МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР laquoМАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИraquo

УКРАЇНСЬКИЙ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ЛІЦЕЙКИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Л М Засєдка Г С Манжара І А ПетрусьІ Л Рубцова Г І Салівон Н О Щетиніна

КІНЕМАТИКА

Навчально-методичний посібник

Київ2017

Редакц ійна колег ія О В Лісовий Л М Засєдка

Г С Манжара І А Петрусь І Л Рубцова Г І Салівон Н О Щетиніна Т В Пещеріна Є Д Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру laquoМала академія наук Україниraquo

(протокол 4 від 29112016)

Засєдка Л МКінематика навч -метод посіб Л М Засєдка Г С Манжара І А Петрусь І Л Рубцова Г І Салівон Н О Щетиніна за ред О В Лісового mdash К 2017 mdash 36 с

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи

Видання міститьbull контрольні завданняbull методичні рекомендації та розвrsquoязання різних типів задач із фізикиbull приклади авторських задач дослідницького характеру

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із фізики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів ndash членів Малої академії наук України

copy Міністерство освіти і науки України 2017copy Національний центр laquoМала академія наук Україниraquo 2017copy Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка 2017

3

Шановні учні

Мала академія наук України (МАН України) яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті створила освітній проект laquoНаукові школи МАНraquo Завдяки залученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді а також досвідчених висококваліфікованих педагогів ndash викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв у наукових школах створено особливе освітнє середовище в якому цінуються інтелектуальний потенціал ерудованість прагнення до самовдосконалення взаємодопомога співпраця На заняттях учні 8ndash11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України ndash слухачі наукових шкіл ndashознайомлюються з проблематикою науки поглиблюють базові знання опановують принципи методи дослідницької діяльності набувають навичок самостійної наукової роботи Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розвrsquoязання наукової проблеми яка передбачає з одного боку використання різноманітних методів засобів навчання а з іншого ndashінтегрування знань умінь із різних галузей науки техніки технологій

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові основи дослідницької роботи профільний навчальний курс ndash теоретичний огляд та практикуми індивідуальна дослідницька діяльність ndash здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії ndash настановну (осінню) експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну) Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття навчально-тематичні екскурсії особливе значення надається лабораторним і практичним роботам у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи слухачі беруть участь у вебінарах форумах отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань що виникають на різних етапах наукового пошуку

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали збірники контрольних завдань деталізують плани практичних та семінарських занять Зокрема колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю розроблено навчальні посібники і методичні вказівки необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму

Пещеріна Тетяна Вікторівназаступник директора НЦ laquoМала академія наук Україниraquo

4

КІНЕМАТИКА

Вступ

Світ що нас оточує поєднує в собі різні форми матерії що знаходяться в постійному русі та взаємодії

Фізика ndash наука яка досліджує загальні властивості матерії та явища що в ній відбуваються Вона також виявляє загальні закони які керують цими явищами Будь-які зміни що відбуваються у Всесвіті повrsquoязані з поняттям руху Найпростішою його формою є механічний рух який відображає зміни взаємного розташування тіл чи частин тіла в просторі зі зміною часу Механічний рух ми спостерігаємо на кожному кроці Саме завдяки поширеності механічних явищ та їх наочності механіка як наука в своєму розвитку тривалий час випереджала інші розділи фізики Розквіт механіки повrsquoязаний з іменами Архімеда Галілея Ньютона hellip

Механіка Галілея ndash Ньютона одержала назву класичної механіки Предметом її вивчення є рух макроскопічних матеріальних тіл що здійснюється зі швидкостями значно меншими швидкості світла (с asymp 3108 мс) Саму механіку поділяють на кінематику та динаміку У кінематиці розглядають характеристики руху тіл без зrsquoясування причин які викликають цей рух У динаміці розглядають причини руху тіл Частковим випадком динаміки є статика що вивчає умови рівноваги тіл

Механіка ndash розділ фізики наука що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодію між ними Механічним рухом називають зміну з часом взаємного розташування тіл чи їх частин у просторі

Основне завдання механіки ndash визначити положення тіла в будь-який момент часу

Кінематика ndash розділ механіки у якому вивчається рух матеріальних тіл у просторі без урахування причин що викликають цей рух

Із визначення механічного руху видно що такий рух є не абсолютнима відносним

Система відліку ndash це сукупність тіла відліку повrsquoязаної з ним системи координат і системи відліку часу у відношенні до яких розглядається рух будь-яких тіл

Тіло відліку може складатися з довільно обраної точки що належить фізичному обrsquoєкту або групі обrsquoєктів Вибір тіла відліку фундаментальним чином впливає на властивості системи відліку

Система координат ndash спосіб задання точок простору за допомогою чиселОбовrsquoязковим елементом системи координат є початок координат ndash точка від якої ведеться відлік відстаней Іншим обовrsquoязковим елементом є одиниця довжини яка дозволяє відраховувати відстані Кількість чисел необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору визначає його вимірність Усі точки одновимірного простору можна задати за обраного початку координат одним числом Для двовимірного простору необхідні два числа для тривимірного ndash три Ці числа називаються координатами

5

Те саме тіло в різних системах відліку рухається по-різному Наприклад у системі відліку що повrsquoязана із самим тілом воно перебуває в спокої в інших системах ndash рухається

Матеріальна точка ndash масивне тіло розмірами формою обертанням і внутрішньою структурою якого можна знехтувати в умовах даної задачі Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки У класичній механіці маса матеріальної точки вважається постійною з плином часуі незалежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами

Доцільність розгляду тіла як матеріальної точки визначається власне не самимтілом а характером його руху Тіло можна розглядати як матеріальну точку якщо можна знехтувати розмірами та формою тіла і це не вплине на характер його руху Так розглядаючи рух Землі навколо Сонця Землю можна вважати матеріальною точкою Якщо ж нас цікавить добове обертання Землі то у цьому випадку ми не можемо вважати Землю матеріальною точкою

Траєкторія Шлях ПереміщенняПоложення матеріальної точки в момент часу t можна задати трьома

координатами х у z або радіус-вектором r що зrsquoєднує цю точку з початком координат (рис 1) Під час руху матеріальна точка описує криву в просторі ndashтраєкторію Рух точки повністю визначається заданим законом руху ndash трьома функціями х(t) у(t) z(t) або однією векторною функцією )(tr

Траєкторія матеріальної точки ndash це лінія в просторі якою рухалась рухається чи буде рухатися матеріальна точка під час свого переміщення в просторі щодо обраної системи відліку Істотно що поняття про траєкторію має фізичний зміст навіть за відсутності будь-якого повrsquoязаного з нею руху

Шлях ndash це довжина ділянки траєкторії пройдена точкою за певний інтервал часу Шлях ndash величина скалярна вона не залежить від напрямку руху Шлях завжди додатний та завжди зростає з часом

Переміщенням матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2 називається вектор s що зrsquoєднує початкове та кінцеве положення На рис 1 видно що )()( 12 trtrrs minus=∆= тобто переміщення дорівнює різниці радіус-векторів точки в кінцевий та початковий моменти часу Якщо початковий момент часу не вказаний то переміщення відраховують від початку руху

0)()( rtrts minus= де 0r радіус-вектор у початковий момент часу (при t = 0)

Вивчення кінематики в курсі механіки розпочинається з вивчення прямолінійного руху як одного з найпростіших його видів

Прямолінійний рівномірний рух ndash це рух за якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення

Швидкість прямолінійного рівномірного руху ndash це стала векторна величина яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу за який це переміщення відбулося

Криволінійний рух точки на площині можна звести до двох чи трьох прямолінійних рухів ndash рухів проекцій точки на координатні осі

Рис 1

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

Редакц ійна колег ія О В Лісовий Л М Засєдка

Г С Манжара І А Петрусь І Л Рубцова Г І Салівон Н О Щетиніна Т В Пещеріна Є Д Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру laquoМала академія наук Україниraquo

(протокол 4 від 29112016)

Засєдка Л МКінематика навч -метод посіб Л М Засєдка Г С Манжара І А Петрусь І Л Рубцова Г І Салівон Н О Щетиніна за ред О В Лісового mdash К 2017 mdash 36 с

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи

Видання міститьbull контрольні завданняbull методичні рекомендації та розвrsquoязання різних типів задач із фізикиbull приклади авторських задач дослідницького характеру

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із фізики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів ndash членів Малої академії наук України

copy Міністерство освіти і науки України 2017copy Національний центр laquoМала академія наук Україниraquo 2017copy Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка 2017

3

Шановні учні

Мала академія наук України (МАН України) яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті створила освітній проект laquoНаукові школи МАНraquo Завдяки залученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді а також досвідчених висококваліфікованих педагогів ndash викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв у наукових школах створено особливе освітнє середовище в якому цінуються інтелектуальний потенціал ерудованість прагнення до самовдосконалення взаємодопомога співпраця На заняттях учні 8ndash11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України ndash слухачі наукових шкіл ndashознайомлюються з проблематикою науки поглиблюють базові знання опановують принципи методи дослідницької діяльності набувають навичок самостійної наукової роботи Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розвrsquoязання наукової проблеми яка передбачає з одного боку використання різноманітних методів засобів навчання а з іншого ndashінтегрування знань умінь із різних галузей науки техніки технологій

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові основи дослідницької роботи профільний навчальний курс ndash теоретичний огляд та практикуми індивідуальна дослідницька діяльність ndash здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії ndash настановну (осінню) експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну) Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття навчально-тематичні екскурсії особливе значення надається лабораторним і практичним роботам у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи слухачі беруть участь у вебінарах форумах отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань що виникають на різних етапах наукового пошуку

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали збірники контрольних завдань деталізують плани практичних та семінарських занять Зокрема колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю розроблено навчальні посібники і методичні вказівки необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму

Пещеріна Тетяна Вікторівназаступник директора НЦ laquoМала академія наук Україниraquo

4

КІНЕМАТИКА

Вступ

Світ що нас оточує поєднує в собі різні форми матерії що знаходяться в постійному русі та взаємодії

Фізика ndash наука яка досліджує загальні властивості матерії та явища що в ній відбуваються Вона також виявляє загальні закони які керують цими явищами Будь-які зміни що відбуваються у Всесвіті повrsquoязані з поняттям руху Найпростішою його формою є механічний рух який відображає зміни взаємного розташування тіл чи частин тіла в просторі зі зміною часу Механічний рух ми спостерігаємо на кожному кроці Саме завдяки поширеності механічних явищ та їх наочності механіка як наука в своєму розвитку тривалий час випереджала інші розділи фізики Розквіт механіки повrsquoязаний з іменами Архімеда Галілея Ньютона hellip

