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MANUEL D'ANALYSEMANUEL D'ANALYSEMANUEL D'ANALYSEMANUEL D'ANALYSE

DOSSIER DOSSIER DOSSIER DOSSIER CCCC : Analyse hydraulique et méthodes de résolution Septembre 2007

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HYDRAHYDRAHYDRAHYDRA

NNNNOYAU DE CALCUL DOYAU DE CALCUL DOYAU DE CALCUL DOYAU DE CALCUL D’HYDRANET’HYDRANET’HYDRANET’HYDRANET ET D ET D ET D ET D’H’H’H’HYDRARIVYDRARIVYDRARIVYDRARIV

Modélisation hydrologique et hydraulique des Modélisation hydrologique et hydraulique des Modélisation hydrologique et hydraulique des Modélisation hydrologique et hydraulique des

écoulements superficielsécoulements superficielsécoulements superficielsécoulements superficiels

Hydratec - HYDRA - Manuel d’analyse - Dossier C : Analyse hydraulique et méthodes de résolution – Indice 2.1 – Septembre 2007 1

SOMMAIRE

1 CONCEPTS DE MODELISATION ............................................................................. 3

1.1 PRINCIPES GENERAUX............................................................................................ 3

1.1.1 Le domaine filaire ....................................................................................... 3

1.1.2 Les entités surfaciques ............................................................................... 5

1.1.3 Les liaisons latérales .................................................................................. 5

1.2 APPLICATION A L’HYDRAULIQUE FLUVIALE ................................................................ 8

1.3 APPLICATION A L’ASSAINISSEMENT URBAIN ............................................................ 11

2 ECOULEMENT LE LONG D’UN TRONCON DE VALLEE ...................................... 13

2.1 FORMULATION DE BASE ........................................................................................ 13

2.2 FORMULATION VARIANTE ...................................................................................... 16

2.3 DISCUSSION ........................................................................................................ 18

3 ECOULEMENT LE LONG D’UN TRONCON DE COLLECTEUR ............................ 21

3.1 RAPPEL DES EQUATIONS DE BASE DE L’HYDRAULIQUE EN REGIME PERMANENT ........ 21

3.1.1 Cas d’un tronçon de collecteur de pente homogène ................................. 21

3.1.2 Cas de deux tronçons de pentes différentes............................................. 25

3.2 CAS DES REGIMES TRANSITOIRES ......................................................................... 27

3.3 FORMULATION RETENUE DANS HYDRA POUR LES TRONÇONS DE COLLECTEUR ....... 29

4 LES SINGULARITES EN LIGNE ............................................................................. 35

5 DOMAINE CASIER ET STATION DE GESTION ..................................................... 40

5.1 LE CASIER (APPLICATION HYDRARIV) .................................................................. 40

5.2 LA STATION DE GESTION (APPLICATION HYDRANET) ............................................ 40

6 LIAISONS LATERALES .......................................................................................... 41

7 DOMAINE 2D........................................................................................................... 45

7.1 POSITION DU PROBLEME ET OBJECTIF RECHERCHE ................................................ 45

7.2 FORMULATION SIMPLIFIEE DU PROBLEME BIDIMENSIONNEL EN REGIME TRANSITOIRE 46

7.3 FORMULATION COMPLETE DU PROBLEME BIDIMENSIONNEL EN REGIME TRANSITOIRE 48

8 REGIME TRANSITOIRE : METHODE GENERALE DE RESOLUTION................... 49

8.1 DISCRETISATION DES EQUATIONS ......................................................................... 49

8.1.1 Domaine 1D ............................................................................................. 49

8.1.2 Domaine surfacique.................................................................................. 52

8.1.3 Liaisons latérales...................................................................................... 52

8.2 FORMATION D’UN SYSTEME MATRICIEL GLOBAL A CHAQUE PAS DE TEMPS ................ 53

8.2.1 Etablissement des conditions initiales....................................................... 53

8.2.2 Calcul transitoire....................................................................................... 54


8.3 PERFORMANCES DE LA METHODE UTILISEE ............................................................ 55

9 METHODE AFFINEE DE RESOLUTION POUR LE DOMAINE BIDIMENSIONNEL 56

9.1 FORMULATION ALTERNATIVE DU PROBLEME 2D...................................................... 56

9.2 METHODE DE RESOLUTION ................................................................................... 60

10 SYNTHESE.............................................................................................................. 61


1 CONCEPTS DE MODELISATION

1.1 PRINCIPES GENERAUX

Dans sa représentation la plus générale, un système hydraulique à surface libre modélisé

par HYDRA est composé de trois groupes d’entités interagissant entre elles :

� Les réseaux : c’est le domaine filaire,

� Les entités surfaciques : c’est le domaine multidimensionnel,

� Les liaisons latérales.

1.1.1 Le domaine filaire

Le domaine filaire modélisé par HYDRA est illustré figure 1.1. Il se présente comme une

juxtaposition de sous-réseaux arborescents.

Un sous-réseau consiste en un assemblage de branches de calcul connectées les unes aux

autres par des confluences. A chaque branche est associé un système de repérage

curviligne kilométrique qui lui est propre, avec des PK croissants de l’amont vers l’aval de la

branche.

