Notion de calcul vectoriel - Institut des Géosciences de ... thermiques.pdf · Objectifs du cours...

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Aucun sujet n’a des rapports plus étendus avec les progrès de l’industrie et ceux des sciences naturelles ; car l’action de la chaleur est toujours présente, elle pénètre tous les corps et les espaces, elle influe sur les procédés des arts, et concourt à tous les

phénomènes de l’univers » Joseph Fourier, « Théorie Analytique de la Chaleur », 1822

I- INTRODUCTION ................................................................................................................. 3

1. Consommation énergétique ........................................................................................ 3

2. La RT2000 ..................................................................................................................... 4

3. Objectifs du cours........................................................................................................ 5

II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE .................................................................... 5

1. Les grandeurs thermiques .......................................................................................... 5 1.1. Introduction ............................................................................................................. 5 1.2. La température........................................................................................................ 6 1.3. Bases thermodynamiques....................................................................................... 6 1.4. Chaleur sensible ..................................................................................................... 7 1.5. Chaleur latente........................................................................................................ 7

2. Les modes de transmission de la chaleur ................................................................. 7 2.1. Conduction .............................................................................................................. 8 2.2. Convection.................................................................................................................. 8 2.3. Rayonnement.......................................................................................................... 8

III- CONDUCTION THERMIQUE.............................................................................................. 9

1. REGIME PERMANENT : ............................................................................................... 9 1.1. Loi de Fourier : ........................................................................................................ 9 1.2. Conductivité thermique des matériaux .................................................................... 9 1.3. Généralisation à 3D .............................................................................................. 11

2. REGIME TRANSITOIRE :............................................................................................ 13 2.1. Bilan énergétique : ................................................................................................ 13 2.2. Diffusivité thermique :............................................................................................ 14

3. ANALOGIE ELECTRIQUE : ........................................................................................ 12 3.1. Résistance thermique :.......................................................................................... 12 3.2. Capacité thermique : ............................................................................................. 13 3.3. Symboles : ............................................................................................................ 13

Cohard 02 Cours Transfert Thermique 1/29

Transfert Thermique

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IV- CONVECTION THERMIQUE ............................................................................................ 14

1. Introduction ................................................................................................................ 14

2. Convection naturelle.................................................................................................. 15 2.1. Analyse dimensionnelle......................................................................................... 15 2.2. Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :................................ 17 2.3. Convection en espace limité (confiné)................................................................... 20

3. Convection forcée ...................................................................................................... 20 3.1. Analyse dimensionnelle......................................................................................... 20 3.2. Ecoulement forcé interne ...................................................................................... 21 3.3. Ecoulement forcé externe ..................................................................................... 21

V- TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT......................................................... 23

1. Généralités.................................................................................................................. 23 1.1. Rayonnement électromagnétique ......................................................................... 23

2. Quelques définitions :................................................................................................ 23 2.1. Notion d'angle solide : ........................................................................................... 23 2.2. Energie rayonnante Q ........................................................................................... 24 2.3. Flux énergétique Φ : .............................................................................................. 24 2.4. Intensité énergétique Ι :......................................................................................... 24 2.5. Radiance E :.......................................................................................................... 24 2.6. Notion de spectre .................................................................................................. 24

3. Interaction rayonnement matière........................................................................... 25

4. Rayonnement électromagnétique et température ................................................... 27 4.1. Corps noir :............................................................................................................ 27

5. Lois fondamentales du rayonnement....................................................................... 27 5.1. Loi de Planck :....................................................................................................... 28 5.2. Loi de Stefan-Boltzmann : ..................................................................................... 28 5.3. Loi de Wien : ......................................................................................................... 28

6. Transferts par rayonnement entre surface .............................................................. 28 6.1. Entre corps noirs :..................................................................................................... 29 6.2. Si une seule des surfaces est noire : .................................................................... 29 6.3. Entre corps gris : ................................................................................................... 29


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I- INTRODUCTION

1. Consommation énergétique A la question « pourquoi étudier la

thermique en génie civil » vous répondrez certainement « pour savoir comment chauffer ou refroidir un bâtiment » ce qui est plutôt du ressort du génie climatique. Toutefois si on prend un peu de recul sur le problème du chauffage et que l’on regarde l’aspect consommation d’énergie au niveau national, on remarque que notre petit confort coûte pour la France la bagatelle de 24 Milliard d’euro (160 Milliards de franc courant) pour un total consommé de 258 Millions de tonne équivalent pétrole en l’an 2000. prêt de 40% de cette consommation est brûlée par le secteur résidentiel et tertiaire, c’est à dire pour le chauffage et la climatisation de notre habitât. Dans un contexte ou l’énergie a un coût financier mais aussi environnemental important, la réduction de cette consommation est un enjeu primordiale pour la France et de manière générale pour tous les états. Tout les secteurs sont évidemment concernés (transports, industrie, habitât, …). En particulier, pour le secteur résidentiel et tertiaire il est bon de se pencher sur tous les éléments des bâtiments qui, mieux conçus, pourraient amener des réductions de consommation.

D’autre part le prix du pétrole est très

fluctuant (du simple au double sur les dix dernières années) et induit des variations du même ordre pour la facture globale. On comprend donc au vue de ces graphiques, la tendance du remplacement des énergies fossiles (pétrole, charbon) par l’électricité dans le secteur résidentiel.

Les préoccupation énergétique de la France ne sont pas nouvelle. Les premières

réactions ont fait suite au 1er choc pétrolier de 1972 avec les fameux slogans « chasse au Gaspi », « on a pas de pétrole mais on a des idées », … mais aussi avec la mise en place d’un programme nucléaire pour l’indépendance énergétique et la mise en place de réglementation pour faire des économies d’énergie.


consomation par énergie pour le secteur résidentiel tertiaire

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

1973 1979 1985 1990 1995 1998 1999 2000

bois

électricité (tep)

charbon (tep)

pétrole (tep)

gaz (tep)

Consommation énergétique nationale par secteur

Facture énergétique par énergie

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Après la mise en place entre 1974 et 1988 de différents labels et méthodes de calcul, un premier bilan est effectué et une première harmonisation de la réglementation est proposée : c’est la RT89. Cette réglementation porte directement sur la consommation par la mise en place d’un coefficient C. Pour chaque bâtiment neuf, ce coefficient doit être inférieur a un coefficient de référence Cref. Cela a eu des conséquences importantes sur les matériaux d’isolation et sur les installations de chauffage. Cette nouvelle réglementation a permis pour le secteur résidentiel et tertiaire de faire progresser de manière substantielle les économies d’énergie (voir graphe ci-contre).

2. La RT2000 Aujourd’hui, une nouvelle étape est franchie avec une refonte de la réglementation, la

RT2000, qui doit répondre a de nouveaux enjeux : !

!

!

!

Le premier de ces enjeux est international. Les Accords de Rio et de Kyoto fixent des objectifs de limitation des émissions de gaz à effet de serre. La France a notamment décidé de réduire la consommation d’énergie des bâtiments qui contribue, pour plus du quart, à la production des gaz à effet de serre (gaz carbonique). Le programme national de lutte contre le changement climatique (arrêté par le Premier Ministre en janvier 2000) prévoit de renforcer tous les cinq ans les exigences de la réglementation thermique des bâtiments neufs à compter de juin 2001.