Механіка Галілея ndash Ньютона одержала назву класичної механіки Предметом її вивчення є рух макроскопічних матеріальних тіл що здійснюється зі швидкостями значно меншими швидкості світла (с asymp 3108 мс) Саму механіку поділяють на кінематику та динаміку У кінематиці розглядають характеристики руху тіл без зrsquoясування причин які викликають цей рух У динаміці розглядають причини руху тіл Частковим випадком динаміки є статика що вивчає умови рівноваги тіл

Механіка ndash розділ фізики наука що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодію між ними Механічним рухом називають зміну з часом взаємного розташування тіл чи їх частин у просторі

Основне завдання механіки ndash визначити положення тіла в будь-який момент часу

Кінематика ndash розділ механіки у якому вивчається рух матеріальних тіл у просторі без урахування причин що викликають цей рух

Із визначення механічного руху видно що такий рух є не абсолютнима відносним

Система відліку ndash це сукупність тіла відліку повrsquoязаної з ним системи координат і системи відліку часу у відношенні до яких розглядається рух будь-яких тіл

Тіло відліку може складатися з довільно обраної точки що належить фізичному обrsquoєкту або групі обrsquoєктів Вибір тіла відліку фундаментальним чином впливає на властивості системи відліку

Система координат ndash спосіб задання точок простору за допомогою чиселОбовrsquoязковим елементом системи координат є початок координат ndash точка від якої ведеться відлік відстаней Іншим обовrsquoязковим елементом є одиниця довжини яка дозволяє відраховувати відстані Кількість чисел необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору визначає його вимірність Усі точки одновимірного простору можна задати за обраного початку координат одним числом Для двовимірного простору необхідні два числа для тривимірного ndash три Ці числа називаються координатами

5

Те саме тіло в різних системах відліку рухається по-різному Наприклад у системі відліку що повrsquoязана із самим тілом воно перебуває в спокої в інших системах ndash рухається

Матеріальна точка ndash масивне тіло розмірами формою обертанням і внутрішньою структурою якого можна знехтувати в умовах даної задачі Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки У класичній механіці маса матеріальної точки вважається постійною з плином часуі незалежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами

Доцільність розгляду тіла як матеріальної точки визначається власне не самимтілом а характером його руху Тіло можна розглядати як матеріальну точку якщо можна знехтувати розмірами та формою тіла і це не вплине на характер його руху Так розглядаючи рух Землі навколо Сонця Землю можна вважати матеріальною точкою Якщо ж нас цікавить добове обертання Землі то у цьому випадку ми не можемо вважати Землю матеріальною точкою

Траєкторія Шлях ПереміщенняПоложення матеріальної точки в момент часу t можна задати трьома

координатами х у z або радіус-вектором r що зrsquoєднує цю точку з початком координат (рис 1) Під час руху матеріальна точка описує криву в просторі ndashтраєкторію Рух точки повністю визначається заданим законом руху ndash трьома функціями х(t) у(t) z(t) або однією векторною функцією )(tr

Траєкторія матеріальної точки ndash це лінія в просторі якою рухалась рухається чи буде рухатися матеріальна точка під час свого переміщення в просторі щодо обраної системи відліку Істотно що поняття про траєкторію має фізичний зміст навіть за відсутності будь-якого повrsquoязаного з нею руху

Шлях ndash це довжина ділянки траєкторії пройдена точкою за певний інтервал часу Шлях ndash величина скалярна вона не залежить від напрямку руху Шлях завжди додатний та завжди зростає з часом

Переміщенням матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2 називається вектор s що зrsquoєднує початкове та кінцеве положення На рис 1 видно що )()( 12 trtrrs minus=∆= тобто переміщення дорівнює різниці радіус-векторів точки в кінцевий та початковий моменти часу Якщо початковий момент часу не вказаний то переміщення відраховують від початку руху

0)()( rtrts minus= де 0r радіус-вектор у початковий момент часу (при t = 0)

Вивчення кінематики в курсі механіки розпочинається з вивчення прямолінійного руху як одного з найпростіших його видів

Прямолінійний рівномірний рух ndash це рух за якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення

Швидкість прямолінійного рівномірного руху ndash це стала векторна величина яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу за який це переміщення відбулося

Криволінійний рух точки на площині можна звести до двох чи трьох прямолінійних рухів ndash рухів проекцій точки на координатні осі

Рис 1

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

3

Шановні учні

Мала академія наук України (МАН України) яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті створила освітній проект laquoНаукові школи МАНraquo Завдяки залученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді а також досвідчених висококваліфікованих педагогів ndash викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв у наукових школах створено особливе освітнє середовище в якому цінуються інтелектуальний потенціал ерудованість прагнення до самовдосконалення взаємодопомога співпраця На заняттях учні 8ndash11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України ndash слухачі наукових шкіл ndashознайомлюються з проблематикою науки поглиблюють базові знання опановують принципи методи дослідницької діяльності набувають навичок самостійної наукової роботи Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розвrsquoязання наукової проблеми яка передбачає з одного боку використання різноманітних методів засобів навчання а з іншого ndashінтегрування знань умінь із різних галузей науки техніки технологій

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові основи дослідницької роботи профільний навчальний курс ndash теоретичний огляд та практикуми індивідуальна дослідницька діяльність ndash здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії ndash настановну (осінню) експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну) Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття навчально-тематичні екскурсії особливе значення надається лабораторним і практичним роботам у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи слухачі беруть участь у вебінарах форумах отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань що виникають на різних етапах наукового пошуку

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали збірники контрольних завдань деталізують плани практичних та семінарських занять Зокрема колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю розроблено навчальні посібники і методичні вказівки необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму

Пещеріна Тетяна Вікторівназаступник директора НЦ laquoМала академія наук Україниraquo

4

КІНЕМАТИКА

Вступ

Світ що нас оточує поєднує в собі різні форми матерії що знаходяться в постійному русі та взаємодії

Фізика ndash наука яка досліджує загальні властивості матерії та явища що в ній відбуваються Вона також виявляє загальні закони які керують цими явищами Будь-які зміни що відбуваються у Всесвіті повrsquoязані з поняттям руху Найпростішою його формою є механічний рух який відображає зміни взаємного розташування тіл чи частин тіла в просторі зі зміною часу Механічний рух ми спостерігаємо на кожному кроці Саме завдяки поширеності механічних явищ та їх наочності механіка як наука в своєму розвитку тривалий час випереджала інші розділи фізики Розквіт механіки повrsquoязаний з іменами Архімеда Галілея Ньютона hellip

Механіка Галілея ndash Ньютона одержала назву класичної механіки Предметом її вивчення є рух макроскопічних матеріальних тіл що здійснюється зі швидкостями значно меншими швидкості світла (с asymp 3108 мс) Саму механіку поділяють на кінематику та динаміку У кінематиці розглядають характеристики руху тіл без зrsquoясування причин які викликають цей рух У динаміці розглядають причини руху тіл Частковим випадком динаміки є статика що вивчає умови рівноваги тіл

Механіка ndash розділ фізики наука що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодію між ними Механічним рухом називають зміну з часом взаємного розташування тіл чи їх частин у просторі

Основне завдання механіки ndash визначити положення тіла в будь-який момент часу

Кінематика ndash розділ механіки у якому вивчається рух матеріальних тіл у просторі без урахування причин що викликають цей рух

Із визначення механічного руху видно що такий рух є не абсолютнима відносним

Система відліку ndash це сукупність тіла відліку повrsquoязаної з ним системи координат і системи відліку часу у відношенні до яких розглядається рух будь-яких тіл

Тіло відліку може складатися з довільно обраної точки що належить фізичному обrsquoєкту або групі обrsquoєктів Вибір тіла відліку фундаментальним чином впливає на властивості системи відліку

Система координат ndash спосіб задання точок простору за допомогою чиселОбовrsquoязковим елементом системи координат є початок координат ndash точка від якої ведеться відлік відстаней Іншим обовrsquoязковим елементом є одиниця довжини яка дозволяє відраховувати відстані Кількість чисел необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору визначає його вимірність Усі точки одновимірного простору можна задати за обраного початку координат одним числом Для двовимірного простору необхідні два числа для тривимірного ndash три Ці числа називаються координатами

5

Те саме тіло в різних системах відліку рухається по-різному Наприклад у системі відліку що повrsquoязана із самим тілом воно перебуває в спокої в інших системах ndash рухається

Матеріальна точка ndash масивне тіло розмірами формою обертанням і внутрішньою структурою якого можна знехтувати в умовах даної задачі Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки У класичній механіці маса матеріальної точки вважається постійною з плином часуі незалежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами

Доцільність розгляду тіла як матеріальної точки визначається власне не самимтілом а характером його руху Тіло можна розглядати як матеріальну точку якщо можна знехтувати розмірами та формою тіла і це не вплине на характер його руху Так розглядаючи рух Землі навколо Сонця Землю можна вважати матеріальною точкою Якщо ж нас цікавить добове обертання Землі то у цьому випадку ми не можемо вважати Землю матеріальною точкою

Траєкторія Шлях ПереміщенняПоложення матеріальної точки в момент часу t можна задати трьома

координатами х у z або радіус-вектором r що зrsquoєднує цю точку з початком координат (рис 1) Під час руху матеріальна точка описує криву в просторі ndashтраєкторію Рух точки повністю визначається заданим законом руху ndash трьома функціями х(t) у(t) z(t) або однією векторною функцією )(tr

Траєкторія матеріальної точки ndash це лінія в просторі якою рухалась рухається чи буде рухатися матеріальна точка під час свого переміщення в просторі щодо обраної системи відліку Істотно що поняття про траєкторію має фізичний зміст навіть за відсутності будь-якого повrsquoязаного з нею руху

Шлях ndash це довжина ділянки траєкторії пройдена точкою за певний інтервал часу Шлях ndash величина скалярна вона не залежить від напрямку руху Шлях завжди додатний та завжди зростає з часом

Переміщенням матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2 називається вектор s що зrsquoєднує початкове та кінцеве положення На рис 1 видно що )()( 12 trtrrs minus=∆= тобто переміщення дорівнює різниці радіус-векторів точки в кінцевий та початковий моменти часу Якщо початковий момент часу не вказаний то переміщення відраховують від початку руху

0)()( rtrts minus= де 0r радіус-вектор у початковий момент часу (при t = 0)

Вивчення кінематики в курсі механіки розпочинається з вивчення прямолінійного руху як одного з найпростіших його видів

Прямолінійний рівномірний рух ndash це рух за якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення

Швидкість прямолінійного рівномірного руху ndash це стала векторна величина яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу за який це переміщення відбулося

Криволінійний рух точки на площині можна звести до двох чи трьох прямолінійних рухів ndash рухів проекцій точки на координатні осі

Рис 1

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

4

КІНЕМАТИКА

Вступ

Світ що нас оточує поєднує в собі різні форми матерії що знаходяться в постійному русі та взаємодії

