La proportion divine Le nombre d'or
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La proportion divine Le nombre d’or
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La proportion divine
Le nombre d’or
PLAN I. Un petit test
II. Définition
III. Histoire De l’antiquité à nos jours
Aujourd’hui dans notre vie quotidienne : cartes et formats
IV. Propriétés et constructions animées Rectangle d’or , sa spirale et l’œil de Dieu
Triangle d’or et sa spirale
Pentagone d’or
V. Le nombre d’or et le corps humain La quine. Le compas d’or.
Léonard et la perfection d’or
VI. Architecture et nombre d’or
VII. Art et nombre d’or Peinture, bandes dessinées et violons
VIII. Nature et nombre d’or Les plantes, escargots…
Les lapins et la suite de Fibonacci
Le capital
IX. Il n’y a pas que le nombre d’or Autres formats
I. Un petit test
En 1876, l’Allemand Gustav Theodor Fechner (1801-1887), mena
une enquête auprès de personnes dépourvues de toute expérience
artistique.
Parmi plusieurs rectangles il leur demanda quel était celui qui leur
était le plus agréable.
Parmi ces rectangles, quel est celui qui vous plaît le plus ?
I. Un petit test
Le rectangle d’or et d’autres variantes très proches sont désignés
par une grande majorité de personnes.
II. Définition
Fechner, arriva à la conclusion que la ‘divine proportion’ possède harmonie et beauté :
« Pour qu’un objet soit considéré comme beau du
point de vue de la forme, il doit y avoir, entre la partie
la plus petite et la partie la plus grande, la même
relation qu’entre la plus grande partie et le tout. »
( a + b ) / a = a / b
Ceci est la description du nombre d’or.
Néanmoins, bien avant Fechner, artistes et architectes
étaient arrivés à des conclusions similaires.
Présente dans la Grèce antique, la relation du nombre
d’or avec l’art commence réellement avec la Renaissance
et est toujours d’actualité.
II. Définition
Un grand rectangle de longueur x égale au nombre d’or, et de largeur 1. Un carré de coté 1 ; Un petit rectangle de longueur 1, et de largeur x -1.
Comme x est non nul, nous avons la relation suivante :
x² - x - 1 = 0
La solution positive est le nombre d’or :
~ 1,6180339887…
Les deux rectangles x sur 1 et 1 sur (x-1) sont dorés.
Cliquer pour la
construction animée
du rectangle d’or.
II. Définition
III. Histoire
Dès l’antiquité
EUCLIDE (~ 325-265 AV.J.-C. )
La plus ancienne définition et construction géométrique de
la section d'or remonte au IIIème siècle avant J.-C. et est
due au mathématicien grec Euclide (~ 325-265 AV.J.-C. ) ,
dans son ouvrage Les Eléments.
Livre VI Définition 3
« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la droite
totale est au plus grand segment ce que le plus grand segment est au
petit. »
III. Histoire
Eléments de géométrie d’Euclide
Livre VI définition 3.
Cet ouvrage est un des livres
les plus célèbres, les plus imprimés
et les plus commentés de l’Histoire.
.
Dès l’antiquité
EUCLIDE
III. Histoire
Dès l’antiquité
PYTHAGORE (~ 570-500 AV.J.-C. )
« Tout n’est que nombre. »
Le groupe des pythagoriciens a pour emblème symbolique le pentagramme qui est leur signe de ralliement.
Cliquer pour la vidéo
Donald Pythagore Phi
7’
III. Histoire
Dès l’antiquité
PYTHAGORE : « Tout n’est que nombre. »
Les informations sont rares et incertaines car c'était une
secte secrète du VIe siècle avant J.C.
En effet, ils n'avaient pas le droit de divulguer leurs
découvertes mathématiques. Cela entraînait une exclusion
et des châtiments humains (par exemple Hippase fut jeté à
la mer et périt noyé pour avoir divulgué la démonstration
de l'irrationalité de √2 ).
Cliquer pour la vidéo
Donald Pythagore Phi
7’
III. Histoire
Le moyen-âge
LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250)
Le plus remarquable mathématicien du moyen-âge connu sous le patronyme moderne de Fibonacci.
Dans l’ouvrage Liber Abaci, Fibonacci a rédigé un énoncé traitant de la reproduction des lapins. En effet, à travers cet exemple il veut expliquer la reproduction humaine du point de vue numérique.