Une branche est jalonnée d’une succession ordonnée de modules hydrauliques. Chaque

module est délimité par un PK amont et un PK aval. On distingue :

� Les tronçons élémentaires de collecteur, de rivière ou de vallée régis par les

équations de Barré de St Venant ou équations dérivées,

� Les singularités hydrauliques, généralement des ouvrages hydrauliques particuliers,

regroupées en :

� Points d’apports hydrologiques,

� Ouvrages en ligne,

� Ouvrages de stockage,

� Ouvrages de dérivation et maillages : ces ouvrages sont traités comme des points

singuliers particuliers, avec un ouvrage émetteur sur une branche et un ouvrage

récepteur sur l’autre.

Chaque branche est constituée en définitive d’une succession de points de calculs. A

chaque point sont calculés une cote Z et un débit longitudinal Q le long de la branche. Ce

débit est positif lorsque le courant s’écoule de l’amont vers l’aval de la branche, c’est-à-dire

dans le sens croissant des PK. Il est négatif dans le cas contraire.


Figure 1.1 : Schématisation d’un domaine filaire par HYDRA

b1

b2

b3

b4

b5

point de calcul{Q;z}

module de calcul

confluence

b6 défluence

condition à lalimite amont :

Q=0

condition à lalimite aval :

f(Q,z)=0condition à lalimite amontbranche

de calcul

b1

b2

b3

b4

b5

point de calcul{Q;z}

module de calcul

confluence

b6 défluence

condition à lalimite amont :

Q=0

condition à lalimite aval :

f(Q,z)=0condition à lalimite amontbranche

de calcul


Entre deux points de calculs est défini un module hydraulique de type tronçon de collecteur

ou de type singularité, auquel correspond un système d’équations aux dérivés partielles qui

lui sont propres. Ce système permet de relier mathématiquement les débits et cotes au

nœud amont avec les débits et cotes au nœud aval.

Chaque sous-réseau comprend une et une seule condition à la limite aval, définie au nœud

aval par une relation de la forme :

f(Q,Z) = 0

Un domaine maillé dans HYDRA doit être défini comme une juxtaposition de réseaux

arborescents, connectés par des ouvrages de maillage ou des liaisons latérales : l’intérêt de

cette représentation apparaît clairement au chapitre 8 consacré aux méthodes de résolution,

et notamment le calcul des conditions initiales.

1.1.2 Les entités surfaciques

Les entités surfaciques sont définies par un ensemble non ordonné de nœuds de calcul, à

chaque nœud sont définies :

- une cote d’eau Z,

- une capacité de stockage décrite par une surface au miroir ou une courbe S(Z).

Une entité surfacique est définie par un numéro de branche, tout comme les branches du

domaine filaire. On distingue trois types d’entités surfaciques :

- le domaine « casier »,

- la station de gestion,

- le domaine bidimensionnel.

Le domaine casier et la station de gestion présentent de grandes similitudes : la première

entité est utilisée dans les applications fluviales (HYDRARIV), la seconde entité trouve son

application en assainissement urbain (HYDRANET).

Le domaine bidimensionnel est spécifique à l’hydraulique fluviale. Il est utilisé dans la

résolution des équations de Barré de St Venant à 2 dimensions.

Ces entités n’ont d’intérêt pratique que lorsqu’elles sont mises en œuvre avec les liaisons

décrites ci-après.

1.1.3 Les liaisons latérales

Les liaisons latérales symbolisent des relations de transfert de débit entre des nœuds de

calcul attachés à un domaine filaire ou une entité surfacique. L’équation associée à chaque

liaison est de la forme :


f (QL, Z1, Z2) où :

QL est le débit d’échange entre les nœuds 1 et 2,

Z1 et Z2 sont les cotes d’eau aux nœuds 1 et 2 respectivement,

f est une fonction spécifique à la nature hydraulique de la liaison.

Dans le cas d’une liaison uninodale, la relation est de la forme :

g (QL, Z1) = 0

La liaison s’apparente alors à une condition à la limite appliquée au nœud 1.

En pratique, les liaisons latérales ont vu leur importance croître avec l’apparition des entités

surfaciques : elles offrent aujourd’hui un large éventail de fonctionnalités et introduisent une

grande flexibilité dans les applications intégrées telles qu’HYDRANET ou HYDRARIV. Elles

font maintenant double emploi avec les ouvrages de maillage dédiés au domaine filaire :

l’une ou l’autre solution conduit aux mêmes résultats, les liaisons recouvrant un concept plus

général.

La figure 1.2 illustre les différents concepts de modélisation pouvant coexister dans un

même modèle, dans sa représentation la plus générale. Leur déclinaison à chaque classe de

problème est détaillée ci-après.


