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Énoncés de problèmes page 7

Première partie

Deuxième partie

Chapitre 1 Les nombres page 30

Les premiers calculs page 53

Additions

Soustractions

Les divisions et les multiplications page 78

Troisième partie

Les calculs en général page 119

La proportionnalité page 129

Les pourcentages page 137

Unités, conversions et un peu de page 147

géométrie

Un plan page 169

Les symétries page 175

Les problèmes résolus page 178

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1) Parlons des symboles

2) Les mathématiques dans la société

3) Apprendre par cœur 4) Les mathématiques accessibles et utiles à tous

5) Lecture des énoncés

6) La rédaction

7) Les erreurs

8) La dyslexie, la dyscalculie

9) Compter sur ses doigts

10) Le boulier simple

11) Le boulier chinois

12) Pourquoi ?

13) Quantifier le nombre

14) Éviter au maximum l’échec 15) L’enseignement 16) Autonomie devant les devoirs

17) Les polycopiés

18) La calculatrice

14

Il est important d’apprendre à lire correctement un énoncé. Il est en effet primordial de comprendre ce que nous lisons pour savoir ce qui nous est demandé. Lorsque l’énoncé est bien compris, souvent, la solution devient évidente. Méthode :

● Savoir bien lire est une base pour tout dans la vie. ●Avec un marqueur souligner les mots clés, les valeurs, les unités (m ou cm), ce qui nous est demandé exactement (calculer ou résoudre ou démontrer ou..). ●Se servir de la question pour formuler la réponse. Ainsi nous éviterons des fautes d’orthographe et nous vérifierons le fait d’avoir bien répondu à ce qui était demandé.

Si nous sommes clairs sur le papier, cela signifie que nous avons compris le sujet abordé. Il faut donc rédiger simplement mais efficacement. Les mathématiques sont à associer au français. C’est très important de prendre l’habitude, dès le plus jeune âge, d’expliquer ce que nous faisons. Nous pouvons ajouter des couleurs aux choses importantes, aux questions ou aux conclusions... Méthode :

●Les questions sont numérotées, je conseille d’écrire et de donner court mais ciblé.

Exemple : 1) Calcul ou 2) Périmètre ou 3) Pourcentage ou....

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Les maths sont accessibles aux enfants dyslexiques. Des méthodes existent pour la dyscalculie aussi. Il faut se diriger vers des personnes compétentes comme les orthophonistes. Mais donnons ici quelques pistes.

Méthode :

●Il faut avant tout bien penser au sens de la lecture, de gauche à droite. Donner des repères sur la feuille de papier par exemple. ●Demander aux élèves de lire à haute voix et de nous expliquer comment ils font leur calcul. ●Pour le calcul, dans un premier temps, les faire compter sur leurs doigts ou utiliser un boulier. ●Faire un maximum de manipulations. Se servir d’un thermomètre gradué et non digital, avec une différence de couleur

entre les nombres positifs et négatif. Suivre la météo « aujourd’hui il fait 2 °. Demain nous perdrons 5°, donc les premières gelées sont attendues, il fera -3° ».

Associer la phrase à l’écriture simplifiée des mathématiciens : +2 -5 = -3

Le jeu proposé avec les cartes « la bataille » donne de très bons résultats.

●Prendre des exemples concrets qui sont liés à la vie de tous les jours.

Les premiers mathématiciens étaient de grands observateurs. Ils étaient en même temps philosophes. Nous comptons de dix en dix car nous avons dix doigts. Nous sommes donc en base dix. Si nous en avions huit, nous compterions de huit en huit (nous serions en base huit). Il est donc très important de compter sur nos doigts.

C’est une manière de revenir aux sources, de découvrir à quel point les mathématiques sont liées à l’observation.

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L’avantage aussi c’est que nous avons toujours nos doigts avec nous. En plus, ils ne tombent pas en panne et sont reliés directement à notre cerveau ! Méthode :

●Quand nous replions nos doigts, nous retournons à zéro. ●Pour les additions, 3 + 2 : Nous retenons 3 dans notre tête et nous déplions les 2 doigts un par un en continuant la numération ce qui donne 4, 5. Nous pouvons dire que 2+3 font 5. ● Pour les multiplications, nous pouvons faire des traits sur nos doigts avec un stylo ,3 traits par doigt sera la table de 3. Nous pouvons plus facilement comprendre le fonctionnement des tables de multiplication et constater leur liaison avec les additions.

