Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique...

Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique linéaire homogène et isotrope

Chapitre VIII : Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique

Objectifs :

• Propagation dans un milieu diélectrique linéaire homogène et isotrope

• Dispersion et absorption dans un milieu diélectrique linéaire homogène et isotrope

1. Rappels

Rappels : ”Electromagnétisme” - Electromagnétisme dans les milieux - Chapitre V : Equations de Maxwell dans la matière :

2. Polarisation d’un milieu matériel2.1. Polarisation dans les milieux isolants• Dans un milieu conducteur les charges libres ou charges de conduction (électrons ou ions) peuvent se déplacer

dans l’ensemble du matériau. Ce déplacement est à l’origine des densités volumiques de charges libres ρ et de courant librej qui intervenaient dans les équations de Maxwell.

• Dans un milieu isolant (ou milieu diélectrique) il n’y a pas de charges libres mais les charges liées peuvent tout demême se déplacer légèrement. Ces déplacements peuvent provoquer l’apparition de moments dipolaires induits : le milieuse polarise.2.1.1. Polarisation électronique ou atomique2.1.2. Polarisation dipolaire ou polarisation d’orientation2.1.3. Polarisation ionique2.2. Vecteur polarisationPlongé dans un champ électrique, un milieu diélectrique se polarise : chaque volume mésoscopique dτ de matière acquiert

un moment dipolaire électrique dp induit par le champ, caractérisé par un moment dipolaire volumique P appelé vecteurpolarisation et défini par dp = Pdτ .2.3. Densités de charges équivalentes à la polarisation2.4. Polarisation variable et courant de polarisation2.5. ConclusionLors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnétique dans un milieu matériel, on peut substituer à

la polarisation P du milieu :• une densité volumique de charges de polarisation ρp = −div P ;• une densité surfacique de charges de polarisation σp = P.n (n étant orienté vers l’extérieur du milieu matériel);

• une densité volumique de courant de polarisation jp = ∂ P∂t en régime variable.

Ainsi, dans un milieu matériel, nous pouvons utiliser les équations de Maxwell ”dans le vide”, à condition de tenir comptede ces différentes densités volumiques de charges et de courants.• La densité volumique de charges de polarisation ρp et la densité volumique de courant de polarisation jp vérifient

l’équation locale de conservation de la charge divjp +∂ρp∂t = 0

3. Aimantation d’un milieu matériel3.1. Les différents milieux magnétiques3.2. Action de B sur un matériau magnétique3.2.1. Cas d’une substance diamagnétique3.2.2. Cas d’une substance paramagnétique3.2.3. Cas d’une substance ferromagnétique3.2.4. Vecteurs aimantationPlongé dans un champ magnétique, un milieu s’aimante : chaque volume mésoscopique dτ de matière acquiert un

moment dipolaire magnétique d M induit par le champ, caractérisé par un moment dipolaire volumique M appelé vecteuraimantation et défini par d M = M dτ .Certains milieux, appelés milieux ferromagnétiques, peuvent présenter une aimantation permanente.3.3. Aimantation et distribution de courants équivalents3.4. ConclusionLors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnétique dans un milieu matériel, on peut substituer à

l’aimantation M du milieu :• une densité volumique de courant d’aimantation jm =

−→rot M ;

• une densité surfacique de courant d’aimantation jsm = M ∧ n (n étant la normale orientée vers l’extérieur du milieumatériel).Dans un milieu matériel, nous pouvons utiliser les équations de Maxwell ”dans le vide”, à condition de tenir compte de

la densité volumique de courant d’aimantation.

Physique des ondes. Chapitre VIII : Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique 2

4. Equations de Maxwell dans un milieux matériels4.1. Equations pour E et B• équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div E =

ρ+ρpε0

• équation de Maxwell-Ampère (M-A) : −→rot B = µ0(j +jp +jm

)+ µ0ε0

∂ E∂t

• équation du Flux magnétique (M-Φ) : div B = 0• équation de Maxwell-Faraday (M-F) : −→rot E = − ∂ B

∂t

Soit en utilisant ρp = −div P , jp = ∂ P∂t et

jm =−→rot M :

• équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div E = ρε0− div P

ε0

• équation de Maxwell-Ampère (M-A) : −→rot B = µ0(j + ∂ P

∂t +−→rot M

)+ µ0ε0

∂ E∂t


∂t

Ces équations ne suffisent pas pour déterminer le champ électromagnétique (E, B) car la polarisation P et l’aimantationM ne sont pas en général des fonctions données à priori mais elles dépendent elles-mêmes de E et B.4.2. Vecteurs D et HOn cherche à se ramener à des équations semblables à celles obtenues dans le vide. Pour cela on introduit deux nouveaux

vecteurs :