Figure 1.2 : Les différents concepts de modélisation disponibles dans HYDRA

Entités de modélisation

Fluvial + Assainissementmaillage / dérivation

Fluvial + Assainissementliaison latérale

Assainissementstation de gestion

Fluvialdomaine casiers

Fluvialdomaine bidimensionnel

Fluvial + Assainissementbranche de calcul (domaine filaire)

ApplicationsEntités de modélisation

Fluvial + Assainissementmaillage / dérivation

Fluvial + Assainissementliaison latérale

Assainissementstation de gestion

Fluvialdomaine casiers

Fluvialdomaine bidimensionnel

Fluvial + Assainissementbranche de calcul (domaine filaire)

Applications

Branch

es de ri

vière

Branches de rivière


1.2 APPLICATION A L’HYDRAULIQUE FLUVIALE

Les très nombreuses observations disponibles sur les écoulements de crues dans les

vallées inondables témoignent de la grande complexité des phénomènes hydrauliques à

l’échelle locale : chenaux préférentiels d’écoulement induits par la micro-topographie, zones

d’accumulation, lois d’échanges conditionnées par la topographie, mais aussi les nombreux

obstacles implantés dans le lit majeur : routes, voies SNCF, levées de terres, remblaiements,

gravières, etc.

Ces phénomènes ne peuvent être appréhendés que par une démarche simplificatrice mais

cependant cohérente par rapport aux objectifs assignés au modèle et aussi à la précision

des données disponibles : une schématisation bidimensionnelle convient si on s’intéresse à

l’impact d’un ouvrage sur les vitesses locales et les surélévations des niveaux d’eau des

zones avoisinantes, elle devient plutôt inappropriée dans le cas d’une étude de la

propagation sur de longues distances; dans ce cas, une modélisation multifilaire s’avère

beaucoup plus justifiée.

Par ailleurs, même pour une étude locale de zone inondable, une modélisation

bidimensionnelle doit souvent intégrer des représentations filaires d’écoulements

préférentiels le long de thalwegs présentant une topographie locale peu accidentée.

Pour concilier toutes ces exigences, HYDRA offre trois représentations d’écoulement

adaptées aux applications fluviales et désignées « domaines » :

� L’écoulement filaire le long d’un bief de rivière ou de vallée inondable, caractérisé par

une direction privilégiée d’écoulement le long de son axe longitudinal : c’est le domaine

filaire.

� La zone d’accumulation dans le lit majeur avec faible vitesse moyenne, où les transferts

de débit sont conditionnés par des lois d’échange aux frontières : c’est le domaine

casier.

� Les zones avec écoulement fortement bidimensionnel, décrites par un maillage fin,

fonction de la topographie détaillée disponible : cette description permet de restituer la

carte des vitesses locales : c’est le domaine bidimensionnel.

Les comportements hydrauliques de chaque domaine sont décrits par des lois et des

équations qui leur sont propres. Les domaines sont en plus connectés entres eux par des

liaisons externes latérales qui servent en quelque sorte de « ciment » à l’ensemble de la

zone modélisée.


Le concept de schématisation adopté dans HYDRA s’inscrit dans la double démarche

suivante :

� Délimitation de la zone d’étude en domaines surfaciques disjoints, mais couvrant

toute la zone, chaque domaine appartenant à une des trois catégories : filaire, casier,

bidimensionnelle.

� Définition de liaisons hydrauliques externes nécessaires pour lier hydrauliquement les

domaines entres eux.

Suivant le contexte d’une application, un modèle peut ne comporter qu’un seul type de

représentation ou plusieurs types différents coexistant ensemble. Le schéma de la page

suivante illustre le concept de découpage en sous-entités homogènes.


Figure 1.3 : concept de modélisation HYDRA appliqué à l’hydraulique fluviale


1.3 APPLICATION A L’ASSAINISSEMENT URBAIN

Contrairement à un réseau fluvial, le système d’assainissement urbain ne présente pas de

difficulté de représentation topologique car il est parfaitement structuré par le système de

collecteurs qui le composent.

La difficulté principale vient de l’existence de nombreuses singularités interagissant au sein

d’une même entité fonctionnelle de gestion : usine de pompage, ouvrage de stockage,

station de maillage des flux…

Pour tenir compte de cette réalité, la schématisation d’un réseau d’assainissement distingue

trois groupes d’entités :

� Les branches de collecteurs

Une branche de collecteurs se compose d’une succession ordonnée de tronçons de

collecteurs connectés à des nœuds de calculs qui sont généralement confondus

physiquement à des regards. Un regard est défini par une surface au miroir et la cote du

terrain naturel.

Un nœud de calcul peut être occupé par une singularité en ligne (vanne frontale,

chute,…) ou une dérivation (déversoir latéral, dérivation vers un autre collecteur).

Chaque extrémité de branche est contrôlée par une confluence, une condition à la limite

aval ou une condition à la limite amont.

� Les stations de gestion

Une station de gestion se compose d’une collection non ordonnée de nœuds de calcul,

chaque nœud étant défini par une surface au miroir.

� Les liaisons latérales

Les liaisons latérales sont physiquement des singularités hydrauliques connectant deux

nœuds de calcul (liaison binodales) ou attachées à un nœud (liaison uninodale). Elles

sont essentiellement utilisées pour structurer les stations de gestion et pour connecter les

stations de gestion aux branches de collecteur.

Une liaison latérale peut également connecter deux nœuds de calcul appartenant à des

branches de collecteurs : elle fait alors double emploi avec la dérivation ou la défluence

qui est une singularité attachée à une branche.

