11me Olympiades Pan Africaines de Mathmatiques

Ouagadougou, Burkina Faso du 15 au 22 Juillet 2001

Premire preuve Dure : 4 h 30

EXERCICE I :

Trouver tous les entiers n 1 tels que 73

2

3

+

+

n

nsoit un entier.

EXERCICE II :

Soit un entier n 1. Un enfant construit un mur le long dune ligne laide de n cubes identiques. Il pose un premier cube sur la ligne et chaque stade, il pose le cube suivant soit sur le sol, soit sur un autre de telle sorte que ce cube ait une face commune avec un autre cube dj pos. Soit un le nombre de tels murs

1- Trouver U1 , U2 , U3 , U4 . 2- Dterminer Un en fonction de n.

EXERCICE III :

Soit ABC un triangle quilatral et soit P0 un point extrieur ce triangle tel que AP0C soit un triangle isocle et rectangle en P0 ; on pose AP0 = a. Une mouche partant du point P0 tourne autour du triangle ABC de la manire suivante. De P0, la mouche atteint P1 symtrique de P0 par rapport A, puis elle sarrte en P2 symtrique de P1 par rapport B et elle continue sa marche en P3 symtrique de P2 par rapport C ; puis en P4 symtrique de P3 par rapport A et ainsi de suite. Comparer les distances P0P1 et P0Pn pour tout n .

P1 A P0 P3

P2

B C

11me Olympiades Pan Africaines de Mathmatiques

Ouagadougou, Burkina Faso du15 au 22 Juillet 2001

Deuxime preuve Dure : 4 h 30

EXERCICE I :

Soit n 1 et un rel a > 0. Trouver le nombre de solutions (x1 ; x2 ; .. ; xn ) de lquation :

( )=

+n

iixax

1

221 )( = na telles que xi { 0 ;a }, i = 1, 2, .., n.

EXERCICE II :

E(x) dsignant le plus grand nombre entier infrieur ou gal x, calculer E( 1) + E( 2 ) + + E( 2001).

EXERCICE III :

S1 un demi cercle de centre O et de diamtre AB, C1 un cercle de centre P tangent en O AB et tangent S1. On trace un demi cercle S2 de centre Q sur AB tangent C1 et S1. On trace un cercle C2 de centre R tangent intrieurement S1 et tangent extrieurement S2 et C1. Montrer que OPRQ est rectangle.

Correction de Lexercice I ( preuve 1)

737

73

22

3

+

=

+

+

n

nn

n

n ;

73

2

3

+

+

n

n

737

+

n

n ( 1 point)

737

+

n

n 377 + nn ( 2 points)

n 7n + 10 0 ; n }{ 5;2 ou n }{ 5;4;3;2;1 (1 point) En vrifiant on trouve n = 2 ou n = 5 ( 3 points).

AUTRE SOLUTION

A partir de 73

2

3

+

+

n

n ( 1 point)

Ce qui donne lquation du second degr n . qn 7n + 7q + 3 = 0. Le discriminant est gal = 28q 12q + 49. On doit avoir des valeurs de q qui rendent positif. On va donc essayer de dterminer ces valeurs de q ; = 6 + (2849) = q }{ 1;5;1 .Comme q prend une valeur entire , q = 1 ( 2points). Il sen suit que 1

737

=

+

n

n, soit n 7n + 10 = 0. Ce qui donne n = 2 et n = 5 ( 3

points).

Correction de Lexercice I ( preuve 2)

( ) ( ) ( )( ) int)1(02

222)(1 1

2222222222

poaxx

nanaaxxnaxaxaxnaxax

ii

n

i

n

iiiiiiii

=

=+=++=+= =

Pour tout i }{ n........;;2;1 )( axx ii est un nombre ngatif. Nous avons donc une somme nulle de n termes tous ngatifs. Chacun des termes est donc ngatif. Soit, pour tout i, )( axx ii = 0 ou encore xi = 0 ou xi = a (2points) Dans le n-uplet (x1 ; x2 ; ; xn) chacun des termes ne peut prendre que deux valeurs, 0 ou a. On a donc 2n solutions (2points).