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Partie 2 :Partie 2 :programmation stochastiqueprogrammation stochastique

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Programmation Programmation stochastique : principesstochastique : principes

• Hypothèses : l’incertitude influence la valeur des solutions plus que leur structure. Chaque scénario induit donc une fonction différente à optimiser. Il est possible d’associer une probabilité à chaque scénario.

• méthode : considérer l’espérance de la valeur des solutions comme une fonction unique, pour se ramener à un seul problème d’optimisation

• Simplification : par une simulation, un échantillonnage des scénarios est réalisé, et l’espérance est approchée par la moyenne

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ProgramProgrammatmation stochastique ion stochastique : trivial?: trivial?

• Seuls les coûts sont sujets à incertitudes.• Exemple de fonction linéaire : il suffit de

remplacer les coûts unitaires par leurs espérances ?!

iin

ixcxf

1

)(

4

• En fait, l’incertitude intervient souvent de manière plus subtile : elle modifie la forme même de la fonction à optimiser

• De plus, dans de nombreuses applications une partie des décisions sont prises dans un premier temps, les autres plus tard : modèle en 2 phases.

• D’où : programmation stochastique en 2 phases.

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Planification de production en deux phases

Première Application :(wallace 00)

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contextecontexte

• Une entreprise d’armement est candidate pour la fabrication d’un nouveau type d’obus. Les contraintes de sécurité nécessitent la construction d’un atelier dédié. Cependant la décision de construire l’atelier doit être prise alors que le prix de vente n’est pas encore fixé, il dépend de décisions politiques. L’équipement nécessaire à la production est aussi coûteux. Son prix sera d’autant plu élevé qu’il aura été installé tardivement.

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Contexte, suiteContexte, suite

• On suppose qu’il y a seulement deux instants de décision :

• T1 : construction du bâtiment. Son prix est proportionnel à sa surface utile. Immédiatement après on peut y installer l’équipement.

• T2 : le prix d’achat du produit est connu. On peut encore installer l’équipement mais cela coûte plus cher.

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donnéesdonnées

• Prix de vente en cas de production maximale :p. • Le prix effectif est donc de p x, où x = quantité produite

• La capacité maximale de l’atelier est normalisé à 1. • Coût de construction : 2 c (c capacité effective)• Coût d’installation à T1 : 2 z (z capa installée)• Coût d’installation à T2 : 2.2 y (y capa installée)

• Contraintes : – On ne peut produire plus que la capa installée.– On ne peut installer plus que la capa de l’atelier construit.

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exerciceexercice

• Construisez le modèle linéaire associé quand T1=T2.

• Quelles sont les solutions dominantes pour ce modèle?

• Quelle est l’espérance du coût pour ces solutions?

• Quelles autres solutions sont possibles?• Application : p est uniforme sur [0,9]

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Modèle linéaireModèle linéaire

Max px – 2c -2z -2.2 y

x<= y + z

y+z <= c

c <= 1

x,y,z,c <=0

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Maximisation des profits Maximisation des profits dans une chaîne dans une chaîne

d’approvisionnement simple.d’approvisionnement simple.

Deuxième Application

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Chaîne logistiqueChaîne logistique

Producteur 1 Producteur 2 Grossiste

DétaillantClient Final

Prix p1 p2

p3

p4

Stocks Stocks

Stocks

Stocks

Repriseinvendus

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Problématique généraleProblématique générale

• Comment sont fixés les prix d’un échelon à l’autre ?

• Comment sont réparties les marges ? • Comment sont gérés les stocks ? • Quels sont les accords commerciaux entre

échelons ?

• Y a t-il partage de l’information au long de la chaîne logistique ?

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Problématique généraleProblématique générale

• La poursuite d'objectifs indépendants par les divers protagonistes de la chaîne entraîne t-elle une mauvaise coordination préjudiciable à l'efficacité globale ?

• Est-il possible d'atteindre une efficacité globale tout en préservant une décentralisation des décisions ?

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Une chaîne simplifiéeUne chaîne simplifiée

Fournisseur Détaillant

w

r

cp

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Modèle simplifiéModèle simplifié

• 2 acteurs : un détaillant qui fait face à un marché, et un fournisseur.

• Le détaillant vend les articles au prorata de la demande. Les invendus sont perdus.

• La demande est une variable aléatoire• problème classique du marchand de

journaux.

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Intégration verticaleIntégration verticale

Le fournisseur est aussi le détaillant. Les données du problème sont les suivantes :

•Demande D •Prix de revient : c

•Prix de vente : p

q

dxfqD0

x)( )Proba(

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objectifsobjectifs

L’objectif est la maximisation de l’espérance du profit.

Si la décision de la firme est de produire q unités, ce profit s’écrit

f(q) = -cq + p min (D,q)

Soit (q) = E(f(q)).

On a donc un problème de prog stochastique simple car sans contraintes.

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Espérance de profitEspérance de profit

• l'espérance de profit est

q

qdxxqfpdxxxfpcqq )()()(

0

Demande inférieure à q Demande supérieure à q : q unités vendues

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Profit maximalProfit maximal

• La quantité optimale est obtenue en annulant la dérivée du profit :

• On obtient q* comme solution de l'équation :

• La valeur est appelée ratio critique.

q

dx)x(fp)q(pqf)q(pqfc)q('

p

cp)qD(P

p

cp

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Décentralisation simpleDécentralisation simple

• Le fournisseur et le détaillant sont maintenant deux entités séparées. Le transfert entre les deux se fait à un prix w>c.

