Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de lAdministration MQT-21919...

Opération et systèmes de décisionFaculté des Sciences de l’Administration

MQT-21919 Probabilités et statistique

Tests d’hypothèsesChapitre 9

LecturesLectures

Volume obligatoire: Chapitre 9 (sauf la valeur p)

Volume recommandé: Statistique en gestion et économie, pages 276 à 287 et 296 à 314

Estimation : On suppose inconnu le paramètre de la population et on cherche à l’estimer au moyen d’une statistique définie à partir d’un échantillon aléatoire.

Test d’hypothèses : On suppose au départ que l’on a une certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie d’en vérifier la véracité. Cette valeur constitue l’hypothèse de base.

La différence entre une estimation et un test La différence entre une estimation et un test d’hypothèsesd’hypothèses

La différence entre une estimation et un test La différence entre une estimation et un test d’hypothèsesd’hypothèses

* Hypothèse statistique : C’est un énoncé (une affirmation) concernant les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distribution des observations) d’une population

* Test d’hypothèses : C’est une démarche qui a pour but de fournir une règle de décision permettant, sur la base des résultats d’échantillon, de faire un choix entre deux hypothèses statistiques.

DéfinitionsDéfinitions DéfinitionsDéfinitions

Test d’hypothèsesTest d’hypothèses

Deux types d’hypothèses statistiques :

– Paramétrique: Une hypothèse est dite paramétrique s’il s’agit d’un énoncé quantitatif concernant un paramètre de la ou des populations.

– Non paramétrique: Lorsque l’énoncé concerne la forme de la distribution, alors il s’agit d’hypothèse non paramétrique.

Développer les hypothèses nulle et Développer les hypothèses nulle et alternativealternative

Les tests d’hypothèses permettent de déterminer si une affirmation au sujet de la valeur d’un paramètre de la population doit être rejetée

L’hypothèse nulle est une hypothèse sur la valeur d’un paramètre de la population. Elle est notée H0. C’est l’hypothèse qui sera rejetée uniquement s’il y a suffisamment d’évidence contre elle:

– H0: =30• 30 est la valeur paramétrique hypothétique


L’hypothèse alternative correspond à l’opposé de ce qui est établi dans l’hypothèse nulle. Elle est notée Ha ou H1 ou H’. C’est l’hypothèse qui sera acceptée si H0 est rejetée.

Hypothèses simples:

– H0: =30

– Ha: = 20

Hypothèses composées:– H0 : μ = 30– Ha : μ > 30 ou Ha : μ < 30 ou Ha : μ 30

H0 : μ 30 ou H0 : μ ≤ 30 Ha : μ < 30 Ha : μ > 30


Comment formuler les hypothèses: pas toujours évident

– Habituellement, ce qu’on cherche à prouver correspond à l’hypothèse alternative

• La situation actuelle, ce qu'on croit actuellement, est habituellement H0

Le test d’hypothèses est similaire à un procès criminel. On donne le bénéfice du doute à l'hypothèse nulle:

– H0: L’accusé est innocent

– Ha: L’accusé est coupable


Tester les hypothèses de recherche

– L’hypothèse de recherche correspond à l’hypothèse alternative

– On ne peut pas conclure que l’hypothèse de recherche est vraie si les données de l’échantillon ne permettent pas de rejeter l’hpothèse nulle

– Exemple: nouveau moteur qui fait plus de kilomètres par litre d’essence, : nombre moyen de kilomètres par litre

• H0: ≤24

• Ha: >24 Nouvelle affirmation, hypothèse alternative


Tester la validité d’une affirmation

– L’affirmation d’un manufacturier est habituellement formulée comme l’hypothèse nulle. On cherche à vérifier si les données de l’échantillon permettent de rejeter l’hypothèse nulle. On accorde ainsi le bénéfice du doute au manufacturier

– On conclut que l’affirmation du manufacturier est fausse si les données de l’échantillon permettent de refuter l’hypothèse nulle

– Exemple: Producteur de boisson non alcoolisée prétend que les bouteilles de 2 litres contiennent en moyenne au moins 2,028 litres

