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PCSI Les Ulis COURS Systèmes Linéaires Continus Invariants Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Page 1 Modélisation des Systèmes Linéaires Continus Invariants SOMMAIRE 1 INTRODUCTION A L’AUTOMATISME ET AUX SYSTEMES ASSERVIS 2 1.1 INTRODUCTION A LAUTOMATISME 2 1.2 NOTION DE COMMANDE 2 1.3 SYSTEME ASSERVI 2 1.4 PERFORMANCES DUN SYSTEME ASSERVI 3 2 PRESENTATION SLCI : 5 2.1 SYSTEMES LINEAIRES : 5 2.2 SYSTEME CONTINU : 5 2.3 SYSTEME INVARIANT : 6 2.4 SYSTEMES NON LINEAIRES: 6 3 REPRESENTATION DES SLCI: 6 4 ENTREES TYPES 7 5 TRANSFORMATION DE LAPLACE: 7 5.1 TRANSFORMEE DE LAPLACE : A QUOI ÇA SERT ? 7 5.2 DEFINITION: 8 5.3 PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE: 8 5.4 TRANSFORMEES DE FONCTIONS COURANTES: 9 6 FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME: 11 6.1 GENERALITES 11 6.2 INTERET ERREUR ! SIGNET NON DEFINI. 6.3 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE D'UN SYSTEME ASSERVI: 12 6.4 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE: 12 7 OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS: 13 7.1 ÉLEMENTS DE BASE 13 7.2 FONCTION DE TRANSFERT EN SERIE: 13 7.3 FONCTION DE TRANSFERT EN PARALLELE: 14 7.4 DEPLACEMENT D'UNE JONCTION: 14 7.5 DEPLACEMENT D'UN SOMMATEUR: 14 7.6 CAS DES SYSTEMES PERTURBES 14 8 SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX: 15 8.1 FONCTION DE TRANSFERT 15 8.2 REPONSE A UN ECHELON 15 8.3 REPONSE A UNE IMPULSION 20 8.4 .REPONSE A UNE RAMPE 21 9 IDENTIFICATION D’UN MODELE DE COMPORTEMENT A PARTIR D’UNE REPONSE A UN ECHELON 23 9.1 PRINCIPE 23 9.2 IDENTIFICATION DUN PREMIER ORDRE NON RETARDE 23 9.3 IDENTIFICATION DUN PREMIER ORDRE RETARDE 24 9.4 IDENTIFICATION PAR UN 2 EME ORDRE APERIODIQUE 25 9.5 IDENTIFICATION PAR UN 2 EME ORDRE PSEUDOPERIODIQUE 26 10 ANALYSE HARMONIQUE 27 10.1 PPRINCIPES 27 10.2 LIEUX DE TRANSFERT 28 10.3 PREMIER ORDRE 31 10.4 IDENTIFICATION DUN MODELE DU PREMIER ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 32 10.5 REPONSE HARMONIQUE DUN MODELE DU DEUXIEME ORDRE 33 10.6 IDENTIFICATION DUN MODELE DU DEUXIEME ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 36

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Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Page 1

Modélisation des Systèmes Linéaires Continus Invari ants SOMMAIRE

1 INTRODUCTION A L’AUTOMATISME ET AUX SYSTEMES ASSERVIS 2

1.1 INTRODUCTION A L’AUTOMATISME 2 1.2 NOTION DE COMMANDE 2 1.3 SYSTEME ASSERVI 2 1.4 PERFORMANCES D’UN SYSTEME ASSERVI 3

2 PRESENTATION SLCI : 5

2.1 SYSTEMES LINEAIRES : 5 2.2 SYSTEME CONTINU : 5 2.3 SYSTEME INVARIANT : 6 2.4 SYSTEMES NON LINEAIRES: 6

3 REPRESENTATION DES SLCI: 6

4 ENTREES TYPES 7

5 TRANSFORMATION DE LAPLACE: 7

5.1 TRANSFORMEE DE LAPLACE : A QUOI ÇA SERT ? 7 5.2 DEFINITION: 8 5.3 PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE: 8 5.4 TRANSFORMEES DE FONCTIONS COURANTES: 9

6 FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME: 11

6.1 GENERALITES 11 6.2 INTERET ERREUR !

SIGNET NON DEFINI. 6.3 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE D'UN SYSTEME ASSERVI: 12 6.4 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE: 12

7 OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS: 13

7.1 ÉLEMENTS DE BASE 13 7.2 FONCTION DE TRANSFERT EN SERIE: 13 7.3 FONCTION DE TRANSFERT EN PARALLELE: 14 7.4 DEPLACEMENT D'UNE JONCTION: 14 7.5 DEPLACEMENT D'UN SOMMATEUR: 14 7.6 CAS DES SYSTEMES PERTURBES 14

8 SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX: 15

8.1 FONCTION DE TRANSFERT 15 8.2 REPONSE A UN ECHELON 15 8.3 REPONSE A UNE IMPULSION 20 8.4 .REPONSE A UNE RAMPE 21

9 IDENTIFICATION D’UN MODELE DE COMPORTEMENT A PARTIR D’UNE REPONSE A UN ECHELON 23

9.1 PRINCIPE 23 9.2 IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE NON RETARDE 23 9.3 IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE RETARDE 24 9.4 IDENTIFICATION PAR UN 2

EME ORDRE APERIODIQUE 25

9.5 IDENTIFICATION PAR UN 2EME

ORDRE PSEUDOPERIODIQUE 26

10 ANALYSE HARMONIQUE 27

10.1 PPRINCIPES 27 10.2 LIEUX DE TRANSFERT 28 10.3 PREMIER ORDRE 31 10.4 IDENTIFICATION D’UN MODELE DU PREMIER ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 32 10.5 REPONSE HARMONIQUE D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE 33 10.6 IDENTIFICATION D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 36

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1 Introduction à l’automatisme et aux systèmes asservis 1.1 Introduction à l’automatisme Différents types d’automatismes : Systèmes binaires, systèmes continus Dans le cadre du programme, deux principales sources d’informations conduisant à des parties commandes différentes et donc des modélisations différentes seront étudiées :

Entrées - Sorties Logique (0 ou 1) Analogique

Système combinatoire Système séquentiel Système asservi

Relation entrées sorties A une combinaison de l’état des entrées correspond une unique combinaison de l’état des sorties (indépendamment du temps)

A une combinaison de l’état des entrées correspond plusieurs combinaisons de l’état des sorties (indépendamment du temps)

La sortie du système évolue de façon continue en fonction du niveau de la grandeur d’entrée

1.2 Notion de commande Système de commande en chaîne directe :

Un système fonctionne en chaîne directe s’il n’y a pas de contrôle sur la manière dont la consigne a été exécutée. Perturbation :

Une perturbation est une autre cause agissant sur le système. C’est une grandeur d’entrée qui n’est pas contrôlée. Système de commande en chaîne fermée :

Un système fonctionne en boucle fermée si une mesure de la sortie est réalisée afin de la comparer à la consigne et d’agir en conséquence.

1.3 Système asservi Définition d’un système asservi

Un système asservi est un système bouclé dans lequel la grandeur de retour est comparée à la grandeur d’entrée par

élaboration d’un signal, appelé écart. Ce signal écart est adapté et amplifié afin de commander la partie opérative. Un système asservi peut être défini en trois points :

• C’est un système à retour : L’évolution de la grandeur de sortie est surveillée au moyen d’un capteur qui la transforme en une grandeur image appelée retour. Cette grandeur image doit être de la même nature que la grandeur d’entrée.

• C’est un système générateur d’écart : La grandeur de retour, image de la sortie, est comparée à la grandeur d’entrée par élaboration de la différence ou écart.

• C’est un système amplificateur : L’écart est une grandeur d’autant plus faible que la sortie est proche de l’entrée et devient alors insuffisant pour maintenir un signal de commande en sortie. L’écart est donc, dans la plupart des cas, amplifié et adapté.

Structure d’un système asservi Un système asservi peut être modélisé par le schéma–bloc suivant :

Figure 1 : Schéma bloc d'un système asservi

Ecart ε Consigne Correcteur

Capteur

Actionneur

Effecteur

+

-

mesure

Sortie

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Régulateur ou système suiveur

Une REGULATION est un système asservi destiné à maintenir en sortie une grandeur constante pour une consigne constante (régulation en température d’une enceinte, régulation en vitesse d’un moteur).

Un Système SUIVEUR, est un système asservi dont la consigne varie dans le temps. L’objectif de ce système est

d’ajuster en permanence le signal de sortie au signal d’entrée. (radar de poursuite, fusée,…).

1.4 Performances d’un système asservi En fonction du régime du système (transitoire ou permanent), il est possible de définir quatre critères permettant de mesurer les performances d’un système asservi suivant le point de vue de l’utilisateur. Précision La précision qualifie l’aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l’écart entre la valeur visée et la valeur effectivement atteinte par la grandeur de sortie. L’écart éventuel s’exprime dans la même unité que la grandeur de sortie.

Ecart statique εεεεs

O

t

eoécarte(t)

s(t)

εεεεs

Le système est en mode régulation (entrée fixe). On

définit alors l'écart statique εεεεs comme l'écart entre la

consigne fixe e0 et la réponse s(t) en régime permanent.

Ecart dynamique εεεεv

t

O

εεεεv Ecart

e(t)s(t)

Encore appelé écart de traînage ou écart de poursuite, il représente la différence entre la consigne variable et la réponse en régime permanent.

Rapidité La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur d’entrée.

Cependant la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique on retient alors comme principal critère d’évaluation de la rapidité d’un système, le temps de réponse à n% (en pratique le temps de réponse à 5%). C’est le temps mis par le système pour atteindre sa

valeur de régime permanent à ±5% près et y rester.

t

s

t n%O

1

1+

1-

n%

n%

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Stabilité Un système est instable si la grandeur de sortie ne converge pas vers une valeur constante pour une consigne constante et en absence de toute perturbation.

Oscillant non amorti - Comportement INSTABLE

Non oscillant – Comportement INSTABLE

bien amorti ; stable

Amortissement L’amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie. Plus ces oscillations s’atténuent rapidement, plus le système est amorti.

système peu amorti

système fortement amorti

système bien amorti

Pour caractériser la qualité de l’amortissement on peut retenir deux critères :

• le taux de dépassement, qui caractérise l’amplitude maximale des oscillations,

• le temps de réponse à 5 % qui correspond au temps de stabilisation du système.

Il est à noter que pour certaines applications (l’usinage par exemple) un comportement oscillant n’est pas autorisé et tout dépassement est inacceptable.

Comportement d’un système asservi Ces différents aspects, précision, rapidité, stabilité et amortissement, sont étroitement liés. En fait, la rapidité d’un processus est limitée par l’inertie propre du système. On ne peut donc espérer rendre plus rapide le processus qu’en agissant sur la loi de commande.

Par exemple, si la loi de commande est de la forme u = K.ε, en prenant K très grand la réaction sera très rapide, mais peut-être disproportionnée, d’où un risque d’instabilité du système. C’est ce qui peut se passer lorsque l’on donne des coups de volants trop brusques pour rectifier la trajectoire d’un véhicule subissant des rafales de vent latéral. On s’aperçoit également que la précision est liée à l’intensité de la commande. En supposant le système stable, si la commande est trop molle (K petit), l’écart a tendance à s’accroître (le véhicule a tendance à s’éloigner de la trajectoire désirée), par contre si la commande est plus ferme (K grand), l’écart diminue (les perturbations dues au vent sont "gommées"). Il faudra chercher un bon compromis puisque la boucle de retour du système asservi permet d’améliorer la précision et la rapidité mais peut nuire à la stabilité. Ceci nécessitera l’introduction dans la chaîne d’éléments « correcteurs » pour obtenir les performances souhaitées

t

s

t 5%O

1

D

0.951.05

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2 Présentation SLCI : Un système linéaire est représenté sous la forme de schémas-blocs, les entrées (Causes) étant situées généralement à gauche et les sorties (Effets) à droite. L’intérieur du bloc contient une description du système étudié (Fonction de transfert).

Remarque : Dans les cas réels, k ≤ n, on parle alors de système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t).

2.1 Systèmes linéaires :

Un système est dit linéaire si la fonction qui le décrit est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de proportionnalité et de superposition:

-Proportionnalité :

Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors λs(t) est la réponse à λe(t).

-Superposition :

2.2 Système continu : Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions à temps continu et que l’on peut donc définir ces grandeurs à tout instant. On parle aussi dans ce cas de système analogique. La plupart des systèmes physiques, du point de vue macroscopique, sont continus. Un système informatique par contre a besoin d’un temps non nul pour réaliser un traitement de l’information. On ne peut donc pas le qualifier de système continu, il ne peut que traiter des échantillons des signaux continus qui lui sont soumis, on parle dans ce cas de système échantillonné.

)(1 te

)(ten )(tsk

)(1 ts

SYSTEME LINEAIRE

Cause Effet Fonction de transfert

e(t) s(t) Système linéaire

λ.e(t) λ.s(t) Système linéaire

e1(t)

e2(t) s2(t) e1(t) + e2(t) s1(t) + s2(t)

Système linéaire

Système linéaire s1(t)

Système linéaire

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2.3 Système invariant : Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, …) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").

Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors s(t-τ) est la réponse à e(t-τ).

2.4 Systèmes non linéaires: 2.4.1 Comment traiter les non linéarités La plupart des systèmes physiques ne sont pas linéaires sur toute la totalité de leur domaine d’application. Cependant dans de nombreux cas, ils ne sont utilisés que sur une plage réduite de leur domaine. Sous ces conditions, il est possible en général d’approcher le comportement par un modèle linéaire. Le système est dit alors linéarisé.

2.4.2 Quelques non linéarités remarquables Les systèmes réels présentent des non linéarités. Voici quelques cas très couramment observés :

Dénomination Saturation Seuil Hystérésis

Schéma

Exemples Butée mécanique, aimantation, moteur électrique

Frottement Jeux mécaniques, matériaux (élastomère)

3 Représentation des SLCI: En réalité, les systèmes qu'on étudiera ne sont ni continus (point de vue microscopique), ni invariants (vieillissement), ni linéaires. En faisant des hypothèses simplificatrices, on se ramène à ce cas, c'est-à-dire à des systèmes dont le comportement peut être représenté par des équations différentielles à coefficients constants:

dta s tn

n

n

( )... ( )+ + 0 = b

d e t

dtb e tm

m

m

( )... ( )+ + 0

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Deux modèles de systèmes fondamentaux sont à étudier dans le cadre des classes préparatoires :

o les systèmes du premier ordre : τ( )ds t

dt+ s(t) = K e(t)

o les systèmes du deuxième ordre :

2

2

( )d s t

dt + 2 m ω0

( )ds t

dt+ ω0

2 s(t) = K ω0

2 e(t)

4 Entrées Types

Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t):

δ(t) = 0, ∀t ≠ 0 Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un temps très court.

Fonction échelon unité u(t):

u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0

remarque : la réponse à l’échelon unité est appelée réponse indicielle.

Fonction rampe de pente unitaire:

f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0 donc f(t) = t.u(t)

Fonction sinusoïdale:

f(t) = sin ωt . u(t)

5 Transformation de Laplace:

5.1 Transformée de Laplace : A quoi ça sert ? Il s’agit d’une méthode de résolution plus simple pour résoudre les équations différentielles : Afin de simplifier l'étude du modèle dynamique, on a recours à une transformation mathématique qui va remplacer la résolution de l'équation différentielle par l'étude d'une fraction polynomiale : la transformée de Laplace. Méthode classique :

t

f(t)

t

f(t)

t

u(t)

t

δ(t) t1

Equation différentielle avec second membre

Equation sans second

membre

Composante transitoire

Equation particulière

Composante permanente

Solution totale

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Méthode par les transformées de Laplace :

Cette transformation va permettre de simplifier l’équation différentielle qui régit le système. Remarque : Dans la pratique, on ne calcule que les transformées de Laplace de fonctions causales c'est-à-dire telles que f(t) = 0 pour t < 0. Ces fonctions f représentent des grandeurs physiques: intensité, température, effort, vitesse,…

5.2 Définition: La transformée de Laplace de la fonction f(t) est notée F(p) = L [f(t)]. Avec :

• p est une variable complexe. p=a+jb

• f(t) est intégrable

• f(t) croit mois vite q’une exponentielle Conditions de Heaviside :

On dit qu’une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie :

'

''

(0 ) 0

(0 ) 0

(0 ) 0,....

f

f

f

+

+

+

=

= =

, c’est à dire si les conditions initiales sont nulles

5.3 Propriétés de la transformée de Laplace: 5.3.1 Propriétés générales : - Unicité: à f(t) correspond F(p) unique, à F(p) correspond f(t) unique. - Linéarité: L [f1(t) + f2(t)] = L [f1(t)] + L [f2(t)] = F1(p) + F2(p)

L [λ f(t)] = λ L [f(t)] = λ F(p)

-Transformée de la dérivée:

Pour cela, intégrons par partie :

[ ]

' ' '

00 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (0 ) ( ) (0 )

pt pt pt

pt

L f t e f t dt e f t e f t dt

p e f t dt f pL f t f

∞ ∞∞− − −

∞ − + +

= = −

= − = −

∫ ∫

Car la fonction f(t) est intégrable. Ainsi, nous avons de même, avec la même démarche :

[ ][ ]

'

'' 2 '

( ) ( ) (0 )

( ) ( ) (0 ) (0 )

L f t pL f t f

L f t p L f t pf f

+

+ +

= −

= − −

f(t) L→ F(p) =

0

( )pte f t dt∞

−∫

Equation différentielle avec second membre

Equation algébrique

Ecriture sous format

type Solution totale

Transformation de Laplace

Conditions initiales

Décomposition en formes « type »

Transformation de Laplace inverse

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Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel par p dans le domaine symbolique de Laplace. -Transformée de l'intégrale:

L [ ∫t

0

du)u(f ] = L [ ∫t

0

du)u(f ] = p

)p(F +

-Théorème du retard:

5.3.2 Théorème de la valeur initiale: Ce théorème permet de déterminer la valeur initiale du système.

0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→ →∞

=

5.3.3 Théorème de la valeur finale:

0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→∞ →

=

Remarque1: ces deux derniers résultats n'ont de sens que si les limites existent.Remarque2: faire attention au p dans les théorèmes précédents. Ne pas l’oublier 5.3.4 Transformée de Laplace inverse :

La transformation inverse de Laplace est définie par une intégrale de contour que nous n’aborderons pas tant elle

dépasse le cadre de ce cours. Nous nous contenterons d’une méthode beaucoup plus élémentaire car, dans la pratique, il est

rare d’avoir à recourir au calcul de cette intégrale. Les transformées de Laplace, rencontrées dans la résolution d’équations

différentielles linéaires à coefficients constants, sont des fractions rationnelles en

fractions rationnelles en éléments simples et d’identifier chaque terme obtenu à des transformées de fonctions usuelles

La transformation de Laplace étant linéaire, la transformation inverse d’une fraction rationnelle est tout

simplement égale à la somme des transformations

cette fraction.

5.4 Transformées de fonctions courantes: Concrètement, pour pratiquer la transformée de Laplace d’une fonction courante, on ne la recalcule pas à chaque fois, mais on se réfère au document qui suit, dans lequel figurent la plupart des transformées de Laplace utilisées couramment. Remarque u(t), la fonction échelon, est une fonction telle que

Hypothèse qui nous permet d’être sûr de travailler dans R+, condition nécessairLaplace.

t

f(t) f(t-τ)

τ

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Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel par p dans le domaine symbolique de Laplace.

Transformée de l'intégrale:

p

)0(g +

+

L [f(t-τ)] = ∫∞

− τ−0

pt dt)t(fe = L

Ce théorème permet de déterminer la valeur initiale du système.

ces deux derniers résultats n'ont de sens que si les limites existent. dans les théorèmes précédents. Ne pas l’oublier !

La transformation inverse de Laplace est définie par une intégrale de contour que nous n’aborderons pas tant elle

dépasse le cadre de ce cours. Nous nous contenterons d’une méthode beaucoup plus élémentaire car, dans la pratique, il est

ourir au calcul de cette intégrale. Les transformées de Laplace, rencontrées dans la résolution d’équations

différentielles linéaires à coefficients constants, sont des fractions rationnelles en s. Il nous suffit donc de

es en éléments simples et d’identifier chaque terme obtenu à des transformées de fonctions usuelles

La transformation de Laplace étant linéaire, la transformation inverse d’une fraction rationnelle est tout

simplement égale à la somme des transformations inverse de chaque élément de la décomposition en éléments simples de

Transformées de fonctions courantes:

Concrètement, pour pratiquer la transformée de Laplace d’une fonction courante, on ne la recalcule pas à chaque fois, mais éfère au document qui suit, dans lequel figurent la plupart des transformées de Laplace utilisées couramment.

u(t), la fonction échelon, est une fonction telle que

Hypothèse qui nous permet d’être sûr de travailler dans R+, condition nécessaire pour l’application des transformées de

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Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel revient à une multiplication

L [f(t-τ)] = e-τp F(p)

La transformation inverse de Laplace est définie par une intégrale de contour que nous n’aborderons pas tant elle

dépasse le cadre de ce cours. Nous nous contenterons d’une méthode beaucoup plus élémentaire car, dans la pratique, il est

ourir au calcul de cette intégrale. Les transformées de Laplace, rencontrées dans la résolution d’équations

. Il nous suffit donc de décomposer ces

es en éléments simples et d’identifier chaque terme obtenu à des transformées de fonctions usuelles.

