PCSI - MPSI Modélisation des SLCI Prof_sii 1 le 13/10/2013

PCSI - MPSI Modélisation des SLCI

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1 PRESENTATION SLCI : .................................................................................................................................................... 2

1.1 SYSTEMES LINEAIRES : .................................................................................................................................................... 2 1.2 SYSTEME CONTINU : ........................................................................................................................................................ 2 1.3 SYSTEME INVARIANT : ..................................................................................................................................................... 3 1.4 SYSTEMES NON LINEAIRES: ............................................................................................................................................. 3

2 REPRESENTATION DES SLCI: ....................................................................................................................................... 4

3 ENTREES TYPES ................................................................................................................................................................ 4

4 TRANSFORMATION DE LAPLACE: ............................................................................................................................. 5

4.1 TRANSFORMEE DE LAPLACE : A QUOI ÇA SERT ? ............................................................................................................. 5 4.2 DEFINITION:..................................................................................................................................................................... 5 4.3 -PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE: ............................................................................................................ 6 4.4 – TRANSFORMEES DE FONCTIONS COURANTES: ............................................................................................................... 7 4.5 EXEMPLE DE RESOLUTION D’UNE EQUATION DIFFETRENTIELLE ....................................................................................... 8

5 FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME: ........................................................................................................... 8

5.1 GENERALITES .................................................................................................................................................................. 8 5.2 INTERET .......................................................................................................................................................................... 9 5.3 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE D'UN SYSTEME ASSERVI: ....................................................................... 10 5.4 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE: .......................................................................................................... 10

6 OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS: .............................................................................................................. 11

6.1 ÉLEMENTS DE BASE ....................................................................................................................................................... 11 6.2 OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS ......................................................................................................................... 11

7 SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX: ............................................................................................................. 13

7.1 FONCTION DE TRANSFERT.............................................................................................................................................. 13 7.2 REPONSE A UN ECHELON ............................................................................................................................................... 13 7.3 REPONSE A UNE IMPULSION ........................................................................................................................................... 19 7.4 .REPONSE A UNE RAMPE ................................................................................................................................................ 21

8 IDENTIFICATION D’UN MODELE DE COMPORTEMENT A PARTIR D’UNE REPONSE A UN ECHELON 23

8.1 PRINCIPE ....................................................................................................................................................................... 23 8.2 IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE NON RETARDE .................................................................................................. 24 8.3 IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE RETARDE .......................................................................................................... 25 8.4 .IDENTIFICATION PAR UN 2EME

ORDRE APERIODIQUE ....................................................................................................... 25 8.5 .IDENTIFICATION PAR UN 2EME

ORDRE PSEUDOPERIODIQUE ............................................................................................. 26

9 ANALYSE HARMONIQUE ............................................................................................................................................. 28

9.1 PRINCIPES ...................................................................................................................................................................... 28 9.2 LIEUX DE TRANSFERT .................................................................................................................................................... 29 9.3 PREMIER ORDRE ............................................................................................................................................................ 32 9.4 IDENTIFICATION D’UN MODELE DU PREMIER ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE ........................................ 33 9.5 REPONSE HARMONIQUE D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE ....................................................................................... 34 9.6 .IDENTIFICATION D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE .................................... 37


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1 Présentation SLCI : Un système linéaire est représenté sous la forme de schémas-blocs, les entrées (Causes) étant situées généralement à gauche et les sorties (Effets) à droite. L’intérieur du bloc contient une description du système étudié (Fonction de transfert).

Remarque : Dans les cas réels, k ≤ n, on parle alors de système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t). 1.1 Systèmes linéaires :

Un système est dit linéaire si la fonction qui le décrit est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de

proportionnalité et de superposition: -Proportionnalité :

Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors λs(t) est la réponse à λe(t).

-Superposition :

1.2 Système continu :

Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions à temps continu et que l’on peut donc définir ces grandeurs à tout instant. On parle aussi dans ce cas de système analogique.

La plupart des systèmes physiques, du point de vue macroscopique, sont continus. Un système informatique par contre

a besoin d’un temps non nul pour réaliser un traitement de l’information. On ne peut donc pas le qualifier de système continu, il ne peut que traiter des échantillons des signaux continus qui lui sont soumis, on parle dans ce cas de système échantillonné.

)(1 te

)(ten )(tsk

)(1 ts

SYSTEME LINEAIRE

Cause Effet Fonction de

transfert

e(t) s(t) Système linéaire

λ.e(t) λ.s(t) Système linéaire

e1(t)

e2(t) s2(t) e1(t) + e2(t) s1(t) + s2(t)

Système linéaire

Système linéaire s1(t)

Système linéaire


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1.3 Système invariant :

Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, …) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").

Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors s(t-τ) est la réponse à e(t-τ).

1.4 Systèmes non linéaires: 1.4.1 Comment traiter les non linéarités

La plus part des systèmes physiques ne sont pas linéaires sur toute la totalité de leur domaine d’application. Cependant dans de nombreux cas, ils ne sont utilisés que sur une plage réduite de leur domaine. Sous ces conditions, il est possible en général d’approcher le comportement par un modèle linéaire. Le système est dit alors linéarisé.

1.4.2 Quelques non linéarités remarquables

Les systèmes réels présentent des non linéarités. Voici quelques cas très couramment observés : Dénomination Saturation Seuil Hystérésis

Schéma

Exemples Butée mécanique,

aimantation, moteur électrique

frottement Jeux mécaniques,

matériaux (élastomère)


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2 Représentation des SLCI:

En réalité, les systèmes qu'on étudiera ne sont ni continus (point de vue microscopique), ni invariants (vieillissement), ni linéaires. En faisant des hypothèses simplificatrices, on se ramène à ce cas, c'est-à-dire à des systèmes dont le comportement peut être représenté par des équations différentielles à coefficients constants: Equation fondamentale

ad s t

dta s tn

n

n

( )... ( )+ + 0 = b

d e t

dtb e tm

m

m

( )... ( )+ + 0

Deux modèles de systèmes fondamentaux sont à étudier dans le cadre des classes préparatoires :

o les systèmes du premier ordre : τ ( )ds t

dt+ s(t) = K e(t)

o les systèmes du deuxième ordre : 2

2

( )d s t

dt + 2 m ω0

( )ds t

dt+ ω0

2 s(t) = K ω02 e(t)

o gain )()( 0 tebts =

o dérivateur dt

tdebts

)()( 1=

o intégrateur )()(

1 tedt

tdsa =

3 Entrées Types Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t): δ(t) = 0, ∀t ≠ 0 Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un temps très court.

