ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ

TO ΣTAΣIMO KYMA:

AΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

ΜΙΑΣ ΙΔΙΑΖΟΥΣΑΣ

ΑΡΧΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Σε χορδή έχει δοθεί το περίγραμμα y(x, t=0) = φ(x).

O μηχανισμός που δίνει το περίγραμμα αποσύρεται απότομα τη χρονική στιγμή t=0.

Ποιά εξίσωση y(x,t) περιγράφει τη διαταραχή που θα διαδοθεί στη χορδή;

T T

y

x

y(x, t=0) = φ(x).

)()(),( txgtxftxy

Η γενική λύση είναι:

T T

y

x

y(x, t=0) = φ(x).

( (( , )) )f xx ty tt g x

ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΠΟΥ ΘΑ ΔΙΑΔΟΘΟΥΝΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΕΡΑ

ΘΑ ΕΧΟΥΝ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ

T T

y

x

y(x, t=0) = φ(x).

( (( , )) )f xx ty tt g x

ΓΙΑ t = 0

)(21)0,()0,( txgtxf

y(x, t=0) = φ(x) = f(x, t=0) + g(x, t=0

ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ:

T T

-υ +υ

1 (1 ( )) ),2 2

( x ty tt xx

y(x, t=0) = φ(x).

)(21)0,()0,( txgtxf

ΜΙΑ ΙΔΙΑΖΟΥΣΑ

ΑΡΧΙΚΗ

ΧΩΡΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

Σε χορδή έχει δοθεί το περίγραμμα:

TI AΠEIKONIZEI Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ λ;TH XΩΡΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ.

Ποιά εξίσωση y(x,t) περιγράφει τη διαταραχή που αποκαθίσταται στη χορδή

μετά την απόσυρση του μηχανισμού;

xaxtxy 2cos)()0,(

1 (1 ( )) ),2 2

( x ty tt xx

)(21)0,()0,( txgtxf

xaxtxy 2cos)()0,(

( (( , )) )f xx ty tt g x

)}(2cos{21)}(2cos{

21),( txatxatxy

}2cos{}2cos{),(

txatxy

}2cos{}2cos{),(

txatxy

T

xaxtxy 2cos)()0,(

)}(2cos{21)}(2cos{

21),( txatxatxy

}2cos{}2cos{),(

txatxy

EXOYME ΔΙΑΔΟΣΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝH EΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΟΥΣ ΕΙΝΑΙ:

ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΕΙΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΑΥΤΗ ;

)}(2cos{),(

xtatxy

H ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΑΥΤΗ EINAI KYMA;

)(),( txftxy

ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ:

}2cos{}2cos{),(

txatxy

ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ!

}2cos{}2cos{),(

txatxy

)}(2cos{),(

xtatxy

ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ!λ

ΔΕΝ ΔΙΕΠΕΤΑΙ ΑΠΟ ΦΑΣΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

«ΦΑΙΝΕΤΑΙ»ΟΤΙ ΔΕΝ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΚΑΜΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ

ΟΥΤΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΟΥΤΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ.Η ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΩΝ ΔΥΟ ΟΔΕΥΟΝΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΕΧΟΥΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΕΝΑ ΣΤΑΣΙΜΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.

ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ!

cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a

4)12(

nx

2)1(

nx )2cos(),(2)1( T

ttxynx

0),(4)12(

txynx

ΚΟΙΛΙΕΣ

ΔΕΣΜΟΙ

n=. . . -2, -1, 0, +1, +2

cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a

Δ Δ Δ ΔΚ Κ Κ

ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΕΙΣ

ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

xtxy

ttxy

),(,

2),(21),,(),(

ttxy

dxtdxxxdKtx

2),(21),,(),(

xtxyT

dxtdxxxdtx

),(),( txtx ),(2),(2),( txtxtx

ΟΔΕΥΟΝΚΥΜΑ

xtxy

ttxy

),(,

),(),( txtx

),(2),(2),( txtxtx

ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a

Maxtxtx

),(0),(

0),(0),(

txtx

t = 0

t = Τ/4

cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a

ΣΤΙΣ ΚΟΙΛΙΕΣ Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ ΜΗΔΕΝ.

Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΡΟΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣAΠΟ ΚΟΙΛΙΕΣ ΠΡΟΣ ΔΕΣΜΟΥΣ

ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

t=0

Kt=Τ/4

txatxy

2cos2cos),(

)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx

2),(21),(

xtxyTtx

0),( tx

)2(cos)2(21),( 222 tatx

4

)12( nx

2)1(

nx

Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΚΟΙΛΙΕΣ

ΔΕΣΜΟΙ

txatxy

2cos2cos),(

)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx

2),(21),(

ttxytx

0),( tx

)2(sin)2(21),( 222 tatx

2)1(

nx

4)12(

nx

Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΟΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΚΟΙΛΙΕΣ

ΔΕΣΜΟΙ

txatxy

2cos2cos),(

)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx

)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx

),(),( txtx

txatxy

2cos2cos),(

)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx

22 )2(21),(

atxO

ΚΟΙΛΙΕΣ

t = 0 t = T/4

0),( tx

txatxy

2cos2cos),(

22 )2(21),(

atxO

ΔΕΣΜΟΥΣ

t = 0t = T/4

0),( txk

22 )2(21),(0

atx

)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx

)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx

)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx

MAXk

MAX

txT

kk

k

kTatx

),(221

21

21

21

21)2(

21),(

22

2222

2222

2222

ΜΙΑ ΑΠΟΡΙΑ!

txatxy

2cos2cos),(

tatxy

2cos),(

0),( tx

x

dxx

dx

y

x txF ,

tdxxF ,

t

tdxxFy ,

+ ),( txFy

= 2

2 ),()(ttxydx

ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ Η ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΗΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΗΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ;

2 2

2 2 2

, ,1y x t y x tx t

1

R

t

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

2/32

2

2

1

xyxy

1x 2x

+υ

TO ΣΤΑΣΙΜΟ KYMA

ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ

ΠΟΛΥ ΙΔΙΑΙΤΕΡΟ ΚΥΜΑ!

21

21

ZZZZ

AARi

r

)cos()cos( kxtRAtkxA

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΟΥΣΟΤΑΝ ΕΙΜΑΣΤΕ ΜΕΤΑΞΥ

ΤΩΝ ΔΥΟ ΑΚΡΑΙΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ;R

ΓΙΑ R = +1 ή R = -1 EXOYME ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ.ΓΙΑ R = 0 ΕΧΟΥΜΕ ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ.

1,1

)cos()cos(),( 11 xktRAtxkAtxy

)sin()sin()()cos()cos()(),( 11 xktaAxktaAtxy

21

122

122 )}(sin)()(cos){( xkaAxkaA

21

21

2 })2cos(2{ axkAaA

TO ΠΛΑΤΟΣ ΣΕ ΜΙΑ ΘΕΣΗ x ΘΑ ΕΙΝΑΙ:

21

122 )}2cos(2{ xkAaaA

TO ΠΛΑΤΟΣ ΣΕ ΜΙΑ ΘΕΣΗ xΘΑ METABAΛETAI:

ΑΠΟ (Α+α) ΕΩΣ (Α-α).

RR

AaAa

aAaA

AA

11

1

1

min

max

STANDING WAVE RATIO (SWR)

RR

AaAa

aAaA

AA

11

1

1

min

max

STANDING WAVE RATIO (SWR)

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ:ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΓΙΑ

R = 1, 0, -1;

RR

AaAa

aAaA

AA

11

1

1

min

max

R = 1

R = 1/2

R = 0

R = 1

R = 1/20

R = 0

TA MEΓΙΣΤΑ

ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ!

)cos()cos( kxtRAtkxA

0)sin()sin( kxtRtkx tkxRtkxR sincos)1(cossin)1(

)tan(11)tan( tRRkx

MAX: 0),(

ttxy

)tan(11)tan( tRRkx

x = x (t)ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ!

ΣΤΟ ΓΝΗΣΙΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

ΟΙ ΚΟΙΛΙΕΣ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ;

tRtRRR

tx

MAX 2222 sin)1(cos)1(

)1)(1(

kphase

)tan(11)tan( tRRkx

ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙME TAXYTHTA:

ΓΙΑ tsin(ωt)=0

RR

tx

MAX 11

ΓΙΑ tcos(ωt)=0

RR

tx

MAX 11

H ΔΙΑΤΑΡΑΧΗΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΠΑΣΜΩΔΙΚΑ

tRtRRR

tx

MAX 2222 sin)1(cos)1(

)1)(1(

ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΙΝΗΣΗ

ΤΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ

ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ.

ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ

ΚΑΙ ΟΧΙΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ!

ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ

R = +1 ή R = -1

Η ΜΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΕΙΝΕΙ ΝΑ ΜΗΔΕΝΙΣΤΕΙ

ΚΑΙ Η ΑΛΛΗ ΝΑΑΠΕΙΡΙΣΤΕΙ.

RR

tx

MAX 11

RR

tx

MAX 11

ΜΙΑ ΚΟΙΛΙΑ ΜΕΝΕΙ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΗΣ

ΓΙΑ ΜΕΓΑΛΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑΚΑΙ ΜΕΤΑ

ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΓΡΗΓΟΡΑΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ

ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΘΕΣΗ ΚΟΙΛΙΑΣ.

ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑΕΙΝΑΙ

ΕΙΔΙΚΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΗΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ

ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΟΤΙ

Η ΚΙΝΗΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΤΟΣΟ ΓΡΗΓΟΡΑ

ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΗ.