INTRODUCTION

Lvaluation des recettes fiscales futures peut se faire l'aide des mthodes empiriques, telle que la mthode de Box-Jenkins ou tout simplement par l' extrapolation des donnes sur une chelle de temps l'aide de la mthode de lissage exponentiel. En effet, prvoir le comportement futur d'une srie chronologique ne ncessite jamais l'utilisation de plusieurs mthodes de prvisions. Cependant, outre l'exposer doctrinal sur les mthodes de prvision dans leur globalit par l'minent professeur Bosonga, les applications porteront davantage, sans ngligence d'autres mthodes, sur les deux mthodes principales, Box-Jenkins et Lissage Exponentiel, pour permettre aux agents et cadres de l'Administration Fiscale de procder une comparaison entre les prvisions et de constater la fiabilit de l'une de ces deux mthodes.

Il faut noter que la fiabilit d'une mthode de prvision ne dpend pas seulement de sa complexit thorique, mais aussi des donnes, de l'information disponible et du champs d'application.La prvision d'une srie temporelle permet priori la planification et posteriori, elle permet d'estimer l'impact d'une perturbation sur la variable explique afin de trouver des scnarios pour le future peuvent tre raliss.

Les techniques mathmatiques d'tudes des sries temporelles vont du plus simples comme le lissage exponentiel qui est une classe de mthode de lissage des sries chronologiques dont l'objectif est la prvision aux plus labore comme l'algorithme de Box&Jenkins.

En effet si la mthodologie de Box and Jenkins a popularis l'utilisation des modles ARMA en insistant sur les tapes ncessaires la modlisation d'une srie temporelle qui sont d'abord, l'identification des modles ensuite, l'estimation des paramtres puis, l'tape de validation des modles et enfin, l'objectif vis c'est la prvision; celle de lissage exponentiel spcifie que chaque observation l'instant t dpend des observations prcdentes et d'une variation accidentelle et cette dpendance est plus ou moins stable dans le temps.

Il est cependant important de noter que :

a) les prvisions des recettes fiscales prennent leur gense dans les recettes par nature d'impts en aval des suivi et respects des obligations fiscales dclaratives qui est en amont;

b) elles sont faites une priode prcise afin de permettre aux gestionnaires de planifier leurs approvisionnements relativement leurs portefeuilles en amont sur les priodes venir;

dans la pratique, elles doivent s'excuter pour tous les impts du systme fiscal afin d'identifier les impts les plus rentables, les plus sensibles.

Traditionnellement, les services oprationnels aprs vrifications du respect des obligations fiscales dclaratives dlivrent aux contribuables le rcpiss, le document gnrateur des obligations du paiement de l'impt d l'Etat Congolais.

Les services oprationnels ont ce titre l'obligation de rpondre l'obligation statistique d'enregistrement des donnes avant mme le paiement de l'impt (assiette) constat. il est ainsi indispensable qu'ils disposent d'un progiciel d'enregistrement des donnes par nature d'impt contenu dans les rcpisss.

Le paiement effectif d'un impt ou sa dbitions est constat par le relev bancaire et le Bon de versement des Caisses d'pargne. C'est une recette l'actif d'une nature d'impt quelconque et mrite d'tre saisi dans le progiciel de gestion par nature d'impts la Direction de Recouvrement.

Ces enregistrements forment les historiques ou srie chronologique d'une part de ralisation par nature d'impts et d'autre part des recettes fiscales ralises par service oprationnels. Le progiciel de gestion par nature d'impts install la Direction des Etudes rassemble les diffrentes informations et dgage ipso facto les recettes fiscales totales mensuelles et par voie de consquence annuelles.

Les diffrentes sries temporelles reprsentes dans le progiciel gr par la Direction des tudes seront reprsentes sous formes de graphique courbe afin de mettre en vidence ses variations dans le temps.

Grce lapplication de formules mathmatiques, une courbe appele courbe de tendance est calcule. Elle pouse lvolution des recettes fiscales en ramenant la moyenne lensemble des fluctuations existantes.

La courbe de tendance peut tre linaire, exponentielle, logarithmique ou polynomiale.

A partir des simulations, sur le programme de traitement, il est possible de retrouver celle qui sadapte le mieux lvolution des recettes fiscales.

Par extrapolation de cette courbe sur un graphique, lon prvoit aisment la recette fiscale pour les priodes futures.

ANALYSE EXPLORATOIRE DES DONNEES

Lobservation de la reprsentation graphique des chroniques des recettes fiscales montre lexistence de divers types de sries chronologiques :

Lorsque les recettes varient de faon peu irrgulire en maintenant une allure horizontale, on parle de srie constante ;

Lorsque les recettes varient priodiquement de faon trs significative, on parle de srie cyclique. Mais si la priode du cycle est annuelle, on parle alors de srie saisonnire ;

Lorsque les recettes varient en prenant une allure gnrale croissante ou dcroissante, on parle de srie tendance. Parmi les mthodes de prvisions on retrouve:I. des mthodes adaptes au court terme et aux sries constantesa. la mthode des moyennes mobiles ; b. la mthode de lissage exponentiel ; LES METHODES DE PREVISION A COURT TERME1. MTHODE DES MOYENNES "GLISSANTES" OU MOBILES Dfinition

C'est grce sa simplicit d'utilisation et de calcul que la moyenne mobile est devenue trs tt un outil indispensable l'analyse des tendances, particulirement dans les marchs boursiers.Une moyenne mobile permet de lisser une srie de valeurs exprimes en fonction du temps (srie chronologique). Elle permet d'liminer les fluctuations les moins significatives. On calcule des moyennes mobiles d'ordre 1, d'ordre 2, d'ordre 3, etc. L'ordre est le nombre de priodes (annes, trimestres, mois, jours...) sur lesquelles la moyenne mobile est calcule.Ainsi, pour l'Institut National de la Statistique et des Etudes conomiques Franais, calculer la moyenne mobile d'ordre 3 pour une srie mensuelle de recettes fiscales sur la priode janvier 2001 consiste calculer, pour chaque mois m, la moyenne des recettes fiscales sur les trois mois m-1, m et m+1. NB. Pour l'INSE le calcul n'est possible qu' partir du deuxime mois de la srie (ici fvrier 2001) et jusqu' l'avant dernier mois (dcembre 2001).MoisRECETTE TVAMOYENNE MOBILE A 3 MOISPREVISIONS

160

280(60+80+70):370

370(80+70+50):367

450(70+50+100)/373

5100(50+100+90)/380

690(100+90+70)/387

770(90+70+80)/380

880(70+80+60)/370

960(80+60+50)/363

1050(60+50+75):362

1175(50+75+90):372

1290(75+90+0):355

Cest une mthode base sur lusage de la moyenne des recettes antrieures pour un nombre de priodes donnes. CALCUL ET INTERPRETATION DES MOYENNES MOBILES

LES DIFFERENTES MOYENNES MOBILES

1. La moyenne mobile simple

Dfinition :La moyenne mobile permet de lisser les variations quotidiennes d'une variable et de dgager ainsi une tendance.

Il existe des moyennes mobiles courtes (rapides) et longues (lentes)

Calcul

Pour la calculer, il faut se fixer une priode de rfrence, c'est--dire le nombre de jours pris en compte pour le calcul de chaque moyenne.

La courbe de moyenne mobile reliera entre elles toutes les TVA Moyennes calcules.Calculez la moyenne arithmtique trois jours des recettes fiscales.

Nous remarquons que:

le calcul de la moyenne mobile 3 JOURS ne peut se faire qu' partir du troisime JOURS.

La moyenne mobile trois JOURS s'obtient en divisant par 3 la somme des Recettes fiscales en JOUR 1, JOURS 2 et JOURS 3, soit : (60 + 80 +70) / 3 = 70.La moyenne mobile en JOURS 4 s'obtient en divisant par 3 la somme des RECETTES TVA en JOURS 2, JOURS 3 et JOURS 4, soit : (80 + 70 +50) / 3 = 67, et ainsi de suite jusqu' la moyenne mobile en JOURS 12.LA PREVISION DE L'IMPOT SUR LA VAL AJOUTEE.JoursRECETTE TVAMOYENNE MOBILE A 3 jrsPREVISIONS

160

280

3707070

4506767

5100110110

6908080

7708787

8808080

9607070

10506363

11756262

12907272

La courbe de moyenne mobile ne ragit pas qu'aux dernires variations ; elle intgre galement les variations observes sur la priode de rfrence. Elle permet donc de dgager des tendances en lissant les variations quotidiennes.