Le deuxième enjeu est social. Toutes les solutions proposées dans le cadre de la

RT2000 doivent satisfaire des exigences minimales de manière à ce que chacun puisse trouver un logement correspondant à ses capacités financières. le ministère de l’Equipement, des Transports et du Logement reste attentif à la maîtrise du coût global des logements, charges financières et d’exploitation comprises. Les préoccupations actuelles d’économie d’énergie intègrent elles aussi cet aspect

Le troisième enjeu est la compétitivité des entreprise Française sur le marché

européens. Depuis la réglementation thermique de 1988, les travaux de normalisation européenne ont profondément modifié les méthodes de caractérisation des produits et de leurs performances. La nouvelle réglementation anticipe les normes en préparation. De plus, avec l’ouverture des frontières à la libre circulation des produits et des services, il devient impératif de se préoccuper de la compétitivité de l’ingénierie, des techniques et des produits français sur les marchés à l’exportation. Enfin la RT2000 qui propose des solutions clef en main permet parallèlement et encourage le développement de nouvelle technologie.

Le quatrième enjeu est la simplification pour favoriser l’application de la

réglementation et l’innovation. La simplification de la réglementation concourt à sa bonne application par les professionnels. La mise en place de solutions techniques simples à mettre en oeuvre par les constructeurs et plus souples à utiliser par les industriels illustre cette volonté.


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3. Objectifs du cours Si la RT2000 permet de mettre en place des solutions technologiques sans connaître ni

les calculs imposés par la réglementation ni les processus physique sous jacents à ces méthodes de calcul, l’ingénieur Génie civil se doit d’en connaître un peu plus long qu’un installateur. D’autre part la réglementation impose des objectifs de consommation ce qui implique de travailler a tous les niveaux du bâtiment, depuis sa structure, en passant par tous les éléments du second œuvre (habillage des parois, ouvertures, isolation, …) jusque, évidemment aux installations mise en œuvre.

Ce cours propose de présenter les différents processus d’échange thermique entre un

batiment et son extérieur. Il permettra d’appréhender en 3ème année le calcul des coefficients de la RT2000 avec un regard critique.

Après quelques définitions et rappels sur les grandeurs physiques caractéristiques des

échanges thermiques, les trois processus d’échangent seront abordé. Le premier de ces processus est la conduction thermique, le deuxième la convection et enfin le rayonnement. Chacun de ces processus sera illustré par des exemples concrets liés aux métiers du génie civil.

II- Quelques définitions de thermique

1. Les grandeurs thermiques

1.1. Introduction Il fallut un temps incroyablement long dans l’histoire de la science pour établir une

distinction entre les concepts de chaleur et de température, mais une fois cette distinction faite, des progrès rapides en furent le résultat.

Les premières tentatives de mise en théorie de la chaleur la décrivent comme une

substance, comme la masse par exemple. !

!

« La théorie calorique: un fluide invisible, indestructible et sans masse qui migre d’un corps chaud vers un corps plus froid. » Joseph Black 1728-1799 •«un fluide très subtil, très élastique, qui environne de toutes parts la planète que nous habitons, qui pénètre avec plus ou moins de facilité les corps qui la composent, et qui tend lorsqu'il est libre, à se mettre en équilibre dans tous » Antoine Lavoisier 1743-1794

Cette conception a permis d’expliquer avec succès les phénomènes de transfert de

chaleur d’un corps à l’autre, et plus généralement de conservation de la chaleur dans des systèmes isolés. En effet, de même que la masse d’un système isolé reste invariable, même si une transformation chimique s’y produit, la chaleur se conserve, même si elle s’écoule d’un corps à l’autre.

Cependant, ce concept n’explique pas la création spontanée de chaleur par frottement. Il a

fallu attendre Joule, dans les années 1850, pour que la chaleur soit considérée à juste titre comme une forme particulière dénergie. Son unité internationale est le Joule (J). L'ancienne unité, la calorie (1 cal = 4.1855 J = quantité de chaleur nécessaire pour élever 1 g d'eau de 1°C) est cependant une unité encore très utilisée pour exprimer une quantité de chaleur.


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Pour une quantité de matière donnée, l’apport d’une quantité de chaleur (énergie) induit un changement de sa température ou un changement détat de la matière. La distinction entre ces deux phénomènes permet de distinguer deux formes de chaleur, la chaleur sensible et la chaleur latente. La température quant à elle est une grandeur physique qui caractérise un niveau d’énergie de la matière. Ces différentes notions sont explicitées ci-après.

1.2. La température La température est la traduction à l’échelle macroscopique d’un état énergétique de la

matière à l’échelle microscopique, à savoir : !

!

pour les solides : c’est l’état de vibration des atomes à l’intérieur d’un réseau cristallin ou de mouvement d’électrons pour les matériaux qui ont la faculté d’échanger des électrons (les métaux par exemple) ; pour les fluides : c’est l’état d’agitation des molécules. La température s’exprime en degrés Kelvin (K) ou Celsius (°C).

Ne pouvant accéder directement aux phénomènes qui sont à l’origine de la chaleur, on

décrit donc l’état thermique d’un corps, sa température, à l’aide de manifestations extérieures que l’on peut constater et mesurer. Le plus souvent il s’agit de la dilatation d’un élément mis en équilibre thermique avec le milieu à étudier (thermomètre).

1.3. Bases thermodynamiques La thermique est une branche de la thermodynamique, science qui décrit les échanges

d'énergie entre différents constituants d'un système. La thermodynamique repose sur deux propositions fondamentales. L’une, appelée premier principe, exprime une propriété de conservation de l’énergie, considérée sous toute ses formes, au cours de la transformation d’un système isolé.

Le premier principe s’énonce de la manière suivante: ∆U = Q + W où ∆U, variation de l’énergie totale du système, est la somme de l’énergie calorifique Q

apportée au système et du travail fourni au milieu extérieur W. Ces trois grandeurs étant des énergies, elles s'expriment en Joule (J). W et Q sont positives lorsque le système reçoit de l'énergie du milieu extérieur (et inversement).

Le premier principe peut être formulé de la façon suivante : lors d'une transformation, la somme des énergies mécaniques et calorifiques est égale à la variation d'énergie interne du système. Pour un cycle fermé, W + Q = 0. Cela correspond à la notion naturelle que la quantité globale d'énergie est toujours conservée.

Figure 1. Expérience

de Joule (équivalence énergie mécanique-énergie

calorifique)


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Le premier principe de la thermodynamique a été magnifiquement illustré par Joule avec son expérience originale de détermination de l’équivalence énergie mécanique-énergie calorifique.

Dans cet appareil, les poids qui descendent le long des règles divisées font tourner des

palettes immergées dans de l’eau. L’énergie potentielle des poids est ainsi transformée en énergie cinétique des parties mobiles qui dissipe essentiellement au niveau des palettes en élevant la température de l’eau. Si l’on néglige la dissipation dans l’air (frottement des poids dans l’atmosphère), cette expérience permet une détermination de la chaleur spécifique de l’eau, ou plus généralement des liquides. En effet, ∆U est alors ici égale à zéro, et le calcul du travail mécanique W permet de déterminer Q. Il est alors possible d’obtenir le coefficient de proportionnalité entre l’élévation ∆T de la température du liquide (pour une masse donnée) et l’énergie calorifique Q apportée au système. Ce coefficient de proportionnalité est la chaleur spécifique (ou capacité calorifique) cp.