D = ε0 E + P vecteur induction électrique ou vecteur D

H =B

µ0− M vecteur excitation magnétique ou vecteur H

4.3. Equations de MaxwellOn obtient alors• équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div D = ρ

• équation de Maxwell-Ampère (M-A) : −→rot H = j + ∂ D∂t


∂tL’ensemble de ces quatre équations ne suffit pas à la résolution d’un problème car il faut également connaître les relations

entre P et E (soit entre D et E) d’une part et M et B (soit H et B) d’autre part.4.4. Théorème de GaussD’après l’équation de Maxwell-Gauss, le théorème de Gauss s’applique au champ D sous la forme

∫∫

S

©D.dS = Qint

4.5. Théorème d’AmpèreD’après l’équation de Maxwell-Ampère, le théorème d’Ampère s’applique au champ H sous la forme

∮

C

H.d =

∫∫

S

j.dS +

∫∫

S

∂ D

∂t.dS

4.6. Champs à la surface de séparation entre deux milieuxEn tout point M de la surface S , il y a :• continuité de la composante tangentielle du champ E : ET1 = ET2 ;• continuité de la composante normale du champ B : BN1

= BN2.

• pour la composante normale de D : DN2− DN1

= σ n1→2 ;• pour la composante tangentielle de H : HT2 − HT1 = jS ∧ n1→2 ;en désignant par n1→2 le vecteur unitaire normal à la surface S en M orienté du milieu 1 vers le milieu 2.4.7. Vecteur de Poynting dans un milieu matérielDans un milieu, le vecteur de Poynting Π est Π = E ∧ H

Le flux de ce vecteur à travers une surface représente le flux d’énergie (la puissance) électromagnétique qui traverse cettesurface.5. Les milieux linéaires, homogènes et isotropes (L.H.I.)5.1. Permittivité diélectrique d’un milieu matériel5.1.1. Cas statiqueUn milieu est dit linéaire si P et E sont liés par une relation du type

P = ε0 [χe]E


Un milieu est dit isotrope si ses propriétés ne dépendent pas de la direction considérée.Un milieu est dit homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M où on se place.Dans un milieu linéaires, homogènes et isotropes (L.H.I.), lorsque le champ électrique ne varie pas trop vite dans le temps,les vecteurs E, P et D sont liés par les relations :

P = ε0χe E et D = ε0 (1 + χe) E = ε0εr E = ε E

χe est un nombre positif (donc sans dimension) appelé susceptibilité électrique du milieuεr = 1 + χe est la permittivité diélectrique relative du milieu (paramètre sans dimension)ε = ε0εr est la permittivité (absolue) du milieu et s’exprime en F.m−1

5.1.2. Cas dynamiqueSi les variations de E sont trop rapides il apparaît un retard entre la polarisation et le champ électrique.

Dans un milieu linéaire, en régime variable la relation entre P et E est une équation différentielle linéaire.Dans la suite on suppose que le milieu est linéaire, homogène et isotrope.Si le champ électrique est sinusoïdal alors la polarisation est, en régime permanent, une fonction sinusoïdale de même pulsation: il existe un déphasage entre P et E et l’amplitude de P peut être fonction de la fréquence de E. On peut alors adopter lanotation complexe et définir une susceptibilité électrique complexe

χ(ω) = χ′(ω) + iχ′′(ω) et P = ε0χE

On introduit également la permittivité diélectrique complexe ε(ω) = ε′(ω) + iε′′(ω)5.2. Perméabilité magnétique d’un milieu matériel5.2.1. Milieux diamagnétiques et paramagnétiquesLa plupart des milieux présentent des propriétés magnétiques extrêmement faibles. Ils sont, en général, linéaires, ho-

mogènes et isotropes (L.H.I.). Dans ce cas, les vecteurs B , M et H sont reliés par

M = χm H et B = µ0(1 + χm) H = µ0µr H = µ H

χm est négative pour les milieux diamagnétiques et positive pour les milieux paramagnétiques.Remarques :1) La susceptibilité χm étant très faible, nous écrirons en général, pour un milieu diamagnétique ou paramagnétique

M = χm H =χmµ0µr

B =χm

µ0(1 + χm)B ≈ χm

µ0B

2) Dans la matière, le champ B total résulte de la superposition du champ créé par les sources extérieures au milieu(courants électriques ou aimants) et du champ créé par la matière elle-même (c’est-à-dire les dipôles magnétiques atomiques).Dans un milieu diamagnétique ou paramagnétique, ce dernier champ est souvent négligé et l’on suppose B ≈ µ0 H.5.2.2. Milieux ferromagnétiques