Il est intéressant d’arriver à quantifier les nombres que nous manipulons. Le boulier est un outil très utile pour cela. Un boulier simple est composé de 10 lignes de 10 boules chacune. Il est considéré être à zéro lorsqu’aucune boule ne touche le côté droit du cadre. Méthode : ●Une utilisation : nous pouvons dire que la première ligne en partant du bas (cela prépare à l’orientation dans le plan) représente les unités, la deuxième les dizaines, la troisième les centaines...

4 : Centaines oooooooooo

Dizaines oooooooooo

Unités oooooo oooo

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9 : Centaines oooooooooo

Dizaines oooooooooo

Unités o ooooooooo

10 nous avons 2 représentations possibles :

Centaines oooooooooo

Dizaines oooooooooo

Unités oooooooooo

Centaines oooooooooo

Dizaines ooooooooo o

Unités oooooooooo

Si on a 253 Centaines oooooooo oo Dizaines ooooo ooooo

Unités ooooooo ooo

●Nous pouvons mettre les unités sur la troisième ligne. Nous travaillerons alors avec des nombres à virgule. Représentons 25, 31 Centaines oooooooooo

Dizaines oooooooo oo

Unités ooooo ooooo Dixièmes ooooooo ooo Centièmes ooooooooo o

●Nous pouvons faire des additions et des soustractions.

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Seconde

Partie

Chapitre1 Les nombres

1) En base dix

2) Quantifier des nombres positifs

A .Compter jusqu’à l’infiniment grand B .L’infiniment petit

3) Les nombres négatifs

4) Les nouveaux mots

A .Les nombres entiers

B .Les nombres relatifs

C .Les nombres pairs

D .Les nombres impairs

E .Les nombres rationnels

F .Les nombres réels

5) Rangement des nombres

Nous ne pouvons commencer à effectuer des calculs qu’après avoir assimilé ce premier chapitre.

Nous ne pouvons manipuler des choses que si nous savons ce qu’elles représentent.

C’est maintenant le cas.

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Chapitre 2 Les premiers calculs

1) Les additions ➨ ajouter des nombres positifs

A .Les premières additions avec des manipulations

B .Poser une addition simple avec des entiers positifs

C .Addition avec des nombres rationnels positifs

D .Addition avec plus de deux nombres rationnels positifs

2) Les soustractions ➨ enlever

A .Poser une soustraction avec un résultat entier positif

B .Soustraction avec des rationnels donnant un résultat positif

C .Soustraction donnant un résultat négatif ou positif

Chapitre 3 Les divisions et les multiplications

1) La notion de division

A .Définitions : de divisible et des nombres premiers

B .Division avec des nombres divisibles

C .Liaison entre les divisions et les multiplications

2) Les multiplications

A .Avec des nombres entiers

B .Avec des nombres rationnels positifs

C .La magie des chiffres, la preuve par 9

D .Notion de puissances

3) Qui est Euclide ?

●La division Euclidienne

4) Règles de calcul pour les divisions et tables de multiplications

A .Les premières règles pour les divisions

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●divisible par 2

●divisible par 5

●divisible par 3

B .Comment poser une division euclidienne avec des nombres

entiers

5) Multiplier ou diviser par 10 ou 100 ou.. A .Multiplier par 10 ou 100 ou ...

B .Diviser par 10 ou 100 ou..

6) Poser une division avec des nombres décimaux

7) Division ou multiplication avec des nombres positifs ou négatifs A .La bataille des signes

B .Applications

8) On ne peut pas diviser par zéro

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Remarque : Nous pouvons faire les additions dans n’importe quel sens :

2+3 = 5 ♞♞ + ♞ ♞ ♞ = ♞♞♞♞♞

et 3+2 = 5 ♞♞♞ + ♞♞ = ♞♞♞♞♞

donc 3 + 2 = 2 + 3

Nous disons que l’addition est commutative.