• H0: ≥ 2,028

• Ha: 2,028


Tests d’hypothèses dans un contexte de prise de décision

– Un décideur peut avoir à choisir entre deux actions, l’une associée à l’hypothèse nulle et l’autre à l’hypothèse alternative

– Par exemple, sur la base d’un échantillon de pièces, un inspecteur de contrôle de qualité doit décider s’il accepte ou refuse un lot de pièces qui vient d’êre livré

– Supposons que les critères de qualité d’une pièce particulière correspondent à une longueur moyenne de 2 pouces. Si la longueur moyenne est supérieure ou inférieure à 2 pouces, les pièces poseront problème dans le processus d’assemblage. Dans ce cas, on peut formuler:

– H0: =2 (On donne le bénéfice du doute au manufacturier)– Ha: 2

Quelle conclusion tirer?

Rejeter H0 ? Ou ne pas rejeter H0 ?

On rejette H0 si la statistique estimée à partir de l’échantillon est éloignée de la valeur du paramètre supposée dans H0 (valeur hypothétique).

On rejette H0 lorsque l'écart entre la valeur hypothétique du paramètre et la valeur de la statitstique est grand, ce qui signifie que l'écart n'est pas uniquement dû au hasard de l’échantillonnage.

Règle de décisionRègle de décisionRègle de décisionRègle de décision

Erreurs de 1Erreurs de 1èreère et 2 et 2èmeème espèce espèce

Les hypothèses nulle et alternative sont des affirmations contraires au sujet d’un paramètre de la population

Soit l’hypothèse nulle est vraie, soit l’hypothèse alternative est vraie, mais pas les deux

Puisque les tests d’hypothèses sont basés sur des données d’échantillon, nous devons admettre la possibilité d’erreurs

Dans notre processus de décision concernant le rejet ou non de H0 , 4 situations peuvent se présenter :

Possibilités d'erreursPossibilités d'erreursPossibilités d'erreursPossibilités d'erreurs

H0 vraie

H0 fausse

États

de H0

Décisions

Bonne décision

Bonne décision E1 = erreur de type I ou erreur de type

E2 = erreur de type IIou erreur de type

Ne pas rejeter H0 Rejeter H0

Probabilités d'erreursProbabilités d'erreursProbabilités d'erreursProbabilités d'erreurs

H0 vraie

H0 fausse

États de H0

Décisions

1- puissance du test

P(d'une bonne décision)=1-

P(E1) = seuil ou niveaude signification

P(E2) =

Ne pas rejeter H0 Rejeter H0

Erreurs (risques) de 1Erreurs (risques) de 1èreère et 2 et 2èmeème espèce espèce

L’erreur de 1re espèce (type I) est de rejeter H0 si H0 est vraie

L’erreur de 2e espèce (type II) est de ne pas rejeter H0 si H0 est fausse

Bien qu’il ne soit pas possible d’éliminer la possibilité de commettre des erreurs dans les tests d’hypothèses, nous pouvons déterminer la probabilté de leur occurrence

Le risque correspond à la probabilité de commettre une erreur de type I

La probabilité maximale de commettre une erreur de la première espèce est le seuil de signification du test

– En pratique, la personne qui effectue le test détermine ce seuil , généralement fixé à 0,05 ou 0,01 avant d’effectuer le test

Erreurs (risques) de 1Erreurs (risques) de 1èreère et 2 et 2èmeème espèce espèce

Le risque correspond à la probabilité de commettre une erreur de seconde espèce

En général, on ne peut pas contrôler la probabilité

Exemple :Soit X une variable aléatoire normale de moyenne et d’écart type = 5. On s’intéresse aux deux hypothèses :

H0 : = 22 Ha: = 25.

En se basant sur la moyenne d’un échantillon aléatoire de taille n = 25, tiré de cette population, on applique la règle de décision suivante:

Ne pas rejeter H0 si 24 et rejeter H0 si > 24 .

Calculer les risques et (erreurs de Type I et II).