La transformation de Laplace étant linéaire, la transformation inverse d’une fraction rationnelle est tout

inverse de chaque élément de la décomposition en éléments simples de

Concrètement, pour pratiquer la transformée de Laplace d’une fonction courante, on ne la recalcule pas à chaque fois, mais éfère au document qui suit, dans lequel figurent la plupart des transformées de Laplace utilisées couramment.

e pour l’application des transformées de

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Tableau des transformées de Laplace usuelles f(t)u(t) F(p) f(t)u(t) F(p)

K K

p

cos( )tω 2 2

p

p + ω

Kt

2

K

p

( )sh tω 2 2p

ω− ω

ate− 1

p a+

( )ch tω 2 2

p

p − ω

nt 1

!n

n

p + sin( )ate t− ω

2 2( )p a

ω+ + ω

1t

e τ−

− 1

(1 )p p+ τ

cos( )ate t− ω 2 2( )

p a

p a

++ + ω

at ne t 1

!

( )n

n

p a +−

( )tδ 1

sin( )tω 2 2p

ω+ ω

5.4.1 Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t):

par définition δ(t) = 0, ∀t ≠ 0 Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un temps très court.

d'où L [δ(t)] = [ ] dttet

pt∫∞

=− ⋅

00

)(δ =1

5.4.2 Fonction échelon unité u(t):

u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0

L [u(t)] = ∫∞

0

pt dt)t(ue = ∫∞

0

ptdte =

∞−

0

ptep

1 ⇒

5.4.3 Fonction rampe de pente unitaire:

f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0 donc f(t) = t.u(t)

dt

df = u(t) ⇒ L [t.u(t)] =

p

)0(f

p

)p(U + ⇒

5.4.4 Fonction sinusoïdale: f(t) = sin ωt . u(t)

F(p) = ∫∞

− ω0

pt dttsine qu'on intègre par parties en posant du = sin ωt dt et v = e-pt

5.4.5 Fonction exponentielle: f(t) = e

-at . u(t

L [δ (t)] = 1

L [u (t)] = p

1

L [t.u(t)] = 2p

1

L [sin ωt.u(t)] = 22p ω+

ω

L [e-at

.u(t)] = ap

1

+

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6 Fonction de transfert d'un système: 6.1 Généralités notation : Dans le domaine symbolique, la relation entre l'entrée et la sortie s'écrit donc La fonction de transfert d’un SLCI est dans les conditions de Heaviside :

On appelle fonction de transfert H(p) du système: =

= ⋯

Démonstration :

Soit un système décrit par l'équation différentielle:

+⋯+ =

+⋯+ On se place dans le cas de conditions initiales nulles (conditions d'Heaviside): le niveau initial du système importe peu, c'est sa réaction à une perturbation à partir d'un état stable que l'on souhaite étudier. On peut donc toujours se ramener à des conditions initiales nulles avec un changement d'origine.

D'après le théorème de la dérivée: L [

] = pnFp On applique la transformation de Laplace à l'équation différentielle: an p

n S(p) + … a0 S(p) = bm p

m E(p) + … + b0 E(p)

d’où =

= ⋯

Cette relation est très utile pour calculer des réponses temporelles de systèmes à l’aide de transformée de Laplace. Il suffit de calculer la transmittance du système, de prendre la transformée de Laplace du signal d’entrée et de faire le produit de ces deux grandeurs. Une transformée inverse donne enfin la réponse temporelle souhaitée. La fonction de transfert représente le comportement du système et s'exprime simplement comme le rapport de deux polynômes en p (fraction rationnelle) construits à partir des coefficients de l'équation différentielle régissant son évolution. Forme canonique de la fonction de transfert: avec n = ordre du système

α = classe du système K = gain statique En explicitant les racines (complexes éventuellement) de ces polynômes, H(p) peut s'écrire:

= !−#1−#2…−#'

(−1)−…−*les zi sont les zéros et les pi les pôles de la fonction de transfert.

Remarque: si l'entrée est une impulsion de Dirac, on a alors S(p) = H(p).1 = H(p) La fonction de transfert représente donc la transformée de Laplace de la réponse "impulsionnelle". Malheureusement, on ne sait pas générer physiquement un tel signal. Cependant, cette propriété est utilisée par les logiciels de simulation.

6.2 Application La connaissance de la fonction de transfert d’un système permet de connaître sa réponse à une sollicitation sans résolution d’équations différentielles Etude du système moteur électrique

MCC u(t) en V ω(t) en rad/s

=!1 + ⋯+ '

'

+1 + ⋯+ **

S(p) = H(p).E(p) H(p) E(p) S(p)

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6.3 Fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi:

H(p) = )p(B).p(A1

)p(A

+

On peut toujours se ramener à un système à retour unitaire:

)p(B

1.

)p(B).p(A1

)p(B).p(A)p(H

+=

Système réduit de fonction de transfert Hr = )p(B).p(A1

)p(B).p(A

+

On note FTBO la fonction de transfert en boucle ouverte du système soit FTBO = A.B et on étudie la fonction de transfert du système réduit soit

FTBO

FTBOFTBF

+=

1

Si on connaît la FTBO (en général simple à calculer), la FTBF se trouve en réalisant la transformation ci-dessus.

6.4 Fonction de transfert en boucle ouverte: La fonction de transfert en boucle ouverte est définie comme la fonction de transfert du système lorsque le retour sur le sommateur est coupé. Elle comprend la chaîne d'action et la chaîne de mesure.

Figure 2 : Système en boucle ouverte

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :

M(p)FTBO= =H(p).K(p)

E(p)

S(p) A(p)

B(p)

E(p)

S(p) A(p) B(p)

E(p) 1/B(p)

H(p)

G(p)

+ -

E(p) S(p) ε(p)

M(p)

FTBO E(p) S(p)

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7 Opérations sur les schémas blocs:

7.1 Éléments de base

Les blocs : Ils contiennent une fonction de transfert (H(p)) caractérisant la relation entre l'entrée et la sortie. Les liens : Ils représentent une grandeur (U(p)) dans le domaine de Laplace. Les points de jonction : Une jonction permet de transmettre une grandeur en entrée de plusieurs blocs ou sommateurs. Les sommateurs : Ils additionnent (ou soustraient selon le signe) les différentes entrées. Ils n'ont qu'une sortie. Les termes qui dépendent du temps deviennent les entrées et sorties des schémas blocs Les équations peuvent se mettre sous la forme de schéma bloc. Exemple :

7.2 Fonction de transfert en série:

H1

E1 S H2

E2

H3

E3

H

E1 S

H = H1.H2.H3

=

Ecart ε U(p) 1

R Lp+ K

Ω(p)

+

-

E(p) K

1

Jp f+

I(p) C(p)

( ) ( ) ( ) ( )p p pU E R Lp I− = + ⋅

( ) ( )p pC K I= ⋅

( ) ( )p pE K= ⋅Ω

( ) ( ) ( )p pC f Jp= + ⋅Ω

Equa diff en t e(t) s(t)

H(p)

E(p) S(p)

H2(p)

G(p)

+ -

E(p)

C(p)

ε(p)

M(p)

H4(p)

S(p) H1(p) H3(p) +

E’(p)

bloc lien sommateur

Point de jonction

+

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7.3 Fonction de transfert en parallèle:

7.4 Déplacement d'une jonction:

7.5 Déplacement d'un sommateur:

7.6 Cas des systèmes perturbés Ces systèmes ont deux entrées :

• l’une est maîtrisée par l’utilisateur E(p)

• l’autre est imposée par le milieu extérieur Q(p)