Le problème est posé ainsi : « Combien de couples de lapins aurons-nous à la fin de l’année si nous commençons avec un couple qui engendre chaque mois un autre couple qui procrée à son tour au bout de deux mois de vie ? »
III. Histoire
Le moyen-âge
LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250)
Cliquer pour l’animation
des lapins de Fibonacci
III. Histoire
Le moyen-âge
LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250)
Les lapins de FIBONACCI
Finalement nous avons :
Au début 1 couple
Au bout de 1 mois 1 couple
Au bout de 2 mois 2 couples
Au bout de 3 mois 3 couples
Au bout de 4 mois 5 couples
Au bout de 5 mois 8 couples
Au bout de 6 mois 13 couples
Au bout de 7 mois 21 couples
Au bout de 8 mois 34 couples ...
III. Histoire
Le moyen-âge
LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250)
III. Histoire
Le moyen-âge
LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250)
Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que
l'on appelle « suite de Fibonacci ».
Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres
précédents de la suite :
si on note un le nième nombre de Fibonacci,
un = un-1 + un - 2
III. Histoire
Le moyen-âge
FIBONACCI
Nous sommes peut-être chez Fibonacci !
III. Histoire
Celui-ci, moine et professeur de mathématiques, a écrit en 1498 La
divine proportion illustrée par Léonard De Vinci avec son Étude de
proportion du corps humain selon Vitruve. Il introduit donc le terme de
"divine proportion". Il considère que le nombre d'or a des propriétés
esthétiques et il montre qu‘on le retrouve dans le domaine de
l'architecture et de la peinture.
Durant cette époque la mise en relation entre le nombre d'or et la suite
de Fibonacci est trouvée dans une note anonyme.
La division d'un terme de la suite par son précédent tend vers une
approximation très proche du nombre d'or quand on prend des
nombres élevés.
La Renaissance
Luca PACIOLI (1445-1517) « La divine proportion. »
Le nombre d'or est plus approfondi pendant la Renaissance
avec Luca Pacioli.
III. Histoire
SURPRISE
Lorsqu’on fait le rapport de deux termes consécutifs de cette
suite, on s’approche de plus en plus du nombre d’or.
ET la limite des quotients de deux termes successifs de la suite
de Fibonacci est le nombre d’or.
La Renaissance « La divine proportion. »
III. Histoire
~ 1,6180339887…
La Renaissance
« La divine proportion. »
III. Histoire
Le XXème SIECLE
Matila Ghyka (1881-1965) « Le nombre d’or »
C'est en 1932 que le prince roumain (écrivain et diplomate) Matila
Ghyka donne un nom à ce nombre " Le Nombre d'or ".
Ce nom est toujours utilisé aujourd’hui.
Il traita la proportion d’or dans de nombreux ouvrages :
- Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927)
- Le nombre d’or (1931).
Il est considéré comme le fondateur de l’esthétique mathématique.
Ses théories ont influencé les créations de S. Dali et Le Corbusier.
Le poète Paul Valéry fut un fervent défenseur de ses fervents
défenseurs.
II. Histoire
Aujourd’hui
Le nombre d’or dit encore « proportion d’or » est noté
Depuis le XXème siècle le mathématicien nord-américain Mark Barr
proposa de le désigner avec la lettre grecque Phi en hommage à
l’architecte grec Phidias qui créa le Parthénon à Athènes.
III. Histoire
Brève chronologie Ils ont fait avancer la connaissance du nombre d’Or
III. Histoire
Brève chronologie Ils ont fait avancer la connaissance du nombre d’Or
III. Histoire
Aujourd’hui
Que peuvent avoir en commun des phénomènes naturels
comme
- l’agencement des graines d’une fleur de tournesol ;
- la spirale de certains mollusques ;
- les bras de la voie lactée ;
- notre galaxie ?
Quelles propriétés géométriques si harmonieuses se
cachent - chez l’homme de Vitruve ;
- dans l’œuvre de Dali, Vinci, Le Corbusier ;
- un dodécaèdre ;
- le format de la plupart de nos cartes bancaires ou promotionnelles ?
IV. Propriétés magiques
Le rectangle d’or sa spirale et l’œil de Dieu
Reconnaitre un rectangle d’or
Il suffit de les disposer comme suit.