1.4. Chaleur sensible Lorsque un corps qui reçoit ou cède de la chaleur s'échauffe ou se refroidit sans changer

d'état, on parle alors de chaleur sensible. La variation de température T que va subir un corps de masse m est reliée à la quantité de chaleur Q par le coefficient de proportionnalité cp (chaleur spécifique, ou capacité calorifique).

Par définition, la chaleur spécifique cp correspond à la quantité de chaleur qu'il faut fournir

à un matériau de masse donnée pour que sa température s'élève d'un degré. C'est-à-dire : cp = 1/m . dQ/dT La quantité de chaleur échangée entre deux corps respectivement au température T1 et T2

(T1>T2) s’exprime par : Q1→2 = m.cp.(T1 T2)

1.5. Chaleur latente On parle de chaleur latente lorsque le corps qui reçoit ou cède de la chaleur l'utilise pour

changer d'état, sans que sa température ne varie. la quantité de chaleur qu'il faut fournir à un matériau de masse m donnée pour que, à

température constante, celui-ci change d'état (solide -> liquide; liquide -> gaz) est donnée par : Q = m.L où L est le coefficient de chaleur Latente On parle alors de "transformation isotherme" car la température du système reste

constante pendant tout le processus d'échange de chaleur.

2. Les modes de transmission de la chaleur


Ces différents modes ne sont en général pas dissociés et peuvent intervenir ensemble dans un processus de transfert thermique.

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2.1. Conduction

La conduction: échange de chaleur entre deux points d'un solide ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et opaque. L’énergie de vibration (ou d’agitation) se transmet d’atome à atome (de molécule à molécule). C’est un transfert lent.

Exemple : propagation de la chaleur dans une paroi entre un intérieur de bâtiment

chauffé et l’extérieur.

2.2. Convection

La convection est un transfert de chaleur dans la matière avec mouvement macroscopique de la matière. Ce type de transfert n’intervient que pour les liquides et les gaz (C’est le fluide en mouvement qui transporte de la chaleur). On distingue deux types de convection :

! la convection forcée : le mouvement du milieu est engendré par un dispositif externe (le vent, un ventilateur, …)

Exemple : refroidissement d’un bâtiment sous l’effet du vent.

! la convection naturelle : le mouvement du fluide est engendré par les variations de

densité causées par les variations de température au sein du fluide. C’est un mode de transfert rapide en général.

Exemple : mouvement de la vapeur au-dessus d’une tasse de café, principe du convecteur.

2.3. Rayonnement

Le rayonnement: échange de chaleur entre deux parois séparées par un milieu transparent ou semi-transparent. Les matériaux ont la propriété d’absorber ou d’émettre des photons (ou des quantités d’énergie). L’énergie emportée par le photon est prélevée sur l’état d’énergie du corps et réciproquement l’énergie d’un photon absorbé est souvent transformée en chaleur. Cette propriété d’émission dépend donc de la température du milieu. Il s’agit d’un transfert à distance quasi-instantané sans nécessité de support matériel.

Exemple : réchauffement d’un mur par le rayonnement solaire le jour, et chaleur émise par

le mur la nuit.


Q

T1 T2

T1> T2

TS

T∞ < TS

Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T Q

T1 T2

Q

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III- Conduction thermique

La conduction est une transmission de la chaleur dans la matière par vibration moléculaire. Elle concerne surtout les solides, mais aussi les liquides et les gaz pour lesquels elle est souvent négligeable par rapport à la convection ou au rayonnement.

Notre appréciation de l’importance de la conduction thermique commence avec la

sensation bien connue que des matériaux différents, un morceau de métal par exemple, nous parait froid au toucher alors que d’autres, comme le bois ou le plastique, nous apparaissent tièdes. La raison de cela est qu’un métal conduit (et emporte) la chaleur du corps plus rapidement que le bois.

Deux lois régissent les transferts thermiques selon que l’on se place en régime

permanent (Loi de Fourier) avec la notion de conductivité thermique, ou en régime transitoire, ce dernier mettant en oeuvre le concept de diffusivité thermique.

1. REGIME PERMANENT : Dans ce régime, la température est constante en fonction du temps en tout point de

l'espace considéré.

1.1. Loi de Fourier : La loi de Fourier a été établie expérimentalement par Joseph Fourier en 1822. Elle

exprime la proportionnalité entre le flux de chaleur à travers une surface par unité de temps et l’élévation de la température de part et d’autre de cette surface.

On détermine expérimentalement que, dans une direction Ox donnée, la puissance calorifique P1→2 (ou "flux de chaleur") qui traverse un volume, défini par une section S et une longueur L, établit entre les deux extrémités une différence de température telle que :

P1→2 = dQ1→2 /dt = - λ.S/L . (T2 - T1) Le coefficient de proportionnalité λ, exprimé en

W.m-1.K-1 est appelé conductivité thermique,. Il s'agit ici en toute rigueur de la conductivitéé thermique λx .

Si le milieu est isotrope, λx = λy = λz = λ. La valeur

de λ est fonction du milieu et dépend généralement de la température.

En notation différentielle et en considérant que les axes sont orientés du chaud vers le

froid, cette expression devient : dP/dS = - λ dT/dx, en 1D

1.2. Conductivité thermique des matériaux

Les coefficients de conductivité sont des propriétés physiques intrinsèques des matériaux. Pour les matériaux du bâtiment, la détermination de λ est complexe car elle dépend :


T1 T2

P1→2

S

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!

!

!

!

du matériau : exemple ordres de grandeur de conductivités thermiques pour divers types de milieux (ci-contre).

de son passé : exemple conductivité

du PVC est liée à son passé.

de la température : exemples mousse de polyuréthane et béton (ci-dessous).

! de sa densité : exemples liège et polystyrène.

de l’humidité : exemple influence de l’humidité sur les matériaux minéraux (brique, béton).

Cependant pour simplifier les calculs (voir plus loin équation de la chaleur), la

réglementation impose de prendre des valeurs normalisées de λ, correspondant à la moyenne de λ dans l’intervalle de température correspondant au problème étudié.

L’air (20°C) : λ = 0,026 W/m°C Le cuivre : λ = 370 W/m°C L’eau (20°C) : λ = 0,59 W/m°C Huile moteur : λ = 0,145 W/m°C


10-3 10-2 10-1 1 101 102 103

gazmatériaux amorphes isolants

liquides solutions poudre

mat. réfractairescristal

métaux métau

λ (W.m-1.K -1)

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1.3. Généralisation à 3D Pour un matériau isotrope, la loi de Fourier s’exprime comme suit :

→dP/dS = - λ .

→grad(T) = - λ .

→∇(T)

Pour un matériau anisotrope, la conductivité thermique n’est plus un scalaire mais un

tenseur λ et relation précédente se généralise comme suit :

→dP/dS = - λ .

→grad(T)

On peut montrer que λ , tenseur d’ordre deux, est symétrique et ses composantes

positives. Il existe donc des directions principales et un repère principal dans lequel λ n’a que trois composantes positives : trois conductibilités principales.