Фізика ndash наука яка досліджує загальні властивості матерії та явища що в ній відбуваються Вона також виявляє загальні закони які керують цими явищами Будь-які зміни що відбуваються у Всесвіті повrsquoязані з поняттям руху Найпростішою його формою є механічний рух який відображає зміни взаємного розташування тіл чи частин тіла в просторі зі зміною часу Механічний рух ми спостерігаємо на кожному кроці Саме завдяки поширеності механічних явищ та їх наочності механіка як наука в своєму розвитку тривалий час випереджала інші розділи фізики Розквіт механіки повrsquoязаний з іменами Архімеда Галілея Ньютона hellip

Механіка Галілея ndash Ньютона одержала назву класичної механіки Предметом її вивчення є рух макроскопічних матеріальних тіл що здійснюється зі швидкостями значно меншими швидкості світла (с asymp 3108 мс) Саму механіку поділяють на кінематику та динаміку У кінематиці розглядають характеристики руху тіл без зrsquoясування причин які викликають цей рух У динаміці розглядають причини руху тіл Частковим випадком динаміки є статика що вивчає умови рівноваги тіл

Механіка ndash розділ фізики наука що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодію між ними Механічним рухом називають зміну з часом взаємного розташування тіл чи їх частин у просторі

Основне завдання механіки ndash визначити положення тіла в будь-який момент часу

Кінематика ndash розділ механіки у якому вивчається рух матеріальних тіл у просторі без урахування причин що викликають цей рух

Із визначення механічного руху видно що такий рух є не абсолютнима відносним

Система відліку ndash це сукупність тіла відліку повrsquoязаної з ним системи координат і системи відліку часу у відношенні до яких розглядається рух будь-яких тіл

Тіло відліку може складатися з довільно обраної точки що належить фізичному обrsquoєкту або групі обrsquoєктів Вибір тіла відліку фундаментальним чином впливає на властивості системи відліку

Система координат ndash спосіб задання точок простору за допомогою чиселОбовrsquoязковим елементом системи координат є початок координат ndash точка від якої ведеться відлік відстаней Іншим обовrsquoязковим елементом є одиниця довжини яка дозволяє відраховувати відстані Кількість чисел необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору визначає його вимірність Усі точки одновимірного простору можна задати за обраного початку координат одним числом Для двовимірного простору необхідні два числа для тривимірного ndash три Ці числа називаються координатами

5

Те саме тіло в різних системах відліку рухається по-різному Наприклад у системі відліку що повrsquoязана із самим тілом воно перебуває в спокої в інших системах ndash рухається

Матеріальна точка ndash масивне тіло розмірами формою обертанням і внутрішньою структурою якого можна знехтувати в умовах даної задачі Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки У класичній механіці маса матеріальної точки вважається постійною з плином часуі незалежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами

Доцільність розгляду тіла як матеріальної точки визначається власне не самимтілом а характером його руху Тіло можна розглядати як матеріальну точку якщо можна знехтувати розмірами та формою тіла і це не вплине на характер його руху Так розглядаючи рух Землі навколо Сонця Землю можна вважати матеріальною точкою Якщо ж нас цікавить добове обертання Землі то у цьому випадку ми не можемо вважати Землю матеріальною точкою

Траєкторія Шлях ПереміщенняПоложення матеріальної точки в момент часу t можна задати трьома

координатами х у z або радіус-вектором r що зrsquoєднує цю точку з початком координат (рис 1) Під час руху матеріальна точка описує криву в просторі ndashтраєкторію Рух точки повністю визначається заданим законом руху ndash трьома функціями х(t) у(t) z(t) або однією векторною функцією )(tr

Траєкторія матеріальної точки ndash це лінія в просторі якою рухалась рухається чи буде рухатися матеріальна точка під час свого переміщення в просторі щодо обраної системи відліку Істотно що поняття про траєкторію має фізичний зміст навіть за відсутності будь-якого повrsquoязаного з нею руху

Шлях ndash це довжина ділянки траєкторії пройдена точкою за певний інтервал часу Шлях ndash величина скалярна вона не залежить від напрямку руху Шлях завжди додатний та завжди зростає з часом

Переміщенням матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2 називається вектор s що зrsquoєднує початкове та кінцеве положення На рис 1 видно що )()( 12 trtrrs minus=∆= тобто переміщення дорівнює різниці радіус-векторів точки в кінцевий та початковий моменти часу Якщо початковий момент часу не вказаний то переміщення відраховують від початку руху

0)()( rtrts minus= де 0r радіус-вектор у початковий момент часу (при t = 0)

Вивчення кінематики в курсі механіки розпочинається з вивчення прямолінійного руху як одного з найпростіших його видів

Прямолінійний рівномірний рух ndash це рух за якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення

Швидкість прямолінійного рівномірного руху ndash це стала векторна величина яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу за який це переміщення відбулося

Криволінійний рух точки на площині можна звести до двох чи трьох прямолінійних рухів ndash рухів проекцій точки на координатні осі

Рис 1

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

5

Те саме тіло в різних системах відліку рухається по-різному Наприклад у системі відліку що повrsquoязана із самим тілом воно перебуває в спокої в інших системах ndash рухається

Матеріальна точка ndash масивне тіло розмірами формою обертанням і внутрішньою структурою якого можна знехтувати в умовах даної задачі Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки У класичній механіці маса матеріальної точки вважається постійною з плином часуі незалежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами

Доцільність розгляду тіла як матеріальної точки визначається власне не самимтілом а характером його руху Тіло можна розглядати як матеріальну точку якщо можна знехтувати розмірами та формою тіла і це не вплине на характер його руху Так розглядаючи рух Землі навколо Сонця Землю можна вважати матеріальною точкою Якщо ж нас цікавить добове обертання Землі то у цьому випадку ми не можемо вважати Землю матеріальною точкою

Траєкторія Шлях ПереміщенняПоложення матеріальної точки в момент часу t можна задати трьома

координатами х у z або радіус-вектором r що зrsquoєднує цю точку з початком координат (рис 1) Під час руху матеріальна точка описує криву в просторі ndashтраєкторію Рух точки повністю визначається заданим законом руху ndash трьома функціями х(t) у(t) z(t) або однією векторною функцією )(tr

Траєкторія матеріальної точки ndash це лінія в просторі якою рухалась рухається чи буде рухатися матеріальна точка під час свого переміщення в просторі щодо обраної системи відліку Істотно що поняття про траєкторію має фізичний зміст навіть за відсутності будь-якого повrsquoязаного з нею руху

Шлях ndash це довжина ділянки траєкторії пройдена точкою за певний інтервал часу Шлях ndash величина скалярна вона не залежить від напрямку руху Шлях завжди додатний та завжди зростає з часом

Переміщенням матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2 називається вектор s що зrsquoєднує початкове та кінцеве положення На рис 1 видно що )()( 12 trtrrs minus=∆= тобто переміщення дорівнює різниці радіус-векторів точки в кінцевий та початковий моменти часу Якщо початковий момент часу не вказаний то переміщення відраховують від початку руху

0)()( rtrts minus= де 0r радіус-вектор у початковий момент часу (при t = 0)

Вивчення кінематики в курсі механіки розпочинається з вивчення прямолінійного руху як одного з найпростіших його видів

Прямолінійний рівномірний рух ndash це рух за якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення

Швидкість прямолінійного рівномірного руху ndash це стала векторна величина яка характеризує переміщення тіла за одиницю часу і визначається відношенням переміщення тіла до інтервалу часу за який це переміщення відбулося

Криволінійний рух точки на площині можна звести до двох чи трьох прямолінійних рухів ndash рухів проекцій точки на координатні осі

Рис 1

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

6

Швидкість ndash це векторна фізична величина що показує яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу Напрямок вектора швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла відносно обраної системи відліку Цим же словом називають і скалярну величину ndash або модуль вектора швидкості або алгебраїчну швидкість точки тобто проекцію цього вектора на дотичну до траєкторії точки

Середньою швидкістю матеріальної точки протягом інтервалу часу від t1 до t2називається відношення її переміщення до інтервалу часу за який це переміщення

відбулося tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t ndash це границя до якої прямує середня швидкість за дуже малого інтервалу часу

dtrd

ttrttr

trt

tt

=

∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

r

Останнє визначення є визначенням похідної отжемиттєва швидкість є першою похідною від переміщення почасу )()( trt prime= r

Миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії в заданій точці (рис 2)

Оскільки за Δt rarr 0 а sr ∆rarr∆ то модуль миттєвої швидкості є також першою похідною від шляху по часу

)()()( tstrt prime=prime= rУ системі СІ1 координата та переміщення виражаються в метрах а час ndash

у секундах Тому швидкість має одиницю вимірювання метр на секунду (мс)Іноді використовують середню шляхову швидкість що визначається як

відношення шляху до інтервалу часу Середня шляхова швидкість ndash величина скалярна Якщо відбувається рух уздовж однієї прямої то середня шляхова швидкість співпадає з просто середньою швидкістю (її іноді називають середньою швидкістю переміщення)

Задача 1 Обчислити середню швидкість руху тіла на двох послідовних ділянках які тіло проходить зі сталими швидкостями 1r та 2r

Розвrsquoязання Розглянемо чотири випадки

1) Нехай тіло половину свого часу рухалося з однією швидкістю 1r а другу половину ndash з іншою швидкістю 2r Знайти середню швидкість

Визначимо середню швидкість 2

)2()2( 212121 rrrrr +=+=+=t

ttt

sscp

2) Нехай тіло змінило свою швидкість від υ1 до υ2 саме на середині шляху Знайти середню швидкість

1 СІ (система інтернаціональна) ndash скорочена назва Міжнародної системи одиниць яка була прийнята 1960-го року Генеральною конференцією по мірам та вагам У механіці використовують основні розмірності для величин довжини [S l ] = [м] часу [t] = [с] швидкість [υ] = [мс]

Рис 2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

7

Визначимо середню швидкість 2)2()2( 21

21

2121 rrrr

rrr

+=

+=

+=

sss

tts

cp

Якщо підставити значення можна переконатися що 1cрr ge 2cрr Другий випадок показує що середню швидкість далеко не завжди можна знаходити як середнє арифметичне значення швидкостей

3) Нехай нам відомі час руху тіла з кожною зі швидкостей υ1 υ2 протягом t1 і t2 відповідно Тоді 111 rsdot= ts і 222 rsdot= ts Отже 2211 rr sdot+sdot= tts і 21 ttt +=

Тоді 21

2211

tttt

ts

ср +sdot+sdot== rrr

4) Нехай відомі шляхи 21 sis та 1r 2r Тоді 1

11 r

st = 2

22 r

st =

21

2112

2

2

1

1

rrrr

rr sdot+=+= sssst 21 sss +=

1221

2121

21

21 )(ss

ssttss

ts

ср rrrrr

+sdot+=

++==

Рівномірний рухПід час рівномірного прямолінійного руху швидкість точки стала constx =r

Координата точки х ndash лінійна функція часу t

0 txx xr+= або ts xx r=

Під час рівномірного руху точка проходить однакові переміщення (однаковішляхи) за будь-які однакові проміжки часу