Si la diagonale passe par les sommets
indiqués nous avons un rectangle d’or
IV. Propriétés magiques
Le rectangle d’or sa spirale et l’œil de Dieu
Reconnaitre un rectangle d’or Cliquer l’image pour animer
IV. Propriétés
Le compas d’or
Pour savoir si deux segments respectent la proportion d’or, il suffit de
relever la mesure du petit segment avec le compas.
Si l’ouverture opposée du compas coïncide avec le grand segment,
les deux segments sont dans la proportion d’or.
Pour les deux branches, on peut prendre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci :
13 et 21 ou bien 21 et 34 etc.
IV. Propriétés
Rectangles d’or dans notre vie quotidienne
Les cartes bancaires et autres…
IV. Propriétés
Le parallélépipède d’or
Un parallélépipède d’or
IV. Propriétés
La spirale d’or du rectangle
Si nous retirons dans un rectangle d’or un carré dont le côté est la largeur du rectangle, nous obtenons un nouveau rectangle d’or. En poursuivant nous constatons que les
diagonales des rectangles sont toujours perpendiculaires et se coupent en un point spécial appelé l’œil de Dieu.
En traçant des quarts de cercle dans chaque carré nous obtenons une approximation de ce que nous appelons une « spirale logarithmique ».
Cliquer pour l’animation
IV. Propriétés
La spirale d’or du rectangle
Ammonite fossilisée (mollusque céphalopode du Dévonien) :
bel exemple de spirale logarithmique
IV. Propriétés
L’ oeil de Dieu
Cliquer pour l’animation
IV. Propriétés
Le triangle d’or et sa spirale
Un triangle est un triangle d'or s’il a deux côtés de même mesure (isocèle), deux angles de 72° et un angle de 36°. On peut aussi construire sa spirale d’or. Le rapport du grand côté sur le petit est égal au nombre d’or.
Cliquer pour l’animation
IV. Propriétés
L’étoile d’or pentagonale
Le pentagramme a a une longue histoire comme
symbole des sociétés secrètes
(Pythagoriciens, ordre de la Rose-Croix,
loges maçonniques).
Il a une place de choix sur de nombreux drapeaux
nationaux :
- Maroc (les cinq piliers de l’Islam ;
- Etas-Unis d’Amérique , chaque étoile
représente un état.
On le retrouve chez les stars d’Hollywood , les
partis révolutionnaires... Cliquer pour l’animation
IV. Propriétés
L’étoile d’or pentagonale
Dans un pentagone régulier, la diagonale et le côté
ont un rapport égal au nombre d'or φ.
La construction des Compagnons.
Cliquer pour l’animation
IV. Propriétés
L’étoile d’or pentagonale
Dans un pentagone régulier, la diagonale et le côté
ont un rapport égal au nombre d'or φ.
Trois autres constructions
Cliquer chaque image
IV. Propriétés
Le dodécaèdre solide de Platon
et son dual l’icosaèdre
Cliquer les images
Tous les polyèdres n’ont pas la même relation avec le nombre d’or φ.
Le dodécaèdre est formé de pentagones et a donc une relation
étroite avec le nombre d’or.
« La divinité l’utilisa Pour tisser les constellations dans tout le ciel. »
Platon
IV. Propriétés
Deux propriétés numériques parmi d’autres
Nous avons vu que le nombre d’or est la solution positive de l’équation du second degré : x² - x - 1 = 0
Et que x est à peu près égal à 1,6180339887…
De l’équation précédente nous déduisons des relations de récurrence
étonnantes.
Cliquer les formules pour les animer
IV. Propriétés
Deux propriétés numériques parmi d’autres
Cliquer pour animer un exemple de calcul réel ci-dessous
Léonard de Vinci
(1452-1519)
Couverture du Traité de la Peinture
de Léonard de Vinci , dans lequel
il étudie la relation entre cette discipline
artistique et les mathématiques.
V. Le corps Humain
Léonard de Vinci
(1452-1519),
le nombre d’or et le corps
humain
L’homme de Vitruve (1er siècle avant J-C) dit PARFAIT est conservé à l’Académie Royale de Venise. Il montre les proportions géométriques idéales du corps humain, inséré dans un carré et un cercle. Le quotient de la mesure du côté du carré et celle du rayon du cercle est le nombre d’or. Le rapport AB sur AG est égal au nombre d’or. C’est aussi le nombre d’or qui gère le rapport harmonieux entre la hauteur et la largeur d’une tête humaine.