Le principal reproche que l'on puisse faire la moyenne mobile est son manque de ractivit, ce que l'on peut remarquer dans l'exemple prcdent entre jours 6 et jours 7 : la TVA diminue en passant de 90 70 alors que la moyenne mobile 3 jours augmente en passant de 80 87.Insrez Graphique liant Moyenne Mobile et TVA et commentez

2. La moyenne mobile pondre

1. Amliorer la ractivit

Vu le manque de ractivit de la moyenne mobile simple, il tait naturel pour les analystes techniques d'essayer d'attnuer ce dfaut en compliquant un peu la formule de la moyenne mobile simple pour arriver la moyenne mobile pondre. L'ide directrice est que le pass rcent est plus important que le pass lointain.

2. Calcul

Le principe de la pondration consiste donc attribuer un poids plus important aux recettes TVA les plus rcentes (dans la moyenne simple, tous les cours ont le mme poids).

La difficult est de parvenir rgler les pondrations de manire ce que la moyenne mobile pondre soit ractive mais continue dgager les tendances.

Pour une moyenne mobile trois mois, on peut attribuer un poids de 1 la dernire Recettes TVA , 2/3 la Recettes TVA du mois prcdent et 1/3 la premire Recette TVA.

Une fois dtermin les facteurs de pondration, on calcule la moyenne pondre en faisant la somme des cours multiplis par leur facteur de pondration respectif et en divisant le tout par la somme des facteurs de pondration.Exercice :Reprenons notre exemple en affectant les facteurs de pondration 1, 2/3 et 1/3 aux trois dernires

Recettes TVA, pour calculer la moyenne pondre trois mois :

JoursRECETTE TVACoeff de Pondration

160

280

370

450

5100

690

770

880

960

1050150

11752/3 50

12901/3 30

2105

La moyenne pondre en jours 12 = (50x 1)+( 50 x 2/3)+(30x1/3) = 52,5

Notons qu'il existe d'autres moyennes mobiles dont le calcul est encore plus compliqu, mais seule la moyenne mobile simple est couramment utilise.

Interprtation simple de la moyenne mobile

La moyenne mobile utilise seule Se placer dans la tendance

La moyenne mobile donne la tendance : Haussire lorsque la moyenne mobile monte ; Baissire lorsque la moyenne mobile descend.

LES METHODES DE LISSAGE EXPONENTIELIl existe trois mthodes de lissage exponentiel qui permet de prolonger une srie temporelle (de faire la prvision de la srie temporelle) en vue de prvision court terme sans chercher pralablement un modle car il permet de faire varier le poids relatif au pass rcent et de pass le plus ancien. TENDANCESAISONNALITEMETHODE

NONNONLissage exponentiel simple

OUINONLissage exponentiel double, Lissage de Holt

OUIOUILissage de Winters

1. LE LISSAGE EXPONENTIEL SIMPLE(LES) Quand utilise-t-on le lissage exponentiel simple?

Lorsque la srie ne contient ni tendance et ni saisonnalit. Soit une srie temporelle et nous somme la priode T alors vous volons prdire l'aide de la mthode de lissage exponentiel ou h est l'horizon de prvision

Le lissage exponentiel simple, LES, est une technique trs simple de prvision t+1. Elle sapplique des Srie Chronologique sans tendance et ni saisonnalit. Le principe consiste donner plus dimportance aux dernires observations. Elle est une mthode base sur le fait selon lequel plus les observations sont loignes de la priode T, plus leur influence sur la prvision est faible. On ne prolonge pas une srie comme on le ferait avec une rgression simple (MCO) mais on cherche obtenir une valeur lisse en t pour la reporter tout simplement en t+1.

Elle est plus ractive que les Moyennes Mobiles ou les modles utilisant la rgressioncar elle prend rapidement en compte une modification de tendance. On note la formule de la faon suivante

La prsentation de cette formule est dstabilisante puisque:

t est le moment o la prvision a t faite et non celui o elle doit se raliser. Le coefficient ou constate de lissage , compris entre 0 et 1, sapplique la dernire ralisation. videmment, si elle est gale 1, on ne fait que reporter en t+1 lobservation de la priode t. Le coefficient (1) sapplique quant lui la prvision prcdente. La formule peut se rcrire :

En choisissant = 0,3, la dernire observation est donc pondre 30%, la prcdente 0,3 0,7 = 21%, celle davant 14,7% et ainsi de suite jusquau dbut de la srie L'un des avantages de cette prsentation est de comprendre pourquoi on appelle ce lissage EXPONENTIEL (dcroissance exponentielle des pondrations lorsqu'on remonte dans le temps).Enfin, La prvision n'a pour horizon que t+1. Toutes les prvisions horizon plus lointain seraient exactement les mmes.Mais en gnrale, les sries tudies contiennent des tendances ce qui nous permettrons de recourir d'autres mthodes de lissage exponentiel.

La prvision initialeEn raison de la formule rcurrente du LES, on est oblig de CHOISIR une valeur partir de laquelle les prvisions seront effectues. Cette valeur na que peu dimportance si la srie est longue.

On prend souvent la moyenne des deux ou trois premires observations mais ce choix est arbitraire. On peut galement prendre la premire valeur.

Le choix de la constante de lissageOn peut confronter les observations avec ce quaurait donn un LES utilisant une constante de lissage de 0,1 puis 0,2 puis 0,3 et ainsi de suite.

On se donne un indicateur dcart pour comparer les sries (On va prendre la somme des carrs des erreurs).

La valeur lisse initiale est la moyenne entre les deux premires observations (520). On remarque que, des trois constantes tudies, la plus adapte est =0,7.

Exemple :

La srie a t initialise 27, moyenne des deux premires observations. Le nombre de commandes prvu pour le second mois de fvrier est estim :25,8=(0,425)+(0,6 26,37)

2. LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE(LED)

Le LES permet dtablir une prvision t+1 lorsquil nexiste pas de tendance. Lorsquil y en a une, on peut effectuer un LED.Lorsquon souhaite tablir une prvision par lissage sur une srie avec tendance, on doit alors tablir les paramtres d'une tendance linaire y=at+b. Le lissage exponentiel double fait un ajustement par droite.Celui-ci ne rsume pas les valeurs d'une Srie Chronologique de faon indiffrencie comme le fait les MCO. Selon le principe du lissage exponentiel, les dernires valeurs ont un poids plus important que les plus anciennes. Du coup, la prvision est recalcule pour chaque observation supplmentaire. La prvision en h :

Le LED ncessite une constante de lissage , comprise entre 0 et 1, qui permet de plus ou moins pondrer la dernire observation par rapport aux prcdentes.Comment dterminer les paramtres a et b ?1. Lestimation de la constante b est gale deux fois la premire valeur lisse moins une fois la seconde valeur lisse.

2. Le coefficient a est gal la diffrence entre les deux valeurs lisses (la premire moins la seconde), multiplie par un coefficient /(1).

Ces paramtres sont dtermins par minimisation des carrs des erreurs

Pour initialiser le lissage double, on utilise les deux premires valeurs.

Exemple :

63,4=0,4*65+0,6*62,4.61,8=0,4*63,4+0,6*60,7.1,08=(0,4/0,6)*(63,4-61,8)65,1=(2*63,4)-61,8 ; 65,2=64,1+1,11; 66,1=65,1+1,08, etc.

3. Le lissage de Holt

Tout comme le LED, le lissage de Holt permet dtablir une fonction de prvision linaire.

avec avec Exemple :=0,4 et =0,6 B (dec): 238,2=0,4*239+0,6*(236,7+1,0)

A (dec) :1,3=0,6*(238,2-236,7)+0,4*1,0

La prvision est la somme de a et b le mois prcdent

4. Le lissage de WintnersLe lissage de Winters a lavantage dintgrer la saisonnalit.

On tablit une fonction localement linaire dont la pente et le niveau sont tous deux estims partir de ralisations passes et de prvisions. Ces dernires sont tablies laide de constantes de lissage alpha et gamma (comme prcdemment)On rajoute simplement une troisime constante de lissage pour tenir compte de la saisonnalit (delta).

La formule est la suivante

La pente et le niveau sont calculs de la mme faon quavec un lissage de Holt mais le niveau est appliqu une donne CVS.

Avec

Avec

Avec Exemple (premire tape) : donnes trim, = 0,4, = 0,2 et = 0,5

Initialisation : b (moyenne des obs de la premire anne) ; a =0 ; la saisonnalit : obs-la valeur de b; prev=a+b+s du trim (-1,475)

Exemple (deuxime tape) : = 0,4, = 0,2 et = 0,5

Calcul de b : 66,375=0,4*(70-(-1,475))+0,6*(62,975+0)

Calcul de a : 0,68=0,2*(66,375-62,975)+0,8*0

Calcul de s : 1,075=0,5*(70-66,375)+0,5*(-1,475)

Prev : 67,28=66,375+0,68+0,225

Exemple (troisime tape) :

Prev(17) : 92,0=86,9+1,6+3,399

Prev(18) : 92,6=86,9+(2*1,6)+2,455

Prev (19) :85,4= 86,9+(3*1,6)-6,455, etc.