Il est plus simple de retenir le plus grand chiffre dans notre tête. Exemple 1 plus 8 : Retenons 8 dans notre tête et ajoutons 1 ce qui nous donne 9. Il est plus long de retenir 1 et d’ajouter 8➝2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9, le résultat étant identique.

: 5679 + 2843.

Il faut en faire beaucoup et sans la calculette.

Cette gymnastique de retenue est importante.

L’addition est posée et effectuée avec les explications. Vous pouvez la réaliser avec le boulier.

① ① ① mretenues des dizaines des centaines et des milliers 5 6 7 9 + 2 8 4 3 = 8 5 2 2 Occupons-nous d’abord des unités :

9 dans notre tête auquel nous ajoutons 3 en continuant la numération

10 ;11 ;12 oposons 2(unités) et la retenue ①(dizaine). Occupons-nous ensuite des dizaines :

1 dans notre tête (c’est la retenue) puis ajoutons 7 en continuant la numération 2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8, retenons le, ajoutons 4 en continuant la numération :

9 ;10 ;11 ;12 oposons 2 (dizaines) et la retenue ① (centaine). Occupons-nous des centaines :

66

Retenons 3 dans sa tête et continuons la numération jusqu’à 7 en ouvrant nos doigts ➝ 4 ;5 ;6 ;7. Nous avons alors ouvert 4 doigts odonc le résultat est 4. Nous aurons alors : 7 - 3 = 4 Le résultat est noté : 7 - 3 = 4

🐚🐚🐚🐚🐚🐚🐚 - 🐚🐚🐚 = 🐚🐚🐚🐚

Nous avons trouvé le résultat en faisant une addition : nous avons retenu 3

dans notre tête et nous avons ajouté 4 doigts pour arriver jusqu’à 7. Nous pouvons écrire : 🐚🐚🐚🐚 + 🐚🐚🐚 = 🐚🐚🐚🐚🐚🐚🐚 Comme l’addition est commutative :

Nous aurons aussi 🐚🐚🐚 + 🐚🐚🐚🐚 = 🐚🐚🐚🐚🐚🐚🐚

Donc 🐚🐚🐚🐚🐚🐚🐚 - 🐚🐚🐚🐚 = 🐚🐚🐚

Cela est très compréhensible avec les coquillages, nous pouvons constater que

7 est composé de 4 et 3 ou de 3 et 4.

Si à 7 coquillages nous en enlevons 3, il en restera 4 et si nous en enlevons 4, il

en restera 3.

Vérification :

7

- 4

= 3

∗23 – 6 :

Avec le boulier :

Nous sommes vite confrontés à un problème. Si nous mettons 23 boules et que nous en enlevons 6, nous constaterons que nous sommes obligés d’attaquer la ligne supérieure des dizaines.

80

Fabriquez des colliers avec des tas de perles de différentes couleurs ou des

objets avec des coquillages ou ... en utilisant les divisions.

C .Liaison entre les divisions et les multiplications

Observons en détail ce qui se passe lorsque nous distribuons 12 bonbons à 3

enfants.

Au départ : 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬

🍬🍬🍬 🍬🍬🍬 🍬🍬🍬 🍬🍬🍬

🙌 🙋 🙆 🍬 🍬🍬🍬 🍬🍬🍬🍬 🍬🍬🍬🍬

En analysant la manipulation, nous nous rendons compte que partager 12 bonbons entre 3 enfants, revient à compter le nombre de paquets de 3 que nous pouvons réaliser. Nous aurons 3 paquets de 4 bonbons qui seront associés à 4 paquets de 3 bonbons.

Nous pourrons dire : « 12 bonbons divisés par 3 donnent 4 ». Pour diviser 24 coquillages en 6 paquets identiques, ce sera la même manipulation. Il est plus simple de se demander combien nous aurons de paquets de 6, que de distribuer les coquillages 1 par 1 dans les 6 paquets :

82

Il nous explique que pour poser des divisions, nous sommes d’abord obligés

de comprendre les multiplications.

2) Les multiplications

A .Avec des nombres entiers, les tables de multiplications

Il faut faire des paquets.

Posons un tas de coquillages sur la table, les enfants doivent les manipuler. Faire une multiplication, revient à faire des paquets en prenant des

coquillages dans le tas.

