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2011/09/22 Geogebra - le Corps noir 2

Introduction

La physique du rayonnement a fait un grand pas lorsque les trois lois dites « du rayonnement du corps noir » furent été établies.

Nous allons utiliser Geogebra pour la construire, la manier. Sa visualisation dans le cas de mesures photométriques de la lumière des étoiles, sera très instructif.

Celle de Planck qui donne le flux en fonction de la longueur d’onde est particulièrement complexe à utiliser.

Pourtant, elle est fondamentale à utiliser en astronomie, car n’interviennent que la longueur d’onde et la température.

L’approximation des intérieures stellaires à des corps noirs est fructueuse, même lorsque l’on est à la surface où l’équilibre n’est pas réalisé.


Le corps noir

- émet un rayonnement propre à sa température

B( ,T)

T = 6000 K

3000 K

0.5 1

4000 K

5000 K

2

visible

ultraviolet infrarouge

domaine observable

du sol

- corps en équilibre thermique

- absorbe tout rayonnement reçu


Lois du rayonnement

Tout corps en équilibre thermique absorbe et émet un rayonnement fonction de sa température absolue.

Loi de Wien (1893) : max T 2898 en m icro n s

dL

de T

15 1

2

1( ) W m m s te rad2 1 1

11 6

22

3 7 4 1 7 1 01 4 3 8 8 1 0

,,

J m sm K

2 -1

= ×- - - 8 456710, W m K2L T= 4Loi de Stefan (1879) :

Loi de Planck (1900) :dLd

h

cehkT

2 1

1

3

2W m H z s te rad2 1 1


La loi de Planck

L’expression de la loi de Planck est différentielle. Son écriture n’est pas la même si l’on raisonne en longueur d’onde ou en fréquences.

En classification stellaire, ce sont les longueurs d’onde qui sont utilisées. Nous nous servirons de la formule :

La difficulté de représenter cette courbe, même en coordonnées logarithmiques, est l’étendues des plages des variables. Il faudra parcourir les gammes en :

dL

de T

15 1

2

1( ) W m m ste rad2 1 1

11 6

22

3 7 4 1 7 1 01 4 3 8 8 1 0

,,

J m sm K

2 -1

- Température, de 100K à 100 000 K (103)

- Longueurs d’onde, du nanomètres aux dizaines de mètres (1010)

Les intensités du rayonnement émis vont varier de 1 à 1015.


La loi de Planck

Ce graphique permet de visualiser les énergies émises de :

- 100K à 15 000K

- 0.1 microns à 500 microns

Son utilisation est difficile, car il a du être incliné pour réduire la surface nécessaire.

Comment introduire toutes ces contraintes dans Geogebra ?

- Soleil

- Corps humain


Loi de Planck et Geogebra

Les intensités du rayonnement ayant la plage la plus étendue, nous allons créer une échelle variable en ordonnées, à l’aide d’un curseur.

Ce curseur prend des valeurs entières. Il fera varier l’échelle des ordonnées, les intensités, d’un facteur dix pour une variation unitaire.

Les longueurs d’onde intéressantes en classification stellaire, s’étendant principalement de 0.1 microns au centimètre.

L’échelle des longueurs d’onde en abscisses, sera en microns

L’adaptation à l’échelle se fera en jouant sur le zoom.

Abscisses

Ordonnées


Calcul de la formule de Planck

Ce sont les valeurs extrêmes de certains coefficients.

dL

de T

15 1

2

1( ) W m m ste rad2 1 1

11 6

22

3 7 4 1 7 1 01 4 3 8 8 1 0

,,

J m sm K

2 -1

Deuxième problème avec la formule de Planck :

Il y a danger de fausser les calculs, par simple dépassement de précision dans les calculs internes dans le coprocesseur arithmétique.

On n’appliquera pas la formule brute telle quelle.

Un calcul intermédiaire de coefficient entrant dans la formule sera nécessaire. Cette variable intermédiaire sera judicieusement choisie pour avoir une plage de valeurs raisonnables.


Calcul de la formule de Planck

dL

de T

15 1

2

1( ) W m m ste rad2 1 1

11 6

22

3 7 4 1 7 1 01 4 3 8 8 1 0

,,

J m sm K

2 -1

Décomposition de la formule de Planck :

Comme on entre les données en unités courantes : microns et °K, il faudra pour les bien ajuster les coefficients pour rester homogène.

Pour paramétrer la courbe, il est nécessaire de créer plusieurs curseurs :

- curseur température : T de 100 à 50000 (°K)

D’autres curseurs seront créés pour simuler les positions des filtres et leurs bandes passantes.

- curseur échelle : echy de 2 à 20


Construction de la courbe de Planck

Le coefficient intermédiaire : ct2 = c2 / T 1000000

Faire varier la température et jouer avec les échelles pour suivre l’évolution de la courbe.

Entrer les deux coefficients de la formule :

c1 = 3.74441

c2 = 0.014388

Avec c1, la fonction de Planck a sa valeur divisée par 108

Il faudra en tenir compte pour le calcul du flux total (loi de Stephan)

Fonction[c1 / x⁵ / (exp(ct2 / x) - 1) 10^echy, 0, 100]

La formule de Planck transposée en langage Geogebra devient :

Fonction de Planck Echelle des ordonnées Plage des


Maximum d’amplitude pour une température donnée

Pour trouver le maximum d’intensité de la fonction à une longueur d’onde donnée, on peut employer la fonction de Wien :

Geogebra permet de créer la fonction dérivée d’une courbe.

Loi de Wien (1893) : max T 2898 en m icro n s

Il est plus intéressant de la retrouver par l’analyse de la courbe de Planck.

La dérivée étant nulle au maximum, on recherche l’intersection de la fonction dérivée avec l’axe des x (ou bien avec une droite y=0).

L’ordonnée de la courbe de Planck en ce point donne l’intensité du maximum.

dy0 : y = 0

fcn2 = Dérivée[fcn]

Px_M = Intersection[fcn2, dy0]

M = Intersection[fcn, x(Px_M]


Maximum d’amplitude pour une température donnée

Faire afficher la position et la valeur de l’Intensité en cette position :

"lambda max = " + (x(M)) + " microns I=" + (y(M))

En position absolue à l’écran.


Intégrale du flux – loi de Stephan

Faire afficher la position et la valeur de l’énergie émise par m2.

"Flux / m2 = " + isteph + " W/m2

Nous pouvons appliquer la formule de Stephan, 1ère loi du Corps Noir.

Nous pouvons aussi intégrer le flux sur toutes les longueurs d’ondes.

isteph = 100000000*Intégrale[fcn, 0.00001, 200]

La limite inférieure doit être non nulle, sinon, l’intégrale n’est plus définie.0

On peut maintenant s’amuser avec notre fonction.


Indices de couleurs

Quand on étudie une étoile, on mesure son intensité relative en différents points de son spectre (spectrographie, photométrie).

La courbe de Planck pour une étoile de température donnée de surface, nous donne l’intensité en toute longueur d’onde.

On va donc comparer l’intensité en deux longueurs d’onde différentes, c’est-à-dire en faire le rapport.

Si l’on prend le logarithme de ce rapport et qu’on le multiplie par -2.5, on obtient la différence de magnitude en ces longueurs d’onde.

Cela s’appelle un indice de couleur.

Nous allons le voir bientôt sur notre graphique.

Ce rapport est indépendant de la distance. L’éclairement de l ’étoile varie pour chaque longueur d’onde comme l’inverse du carré de la distance.

Il est directement fonction de la Température.

m E C

m mE

E

L

L

te

2 5

2 5 2 5

1 0

2 1 1 02

11 0

2

1

, lo g

, lo g , lo g


Indices de couleurs

Créer deux curseur l_1 et l_2 qui nous donnerons deux longueurs d’onde.

Les intensités en ces longueurs sont les ordonnées des intersections de la courbe de Planck avec les deux droites :

Créer les deux droites verticales qui repèrent ces longueurs d’onde :

i1 = y(Intersection[fcn, dx1])i2 = y(Intersection[fcn, dx2])

Calcul de l’indice de couleurs :

IC = -(2.5) lg(i1 / i2) + cte

Le coefficient additif, est à ajuster en fonction des longueurs d’onde choisies pour se raccorder à un système standard de mesures photométriques.

Afficher le résultat : "IC = " + IC

dx1: x=l_1 et dx2:x=l_2

Sa valeur sera déterminé avec une étoile prise comme référence (diapo suivante).

i1 = fcn(l_1)i2 = fcn(l_2)

ou


Indices de couleurs

Exemple avec Véga (10200°K) et le Soleil (5800°K).

Les longueurs d’onde centrales des filtres sont

B : 0.43 microns et V : 0.52 microns.

L’indice de couleur choisi est l’indice (B-V) rapport des intensités dans un filtre Bleu et un filtre Visible (jaune).

On peut donc, en affichant une température de 10200°K, ajuster la constante dans la formule, en retranchant à IC, la valeur de IC sans constante.

Trouver l’indice de couleur du Soleil ?

En système photométrique UBV, l’étoile Véga est prise comme référence, tous ses indices de couleurs (U-B, B-V, V-R, R-I, etc sont pris égaux à 0.

Cte = + 0.3823

(B-V)Soleil = 0.446


Indices de couleurs

Prendre l’intensité en une longueur d’onde n’est pas très réaliste.

Le filtre a une bande passante plus ou moins larges et c’est l’intégrale du flux convolué par la bande passante qui est la mesure de flux.

Encore mieux !

Largeur à mi hauteur : 90% du flux dans cette largeur.

600

0.5

300 400 500

U

1.0

B

700 (nm)

V


Indices de couleurs

Curseur l_1 = 0.43 , lb1 = l_1 - df1 / 2 lb2 = l_1 + df1 / 2

Simulation de la bande passante :

"IC = " + IC + ""ICF= " + ICF

A partir de chaque longueur d’onde l_1 et l_2, calculer les limites de l’intégrale de la fonction de Planck pour chaque filtre :

Afficher le résultat :

Soit df1 = 0.05 et df2 = 0.07 les deux bandes passantes des filtres (largeur à mi-hauteur).

Filtre bleu

Curseur l_2 = 0.43 , lv1 = l_2 – df2 / 2 lv2 = l_2 + df2 / 2Filtre visible

Intégrales :

intb = Intégrale[fcn, lb1, lb2] et intv = Intégrale[fcn, lv1, lv2]

Indice de couleur : ICF = -(2.5) lg(intb / intv) + cte

Comparer les deux résultats et faire varier la température.

Nouvelle calibration : cte = 0.0143


B1

VisibleBleu

V1 E

B2 E

lambda Bleu Visible

V2 E

T 2

Lum

inos

it é T 1

E

Lum

inos

it élambda

Indice de Couleurs

E

E

E

EB

V

B

V

1

1

2

2

En passant en magnitude, l'inégalité s'inverse :m m m m

B V B V

B V B V1 1 2 2

1 1 2 2

Directement relié à la Température.

T T1 2


. . . . . FIN

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