Fonction échelon unité u(t): u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0

remarque : la réponse à l’échelon unité est appelée réponse indicielle.

Fonction rampe de pente unitaire: f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0 donc f(t) = t.u(t)

Fonction sinusoïdale: f(t) = sin ωt . u(t)

t

δ(t) t1

t

u(t)


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4 Transformation de Laplace: 4.1 Transformée de Laplace : A quoi ça sert ?

Il s’agit d’une méthode de résolution pour résoudre les systèmes d’équa diff La transformation mathématique va remplacer la résolution de l'équation différentielle par l'étude d'une fraction

polynomiale Méthode par les transformées de Laplace :

Equation différentielle avec second membre

Equation algébrique

Ecriture sous format type

Solution totale

Transformation de Laplace

Conditions initiales

Décomposition en formes « type »

Transformation de Laplace inverse

Domaine temporel

Domaine de Laplace

4.24.24.24.2 Définition: La transformée de Laplace de la fonction f(t) est notée F(p) = L [f(t)].

Avec :

• p est une variable complexe. p=a+jb • f(t) est intégrable • f(t) croit mois vite q’une exponentielle (=> convergence)

Conditions de Heaviside :

On dit qu’une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie :

t

f(t)

t

f(t)

f(t) L→ F(p) = 0

( )pte f t dt∞

−∫


Prof_sii 6 le 13/10/2013

'

''

(0 ) 0

(0 ) 0

(0 ) 0,....

f

f

f

+

+

+

=

= =

, c’est à dire si les conditions initiales sont nulles

4.3 -Propriétés de la transformée de Laplace: 4.3.1 -Propriétés générales : - Unicité: à f(t) correspond F(p) unique, à F(p) correspond f(t) unique. - Linéarité: L [f1(t) + f2(t)] = L [f1(t)] + L [f2(t)] = F1(p) + F2(p) L [λ f(t)] = λ L [f(t)] = λ F(p) -Transformée de la dérivée:

Pour cela, intégrons par partie :

[ ]

' ' '

00 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (0 ) ( ) (0 )

pt pt pt

pt

L f t e f t dt e f t e f t dt

p e f t dt f pL f t f

∞ ∞∞− − −

∞ − + +

= = −

= − = −

∫ ∫

∫

Car la fonction f(t) est intégrable. Ainsi, nous avons de même, avec la même démarche :

[ ][ ]

'

'' 2 '

( ) ( ) (0 )

( ) ( ) (0 ) (0 )

L f t pL f t f

L f t p L f t pf f

+

+ +

= −

= − −

Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel revient à une multiplication par p dans le domaine symbolique de Laplace. -Transformée de l'intégrale:

L [ ∫t

0

du)u(f ] = L [ ∫t

0

du)u(f ] = p

)0(g

p

)p(F +

+

-Théorème du retard:

L [f(t-τ)] = ∫∞

− τ−0

pt dt)t(fe = L [f(t-τ)] = e-τp F(p)

4.3.2 – Théorème de la valeur initiale: Ce théorème permet de déterminer la valeur initiale du système.

0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→ →∞

=

4.3.3 - Théorème de la valeur finale:

t

f(t) f(t-τ)

τ


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0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→∞ →

=

Remarque1: ces deux derniers résultats n'ont de sens que si les limites existent. Remarque2: faire attention au p dans les théorèmes précédents. Ne pas l’oublier ! 4.4 – Transformées de fonctions courantes: démonstration échelon unité

u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0

L [u(t)] = ∫∞

−

0

pt dt)t(ue = ∫∞

−

0

ptdte =

∞−

−

0

ptep

1 ⇒ L [u (t)] =

p

1

Démonstration exponentiel

L [e-at.u(t)] = ap

1

+

Tableau des transformées de Laplace usuelles

f(t)u(t) F(p) f(t)u(t) F(p)

( )tδ 1 sin( )ate t− ω 2 2( )p a

ω+ + ω

K K

p

cos( )ate t− ω 2 2( )

p a

p a

++ + ω

Kt 2

K

p

at ne t 1

!

( )n

n

p a +−

ate− 1

p a+

nt 1

!n

n

p +

sin( )tω 2 2p

ω+ ω

1t

e τ−

− 1

(1 )p p+ τ

cos( )tω 2 2

p

p + ω

Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t): par définition δ(t) = 0, ∀t ≠ 0 Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un temps très court.

d'où L [δ(t)] = [ ] dttet

pt∫∞

=− ⋅

00

)(δ =1

Fonction rampe de pente unitaire:

f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0 donc f(t) = t.u(t)

dt

df = u(t) ⇒ L [t.u(t)] =

p

)0(f

p

)p(U + ⇒

L [δ (t)] = 1

L [t.u(t)] = 2p

1


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Fonction sinusoïdale: f(t) = sin ωt . u(t)

F(p) = ∫∞

− ω0

pt dttsine qu'on intègre par parties en posant du = sin ωt dt et v = e-pt

=

∞−

ωω−

0

ptetcos

- ∫ω

−ωω 0

pt dtetcosp

=

ωω

+

ωωω

−ω ∫

∞−

∞−

0

pt

0

pt dtetsinp

etsin1p1

= )p(Fp1

2

2

ω−

ω

4.5 Exemple de résolution d’une équation diffétrentielle

Soit un système régi par l'équation différentielle )t(e)t(sdt

)t(ds

dt

)t(sd =++ 652

2

avec s(0) = 2, s'(0) = 2

et e(t) = 6 u(t) On applique la transformation de Laplace à cette équation:

[ ] [ ]2

2

( ) ( )5 6 ( ) ( )

d s t ds tL L L s t L e t

dt dt

+ + =

p² S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p)

p² S(p) – 2 p – 2 + 5[p S(p) – 2] + 6 S(p) =p

6

soit )6p5p(p

6p12p2)p(S

2

2

++++= =

)3p)(2p(p

6p12p2 2

++++

On décompose cette fraction en éléments simples: S(p) = 2 3

A B C

p p p+ +

+ +

Par identification, on trouve S(p) = 1 5 4

2 3p p p+ −

+ +

On retourne au domaine temporel en prenant les transformées inverses, d'où :

2 3( ) (1 5 4 ) ( )t ts t e e u t− −= + −

5 Fonction de transfert d'un système: 5.1 Généralités notation : Dans le domaine symbolique, la relation entre l'entrée et la sortie s'écrit donc La fonction de transfert d’un SLCI est dans les conditions de Heaviside :

On appelle fonction de transfert H(p) du système: H(p) = )p(E

)p(S =

0

0

......

apabpb

nn

mm

++++

Démonstration :

L [sin ωt.u(t)] = 22p ω+

ω

S(p) = H(p).E(p)

H(p) E(p) S(p)


Prof_sii 9 le 13/10/2013

Soit un système décrit par l'équation différentielle: ad s t

dta s tn

n

n

( )... ( )+ + 0 = )(...

)(0 teb

dt

tedb

k

k

k ++

d'après le théorème de la dérivée dans les conditions d'Heaviside):: L [n

n

dt

)t(sd] = pn F(p)

On applique la transformation de Laplace à l'équation différentielle:

an pn S(p) + … a0 S(p) = bm pm E(p) + … + b0 E(p)

d’où H(p) = )p(E

)p(S =

0

0

...

...

apa

bpbn

n

kk

++++

Cette relation est très utile pour calculer des réponses temporelles de systèmes à l’aide de transformée de Laplace. Il

suffit de calculer le transmittance du système, de prendre la transformée de Laplace du signal d’entrée et de faire le produit de ces deux grandeurs. Une transformée inverse donne enfin la réponse temporelle souhaitée.

La fonction de transfert représente le comportement du système et s'exprime simplement comme le rapport de deux polynômes en p (fraction rationnelle) construits à partir des coefficients de l'équation différentielle régissant son évolution. Forme canonique de la fonction de transfert: avec n = ordre du système α = classe du système K = gain statique En explicitant les racines (complexes éventuellement) de ces polynômes, H(p) peut s'écrire:

H(p) = )pp)...(pp)(pp(

)zp)...(zp)(zp(k

n21

m21

−−−−−−

les zi sont les zéros et les pi les pôles de la fonction de transfert.

5.2 Intérêt La connaissance de la fonction de transfert d’un système permet de connaître sa réponse à une sollicitation sans résolution d’équations différentielles Considérons le système moteur électrique

Son comportement est régi par les équations suivantes :

• électrique : ( ) ( ) ( )( )t

t t t

diu e R i L

dt= + ⋅ + ⋅

• électromécanique : ( ) ( )t te K ω= ⋅ et ( ) ( )t tc K i= ⋅

• mécanique :( )

( ) ( )t

t t

dJ c f

dt

ωω⋅ = − ⋅

On a donc

( ) ( )( )

( )( )

( )t t

t t t t

d dR L du K J f J f

K dt K dt dt

ω ωω ω ω

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

u(t) en V ω(t) en rad/s

( ) ( )( ) ( )

2

2

t t

t t

d df R JR Lf LJu K

K K dt K dt

ω ωω⋅ + = + ⋅ + ⋅ + ⋅

MCC u(t) en V ω(t) en rad/s

H(p) = )pa...1(p

)pb...1(K'n

'n

'm'm

++

++α


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Dans le domaine de Laplace et dans les conditions de Heaviside, cette équation devient :

( ) ( )( ) ( )21

p pU K f R JR Lf p LJ pK

= + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅Ω

D’où( )

( )( )

( ) ( )( )1

1p

pp

HU

K R Lp Jp fK

Ω= =

+ ⋅ + ⋅ +

Le système peut être représenté par

La réponse à une entrée e(t) connue est donnée en utilisant la démarche suivante :

5.3 Fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi:

)().(1

)()()(

)(pBpA

pApEpS

pH +==

5.4 Fonction de transfert en boucle ouverte: La fonction de transfert en boucle ouverte est définie comme la fonction de transfert du système lorsque le retour sur le sommateur est coupé. Elle comprend la chaîne d'action et la chaîne de mesure.

+

-

H(p)

K(p)M(p)

S(p)E(p) ε(p)FTBO

E(p) M(p)

Figure 1 : Système en boucle ouverte

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :

M(p)FTBO= =H(p).K(p)

E(p)

système e(t) s (t)

H(p)

E(p) S (p)

E(p)=L(e(t))

S(p)=H(p).E(p)

s(t)=L-1(S(p))

H(p)

U(p) Ω (p)

S(p) A(p)

B(p)

E(p)

M(p)

ε(p)


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On peut toujours se ramener à un système à retour unitaire:

)p(B

1.