Le résultat de la multiplication est égal à la totalité des coquillages utilisés.

Au niveau langage : ∗3 paquets de 4 se dit aussi : * 3 fois 4 ou *3 multiplié par 4 Cela s’écrit : 3 x 4, certaines fois 3.4 Nous nous servirons indifféremment de chacun des 3 langages, pour ne pas oublier qu’ils sont synonymes. Après la manipulation, nous comptons la totalité des coquillages dont nous avons eu besoin pour faire 3 paquets de 4. Nous en avons pris 12.

🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 🐚 Le résultat de cette opération 3x4 sera donc 12. Nous pouvons écrire : 3 x 4 = 12 Nous pouvons remarquer que la multiplication est liée à l’addition. Cela s’écrit : 3 x 4 = 12 ou 4 + 4 + 4 = 12 ou 4 Nous procédons à la multiplication avec le nombre qui se trouve ici o x 3 Nous disons 3 fois 4 ou 3 paquets de 4 ou 3 multiplié par 4 = 12

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Elles représentent toutes les multiplications de base. Elles sont liées à nos mains et à nos doigts.

Idée pour visualiser et retenir plus facilement les tables :

⚫Pour la table de deux : Faisons 2 traits au stylo sur l’intérieur de nos doigts, puis fermons nos mains. Récitons : 2 fois 1, déplions 1 doigt et comptons le nombre de traits = 2 traits. Donc 2 x 1 = 2. Puis 2 fois 2, levons un deuxième doigt et comptons la totalité des traits que nous voyons = 4. Donc 2 x 2=4. Puis 2 fois 3, levons un troisième doigt, comptons le nombre total de traits. Nous en avons 6. Donc 2 x 3=6. Puis 2 fois 4 = 2 x 4 = 8 2 fois 5 = 2 x 5 = 10 2 fois 6 = 2 x 6 = 12 2 fois 7 = 2 x 7 = 14 2 fois 8 = 2 x 8 = 16 2 fois 9 = 2 x 9 = 18 2 fois 10 = 2 x 10 = 20

Pour la table de trois : nous procédons de la même manière, nous faisons cette fois 3 traits sur nos doigts. Pour la table de quatre : faisons 4 traits sur chaque doigt. La table de cinq : faisons 5 traits par doigt. La table de six : faisons 6 traits par doigt. La table de sept : faisons 7 traits sur chaque doigt. La table de huit : faisons 8 traits par doigt. La table de neuf : faisons 9 traits par doigt.

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12 ÷ 3 = 4 nous avons une vraie égalité car le reste est nul. Ou 12 = 3 x 4 + 0 ou 12= 3 x 4 Remarque valable pour toutes les divisions avec un reste nul :

Nous avons et aussi

Combien pouvons-nous mettre de paquets de 3 dans 12? Nous pouvons mettre 4 paquets de 3 dans 12.

Comme la multiplication est commutative, nous avons : ♞♞♞♞♞♞♞♞♞♞♞♞ = ♞♞♞ ♞♞♞ ♞♞♞ ♞♞♞ = ♞♞♞♞ ♞♞♞♞ ♞♞♞♞ Nous pouvons écrire :

Nous aurons alors :

Nous pouvons mettre 3 paquets de 4 dans 12.

Vérification : 1 2 4

- 1 2 3

= 0

Cette remarque est valable pour tous les nombres et toutes les divisions qui

ont un reste nul.

Autres exemples :

⚫25 ÷ 3 et posons la : 2 5 3 - 2 4 8 = 1

Nous ne pouvons pas mettre de paquets de 3 dans 2, donc prenons le second chiffre. Regardons combien nous pouvons mettre de paquets de 3 dans 25. Nous pouvons en mettre 8, car 3x8=24.

117

Troisième

Partie

Chapitre 1 Les calculs en général

1) Les priorités des multiplications et divisions 2) les priorités aux parenthèses

3) Approche du développement

A .Avec des paniers

B .Avec les nombres

4) La notion de factorisation

Chapitre 2 La proportionnalité

1) Faire des gâteaux

2) Comment l’écrire sur le papier ?

3) Le produit en croix, ou règle de trois

Chapitre 3 Les pourcentages

1) Que représente 100 % ?