Le schéma de la figure 1.4 illustre le concept de modélisation d’HYDRA appliqué à

l’assainissement. Ces concepts peuvent paraître à première vue assez touffus,

notamment l’introduction de la notion de station de gestion ou de liaisons latérales pour

les réseaux d’assainissement.


Figure 1.4 Concept de modélisation HYDRA appliqué à l’assainissement

Ils s’avèrent au contraire de grande importance quand on est confronté à des réseaux

importants et des ouvrages complexes, et présentent les avantages suivants :

� Clarification du schéma de modélisation,

� Très grande souplesse de schématisation : celle-ci « colle » de près à la réalité des

ouvrages,

� Optimisation du temps de calcul du fait du regroupement des nœuds de calcul en

blocs homogènes : branche de calcul et station de gestion.

En pratique, l’utilisation de ces différentes entités est grandement facilitée si on travaille à

l’intérieur de l’applicatif intégré HYDRANET.


maillage / dérivation

liaison latérale

station de gestion

branche de calcul (domaine filaire)


maillage / dérivation

liaison latérale

station de gestion

branche de calcul (domaine filaire)

Branch

es de co

llecte

urBranches de collecteur


2 ECOULEMENT LE LONG D’UN TRONCON DE VALLEE

Le modèle d’écoulement ci-après intéresse spécifiquement l’application HYDRARIV.

2.1 FORMULATION DE BASE

La représentation filaire d’un tronçon de vallée convient lorsque l’écoulement s’organise

préférentiellement le long d’une direction privilégiée, orientée le long de l’axe longitudinal de

la vallée, à l’échelle spatiale du problème considéré. Le bief de vallée est composé d’une

succession de tronçons de rivières entrecoupés de singularités hydrauliques formant

obstacle à l’écoulement dans le sens longitudinal.

Le module de calcul de base s’applique à un tronçon élémentaire de vallée avec 5 zones

d’écoulements contrastés dans la direction transversale (voir figure ci-dessous) :

� le lit mineur où coule l’eau en l’absence de débordement et auquel sont appliquées

les équations de St Venant (zone 1),

� le lit majeur actif, c’est-à-dire la fraction de la plaine inondable qui participe à

l’écoulement longitudinal en vallée après débordement, en distinguant la rive gauche

et la rive droite (zones 2 et 3),

� le lit d’expansion qui simule les poches de stockage et d’accumulation dans le lit

majeur (zones 4 et 5).

Figure 2.1 : schématisation de la vallée : coupe transversale

Les équations intégrées de Barré de St Venant sur une section transversale sont exprimées

ci-après :

1 2 435

Litd’expansion

Litd’expansion

Lit majeuractif

Lit majeuractif

Lit mineur

Rive gauche Rive droite

ZegZed

Z

murette

1 2 435

Litd’expansion

Litd’expansion

Lit majeuractif

Lit majeuractif

Lit mineur


ZegZed

ZZ

murette


Equations du modèle filaire : tronçon de vallée

Equations généralisées de Barré de Saint Venant : formulation de base

Continuité (lits mineur + majeur actif) :

( )a

edegMm q

s

qq

x

Q

s

SS

t+

+=

∂

∂+

+

∂

∂

Quantité de mouvement (lits mineur + majeur actif) :

( ) 0D

QQ

x

ZSSg

SS

Qβ

xt

Q2Mm

Mm

2

=

+++

+∂

∂+

∂∂

∂∂

Continuité (lits d’expansion) :

( )s

qS

t

eg

eg −=∂

∂

( )s

qS

t

eded −=

∂

∂

t : temps

x : abscisse curviligne le long du lit mineur

s : coefficient de sinuosité

Q : débit total le long du lit mineur +lit majeur actif

qa : débit d’apport latéral réparti par mètre linéaire

qeg, qed : débits d'échange latéral entre lits majeurs et lits d’expansions :

qe = - µ1 2g (Z - Ze)3/2

si Z > Ze

qe = + µ2 g2 (Ze - Z)3/2

si Z < Ze

avec µ1, µ2 : coefficients d’échanges en phase de crue et en phase de

décrue respectivement


Z : cote d’eau le long du lit mineur

Sm : surface de la section mouillée du lit mineur

SM : surface de la section mouillée du lit majeur actif (rive droite + rive gauche)

Seg, Sed : surfaces des sections mouillées du lit d’expansion en rive gauche et en rive droite

D : ( ) 32

MMM2

M

m2/3

mmm RKS.A1S

S1.s R K SA débitance

−++=

avec • Km et KM : coefficients de Strickler des lits mineur et majeurs actifs

• Rm et RM : rayons hydrauliques des lits mineur et majeurs actifs

• A : coefficient de Debord =

1666,0

M

m

K

K9,0

β : coefficient d'échange de quantité de mouvement entre lits mineur et majeur :

+

+

+=

2

Mm

m

2

M η1

SS

S

η

S

1β avec

( )

−+

==η

2

M

m3/2

MMM

3/2

mmm

M

m

A1S

S1.s.RKS

RKAS

Q

Q

Quelques remarques :

� la longueur de cheminement moyen le long du lit mineur est généralement supérieure à

celle le long du lit majeur en raison de la sinuosité du cours d’eau : ceci se traduit par la

présence dans les équations du coefficient de sinuosité s.