Risques d’erreurs et règle de Risques d’erreurs et règle de sélectionsélection

Risques d’erreurs et règle de Risques d’erreurs et règle de sélectionsélection

x

x x

SolutionSolution

0 0acepter si est fausse)

25 24 25=P x 24 si =25

5 525 25

1 0 5 0 3413 0 1587

P( H H

xP

P z , , ,

0 0rejeter si est vraie)

22 24 22=P x 24 si =22

5 525 25

2 0 5 0 4772 0 0228

P( H H

xP

P z , , ,

Exemple: Metro EMSExemple: Metro EMS

Une compagnie de service ambulancier dessert la grande région de Québec. Elle opère 20 unités médicales mobiles. Son objectif de service est de répondre aux appels d’urgence en un temps moyen de 12 minutes ou moins.

Le directeur des services médicaux veut formuler un test d’hypothèses basé sur un échantillon de temps de réponse aux urgences afin de vérifier si l’objectif de temps de service moyen de 12 minutes est atteint ou non.


Formulation de test d’hypothèses

Hypothèses Conclusion et Action

H0: Le service d’urgence rencontre son objectif, donc aucun changement est nécessaire

Ha: Le service d’urgence ne rencontre pas

son objectif, donc il faut s’ajuster

où = le temps moyen de réponse pour la population des appels d’urgence


Condition réelle de la population

H0 vraie Ha vraie

Décision ( ) ( )

Ne pas rejeter H0 Conclusion Erreur

(Conclure correcte 2ème espèce

Rejeter H0 Erreur Conclusion

(Conclure 1ère espèce correcte

Zones de rejet (régions critiques)Zones de rejet (régions critiques)

La région critique d’un test est l’ensemble des valeurs possibles de la statistique provenant de l’échantillon aléatoire qui entraînent le rejet de H0 au niveau de signification .

La région critique est définie à partir d’une valeur critique

On calcule une statistique à partir de l’échantillon et on la compare avec la valeur critique afin de vérifier si la statistique calculée à partir de l’échantillon se trouve dans la région critique. Si oui, on rejettera H0.

Zones de rejet (régions critiques)Zones de rejet (régions critiques)Zones de rejet (régions critiques)Zones de rejet (régions critiques)

/2

Régions de rejet

Valeur(s) z critiques

H0: 0 ou H0: =0

H1: < 0

H0: 0 ou H0: =0

H1: > 0

H0: 0

H1: 0

Test unilatéral inférieur

Test unilatéral supérieur

Test bilatéral

Région critiqueRégion critique

Pour les tests d'hypothèses sur une moyenne par exemple, il existe deux façons de se situer par rapport à la région critique:– On compare la statistique à la valeur z critique

ztest par la statistique z)– On calcule une valeur critique et on rejette

l’hypothèse nulle selon le type de région critique et la position de par rapport à ( Test par la méthode des valeurs critiques)

cx

cxx

0

x

xz

Tests unilatéraux concernant la moyenne d’une Tests unilatéraux concernant la moyenne d’une population: cas des grands échantillons(population: cas des grands échantillons(nn >> 30) 30)

Hypothèses

H0: ou H0:

Ha:

Statistique de test z connu inconnu

Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H0 si z > z

zest la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test z pour déterminer si H0 doit être rejetée au seuil de signification

z xn

0

/z x

n

0

/z x

s n 0

/z x

s n 0

/

Tests unilatéraux concernant la moyenne d’une Tests unilatéraux concernant la moyenne d’une population: cas des grands échantillons(population: cas des grands échantillons(nn >> 30) 30)

Hypothèses

H0: ou H0:

Ha:

Statistique de test z connu inconnu

Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H0 si z < -z

-z est la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test pour déterminer si H0 doit être rejetée au seuil de signification

z xs n

0

/z x

s n 0

/z x

n

0

/z x

n

0

/

Tests bilatéraux concernant la moyenne d’une population: Tests bilatéraux concernant la moyenne d’une population: cas des grands échantillons(cas des grands échantillons(nn >> 30) 30)

Hypothèses H0:

Ha:

Statistique de test connu inconnu

Règle de rejet (de décision)

Rejeter H0 si |z| > z

n

xz

/0

ns

xz

/0

Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques cas cas des grands échantillons(des grands échantillons(nn >> 30) 30)

Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques cas cas des grands échantillons(des grands échantillons(nn >> 30) 30)

Test bilatéral :

Test unilatéral à droite :

Test unilatéral à gauche :

)(0 nzxc

)(0 nzxc

cxx si H rejetteon 0


H0: 0 ou H0: =0

H1: < 0

H0: 0 ou H0: =0

H1: > 0

H0: 0

H1: 0

)(z

)(z

20

20

2

1

nx

nx

c

c

2

1

ou

si H rejetteon 0

c

c

xx

xx

Si inconnu , utiliser s

Exemple: Metro EMS- test par la statistique Exemple: Metro EMS- test par la statistique zz

Soit n = 40, = 13,25 minutes, s = 3,2 minutes

(L’écart-type de l’échantillon s peut être utilisé pour estimer l’écart-type de la population .)