)p(B).p(A1

)p(B).p(A)p(H

+=

Système réduit de fonction de transfert Hr = )p(B).p(A1

)p(B).p(A

+

On note FTBO la fonction de transfert en boucle ouverte du système soit FTBO = A.B et on étudie la fonction de transfert du système réduit soit

FTBO

FTBOFTBF

+=

1

Si on connaît la FTBO (en général simple à calculer ), la FTBF se trouve en réalisant la transformation

6 Opérations sur les schémas blocs: 6.1 Éléments de base Exemple :

Les blocs : Ils contiennent une fonction de transfert (H(p)) caractérisant la relation entre l'entrée et la sortie. Les liens : Ils représentent une grandeur (U(p)) dans le domaine de Laplace. Les points de jonction : Une jonction permet de transmettre une grandeur en entrée de plusieurs blocs ou sommateurs. Les sommateurs : Ils additionnent (ou soustraient selon le signe) les différentes entrées. Ils n'ont qu'une sortie. Les termes qui dépendent du temps deviennent les entrées et sorties des schémas blocs 6.2 Opérations sur les schémas blocs FT en série

FT en parallèle

Ecart ε U(p) 1

R Lp+ K

Ω(p)

+ -

E(p) K

1

Jp f+

I(p) C(p)

( ) ( ) ( ) ( )p p pU E R Lp I− = + ⋅

( ) ( )p pC K I= ⋅

( ) ( )p pE K= ⋅Ω

( ) ( ) ( )p pC f Jp= + ⋅Ω

H1

E1 S H2 E2

H3 E3

H

E1 S

H = H1.H2.H3

=

S(p) A(p) B(p)

E(p) 1/B(p)


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déplacement d’une jonction:

Déplacement d'un sommateur:

Cas des systèmes perturbés Ces systèmes ont deux entrées :

• l’une est maîtrisées par l’utilisateur E(p) • l’autre est imposée par le milieu extérieur Q(p)

Si Q = 0 alors on obtient S1= RHH1HHE

21

21

+⋅ et si E = 0 on obtient S2= RHH1HQ

21

2

+⋅

Le système étant linéaire, on peut appliquer le théorème de superposition ce qui donne S=S1+S2= RHH1HQ

RHH1HHE

21

2

21

21

+⋅++⋅

H1 S E

+ -

+ +

H2

Q

R

H1 S1

H2

E

S2

-

+ S H

E S

H = H1 + H2

=

H S E

E

H S E

H' S

H S E

S

H' = 1/H

H S E

H' E

H' = H

H S E1

E2

+ +

H S E1

E2

+ +

1.1.1 H' H' = H

H S E1

E2

+ +

H S E1

E2 1.1.2 H

'

+ +

H' = 1/H


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7 Systèmes linéaires fondamentaux: 7.1 Fonction de transfert premier ordre :

K = gain statique τ = constante de temps

deuxième ordre : forme canonique avec

K = gain statique ω0 = pulsation propre m = coefficient d'amortissement La transformée de Laplace de cette équation donne:

p2 S(p) + 2 m ω0 p S(p) + ω02 S(p)= K ω0

2 E(p)

d'où la fonction de transfert: 7.2 Réponse à un échelon

( )0

( ) 0 ( )L

t pt

Ee E u E

p= ⋅ → =

7.2.1 Premier ordre

S(p) = p1

K

τ+.

p

E0

Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:

S(p) = p

A +

p1

B

τ+ =E0 (

p

K -

p1

K

τ+τ

) = K E0 (p

1 -

τ+ 1

p

1)

• pente à l’origine

0tlim

→s(t) =

∞→plim p S(p) =

∞→plim

p1

K

τ+ = 0 et

0tlim

→s'(t) =

∞→plim p2 S(p) =

∞→plim

p1

pK

τ+ =

τK

⇒ pente à l'origine

• asymptote horizontale

∞→tlim s(t) =

0plim

→p S(p) =

0plim

→ p1

K

τ+ = K ⇒ asymptote horizontale de valeur K

• Rapidité : temps de réponse à 5%

au bout d’un temps 3τ , la réponse atteint 95% de la valeur finale K.E0 : temps de réponse à 5% = instant tr pour lequel s(tr) = 0,95 smax

K(1- τ− rt

e ) = 0,95K ⇒ τ− rt

e = 0,05 ⇒ tr ≈ 3τ. Le temps de réponse à 5% d’un système du premier ordre est égal à 3τ : tR5% = 3τ

Le tracé de la réponse est donné ci-dessous :

τdt

)t(ds+ s(t) = K e(t)

L τ p S(p) + S(p)= K E(p) ⇒ H(p) = p1

K

τ+

2

2

dt

)t(sd + 2 m ω0

dt

)t(ds+ ω0

2 s(t) = K ω02 e(t)

H(p) = 2

200

p1

pm2

1

K

ω+

ω+

L-1

s(t) = K E0 (1 - τ− t

e ) u(t)


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7.2.2 Deuxième ordre

p

E

pp

KpS 0

20

2

0

.21

)( ⋅++

=

ωωξ

. Le résultat dépend des racines du dénominateur

Etude des pôles de la fonction de transfert H(p) (racines du dénominateur).

20

20

20

20

2

0

...2.

.21)(

ppK

ppK

pH++

=++

=ωξωω

ωωξ

ξξξξ > 1: H(p) possède deux pôles réels ( )( )

−=−+−=

−=−−−=

22

02

12

01

1

1

ωξξω

ωξξω

p

p ( )( )21

20.

)(ωω

ω++

=pp

KpH

ξξξξ = 1: H(p) possède un pôle réel double 00 ω−=p ( )20

20.

)(ωω

+=

p

KpH

ξξξξ < 1: H(p) ne possède pas de pôle réel 20

20

20

...2

.)(

pp

KpH

++=

ωξωω

7.2.2.1 réponse en régime apériodique (ξ > 1)

( )( ) ( )

( )

( )

+−

+−−=

−=

−−=

=

++

++=

++==

2

1

1

1

12

20

0

122

20

121

20

21

0

21

020

211

.)(

1

...

)().()(

ωωωωω

ωωωωγ

ωωωωβ

α

ωγ

ωβα

ωωω

ωω

pppEKpS

avecppp

EKppp

EKpEpHpS

Après transformée de Laplace inverse :

( ) 011

1.)( .

2

.