� le lit majeur ne se remplit pas instantanément au droit d’une zone de débordement : ceci

se traduit par un décalage entre les niveaux d’eau Z et Ze approximé par une loi

d’échange de type déversoir et des coefficients d’échange qui diffèrent généralement en

phase de remplissage et en phase de ressuyage.

� La débitance totale fait intervenir un coefficient A résultant de l’hypothèse « Debord » :

des essais au LNH ont en effet montré que la différence de vitesse d’écoulement entre le

lit mineur et le lit majeur actif crée un frottement supplémentaire par cisaillement. Le

coefficient A a été calé expérimentalement par des essais en laboratoire.

� L’algorithme de résolution adapté (cf. chapitre 8) nécessite d’annuler le terme convectif

figurant dans l’équation de quantité de mouvement ci-dessous dès que le nombre de

froude local dépasse la valeur 0,3.

Cette hypothèse est licite dans les applications fluviales classiques où les écoulements

sont lents, elle conduit à des distorsions locales de la ligne d’eau dans les zones de


transition du régime d’écoulement. L’algorithme mis en œuvre est par ailleurs inapte à

modéliser les phénomènes de rupture brutale de barrage et autres mouvements

rapidement variables, dominés par les termes convectifs.

2.2 FORMULATION VARIANTE

Une formulation alternative disponible dans HYDRA consiste à supposer un décrochement

de ligne d’eau entre le lit mineur et le lit majeur et non entre le lit majeur actif et le lit

d’expansion.

Figure 2.2 : schématisation de la vallée formulation variante : coupe transversale

Les équations intégrées de Barré de St Venant sur une section transversale sont exprimées

ci-après :

1 2 435

Litd’expansion

Litd’expansion

Lit majeuractif

Lit majeuractif

Lit mineur


ZMG ZMD

Zm

murette


Equations du modèle filaire : tronçon de vallée

Equations généralisées de Barré de Saint Venant : formulation variante

Continuité (lit mineur) :

( )( )

a

dgmm q

s

qq

x

QS

t+

+=

∂

∂+

∂

∂

Quantité de mouvement (lits mineur + majeur actif) :

( ) 0D

QQ

x

ZSSg

SS

Qβ

xt

Q2Mm

Mm

2

=

+++

+∂

∂+

∂∂

∂∂

Continuité (lits majeur actif + expansion) :

( )

( )

−=+∂

∂

−=+∂

∂

s

qSS

t

s

qSS

t

dMded

g

Mgeg

t : temps

x : abscisse curviligne le long du lit mineur

s : coefficient de sinuosité

Q : débit total le long du lit mineur +lit majeur actif

qa : débit d’apport latéral réparti par mètre linéaire

qg, qd : débits d'échange latéral entre lits majeurs et lit mineur :

q = - µ1 2g (Z – ZM)3/2

si Z > ZM

q = + µ2 g2 (ZM - Z)3/2

si Z < ZM

avec µ1, µ2 : coefficients d’échanges en phase de montée de crue et en phase de

décrue respectivement


Z : cote d’eau le long du lit mineur

ZMg, ZMd : cotes d’eau du lit majeur

Sm : surface de la section mouillée du lit mineur

SMg, SMd : surface de la section mouillée du lit majeur actif en rive gauche et en rive droite

SM = SMg + SMd

Seg, Sed : surfaces des sections mouillées du lit d’expansion en rive gauche et en rive droite

D : ( ) 32

MMM2

M

m2/3

mmm RKS.A1S

S1.s R K SA débitance

−++=

avec • Km et KM : coefficients de Strickler des lits mineur et majeurs actifs

• Rm et RM : rayons hydrauliques des lits mineur et majeurs actifs

• A : coefficient de Debord =

1666,0

M

m

K

K9,0

β : coefficient d'échange de quantité de mouvement entre lits mineur et majeur :

+

+

+=

2

Mm

m

2

M η1

SS

S

η

S

1β avec

( )

−+

==η

2

M

m3/2

MMM

3/2

mmm

M

m

A1S

S1.s.RKS

RKAS

Q

Q

Dans cette formulation modifiée, on fait l’hypothèse simplificatrice d’un même gradient

hydraulique le long du lit mineur et de chaque lit majeur : cette simplification permet de

garder la même structure que la formulation de base pour l’équation de quantité de

mouvement ; la définition des termes D et β reste inchangée.

2.3 DISCUSSION

� Comparaison des deux formulations

La formulation de base reste la plus classique mais elle présente un inconvénient : le

coefficient µ d’échange entre lit majeur actif et lit d’expansion devrait en effet régler le

déphasage entre la montée de la crue dans le lit mineur et le remplissage du lit majeur total

et non pas seulement le lit d’expansion. La distorsion induite est faible lorsque le rapport

entre le lit majeur actif / lit d’expansion est petit, c’est-à-dire inférieur à 0,1 ou 0,2. Elle

devient appréciable au-delà.


Dans la formulation variante, cet inconvénient disparaît : les deux paramètres de calage µ et

λ peuvent être ajustés de façon indépendante : c’est pourquoi elle est désormais préférée à

la formulation de base. Les deux options sont néanmoins disponibles dans HYDRA.