2. Propagation d’ondes dans un milieu LHI

2.1. Onde monochromatique dans un diélectrique lhi

Soit un milieu diélectrique lhi non magnétique.En régime dynamique nous ne pouvons écrire de façon simple le lien général entre D (t) et E (t) : la polarisation P (t) dépendde la valeur du champ E (t) à l’instant t mais aussi aux instants antérieurs (cf. rappel § 5.1.2.).Pour des champs monochromatiques nous pouvons écrire une relation de proportionnalité entre D et E avec une constantediélectrique ε (ω) dépendant de la pulsation.Nous cherchons alors des solutions des équations de Maxwell sous la forme :

E (M, t) = Eω (M) e−jωt et B (M, t) = Bω (M) e

−jωt

Avec les hypothèses précédentes :D = ε (ω) E

Les équations de Maxwell dans un tel milieux s’écrivent :

div D = 0 ;−→rot B = µ0

∂ D

∂t; div B = 0 ;

−→rot E = − ∂

B

∂t

nous obtenons :

div(ε (ω) E

)= 0 ;

−→rot B = µ0

∂(ε (ω) E

)

∂t; div B = 0 ;

−→rot E = − ∂

B

∂t

⇒ div E = 0 ;−→rot B = µ0ε (ω)

∂ E

∂t; div B = 0 ;

−→rot E = − ∂

B

∂t


Nous retrouvons les mêmes équations que pour la propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide mais en remplaçantε0 par ε (ω) = ε0εr (ω).

Dans un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope (LHI), le champ électromagnétique d’uneonde monochromatique vérifie l’équation d’onde de d’Alembert :

∆E − εrc2∂2 E∂t2 =

0 et ∆B − εrc2∂2 B2

∂t2 = 0

2.2. Onde plane progressive monochromatique dans un diélectrique lhi

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant suivant (Ox) :

E (M, t) = Eωej(kx−ωt) et B (M, t) = Bωe

j(kx−ωt)

Les équations de Maxwell s’écrivent :

Maxwell-Gauss (M-G) : k. E = 0 Maxwell-Ampère (M-A) : k ∧ B = −ωεrc2E

Flux magnétique (M-Φ) : k. B = 0 Maxwell-Faraday (M-F) : k ∧ E = ω B

Nous retrouvons les mêmes équations que pour la propagation d’ondes électromagnétiques planes progressives monochro-matiques dans le vide mais en remplaçant ε0 par ε (ω) = ε0εr (ω).

Dans un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope (LHI), le champ électromagnétiqued’une onde plane progressive monochromatique est transverse : les vecteurs ux, E et B forment

un trièdre trirectangle direct B = kωux ∧ E . La relation de dispersion est k

2 = εrω2

c2 .

2.3. Modèle de l’électron élastiquement lié

Nous recherchons une expression de la permitivité diélectrique d’un milieu. Nous utilisons pour cela le modèle de l’électronélastiquement lié :

2.3.1. Hypothèses

• Nous étudions l’action d’une onde électromagnétique sur un atome.Nous ne considérons que l’action du champ électrique sur les électrons (le noyau dont la masse est beaucoup plusimportante est supposé immobile).Enfin nous supposerons le champ électrique incident uniforme à l’échelle de l’atome (λ ≈ µm d ≈ 0, 1nm) :E = E0 cosωt

• Nous étudions le cas particulier d’un atome à un électron. Soit P le barycentre des positions successives de l’électron.Nous affectons à ce point P la masse m et la charge q = −e de l’électron.

• Au repos, le point P est confondu avec le noyau repéré par le point O. Hors équilibre, nous notons r le vecteur −−→OP .

• Nous pouvons interpréter les phénomènes expérimentaux en postulant que le mouvement de P obéit à l’équationdifférentielle d’un oscillateur harmonique amorti :

— l’électron est soumis à une force de rappel (de type ressort) de la part du noyau :

Frappel = −k−−→OP = −mω20

−−→OP = −mω20 r

— l’électron est soumis à une force de type frottement visqueux (lors de son déplacement, l’électron rayonne uneénergie électromagnétique prélevée sur son énergie mécanique) :

Fvisq = −hd−−→OP

dt= −mω0

Q

d−−→OP

dt= −mω0

Q

•r avec Q facteur de qualité


2.3.2. Mise en équation

Appliquons la deuxième loi de Newton : ma =∑ F

⇒ m••r = Frappel + Fvisq + q E

⇒ m••r +m

ω0Q

•r +mω20 r = q

E

Nous nous intéressons uniquement au régime sinusoïdal forcé. L’excitation étant sinusoïdale nous utilisons la notationcomplexe :

E = E0 cosωt⇒ E = E0e−jωt et r = r0e

−jωt

L’équation différentielle s’écrit alors :