Графіком залежності швидкостівід часу є пряма (рис 3 а) що паралельна осі часу t площа під цією лінією є переміщенням На різних ділянках шляху швидкості рівномірного руху можуть бути різними (рис 3 б) Зрозуміло що загалом такий рух вже не можна

вважати рівномірним Графік залежності координати точки від часу під часрівномірного прямолінійного руху має вигляд прямої Нахил цієї прямої залежить від величини та знаку проекції швидкості (рис 4)

Задача 2 Рух точки на площині описується рівняннями х = 6 + 3t у = 4t де величини подано в системі СІ Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати графік на площині ХОY

Розвrsquoязання Рівняння траєкторії знаходять виключаючи з обох рівнянь час Із першого рівняння

знаходимо 233

6 minus=minus= xxt (с)

Рис 3а б

Рис 4

x

x0

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

8

Підставимо це значення у друге рівняння для координати у одержимо рівняння

траєкторії 83

4 minus= xy (м)

Це рівняння прямої лінії Для побудови прямої врахуємо що якщо х = 0 то у = ndash 8 м а якщо у = 0то х = 6 м Побудуємо Декартову систему координат ХОY та позначимо точки перетину з осями В (0 ndash8) та С (6 0) Через ці точки проводимо пряму як на рис 5

Задача 3 На рис 6 дано графік залежності координати точки що рухалася вздовж осі Хвід часу

Як рухалася точка Побудувати графіки залежності модуля швидкості і проекції швидкості а також шляху від часу

Розвrsquoязання Протягом перших 3 с координата точки змінилася від 2 м до ndash4 м Отже точка рухалася протилежно вибраному напрямку осі Х

Проекція швидкості дорівнювала

смсмx 23

241 minus=minusminus=r

А її модуль дорівнює 1r = 2 см Наступні 4 с тіло не рухалося тому координата

не змінювалася тобто х2r = 0Протягом останніх 2 с точка рухалася в напрямку осі Х і прибула в початок

координат (х = 0) Проекція модуля швидкості відповідно дорівнює

смx 22

)4(033 =minusminus==rr

На рис 7 зображені графіки а) проекції швидкості б) модуля швидкості та в) залежності шляху від часу Будуючи графік залежності шляху від часу потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним та тільки зростає з часом

Рис 6

Рис 7

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6

y м

x м

Рис 5

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

9

ПрискоренняПрискоренням матеріальної точки в момент часу t називають величину

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

тобто похідну миттєвої швидкості )(tr за часом

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла одиниця вимірювання прискорення ‒ мс2

Рівноприскорений рухРівноприскорений (рівнозмінний) прямолінійний рух ndash це рух за якого

прискорення тіла стале constax = Швидкість xr є функцією прискорення xa

taxxx += 0rr (1)

де x0r ndash початкова швидкість (у момент часу t = 0) Координата точки х обчислюється за формулою

2

2

00

tatxx xx ++= r (2)

Ураховуючи що 0xxsx minus= одержимо формулу для переміщення протягом часу t

2

2

0

tats xxx +=r (3)

На рис 8 показано графіки залежності швидкості та координати від часу t під час рівноприскореного прямолінійного руху 00 gtxr

00 ltх Графік залежності х(t) ndash парабола характер випуклості та положення вершини якої залежать від

x0r та xa Формули (1) і (3) описують залежності

швидкості і переміщення від часу та дозволяють розвrsquoязати будь-яку задачу на рівноприскорений рух Але іноді розвrsquoязання дуже спрощується якщо використовувати додаткові формули які легко вивести із основних формул Якщо у рівнянні (2) винести за дужки час t одержимо

)2( 0 tats xxx += r

Ураховуючи що xxxta 0rr minus= та підставляючи його у (1) одержимо

2

0 ts xxx

rr += (4)

тобто середня швидкість рівноприскореного руху дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей Ця формула має графічний зміст переміщення є інтеграл швидкості тобто дорівнює площі під графіком )(txr ndash площі трапеції (рис 9)

Виражаючи час із формули (1) xxx at )( 0rr minus= та підставляючи його в (4) одержимо ще один вираз який часто використовують для розвrsquoязання задач для рівноприскореного руху

Рис 8

Рис 9

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

10

x

xxx a

s2

20

2 rr minus= (5)

Зауваження Модуль довільного вектора позначають тією ж буквою але без знака вектора rr = У випадку одномірного руху (руху вздовж однієї осі) буква без знаку проекції означає модуль проекції xrr =

Задача 4 Під час різкого гальмування автомобіля його колеса залишають на асфальті слід за довжиною якого можна розрахувати швидкість автомобіля на початку гальмування Прискорення визначається тертям гуми заблокованих коліс об асфальт і для певних погодних умов є відомою величиною нехай і наближеноюЗнайти початкову швидкість під час гальмування

Розвrsquoязання Скористаємося рівнянням (5) оскільки машина таки зупиниласяїї кінцева швидкість 0=xr Тоді якщо відоме прискорення по сухому асфальті (нехай 5minus=xa мс2 відоме для цього випадку) а довжина сліду дорівнює s = 20 м одержимо початкову швидкість

годкмcмsa xxx 511420 asymp=sdotminus=r

Задача 5 Розглянемо задачу на зустріч двох тіл Чоловік хоче передати знайомому в потязі пакунок Запізнюючись до відходу потягу він біжить уздовж платформи зі швидкістю r У той момент коли йому залишилось пробігти відстань L потяг починає набувати швидкості зі сталим прискоренням а Чи встигне проводжаючий передати пакунок знайомому

Розвrsquoязання Запишемо умову зустрічі Для цього зручно вибрати загальну для двох тіл систему координат тоді в момент зустрічі координати тіл будуть співпадати Виберемо початок координат у тому місці де перебував проводжаючий на той момент часу коли потяг почав рух Тоді залежність координат проводжаючого і його знайомого від часу буде мати вигляд

2 221 atLxtx +==r

Умовою зустрічі є рівність координат обох тіл тобто вираз х1 = х2 отжемаємо квадратне рівняння Проводжаючий дожене знайомого якщо дискримінант цього рівняння не відrsquoємний 022 geminus aLr

Отже зустріч відбудеться за умови La2ger (Додатково ще потрібно перевірити чи не добіжить проводжаючий до краю платформи раніше бажаної зустрічі)

Задача 6 На рис 10 а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу Побудуйте графік залежності координати від часу х(t) якщо початкова координата х0 = 5 м Побудуйте графік залежності шляху від часу s(t)

Рис10 а

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

11

Розвrsquoязання Побудуємо графік залежності координати від часу (рис 10 б) Спочатку перші 2 с точка рухалася рівносповільнено протилежно осі Х( 1xr lt 0) зміна координати Δх1 дорівнює площі трикутника ОАВ Тому координата до кінця 2-ої секунди дорівнює х1 = х0 + Δх1 = 5 ndash 3 = 2 (м) Графіком координати на цьому інтервалі часу був відрізок параболи А1В1 Точка В1 ndash вершина цієї параболи

Наступні 2 с рух був рівноприскореним у тому ж напрямку що й спочатку ( 2xr lt 0) Координата до кінця 4-ої секунди дорівнює х2 = х1 + Δх2 = 2 ndash 3 = ndash1 (м) Графік ndash парабола В1С1

Від 4 с до 6 с точка рухалася рівносповільнено в попередньому напрямку тому х3 = х2 + Δх3 = ndash1 ndash 3 = = ndash 4 (м) Графік ndash парабола С1D1 де D1 ndash її вершина

Від 6 с до 8 с точка рухалася рівноприскорено в напрямку вибраної осі Х ( 4xr gt 0) Графік ndashпарабола D1Е1 До кінця 8-ої секунди координата точки х4 = ndash 4 + 3 = ndash1 (м)

На останній ділянці рух був рівносповільненим у напрямку осі Х ( 5xr gt 0) тому координата х5 = ndash1 + 3 = 2 (м) Графік ndash парабола Е1F1

Будуючи графік залежності шляху від часу (рис10 в) потрібно врахувати що шлях не може бути відrsquoємним числом і не може зменшуватися з часом протягом руху

Графік складається з окремих парабол А2В2 В2С2 С2D2 D2Е2 Е2F2

Вільне падінняВільне падіння ndash це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування

сили опору повітря Якщо відстань яку проходить тіло під час руху набагато менша за радіус Землі то прискорення тіла a можна вважати сталим за величиною та напрямком ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі

289 смg asymp на екваторі g трохи менше і дорівнює 2789 смg asymp на полюсі трохи більше та дорівнює 2819 смg asymp Напрямок вектора g співпадає з вертикаллю в цьому місці Землі (напрямок нерухомого підвісу)

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря Ця ідеалізація тим краща чим більша густина тіла (наприклад свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям трубці та у випадку коли повітря з трубки викачано) Але використання цієї ідеалізації як і для довільної фізичної моделі залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини форми тощо) але й від умов його руху Так під час затяжного стрибка з парашутом падіння можна вважати вільним доки швидкість мала Однак коли швидкість починає зростати опір повітря збільшується і врешті-решт навіть за нерозкритого парашута встановлюється рівномірний рух зі швидкістю близько 60 мс Із розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно

Рис10 в

Рис10 б

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

12

швидше та й сама встановлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6ndash8 мс

Зауважимо що вільне падіння тіла ndash це рух із прискоренням g не залежно від того як при цьому спрямована швидкість Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь-який момент часу свого польоту доки не впаде на Землю

Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух уздовж осі Х ndash рівномірним Таким чином у цій системі відліку рух точки описується рівняннями

0 txconst xxx rrr ===

gay minus= 2

2

000

gttyygt yyy minus+=minus= rrr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r на осі Х та Y у0 ndash координата точки по осі Y за t = 0 (х0 уважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r на відповідні осі

Знайдемо рівняння руху тіла або (що теж саме) рівняння траєкторіїОскільки xxxt r)( = то підставляючи t у залежність

у(t) одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратноготричлена

Із цього виразу випливає що траєкторія вільно падаючого тіла є парабола (якщо при цьому 00 =xr то тіло рухається по вертикалі вниз рис 11)

Розглянемо декілька окремих випадків

Задача 7 Тіло падає з висоти h без початкової швидкості Знайти швидкість у момент падіння

Розвrsquoязання Якщо 0 00 == yhy r то 2

2gthygty minus=minus=r

Час t за який тіло досягне поверхні Землі (у = 0) можна знайти з рівняння

02

2

=minus= gthy

Звідси одержимо 2 ght = Швидкість у момент падіння 2ghgty minus=minus=r

Задача 8 Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 00 rr =y Знайти час польоту порівняти з часом піднімання