Le graphique associ

Il existe aussi le lissage exponentiel gnralis qui donne un poids plus grand pour les observations dans le voisinage de temps mais la mise en oeuvre rigoureuse de ce dernier reste complexe sur le plan pratique, c'est ainsi que nous tudierons davantage l'approche de Hold & Winters qui ont propos des modles voisin beaucoup plus accessibles.EXERCICE 1

Rsultats

EXERCICE 2 prvoir les obs pour 20071. Quelle mthode ?

2. =0,3 ; =0,6 ; =0,5

RESULTATS

Il faut savoir que:

A. Le lissage exponentiel simple

1. On dit que la prvision est plus rigide mesure que tend vers 1 dans la mesure o la prvision n'est pas sensible aux fluctuations cour terme. Plus tend vers 0, plus la prvision est influence par les observations rcentes.2. Choix de la constante de lissage:Pour choisir la constante de lissage, il s'agit de minimiser le critre suivant qui correspond la somme au carr de l'erreur de prvision:3. Limitation du lissage exponentiel simple:Parmi les limitations de cette mthode, on peut citer:

- Qu'elle ne peut tre applique des variations en forme rampe (tendance ou trend), ni des variations en chelon.

- Qu'il n'ya pas de rgle idale pour dterminer la pondration approprie, il s'agit de choisir une valeur de la constante de lissage (). La plupart du temps, on procde exprimentalement, en essayant deux ou trois valeur diffrentes pour voir qu'elle est la plus approprie. Cependant, le logiciel SPSS donne une meilleure approximation de .B. Le lissage exponentiel double(LED):1. Le lissage exponentiel double (Broun1959) est une mthode plus gnrale que le lissage exponentiel simple, sauf que l'on fait un ajustement au voisinage de T non plus par une constante, mais par une droite (a t+ b); on a donc :

2. Proprit de la mthode:Parmi les avantages de lissage exponentiel double c'est de trait des sries prsentant une tendance.

La mthode de choix de la constante de lissage est mme que pour le lissage exponentiel simple.

C. Le lissage exponentiel gnralis:Puisque les mthodes de lissage exponentiel simple et double ajuste une constante ou une droite alors le lissage exponentiel gnralis donne un poids plus grand aux observations dans le voisinage de T

Nous avons prsent que par un jeu des coefficients, le lissage exponentiel permet de faire varier le poids relatif du pass rcent et de pass plus ancien mais il existe des mthodes de prvision plus values sont disponible avec des progiciels de prvision. Il permet d'utiliser des modles plus complexes dont certains reposent sur une analyse strictement statistique qui cherche le meilleur ajustement sans apporter d'explication.D. Le modle de Holt & Winters (1960):La mthode de Holt et Winters permet en effet d'effectuer des prvisions sur des sries chronologiques assez irrgulires et soumises ou non des variations saisonnires qui sont des variations dues un effet momentan se reproduisent rgulirement dans le temps suivant non seulement un modle additif qui est le plus simple dans lequel la variation saisonnire s'ajoute simplement la tendance.:

L'approche de Holt et Winters consiste en trois lissages exponentiels simultans. On dfinit donc trois paramtre nots. A chaque instant, elle donne une estimation:

De la tendance

Du coefficient saisonnier correspondant

De la valeur observeOn peut choisir les coefficients arbitrairement: faible si l'on considre que la valeur l'instant t dpend d'un grand nombre d'observations antrieures, lever dans le cas contraire. On peut aussi calculer les valeurs optimales en minimisant la somme des carrs des diffrences entre les valeurs observes et estimes. On procde ensuite aux prvisions, en considrant que la tendance suit un modle linaire additif ou multiplicatif trs court terme.

E. Prvision par la mthodede Lissage exponentiel Avant de pouvoir utiliser l'une des mthodes de lissage exponentiel (simple, double, Holt & Winters), nous devons tester l'existence d'une ventuelle tendance ou/et d'une saisonnalit dans notre srie

Si le Fisher calcul, F-stat, est largement suprieur au Fisher tabul, dans ce cas on rejette l'hypothse H0, la srie est donc saisonnire. Ainsi la srie est la fois affecte d'une saisonnalit et d'une tendance, donc la mthode de lissage la plus adquate est celle de Holt & Winters, allons opter pour le modle de Holt & Winters additif. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Word.Document.8 \s

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_1447479268.docJOUR

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