−mω2r0 − jωmω0Qr0 +mω

20r0 = q

E0 ⇒ r0 =q

mω20 −mω2 − jωmω0Q

E0 =

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

) E0

2.3.3. Polarisation en régime sinusoïdal

Le déplacement r de la charge q engendre un moment dipolaire induit :

p = qr

Par définition, la polarisabilité électronique complexe α est la grandeur telle que :

p = ε0αElocal ≈ ε0αE (pour les milieux peu denses)

Nous avons donc :

ε0αE = q

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

) E ⇒ α =1

ε0

q2

mω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

)

Soit N le nombre de charges liées par unité de volume. Le vecteur polarisation P est alors

P = Np = Nε0αE

comme P = ε0χE

⇒ χ = Nα⇒ χ =

Nq2

mε0ω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

)

La susceptibilité diélectrique du milieu s’écrit

χ =χ0

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

) où χ0 =Nq2

mε0ω20est la susceptibilité diélectrique statique

Soient

χ′ = e(χ)= χ0

1−(ωω0

)2

(1− ω2

ω20

)2+(

ωQω0

)2 et χ′′ = m(χ)= χ0

ωQω0(

1− ω2

ω20

)2+(

ωQω0

)2

Nous pouvons tracer χ′ et χ′′ en fonction de x = ω/ω0 (avec Q = 10) :

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3x


Pour interpréter ces courbes nous allons introduire les indices de réfraction et d’extinction.Remarque : dans un milieu réel il y a plusieurs type de charges liées susceptibles de se déplacer sous l’action du champ

électrique ; nous pouvons appliquer le même raisonnement pour chaque type (avec des valeurs ω0i et Qi). Le tracé final estune ”répétition” des courbes précédentes.

2.4. Dispersion et absorption

D’après le paragraphe 2.2. la relation de dispersion des OPPM dans un milieu diélectrique LHI est

k2 = εrω2

c2

Par définition, l’indice n du milieu est la racine carrée à partie réelle positive de εrn2 = εr ⇒ k = ±nωc

Nous posons n′ = e (n) et n′′ = m (n) :

⇒ (n′ + jn′′)2= εr = ε

′r + jε

′′r

⇒ n′2 − n′′2 = ε′r et 2n′n′′ = ε′′r

Pour une OPPM se propageant dans le sens des x croissants et en faisant apparaître les parties réelle et imaginaire du vecteurd’onde k = k′ + jk′′ = n′ ωc + jn

′′ ωc

E (x, t) = E0e−k′′xej(k

′x−ωt) avec k′ = n′ω

cet k′′ = n′′

ω

c

• l’indice n′ intervient dans le terme de propagation ej(k′x−ωt) = e

j(

ωc/n′ x−ωt

). C’est l’indice de réfraction utilisé en

optique : la vitesse de phase est alorsvϕ =

ω

k′=c

n′

n′ caractérise la dispersion du milieu (le milieu est dispersif si n′ dépend de ω).

• l’indice n′′ intervient dans le terme d’absorption e−k′′x = e−n′′ ωc x. C’est l’indice d’extinction.

Pour tracer les variations de n′ et n′′ en fonction de ω nous utilisons les expressions de χ′ et χ′′ obtenues au paragrapheprécédent et la relation liant la susceptibilité diélectrique du milieu χ à la permittivité diélectrique relative εr = ε

′r + jε

′′r :

εr = 1 + χ⇒ ε′r = 1 + χ

′ et ε′′r = χ′′

n′2 − n′′2 = ε′r et 2n′n′′ = ε′′r

Tracé de n′ et n′′ en fonction de x = ω/ω0 pour χ0 = 10−2

(résolution numérique avec Maple)

2.5. Zone de transparence

Nous nous plaçons dans un domaine de fréquence où la dispersion et l’absorption sont faibles

εr = ε′r + jε

′′r ≈ ε′r ⇒ n = n′ + jn′′ ≈ n′ avec n′2 = ε′r


On appelle zone de transparence un domaine de fréquences où l’indice optique du milieu est réel :l’onde s’y propage sans atténuation et la dispersion est alors faible.Dans un tel domaine la vitesse de groupe d’un paquet d’onde est la vitesse de propagation del’énergie et elle est inférieure à c.