Розвrsquoязання У цьому випадку 2

2

00

gttygty minus=minus= rrr

22

00 2

)( xgxyxyxx

y sdotminus+=rr

r

Рис 11 х

у

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

13

Якщоg

t 01

r= то тіло зупиниться ( )0=yr і далі буде вільно падати Тобто в

момент часу 1t тіло досягне найвищої точки польоту Підставляючи у вираз

2

2

0

gtty minus=r значення gt 01 r= одержимо максимальну висотуg

tyh2

)(20

1

r==

Простіше одержати цю відповідь із формули (4) Повний час польоту t2 у два

рази більше ніж час t1 rarr 2 02 g

t r=

Задача 9 Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 0rз висоти h (рис 12) Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю

Розвrsquoязання Рух тіла складається з рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений (вільне падіння) з висоти h по осі Y

0

0

txx

rrr

==

2

2gthy

gty

minus=

minus=r

Швидкість тіла (рис 13) в довільний момент часу дорівнює

220

22 )(gtyx +=+= rrrr

та утворює з g ndash прискоренням вільного падіння ndash кут тангенс якого дорівнює

0

gttg

y

x rrrβ ==

У момент падіння швидкість дорівнює 220 gh+= rr

Розглянемо рух тіла кинутого під кутом до горизонту в полі тяжіння Землі (рис 14) Нехай вісь Х спрямована горизонтально а Y ndash вертикально вгору Якщо напрямки векторів 0r та αне співпадають то рух тіла відбувається криволінійною траєкторією (параболою)що лежить у тій самій площині що й вектори 0r та α

Задача 10 Тіло кинули з поверхні Землі під кутом α до горизонту зі швидкістю 0r Знайти час підйому та максимальну дальність польоту тіла (рис 14)

Розвrsquoязання Маємо

)(

0

0

tcosxcosx

αrαrr

sdot=sdot=

2

)(

)(2

0

0

gttsiny

gtsiny

minussdot=

minussdot=

αr

αrr(6)

Рис 12

Рис14L0

Y

X

Рис 13

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

14

У момент часу gsint )( 01 αr sdot= вертикальна складова проекції швидкості дорівнює нулю ( 010 =minussdot= gtsinу αrr ) отже висота підйому над горизонтом у цей момент максимальна і дорівнює

2

)()(2

01 g

sintyh αr sdot==

У момент часу gsintt )(22 012 αr sdot== тіло впаде на Землю пройшовши вздовж осі Х відстань (дальність польоту тіла)

gsin

gcossinvtcostxL αrαααr 22)()(

20

20

202

sdot=sdot=sdot==

Зауважимо що формули для у(t) t1 t2 і h будуть тими ж як у задачі 4 якщо прийняти 0 αrr sinx sdot= За заданої початкової швидкості 0r без урахування опору повітря максимальна дальність польоту досягатиметься якщо 12 =αsin тобто якщо α = 45о

Задача 11 Тіло що було кинуте з поверхні землі в момент часу t = 0 під кутом α до горизонту виявилося в моменти часу t1 і t2 на тій самій висоті Знайти переміщення тіла за проміжок часу t1 ndash t2

Розвrsquoязання Прирівнюючи висоти в моменти часу t1 і t2

2)(

2)(

22

20

21

10

gttsingttsinh minus=minussdot= αrαr знаходимо початкову швидкість тіла

αr

sinttg

221

0

+= де ndash g прискорення вільного падіння Переміщення S за проміжок часу

t1 ndash t2 направлене горизонтально й дорівнює

2

)(2

122

210 ααr

ctgttgcosttS minus=minus=

Задача 12 Розглянемо як визначають дальність польоту якщо кинули тіло не на горизонтальну а на похилу площину Нехай камінь кинули зі швидкістю 0rперпендикулярно до поверхні гори яка нахилена під кутом α до горизонту

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі використаємо спочатку стандартні осі ХОY (горизонтальну та вертикальну) Оскільки початкова швидкість спрямована під кутом (90о ndash α) до горизонту то формули (6) матимуть вигляд

2

)(

)(2

0

0

gttcosy

tsinx

minussdot=

sdot=

αr

αr

Але головна відмінність полягає в тому як змінилися умови приземлення каменя Замість простої умови у = 0 тепер потрібно записати співвідношення між координатами каменя в момент падіння на схил αtgxy sdotminus= (у момент падіння у lt 0)

Урахуємо цю умову та підставимо її у х(t) і у(t) і обчислимо час польоту каменя )(2 0 αr gcost = Після цього знайдемо дальність польоту тіла

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

15

22

20

ααr

α cosgsin

cosxL

sdotsdot==

Цю задачу можна розвrsquoязувати по-іншому Замість стандартних горизонтальної та вертикальної осей направимо вісь Х униз уздовж схилу гори а вісь Y ndash перпендикулярно до схилу (рис 15) Тоді умова падіння матиме вигляд у = 0але обидва рухи по осі Х і по осі Y будуть проходити з прискореннями

0 000 rrαrα =minus=== yyxx gcosagsina

Час польоту визначимо за формулою

)(22 00 αrr gcosat yy ==

дальність польоту дорівнює координаті х у момент падіння на схил

22taхL x==

Відносність рухуТой самий рух у різних системах відліку буде виглядати по-різному

Розглянемо звrsquoязок між швидкостями 1r та 2r матеріальної точки в двох різних системах відліку К1 і К2 осі яких у процесі руху залишаються паралельними Нехай за час Δt точка перемістилася на 2s в системі відліку К2а сама система К2 перемістилася відносно системи К1 на s Тоді переміщення 1s

точки в системі К1 дорівнює сумі переміщень 21 sss += Поділивши цю рівність на час Δt та перейшовши до границі 0rarr∆t одержимо закон додавання швидкостей

21 rrr += (7)

де 1r ndash швидкість у системі К1 r ndash швидкість руху системи К2 відносно системи К1Це ж співвідношення виконується і для прискорення 21 aaa +=

Задача 13 За відсутності вітру краплі дощу падають вертикально вниз іздеякою невідомою швидкістю 1r (залежить від розмірів крапель) Якщо спостерігати за краплинами дощу із системи відліку що рухається з деякою горизонтальною швидкістю r (наприклад із вікна потяга) то краплі будуть падати під деяким кутом α до вертикалі Вимірявши a та r знайти 1r

Розвrsquoязання Для цього зобразимо векторну рівність (7)як на рис 16 враховуючи що 1r направлена вертикально вниз r ndashгоризонтально З одержаного прямокутного трикутника знаходимо

1 αrr ctgsdot=Якщо наприклад безвітряної погоди сліди крапель на вікні нахилені під

кутом 30о а швидкість потяга 10 мс то швидкість падіння крапель дорівнюватиме 217310 смasympsdot

Рис 15

ауах

Рис 16

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

16

Зауваження Коли під час одночасного вільного падіння двох тіл кожне з них рухається відносно землі з прискоренням g то в системі відліку повrsquoязанійз одним із цих тіл друге тіло рухається без прискорення Це означає що рух другого тіла в цій системі відліку рівномірний і прямолінійний

Задача 14 Стрілок хоче попасти у кинутий угору мrsquoячик Він збирається натиснути на курок гвинтівки в той момент коли мrsquoячик виявився у верхній точці (тобто коли швидкість мrsquoячика дорівнює нулю) Оскільки стрілок перебуває далеко від того місця де підкидають мrsquoячик то він хоче вирішити куди ж йому цілитися Чи потрібно йому вносити laquoпоправкуraquo на падіння мrsquoячика тобто цілитися нижче верхньої точки його підйому

Розвrsquoязання Виявляється потрібно цілитися точно в мrsquoячик оскільки сама куля

зміститься за час польоту на таку ж відстань 2

2gt як і мrsquoячик У системі відліку що

повrsquoязана із мrsquoячиком куля буде наближатися до нього прямолінійно і рівномірно (ми нехтуємо опором повітря)

Задача 15 Швидкість течії в річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює 1r Ширина річки l Катер може пливти зі швидкістю 2r відносно води На яку відстань s знесе катер униз за течією річки якщо під час переправи ніс катера направити точно перпендикулярно до берега

Розвrsquoязання Катер бере участь одночасно в двох рухах зі швидкістю 2r що направлена перпендикулярно до течії і разом із водою зі швидкістю 1r що направлена паралельно до берега За правилом додавання швидкостей повна швидкість r катера відносно берегів дорівнює векторній сумі 1r та 2r На рис 17 видно що рух катера відбувається по прямій АС яка направлена вздовж вектора r Шукану відстань s на яку знесе катер під час переправиможна знайти з подібності трикутників АВС та трикутника утвореного векторами швидкостей

2

1

rr=

ls

звідси

2

1

rrls =

Цю задачу можна розвrsquoязати і не використовуючи закон додавання векторів швидкостей Ураховуючи що відстань s дорівнює добутку швидкості течії 1r на час протягом якого катер буде перетинати річку 1 ts sdot=r Час можна знайти розділивши ширину річки l на швидкість r

2r

lt =

Таким чином знаходимо 2

11 r

rr lts ==

Рис 17

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

17

Задача 16 Два кораблі рухаються зі швидкостями 1r і 2r під кутом α один до одного Знайти швидкість першого

корабля відносно другого Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти відносну

швидкість Знайдемо швидкість першого корабля відносно другого тому 2112 rrr minus= Оскільки кут між векторами швидкості 1r і 2r становить α то зручно визначати відносну швидкість за теоремою косинусів

αrrrrr cos2122

2112 2minus+=

Напрямок 21r визначимо відносно напрямку швидкості 2r через кут β за теоремою синусів

121 rα

rβ sinsin =

Звідси знаходимо

αrrrrαrr

rαβ

cossinsinsin

2122

11

11

12 2minus+==

Задача 17 Човен рухається відносно води в річці зі швидкістю r під кутом α до течії швидкість якої становить и Знайти швидкість човна відносно берега річки (рис 19)

Розвrsquoязання У задачі потрібно знайти результуючу швидкість upe

+=rr 3 Оскільки кути α і β задані відносно одного напрямку є кутами паралелограма то за теоремою косинусів одержимо

αrrαrrr ucosuucosupe 2)180(2 22223 ++=minusminus+=

Знайдемо кут що утворює 3per із напрямком швидкості течії и

)180(

3 rβ

rα sinsin

pe

=minus

Звідки

αrrαrβ

ucosusinsin

222 ++=

Цю задачу можна було розвrsquoязати інакше У проекціях на осі Х і Y одержимо

3

3

αrrαrr

sinucos

ype

xpe

=

+=

Тоді результуюча швидкість дорівнює

Рис 18

Рис 19

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

18

22)(

2222222

2222223

233

αrrαrααr

αrαrαrrrr

ucosuucosucossin

sinucosucosypexpepe

++=+++=

=+++=+=

αrrαr

rr

βucosu

sinsinxpe

ype

2223

3

++==

Обидва варіанти розвrsquoязання цієї задачі дають однакову відповідь

Задача 18 Два тіла кинули одночасно із однієї точки з однаковими швидкостями що дорівнюють 0r Одне тіло кинули вертикально вгору а друге ndash під деяким кутом до горизонту Яким повинен бути цей кут щоб відстань між тілами була максимально можливою Чому дорівнює ця максимальна відстань Уважатищо під час падіння на землю швидкості тіл миттєво гасяться