V. Le corps Humain
V. Le corps Humain
Léonard de Vinci
Cette photo de demi-profil est réalisée conformément aux règles énoncées par Léonard de Vinci dans son traité de Peinture et que l’on vérifie sur ses propres tableaux. Ainsi le schéma directeur du dessin géométrique est basé entièrement sur le nombre d’or.
φ = AG/OG = AC /AB = AG/AD =F G/FE
Evaluer le degré de perfection avec le nombre d'or est inquiétant ! Selon les êtres humains les proportions ne sont pas respectées et la théorie de la beauté basée sur ce nombre est pour le moins étonnante !
V. Le corps Humain
1995
V. Le corps Humain
Les instruments de mesure utilisés par les
bâtisseurs romains
La QUINE utilisée de l'antiquité au 19ème siècle dans le
bassin méditerranéen et en Europe. Elle est la suite de cinq
mesures étalonnées sur les dimensions du corps humain.
Les partages de la QUINE forment une suite additive,
selon la suite de Fibonacci :
COUDEE = PIED + EMPAN
PIED = EMPAN + PALME
EMPAN = PALME + PAUME Selon les pays, les époques, les régimes, les religions
ou les monuments les mesures de bases étaient différentes
mais la progression était semblable.
La COUDEE ROYALE EGYPTIENNE dénommée mesure
de l'initié est estimée au 19ème siècle à 52,36 cm.
V. Le corps Humain
Les instruments de mesure utilisés par les
bâtisseurs romains
La succession de ces mesures se retrouve
dans le polygone régulier à 5 côtés.
Outre les dimensions du corps humain,
la QUINE aurait aussi comme étalon
la LIGNE : 1 grain d'orge "ésotérique
dans le sens de la longueur.
(source bocodienne)
PAUME : 34 lignes
PALME : 55 lignes
EMPAN : 89 lignes
PIED : 144 lignes
COUDEE : 233 lignes
V. Le corps Humain
Les instruments de mesure utilisés par les
bâtisseurs romains
C’est la coudée dite royale, largement dimensionnée qui a servi de
base pour une détermination cohérente des autres grandeurs liées à
la suite géométrique de Fibonacci.
On avait environ :
PAUME = 7,64 cm ; PALME = 12,36 cm ; EMPAN = 20 cm ;
PIED = 32,36 cm ; COUDEE ROYALE = 52,36 cm
Une coudée moyenne aujourd’hui est inférieure à 50cm. Leur coudée était … royale !
V. Le corps Humain
Le Modulor de Le Corbusier
Le corbusier (1887 – 1965) urbaniste et peintre français
d’origine suisse, a réalisé de nombreuses constructions en
adoptant un modèle humain qu’il appela le « MODULOR ».
Le rectangle ADGJ e t
un rectangle d’or
(AJ = φ AD).
Le rectangle AEFD es
tun rectangle barlong
(AE = 2 EF).
« Le Modulor met l’homme au centre de l’architecture »
Vi. Architecture
La grande pyramide de Khéops
La présence du nombre d’or est sensible dans l’Egypte ancienne.
Cependant nous ne savons pas si le choix est délibéré…
Vi. Architecture
Le Parthénon (Vème av. J.-C.)
Le nombre d'or a été nommé phi Φ au XXème siècle, en
hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les
proportions du Parthénon à Athènes.
Les proportions d’or du Parthénon sont considérées comme établies.
Ce point de vue est cependant sujet à discussion aujourd’hui.
Vi. Architecture
Le théâtre d’Epidaure (447 - 432 av J.-C.)
Pour éviter la monotonie les gradins sont répartis en deux blocs.
D’abord 34 gradins puis 21 gradins : deux nombres de la suite de
Fibonacci dont le rapport est le nombre d’or.
Vi. Architecture
Exemple :
● AB = DC = AD Φ
● AN = AG / Φ
DN’ = DH / Φ
● EM = EG / Φ
FM’ = FH / Φ
Cette construction peut être réalisée uniquement avec
une règle, un compas et un compas de proportion.
La construction des
cathédrales
était basée sur
l’utilisation du nombre d’or.