� Estimation du coefficient µ

Ce coefficient joue un rôle très important lorsqu’on veut reproduire la déformation d’une onde

de crue débordante sur de longues distances. Il peut être estimé comme suit en première

approximation. On considère la coupe type de vallée suivante :

En phase de montée de crue, la différence (Zm - ZM) traduit la perte de charge par frottement

requise pour écouler un débit latéral q entre les 2 lits.

La relation de perte de charge s’exprime sous la forme :

M

Mm3/2MMM

L

Z - Z h . .LK . r q =

r est un coefficient réducteur qui exprime le fait que la longueur effective d’échange le long

d’une berge est significativement plus faible que la longueur physique de ce tronçon de

berge en raison essentiellement de la direction dominante de l’écoulement qui est proche de

l’axe de la vallée :

On peut montrer que le débit d’échange latéral q entre A et B diminue dans le rapport αcos

où α est l’angle moyen entre le vecteur vitesse dans le lit majeur et l’axe de la vallée :

r ≈ αcos . (cf. chapitre 9)

Des calages réalisés sur des estimations de crues mesurées indiquent pour r des valeurs de

l’ordre de 0,20.

ZMZMZmZm

LM

hM

A B

α


L’identification de l’expression ci-dessus et de l’expression retenue dans HYDRA conduit à

l’estimation suivante :

( ) 23

M

MM

h . K . r .

/Z

1 .

2g

1

ll∆=µ

On peut sélectionner les ordres de grandeur suivants pour les différents termes :

(∆L/l) = pente hydraulique dans le sens transversal ≈ 0,001

KM = 5,0

r = 0,2

hM ≈ 0,7 (demi hauteur moyenne d’inondation)

On trouve : 23

M

160 µl

≈

On obtient ainsi une première estimation des coefficients µ en fonction de la longueur de

vallée :

lM (en m) µ

500 1.4 10-2

1000 5.0 10-3

2000 1.2 10-3

En pratique, le coefficient µ sera ajusté pour se rapprocher le plus possible de la forme du

limnigramme ou hydrogramme aval observé.

A noter que le coefficient d’échange µ2 à la décrue est généralement plus faible que le

coefficient µ1 en phase de montée de crue, en raison des nombreux points bas qui, après

remplissage, se vidangent vers le lit mineur via des cheminements beaucoup plus longs

qu’en phase de remplissage. Le rapport µ2/µ1 est typiquement de l’ordre de 0,2.


3 ECOULEMENT LE LONG D’UN TRONCON DE COLLECTEUR

L’application d’HYDRA à l’assainissement a été conçue à l’origine pour modéliser de façon

aussi fine que possible les écoulements dans les grands ouvrages d’assainissement et

notamment l’évolution temporelle des lignes d’eau au cours d’un événement pluvieux.

Cette modélisation se heurte à un certain nombre de difficultés pratiques, inhérentes à la

nature des réseaux modélisés, à savoir :

� des tailles et des pentes de collecteurs très variables dans un même réseau,

� des débits de base souvent très faibles, voire nuls dans les ouvrages pluviaux,

� des évolutions temporelles souvent brutales, liées à la nature des épisodes pluvieux

modélisés,

� de nombreuses singularités avec des effets aval conditionnant le fonctionnement des

ouvrages de maillage,

� de nombreuses mises en charge, voire des débordements sur chaussée.

Les lois complètes de l’hydraulique 1D, exprimées par les équations de Barré de St Venant,

s’accommodent mal de toutes ces contraintes. Elles conduisent en effet à des complications

importantes dans la résolution des équations, telles que les passages brusques des

écoulements torrentiels en écoulement de type fluvial via des ressauts hydrauliques, ou les

mises en charge s’accompagnant d’une discontinuité brutale de la vitesse de propagation

d’onde.

En pratique, des simplifications doivent être introduites pour apporter des réponses

opérationnelles aux questions posées et le code de calcul doit être suffisamment robuste

pour minimiser les risques de non convergence et donc les pertes de temps.

3.1 RAPPEL DES EQUATIONS DE BASE DE L’HYDRAULIQUE EN REGIME PERMANENT

Le raisonnement est limité ci-après au cas du régime permanent, dont l’analyse est

suffisante pour éclairer les implications des simplifications introduites dans le code de calcul

des écoulements dans les collecteurs fermés que l’on trouve en assainissement.

3.1.1 Cas d’un tronçon de collecteur de pente homogène

La ligne d’eau est gouvernée par l’équation de remous classique :

2F1

ji

dx

dh

−

−= (3.1)

h : hauteur d’eau au-dessus du radier

i : pente du collecteur

j : gradient de perte de charge due au frottement


F : nombre de Froude local, égal à : F = B/S.g

V

V : vitesse de l’écoulement

B : largeur au miroir

S : section mouillée

Pour un débit fixé, l’allure de la ligne d’eau décrite par l’équation (1) est régie par deux

paramètres :

- la hauteur normale hN, définie par les conditions de régime uniforme : i = j. hN dépend

de la pente et de la rugosité,

- la hauteur critique hc telle que F=1. hc est indépendante de la pente.

On définit également la pente critique ic, telle que hN = hc.