Si Q = 0 alors on obtient ,- = .. 01.02

-01023 et si E = 0 on obtient ,4 = 5. 02

-01023

Le système étant linéaire, on peut appliquer le théorème de superposition ce qui donne S=S1+S2=.. 01.02-01023

+ 5. 02-01023

H1

S E +

- +

+ H2

Q

R

H S E1

E2

+ +

H

S E1

E2

+ +

H'

H' = H

H

S E1

E2

+ +

H

S E1

E2 H'

+ +

H' = 1/H

H S E

E

H S E

H' S

H S E

S

H' = 1/H

H S E

H' E

H' = H

E

H1 S1

H2

E

S2

-

+ S H

E S

H = H1 + H2

=

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8 Systèmes linéaires fondamentaux: La fonction de transfert de nombreux systèmes est une composition de fonctions de transfert de systèmes élémentaires qu'on va étudier en détail. On va soumettre chacun de ces systèmes élémentaires à des signaux d'entrée tests e(t) et on va calculer la réponse s(t):

- e(t) = δ(t) = impulsion de Dirac ⇒ s(t) = réponse impulsionnelle

- e(t) = u(t) = échelon unitaire ⇒ s(t) = réponse indicielle

- e(t) = t.u(t) = rampe ⇒ s(t) = réponse à une rampe.

8.1 Fonction de transfert premier ordre : K = gain statique

τ = constante de temps deuxième ordre : forme canonique avec K = gain statique

ω0 = pulsation propre m = coefficient d'amortissement La transformée de Laplace de cette équation donne:

p2 S(p) + 2 m ω0 p S(p) + ω0

2 S(p)= K ω0

2 E(p)

d'où la fonction de transfert:

8.2 Réponse à un échelon

( )0

( ) 0 ( )L

t pt

Ee E u E

p= ⋅ → =

8.2.1 Premier ordre

S(p) = p1

K

τ+.

p

E0

Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:

S(p) = p

A +

p1

B

τ+ =E0 (

p

K -

p1

K

τ+τ

) = K E0 (p

1 -

τ+ 1

p

1)

• pente à l’origine

0tlim

→s(t) =

∞→plim p S(p) =

∞→plim

p1

K

τ+ = 0 et

0tlim

→s'(t) =

∞→plim p

2 S(p) =

∞→plim

p1

pK

τ+ =

τK

⇒ pente à l'origine

• asymptote horizontale

∞→tlim s(t) =

0plim

→p S(p) =

0plim

→ p1

K

τ+ = K ⇒ asymptote horizontale de valeur K

• Rapidité : temps de réponse à 5%

au bout d’un temps 3τ , la réponse atteint 95% de la valeur finale K.E0 :

τdt

)t(ds+ s(t) = K e(t)

L τ p S(p) + S(p)= K E(p) ⇒ H(p) =

p1

K

τ+

2

2

dt

)t(sd + 2 m ω0

dt

)t(ds+ ω0

2 s(t) = K ω0

2 e(t)

H(p) = 2

200

p1

pm2

1

K

ω+

ω+

L-1

s(t) = K E0 (1 - τ− t

e ) u(t)

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temps de réponse à 5% = instant tr pour lequel s(tr) = 0,95 smax

K(1- τ− rt

e ) = 0,95K ⇒ τ− rt

e = 0,05 ⇒ tr ≈ 3τ. Le temps de réponse à 5% d’un système du premier ordre est égal à 3τ : tR5% =

• Ecart statique εS :

[ ]εSt

e(t) s(t= −→∞lim ) soit en utilisant le théorème de la valeur finale :

( )εSp p p

KE

p Tp

K

Tp= − ⋅

= −

+

= −+

→ → →

lim lim lim0 0

0

011

1p

E

pH(p) E(p) p

E

pE0 0

0 . Soit ( )ε S E K= −0 1

Remarque : εs = 0 si et seulement si K = 1.

Le tracé de la réponse est donné ci-dessous :

s(t)

tT

0,63

3T

0,95

e(t)

s(t)

E0E0

E0

E0

=

s(t)

tT

0,63

3T

0,95

e(t)

s(t)K

écart

= E u(t)0

E0

E0

K E0

K E0

8.2.2 Deuxième ordre

p

E

pp

KpS 0

20

2

0

.21

)( ⋅++

=

ωωξ

. Le résultat dépend des racines du dénominateur

8.2.2.1 Etude des pôles de la fonction de transfert H(p) (racines du dénominateur).

20

20

20

20

2

0

...2.

.21)(

pp

K

pp

KpH

++=

++=

ωξωω

ωωξ

ξξξξ > 1: H(p) possède deux pôles réels ( )( )

−=−+−=

−=−−−=

22

02

12

01

1

1

ωξξω

ωξξω

p

p ( )( )21

20.

)(ωω

ω++

=pp

KpH

ξξξξ = 1: H(p) possède un pôle réel double 00 ω−=p ( )20

20.

)(ωω

+=

p

KpH

ξξξξ < 1: H(p) ne possède pas de pôle réel 20

20

20

...2

.)(

pp

KpH

++=

ωξωω

Gain unité K < 1 Gain unité K =1

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8.2.2.2 réponse en régime apériodique (ξ > 1)

( )( ) ( )

( )

( )

+−

+−−=

−=

−−=

=

++

++=

++==

2

1

1

1

12

20

0

122

20

121

20

21

0

21

020

211

.)(

1

...

)().()(

ωωωωω

ωωωωγ

ωωωωβ

α

ωγ

ωβα

ωωω

ωω

pppEKpS

avecppp

EKppp

EKpEpHpS

Après transformée de Laplace inverse :

( ) 011

1.)( .

2

.

112

20

021 >

−−= −− tpoureeEKts tt ωω

ωωωωω

8.2.2.3 réponse en régime apériodique critique (ξ = 1)

( ) ( )

( )

++

+−=

−=−=

=

++

++=

+==

20

0

00

0

2

0002

0

200

11.)(

1

1

...

)().()(

ωω

ω

ωγβα

ωγ

ωβα

ωω

pppEKpS

avecppp

EKpp

EKpEpHpS

Après transformée de Laplace inverse : ( )[ ] 011.)( 0.00 >+−= − tpouretEKts tωω

8.2.2.4 réponse en régime pseudo périodique (ξ < 1)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−++−

−−

−+++

−=

−+++

−=

+++−=

−=−=

=

++++=

++==

220

2

0

20

2220

2

0

00

220

2

0

00

20

20

00

0

20

20

020

20

200

1.

1

11.

..1.

1.

..21.

...2

..21.)(

..2

1

1

...2

..

...2

..)().()(

ξωωξξω

ξξ

ξωωξωξ

ξωωξωξ

ωξωωξ

ωξγβα

ωξωγβα

ωξωω

pp

p

pEK

p

p

pEK

pp

p

pEKpS

avecpp

p

pEK

ppp

EKpEpHpS

en posant2

00 1 ξω −=Ω et après transformée de Laplace inverse :

( ) ( )

( ) ( )( ) 0sincos11

11.

0sin1

cos1.)(

..00

2

20

..0200

0

0

>

Ω+Ω−

−−=

>

Ω

−+Ω−=

tpourettEK

tpourettEKts

t

t

ωξ

ωξ

ξξξ

ξξ

en posant :

=−

=

ϕξ

ϕξ

sin1

cos2 ⇒ ( ) 0sin

11.)( 02

..