2) Les soldes

3) En général

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Chapitre 4 Unités, conversions et un peu de

géométrie

1) L’importance des unités

2) Convertir

3) Définitions de mots

A .Définitions des mots de base

B .Les périmètres

● Le rectangle ●le carré ● le cercle ● le triangle

C .Les aires ou surfaces

● Le rectangle ● le carré ● le cercle ● le triangle

D .Les volumes

●La sphère, ou boule ●Le pavé ●Le cube

●Le cylindre ●Le cône ●La pyramide

Chapitre 5 Un plan 1) Introduction du plan

A. Une échelle

B. Des noms ou des lettes existent pour signaler un plan et

situer un point

2) Applications

●La bataille navale

●Une carte aux trésors

●La danse

●Des jeux : Les dames, les échecs

Chapitre 6 Les symétries

1) Symétrie axiale

2) Symétrie centrale

147

Une unité a deux significations en mathématique. Elle représente le chiffre qui se situe avant la virgule dans la colonne des unités, et aussi ce dont on parle. Exemples :

①pour l’argent : les unités sont l’euro ou le franc ou le dollar ou... ②pour les longueurs : les unités sont le mètre ou le centimètre ou le kilomètre... ③pour les volumes : les unités sont le mètre cube ou le centimètre cube ou le litre ou le stère ... ④pour le temps : les unités sont le jour ou l’heure ou la minute ou la seconde... ⑤pour les angles : les unités sont le degré ou le radian ... ⑥pour les surfaces : les unités sont le mètre carré ou le centimètre carré ou l’are ou l’hectare... ⑦pour les masses : les unités sont le gramme ou le kilogramme ou le milligramme ou la tonne ou le quintal ... Remarque :

Nous ne pouvons faire des calculs qu’avec des valeurs qui ont les mêmes unités.

Il est impossible d’ajouter 20 francs et 6 euros. Sauf si nous convertissons les francs en euros pour obtenir un résultat en euros, ou les euros en francs pour obtenir le résultat en francs. Explications dans l’ordre donné ci-dessus :

173

Qui n’a jamais joué à la bataille navale ? Pendant des heures d’études ou autres ? Il est intéressant de jouer à la bataille navale contre une classe entière. Nous positionnons nos différents navires : 1 porte-avions de 5 unités de long 1 croiseur de 4 unités de long 1 sous-marin de 3 unités de long 2 corvettes de 2 unités de long chacune. Chaque élève doit venir au tableau pour situer un point. Nous serons vite coulés !! Le porte-avions a les coordonnées suivantes (7 ; 4) (8 ; 4) (9 ; 4) (10 ; 4) (11 ; 4) et (12 ; 4). 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Le croiseur a pour coordonnées (1 ; 5) (1 ; 6) (1 ; 7) (1 ; 8) et (1 ; 9). Le sous-marin : (12 ; 1) (13 ; 1) (14 ; 1) et (15 ; 1). Une corvette : (2 ; 2) (3 ; 2) et (4 ; 2). L’autre corvette : (8 ; 7) (8 ; 8) et (8 ; 9).

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●’ Nous devons faire des confitures sucrées à 80 % et nous avons 2,5 kg de fraises. Quelle quantité de sucre nous faudra-t-il ?’ Titre : Sucrer les fraises Introduction : ➝ On a : 2,5 kg de fraises qui doivent être sucrées à 80 %. ➝ On cherche : Le poids de sucre correspondant. ➝ On se sert de : De pourcentages. Résolution : Nous savons que 100 % correspond à 2,5 kg. Nous pouvons donc faire le tableau suivant :

poids en kg pourcentage 2,5 100

80 ‘2,5 kilo ce sera pour 100 %, pour 80 % ce sera ‘ : 80 x 2,5 ‗80 x 2,5 ÷ 100 = 2 100 Conclusion : Nous aurons besoin de 2 kg de sucre pour faire notre confiture.

Laisser les fruits rendre du jus.

Porter le tout à ébullition sans cesser de remuer.

Laisser bouillir en continuant de remuer pendant 20 minutes.

Mettre dans des bocaux.

Fermer immédiatement et retourner les pots pour faciliter la conservation.

Votre confiture sera excellente, grâce aux maths !

Bon appétit.