Lorsque i < ic, le régime est du type fluvial. On a alors hN > hc

Lorsque i > ic, le régime est du type torrentiel. On a alors hN < hc

Lorsque la pente est positive (cas le plus courant), les lignes d’eau rentrent dans

6 catégories différentes, suivant les valeurs respectives de hN et hc et la hauteur d’eau h*

connue en un point.

� Cas où i < ic (régime fluvial)

Les lignes d’eau suivent trois tendances selon la valeur h* :

� Courbe M1 : h1* > hN

La ligne d’eau se calcule de l’aval vers l’amont à partir de la condition à la limite aval

h1*. La hauteur d’eau est partout supérieure à hN et atteint cette valeur

asymptotiquement. En pratique la longueur caractéristique du remous peut être

approximée par :

M3

M1

M2

hC

hN

h1*

h2*h3*


L ≈ 2

−

i

h*h N1

� Courbe M2 : hc < h2* < hN

La ligne d’eau se calcule là aussi de l’aval vers l’amont à partir de la hauteur aval

comme h2*. La hauteur d’eau est partout comprise entre hc et hN et atteint cette

dernière asymptotiquement. La longueur caractéristique du remous est du même

ordre de grandeur que pour M1 mais elle est plus courte.

� Courbe M3 : h3* < hc

La ligne d’eau se calcule de l’amont vers l’aval à partir d’une valeur h3* connue en

limite amont du tronçon. La hauteur d’eau est partout inférieure à hc. La pente de la

ligne d’eau augmente progressivement de l’amont vers l’aval et devient infinie lorsque

h = hc.

� Conditions d’établissement de chaque courbe

� Courbe M1 : la hauteur h1* est imposée par un niveau d’eau aval connu (seuil

frontal ou plan d’eau),

� Courbe M2 : la condition à la limite aval correspond généralement à une section

de contrôle avec le nombre de Froude égal à l’unité : cas d’une chute ou d’un

changement de pente avec passage d’un régime fluvial en régime torrentiel.

� Courbe M3 : la hauteur h3* peut être générée par l’ouverture d’une vanne de fond

ou par une branche amont avec une forte pente.

En pratique h n’atteint jamais hc car une discontinuité hydraulique (ressaut) s’établit

entre les lignes d’eau amont et aval, comme illustré ci-après :

La position du ressaut et ses caractéristiques sont calculées par itérations à l’aide

de l’équation de conservation de la quantité de mouvement de part et d’autre du

ressaut.

hC

hN


� Cas où i > ic (régime torrentiel)

Les lignes d’eau suivent 3 tendances selon la valeur de h*.

� Courbe S1 : h1* > hc

La ligne d’eau se calcule de l’aval vers l’amont à partir d’une condition à la limite aval

h1*. La pente de la ligne d’eau augmente progressivement vers l’amont et devient

infinie lorsque h = hc. En pratique, le point hc n’est jamais atteint car un ressaut

hydraulique s’établit avec la ligne d’eau amont.

� Courbe S2 : hN < h2*< hC

La ligne d’eau se calcule de l’amont vers l’aval à partir d’une hauteur h2* connue. La

hauteur hN est atteinte asymptotiquement. En pratique la longueur nécessaire pour

atteindre hN est très faible.

hN

hC

S3

S1

S2

hN

hC

h1*h2*

h3*


� Courbe S3 : h3* < hN

La ligne d’eau se calcule de l’amont vers l’aval, à partir d’une hauteur h3* connue. La

hauteur h est atteinte asymptotiquement. Là aussi la longueur nécessaire pour

atteindre hN est très faible.

� Conditions d’établissement de chaque courbe

� Courbe S1 : la hauteur h1* est imposée par un niveau d’eau aval connu, supérieur

à hC.

� Courbe S2 : h2* correspond généralement à une hauteur critique, à la jonction

d’une branche amont à faible pente.

� Courbe S3 : h3* correspond généralement à une hauteur normale générée par une

branche amont à forte pente.

3.1.2 Cas de deux tronçons de pentes différentes

Les graphes des pages suivantes illustrent quelques uns des nombreux cas de figure que

l’on peut rencontrer en pratique. Le calcul des lignes d’eau obéit à deux grands principes :

� L’identification des régimes hydrauliques le long de chaque branche, à partir des

principes énoncés précédemment.

� La recherche et le positionnement des sections de contrôle (avec F = 1) à la jonction

de discontinuités géométriques.


Figure 3.1 : Allure des lignes avec la formulation complète

hC

hC

hC

hC

hC

i1 > ic

i1 < ic

i1 > ic

i1 < ic

i1 < ic

i2 < i1 < ic

i2 > ic

i2 > ic

i2 < ic

i2 > i1 > ic


3.2 CAS DES REGIMES TRANSITOIRES

Dans la pratique, on s’intéresse en assainissement pluvial à des problèmes d’évolution des

lignes d’eau en régime transitoire avec le passage, au cours d’une simulation, d’une

succession de régimes hydrauliques contrastés au même point, ce qui complique encore un

peu plus la résolution exacte du problème.

En effet, dans le cas d’un calcul en régime transitoire, la prise en compte des équations

exactes nécessite une résolution par les méthodes des caractéristiques.