0

0

>

−−=

tpourte

EKtst

ϕξ

ωξ

8.2.2.5 Caractéristiques :

Quelque soit la valeur de ξ

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Valeur initiale : 0)(lim)0(0

==→

tsst

Pente à l’origine : 0)(lim)0(0

=′=′→

tsst

Valeur finale : 0.)(lim)( EKtsst

==+∞+∞→

Erreur statique: [ ] ( ) 0.1)()(lim EKtstet

p −=−=+∞→

ε

Temps de réponse à 5% (temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à ± 5% de la valeur finale) : voir courbe

pour ξ < 1

pseudo période : 2

0 1

.2

ξωπ−

=T

date des extréma 20 1

.

ξωπ−

= ktk k : entier naturel

distance des extréma à la valeur finale : 21

..

ξ

ξπ

−−

=k

k eD (%)

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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Réponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordreRéponse indicielle d'un système du deuxième ordre

temps réduit τ.ωτ.ωτ.ωτ.ω0000

ξξξξ=0,1

ξξξξ=0,4

ξξξξ=2

ξξξξ=0,7

ξξξξ=0,2

ξξξξ=10,95

1,05

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8.3 Réponse à une impulsion 8.3.1 Réponse à une impulsion pour un modèle du premier ordre 8.3.2 Réponse à une impulsion pour un modèle du deuxième ordre

E(p) = 1 ⇒ S(p) = 200

2

20

pm2p

K

ω+ω+ω

= )p(D

K 20ω

avec D(p) de discriminant réduit ∆' = m2ω0

2 - ω0

2 = ω0

2(m

2 – 1)

• premier cas: m>1 ⇒ D(p) a alors 2 racines réelles p1 et p2

p1 = - m ω0 - ω0 1m2 − et p2 = - m ω0 + ω0 1m2 − avec p1 < p2 < 0

La décomposition en éléments simple donne :

S(p) = )pp)(pp(

K

21

20

−−ω

= K ω02 (

)pp(

A

1− +

2pp

B

−) =

1m2

K2

0

ω(

1

1

p p−

−+

2pp

1

−)

d'où

⇒ système amorti (régime apériodique) : il n’y a pas de dépassement

0,01

0,1

1

0,01 0,1 1

dépassement transitoire

ξξξξ

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

%

s(t) = 1m2

K2

0

ω(

tp2e - tp1e ) u(t)

s(t)

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• deuxième cas: m<1 ⇒ D(p) a alors 2 racines complexes conjuguées

p1 = - m ω0 - jω0 2m1− et p2 = - m ω0 + jω0 2m1−

De plus S(p) = )pp)(pp(

K

21

20

−−ω

On peut alors écrire S(p) sous la forme: S(p) = )m1()mp(

K22

02

0

20

−ω+ω+ω

soient ω2 = ω0

2 (1 – m

2) et a = m ω0 ⇒ S(p) =

222

0

)ap(m1

K

ω++ω

ω

d'où

⇒ système sous-amorti (régime pseudo-périodique)

La pseudo-période des oscillations vaut T = 2

0 m1

2

−ω

π

Lorsqu'il n'y a pas d'amortissement (m = 0), on a une réponse sinusoïdale de pulsation ω0 (ce qui justifie le nom de pulsation

propre donné à ω0).

• troisième cas: m=1 ⇒ D(p) a alors une racine double. L'allure de la réponse serait comparable à celle obtenue dans le cas du régime apériodique mais ce cas est impossible dans la réalité: on ne peut avoir une valeur réelle de m exactement égale à 1!

8.4 Réponse à une rampe 8.4.1 Premier ordre

e(t) = a t u(t) ⇒ E(p) = 2p

a ⇒ S(p) =

)p1(p

Ka2 τ+

• pente à l’origine

s’(0+) = lim p S'(p)

p→∞= lim p² S(p)

p→∞=

τp)p²(1Kap² lim

p +∞→= 0

• asymptote

∞→tlim s(t) tend vers K a.(t-τ ), (le terme τ.e

-t/τ est pratiquement éteint au bout de 4τ ).

• s(t) Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:

S(p) = )p1(p

Ka2 τ+

= K(2p

a-

p

aτ+

p1

a 2

τ+τ

)

• Ecart de traînage εv :

Pour K=1 [ ]lim )vt

e(t) s(tε→∞

= − = aτ

Pour K≠1 εv va varier

• s(t) = 0 pour t = 0

s(t)

t

T

K=1ε = aT

e(t) s(t)

O T

-aT

v

s(t)

t

T

K<1

e(t)

s(t)

s(t)

t

T

e(t)s(t)

K>1

s(t) = )tm1sin(em1

K 20

tm

2

0 0 −ω−

ω ω−u(t)

T

enveloppe exponentielle

L-1

s(t) = a K (t - τ + τ τ− t

e ) u(t)

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8.4.2 Deuxième ordre

Avec e(t) = a.t.u(t) , soit E p( ) = a

p², on a S p H p E p

De la même manière que précédemment, la décomposition de S(p) dépend des racines du dénominateur D(p), donc de z. La réponse est fonction de s1 qui dépend de z

• Cas z >1 : régime apériodique

La réponse temporelle est s(t) = Ka t -T

avec T11=

ω ( z - z² -1n ) et T2 =

ω ( zn

• Cas z = 1 : régime apériodique critique

( )[ ]s(t) = Ka t - T + t + 2T e -

t

T2 ⋅ u t( )

• Cas z < 1 : régime oscillatoire

s t Ka tz

e z t( ) sin= ⋅ − +

−2

ω ωω

n n

1

1- z²n

• L’allure de la réponse temporelle ressemble à cell

• La réponse tend asymptotiquement vers une droite d’équation

• L’écart de traînage εV tend vers l’infini lorsque K est différent de 1

• L’écart de traînage εv tend vers

Il augmente proportionnellement à l’amortissement et inversement proportionnellement à la pulsation non amortie.

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n n

Ka( ) ( ) ( )

2z p²p² (1+ p+ )

²

S p H p E p

ω ω

= ⋅ =⋅

De la même manière que précédemment, la décomposition de S(p) dépend des racines du dénominateur D(p), donc de z. La qui dépend de z :

( )T - T1

T - T T e T e 1 2

2 1 1

2 -t

T1 2

-t

T22−

⋅− u t( )

1

( z+ z² -1)

Cas z = 1 : régime apériodique critique

avec T = 1

t u(tsin )⋅ +

⋅ω n 1- z² Φ avec Φ = 2Arc tan1

L’allure de la réponse temporelle ressemble à celle du premier ordre en régime permanent.

La réponse tend asymptotiquement vers une droite d’équation Ka t2z

n

⋅ −

ω.

tend vers l’infini lorsque K est différent de 1 : le système ne suit pas.

tend vers 2za

nω lorsque K=1.

Il augmente proportionnellement à l’amortissement et inversement proportionnellement à la pulsation non amortie.

e(t)s(t)

=

0

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Page 22

De la même manière que précédemment, la décomposition de S(p) dépend des racines du dénominateur D(p), donc de z. La

1- z²

z

e du premier ordre en régime permanent.

: le système ne suit pas.

Il augmente proportionnellement à l’amortissement et inversement proportionnellement à la pulsation non amortie.

t

z<1 z=1 z>1

y(t) = Ka(t- )2zω

= a t u(t)

n

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9 Identification d’un modèle de comportement à partir d’une réponse à un échelon

9.1 Principe Lorsque les lois de comportement ne sont pas connues ou trop complexes, on peut procéder à des identifications de courbes de réponse.