• La position du détaillant est identique à celle de la firme intégrée où le prix de revient c serait remplacé par le prix de transfert w .

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Quantité optimaleQuantité optimale

Le détaillant choisira donc une quantité q1

telle que

Comme

on a

Perte d’efficacité globale

1

01q

p

wpdx)x(f)qD(P

p

wp

p

cp

*qq 1

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Perte d'efficacitéPerte d'efficacité

La seule façon de retrouver l'efficacité globale ( ) est que le fournisseur facture son produit à son coût marginal c.

Dans ce cas, le fournisseur ne tire aucun profit de la transaction.

1q*q

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Décentralisation avec Décentralisation avec contrat de rachatcontrat de rachat

crw

Transfert du risque du détaillant vers le fournisseur. Le détaillant peut alors commander des quantités plus importantes.

Contrat de rachat des invendus à un prix r, satisfaisant la condition :

Le fournisseur accepte de reprendre les invendus partiellement à son compte.

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Profit réaliséProfit réalisé

q

q

q

dxxfxqr

dxxxfpdxxfpqcqq

0

0

)()(

)()()(

Clause de rachat de (q-x) invendus au prix r

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Maximisation du profitMaximisation du profit

• La dérivée de ce terme additionnel est :

• La quantité optimale à commander est définie par :

qq

dxxfrdxxfbqfqqr00

)()()()(

2q

2

0)(

q

rp

wpdxxf

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Choix du fournisseurChoix du fournisseur

Comme on a

Si le fournisseur fixe le prix de rachat r de telle

sorte que ,

il est même possible d'avoir

Le fournisseur choisit donc

p

wp

rp

wp

12 qq

*qq 2

p

cp

rp

wp

cp

cwpwr

)(

28

Profit du fournisseurProfit du fournisseur

Le prix de rachat r(w) est choisi de telle sorte que le détaillant commande q*.

*

0)()*()(*)()(

qdxxfxqwrqcww

Reprise des invendus au prix r(w)

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Profit du fournisseurProfit du fournisseur

En remplaçant r(w) par sa valeur, et

sachant que ,

on trouve

Soit

*q

p

cpdx)x(f

0

*q*q

dx)x(xfdx)x(f*qcp

cwp*q)cw()w(

00

*

0)()(

qdxxxf

cp

cwpw

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Stabilité du contrat Stabilité du contrat avec clause de rachatavec clause de rachat

• La clause de rachat permet de réaliser l'efficacité de la chaîne car q* unités sont vendues.

• La situation est-elle stable ?

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InterprétationInterprétation

• Le profit du fournisseur croît linéairement avec le prix de vente w. Le fournisseur choisira donc de vendre au prix maximum p.•Mais le gain s'effectue entièrement au détriment du détaillant. La marge du détaillant est nulle. • Cas de figure inverse de celui de la décentralisation simple.

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Situation non stabiliséeSituation non stabilisée

• Si le détaillant ne réalise aucun profit, celui-ci n’a aucun intérêt à commander au fournisseur.

• En pratique, la marge laissée aux différents acteurs dépend de la concurrence sur le marché.

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ConclusionConclusion

• L'efficacité d'une chaîne et la juste rétribution des acteurs sont deux objectifs difficilement conciliables.

• Autres types de contrats : rétributions fixes ou proportionnelles aux ventes, marges arrières,...

• Tensions inévitables entre les acteurs.

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RéférencesRéférences

• Pasternak, B. Optimal pricing and returns policies for perishable commodities, Management Science, 4:166-176 (1985).

• Cachon G., Competitive supply chain inventory management, dans Quantitative Models for Supply Chain Management, Tayur, S., Ganeshan, R. et Magazine, M.,Kluwer Academic Publisher, 1999.

• Vial J-Ph., Effet de double marginalisation dans une chaîne d'approvisionnement, notes, 2000.

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Gestion de projet :Gestion de projet :construction d’un barrageconstruction d’un barrage

Troisième Application

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contextecontexte

• Une entreprise de TPE envisage de répondre à un appel d’offre pour la maîtrise d’œuvre de la construction d’un barrage.

• Elle doit donner d’abord les dates d’achèvement des grandes parties du projet.

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contextecontexte

• La construction est soumise à de nombreux aléas :– Climatiques– Coordination avec les autres entreprises

(aménagement intérieur)L’entreprise a identifié N scénarios possibles et leur

a attribué des probabilités.

• Tout retard donnera lieu à des pénalités. • Finir en avance est également pénalisant:

immobilisation de ressources.

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Modélisation générale :Modélisation générale :gestion de projet en 2 phasesgestion de projet en 2 phasesDonnées : • activités (sous projet) de durées pj

(incertaines)• Contraintes de précédence entre activités• Coûts unitaires d’avance et de retard q-, q+• Coût supplémentaire pour que l’activité i

termine une unité de temps plus tôt : di (crashing)

• B : budget total pour le crashing

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ModélisationModélisation

Pour chaque scénario w, on connaît la durée effective de l’activité i : pi(w).

Variables de décision :

dates d’échéance pour les activités ti

quantité de crashing associée aux activités xi.

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ModélisationModélisation

Objectif global : min ct + Q(t),Où Q(t) est l’espérance des coûts dûs au

crashing et aux avance/retard :

(w): proba associée au scénario wV(t,w) : coût optimal pour dates t et scénario w

i

tQ w) v(t,(w))(