Vi. Architecture
L’Université de
Salamanque (1218)
La façade fut reconstruite
au XVème siècle.
La relation d’or détermine
ses proportions.
Vi. Architecture
Le Corbusier (1887 – 1965)
Extérieur et intérieur de l’Unité d’habitation de Marseille. L’architecte y a dessiné tous les espaces en utilisant les proportions du système MODULOR.
Vi. Architecture
Le Corbusier
Le système MODULOR.
Vi. Architecture
Le Corbusier
La villa Savoy à Poissy, banlieue de Paris, exemple de l’emploi des proportions basées sur le nombre d’or. Aujourd’hui Maison Musée.
Vi. Architecture
Le Corbusier
Vi. Architecture
Frank Lloyd Wright (1867-1959)
Extérieur et intérieur du musée Guggenheim de New York.
Il dessina la grande rampe d’accès au musée Guggenheim de
New York selon la structure révolutionnaire du nautilus donc
suivant une spirale d’or.
Léonard de Vinci
(1452-1519)
Portrait de la
Joconde
dans une
spirale dorée.
Autoportrait dans un rectangle d’or.
VII. Dans la peinture
Léonard de Vinci
VII. Dans la peinture
Dans l'Annonciation de Léonard de Vinci (galerie des Offices, Florence),
si l'on découpe les côtés du tableau selon les proportions du nombre d'or, on obtient des lignes qui délimitent l'emplacement des personnages (lignes verticales) ou la ligne des épaules, des mains ou des genoux (lignes horizontales).
Piero della Francesca (1412-1462) Le Baptême du Christ œuvre réalisée entre 1448-1450
conservée à Londres au National Gallery.
VII. Dans la peinture
L’aspect divin du tableau est montré par l’utilisation de la proportion divine…
Jean Fouquet (1415-1481)
VII. Dans la peinture
« Entrée de l'empereur Charles IV
de Bohême à Cambrai »
Jean Fouquet, vers 1460
Le 22 décembre 1378, l'empereur
Charles IV et son fils Wenceslas,
accompagnés par les messagers du
roi venus les accueillir à quelques
lieues de la ville, rencontrent l'évêque
et les bourgeois de Cambrai.
Michel-Ange (1475-1564)
VII. Dans la peinture
La Sainte-Famille
(1504 ou 1507)
Michel-Ange (1475-1564)
VII. Dans la peinture
L’étoile
pentagonale
se distingue
clairement dans la
composition.
Seurat (1859-1891)
VII. Dans la peinture
Baignade à Asnières 1884
Seurat (1859-1891)
VII. Dans la peinture
La parade
du cirque
1887-1888
Seurat 1888
Seurat
VII. Dans la peinture
Cirque (Musée d’Orsay
1890-1891). La loge délimitée par des
lignes de couleur rouge vif
formant un rectangle d’or.
L’utilisation du nombre d’or
dans ce tableau est opposée
aux lignes courbes du
personnage central du
tableau ainsi qu’aux autres
acrobates.
VII. Dans la peinture
Parade 1915-1925
Pablo Ruiz Picasso (1881-1973)
Pablo Ruiz Picasso (1881-1973)
VII. Dans la peinture
Parade 1915-1925
Salvador Dali (1904-1989)
VII. Dans la peinture
Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier, symbole de l'Univers pour Platon. Le dodécaèdre : 12 faces pour 12 apôtres ! L'organisation du tableau suit la règle de proportion régie par le nombre d'or. Le point de fuite est situé à la tête du Christ.
La Cène 1955
Appolo de Belvédère
VII. Sculpture
L’Apollon du Belvédère : copie romaine en marbre de
l’époque antonine d'après un
original grec en bronze
habituellement attribué à
Léocharès (deuxième moitié
IVème siècle av. J.-C.).
Le dieu Apollon est en
marche, tenant sans doute un
arc à la main (musée Pio-
Clementino Vatican) .
VII. Bandes dessinées
Consciemment ou non les dessinateurs de bandes
dessinées utilisent le rectangle d’or dans leurs dessins.
Les divisions des vignettes correspondent souvent à des
proportions d’or.
VII. Bandes dessinées
Tintin
« le sceptre d’Ottokar »,
2ème édition,
planche 3, case 7.
Ce mystérieux personnage
qui espionne Tintin le
photographie avec une
fausse montre.