Exemple : matériau composite feuilleté. En exprimant ces équations pour un volume élémentaire, on obtient l'équation dite "de

Poisson" : dP/dV = - λ

→∇2(T)

En régime permanent, dP/dV = 0, et →∇2(T) = 0. C'est l'équation de Laplace. Si le volume

possède une source de chaleur interne q alors →∇2(T) + q = 0


Matériaux λ (W.m-1.K -1)

Isolant plastique • Polystyrène expansé - Moulé Qualité Q1 Qualité Q2 Qualité Q3 Qualité Q4 et Q5 - Autre fabrication

0.046 0.043 0.040 0.038

0.037 à 0.043• Polystyrène extrudé 0.031 à 0.036 • Mousse rigide de PVC Qualité Q2 Qualité Q3

0.031 0.034

• Mousse rigide polyuréthanne Qualité Q1 et Q2 Qualité Q3 et Q4

0.031 0.034

• Mousse rigide formo-phénolique 0.050 • Isolant fabriqué à partir d’autres matières plastiques alvéolaires

0.065

Isolant en laine minérale manufacturée • laine de verre classe VA classe VB classe VC classe VD classe VE

0.034 à 0.0470.035 à 0.0510.036 à 0.0560.043 à 0.0540.037 à 0.039

• laine de roche classe RA classe RB

0.038 à 0.0470.039 à 0.041

• autre laines minérales 0.065

Matériaux λ (W.m-1.K -1)

Isolant divers • verre cellulaire • panneau de fibre de bois • panneau de perlite expansé + cellulose

0.050 0.060 à 0.067

0.060

Les matériaux de structure • Granit et pierre lourde 3.00 • Pierre calcaire 1.40 • Béton plein - caverneux - léger pouzzolane - léger d’argile expansé - léger de perlite

1.75 1.40 0.52 1.05 0.31

• verre 1.10 • acier 52 • Aluminium 230 • zinc 110 • plomb 36 • bois feuillu mi-lourd 0.23 • bois feuillu léger 0.12 • bois résineux 0.15 Les matériaux de parement • Enduit ciment - plâtre

1.15 0.35

• Plâtre 0.50 • Panneau de particules de bois 0.14 • Panneau de contreplaqué ou latté 0.12 • Liège comprimé 0.10 • Amiante ciment 0.95

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2. ANALOGIE ELECTRIQUE :

2.1. Résistance thermique : La loi de Fourier peut être considérée comme complètement analogue à la loi d'Ohm :

Thermique électricité Loi de Fourier ∆T = - (L/λS).P # ∆V = R.I Loi d’Ohm conductivité thermique λ(T) # σ(T) conductivité électrique température T # V potentiel électrique puissance thermique P # I intensité de courant Résistance thermique L/λS # R Résistance électrique

Ceci permet de schématiser le problème d’échanges thermiques par le circuit électrique

ci-dessous :

Pour déterminer une résistance thermique totale, comme en électricité, on sait que : !

!

en série, deux résistances thermiques s'ajoutent, en parallèle, les inverses des résistances thermiques s'ajoutent.

Exemples : conductivité des matériaux hétérogènes granulaires composés d’une matrice. échauffement différentiel d’un treillis métallique quand on suppose que les tiges ne sont pas refroidies latéralement.

Ces lois d'association permettent

de traiter les cas où l'on a affaire à une conduction thermique dans des matériaux composites ou pour des successions de différents matériaux (mur béton + crépis + enduit intérieur).

Résistance de contact : le contact entre deux

solides n’est uniforme qu’à une échelle macroscopique. A un niveau plus local, par exemple à l’échelle des rugosités le contact est discontinu. Cette discontinuité de conductivité thermique au niveau de la section 2 engendre une discontinuité dans le profil de température : T2A – T2B. On peut modéliser le phénomène ci-dessous en introduisant une résistance de contact RC définie par la relation suivante :

RC = 1/ hC


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ou hC est le coefficient d’échange thermique entre les solides A et B, le flux de chaleur étant transmis par conduction dans l’air piégé dans les interstices de la section 2 et par rayonnement.

hC est une donnée issue d’expérience, mais on peut aussi le modéliser plus finement si on a une idée de la valeur de la surface de contact SC et de L l’épaisseur du contact entre les solides A et B.

2.2. Capacité thermique : On considère un petit morceau d'un matériau très bon conducteur thermique, de masse m

et de chaleur spécifique cp, initialement à température ambiante Tamb. On place ce morceau en contact avec une source chaude à température T supérieure à Tamb. A l'équilibre, lorsque la température du matériau a atteint T, il a alors emmagasiné une quantité de chaleur :

Q = m. cp.(T- Tamb). On peut alors définir, par analogie avec l'électricité, une capacité thermique C = m. cp qui

correspond à la quantité de chaleur emmagasinée "sous une certaine différence de température" (ddt).

2.3. Symboles :

On utilise les mêmes symboles qu'en électricité, à savoir :

3. REGIME TRANSITOIRE : Dans ce régime, soit la température n'a pas atteint une valeur d'équilibre, soit elle varie

périodiquement dans le temps.

3.1. Bilan énergétique : Pour plus de clarté, nous supposerons ici qu'il n'y a pas de source de chaleur à l'intérieur

du volume considéré (sinon, il faut en tenir compte dans le bilan). La chaleur spécifique nous permet d'écrire que la quantité de chaleur qui traverse un

volume V dans une direction Ox donnée en 1 seconde est égale à m.cp.dT/dt. On sait que m=ρv.V où ρv est la masse volumique.

Par conséquent, à partir de l'équation de Poisson, on a :

λ→∇2(T) = ρv. cp.dT/dt


Résistance thermique

Capacité thermique

Masse thermique (Tamb)

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3.2. Diffusivité thermique :

On a donc : λ ρv. cp). →∇2(T) = dT/dt

On pose D = λ/(ρv.cp), diffusivité thermique du matériau, exprimée en m2s-1. Plus le

matériau est ordonné, plus D est grande. L'ordre de grandeur de D est de 1 à 0,1 cm2s-1 pour des cristaux et de 10-2.à 10-4 cm2s-1 pour des liquides, des alliages ou des solides amorphes.

Lors d'une réponse impulsionnelle, le temps mis par le matériau pour atteindre l'équilibre

thermique dépend de la valeur de D. Ainsi, pour un objet d'épaisseur e, l'équilibre est atteint à 10 % près en un temps τ = e2/D.

La conduction thermique en régime variable n'est pas toujours abordable avec des outils

analytiques classiques : il existe pour cela des abaques et des logiciels appropriés. Toutefois pour résoudre ce type de problème des méthodes analytiques basées sur les

transformations intégrales peuvent être utilisées ; à savoir : !

!

!

!

la transformation de Laplace pour les problèmes de valeurs initiales, i.e. d’évolution temporelle de T,

la transformation de Fourier utilisée de préférence soit pour les problèmes de valeurs aux limites, soit pour des problèmes périodiques quant à leur évolution temporelle,

dans le cas où l’on a affaire à un problème 1D sans source interne, on peut résoudre l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables,

on peut aussi rechercher des solutions auto-similaires, non traité dans ce cours.