Розвrsquoязання Для розвrsquoязання задачі зручно використати вектор відносної швидкості Доки обидва тіла знаходяться в польоті цей вектор залишається сталим і дорівнює )2(2 0 αr sin (рис 20) де α ndash кут між векторами швидкості кинутих тіл у початковий момент Зрозумілощо доки обидва тіла знаходяться в польоті відстань L між ними лінійно зростає з часом У момент падіння тіло кинуте під кутом до горизонту впаде на землю на відстані від точки кидання

2)

22(4

222 22

200

0

αααrααrr sinsincosg

singcosL minus==

де g ndash прискорення вільного падінняДослідимо цей вираз на максимум Узявши похідну по α та прирівнявши її до

нуля знаходимо що L досягає максимального значення за

638 2

0

gL r= при α = α де 61)2( =αsin тобто при α asymp 48deg

Для повного аналізу задачі потрібно перевірити куди рухалося вертикально кинуте тіло в момент падіння іншого тіла кинутого під кутом α до вертикалі

Порівнюючи час польоту вертикально кинутого тіла до найвищої точки 1t = 0r g із повним часом польоту тіла кинутого під кутом α

gcosgt 34)(2 0

02 rαr == бачимо що 21 tt lt Таким чином вертикально кинуте тіло рухається вниз тому відстань між

тілами буде тільки збільшуватися

Задача 19 Із даху будинку падають дві краплі з інтервалом часу τ = 1 с Яка відстань буде між краплями через t = 2 с після відриву першої краплі Якою буде в цей момент швидкість першої краплі відносно другої

Розвrsquoязання Оскільки рух краплі після відриву відбувається без початкової швидкості ( 0r = 0) зі сталим прискоренням (а = g) то за формулою вільного падіння

Рис 20

Vвідносна

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

19

з висоти відстань пройдена першою краплею h1 від даху в момент часу tвизначається

2

2

1

gth =

Друга крапля починає рух пізніше першої Тому вона знаходилась у русі протягом часу t ndash τ і пройдена нею відстань

2

)( 2

2

τminus= tgh

Тому відстань між краплями дорівнює

[ ] )2

()(21 22

21

τττ minus=minusminus=minus= tgttghhH

Підставивши в останній вираз значення τ = 1 с t = 2 с і приймаючи g = 10 мс2 знаходимо Н = 15 м

Швидкість r першої краплі відносно другої можна знайти як різницю швидкостей 1r та 2r з якими рухаються краплі в момент часу t

)( 21 τrr minus== tggt

Звідси слідує що швидкість першої краплі відносно другої не залежить від часу

1021 смg ==minus= τrrr

Очевидно що ця відносна швидкість дорівнює швидкості першої краплі яку вона встигла набути до моменту τ відриву другої Далі обидві краплі падають з однаковим прискоренням і їх швидкості ростуть але різниця швидкостей залишається незмінною

Ту ж саму відповідь можна одержати інакше До моменту τ відриву другої краплі перша встигає віддалитися від неї на відстань Но = gτ22 Із цього моменту їх відносний рух відбувається зі сталою швидкістю r = gτ Тому відстань Ну довільний момент часу t gt τ дорівнює H = H0 + r (t ndash τ)

Підставляючи в цей вираз значення Но та r одержимо попередній результат Із цього способу розвrsquoязання стає зрозумілим чому відстань між краплями

збільшується з часом за лінійним законом не дивлячись на те що відстані які проходить кожна крапля залежать від часу в квадраті

Спробуємо розібрати чи завжди має зміст одержаний розвrsquoязок задачі В умові нічого не було сказано про висоту даху над поверхнею землі Але очевидно що для низького даху перша крапля може впасти на землю раніше ніж відірветься друга Щоб обидві краплі одночасно знаходилися в повітрі як це пропонується в наведеному розвrsquoязанні задачі потрібно щоб висота даху була не менше ніж gt22 = 5 м А поставлене в задачі питання має зміст тільки коли висота даху не менше ніж h1 = gt22 = 20 м ndash відстань пройдена першою краплею за 2 с

Бачимо що деякі не вказані в умові задачі параметри які формально не входять у відповідь можуть значно впливати на умову їх використання Так у цій

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

20

задачі одержана відповідь Н = 15 м має зміст тільки за умови що висота даху не менше 20 м

Стосовно інтервалу між моментами падіння крапель на землю то він очевидно дорівнює інтервалу τ між моментами відриву крапель незалежно від висоти даху

Рівномірний рух матеріальної точки по довільній кривій

Рух по довільній кривій називають рівномірним якщо він відбувається зі сталою за модулем швидкістю Вектор миттєвої швидкості r направлений по дотичній до кривої в точці де перебуває тіло в заданий момент часу а його модуль називається лінійна швидкість (рис 21)

Кутовою швидкістю ω називають

швидкість зміни центрального кута φ тобто t∆

∆= ϕt де Δφ ndash

зміна кута φ за час Δt (рис 22) Якщо кут виражений у радіанах то довжина дуги АВ ϕ∆= Rl

де R ndash радіус кола і тому Rt

Rt

lt

sAB tϕr =∆∆=

∆=

∆∆=

Тобто лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола Кутова швидкість ndash вектор спрямований перпендикулярно до площини обертання його напрямок визначається

за правилом правого гвинта Розмірність кутової швидкості ndashрадіани за секунду (радс)

Лінійна швидкість є векторним добутком кутової швидкості та радіус-вектора

r times= tr Напрямки цих векторів наведено на рис 23

Рівномірний рух матеріальної точки по колуРівномірний обертальний рух часто характеризують також періодом

обертання Т ndash час одного оберту і частотою обертання ν ndash число обертів за одиницю часу Частота обертання виражається в сndash1 Ці величини повrsquoязані з кутовою швидкістю співвідношенням

22 πνπt ==T

Навіть під час рівномірного руху точки по колу вектор швидкості точки r

змінюється Отже точка рухається з прискоренням

lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r

де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt (рис 22)

1

12

14

16

18

2

22

24

1 15 2 25 3 35 4 45 5

О

Р

с

RA

B

Рис 21Рис 21

Рис 22

Рис 23

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

21

Рис 25

На рис 22 видно що якщо інтервалу часу Δt зменшується напрямок вектора r∆ наближається до радіусу що зrsquoєднує центр кола з точкою Отже прискорення a

направлене до центру кола тому його називають доцентровим прискореннямЗнайдемо це прискорення

Із подібності трикутників АОВ та трикутника утвореного векторами rrr ∆prime BA

слідує що

tAB

Rta

tt ∆sdot=

∆∆=

rarr∆rarr∆

rrlimlim

00

Оскільки то доцентрове прискорення дорівнює

22

RR

a tr == (8)

Нерівномірний рух по колуУ загальному випадку кутова швидкість

)(tϕt prime= залежить від часу і для опису руху вводять кутове прискорення )(ttε prime= яке виражається в радіанах за секунду в квадраті(радс2) Його напрямок показано на рис 24 а ndash тіло прискорюється б ndash сповільнюється

Прискорення a направлене всередину кола під деяким (не обовrsquoязково прямим) кутом до швидкості Тобто в загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na та тангенціальне прискорення τa (рис 25)

Нормальне прискорення направлене до центру кола (перпендикулярно до швидкості r ) і обчислюється за формулою (8)як і доцентрове прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямок швидкості Тангенціальне прискорення характеризує зміну величини швидкості та дорівнює

RRta εtrτ =prime=prime= )()( Raτε =

(Якщо напрямок τa спрямований уздовж напрямку швидкості то тангенціальне прискорення вважається додатним при цьому швидкість зростає На рис 25 тангенціальне прискорення τa направлене проти швидкостіОтже 0ltτa і швидкість зменшується Загальне прискорення

22τaaa n +=

Під час рівноприскореного руху по колу const=ε тому залежності t та ϕ∆від часу мають такий самий вигляд як xx sr для рівноприскореного руху точки по прямій (формули (1) і (2))

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкість

Рис 24

а б

lim0

r=∆rarr∆ tAB

t

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

22

Рух вздовж криволінійної траєкторіїУ загальному випадку для na і τa використовують ті ж співвідношення

як і під час руху по колу )(ta rτ prime= та Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії тобто радіус кола що найближче прилягає до траєкторії в заданій точці Якщо τa

весь час дорівнює нулю то рух уздовж траєкторії є рівномірним Аналогічно якщо na дорівнює нулю то рух відбувається вздовж прямої

Задача 20 Описати якісно як змінюються na і τa під час руху тіла кинутого під кутом до горизонту

Розвrsquoязання Від початку руху до верхньої точки 0ltτa і τa зменшується

na зростає (повне прискорення весь час залишається рівним g ndash прискоренню вільного падіння) радіус R ndash зменшується ( naR 2r= r ndash зменшується) Потім навпаки

Рух твердого тілаТвердим тілом називають ідеальне тіло відстань між довільними двома

точками якого не змінюється (тобто відсутня деформація)Виділяють два види руху твердого тіла поступальний та обертальний

Під час поступального руху відрізок що зrsquoєднує довільні дві точки тіла переміщується паралельно сам собі Отже всі точки тіла здійснюють однакові рухи за однаковими траєкторіями при цьому достатньо описати рух лише однієї точки

Під час обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла рухаються по колах центри яких лежать на одній осі Кутова швидкість t всіх точок тіла однакова а лінійні швидкості пропорційні відстані до осі обертання Rtr = Довільний рух твердого тіла згідно з принципом суперпозиції можна розглядати як суму поступального і обертального рухів

Задача 21 Колесо котиться зі сталою швидкістю r відносно землі з кутовою швидкістю t (рис 26) Знайти швидкості точок обода колеса Ar Br Cr Dr

Розвrsquoязання Вибираємо нерухому систему відліку ХОY так що вісь ОХ лежить у площині по якій котиться колесо (рис 27) Рухома система відліку ХОY рухається поступально разом із віссю колеса зі швидкістю r

Рух колеса можна уявити у вигляді суми двох рухів поступального зі швидкістю r що направлена вправоі обертального відносно осі колеса з кутовою швидкістю t ndashза годинниковою стрілкою За законом додавання швидкостей швидкість довільної точки дорівнює векторній сумі обертального руху обертr величина якого для точок на ободі дорівнює Rоберт tr = і швидкості r поступального руху

Рис 26

СD

Рис 27

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

23

1) Швидкість нижньої точки колеса А відносно землі повинна дорівнювати нулю отже у цій точці протилежно направлені r і обертr повинні компенсуватися Тому одержимо з умови відсутності проковзування звrsquoязок між r та t Rtr =

2) У верхній точці В колеса r і обертr направлені в одному напрямку тобто швидкість точки дорівнює rr 2=B

