu'à une température TV , point où il entre en ébullition. Dans legraphique ci-dessous, la première partie de la courbe (E < E1) se rapporte au liquide avantl'ébullition. Poursuivant l'introduction d'énergie, le liquide s'évapore tout en demeurant àune température �xe TV .

E1E 2E

T

VT

Figure 3: Évolution en température d'un liquide que l'on chau�e et qui passe à l'étatgazeux.

Au-delà de E2, tout le liquide a été transformé en vapeur. Si on pouvait rassembler cettevapeur dans une enceinte, un chau�age supplémentaire au delà de E2 échau�erait cettevapeur comme un gaz ordinaire. Durant l'évaporation du liquide, entre E1 et E2, toutel'énergie introduite ne sert qu'à transformer le liquide en vapeur. Il est possible de dé�nirune quantité propre à un liquide liée à cette transformation, notée LV , qui est l'énergienécessaire pour transformer en vapeur l'unité de masse d'un liquide : c'est la chaleur devaporisation.

2.4 Capacité thermique massique

Par dé�nition, la capacité thermique massique d'un matériau est l'énergie nécessaire pourélever d'un degré l'unité de masse de cette matière. On peut l'exprimer en :

- calorie par gramme par degré- joule par gramme par degré- joule par mole par degré

3.4


Notre intérêt se porte vers les propriétés thermiques de matériaux tels les métaux ou lecarbone et non des substances complexes telles que le bois, le plastique, etc.

note : Les éléments comme le plomb et le graphite se présentes sous la formed'une agglomération de cristaux minuscules collés les uns aux autres. Àcause de cela, la théorie traitant de la capacité thermique massique descristaux s'applique. Cette théorie est étudiée dans le cadre de la physiquestatistique. Ne possédant pas tous les prérequis, notre approche seraplutôt descriptive. Vous pouvez consulter le complément mathématiqueen annexe a�n de vous familiariser avec un traitement plus rigoureux.

La capacité thermique massique d'un élément solide varie avec la température. Les atomesoscillent par rapport à leur position d'équilibre avec une facilité qui dépend de la rigidité desliens existant entre les atomes du solide. Ces mêmes liens régissent également la fusion de cesolide. Le traitement théorique de ce problème permet d'obtenir un résultat très intéressantrelativement à la capacité thermique massique. Il est possible de dé�nir une températurepour chaque élément, appelée température de Debye, et d'intégrer tous les éléments dansun seul modèle, le cristal de Debye. D'après ce modèle, la capacité thermique massiqueaugmente de zéro à une valeur maximale (lorsque le solide fond) selon la courbe universellesuivante :

0

5

10

15

20

25

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

D

Tθ

(J/m

ole

K)

VC

⋅

( 215K)DArgent θ =

Figure 4: Courbe universelle de capacité thermique massique.

CV : Capacité thermique massique à volume constantT : Températureθ : Température de Debye en degrés Kelvin

La température de Debye est caractéristique du matériau qui décrit le comportement de sacapacité thermique massique et sa dureté. Plus la température de Debye est grande, plus ilfaut monter en température avant d'avoir une grande capacité thermique massique.

3.5


Matériau Température de Debye (K) Capacité thermique massique à 300 K Jg·K

aluminium 428 0.897cuivre 343 0.385mercure 71.9 0.14

fer 470 0.443graphite 412 0.709diamant 2200 0.518

or 165 0.129potassium 91 0.757silicium 645 0.705

magnésium 400 1.023plomb 105 0.129

D'après le tableau précédent, on constate que la mesure de la capacité thermique massiqued'un élément au voisinage de la température ambiante donnera un résultat semblable pourles éléments Al, Cu, Fe, Mg, .... car T/θ prend la valeur ≈ 1 dans ce cas. Avec le plomb,Cp sera un peu plus élevée tandis qu'avec le carbone (graphite) T/θ devient petit, d'où unecapacité thermique massique plus faible. À température plus faible, des écarts de valeur deCp pour les di�érents éléments apparaissent mais ne deviennent évidents que dans la régionfortement descendante de la courbe universelle.

note : Il faut considérer le modèle de Debye (en annexe) a�n d'obtenir desrésultats quantitatifs.

2.5 Poussée d'Archimède

On va maintenant s'intéresser à un tout autre phénomène : celui de la �ottaison de certainsobjets. Prenons le cas d'un cube d'arête a complètement immergé dans un liquide mais netouchant pas au fond du récipient contenant ce liquide. La surface supérieure du cube estsituée à une profondeur z1 > 0 (le sens positif est vers le bas). On notera ~ez le vecteurunitaire dirigé selon l'axe des z croissants (donc vers le bas).

3.6


0z =

1z

2za

a

Dans un liquide incompressible au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme, lapression absolue p à une profondeur z vaut :

p(z) = p0 + ph(z)

p0 est la pression atmosphériqueph(z) est la pression hydrostatique à la profondeur z

Considérons une colonne de liquide de hauteur variable z et dont la base est constante etvaut A. À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond à la norme P du poidsdivisé par la base A de la colonne de liquide : p(z) = P/A. Or l'expression du poids de lacolonne de liquide est :

~P = m~g = (ρzA)g ~ez

où :

m est la masse de la colonnez ·A est son volumeρ est la masse volumique du liquideg est l'accélération de la pesanteur

On obtient donc, en utilisant la formule p(z) = P/A :

ph(z) =P

A= ρgz

La pression absolue vaut donc :p(z) = p0 + ρgz

Par symétrie, les forces de pression exercées sur les quatre faces latérales du cube s'annulentdeux à deux.

3.7


La force ~F1, exercée par le liquide sur la face supérieure (d'aire A = a2) du cube, est dirigéede haut en bas et vaut :

~F1 = p(z1)A ~ez = (p0 + ρgz1) a2 ~ez

La force ~F2 dirigée du bas vers le haut, exercée par le liquide sur la surface inférieure (d'aireA = a2) du cube, qui est située à la profondeur z2 = z1 + a vaut :

~F2 = −p(z2)A ~ez = − (p0 + ρgz2) a2 ~ez = − (p0 + ρg(z1 + a)) a2 ~ez

La résultante ~F des forces de pression vaut donc :

~F = ~F1 + ~F2 = − (ρga) a2 ~ez = −ρga3 ~ez = −ρgV ~ez = −ρV g ~ez =⇒ ~F = −mf g ~ez

~F = mf ~g

où :

V = a3 est le volume du cube, c'est-à�dire en l'occurrence le volume immergé.mf est la masse du �uide contenu dans le volume V.

La force résultante (appelée poussée d'Archimède) est donc égale à l'opposée du poids duvolume de liquide déplacé. Cette force étant négative, elle est bien dirigée du bas vers lehaut.

3 Partie expérimentale (source : Wikipedia)

3.1 Chaleur de vaporisation de l'azote

Comme la température à laquelle l'azote s'évapore (TV ) est très basse (≈ 77K), les conte-nants utilisés au laboratoire contiennes de l'azote liquide en ébullition. La température duliquide demeure TV tant qu'il en reste dans le contenant. L'énergie nécessaire pour évaporerle liquide est fournie par l'air ambiant. On peut cependant accélérer cette évaporation aumoyen d'un élément chau�ant plongé dans le liquide.

Le montage comporte les éléments suivants :

� un récipient isolant contenant de l'azote liquide.� une balance� un élément chau�ant alimenté par une source de tension continue� un ampèremètre et un voltmètre

3.8


UA

balance

azote liquideélément chauffant

contenant styromousse

Figure 5: Montage utilisé pour mesurer la chaleur de vaporisation de l'azote liquide.

� Ajuster la source de tension à 25 volts puis la mettre à OFF.� Introduire la résistance chau�ante (entièrement) dans l'azote liquide.� Relever la masse du récipient en fonction du temps, à toutes les 10 secondes, durant

environ 200 sec., l'interrupteur ouvert. Cette masse diminue à cause de l'évaporationnaturelle de l'azote.

� Allumer la source de tension de façon à introduire une énergie supplémentaire dansle liquide et relever la masse durant 200 secondes.

� Éteindre la source de tension et continuer de relever la masse durant 200 secondes.

3.9


temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)

0 31010 32020 33030 34040 35050 36060 37070 38080 39090 400100 410110 320120 430130 440140 450150 460160 470170 480180 490190 500200 510210 520220 530230 540240 550250 560260 570270 580280 590290 600300

note : On utilise le terme � masse � pour la lecture de la balance. En réalité,c'est le poids que la balance mesure mais elle e�ectue la conversion.

� Faire un graphique de la masse en fonction du temps. Le graphique obtenu devraitressembler à ceci :

3.10


application du chauffage

temps

mas

set∆

2

pente P

1

pente P

3

pente P

Figure 6: Variation de la masse d'azote liquide en fonction du temps.

Sans le courant électrique, on trouve deux droites presque parallèles (pentes P1 et P3). Lamoyenne de ces deux pentes donne le taux d'évaporation de l'azote sans chau�age. Il s'agitdu taux d'évaporation de l'azote dû au contacts avec l'environnement (verre de styromousse,air, ...). La pente centrale donne le taux d'évaporation dû au chau�age et au contact avecl'environnement. Pour déterminer le taux relié uniquement au chau�age, il faut soustrairede cette valeur la contribution moyenne du contact avec l'environnement. Ce taux s'exprimedonc par la quantité ∆M/∆T .

La quantité d'énergie introduite par le courant pendant le chau�age est UI∆t. La chaleurde vaporisation s'exprime alors par la relation :

LV = UI∆t

∆M(2)

U = I =

3.11


Calcul de la chaleur de vaporisation

Comparer à la valeur acceptée qui est : 198 J/g.

Pourquoi n'observe-t-on pas réellement des droites lors de l'évaporation de l'azote ?

3.12


Discuter des principales causes d'erreur.

3.2 Capacité thermique massique de matériaux solides ( 1 cal = 4.184 J)

Pour le cuivre et l'aluminium :

� Peser les blocs.� Faire chau�er les blocs jusqu'à 100oC (Ti) par trempage dans l'eau bouillante.� Verser environ 100 ml d'eau très froide dans la bouteille thermos et mesurer la tem-

pérature Ti de cette eau. L'eau doit pouvoir submerger le bloc en entier mais pasbeaucoup plus.

� Introduire le bloc dans la bouteille thermos et mesurer la température �nale (Tf ) del'eau à son maximum.

� Calculer la capacité thermique massique sachant que celle de l'eau vaut 4.18 J/(g·K).

note : La valeur obtenue est celle correspondant à la température moyenneentre Ti et Tf .

Cuivre

Ti =

Tf =

Masse (eau) =Masse (cuivre) =

Aluminium

Ti =

Tf =

Masse (eau) =Masse (aluminium) =

Question : Pourquoi utilise-t-on de l'eau très froide ? Inspirez-vous de la courbeuniverselle de la capacité thermique à la �n du document.

3.13


Calcul de la capacité thermique massique du Cuivre

Calcul de la capacité thermique massique de l'aluminium

Discuter des résultats obtenus pour le cuivre et l'aluminium.

3.14


3.3 Capacité thermique massique à basse température

Vous allez maintenant déterminer la capacité thermique massique de trois matériaux pourune température moyenne entre celle du laboratoire et celle de l'azote liquide. Commencerpar relever la masse des blocs.