IV- Convection thermique

1. Introduction On envisage uniquement des transferts entre solides et fluides (et non des transferts entre

fluides). On dit qu'il y a convection lorsqu’il y a déplacement de la matière. Ce phénomène est très complexe car il concerne aussi bien les gaz que les liquides dans des situations qui peuvent être très différentes. Dans un écoulement de fluide en contact avec une paroi solide, il existe le long de la paroi, une mince couche de fluide qui s'écoule très lentement car le fluide est comme accroché aux aspérités de la paroi; on admet qu'il n'y a pas d'échange de matière et que dans cette région la chaleur ne peut se transmettre que par conduction. Au sein du fluide, la chaleur se transmet par mélange des particules de fluide, provoquant ainsi une égalisation rapide de la température; on parle ainsi de température de mélange du fluide Tf.

Si le mouvement des molécules provient de la différence de masse volumique du fluide en différents points à cause des transferts de chaleur: c'est la convection naturelle (la distribution de température engendre son propre mouvement en créant des forces d’Archimède). Ce mouvement peut être accentué par un mécanisme (pompe, ventilateur, vent…): c'est la convection forcée.

La convection entre une surface et un fluide est en fait un problème de conduction dans

un milieu en mouvement. Les équations à mettre en œuvre sont celles de la mécanique des fluides et celles de la conduction.


I

Toutefois, les problèmes de convection thermique sont trop difficiles pour admettre des solutions mathématiques rigoureuses. En convection naturelle ou en convection forcée, on utilise une forme modifiée et empirique de la loi de Fourier.

P = h.(Tp Tf) [W/m²] où h représente le coefficient d’échange

thermique par convection ou simplement le « coefficient de convection » [W /m².K]

En fait, le problème est repoussé car il

s’avère que h n’est pas constant et que sa détermination n’est pas aisée. On a exprimé le coefficient h globalement pour l’ensemble de la surface, il s’agit donc d’une valeur moyenne pour le système. En fait h varie localement. D’autre part on montre que h varie en fonction :

! ! ! ! !

de la nature du fluide, des températures en présence (h croît avec T), de la vitesse de circulation du fluide au voisinage de la plaque (h croît avec la vitesse), de l’orientation de la surface (verticale, horizontale, etc.), des dimensions de la surface.

L’étude expérimentale de toutes ces possibilités n’est pas envisageable. On peut donc

procéder au cas par cas et essayer un échangeur, un corps de chauffe, etc., pour obtenir de cet appareil un coefficient d’échange valable mais uniquement pour un cas. Heureusement, il existe un outil en physique, lanalyse dimensionnelle, qui permet de mettre en évidence que l’on peut regrouper les paramètres qui influent sur un phénomène. Les groupes ainsi formés constituent un nombre de variable beaucoup plus réduit. Pour la convection, nous allons étudier la composition de ces groupes, qui auront la particularité d’être adimensionnels.

Les coefficients de convection de l'air varient largement selon les conditions, en particulier

selon son humidité et sa vitesse d'écoulement. Alors que le coefficient de convection naturelle peut varier de 5 à 25 W/(m²°C), le coefficient de convection forcée peut varier entre 10 et 200 W/(m²°C).

Dans l'eau, le coefficient de convection naturelle est de l'ordre de 20 à 100 W/(m² °C). En eau agitée, h sera compris entre 50 et 10 000 W/(m²°C), entre 3 000 et 100 000 W/(m²°C) dans de l'eau en ébullition.

Le coefficient de convection relatif à la vapeur d'eau en condensation est de l'ordre de 5 000 à 100 000 W/(m²°C). Toutefois la présence d'air mélangé à la vapeur peut réduire sensiblement la valeur de h (de 10 000 W/(m²°C) lors d'une stérilisation en vapeur pure, à 1300 W/(m²°C) en mélange air 50% / vapeur 50%).

2. Convection naturelle

2.1. Analyse dimensionnelle Le principe de cette méthode consiste à décrire un phénomène en fonction d’un certain

nombre de grandeurs (n), parmi lesquelles certaines (k) sont indépendantes ou fondamentales, les autres ayant leurs variations liées aux variations des premières.

Théorème de Vaschy-Buckingham :


Paroi solide Tp

Couche fluide mince

Fluide Tf

mvt du fluide

P

I

Si l’on étudie une fonction implicite du type : f (p,q,r,) = 0 comportant n variables p,q,r, l’analyse dimensionnelle démontre qu’il est possible de

l’exprimer sous la forme : F (P,Q,R,) = 0 P,Q,R, étant des groupements de variable de la forme pα.qβ.rγ. Ces groupements

doivent être adimensionnels, c’est à dire sans unité. Le nombre de ces groupements n’est pas quelconque, il est égal à la différence entre le nombre de variables (n) et le nombre de grandeurs fondamentales (k) intervenant dans ces variables.

Dans le cas de la convection naturelle, Si une molécule du fluide

est en contact avec la paroi, elle se réchauffe (ou se refroidi). il y a donc une dilatation locale du fluide et ainsi, la densité locale du fluide diminuant, la molécule s'élève (poussée d'Archimède) et est remplacée aussitôt par une autre molécule voisine : c'est un mouvement naturel. Il s'effectue à l'intérieur d'une couche d'épaisseur donnée parallèle à la paroi, dite "couche limite". Les variables définissant le mouvement naturel sont donc (n = 9):

! ! ! ! ! ! ! ! !

ρ: masse volumique [kg/m3], Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], µ:viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], λ: conductivité thermique du fluide [W/m.K], β: coefficient de dilatation du fluide [K-1], D: dimension caractéristique de la surface d'échange [m], ∆T: différence de température entre le mur et le fluide [K], g : accélération de la pesanteur [m/s2], h : coefficient d’échange [W/m².K].

Recherchons les grandeurs fondamentales utilisées. De manière explicite, on voit

apparaître masse, longueur, temps et température. Les quatre grandeurs fondamentales sont utilisées (k = 4). On les ferait apparaître dans l’expression de l’énergie et de la puissance :

[ ] [ ][ ][ ]

²²

kg mJ

s= [ ] [ ][ ]

[ ]3

²kg mW

s=

On peut à priori envisager 5 groupes (= n – k) sans dimension du type : . . . . . . . .a b c d e f j k lCp D T g h Pρ µ λ β ∆ =L’équation aux dimensions d’un groupement s’écrit alors :

[ ] [ ]3 3

² 1. . . . . . . .² ²

a b c d e k lf jkg m kg kg m m kgm K

m s K m s s K K s s K×

3 0= × × × ×

Ces groupement étant sans dimension, on peut écrire 4 équations reliants les exposants

a,b ,c, …qui traduisent l’indépendance en [m], [s], [kg], [k] de ces groupement. On peut fixer judiscieusement 5 de ces valeurs, les quatre autres sont déduites des équations précédentes. On retrouve alors le nombre de Reynolds Re, le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Grashof Gr et le nombre de Stanton St.

Le problème de la convection dépend donc de ces 5 nombres adimensionnels. nombres adimensionnels :


z

m m

T

Tp > T

I

Nombre de REYNOLDS : Rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité,

caractérise l'écoulement dans une canalisation. µρ D V Re ××=

ρ : masse volumique du fluide [kg/m3], v : vitesse moyenne du fluide [m/s], D : plus petite dimension géométrique du problème, diamètre Dh pour une

canalisation en [m], largeur L pour une plaque, µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].

Dh : diamètre hydraulique, Dh = 4.S / P (Surface, Périmètre) ! ! !