3) У точках С і D що знаходяться на одному рівні із центром r і обертr

взаємно перпендикулярні і швидкості цих точок дорівнюють 2rrr == cD 4) Прискорення довільної точки на ободі колеса за законом додавання

прискорень (аналогічний (7)) дорівнює прискоренню обертального руху R2t і направлене до центру кола (тангенціальне прискорення рівномірно рухомої системи відліку дорівнює нулю)

5) Швидкість довільної точки колеса в заданий момент можна знайти як швидкість обертання з кутовою швидкістю t відносно нерухомої (у цей момент часу) миттєвої осі обертання A Швидкості точок D В і С одержують такими жяк і вище

Задача 22 Тіло рухається в першому випадку під дією сили тяжіння а в другому ndash тією самою траєкторією зі сталою швидкістю r У верхній точці 1 для обох варіантів руху швидкості тіла співпадають (рис 28) Знайти в другому випадку прискорення тіла в точках 1 і 2 (початкова швидкість направлена під кутом 45deg до горизонту) Прискорення вільного падіння дорівнює 10 мс2

Розвrsquoязання Оскільки в обох випадках тіло рухається однаковимитраєкторіями і в першому випадку рух відбувається в полі сили тяжіння отже траєкторіями тіла є дві однакові параболи з вершинами у верхній точці (рис 28 точка 1)

Використаємо вираз для нормального прискорення ап

Ran

2r=

де r ndash швидкість тіла R ndash радіус кривизни траєкторіїРозглянемо перший випадок ndash рух під дією сили тяжіння У точці 1 нормальне

прискорення ап1 дорівнює прискоренню вільного падіння оскільки в цій точці повне прискорення співпадає з нормальним У точці 2 нормальне прискорення ап2 можна знайти спроектувавши повне прискорення g на нормальне до кривої в цій точці

22450

2

22

2 gcosgR

an =sdot== r

Ураховуючи що під час руху в полі сили тяжіння зберігається горизонтальна компонента швидкості (вона дорівнює швидкості 1r у точці 1) знаходимо що

245 101

2 rrr ==cos

Таким чином

222

2

21

2 gR

an == r (122)

Рис 28

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

24

Розглянемо тепер другий варіант руху ndash рух по параболі зі сталою швидкістю У цьому випадку прискорення тіла буде мати тільки нормальну складову Позначимо прискорення тіла в точках 1 і 2 через 1

1a і 12a відповідно

Оскільки в точці 1 за умовою в обох варіантах руху швидкості співпадають а радіуси кривизни за еквівалентності парабол взагалі рівні для довільної пари еквівалентних точок то

gaR

a n === 11

211

1

r

Для точки 2 маємо

2

21

2

2121

2

)(RR

a rr == (222)

Порівнюючи вирази (122) і (222) знаходимо кінцевий результат

421

2 ga =

Задача 23 Ротор центрифуги обертається з частотою 4102 sdot обхв Після вимкнення двигуна його обертання припиняється за 8 хв Знайти кутове прискорення та число обертів зроблених ротором від моменту вимкнення двигуна до його повної зупинки вважаючи що рух ротора рівносповільнений

Розвrsquoязання Знайдемо кутове прискорення врахувавши що кутова швидкість під час рівносповільненого руху описується рівнянням

tt sdotminus= εtt 0)( Звідси врахувавши що кінцева кутова швидкість дорівнює нулю знайдемо

tn

tπtε 20 ==

Переведемо дані задачі в систему одиниць СІ

Одержимо )(364480

33322с

paд=sdot= πε

Кут повороту ротора центрифуги за час t дорівнює

2)(

2

0

ttt sdotminussdot= εtϕ

Урахувавши вираз для кутового прискорення знаходимо кут повороту

tnttt

tt sdotsdot=sdot=minussdot= πtttϕ22

)( 02

00

Кількість обертів ротора за цей час буде

обtntntN 4108222

)( sdot=sdot=sdotsdot==π

ππ

ϕ

Задача 24 Якого максимального значення набуває під час польоту кутова швидкість обертання вектора швидкості тіла кинутого з початковою швидкістю 0rпід кутом α до горизонту

ctсобn )480333( ==

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

25

Розвrsquoязання Нормальне прискорення ап можна записати у виглядіап =ωr

де r ndash модуль швидкості тіла ω ndash кутова швидкість обертання вектора швидкостіЗвідси ω = anr і вона максимальна у найвищій точці траєкторії

де ап максимальне і дорівнює прискоренню вільного падіння g швидкість r ndashмінімальна та дорівнює αr cos0

Тому максимальне значення дорівнюєαr

tcosg

0max =

Задача 25 Із однієї точки на схилі гори що становить кут 30deg із горизонтом кидають два мrsquoячики з однаковою початковою швидкістю 20 мс Один кидають під деяким кутом угору другий ndash під тим же кутом ndash униз під гору На якій максимальній відстані один від одного можуть знаходиться точки падіння мrsquoячиків на схилі

Розвrsquoязання У системі відліку з початком у точці кидання горизонтальна вісь Х (направлена laquoвсерединуraquo гори) і вертикальна вісь Y Координати мrsquoячика який кинули вгору виражаються формулами

2

2

00

gttsinytcosx minus== αrαr

де α ndash кут між 0r і віссю Х g ndash прискорення вільного падінняПіднесемо обидва вирази до квадрата і додавши їх одержимо

4 220

42222 ttgtgyx y r=+++

Позначивши дальність польоту вздовж гори через L1 і виразивши координату точки падіння за формулою

х = L1 cos 30deg y = L1 sin 30degодержимо із цього рівняння відношення виду

g2t4 4 + (gL1sin 30deg ndash 20r ) t2 + L1

2 = 0

Розглянемо це біквадратне рівняння відносно t і врахуємо що для максимальної дальності польоту L1max два корені цього рівняння повинні співпастиприрівняємо дискримінант рівняння до нуля

(gL1max sin 30deg ndash 20r ) 2 ndash g2 L1max

2 = 0

Звідки знаходимо L1max = 20r [g(1+ sin 30deg)]

Для тіла кинутого вниз аналогічно одержимо L2max = 20r [g(1 ndash sin 30deg)]

Максимальна відстань між точками падіння дорівнює L1max + L2max Для цієї задачі це значення приблизно дорівнює 109 м

Задача 26 Невелика кулька стрибає всередині гладкої закріпленої сфери радіусом R відбивається абсолютно пружно від точок А і В симетричних відносно вертикальної осі що проходить через центр сфери О (рис 29) Знайти мінімальну

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

26

швидкість кульки під час руху якщо її траєкторія проходить через центр О Накреслити траєкторію руху кульки і знайти радіус кривизни траєкторії в верхній точці

Розвrsquoязання Позначимо кути α і β які утворює швидкість кульки з горизонтом і радіусом ОА відскочивши від сфери в точці А(рис 30) Оскільки дальності польоту кульки по горизонталі для обох парабол однакові то маємо рівність

[ ])2(22 βαα += sinsin

У цьому рівнянні враховано що за абсолютно пружного удару об гладку поверхню кут падіння рівний куту відбивання Урахуємо також що з попереднього рівняння слідує відношення для аргументів синуса

2(α + 2β) = π ndash 2αзвідки

α + β = π4Остання рівність показує що радіуси ОА і ОВ утворюють

кути 45deg із горизонтом тобто швидкості кульки що летить по верхній параболі поблизу А і В орієнтовані під кутом α до вертикалі

Урахуємо тепер що верхня парабола проходить через центр сфери Прирівнявши час підйому від точки В до центра О із часом переміщення по горизонталі від точки В до центральної площини маємо

αrαr sinR

cosR

22

222 =

Тобто 2 sin a = cos аТаким чином sin α = 1 5 cos α = 2 5 Швидкість кульки в нижніх точках траєкторії можна знайти за законом

збереження енергії ( mghm =2

2r ) 2r cos2 α = 2gR 2 2 звідки маємо значення

502

4gR=r

Мінімальна швидкість кульки буде в момент проходження нею точки О

4min 8Rgsin == αrr

Радіус кривизни у верхній точці верхньої параболи дорівнює

22

)( 2

1

Rg

sinR == αr

Радіус кривизни у верхній точці нижньої параболи дорівнює

2)( 2

2 Rg

cosR == αr

Рис 29

Рис 30

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

27

Основні формули кінематики

Переміщення )()( 12 trtrrs minus=∆= 0)()( rtrts minus=

Середня швидкість tr

cp ∆∆=

r де 12 ttt minus=∆

Миттєва швидкість (або просто швидкість) точки в момент часу t

ttrttr

trtr

tt ∆minus∆+=

∆∆=

rarr∆rarr∆

)()(limlim)(00

)(txx prime=r )()()( tstrt prime=prime= r

Прискорення матеріальної точки в момент часу t

)()()(lim0

tt

tttat

rrr prime=∆

minus∆+=rarr∆

)(ta xx rprime= Рівномірний рух constx =rКоордината точки х txx xr+= 0 або ts xx r=

Рівноприскорений рух constax =t

a xxx

0rr minus=

Швидкість xr taxxx += 0rr де x0r ndash початкова швидкість

Переміщення2

2

0

tats xxx += r )2( 0 tats xxx += r

x

xxx a

s2

20

2 rr minus=

Координата 2

2

00

tatxx xx ++= r де х0 ndash початкова координата

Вільне падіння ga = де g ndash прискорення вільного падіння Біля поверхні Землі 289 смg asymp на екваторі 2789 смg asymp на полюсі

2819 смg asymp Якщо вибрати систему координат в якій вісь Y направлена вертикально вгору

а вісь Х ndash горизонтально (в площині руху) то рух матеріальної точки вздовж осі Yбуде рівноприскореним а рух вздовж осі Х ndash рівномірним У цій системі відліку рух точки описується рівняннями )( gay minus=

0

txconst

x

xx

rrr

===

2

2

00

0

gttyy

gt

y

yy

minus+=

minus=

r

rr

де х у ndash координати точки yx rr ndash відповідні проекції швидкості r у0 ndash координата у точки за t =0 (х0 вважаємо рівним нулю) yx 00 rr ndash проекції початкової швидкості 0r

Швидкість тіла в довільний момент часу дорівнює 22yx rrr +=

Тангенс кута з вертикаллю дорівнює y

xtgrrβ =

Прискорення в довільний момент часу 22yx aaa +=

Рух під кутом до горизонту а = ndashg

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

28

Швидкості

0

0

gtsincos

y

x

minus==

αrrαrr

Координати

2

2

00

00

gttsinyy

tcosxx

minussdot+=

sdot+=

αr

αr

Рівняння траєкторіїαr

α 220

2

2 cosgxtgxy minussdot=

Час підйому тіла до вершини g

sint αr0=

Час польоту вздовж параболи 2 0

gsintn

αr=

Дальність польоту у горизонтальному напрямкуg

sinL αr 220=

Максимальна висота польотуg

sinH2

220 αr=

Модуль результуючої швидкості )( 20

220

22 gtsincosyx minus+=+= αrαrrrr

Вектор швидкості утворює з вертикаллю кут αr

αrrrβ

cosgtsintg

y

x

0

0 minus==

Висота на яку підніметься тіло в довільний момент часу 2

2

0

gttsinh minus= αr

Координата по горизонталі в довільний момент часу tcosx sdot= αr0 Відносність руху Закон додавання переміщень 21 sss +=Закон додавання швидкостей 21 rrr +=Закон додавання прискорень 21 aaa +=Рівномірний рух матеріальної точки по колу Вектор миттєвої швидкості r

