CTN-258

Cours 9

Moments d’inertie

Statique et dynamique

Département de génie de la construction1

Chapitre 7

Moments d’inertie

7.1 Introduction

7.2 Moment d’inertie d’une surface

7.3 Moment d’inertie d’une surface par intégration7.3 Moment d’inertie d’une surface par intégration

7.4 Moment d’inertie polaire

7.5 Rayon de giration des surfaces

7.6 Théorème des axes parallèles

7.7 Moment d’inertie d’une section composée

2

7.1 Introduction

• Le moment d'inertie quantifie la résistance d'un corps soumis à une mise en rotation (ou plus généralement à une accélération angulaire).

• Pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point croît en proportion avec cet éloignement, il est nécessaire de communiquer proportion avec cet éloignement, il est nécessaire de communiquer une plus grande énergie cinétique aux points éloignés.

• C’est aussi une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point.

• Il est alors important de connaître les propriétés géométriques des sections pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion et en flexion. En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment d’inertie selon cet axe.

7.1 Introduction

• Le moment d’inertie I est la capacité d’une section à résister à la flexion. C’est une propriété mathématique relatant la distribution de l’aire de la surface par rapport à un axe donné.

• Le moment d’inertie est toujours fonction de la géométrie de la surface

• Par exemple…

7.2 Moment d’inertie des surfaces

Prenons une poutre en flexion pure:

Chaque partie est soumise à des efforts de compression ou des efforts de traction.

7.2 Moment d’inertie des surfaces

Prenons une poutre en flexion pure:

Chaque partie est soumise à des efforts de compression ou des efforts de traction ce qui crée un moment par rapport à l’axe neutre appelé « moment d’inertie ».

7.3 Moment d’inertie par intégration

Le moment d’inertie rectangulaire d’une surface par rapport aux axes x et y est donné par:

7.4 Moment d’inertie polaire

Le moment d’inertie polaire est donné par:

Puisque:

Déterminer le moment d’inertie de la surface triangulaire par rapport à l’axe des y.

Exemple 1

Réponse: 125 mm4 9

4

5

Déterminer le moment d’inertie de la surface rectangulaire par rapport à l’axe des x.

Exemple 2

10Réponse: bh³ / 3

h

b

Quel est le moment d’inertie si le rectangle est centré sur l’axe des x ?

Exemple 3

11Réponse: bh³ / 12

h

b

Déterminer le moment d’inertie de la surface ombragée par rapport à l’axe des y.

Exemple 4

12Réponse: 26 784 000 mm4

Déterminer le moment d’inertie polaire du rectangle par rapport au point O.

Exemple 5

o

Réponse: 15,95 x 106 mm4 13

Déterminer le moment d’inertie polaire de la surface circulaire par rapport au point O.

Exemple 6

R = 2 m

Réponse: 25,13 m4 14

o

R = 2 m

7.4 a Double intégration

Le moment d’inertie peut aussi se calculer par double intégration tel que vu en mathématique:

A = plus petite valeur en « y » de

A

B

x = C

x = D

A = plus petite valeur en « y » de

la forme géométrique

B = plus grande valeur en « y » de

la forme géométrique

C = valeur de la fonction en « x »

de la borne gauche

D = valeur de la fonction en « x »

de la borne droite

TI:

7.4 a Double intégration

Le moment d’inertie peut aussi se calculer par double intégration tel que vu en mathématique:

y = D A = plus petite valeur en « x » de

A B

y = D

y = C

A = plus petite valeur en « x » de

la forme géométrique

B = plus grande valeur en «x » de

la forme géométrique

C = valeur de la fonction en « y »

de la borne inférieure

D = valeur de la fonction en « y »

de la borne supérieure

TI:

7.5 Rayon de giration

Le rayon de giration est une mesure de la répartition de la surface par rapport à un axe. Posons une surface A ayant un moment d’inertie Iypar rapport à l’axe y. Imaginons que l’on concentre cette surface en une bande étroite parallèle à l’axe y. Pour obtenir le même moment d’inertie, il faut que:

On définit donc ky comme le rayon de giration de la surface A par rapport à l’axe « y ».

7.5 Rayon de giration

Le rayon de giration par rapport à l’axe y est donc égal à:

Celui par rapport à l’axe x à :

Et le rayon de giration polaire à:

Si le moment d’inertie de la mince bande de surface A par rapport à l’axe x est de 2,56 x 106 mm4, déterminez l’aire A de la bande.

Exemple 7

19Réponse: 1 600 mm2

7.6 Théorème des axes parallèles

Le théorème des axes parallèles montre que :

– Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe donné x estégal au moment d'inertie propre de la surface par rapport à un axe xG

passant par le centre géométrique (Centroïde) de la figure et parallèleà x plus le produit de la surface par le carré de la distance entre les 2à x plus le produit de la surface par le carré de la distance entre les 2axes.

2

Gx x yI I Ad= +

2

Gy y xI I Ad= +

Inertie propre (par rapport au CG)

7.6 Théorème des axes parallèles

Déterminer le moment d’inertie de la surface triangulaire par rapport à l’axe des x selon la méthode des axes parallèles.

Exemple 8

22Réponse: 5,34 x 106 mm4

7.7 Surfaces composées

Par définition le moment d’inertie d’une surface est la somme oul’intégrale de produits de distance au carré par un élément de surface.

Un moment d’inertie est donc toujours positif !

Pour une surface composée d’un assemblage de parties distinctesPour une surface composée d’un assemblage de parties distinctesayant des formes géométriques simples, le moment d’inertie de lasurface p/r à un axe est la somme des moments d’inertie de chacunede ses parties par rapport au même axe

7.7 Surfaces composées

Pour plus de commodité, le calcul des moments d’inertie des surfaces composées est généralement présenté sous forme de tableau:

Déterminer le moment d’inertie de la poutre suivante par rapport aux axes x et y selon la méthode des surfaces composées.

Exemple 9

Réponse: Ix = 171,72 x 106 mm4 Iy = 26,69 x 106 mm4

Déterminer le moment d’inertie de la surface suivante par rapport aux axes x et y selon la méthode des surfaces composées.

Exemple 8

Réponse: Ix = 45,89 x 106 mm4 et Iy = 343,97 x 106 mm4

Problèmes supplémentaires

sur les moments d’inertiesur les moments d’inertie

Calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe x par la méthode d’intégration

Rép: Ix = 20*106 mm4

Exercices supplémentaires

Déterminez le moment d’inertie de la surface ombrée par rapport à l’axe y.

Rép: Iy = 27,8*104 mm4

Exercices supplémentaires

Essayez la méthode de

double intégration ce

sera plus facile ☺

Essayez de faire les problèmes supplémentaires des diapos précédentes…

N’oubliez pas de terminer le devoir 2. Il est à remettre le:

Aide mémoire

- 14 mars (gr. 1 et 4)

- 17 mars (gr. 2 et 3).

C’est important de le remettre à temps, au département de construction, avec une page de présentation, parce que j’enverrai le solutionnaire le lendemain par courriel…

30