Tube rectangulaire Dh = 4.a.b / 2.( a + b ) = 2.a.b / ( a + b ) Espace annulaire Dh = 4 [ π . ( D2² - D1² ) / 4 ] / ( π . D1 + π . D2 ) = D2 - D1 Espace entre deux plans Dh = 2.b

Nombre de NUSSELT : Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection à la

quantité de chaleur échangée par conduction. λD h ×=Nu

h : coefficient d'échange convectif en [W/m².K], λ : conductivité thermique du fluide en [W/m.K]. Nombre de PRANDTL : Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la

distribution des températures, c’est une caractéristique du fluide. λµ Cp Pr ×=

Cp : capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K]. Nombre de STANTON ou de MARGOULIS : Rapport du flux de chaleur à un flux

de chaleur de référence par convection. PrReNu Cp V

h Ma ×=××== ρSt

Nombre de GRASHOF : Caractérise l'écoulement en convection naturelle

(remplace Re) ²

T ² g 3

µρβ ∆××××

=DGr

β : dilatabilité du fluide en [K-1] , ∆T : différence de température entre fluide et paroi : ∆T = Tparoi – Tfluide. Nombre de Rayleigh : Caractérise l'écoulement en convection naturelle (remplace Re)

υα

β×

∆×××==

T gPr.Gr a3DR

α = λ / (ρ x Cp) : diffusivité thermique [m²/s] , ν = µ / ρ : viscosité cinématique du fluide [m²/s].

2.2. Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :

L’analyse dimensionnelle a permis de définir 5 nombre sans dimension pour caractériser le phénomène de la convection. L’analyse expérimentale permet d’établir en fonction de ces nombres l’expression des différentes grandeurs physiques et des flux. Aussi, la loi de Fourier modifiée qui exprime le flux de chaleur s’écrit maintenant :


P = λ.Nu.S.DT/d

I

où S est une surface traversée par le fluide, d une dimension "caractéristique" de l'objet (la

hauteur h d'un radiateur par exemple), λ la conductibilité thermique du fluide et Nu le nombre de Nusselt.. Physiquement, ce nombre représente le rapport entre le transport de chaleur en régime convectif et le transport de chaleur en l’absence de mouvement du fluide (régime conducteur pur).

L'expression générale du « Nusselt » est : 4/1

xNu xRaA×=

où Ra est le nombre de Rayleigh, avec : υα

β×

∆×××=

T g a3

xxR

. Dans le nombre de Rayleigh interviennent 6 termes : la constante de gravitation g, la

dimension caractéristique x du système, l'écart de température ∆T et le coefficient de dilatation thermique à pression constante β d'une part, la diffusivité thermique α = k/(ρ.cp) et la viscosité cinématique ν = η/ρ d’autre part. Ce nombre exprime la compétition entre les effets de la poussée d’Archimède (termes g, ∆T et β), qui est « le moteur » de la convection, et de la dissipation (terme ν et α) qui est le « frein » des mouvements convectifs. La dissipation au sein du liquide (transformation de l’énergie convective en chaleur) augmente avec la viscosité et la diffusivité thermique et tend en effet à aplanir les gradients thermiques responsables de la poussée d’Archimède.

Cas dune paroi solide verticale : Pour une plaque verticale à la

température constante Tp supérieure à la température ambiante Tair du fluide environnant. La couche limite comporte une zone laminaire puis une zone turbulente, la transition entre les deux zones est quantifiée par la valeur du nombre de Rayleigh local Rax fonction de la coordonnée longitudinale x :

Dans la partie laminaire (Rax < 109), le

nombre de Nusselt xNu intégré entre 0 et x vaut :

4/1xNu xRaA×=

avec A fonction du nombre de Prandtl :

Pr 0,01 0,1 1 10 100

A 0,24 0,37 0,53 0,62 0,65

Dans la zone turbulente (Rax > 109), le nombre de Nusselt xNu est donné par :

5/23/2

15/15/2

x

)()()(

Pr494,01

Pr0248,0Nu

×+

××= xRa

Exemples : Evaluation du flux de chaleur transféré dans l’air par un radiateur constitué par une plaque plane verticale, déperdition de chaleur par un mur, une vitre, ….


Zone laminaire

Zone de transition

Zone turbulente

Couche limite

x

xc Raxc = 109

Tp > Tair

Tair

I

Cas dune plaque horizontale chaude : Pour le cas de la plaque horizontale plusieurs cas doivent être envisagé selon l’origine de

la source de chaleur (plaque chaude, froide, en haut, en bas)

Nu = 0,54 Ra1/4 Nu = 0,15 Ra1/3

Nu = 0,27 Ra1/4 si Ra est tel que 3.105 < Ra < 3.1010 Nu = 0,07 Ra1/4 si Ra est tel que 3.1010 < Ra < 1.1013 Cas des plaque inclinée : On peut étendre le cas de la paroi verticale au plaque inclinée en

remplaçant g par g.cosθ dans l’expression du nombre de Rayleigh. Cas du cylindre horizontal : Si le cylindre est isotherme, alors le nombre de Nusselt moyen est

estimé par la relation :

( )[ ]

2

27/816/9

6/1

xPr/559,01

387,060,0Nu

++= xRa


Convection en dessous d’une plaque chaude

T∞ < TS

TS

Convection au dessus d’une plaque froide

T∞ > TS

TS

TS

Convection au dessus d’une plaque chaude

Ex : plancher

T∞ < TS

Convection en dessous d’une plaque froide

Ex : sous le toit.

T∞ > TS

TS

I

1

10

100

1000

10000

10 3 10 5 10 7 10 9 10 11 10 13 10 15

cond

uctio

npu

re

conv

ectio

nst

atio

nnai

re

turb

ulen

ce d

ouce

turb

ulen

ce d

ure

seuil deconvectionRa - 40000

seuil d'instationnarité

Ra - 10 6Ra

Comme on vient de le voir, la

dépendance du Nusselt en fonction du Rayleigh est complexe, en dernier lieu la courbe ci-contre résume pour de nombreuses situations cette dépendance. Elle permet d’obtenir le nombre de Nusselt après calcul du nombre de Rayleigh pour des géométrie de type boite.

2.3. Convection en espace limité (confiné)

Les conditions de convection en

espace libre ne sont pas toujours réalisées. L’effet des parois voisines peut souvent être négligé, c’est l’hypothèse réalisée dans les exemples précédents. Si deux surfaces sont assez proches, la température du fluide varie de façon continue d’une surface à l’autre. Si Ra < 2.103 alors :

P = λ.S.DT/d, on est en conduction pure, on peut négliger la

convection. Si Ra > 2.103 alors P = λ.S.DT/d, avec λ' = λ.Nu coefficient équivalent que l'on

calcule par: Nu = 0,18 * (Ra)1/4 avec les caractéristiques de l'interstice

calculées à (T1 + T2)/2.

3. Convection forcée

3.1. Analyse dimensionnelle Dans le cas de la convection forcée, le mouvement du fluide est imposé par une force

extérieure, l’étude hydraulique est alors dissociée du problème thermique. On montre l’existence d’une couche limite laminaire dans laquelle la température varie linéairement, et où les transferts de chaleur se font essentiellement par conduction. Hors de la couche limite c’est par mélange que se répartit la chaleur dans l’ensemble du fluide, et est donc lié à la masse volumique et à la chaleur massique. Les variables mises en jeux sont donc(n = 7):

! ! ! ! ! ! !