направлений по дотичній до кола const=r Rtr =

Кутова швидкість ω = constt∆

∆= ϕt де ϕ∆ ndash зміна кута ϕ за час Δt

Довжина дуги ϕ∆= Rl де R ndash радіус кола Період обертання Т ndash час одного оберту T=tN T=1ν

Частота обертання ν ndash число обертів за одиницю часу 22 πνπt ==T

Прискорення lim0 t

at ∆

∆=rarr∆

r де AB rrr minus=∆ ndash зміна швидкості за час Δt

Прискорення a направлене до центру кола (називають доцентровим прискоренням)

Доцентрове прискорення дорівнює 442

2222

2

trπνπtr =====T

RRRR

a

Нерівномірний рух по колуКутова швидкість )(tϕt prime=

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

29

Кутове прискорення )(ttε prime= Raτε =

У загальному випадку прискорення a можна розкласти на дві компоненти нормальне прискорення na і тангенціальне прискорення τa Нормальне прискорення направлене до центру кола і знаходять за формулою доцентрового прискорення Нормальне прискорення змінює тільки напрямокшвидкостіТангенціальне прискорення визначає зміну величини швидкості та дорівнює RRta εtrτ =prime=prime= )()(

Під час рівноприскореного руху за const=ε маємо залежності

tεtt += 0 2

2

0

tt εtϕ +=∆

де 0t ndash початкова кутова швидкістьРух уздовж криволінійної траєкторіїВикористовують ті самі співвідношення що й під час руху по колу )(ta rτ prime= та

Ran

2r= де R ndash радіус кривизни траєкторії

Загальне прискорення 22τaaa n +=

Кінематичні характеристики поступального та обертального рухів

Поступальний рух Обертальний рух)(trr =

rdtrd

tr

t

==

∆∆=

rarr∆ 0limr

rrr

==

∆∆=

rarr∆ dtd

ta

t 0lim

)(tϕϕ =

dtd

tt

ϕϕt =∆∆=

rarr∆ 0lim

2

2

0lim

dtd

dtd

tt

ϕttε ==∆∆=

rarr∆

Рівномірний рух

trtrconst

a

sdot+===

rr

0)(

0

tсоnst

sdot+===

tϕϕtε

0

0

Рівнозмінний рух

2)(

2

00

0

tatrtr

taconsta

+sdot+=

sdot+==

r

rr

2)(

2

00

ttt

tсоnst

0

sdot+sdot+=

sdot+==

εtϕϕ

εttε

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

30

Приблизна схема розвrsquoязання задач

Загального підходу (рецепту) розвrsquoязання задач не існує але можна дотримуватися певних схем Пропонується коротко одна з них

1 Зрозуміти загальну умову задачі2 Записати скорочену умову цієї задачі всі величини перевести в одну систему одиниць 3 Виконати рисунки схеми щодо пояснень процесів поставленої задачі4 Записати рівняння або систему рівнянь що відображають процеси описані в задачі5 Якщо рівняння записані у векторній формі то записати їх у проекціях (скалярній формі)6 Розвrsquoязати рівняння якщо потрібно дослідити одержані результати7 Провести перевірку одиниць та обчислення шуканої величини

Задачі для самостійного розвrsquoязування

1 На рис 1 показана залежність координати тіла від часу для трьох випадків І ІІ ІІІ Записати закони руху тіл побудувати графіки залежності швидкостіта прискорення від часу для кожного випадку Крива І ndash парабола

2 Автомобіль починає спускатися з гори без початкової швидкості й за час t = 1 хв набуває швидкості υ1 = 27 кмгод Одночасно назустріч йому починає підніматися вгору автомобіль що має початкову швидкість υ0 = 20 мс За час t = 1 хв швидкість другого автомобіля зменшується до υ2 = 8 мс Яка відстань буде між автомобілями через t1 = 80 с після початку руху якщо довжина гори l = 2 км Рух автомобілів вважати рівноприскореним

3 Вісь із двома дисками що розташовані на відстані l = 05 м один від одного обертається з частотою n = 1600 обхв Куля що летіла вздовж осі дисків пробиває обидва диски При цьому отвір від кулі в другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут φ = 12deg Знайти швидкість кулі υ

4 Тіло кинуте зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg до горизонту Знайти радіуси кривизни траєкторії тіла в початковий момент його руху через час t = 05 с та в точці найвищого підйому тіла над поверхнею землі

Рис 1

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

31

5 Кулька вільно падає на похилу площину з висоти h = 2 м і пружно відскакує від неї На якій відстані S від місця падіння вона вдруге вдариться об площину Кут нахилу площини до горизонту α = 30deg

6 Частинки а і в рухаються вздовж осі Х У момент часу t0 = 0 вони знаходились у початку координат і одночасно досягли точки координата якої хС = S Частинка а першу половину шляху пройшла зі швидкістю υ1а = 2υ другу половину шляху зі швидкістю υ2а = υ2

Частинка в пройшла першу половину шляху зі швидкістю υ2в = υ2 другу половину шляху ndash зі швидкістю υ2в =2υ Знайти інтервал часу протягом якого відстань між частинками приймає постійне найбільше значення Sт Визначити Sті середнє значення швидкості частинок

7 Спортсмени біжать колоною довжиною l0 з однаковими швидкостями υНазустріч біжить тренер зі швидкістю u (u gt υ) Спортсмен порівнявшись із тренером розвертається і біжить у зворотному напрямку з тією ж за величиною швидкістю υ Знайти довжину колони l коли всі спортсмени будуть бігти в напрямку протилежному початковому

8 Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному один із пункту А в пункт В другий ndash із В в А Після зустрічі на відстані 8 км від пункту А вони продовжили рух Кожний із них доїхавши до пункту призначення повертається і їде назад На зворотному шляху відбувається друга зустріч велосипедистів Знайти інтервал можливих відстаней від пункту В до місця другої зустрічі

Контрольна робота Кінематика

1 Матеріальна точка рухається вздовж осі Х так що проекція її швидкості змінюється з часом як на рис 1У початковий момент часу t0 = 0 координата точки х0 = ndash1 м

а) Записати рівняння руху точкиб) Побудувати графіки залежності координати та шляху

від часув) Чому дорівнює переміщення та шлях за час t1 = 2 с

рухуг) Чому дорівнює проекція середньої швидкості та середня шляхова швидкість

точки за весь час руху2 Куля що летіла зі швидкістю υ0 = 400 мс потрапила в земляний вал та

заглибилась на глибину S = 36 см Визначити а) протягом якого часу tпродовжувався рух усередині валу б) прискорення а в) швидкість υ1 на глибині

Рис 1

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

32

S1 = 18 см г) на якій глибині S2 швидкість кулі зменшиться в n = 3 рази д) швидкість кулі υ2 у той час коли вона пройде η = 99 свого шляху Рух кулі вважати рівносповільненим

3 Тіло розпочинає рівноприскорений рух Відомо що за девrsquoяту секунду воно проходить відстань l = 17 м Визначити а) прискорення з яким рухалося тіло б) швидкість тіла в кінці девrsquoятої секунди руху в) швидкість тіла в той момент часу коли воно пройшло шлях Sх = 25 м від початку руху Початкова швидкість тіла υ0 = 0

4 Похилою площиною пустили кульку знизу вгору На відстані l = 30 см від початку руху кулька побувала двічі через t1 = 1 с і t2 = 2 с від початку руху Визначити початкову швидкість та прискорення руху кульки вважаючи його сталим

5 Матеріальна точка рухається вздовж осі ХЗалежність її швидкості від часу наведена на рис 2Уважаючи що за t0 = 0 координата х0 = 5 м записати відповідні рівняння залежності координати шляху та прискорення від часу та побудувати відповідні графіки

6 За графіком залежності прискорення від часу(рис 3) для матеріальної точки записати відповідні рівняння залежності координати шляху та швидкості від часу та побудувати відповідні графіки Уважатищо за t0 = 0 координата х0 = 1 м υ0 = ndash2 мс Визначити середню швидкість переміщення υх

та середню шляхову швидкість υ за час від t1 = ndash 4 с до t2 = 4 с

7 Аеростат піднімається з поверхні землі вертикально вгору рухаючись рівноприскорено і за час t1 = 10 с досягає висоти h = 200 м За t2 = 5 с після старту із аеростата випадає камінь без початкової швидкості відносно нього Якої максимальної висоти досягне камінь Яка відстань буде між аеростатом і каменем у момент його падіння на землю З якою швидкістю камінь упаде на землю Накреслити для каменя графіки залежностей υу(t) у(t) S(t) Вісь Y направити вертикально вгору початок відліку прийняти на поверхні землі початок відліку часу ndash момент випадання каменя з аеростата

8 Знайти лінійну швидкість υ обумовлену обертанням Землі навколо своєї осіі нормальне прискорення an точок земної поверхні на а) екваторі б) географічній широті φ = 45deg

r

Рис 2

Рис 3

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

33

9 Хлопчик кидає мrsquoяч зі швидкістю υ0 = 10 мс під кутом α = 45deg у бік стіни стоячи на відстані l = 4 м від неї На яку відстань від стіни повинен стати хлопчик щоб упіймати мrsquoяч Удар мrsquoяча об стінку вважати абсолютно пружним

10 Із вершини гори кидають камінь під кутом α = 30deg до горизонту (рис 4) Визначити початкову швидкість каменя якщо він упав на відстані l = 20 м від точки кидання Кут нахилу площини до горизонту α

11 Із точки А що на вершині крутого обриву на висоті h над горизонтом кидають невеликий предмет у точку горизонтальної поверхні що є від обриву на відстані l(рис 5) Чому дорівнює мінімальна швидкість кидка υ0Під яким кутом α до горизонту повинен при цьому бути зроблений кидок Чому дорівнює кут падіння β на горизонтальну поверхню

12 Пішохід велосипедист і мотоцикліст рухаються зі сталими швидкостями по прямій Коли велосипедист наздогнав пішохода мотоцикліст був позаду нього на відстані S Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста пішохід був на відстані dпозаду Знайти відстань l на якій був велосипедист від пішохода в момент часу зустрічі мотоцикліста і пішохода

Рис 4

Рис 5

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

34

Для нотаток

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

35

Для нотаток

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2

Формат 60х8416 Друк цифровийПапір офсетний 80 гм2