Lorsque le choix du modèle est effectué, il faut identifier les différents paramètres

9.2 Identification d’un premier ordre non retardé

La réponse d’un système du 1ier

ordre à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation : ( ) ( )tueEKtst

−=

−τ1. 0

où u(t) représente la fonction échelon unitaire.

1) Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

SLCI1

SLCI2

SLCI3

SLCI4

s1(t)

e(t) t

s2(t)

t

s3(t)

t

s4(t)

t

t

Modèle premier ordre non retardé

Modèle premier ordre retardé

Modèle deuxième ordre aperiodique

Modèle deuxième ordre pseudo periodique

système Réponse du système Modèle qui peut convenir entrée

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2) Détermination de la constante de temps τ :

- Par la tangente à l’origine

τ0.EK

pente ou en tout point de la courbe réponse .

Appelons y(t) la fonction qui définit la tangente à la courbe à l’instant t1 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

−+−=+−=

−−ττ

τ

11

1..

' 010

111

tt

eEKtteEK

tstttsty

Calculons l’instant (t2) ou cette droite coupe l’asymptote K.E0 : ( )=−⇒=1202.ttEKty - Par le temps de réponse à 5% : τ.3%5 ≈Tr

si la réponse est trop perturbée pour tracer la tangente ou évaluer le temps de réponse on peut procéder comme ci-dessous :

on trace ( ) ( )TtsEKTtsc +−=+ 0. en fonction de ( ) ( )tsEKtsc −= 0.

⇒ ( ) ( )tseeeEKeeEKEKTts c

TTtTt

c .....1.. 000τττττ

−−−−−==

−−=+

Il s’agit d’une droite de coefficient directeur τT

e−

Pente a ⇒

a

T

ln−=τ

9.3 Identification d’un premier ordre retardé La réponse d’un système du 1

ier ordre retardé à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) ( )TtueEKtsTt

−=

−−

.1. 0τ

où u(t-T) représente l’échelon unitaire retardé de l’instant T.

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

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9.4 Identification par un 2ème ordre apériodique La réponse d’un système du 2

ème ordre apériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) )(1

1.)( 2121

120 tueeEKts

tt

−−=

−−ττ ττ

ττ on supposera 12 ττ >

Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

Détermination des constantes de temps τ1 et τ2:

• Si τ1 << τ2 on fera le choix d’une modélisation par un premier ordre retardé.

• A l’instant t1 (bien après le point d’inflexion) on peut déterminer τ2 par l’étude de la tangente à la courbe et τ1 en

mesurant la sortie ( )

−−≈

−2

1

12

201 1. τ

τττ t

eEKts

• Si la réponse est perturbée, on peut utiliser une méthode similaire à celle employée pour le 1ier

ordre (mise en œuvre plus délicate et résultats moins nets). Dès qu'on s'éloigne de t = 0, le système du second ordre est comparable à un premier ordre. Au début de l'évolution, le premier ordre réagit plus vite (pente à l'origine non nulle

1.1.1.1.1.1.1.1

1.1.1.1.1.1.1.2

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9.5 Identification par un 2ème ordre pseudopériodique La réponse d’un système du 2

ème ordre pseudopériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :

( ) ( )tuz

ztz

z

eEKts

tz

.1

arctan1sin1

1.2

202

..

0

0

−+−−

−=−

ωω

.

Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car ( ) 0.lim EKtst

=+∞→

Détermination du coefficient d’amortissement z : ( )%121

.

z

z

eD −−

Détermination de la pulsation propre ω0 : 2

0 1

.2

zT

−=

ωπ

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10 Analyse harmonique

10.1 Principes

L’analyse harmonique d’un système consiste à lui appliquer une entrée e(t) sinusoïdale, notée 0( ) sin( )e t E t= ω .

Vocabulaire :

0E est l’amplitude du signal, d’unité celle de e(t), positive

ωest la pulsation en rad/s ou avec 1

2 2fT

ω = π = π , définie en donnant la fréquence f en Hz ou la

période T en seconde (s) Dans le cas d’un système stable, une fois

le régime permanent atteint, la sortie s(t) est également sinusoïdale, de même pulsation. On note alors :

0( ) sin( )s t S t= ω + ϕ

L’analyse harmonique d’un système stable s’intéresse à l’évolution du rapport des amplitudes et du déphasage entre la sortie et l’entrée en régime établi, en fonction de la pulsation.

Pour plus de simplicité, comme en physique, nous introduisons les notations complexes :

0

( )0

( )

( )

j t

j t

e t E e

s t S e

ω

ω +ϕ

=

=avec

( ) Im( ( ))

( ) Im( ( ))

e t e t

s t s t

=

=

Nous avons alors clairement :

0

0

( )

( )jSs t

eEe t

ϕ=

L’analyse harmonique s’intéresse donc aux deux quantités :

* 0

0

( )

( )

Ss t

Ee t= , rapport des amplitudes

*( )

arg( )( )

s t

e t= ϕ , déphasage entre la sortie et l’entrée.

Rappel :

Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients constants de la forme suivante :

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ).. ( ) .. ( )

n m

n m

d s t ds t d e t de ta a a s t b b b e t

dt dt dt dt+ + + = + + + .

Les systèmes physiques vérifient toujours n m≥

Sa fonction de transfert dans le domaine de Laplace, en se plaçant dans les conditions de Heaviside (toutes les conditions initiales sont nulles), est alors :

0 1

0 1

...( )( )

( ) ...

+ + += =+ + +

mm

nn

b b p b pS pH p

E p a a p a p

e(t)

s(t)

e(t) s(t) système

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On appelle fonction de transfert harmonique la valeur prise par la fonction de transfert dans le cas

particulier où la variable symbolique de Laplace p est un imaginaire pur : p j= ω .

0 1

0 1

( ) ... ( )( )

( ) ... ( )

mm

nn

b b j b jH j

a a j a j

+ ω + + ωω =+ ω + + ω

Conclusion: Lorsqu’un système stable est sollicité par un signal sinusoïdal, la sortie est également sinusoïdale, les pulsations sont

les mêmes et :

Le rapport des amplitudes est le module de la fonction de transfert harmonique : 0

0

( )S

H jE

= ω

Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est l’argument de la fonction de transfert harmonique :

arg( ( ))H jϕ = ω

10.2 Lieux de transfert

Les lieux de transfert sont des représentations graphiques de ( )0

0

( ) ( ) jSH j e

Eϕ ωω = ω

10.2.1 Lieu de Nyquist (information)

C’est la représentation dans le plan complexe de ( )H jω .

10.2.2 Lieu de Black (information)

Ce diagramme en coordonnées cartésiennes présente en abscisse la phase ( )ϕ ω en degrés et en ordonnée le gain

GdB en décibels. Comme le lieu de Nyquist, le lieu de Black doit être gradué en fréquence ou en pulsation.