Dans le domaine visible, le modèle précédent est applicable au verre : ω0 se situe dans les UV lointains et Q est trèsgrand. Si nous nous plaçons dans le visible ω ω0 et nous obtenons

χ′ = χ0

1−(ωω0

)2

(1− ω2

ω20

)2+(

ωQω0

)2 et χ′′ = χ0

ωQω0(

1− ω2

ω20

)2+(

ωQω0

)2

Q 1⇒ χ′ ≈ χ01

1− ω2

ω20

et χ′′ ≈ 0

⇒ ε′r ≈ 1 + χ0(1 +

ω2

ω20

)et ε′′r = 0

n2 = εr ⇒ n2 = 1 + χ0

(1 +

ω2

ω20

)= 1 + χ0

(1 +

λ20λ2

)

⇒ n =

√1 + χ0

(1 +

λ20λ2

)≈ 1 + 1

2χ0

(1 +

λ20λ2

)

⇒ n =(1 +

χ02

)+(χ02λ20

) 1

λ2

⇒ n = A+B1

λ2formule de Cauchy

Remarque : la formule de Cauchy est effectivement vérifiée pour les diélectriques utilisés en optique mais les constantes Aet B sont déterminées expérimentalement car le modèle simple adopté ici ne rend pas compte de la complexité des propriétésélectroniques des matériaux (cf. TP goniomètre : mesure de l’indice d’un prisme)..

2.6. Zone d’absorption

On appelle zone d’absorption un domaine de fréquences où l’indice optique du milieu est complexe :l’onde s’y propage avec atténuation et la dispersion est alors importante. Dans un tel domaine lavitesse de groupe d’un paquet d’onde n’a plus de signification physique.

3. Réflexion des ondes électromagnétiques

3.1. Description du problème

Soient deux milieux diélectriques (1) et (2), linéaires, homogènes et isotropes dont les propriétés magnétiques sont voisinesde celles du vide (µ1 ≈ µ2 ≈ µ0). Nous nous plaçons de plus dans des zones de transparence : les indices n1 et n2 sont réels.Une OPPM incidente de pulsation ω se propage dans le milieu (1) et arrive sur la surface de séparation entre les deux milieuxet donne naissance, en général, à une onde réfléchie et une onde transmise.Les milieux étant linéaires, les trois ondes ont même pulsation : l’onde incidente met en vibration les charges liées du milieudiélectrique; celles-ci oscillent en régime forcé à la pulsation ω de l’onde incidente et réémettent des champs de même pulsation(rayonnement des dipôles oscillants).

3.2. Champs au voisinage de la surface de séparation de deux diélectriques

On rappelle les résultats obtenus dans le cours d’électromagnétisme (Electromagnétisme dans les milieux - Chapitre V :Equations de Maxwell dans la matière).En tout point M de la surface S , on a :

• continuité de la composante tangentielle du champ E : ET1 = ET2 ;

• continuité de la composante normale du champ D : DN2− DN1

= 0 ;

• continuité de la composante normale du champ B : BN1 = BN2 .

• continuité de la composante tangentielle du champ H : HT2 − HT1 = 0 ;

soit :


ET1 =ET2 εr1 EN1

= εr2 EN2

BT1 =BT2

BN1= BN2

3.3. Réflexion et réfraction à la surface de deux milieux transparents

3.3.1. Lois de Descartes

11 rn ε=

22 rn ε=

i1 r

i2ikr

rkr

tkr

Désignons par ki, kr, kt les vecteurs d’onde des ondes respectivement incidente, réfléchie et transmise et ki, kr, kt lesmodules correspondants.Remarquons que les ondes incidente et réfléchie se propageant dans le même milieu, dont l’indice sera noté n1, on a :

ki = kr =ω

v1=ω

cn1

Pour l’onde transmise dans le milieu d’indice n2 :kt =

ω

v2=ω

cn2

Les champs électriques des ondes s’écrivent :

Ei (r, t) =E0ie

j(ki.r−ωt) ; Er (r, t) =E0re

j(kr.r−ωt) ; Et (r, t) =E0te

j(kt.r−ωt)

Soit M un point de la surface de séparation. Les conditions de passage au niveau du dioptre donnent (pour E tangentiellepar exemple)

ET1 (M, t) = ET2 (M, t)

⇒ EiT (M, t) +ErT (M, t) =

EtT (M, t)

⇒ E0iT ej(ki.r−ωt) + E0rT e

j(kr.r−ωt) = E0tT ej(kt.r−ωt) avec r =

−−→OM

⇒ E0iT ejki.r + E0rT e

jkr.r = E0tT ejkt.r

⇒ E0iT +E0rT e

j(kr−ki).r = E0tT ej(kt−ki).r

Cette dernière relation doit être vérifiée pour tout point M sur le dioptre :

∀M ∈ (dioptre) E0iT +E0rT e

j(kr−ki).−−→OM = E0tT e

j(kt−ki).−−→OM

⇒(kr − ki

).−−→OM = cste et

(kt − ki

).−−→OM = cste

Choisissons l’origine O sur la surface de séparation ; pour M confondu avec O, les constantes sont nulles :

Les vecteurs(kr − ki

)et(kt − ki

)sont perpendiculaires au dioptre ou de manière équivalente :

les vecteurs d’onde kr et kt des ondes réfléchies et transmises sont dans le plan d’incidence définipar le vecteur d’onde incidente ki et la normale au dioptre (1ere loi de Descartes).


Soit n la normale au dioptre ;

D’après la 1ere loi de Descartes(kr − ki

)et(kt − ki

)sont perpendiculaires au dioptre donc colinéaires à n :

⇒(kr − ki

)∧ n = 0 et

(kt − ki

)∧ n = 0

⇒ kr ∧ n = ki ∧ n et kt ∧ n = ki ∧ n⇒ ω

cn1 sin r =

ω

cn1 sin i1 et

ω

cn2 sin i2 =

ω

cn1 sin i1

Nous retrouvons les deuxième et troisième lois de Descartes de l’optique géométrique :

• Les angles de reflexion et d’incidence sont égaux : r = i1• Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : n1 sin i1 = n2 sin i2

3.3.2. Amplitudes des ondes réfléchies et réfractées sous incidence normale

Envisageons le cas particulier d’une onde incidente polarisée rectilignement se présentant sous incidence normale. Les champsde l’onde incidente s’écrivent alors :

Ei = E0iej(kix−ωt)uy , Bi = B0ie

j(kix−ωt)uz =E0iv1ej(kix−ωt)uz

11 rn ε=

22 rn ε=

iE

iBik

rE

rB

tk

rk

tE

tB

Nous obtenons de même pour les ondes réfléchies et transmises :

Er = E0rej(krx−ωt)uy = E0re

j(−kix−ωt)uy

Br =krω∧ Er =

−kiω∧ Er = −

E0rv1ej(−kix−ωt)uz

Et = E0tej(ktx−ωt)uy

Bt =ktω∧ Et =

E0tv2ej(ktx−ωt)uz

Ecrivons les conditions de passage sur les champs. En x = 0 et ∀ t :

• la continuité de la composante tangentielle du champ E impose :

Ei +Er =

Et ⇒ E0i +E0r = E0t (1)

• la continuité de la composante tangentielle du champ B impose :

Bi +Br =

Bt ⇒E0iv1

− E0rv1

=E0tv2

Soit encore :n1E0i − n1E0r = n2E0t (2)


Des relations (1) et (2) on tire :

E0r =n1 − n2n1 + n2

E0i et E0t =2n1

n1 + n2E0i

2n1n1+n2

étant un réel positif, le champ transmis est toujours en phase avec le champ incident.Le champ réfléchi est :

• Si n1 > n2, en phase avec le champ incident, ϕr = 0.

• Si n1 < n2, en opposition de phase avec le champ incident, ϕr = π.

Ce dernier résultat est particulièrement important :

Toute réflexion d’une onde sur un dioptre provoque un changement de phase de π lorsque l’onde sepropage dans le milieu le moins réfringent. C’est le cas par exemple lors d’une réflexion air-verre ouair-eau.On définit les coefficients de réflexion r12 et de transmission t12 pour les amplitudes complexes deschamps :

r12 =Er

Ei= n1−n2

n1+n2et t12 =

Et

Ei= 2n1

n1+n2

3.3.3. Puissances transmise et réfléchie

Le vecteur de Poynting est donné par :

Π =E ∧ Bµ0

=E

µ0∧(1

vux ∧ E

)=E2

µ0vux = vεE

2ux

Ecrivons le flux de puissance à travers une surface fermée Σ, orientée vers l’extérieur, entourant le dioptre qui sépare les deuxmilieux d’indice n1 et n2 :

Φt

n1

n2

ΦrΦi

Σ

Le flux dû à l’onde incidente est négatif, les flux dus aux ondes réfléchie et transmise sont positifs :

Φi = ΠiS = −v1ε1E2i S ; Φt = ΠtS = v2ε2E2t S ; Φr = ΠrS = v1ε1E2rS

Le flux total à travers la surface fermée est nul :

Φi +Φt +Φr = 0⇒−Φi = Φt +Φrsoit v1ε1E2i S = v2ε2E

2t S + v1ε1E

2rS

En écrivant v1ε1 = cn1ε0n

21 et v2ε2 =

cn2ε0n

22 il vient :

n1E2i = n1E

2r + n2E

2t

On définit les coefficients de réflexion R et de transmission T pour le flux lumineux :

R = ΦrΦi=

E2r

E2i= r r =

[n1−n2n1+n2

]2et T = Φt

Φi= n2

n1

E2t

E2i= n2

n1t t = 4n1n2

[n1+n2]2

la conservation de l’énergie s’écrit alors : R+ T = 1


Par exemple pour un dioptre air-verre : n1 = 1 ; n2 = 1, 5. On calcule alors : R = 4% ; T = 96%.A la traversée d’une lentille ou d’une vitre (deux dioptres air-verre successifs) et en négligeant les réflexions multiples àl’intérieur (vérifier que l’approximation est légitime) :

T = (0, 96)2= 92%

D’où la nécessité des traitements antireflets pour les optiques des intruments comportant un nombre important de lentilles.