Puisque 2,47 > 1,645, on rejette H0.

Conclusion: Nous sommes confiants à 95% que Metro EMS ne rencontre pas son objectif de réponse de 12 minutes; le service devrait donc être amélioré

47,240/2,3

1225,13

/0

ns

xz

x

Exemple: Dentifrice BrilleExemple: Dentifrice Brille

La chaîne de production du dentifrice Brille est conçue pour remplir les tubes de dentifrice de poids moyen de 6 onces. Les données disponibles ont montré que l’écart-type est 0,2 onces. Régulièrement, on choisit 30 tubes au hasard pour vérifier si le processus de remplissage fonctionne adéquatement. Si l’échantillon ne supporte pas l’hypothèse que la moyenne de remplissage pour la population est de 6 onces, le procédé est arrêté et ajusté.


Un test d’hypothèse sur la moyenne de la population peut aider à déterminer si le procédé de remplissage fonctionne tel que planifié.

Hypothèses

H0:

Ha: Règle de rejet (de décision)

En supposant un niveau de signification de 0,05: Rejeter H0 si |z| > 1,96


Supposons qu’un échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces.

Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces


Conclusion:

On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice n’est pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage

Supposons qu’un échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces.

Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces


Conclusion:

On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice n’est pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage

x

6 6 1 62 74

0 2 30sn

x ,z ,

, /

Étapes d’un test d’hypothèsesÉtapes d’un test d’hypothèses

1. Déterminez les hypothèses nulle et alternative appropriées à l’étude

2. Sélectionnez la statistique de test qui sera utilisée pour décider du rejet ou du non rejet de l’hypothèse nulle

3. Spécifiez le seuil de signification du test

4. Utilisez pour définir la règle de rejet qui indique les valeurs de la statistique de test qui conduiront au rejet de H0

5. Collectez les données d’échantillon et calculez la valeur de la statistique de test

Étapes d’un test d’hypothèsesÉtapes d’un test d’hypothèses

6a- Comparez la statistique z avec z (ou zsi le test est bilatéral)

OU6b- Comparer avec la valeur critique (ou avec et

si le test est bilatéral) (Test par valeur critique)

7- Appliquer la règle de décision pour déterminer si H0 doit être rejetée

x cx1cx

2cx

Tests sur la moyenne d’une population: Tests sur la moyenne d’une population: cas de petits échantillons (cas de petits échantillons (nn < 30) < 30)

Statistique de test inconnu

Cette statistique de test t suit une distribution du t avec (n - 1) degrés de liberté, en supposant que la population suit une loi normale et que est inconnu. (Dans le cas où connu, on utilise la statistique z)

Règle de rejet

Unilatéral Bilatéral

Ha: > Rejeter H0 si t > t

Ha: < Rejeter H0 si t < -t

Ha: Rejeter H0 si |t| > t

txs n

0

/t

xs n

0

/

Tests sur la moyenne d’une population (Tests sur la moyenne d’une population (nn < < 30)30) Calcul des valeurs critiques, Calcul des valeurs critiques, inconnu inconnu

Tests sur la moyenne d’une population (Tests sur la moyenne d’une population (nn < < 30)30) Calcul des valeurs critiques, Calcul des valeurs critiques, inconnu inconnu

Test bilatéral :

Test unilatéral à droite :

Test unilatéral à gauche :

)(t 1)d.-(n 20 nsxc

0 1 tc ( n )d .l .x ( s n )

0 1 tc ( n )d .l .x ( s n )