Masse des blocs (g)

cuivrealuminiumgraphite

� S'assurer que les blocs soient à la température de la pièce.� Poser le contenant d'azote liquide sur la balance et le remplir jusqu'à 4 cm du rebord.� Relever la masse obtenue en fonctions du temps (à chaque 10 secondes) pendant 100

secondes.� Suspendre un bloc dans le récipient (il doit être suspendu très près du fond du réci-

pient) et continuer de relever la lecture à la balance jusqu'à la disparition complètedu bouillonnement.

� Continuer de relever les lectures pendant 100 secondes.� Répéter les mesures avec les deux autres blocs

3.15


Aluminium Graphite Cuivre

temps (s) masse (g) temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)0 0 010 10 1020 20 2030 30 3040 40 4050 50 5060 60 6070 70 7080 80 8090 90 90100 100 100110 110 110120 120 120130 130 130140 140 140150 150 150160 160 160170 170 170180 180 180190 190 190200 200 200210 210 210220 220 220230 230 230240 240 240250 250 250260 260 260270 270 270280 280 280290 290 290300 300 300310 310 310320 320 320330 330 330340 340 340350 350 350360 360 360370 370 370380 380 380

3.16


Aluminium Graphite Cuivre

temps (s) masse (g) temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)390 390 390400 400 400410 410 410420 420 420430 430 430440 440 440450 450 450460 460 460470 470 470480 480 480490 490 490500 500 500510 510 510520 520 520530 530 530540 540 540550 550 550560 560 560570 570 570580 580 580590 590 590600 600 600

Tracer un graphique de la masse en fonction du temps pour chacun des matériaux. Legraphique suivant montre à quoi on devrait s'attendre.

bouillonnement

temps

mas

se

t∆

2

pente P1

pente P

3

pente P

poussée d’Archimède

Figure 7: Variation de la masse en fonction du temps.

On remarque une montée abrupte lorsqu'on plonge le bloc dans le liquide même si ce dernierne touche pas le fond du récipient. Cette montée n'est autre que la poussée d'Archimède.

3.17


Faire le calcul permettant de calculer la capacité thermique massique moyenne (pour unetempérature moyenne entre l'ambiante et l'azote liquide) en J/(g·K).

Comment faire ce calcul :

Il faut trouver la quantité d'azote qui a été évaporée à cause que le bloc a cédé de l'énergiethermique lors de son passage de 300K à 77K (partie centrale de la courbe de la �gure pré-cédente). La pente P2 de la partie centrale correspond là où l'azote liquide s'évapore le plusrapidement. En e�et, deux phénomènes mènent à cette grande perte d'azote : l'évaporationnormale de l'azote (moyenne des pentes 1 et 3) et l'énergie cédée par le bloc. Pour isolerl'énergie cédée par le bloc permettant de calculer sa capacité thermique, il faut soustraire lapente moyenne P1+P3

2 de la pente P2. On multiplie ensuite cette pente par le temps ∆t (voir�gure). Cette multiplication nous donne la quantité d'azote évaporée uniquement à causedu bloc. Comme vous connaissez la chaleur de vaporisation de l'azote (198 J/g), vous êtesmaintenant capable de calculer l'énergie qu'à perdu le bloc.

Calcul de la capacité thermique massique de l'aluminium

Calcul de la capacité thermique massique du graphite

3.18


Calcul de la capacité thermique massique du cuivre

Compléter le tableau suivant à l'aide de vos derniers résultats. Attention, ici la quantitéd'azote vaporisée est celle qui est due au refroidissement du bloc. Ce n'est pas la quantitéinitiale d'azote moins la quantité �nale !

Substance Cexp.p

(J

g·K

)Caccepteep

(J

g·K

)Caccepteep

(J

g·K

)Quantité d'azote vaporisée (g)

300 K 77 K pour que le bloc passe de 300K à 77K

aluminium 0.90 0.357graphite 0.71 0.096cuivre 0.385 0.205

Discuter des résultats obtenus.

Question : Pourquoi utilise-t-on souvent l'eau comme liquide de refroidissement ?