112

20

021 >

−

−−= −− tpoureeEKts tt ωω

ωωωωω

Tracé :

Valeur initiale : 0)(lim)0(0

==→

tsst

Pente à l’origine : (lim)0(0′=′→tsst

Valeur finale : 0.)(lim)( EKtsst

==+∞+∞→

Temps de réponse à 5% (temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à ± 5% de la valeur finale) : voir courbe


Prof_sii 15 le 13/10/2013

exemple: réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=2

7.2.2.2 réponse en régime apériodique critique (ξ = 1)


Prof_sii 16 le 13/10/2013

( ) ( )

( )

++

+−=

−=−=

=

++

++=

+==

20

0

00

0

2

0002

0

200

11.)(

1

1

...

)().()(

ωω

ω

ωγβα

ωγ

ωβα

ωω

pppEKpS

avecppp

EKpp

EKpEpHpS

Après transformée de Laplace inverse : ( )[ ] 011.)( 0.00 >+−= − tpouretEKts tωω

Tracé :


==→

tsst

Pente à l’origine : 0)('lim)0('0

==→

tsst


==+∞+∞→

Dépassement : aucun


Exemple : réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=1

7.2.2.3 réponse en régime pseudo périodique (ξ < 1)


Prof_sii 17 le 13/10/2013

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−++−

−−

−+++

−=

−+++

−=

+++−=

−=−=

=

++++=

++==

220

2

0

20

2220

2

0

00

220

2

0

00

20

20

00

0

20

20

020

20

200

1.

1

11.

..1.

1.

..21.

...2

..21.)(

..2

1

1

...2

..

...2

..)().()(

ξωωξξω

ξξ

ξωωξωξ

ξωωξωξ

ωξωωξ

ωξγβα

ωξωγβα

ωξωω

pp

p

pEK

p

p

pEK

pp

p

pEKpS

avecpp

p

pEK

ppp

EKpEpHpS

en posant 200 1 ξω −=Ω et après transformée de Laplace inverse :

( ) ( )

( ) ( )( ) 0sincos11

11.

0sin1

cos1.)(

..00

2

20

..0200

0

0

>

Ω+Ω−

−−=

>

Ω

−+Ω−=

−

−

tpourettEK

tpourettEKts

t

t

ωξ

ωξ

ξξξ

ξξ

en posant :

=−

=

ϕξ

ϕξ

sin1

cos2 ⇒ ( ) 0sin

11.)( 02

..

0

0

>

+Ω

−−=

−

tpourte

EKtst

ϕξ

ωξ


==→

tsst

Pente à l’origine : 0)('lim)0('0

==→

tsst


==+∞+∞→


pour ξξξξ < 1

pseudo période : 2

0 1

.2

ξωπ−

=T

date des extréma 20 1

.

ξωπ−

= ktk k : entier naturel

distance des extréma à la valeur finale : 21

..

ξ

ξπ

−−

=k

k eD (%)


Prof_sii 18 le 13/10/2013

dépassement transitoire

0,01

0,1

1

0,01 0,1 1ξξξξ

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

%

Exemple : réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=0.3


Prof_sii 19 le 13/10/2013

7.2.2.4 Comparaison

Réponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordre

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 2 4 6 8 10 12 14 16temps réduit τ.ωτ.ωτ.ωτ.ω0000

ξξξξ=0,1

ξξξξ=0,4

ξξξξ=2

ξξξξ=0,7

ξξξξ=0,2

ξξξξ=10,95

1,05

7.3 Réponse à une impulsion e(t)=δ(t) L(δ(t))=1 7.3.1 Réponse à une impulsion pour un modèle du premier ordre

p

Kp

KpS+

⋅=⋅+=

τττ 1

11

)( d’où ττ

t

eKts−

=)(

Exemple K=1 et tau =2


Prof_sii 20 le 13/10/2013

7.3.2 Réponse à une impulsion pour un modèle du deuxième ordre

E(p) = 1 ⇒ S(p) = 200

2

20

pm2p

K

ω+ω+ω

= )p(D

K 20ω

avec D(p) de discriminant réduit ∆' = m2ω0

2 - ω02 = ω0

2(m2 – 1)

• premier cas: m>1 ⇒ D(p) a alors 2 racines réelles p1 et p2

p1 = - m ω0 - ω0 1m2 − et p2 = - m ω0 + ω0 1m2 − avec p1 < p2 < 0 La décomposition en éléments simple donne :

S(p) = )pp)(pp(

K

21

20

−−ω

= K ω02 (

)pp(

A

1− +

2pp

B

−) =

1m2

K2

0

−

ω(

1

1

p p−

−+

2pp

1

−)

d'où ⇒ système amorti (régime apériodique) : il n’y a pas de dépassement

• deuxième cas: m<1 ⇒ D(p) a alors 2 racines complexes conjuguées

p1 = - m ω0 - jω0 2m1− et p2 = - m ω0 + jω0 2m1−

De plus S(p) = )pp)(pp(

K

21

20

−−ω

On peut alors écrire S(p) sous la forme: S(p) = )m1()mp(

K22

02

0

20

−ω+ω+ω

soient ω2 = ω02 (1 – m2) et a = m ω0 ⇒ S(p) =

222

0

)ap(m1

K

ω++ω

−

ω

d'où ⇒ système sous-amorti (régime pseudo-périodique)

La pseudo-période des oscillations vaut T = 2

0 m1

2

−ω

π

s(t) = 1m2

K2

0

−

ω( tp2e - tp1e ) u(t)

s(t)

s(t) = )tm1sin(em1

K 20

tm

2

0 0 −ω−

ω ω− u(t)


Prof_sii 21 le 13/10/2013

Lorsqu'il n'y a pas d'amortissement (m = 0), on a une réponse sinusoïdale de pulsation ω0 (ce qui justifie le nom de pulsation propre donné à ω0).

• troisième cas: m=1 ⇒ D(p) a alors une racine double. L'allure de la réponse serait comparable à celle obtenue dans le cas du régime apériodique mais ce cas est impossible dans la réalité: on ne peut avoir une valeur réelle de m exactement égale à 1!

7.4 .Réponse à une rampe 7.4.1 Premier ordre

e(t) = a t u(t) ⇒ E(p) = 2p

a ⇒ S(p) =

)p1(p

Ka2 τ+

• pente à l’origine

s’(0+) = lim p S'(p)p→∞

= lim p² S(p)p→∞

= τp)p²(1

Kap² limp +∞→

= 0

• asymptote

∞→tlim s(t) tend vers K a.(t-τ ), (le terme τ.e-t/τ est pratiquement éteint au bout de 4τ ).

• s(t)

Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:

S(p) = )p1(p

Ka2 τ+

= K(2p

a-

p

aτ+

p1

a 2

τ+τ

)

• Ecart de traînage εv : Pour K=1 [ ]lim )v

te(t) s(tε

→∞= − = aτ

Pour K≠1 εv va varier

• s(t) = 0 pour t = 0

T

enveloppe exponentielle

L-1

s(t) = a K (t - τ + τ τ− t

e ) u(t)


Prof_sii 22 le 13/10/2013

s(t)

t

T

K=1ε = aT

e(t) s(t)

O T

-aT

v

s(t)

t

T

K<1

e(t)

s(t)

s(t)

t

T

e(t)s(t)

K>1

7.4.2 Deuxième ordre

Avec e(t) = a.t.u(t) , soit E p( ) = a

p², on a

n n

Ka( ) ( ) ( )

2z p²p² (1+ p+ )

²

S p H p E p

ω ω

= ⋅ =⋅

De la même manière que précédemment, la décomposition de S(p) dépend des racines du dénominateur D(p), donc de z. La réponse est fonction de s1 qui dépend de z :

• Cas z >1 : régime apériodique

La réponse temporelle est ( )s(t) = Ka t - T - T1

T - T T e T e 1 2

2 1 1

2 -t

T1 2

-t

T22−

⋅− u t( )

avec T11=

ω ( z - z² -1n ) et T2

1=ω ( z + z² -1n )

• Cas z = 1 : régime apériodique critique

( )[ ]s(t) = Ka t - T + t + 2T e -

t

T2 ⋅ u t( ) avec T = 1

nω

• Cas z < 1 : régime oscillatoire

s t Ka tz

e t u(tz t( ) sin )= ⋅ − + ⋅ +

⋅−2

ω ωωω

n n

n1

1- z²1- z²n Φ avec Φ = 2Arc tan

1- z²

z

• L’allure de la réponse temporelle ressemble à celle du premier ordre en régime permanent.

• La réponse tend asymptotiquement vers une droite d’équation Ka t2z

n

⋅ −

ω.

• L’écart de traînage εV tend vers l’infini lorsque K est différent de 1 : le système ne suit pas.

• L’écart de traînage εv tend vers 2za

nω lorsque K=1.

Il augmente proportionnellement à l’amortissement et inversement proportionnellement à la pulsation non amortie.


Prof_sii 23 le 13/10/2013

t

e(t)s(t)

z<1 z=1 z>1

y(t) = Ka(t- )2zω

=a t u(t)

0

n

8 Identification d’un modèle de comportement à partir d’une réponse à un échelon

8.1 Principe Lorsque les lois de comportement ne sont pas connues ou trop complexes, on peut procéder à des identifications de courbes de réponse.

Lorsque le choix du modèle est effectué, il faut identifier les différents paramètres

SLCI1

SLCI2

SLCI3

SLCI4

s1(t)

e(t) t

s2(t)

t

s3(t)

t

s4(t)

t

t

Modèle premier ordre non retardé

Modèle premier ordre retardé

Modèle deuxième ordre aperiodique

Modèle deuxième ordre pseudo periodique

système Réponse du système Modèle qui peut convenir entrée


Prof_sii 24 le 13/10/2013

8.2 Identification d’un premier ordre non retardé

La réponse d’un système du 1ier ordre à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation : ( ) ( )tueEKtst

−=

−τ1. 0 où

u(t) représente la fonction échelon unitaire.

1) Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

2) Détermination de la constante de temps ττττ :

- Par la tangente à l’origine

τ0.EK

pente ou en tout point de la courbe réponse .

Appelons y(t) la fonction qui définie la tangente à la courbe à l’instant t1 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

−+−=+−=

−−ττ

τ

11

1..

' 010

111

tt

eEKtteEK

tstttsty

Calculons l’instant (t2) ou cette droite coupe l’assymptôte K.E0 : =02.EKty • Par le temps de réponse à 5% : τ.3%5 ≈Tr

si la réponse est trop perturbée pour tracer la tangente ou évaluer le temps de réponse on peut procéder comme ci-dessous :

on trace EKTtsc=+ en fonction de ()EKtsc=

⇒ ( ) ( )tseeeEKeeEKEKTts c

TTtTt

c .....1.. 000τττττ

−−−−−==

−−=+

Il s’agit d’une droite de coefficient directeur τT

e−


Prof_sii 25 le 13/10/2013

Pente a ⇒

a

T

ln−=τ

8.3 Identification d’un premier ordre retardé La réponse d’un système du 1ier ordre retardé à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) ( )TtueEKtsTt

−

−=

−−

.1. 0τ où u(t-T) représente l’échelon unitaire retardé de l’instant T.

8.4 .Identification par un 2ème ordre apériodique La réponse d’un système du 2ème ordre apériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) )(1

1.)( 2121

120 tueeEKts

tt

⋅

−

−−=

−−ττ ττ

ττ on supposera 12 ττ >


Prof_sii 26 le 13/10/2013

Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

Détermination des constantes de temps τ1τ1τ1τ1 et τ2τ2τ2τ2:

• Si τ1 << τ2 on fera le choix d’une modélisation par un premier ordre retardé.

• A l’instant t1 (bien après le point d’inflexion) on peut déterminer τ2 par l’étude de la tangente à la courbe et τ1 en

mesurant la sortie ( )

−−≈

−2

1

12

201 1. τ

τττ t

eEKts

• Si la réponse est perturbée, on peut utiliser une méthode similaire à celle employée pour le 1ier ordre (mise en œuvre plus délicate et résultats moins nets). Dès qu'on s'éloigne de t = 0, le système du second ordre est comparable à un premier ordre. Au début de l'évolution, le premier ordre réagit plus vite (pente à l'origine non nulle 8.5 .Identification par un 2ème ordre pseudopériodique La réponse d’un système du 2ème ordre pseudopériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) ( )tuz

ztz

z

eEKts

tz

.1

arctan1sin1

1.2

202

..