Celle-ci est située sur un
point d’or.
VII. Bandes dessinées
Tintin
« le temple du soleil »,
2ème édition,
planche 47, case 1
Après avoir découvert un passage secret, Tintin,
Haddock, Milou et Zorrino apparaissent à gauche
dans la salle interrompant une cérémonie.
Le segment rouge sépare horizontalement la
vignette selon la proportion d’or.
Tintin
« le crabe aux pinces d’or »,
2ème édition,
planche 35, case 5
Alors que le capitaine Haddock s’apprête à déguster une
bouteille, celle-ci éclate, cassée par les balles d’un agresseur.
Le point à partir duquel les éclats partent est un point d’or.
VII. Musique
Le violon et le luth
Les côtés du violon
ont des proportions dorées
34 / 21 ≈ 1,618
55 / 34 ≈ 1,618
89 / 55 ≈ 1,618
IX. Musique
Donald et Pythagore le nombre d’or
et la gamme musicale
2’48 et 6’56
Conserver la forme
VIII. Nature et nombre d’or
Si l’on retire à un rectangle d’or un
carré dont le côté est égal à sa
largeur on obtient un autre
rectangle d’or.
Si l’on ajoute à un rectangle d’or
un carré dont le côté est égal à sa
longueur, on obtient un autre
rectangle d’or.
Cette propriété caractérise le rectangle d’or. On fait ainsi varier sa taille en conservant sa forme.
Conserver la forme
VIII. Nature et nombre d’or
La croissance de l’homme ne respecte pas cette propriété.
Conserver la forme
VIII. Nature et nombre d’or
Les feuilles les plus basses poussent en
premier pour ne pas gêner les autres.
Les feuilles d’une tige de tournesol par
exemple, tournent chacune d’un angle de
137,5° par rapport à la précédente.
Cet angle est exactement
360° / Φ ²
Une plante pousse avec beaucoup de précision :
chaque partie doit avoir toute la lumière, la pluie et
l’oxygène dont elle a besoin.
La croissance et l’angle d’or
VIII. Nature et nombre d’or
Vue de dessus des feuilles d’une plante.
VIII. Nature et nombre d’or
Suite
de
Fibonacci
dans
la
nature
Suite de Fibonacci dans la nature
VIII. Nature et nombre d’or
Le nombre de pétales de la marguerite est toujours un
nombre de Fibonacci ;
ici c’est 21. C’est vrai pour de nombreuses fleurs.
Suite de Fibonacci dans la nature
VIII. Nature et nombre d’or
Les nombres de spirales d’une pomme de pin dans un sens
puis dans l’autre sont deux nombres consécutifs de la suite
de Fibonacci : ici 8 et 13.
Cliquer…
Suite
de
Fibonacci
dans la
nature
VIII. Nature et nombre d’or
La spirale logarithmique
garde la même forme en
grandissant.
C’est pourquoi on la
retrouve dans la carapace
d’un escargot ou la
coquille d’un mollusque.
La spirale d’or en est très
proche.
Conserver la forme avec la spirale logarithmique
VIII. Nature et nombre d’or
La spirale logarithmique
garde la même forme en
grandissant.
C’est pourquoi on la
retrouve dans la carapace
d’un escargot ou la
coquille d’un mollusque.
La spirale d’or en est très
proche.
La bonne forme avec une spirale logarithmique
VIII. Nature et nombre d’or
VIII. Nature et nombre d’or
Un Aloés : Aloe polyphylla, avec une belle spirale qui pique.
Spirales dans la nature
Cliquer…
VIII. Nature et nombre d’or
Galaxie en forme de spirale logarithmique.
Spirales dans la nature
VIII. Nature et nombre d’or
Une spirale logarithmique (r = 0.1 * exp (0.1a) ) .
Spirales dans la nature
Une spirale d’Archimède ( r = 2*a ).
IX. Il n’y a pas que le nombre d’or
Le nombre d’or ouvre des horizons infinis.
Nous en avons juste parcouru quelques uns. Cependant d’autres nombres et formats
sont tout aussi passionnants…
IX. Le format A4…
Le format A4 est aussi très étonnant et nous l’avons choisi dans de nombreux pays
pour toutes nos photocopies…
Cliquer
MERCI de votre attention.
Thérèse Eveilleau