Re( ( ))H jω

Im( ( ))H jω

ω = ∞ 0ω =

ω

ϕ

G

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gain

phase

10 dB

20 dB

0 dB

-10 dB

-20 dB

-30 dB

-40 dB

-50 dB

ω = 0

ω = 10

ω = 100ω = 1

ω = 1000

-90°-180°

10.2.3 Lieux de Bode (fondamental)

Il s’agit de 2 courbes graduées, dont les abscisses sont des axes gradués en log, c’est à dire log( )ω , qui

donnent :

Le gain ( )H jω exprimé en dB, c’est à dire : 20log( ( ) )dBG H j= ω

La phase arg( ( ))H jω , exprimée en degrés ou en radians

Une exploitation complète nécessitant une vision simultanée des deux courbes, elles figurent sur un

même graphique. Remarque Intérêt de l’échelle log

• Un des intérêts de l’utilisation du logarithme pour le module est que le produit des modules est remplacé par une somme. Par conséquent la représentation d’une fonction de transfert complexe pourra être effectuée facilement à partir d’un produit de termes élémentaires.

• De la même manière, l’argument sera obtenu facilement en faisant la somme des arguments des termes élémentaires.

• L’axe des abscisses est gradué sur une échelle logarithmique pour simplifier la représentation de la courbe de gain

(termes en Log(ω)) et pour pouvoir représenter une grande plage de mesure.

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Une décade correspond à une multiplication par 10 en pulsation. Propriétés des diagrammes de Bode

Produit de fonctions de transfert :

Supposons que ( ) ( ) ( )H j F j G jω = ω ω alors : ( ) ( ) ( )H j F j G jω = ω ω

En conséquence, nous avons :

20log( ( ) 20log( ( ) 20log( ( )H j F j G jω = ω + ω

arg( ( )) arg( ( )) arg( ( ))H j F j G jω = ω + ω

Tracés asymptotiques :

Ce diagramme est dérivé du diagramme de Bode en remplaçant les courbes par leurs approximations asymptotiques. Plus clairs, ces diagrammes permettent d'apprécier globalement le comportement du système modélisé à 10 % ou 20 % près: compte tenu des imprécisions sur les valeurs réelles des paramètres du modèle, une telle précision s'avère souvent suffisante.

Les calculs se font pour 0ω ω ; 0ω = ω ; 0ω ω

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0,01 0,1 1 10

Gai

n (d

b)

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0 dB

10 dB

20 dB

-10 dB

-20 dB

-30 dB

-90°

-180°

ω rd/s

courbe des gains

courbe des phases

10 100 1000 10000

courbe asymptotique

courbe asymptotique

10.3 Premier ordre

Reprenons ( )1

KH p

p=

+ τ. Nous avons alors

0

( )1 1

K KH j

j jω = = ω+ τ ω +

ω

Tracé réel En général il est long et fastidieux. Des logiciels le font très bien (Voir Didacsyde) Si l’on veut tracer le lieu réel (courbes lissées sur les tracés ci-dessus), on exprime analytiquement le gain et la phase de la fonction de transfert harmonique.

2

0

2

0

( )

1 ( )

20log 10log(1 ( ) )dB

KH j

G K

ω =ω+ω

ω= − +ω

et d’autre part :

0 0

arg( ( )) arg(1 ) arctan( )H j jω ωω = − + = −ω ω

ω/ωn Fdb ϕ Remarques

→ 0 → 20LogK → 0° asymptotes basse fréquence

= 1 20LogK - 3db -45° pulsation de coupure

→ +∞ →20LogK-20Log(ω/ωn) → -90° asymptote haute fréquence

Remarque :

Les deux asymptotes à la courbe de gain se coupent à l’abscisse ω = ωn

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la courbe réelle passe par les points suivants :

le tracé de la phase est symétrique par rapport au point (ωn,-45°);

la tangente au point de symétrie coupe asymptote 0° à ω = ωn /4,8 et par symétrie asymptote -90° à ω = 4,8ωn ;

le diagramme asymptotique peut être amélioré en traçant la tangente au point d’inflexion.

10.4 Identification d’un modèle du premier ordre à partir de la réponse harmonique

• L’asymptote horizontale permet de trouver K

• La pulsation de coupure permet de trouver .τ.( τωω 10==C ).On a Φ(−45°)=ω0

A( ) en dB ω

ω

ω

Φ en degrés

O

-45°

-90°

20 log K3 dB

diagramme asymptotique

diagramme de gain

20 log K - 20 log ω/ω0

diagramme de phase

diagramme asymptotique

0

τωω 10==C

τωω 10==C

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10.5 Réponse harmonique d’un modèle du deuxième ordre

Reprenons 2

20 0

( )2

1

KH p

m pp

=+ +

ω ω

. Nous avons alors 2

20 0

( )2

1

KH j

mj

ω =ω+ ω−

ω ω

.

2 22

20 0

( )2

1

KH j

mω =

ω ω− + ω ω

et ( ) 02

20

2

( ) tan1

m

Arg H j Arc

ω ω ω = −

ω − ω

Il existe une résonance pour 2

2m ≤

Démonstration : 12

2 22

20 0

( )2

1

KH j K D

m

−ω = = ⋅

ω ω− + ω ω

Il existe un maxima si la dérivée '

( )H jω s’annule.

'1 3

2 23

2

''

K DK D K D D

D

− − ⋅⋅ = ⋅ ⋅ =

cette dérivée s’annule pour ( ) ( )'22

' 2 2 2 20 02

0 0

0 1 2 2 2D m mω

ω ω = = − + = ω ω + ω − ω ω ω

Il existe un maxima pour 2

0 1 2mω ω= − c’est à dire pour 2

2m ≤

Construction :

ω →→→→ 0

( )1221

)(

2

2

+

ξωω

ω

n

KjF

8 si ξ > 22

→ε

ω+

≈1

)(K

jF la courbe est au-dessous de l'asymptote

8 si ξ < 22

→ε

ω−

≈1

)(K

jF la courbe est au-dessus de l'asymptote

ω → +∞ 2

)(

n

KjF

ωω

ω

8

−=

n

LogLogKdbFωω

Cas où 2

2>m

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Cas où 2

2≤m

• grande.

• Pour z donné, la fréquence de coupure ωC et donc la bande passante, sont d’autant plus grandes que la

fréquence propre ωp est grande.

• Rapidité et bande passante évoluent dans le même sens.

Tracé pour ξξξξ ≥≥≥≥ 1

La fonction de transfert présente deux pôles réels :

)+)+=

21

1(1()(

ωω

ωωω

jj

KjF

On peut considérer que le système du deuxième ordre est équivalent à la superposition de deux systèmes du premier ordre.

dBG

logω

2max 0 1 2ω = ω − m

220log( )

2 1−K

m m

ϕ

dBG

logω

logω

2

π−

−π

20 log2

K

m

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Dans le plan de BODE le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés des deux systèmes du premier ordre.

−=

+1−

+1−=

+1

+1

=22

22

21

21

21

arctanarctan

10102020

ωω

ωω

ϕ

ωω

ωω

ωω

ωω

LogLogLogKK

LogFdb

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10.6 Identification d’un modèle du deuxième ordre à partir de la réponse harmonique• L’asymptote horizontale permet de trouver K

• Le diagramme de phase permet de trouver

• Le diagramme de gain permet de trouver

Cas où 2

Cas où 2

≤ξ

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Identification d’un modèle du deuxième ordre à partir de la réponse harmonique

L’asymptote horizontale permet de trouver K

Le diagramme de phase permet de trouver ω0. On a Φ(−90°)=ω0

Le diagramme de gain permet de trouver ξ

22

: 20log2dB

KG

m= pour 0ω = ω

22

:2max

1.2 ξξ −= K

A pour nr ωξω 221−=

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Identification d’un modèle du deuxième ordre à partir de la réponse harmonique