0

0

−+−−

−=−

ωω

.

1.1.2.1.1.1.1.1

1.1.2.1.1.1.1.2


Prof_sii 27 le 13/10/2013

Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

Détermination du coefficient d’amortissement z : ( )%121

.

z

z

eD −−

=π

Détermination de la pulsation propre ωωωω0 : 2

0 1

.2

zT

−=

ωπ


Prof_sii 28 le 13/10/2013

9 Analyse harmonique 9.1 Principes

L’analyse harmonique d’un système consiste à lui appliquer une entrée e(t) sinusoïdale,

notée 0( ) sin( )e t E t= ω .

Vocabulaire : 0E est l’amplitude du signal, d’unité celle de e(t), positive

ωest la pulsation en rad/s ou avec 1

2 2fT

ω = π = π , définie en donnant la fréquence

f en Hz ou la période T en seconde (s)

Dans le cas d’un système stable,

une fois le régime permanent atteint, la sortie s(t) est également sinusoïdale, de même pulsation. On note alors :

0( ) sin( )s t S t= ω + ϕ

Pour plus de simplicité, comme en physique, nous introduisons les notations

complexes :

0

( )0

( )

( )

j t

j t

e t E e

s t S e

ω

ω +ϕ

=

=avec

( ) Im( ( ))

( ) Im( ( ))

e t e t

s t s t

=

=

Nous avons alors clairement :

0

0

( )

( )jSs t

eEe t

ϕ=

L’analyse harmonique s’intéresse donc aux deux quantités :

* 0

0

( )

( )

Ss t

Ee t= , rapport des amplitudes

*( )

arg( )( )

s t

e t= ϕ , déphasage entre la sortie et l’entrée.

Rappel : Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients constants de la forme suivante :

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ).. ( ) .. ( )

n m

n m

d s t ds t d e t de ta a a s t b b b e t

dt dt dt dt+ + + = + + + .

Les systèmes physiques vérifient toujours n m≥ En remplaçant les fonctions temporelles par les fonctions complexes, on trouve

e(t)

s(t)

e(t) s(t) système


Prof_sii 29 le 13/10/2013

0 1

0 1

( ) ... ( )( )

( ) ... ( )

mm

nn

b b j b jH j

a a j a j

+ ω + + ωω =+ ω + + ω

=)()(

tets

conclusion: Lorsqu’un système stable est sollicité par un signal sinusoïdal, la sortie est également

sinusoïdale, les pulsations sont les mêmes et : Le rapport des amplitudes est le module de la fonction de transfert

harmonique : 0

0

( )S

H jE

= ω

Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est l’argument de la fonction de transfert harmonique : arg( ( ))H jϕ = ω

9.2 Lieux de transfert

Les lieux de transfert sont des représentations graphiques de ( )0

0

( ) ( ) jSH j e

Eϕ ωω = ω

9.2.1 Lieu de Nyquist (information)

C’est la représentation dans le plan complexe de ( )H jω .

9.2.2 Lieu de Black (information) Ce diagramme en coordonnées cartésiennes présente en abscisse la phase ( )ϕ ω en

degrés et en ordonnée le gain GdB en décibels. Comme le lieu de Nyquist, le lieu de Black doit être gradué en fréquence ou en pulsation.

Re( ( ))H jω

Im( ( ))H jω

ω = ∞ 0ω =

ω

ϕ G


Prof_sii 30 le 13/10/2013

gain

phase

10 dB

20 dB

0 dB

-10 dB

-20 dB

-30 dB

-40 dB

-50 dB

ω = 0

ω = 10

ω = 100ω = 1

ω = 1000

-90°-180°

9.2.3 Lieux de Bode (fondamental) Il s’agit de 2 courbes graduées, dont les abscisses sont des axes gradués en log, c’est à

dire log( )ω , qui donnent :

Le gain ( )H jω exprimé en dB, c’est à dire :

20log( ( ) )dBG H j= ω

La phase arg( ( ))H jω , exprimée en degrés ou en radians Une exploitation complète nécessitant une vision simultanée des deux courbes, elles

figurent sur un même graphique.

Remarque Intérêt de l’échelle log • Un des intérêts de l’utilisation du logarithme pour le module est que le produit des modules est

remplacé par une somme. Par conséquent la représentation d’une fonction de transfert complexe pourra être effectuée facilement à partir d’un produit de termes élémentaires.

• De la même manière, l’argument sera obtenu facilement en faisant la somme des arguments des termes élémentaires.

• L’axe des abscisses est gradué sur une échelle logarithmique pour simplifier la représentation de la courbe de gain (termes en Log(ω)) et pour pouvoir représenter une grande plage de mesure.


Prof_sii 31 le 13/10/2013

courbe de gain

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0,01 0,1 1 10 100

ωωωω (rad/s)

Gai

n (d

b)

Une décade correspond à une multiplication par 10 en pulsation.

Propriétés des diagrammes de Bode

Produit de fonctions de transfert :

Supposons que ( ) ( ) ( )H j F j G jω = ω ω alors : ( ) ( ) ( )H j F j G jω = ω ω

En conséquence, nous avons :

20log( ( ) 20log( ( ) 20log( ( )H j F j G jω = ω + ω

Les courbes de gain s’additionnent. arg( ( )) arg( ( )) arg( ( ))H j F j G jω = ω + ω

Les courbes de phase s’additionnent.