2

1

ou

si H rejetteon 0

c

c

xx

xx



Si on suppose que la populationsuit une loi normale et σ est inconnu

NoteNote

Pour un petit échantillon, connu, et une population qui suit une loi normale, on utilise les mêmes approches que pour les grands échantillons

Tests concernant la proportion d’une Tests concernant la proportion d’une population population

Grand échantillon: (Grand échantillon: (npnp >> 5 et 5 et nn(1 - (1 - pp) ) >> 5) 5)

Statistique de test

Règle de rejet

Unilatéral Bilatéral

Ha: p>p Rejeter H0 si z > z

Ha: p<p Rejeter H0 si z < -z

Ha: pp Rejeter H0 si |z| > z

0

0 01

p pz

p ( p )n

0

0 01

p pz

p ( p )n

Calcul des valeurs critiques pour les tests sur les Calcul des valeurs critiques pour les tests sur les proportionsproportions

Calcul des valeurs critiques pour les tests sur les Calcul des valeurs critiques pour les tests sur les proportionsproportions

droite) à unilatéral(test )1(

gauche) à unilatéral(test )1(

bilatéral)(test )1(

000

000

0020

n

ppzpp

n

ppzpp

n

ppzpp

c

c

c

1

2

0on rejette H si

ou

c

c

p p

p p

0on rejette H si cp p

0on rejette H si cp p

Exemple :

Le boucher M. Simon affirme qu'il vend en moyenne 86 kg de bœuf par jour. Un employé de la boucherie pense que son patron exagère et veut démontrer que la boucherie vend moins de bœuf que le patron le prétend. Pour un échantillon de 20 jours choisis au hasard, on trouve qu'on y a vendu en moyenne 81 kg de bœuf par jour. En supposant que les ventes quotidiennes de bœuf obéissent à une loi normale d’écart type 10 kg et en utilisant un seuil de signification = 0,05, doit-on rejeter l'affirmation du patron ?

Test d’hypothèses paramétriques Test d’hypothèses paramétriques usuelsusuels

Test d’hypothèses paramétriques Test d’hypothèses paramétriques usuelsusuels

SolutionSolution

H0: =86 H1: <86

On calcule la statistique:

On compare cette statistique avec la valeur critique

-z0,05=-1,64 Puisque -2,23 est plus petite que -1,64, on rejette

l'hypothèse nulle et l'affirmation que le patron vend 86 kg de boeuf par jour

0 81 862 23

1020

xz ,

n

Approche par intervalle de confiance pour un Approche par intervalle de confiance pour un test d'hypothèses bilatéral - exemple moyennetest d'hypothèses bilatéral - exemple moyenne

Construire un intervalle de confiance pour au seuil de confiance .

Si l'intervalle de confiance contient la valeur hypothétique 0, on ne rejette pas H0 au seuil de signification


L'intervalle de confiance pour à 95% est:

ou 6,0284 to 6,1716

puisque la valeur hypothétique de , 0 = 6, n'est pas dans cet intervalle, on rejette H0: = 6 au seuil de signifcation =5%

0716,01,6)302,0(96,11,62/ n

zx

0716,01,6)302,0(96,11,62/ n

zx

Test sur une variance ou un écart type Test sur une variance ou un écart type d’une populationd’une population


On calcule la statistique du Khi-deux

On compare cette statistique à 2(n-1)d.l. ou 2

1-(n-1)d.l.

Règles de décision

Test unilatéral à droite:

Test unilatéral à gauche:

H0: 2= 02 ou H0: 2 ≥ 0

2

Ha: 2 < 02

On rejette H0 si 2 < 21-(n-1)

2

2

12 = ( n )s

H0: 2= 02 ou H0: 2≤ 0

2

Ha: 2 02

On rejette H0 si 2 2(n-1)



On calcule la statistique du Khi-deux:

On compare cette statistique à 21-(n-1) d.l.

et à 2(n-1) d.l.

Règle de décision

Test bilatéral

2

2

12 = ( n )s

H0: 2= 02

Ha: 2 02

On rejette H0 si 2> 2ou 2 < 2

1-

= 0,05 ; n = 25

s2 = 38,44

À 24 degrés de liberté, et pour =0,05:

21-12,40 et 2

39,36

Statistique du test:

Décision:Ne pas rejeter H0

car 14,42 se trouve entre 12,40 et 39,36

Il n’y a pas d’évidence que la vraie variance soit différente de 64

Exemple

H0:

H1: 22

2

1 314 42

64

24 ( 8,44)

n s,

0 12,4 39,36

Test sur une variance ou un écart type Test sur une variance ou un écart type d’une population (valeur critique)d’une population (valeur critique)

Test sur une variance ou un écart type Test sur une variance ou un écart type d’une population (valeur critique)d’une population (valeur critique)

Les valeurs critiques sont :

Test unilatéral à droite:

Test unilatéral à gauche:

1

2202

ns c

c

1

2-1

202

ns c

c

H0: 2= 02 ou H0: 2≤ 0

2

Ha: 2 02

On rejette H0 si s2 sc2

H0: 2= 02 ou H0: 2≥ 0

2

Ha: 2< 02

On rejette H0 si s2 < sc2

Test bilatéral: les valeurs critiques sont :

Test sur une variance ou un écart type d’une Test sur une variance ou un écart type d’une population (valeur critique)population (valeur critique)

Test sur une variance ou un écart type d’une Test sur une variance ou un écart type d’une population (valeur critique)population (valeur critique)

1

et 1

) 22

202

2

22(1

202

1

ns

ns cc

H0: 2= 02

Ha: 2 02

On rejette H0 si s2> sc22 ou s2 < sc1

2

Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers de la ville de Charlesbourg effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre X d'arrestations quotidiennes suivantes :

X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12, 15

De ces observations, on déduit :

Au niveau de signification = 0,05, y a-t-il lieu de croire que le règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre d'arrestations effectuées par les policiers de Charlesbourg ? On suppose que le nombre d'arrestations suit une loi normale.

Réponse: On ne rejettera pas l’hypothèse nulle H0:=20 car la valeur t critique qu’on obtient est égale à –1,04 ce qui n’est pas plus petit que -t

Test d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriques

x i 187 et xi2 3637

Le ministère des transports affirme que 15 % des véhicules circulant sur nos routes ne rencontrent pas les normes de sécurité du code de la route. La police procède alors à l'inspection de 600 véhicules parmi lesquels elle retrouve 94 ne rencontrant pas les normes de sécurité du code de la route. En utilisant un niveau de signification = 0,05, peut-on accepter l'affirmation du ministère des transports ?

Réponse: On ne rejettera pas l’hypothèse nulle H0:p=0,15 car la valeur z critique qu’on obtient est égale à 0,41 ce qui est plus petit que z

Test d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriquesTest d’hypothèses paramétriques

ExempleExemple

Dans le cadre d'un processus de fabrication, à toutes les heures un technicien tire un échantillon aléatoire de 5 pièces produites par une machine et détermine le nombre D de pièces défectueuses dans cet échantillon. Dans les 120 derniers contrôles effectués, on a obtenu les résultats suivants :

D 0 1 2 3 4 5

Fréquence 36 46 25 12 1 0 a) Pour = 0,05, peut-on affirmer que le quart des pièces produites par cette machine

sont défectueuses ? b)Si, en réalité, cette machine produit 20 % de pièces défectueuses, quelle est la

probabilité que les 120 derniers contrôles effectués nous aient amenés à rejeter l'hypothèse selon laquelle le quart des pièces produites par cette machine sont défectueuses ? Comment appelle-t-on cette probabilité ?

c) À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de 95 %, estimer la vraie proportion de pièces défectueuses produites par cette machine, sur la base des résultats des 120 derniers contrôles.

(sol travail 7)

ExempleExemple

Une machine automatique est utilisée pour effectuer le remplissage d’un certain contenant. La machine est ajustée pour assurer que le poids moyen du contenant soit de 450 grammes. Un échantillon de 25 contenants donne une moyenne de 438 grammes et un écart type de 15 grammes. Devrait-on arrêter la production, à un seuil de signification 5 % ?

Si la machine est en réalité ajustée à 440 grammes, quelle est la probabilité de ne pas détecter ce changement avec un échantillonnage de 25 contenants (supposons ici = 10 et = 0,05) ?

(solrevi-final)

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