ρ : masse volumique [kg/m3], Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], µ : viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], λ : conductivité thermique du fluide [W/m.K], D : dimension permettant de calculer la surface d'échange [m], h : coefficient d’échange [W/m².K], V : vitesse moyenne du fluide [m /s].


T1

T2

T1

T2

Convection libre

Convection enespace limité

I

Le théorème de Vaschy Buckingam nous permet de mettre en évidence 3 (= n – k) nombres sans dimension.

On retrouve le nombre de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re.

3.2. Ecoulement forcé interne Régime laminaire ( Re < 2000 )

Pour x / Dh grand ou A > 0,05 alors : 65,3Nu=

Pour x / Dh petit ou A < 0,05 alors : 3/1077,1Nu −×= Ax avec ( ) PrRe1××=

hDhDxA

Valeur moyenne pour toute la longueur L de la canalisation : 3/134,2Nu −×= A Régime turbulent ( Re > 2000 )

gaz Pour L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000 4,08,0 PrRe023,0Nu ××=

liquide 104 < Re < 5.106 et 0,6 < Pr < 2500 43.0

paroi

fluide0.430.8

Pr Pr Pr Re 0.021 Nu

×××=

Pour L / D < 60 ( tube court ) ( )

+×

×××=

7,043.0

paroi

fluide0.430.8 1Pr Pr Pr Re 0.021 Nu L

D

Pour un tube en serpentin (∆ : pas du serpentin)

( )∆×+×

×××= D5,31Pr

Pr Pr Re 0.021 Nu43.0

paroi

fluide0.430.8

3.3. Ecoulement forcé externe

Ecoulement autour dun tube ! Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 ) Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)a

0,02 < Re < 44 44 < Re < 140

n 0,45 0,51 A 0,24 0 B 0,56 0,48 a -0,17 -0,17

! Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 )

( )25,0

38,05,0

PrPr

PrRe5,043,0Nu

×××+=

paroi

fluide

! Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 )


25,0

38,06,0

PrPr

PrRe25,0Nu

×××=

paroi

fluide

I

Pour les liquides, Nu , Re, Pr sont calculés avec les constantes physiques à la

température du fluide, Prfluide et Prparoi respectivement aux températures du fluide et de la paroi. Pour les gaz, on omet les rapports

paroi

fluide

PrPr et on calcule Nu , Re, Pr avec la température (Tp +

Tf)/2. Ecoulement autour des surfaces cylindrique de section non circulaire Nu = B.Ren

Re n B

5. 103 - 105 0,588 0,222

5. 103 - 105 0,675 0,092

4. 103 – 1,5 104 0,731 0,205

Ecoulement autour dun faisceau de tubes Pour le 1er rang ( )33,065,0 PrRe23,06,0Nu ×××= si faisceau aligné, ( )33,06,0 PrRe41,06,0Nu ×××= si faisceau quinconcé, Pour le 2ème rang ( )33,065,0 PrRe23,09,0Nu ×××= si faisceau aligné, ( )33,06,0 PrRe41,07,0Nu ×××= si faisceau quinconcé, Au-delà du 3ème rang 33,065,0 PrRe23,0Nu ××= si faisceau aligné, 33,06,0 PrRe41,0Nu ××= si faisceau quinconcé.

! Ecoulement sur une surface plane

Régime laminaire

Pour les gaz ( Re ≤ 3.105 ) 5,0Re288,0Nu x×=


dU

dU

dU

aligné quinconcé

I

Pour les liquides ( Re ≤ 5.106 ) 33,05,0 PrRe330,0Nu ××= x

! Régime turbulent ( 1 000 < Re < 100 000 )

Pour les gaz ( Re > 3.105 ) 5/4Re0259,0Nu x×=

Pour les liquides ( Re > 5.106 ) 33,05/4 PrRe0290,0Nu ××= x

V- Transfert thermique par rayonnement

1. Généralités

1.1. Rayonnement électromagnétique Contrairement aux deux autres modes d’échanges d’énergies que sont la conduction ou la

convection, le rayonnement ne nécessite pas l’existence d’un support matériel. Il se propage dans le vide, comme dans tout type de milieu. Si ce milieu est homogène, il se propage en ligne droite.

2. Quelques définitions :

2.1. Notion d'angle solide : De la même façon que l'on définit un angle élémentaire dθ tel que ∫dθ = 2π pour un cercle,

on définit l'angle solide élémentaire dΩ tel que ∫dΩ = 4π pour une sphère. Il est exprimé en stéradian (sr). Par analogie avec l'angle θ, l'angle solide Ω représente donc l'étendue spatiale d'un objet vu d'un point donné distant de r (figure 4.2). On a dΩ = dS/r2.

Figure 4.2 - analogie angle / angle solide De manière générale les grandeurs caractérisant le rayonnement pourront être : !

!

des grandeurs hémisphériques : grandeurs relatives à un rayonnement dans toutes les directions de l’espace dans lequel un élément de surface peut recevoir ou émettre un rayonnement ; des grandeurs directionnelles : grandeurs relatives à un rayonnement dans une direction donnée.

Un corps sera dit isotrope si l’énergie qu’il rayonne est la même dans toutes les directions de l’espace (rayonnement parfaitement diffus).


y

x0

dq

2

yx 0

dW

3 zdS

“calotte” dL “ar

r r

I

2.2. Energie rayonnante Q L’énergie totale Q, exprimée en [J], émise par rayonnement par un corps est donc la

somme de l’énergie émise dans chaque longueur d’onde λ i. On peut donc écrire la relation suivante, où ni est le nombre total de photons émis pour cette longueur d’onde:

Q = Σi ni.Q(λi)

2.3. Flux énergétique Φ : Le flux énergétique Φ est la puissance rayonnée par le corps dans tout l'espace, exprimé

en W. On a donc Φ = dQ/dt.

2.4. Intensité énergétique Ι : C'est le flux énergétique émis dans une direction (portion) donnée de l’espace : Ι = dΦ/dΩ [W.sr-1]

2.5. Radiance E : C'est le flux émis dans un demi-espace par unité de surface de la source. On parle aussi

de "luminance", "émittance énergétique" ou "pouvoir émissif total". E = 1/S . ∫Ι.dΩ = 1/S . ∫dΦ [Wm-2]

Lorsque l'on parle de radiance monochromatique, on considère E pour λ donnée (notée

dans ce cas Eλ).

2.6. Notion de spectre De manière générale, un corps émet sur toute un

gamme de longueur d’onde. On parle alors de spectre électromagnétique dont la courbe représente l’énergie émise par un corps Eλ en fonction de la longueur d’onde.


0

2 1013

0

Eλ

5.0 10-7 longueur d'onde (m)

4 1013

6 1013

8 1013

1 1014

1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6

I

définition des ondes électromagnétiques

3. Interaction rayonnement matière Le comportement de la matière vis à vis du rayonnement

est une fonction de la longueur d'onde.

Supposons un corps quelconque soumis à un rayonnement incident monochromatique d'intensité Ι. Une partie de ce rayonnement est ainsi réfléchie, une autre transmise et une dernière absorbée (figure ci-contre). On définit ainsi :

! ! !

le coefficient de réflexion ρ(λ) = Ιλr / Ι, le coefficient de transmission τ(λ) = Ιλt / Ι, le coefficient d'absorption α(λ) = Ιλa / Ι.