4. Exercices

Exercice n 01 : (Centrale)

Une onde plane progressive monochromatique (ω), polarisée rectilignement selon la bissectrice intérieure de XOY , arrive enincidence normale sur une lame diélectrique anisotrope caractérisée par :

Dx = ε1ExDy = ε2Ey

avec ε1 = ε2.

1) Déterminer la nature de l’onde qui ressort du système après une première traversée de la lame, une réflexion sur le miroirpuis une deuxième traversée de la lame (on ne prendra pas en compte les problèmes associés à la traversée des faces d’entrée et desortie de la lame). On posera n1 =

√ε1/ε0 et n2 =

√ε2/ε0.

2) Donner la condition pour qu’elle soit polarisée circulairement.

Exercice n 02 : (ENSI)Un plasma neutre est constitué d’électrons considérés comme libres et d’ions positifs supposés fixes (de par leur plus grande

inertie), ces derniers ayant pour seul rôle d’assurer la neutralité électrique globale du milieu. Les électrons de masse m, de charge−e, sont au nombre de n0 par unité de volume.1) Montrer qu’on peut lui associer une conductivité complexe γ quand, à l’intérieur de celui-ci, le seul champ auquel sont

soumis les électrons est un champ uniforme sinusoïdal d’expression complexe E = E0e−iωt où E0 est l’amplitude complexe.

2) On cherche à propager dans le plasma une onde plane progressive monochromatique dont le vecteur champ électrique est dela forme : E = E0e

i(k.r−ωt) où k est le vecteur d’onde et r le vecteur position. Après avoir précisé les hypothèses qu’il faut fairepour avoir le droit d’utiliser la conductivité complexe établie à la question précédente, montrer que tout revient, dans les calculs

habituels de l’onde plane dans le vide, à remplacer ε0 par ε = ε0(1− Ω2

ω2

)où Ω =

√n0e2

mε0(on laissera de côté le cas ω = Ω).

3) Le plasma occupe le demi-espace (x > 0). Une onde incidente monochromatique polarisée rectilignement se propage dansle vide et atteint le plasma sous incidence normale. Calculer les coefficients (complexes) r et t de réflexion et de transmission enamplitude (ces coefficients sont définis par rapport au champ électrique). En déduire les coefficients (réels) R et T de réflexion etde transmission en intensité.

Exercice n 03 : Indice d’un milieu conducteurUne O.P.P.M. de pulsation ω se propage dans la direction et le sens de l’axe (Ox). On note, en notation complexe E (r, t) =

E0ej(ωt−kx) le champ électrique de cette onde (on pourra supposer E0 réel) ; le nombre d’onde k est a priori complexe : k = k1−jk2

avec k1 et k2 réels positifs.1) L’onde se propage dans un métal qui, dans le domaine des basses fréquences, présente une conductivité réelle et positive

γ0, indépendante de la fréquence, une permittivité et une perméabilité égales à celles du vide, respectivement ε0 et µ0 (ε0 =8, 85.10−12 F.m−1). Dans le domaine de fréquences considéré, on suppose ε0ω γ0.1.a) En comparant les relations de dispersion obtenues pour un milieu diélectrique et pour le milieu métallique, définir l’indice

complexe n du métal.


1.b) Pour un bon conducteur, γ0 est de l’ordre de 107 S.m−1. Exprimer la vitesse de phase et la distance caractéristique de

l’amortissement de l’onde dans le métal. Donner des valeurs numériques pour ω = 106 rad. s−1 et pour ω = 109 rad. s−1.2) L’onde se propage dans l’eau de mer caractérisée, dans le même domaine de fréquences, par une conductivité γ0 = 4S.m

−1

et une permittivité relative εr = 80.2.a) Déterminer la relation de dispersion dans l’eau de mer (attention, on n’a pas forcément εrε0ω γ0).2.b) Quel est le facteur responsable de l’atténuation de l’onde dans le milieu marin ? Exprimer, en fonction des données et de

l’abscisse x la puissance moyenne volumique cédée par l’onde à l’eau de mer.2.c) Quelle est la distance caractéristique de l’amortissement de l’onde ? La calculer pour ω = 106 rad. s−1 et pour ω =

109 rad. s−1. La communication avec les sousmarins est-elle facile ? Dans quelle gamme de fréquences at-on intérêt à se placer ?

Exercice n 04 : Incidence de Brewster

Une OPPH de pulsation ω, polarisée dans le plan d’incidence arrive sous un angle d’incidence i1 sur un dioptre plan d’équationz = 0 séparant deux DLHI parfaits d’indices respectifs n1 et n2 et donne naissance à une onde réfléchie et une onde réfractée (cffigure ci-dessus). Ces trois ondes sont décrites en notation complexe par les champs électriques :

Ei = E0i exp(jωt− jki.r

); Er = E0r exp

(jωt− jkr.r

); Etr = E0tr exp

(jωt− jktr.r

)

1) Rappeler les conditions aux limites satisfaites par certaines composantes de D et de E. En déduire qu’il existe un angleparticulier, appelé angle de Brewster iB tel que l’onde réfléchie n’existe pas et donner son expression en fonction des indices.Sachant que le coefficient de réflexion d’une onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence ne s’annule pas, que peut-on dire de la polarisation de l’onde réfléchie lorsqu’on éclaire la lame sous l’angle de Brewster avec une lumière non polarisée,c’est-à-dire dont la polarisation varie aléatoirement d’un train d’ondes au suivant ?2) Pour interpréter physiquement l’incidence de Brewster, on adopte le modèle suivant : l’onde incidente pénètre dans le milieu

(2) en se réfractant ; elle y excite des dipôles oscillants dont le rayonnement crée l’onde réfléchie. En cherchant une condition pourque ces dipôles ne rayonnent pas dans la direction de l’onde réfléchie, retrouver l’expression de iB.

Exercice n 05 : Laser multimodesUne molécule peut passer d’un état d’énergie E1 à un état d’énergie E2 en émettant ou en absorbant un photon de pulsation

ω0 = 2π |E2 −E1| /h, h désignant la constante de Planck. On considère un milieu dont les molécules sont essentiellementdans deux états d’énergie E1 et E2 (avec E2 > E1), à raison de N1 et N2 molécules par unité de volume, traversé par uneonde électromagnétique plane monochromatique de pulsation ω voisine de ω0. La mécanique quantique conduit à prendre pourpermittivité relative de ce type de milieu l’expression :

εr = 1 +q2

2mε0ω0(N2 −N1) f

1

ω0 − ω + jΓ= ε1 − jε2

où q et m désignent le module de la charge et la masse de l’électron, f et Γ sont deux constantes positives et Γ vérifie Γ ω0.On supposera |ε1 − 1| 1 et |ε2| 1.Données : ω0 = 3.1015 rad. s−1 et Γ/ω0 = 3.10−6.1) Indiquer la dimension de f .2) Quel est le signe de (N2 −N1) à l’équilibre thermique, compte tenu de la loi de Boltzmann ? Dans un laser He-Ne, on

maintient les ”populations” N2 et N1 constantes avec N2 > N1 (inversion de population). Que se passe-t-il alors au cours de lapropagation de l’onde ?3) Le tube laser est fermé d’un côté par un miroir plan parfait (facteur de réflexion énergétique égal 1) et de l’autre côté par un

miroir plan à couches multidiélectriques dont le facteur de réflexion énergétique vaut R = 0, 99. La distance entre les deux miroirs,parallèles et perpendiculaires à l’axe (Ox) de propagation de l’onde, est L = 1m.3.a) Si une telle cavité était vide, quelles sont les pulsations ωp des ondes électromagnétiques qui peuvent entrer en résonance

dans cette cavité pour donner des ondes stationnaires ? Indiquer pourquoi ces ondes s’amortissent.


3.b) En présence du milieu amplificateur, quelle est la valeur minimale (N2 −N1)min = N0 à réaliser pour qu’une pulsation ωpuisse exister sans amortissement ?3.c) Si (N2 −N1) = 2N0, indiquer quel est l’intervalle de toutes les pulsations possibles (on dit qu’il y a accrochage de

l’oscillation pour toute cette plage de pulsations).3.d) Écrire l’équation qui détermine les pulsations ω′p sélectionnées par la cavité, dans la plage d’accrochage, en fonction de ωp

et de l’indice de réfraction n1 du milieu. Par la suite, on considérera n1 ≈ 1 et par conséquent ω′p ≈ ωp. Dénombrer les différentes”raies” (c’est-à-dire les différentes pulsations) obtenues sur la plage d’accrochage dans le faisceau de sortie, on dit que le laserfonctionne en multimodes.3.e) On suppose, pour simplifier, que le faisceau de sortie est composé de (2J + 1) O.P.P.M. de même amplitude E0, se

propageant dans l’air sans atténuation (ni amplification !), de pulsations également réparties de (ω0 − Γ) à (ω0 + Γ) et que toutesces O.P.P.M. sortent en phase de la cavité (en x = 0). Montrer que le signal de sortie apparaît comme une succession d’impulsionslumineuses de pulsation moyenne ω0. Quelle est la durée de ces impulsions ? Dépend-elle du nombre de modes ?

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique...

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