Tracés asymptotiques :

Ce diagramme est dérivé du diagramme de Bode en remplaçant les courbes par leurs approximations asymptotiques. Plus clairs, ces diagrammes permettent d'apprécier globalement le comportement du système modélisé à 10 % ou 20 % près: compte tenu des imprécisions sur les valeurs réelles des paramètres du modèle, une telle précision s'avère souvent suffisante. Les calculs se font pour 0ω ω ; 0ω = ω ; 0ω ω

décade


Prof_sii 32 le 13/10/2013

0 dB

10 dB

20 dB

-10 dB

-20 dB

-30 dB

0°

-90°

-180°

ω rd/s

courbe des gains

courbe des phases

10 100 1000 10000

courbe asymptotique

courbe asymptotique

9.3 Premier ordre

Reprenons ( )1

KH p

p=

+ τ. Nous avons alors

0

( )1 1

K KH j

j jω = = ω+ τ ω +

ω

Tracé réel

En général il est long et fastidieux. Des logiciels le font très bien (Voir Didacsyde) Si l’on veut tracer le lieu réel (courbes lissées sur les tracés ci-dessus), on exprime

analytiquement le gain et la phase de la fonction de transfert harmonique.

2

0

2

0

( )

1 ( )

20 log 10log(1 ( ) )dB

KH j

G K

ω =ω+ω

ω= − +ω

et d’autre part :

0 0

arg( ( )) arg(1 ) arctan( )H j jω ωω = − + = −ω ω

ω/ω/ω/ω/ωωωωn Fdb ϕϕϕϕ Remarques

→ 0 → 20LogK → 0° asymptotes basse fréquence = 1 20LogK - 3db -45° pulsation de coupure

→ +∞ →20LogK-20Log(ω/ωn) → -90° asymptote haute fréquence

Remarque :


Prof_sii 33 le 13/10/2013

Les deux asymptotes à la courbe de gain se coupent à l’abscisse ω = ωn

la courbe réelle passe par les points suivants : le tracé de la phase est symétrique par rapport au point (ωn,-45°);

la tangente au point de symétrie coupe asymptote 0° à ω = ωn /4,8 et par symétrie asymptote -90° à ω = 4,8ωn ;

le diagramme asymptotique peut être amélioré en traçant la tangente au point d’inflexion.

9.4 Identification d’un modèle du premier ordre à partir de la réponse harmonique 9.4.1

• L’asymptote horizontale permet de trouver K


Prof_sii 34 le 13/10/2013

• La pulsation de coupure permet de trouver .τ.( τωω 10==C ).On a Φ(−45°)=ω0

9.5 Réponse harmonique d’un modèle du deuxième ordre

Reprenons 2

20 0

( )2

1

KH p

m pp

=+ +

ω ω

. Nous avons alors 2

20 0

( )2

1

KH j

mj

ω =ω+ ω −

ω ω

.

2 22

20 0

( )2

1

KH j

mω =

ω ω− + ω ω

et ( ) 02

20

2

( ) tan1

m

Arg H j Arc

ω ω ω = −

ω − ω

Il existe une résonance pour 2

2m≤

Démonstration : 12

2 22

20 0

( )2

1

KH j K D

m

−ω = = ⋅

ω ω− + ω ω

Il existe un maxima si la dérivée '

( )H jω s’annule.

'1 3

2 23

2

''

K DK D K D D

D

− − ⋅⋅ = ⋅ ⋅ =

cette dérivée s’annule pour ( ) ( )'22

' 2 2 2 20 02

0 0

0 1 2 2 2D m mω

ω ω = = − + = ω ω + ω − ω ω ω

A( ) en dB ω

ω

ω

Φ en degrés

O

-45°

-90°

20 log K 3

diagramme asymptotique

diagramme de gain

20 log K - 20 log ω/ω0

diagramme de phase

diagramme asymptotique

0

τωω 10==C

τωω 10==C


Prof_sii 35 le 13/10/2013

Il existe un maxima pour 20 1 2mω ω= − c’est à dire pour

2

2m≤

Construction :

→→→→ 0

( )1221

)(

2

2

−

+

≈

ξωω

ω

n

KjF

8 si ξ > 22

→ε

ω+

≈1

)(K

jF la courbe est au-dessous de l'asymptote

8 si ξ < 22

→ε

ω−

≈1

)(K

jF la courbe est au-dessus de l'asymptote

ω ω ω ω →→→→ + + + +∞∞∞∞ 2

)(

≈

n

KjF

ωω

ω

8

−=

n

LogLogKdbFωω

4020 asymptote haute fréquence (-40db/décade)

Cas où 2

2>m

ϕ

dBG

logω

logω

0ω

20logK -40 dB / décade

2

π−

−π

20 log2

K

m


Prof_sii 36 le 13/10/2013

Cas où 2

2≤m

• grande. • Pour z donné, la fréquence de coupure ωC et donc la bande passante, sont d’autant plus grandes que la fréquence propre ωp

est grande. • Rapidité et bande passante évoluent dans le même sens.

Tracé pour ξξξξ ≥≥≥≥ 1

La fonction de transfert présente deux pôles réels :

)+)+=

21

1(1()(

ωω

ωωω

jj

KjF

On peut considérer que le système du deuxième ordre est équivalent à la superposition de deux systèmes du premier ordre. Dans le plan de BODE le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés des deux systèmes du premier ordre.

−

−=

+1−

+1−=

+1

+1

=22

22

21

21

21

arctanarctan

10102020

ωω

ωω

ϕ

ωω

ωω

ωω

ωω

LogLogLogKK

LogFdb

dBG

logω

0ω

20logK -40 dB / décade

2max 0 1 2ω = ω − m

220log( )

2 1−K

m m


Prof_sii 37 le 13/10/2013

9.6 .Identification d’un modèle du deuxième ordre à partir de la réponse harmonique

• L’asymptote horizontale permet de trouver K • Le diagramme de phase permet de trouver ω0. On a Φ(−90°)=ω0 • Le diagramme de gain permet de trouver ξ

Cas où 22>ξ : 20log

2dB

KG

m= pour 0ω = ω

Cas où 22≤ξ :

2max1.2 ξξ −

= KA pour nr ωξω 221−=


Prof_sii 38 le 13/10/2013

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