Téléphones portables

Thermique

Ιλi Ιλr

Ιλt

n

θi

Iλa

Eλi

θr

I

(on a évidemment: ρ + τ + α = 1) Il est rappeler sur le graphe si dessus que le matériaux émet un rayonnement

indépendamment du rayonnement reçu. Exemple : caractéristique optique du verre

Caractéristique en incidence normale vis-à vis du

rayonnement solaire (0,4 < λ <0,8 µm) Nature du verre épaisseur ρ τ α

Verre blanc «planilux» 3 mm 6 mm 10 mm

0,08 0,08 0,08

0,91 0,89 0,88

0,01 0,03 0,04

Verre teinté «parasol» Bronze Corail Gris Vert

6 mm 6 mm 6 mm 6 mm

0,05 0,07 0,05 0,07

0,50 0,71 0,44 0,74

0,45 0,22 0,51 0,19

Verre traité en surface Antélio Parélio clair Parélio gris

6 mm 6 mm 6 mm

0,34 0,34 0,32

0,44 0,47 0,28

0,22 0,19 0,40

Enfin, les rayonnements réfléchis et transmis

peuvent varier en fonction de la direction. La direction θr = θi est appelé direction spéculaire.


Verre ordinaire e=3 mm

1 2 3 4 5

Verre spécial catathermique

τ(λ) = incidence normale

0,25

0,5

0,75

λ (µm)

I

4. Rayonnement électromagnétique et température Tout corps porté à une température T (° K) non nulle émet de l'énergie sous forme de

rayonnement photonique. Réciproquement, un corps soumis à un rayonnement extérieur peut en absorber une partie qui se transforme en chaleur et élève sa température.

4.1. Corps noir : Un corps noir est un corps qui absorbe tout le rayonnement qui lui parvient, quelque soit

la longueur d'onde λ. Ceci signifie donc ici que α = 1 et ρ = τ = 0. Par opposition au corps noir, les corps dont α est différent de 1 sont dits "gris". 3.2. Emissivité : Un corps est caractérisé par une émissivité ε définie par le rapport du rayonnement

absorbé sur celui reçu.

Par conséquent, pour un corps noir, ε = 1. ε = Φa / Φ

Un corps en équilibre thermique absorbe, pour chaque longueur d'onde λ, autant d'énergie

rayonnante qu'il peut en émettre (ε = α) : c’est la loi de Kirchoff qui sert en pratique à la mesure de ε.

5. Lois fondamentales du rayonnement

La recherche d’une loi caractérisant le rayonnement émis par un corps noir porté à une température T est à l’origine historique du développement de la théorie quantique et de l’interprétation du rayonnement en terme de photons.

La formule correcte fut trouvée dans les dernières semaines du XIXème siècle par Max

Planck. Elle repose sur le caractère discret (niveaux d’énergie) de la répartition de l’énergie dans la matière. Le rayonnement d’un corps étant lié à l’énergie des particules qui le constituent, tout passage d'une particule d'un niveau à un autre se traduit par l'émission d'un photon de fréquence fi et d'énergie élémentaire données par la relation d'équivalence :

Q(λi) = h.fi [J] avec h = 6,6263.10-34 [J.s] (Constante de PLANCK) où l'indice (λi) signifie que l'énergie élémentaire Q est celle d'un seul photon émis à la

fréquence fi = c/λi . ! !

λ : longueur d’onde : distance parcourue par l’onde pendant une pulsation, c : vitesse de propagation de l’onde. Elle est maximale dans le vide : c = 2,9979.108 [m/s]. Elle dépend du milieu traversé et de son indice de réfraction n :

c = c0/n, et λ = λ0/n Ces sauts d’énergie sont liés à l'agitation thermique des particules constituant le corps, et

donc à sa température.


I

5.1. Loi de Planck :

Elle s’écrit : 110.4387,1exp

.10.746,3

1..

.exp

....22

51652

−

=

−

=−

−−−

TTkch

chE

λ

λ

λ

λπλ

Cette loi peut être traduite qualitativement de la façon suivante : l’énergie émise par un

corps noir dans un intervalle centré autour d’une longueur d’onde λ augmente très rapidement avec la longueur d’onde, atteint un maximum puis retombe très vite encore. Cette distribution de l’énergie en fonction de λ ne dépend pas de la nature de la matière avec laquelle interagit le rayonnement mais uniquement de sa température.

Un exemple de courbe de Eλ en fonction de λ à T fixée

est donné ci-contre. Il correspond au rayonnement solaire. Les traits en pointillés délimitent le domaine du visible : belle illustration de l'adaptation naturelle de l'oeil humain!

5.2. Loi de Stefan-Boltzmann : La radiance E correspond à l’aire de la courbe E(λ)

donnée par la loi de Planck. La radiance est ainsi l’énergie totale émise par un corps à une température T sur tout le spectre de longueur d’onde. Elle s’écrit :

E = ε.σ.T4 Où σ = 5,675.10-8 W.m-2.°K-4 est une constante déterminée grâce à la thermodynamique

statistique. On remarquera sur la figure précédente, que le corps noir est le corps qui, porté à une

température T donnée, émet le rayonnement maximal.

5.3. Loi de Wien :

L'abcisse du maximum de la courbe de Eλ en fonction de λ est donnée par :

λmax . T = 2.89. 10-3 On voit que λmax est inversement proportionnelle à la température

absolue. Le tableau ci-contre donne les valeurs de λmax pour quelques températures.

6. Transferts par rayonnement entre surface


T (K) λmax (µm)

300 9,66

500 5,80

750 3,86

1000 2,90

2000 0,97

5780 0,50

I

Le rôle du rayonnement dans les transferts de chaleur entre surfaces est d'autant plus important que l'écart de température entre elles est grand. Nous nous plaçons, dans cette partie, à l'équilibre thermique.

6.1. Entre corps noirs :

Soient deux surfaces planes de corps noirs en regard, de températures respectives T1 et T2.

La surface (1) émet Φ1 = σ.S.T14 et absorbe Φ2 = σ.S.T24. La

puissance cédée par (1) à (2) est donc : Φ1→2 = σ.S.(T14 - T24). La réciproque s'applique à la surface (2).

6.2. Si une seule des surfaces est noire :

La surface (1) émet toujours Φ1 = σ.S.T14. La surface (2) absorbe ε.Φ1 et réfléchit (1 - ε).Φ1. Elle émet en plus Φ2 = σ.ε.S.T24. La puissance cédée par (1) à (2) est donc :

Φ1→2 = ε.Φ1 - Φ2 = ε.σ.S.(T14 - T24).

6.3. Entre corps gris :

C'est un processus cumulatif. La surface (1) émet Φ1 = ε1.σ.S.T1

4. La surface (2) absorbe ε2.Φ1 et réfléchit (1 - ε2).Φ1. Par conséquent, la surface (1) absorbe alors ε1.(1 - ε2).Φ1 et elle réfléchit :

(1-ε1).(1-ε2).Φ1, etc. La réciproque s'applique à la surface (2).

On obtient des séries en ε1 et ε2 (identités

remarquables) et on aboutit ainsi à la puissance cédée par (1) à (2):

(ε1.ε2 )/(ε2 + ε2 - ε1.ε2) . σ.S.(T14 - T24).


T1 > T2 T2

Φ1

Φ2

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