3.19


3.4 Poussée d'Archimède

Le prochain montage consiste en un bécher contenant de l'eau reposant sur une balance.Avant d'y insérer le cylindre d'aluminium, on fait une tare sur la balance, elle indique doncmaintenant zéro.

cylindre d’aluminium (rayon = 1.25 cm)

eau

1 cm

balance

Figure 8: Mesure de la poussée d'Archimède.

On commence par utiliser un cylindre d'aluminium dont le diamètre est de 25 mm et qui estgradué à tous les 10 mm sur sa longueur. On le plonge dans l'eau et on note l'augmentationde la masse sur la balance à chaque centimètre du cylindre recouvert d'eau. On obtient lesrésultats suivants :

longueur du cylindre submergée (cm) masse a�chée sur la balance (g)

012345

3.20


Calcul théorique (selon Archimède) de l'augmentation de masse lorsque un centimètre ducylindre d'aluminium est plongé dans l'eau.

Faire un graphique de l'augmentation de la masse en fonction de la longueur du cylindresubmergée et tracer également la courbe théorique.

Recommencer l'expérience mais cette fois avec le bloc rectangulaire donc l'arrête de la basea une longueur de 22 mm et qui lui aussi est gradué en longueur à chaque 10 mm.

longueur du prisme rectangulaire submergée (cm) masse a�chée sur la balance (g)

012345

3.21


Calcul théorique (selon Archimède) de l'augmentation de masse lorsque un centimètre duprisme rectangulaire d'aluminium est plongé dans l'eau.

Faire un graphique de l'augmentation de la masse en fonction de la longueur du prismerectangulaire submergée et tracer également la courbe théorique.

Discuter des résultats obtenus avec les deux solides.

Conclusion

3.22


Références

[1] A. Marcelo & E. J. Finn. Physics. Addison Wesley, 1992.

[2] J. Tonnelat. Thermodynamique probabiliste (un refus des dogmes). Masson, 1991.

[3] E.H. Wichmann. Physique quantique (Berkeley volume 4). Librairie Armand Colin, 1974.

3.23


Annexe A Le modèle d'Einstein

Ce modèle permet d'expliquer raisonnablement bien l'existence d'une courbe universelle pourla capacité thermique massique, bien qu'en réalité ce soit le modèle de Debye qui correspondle mieux à la réalité. L'approximation d'Einstein est que :

Le cristal peut être vu comme un ensemble d'oscillateurs identiques et indépendants possédant

une énergie caractéristique d'oscillation notée ~ω, où ω est égale à 2π fois la fréquence

d'oscillation.

Pour un ensemble de N oscillateurs, à une dimensions, l'énergie thermique emmagasinéedans le cristal est :

U = N 〈n〉 ~ω (A-1)

avec la distribution de Planck

〈n〉 =1

e~ω

kBT − 1(A-2)

qui représente l'occupation moyenne du mode d'énergie ~ω à la température T . À troisdimensions, N doit être remplacé par 3N à cause des trois degrés de liberté possibles pourchacun des oscillateurs. L'énergie thermique du cristal est donc :

U =3N~ω

e~ω

kBT − 1(A-3)

La chaleur spéci�que d'un tel système s'écrit :

CV =

(∂U

∂T

)V

= 3NkB

(~ωkBT

)2 e~ω

kBT(e

~ωkBT − 1

)2 (A-4)

Le graphique suivant montre l'allure de la dernière relation.

cal/m

ol-K

/ ET θ0

1

2

3

4

5

6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

VC

Figure A-1: Modèle d'Einstein.

3.24


où : θE = ~ω/kB.

À haute température, Cp tend vers la valeur 3NkB (valeur prédite par Dulong et Petit). À

basse température, le modèle d'Einstein donne Cp ∝ e− ~ω

kBT alors qu'expérimentalement ontrouve Cp ∝ T 3. C'est le modèle de Debye[2], plus élaboré que celui d'Einstein, qui permetd'expliquer correctement cette dépendance en T 3.

3.25

PHQ111 Capacité thermique massique

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