Dans le cas d’une branche fluviale où F est localement inférieur à 1, la solution au point M et

au temps t + dt se construit comme suit à partir de la solution connue au point M- et M+ :

Dans le cas d’une branche torrentielle où F est supérieur à 1, la construction de la solution

est la suivante :

t

t + dt

t

M

M+ M-

M x

t

t + dt

t

M

M- M+

M

x


Dans le premier cas, la solution au point M est fonction d’une condition limite en amont et en

aval, dans le second cas, cette solution est fonction des 2 conditions aux limites situées en

amont du point M au pas de temps précédent.

Cette formulation complète doit gérer plusieurs difficultés :

- l’ajustement de discontinuités hydrauliques susceptibles d’évoluer dans le temps et

l’espace,

- les situations de mise en charge,

- la succession au même point M de régimes fluviaux et de régimes torrentiels et donc

l’adaptation des algorithmes locaux en conséquence,

- des problèmes d’instabilité numérique dans le cas de collecteurs de forme quelconque.

La formulation complète en régime transitoire ne se justifie que si l’on s’intéresse à des

phénomènes hydrauliques très particuliers, tels que la formation d’intumescences suite à la

fermeture rapide d’une vanne ou à l’arrêt brutal de pompes dans un canal. Dans le cas le

plus fréquent où l’on s’intéresse à l’évolution progressive des lignes d’eau au cours d’un

événement pluvieux, des simplifications importantes peuvent être introduites. Elles sont

présentées ci-après.


3.3 FORMULATION RETENUE DANS HYDRA POUR LES TRONÇONS DE COLLECTEUR

Les équations mises en œuvre pour le régime transitoire sont récapitulées :

Figure 3.2 : Ecoulement dans un collecteur

Formulation complète

� DEFINITION

Ecoulement dans un tronçon de collecteur ou de canal régi par les équations complètes de

Barré de St Venant avec possibilité de mise en charge et de débordement sur chaussée.

� GEOMETRIE

Les sections de collecteurs en 1 et 2 peuvent être de type ouvert ou fermé.

zV

zF

Bmax

sectionfictive

zV

zF

Bmax

sectionfictive

Section ouverte : canal

Pour Z>ZV : le canal est prolongé

par des parois verticales fictives de

largeur Bmax.

Bmax

zV

zF

zTN

ε<<Bmax

Bmax

zV

zF

zTN

ε<<Bmax

Section fermée : collecteur

Pour Z>ZV : l’effet de mise en

charge est simulé par une fente de

faible largeur comparée à Bmax.

Pour Z>ZTN : le débordement sur la

chaussée peut être simulé par une

loi d’orifice.

12

voûte : zV

radier : zF

x

z

12

voûte : zV

radier : zF

x

z


� EQUATIONS

Les équations de Barré de St Venant entre les sections 1 et 2 s’écrivent :

=

+

∂

∂+

∂

∂⋅+

∂

∂

⋅−=∂

∂+

∂

∂

dynamique)(Equation0D

QQ

x

zSg

S

Q

xI

t

Q

)continuité de (EquationqIqx

Q

t

S

2

2

3

f4ap

S : section mouillée

D : débitance = S K R2/3

K : coefficient de Strickler

R : rayon hydraulique

I3 : paramètre d’activation du terme convectif : 1 ou 0

I4 : paramètre d’activation du débit de fuite : 1 ou 0

qap : débit d’apport latéral par unité de longueur supposé constant

qf : débit de fuite par débordement sur chaussée (considéré comme perdu par le modèle)

>−⋅

<

=

TN23

TN

o

TN

f

zzsi)ZZ.(ND

Sg2

zzsi0

q

avec : S0 : section d’orifice, supposée égale à 1 m² dans le programme

ND : distance (en mètres) séparant deux orifices

� PARAMETRES D’ENTREE

� Données propres au module

K : coefficient de Strickler

� Données de contrôle du module

I3 = 0 : termes convectifs non activés

1 : termes convectifs activés et mise à zéro automatiquement lorsque le nombre de

Froude approche l’unité

ND = 0 : débit de fuite sur chaussée non activé : I4 = 0

> 0 : débit de fuite sur chaussée activé. ND désigne alors la distance séparant deux

orifices et I4 = 1 (par défaut, ND = 20 m)


On a distingué plusieurs régimes :

� Cas général

La simplification majeure introduite est la mise à zéro du terme convectif, ce qui, en

régime permanent revient à annuler le terme F dans l’équation (3.1) et le calcul

systématique de la ligne d’eau à partir d’une condition aval, en remontant vers l’amont.

Cette simplification peut paraître brutale car elle a pour conséquence de :

� déformer les courbes de remous de type M,

� supprimer les ressauts,

� supprimer les remous de type S.

En fait, les résultats obtenus sont acceptables à condition d’introduire des singularités à

chaque changement de géométrie ou de pente, en calculant les hauteurs d’eau à l’amont

de la singularité comme suit :

Calcul de h~

= min (hN, hc) sur la branche amont

Si h~

> h2 on choisit h1 = h~

,

Si h~

< h2 on choisit h1 = h2

Cet algorithme permet de réduire considérablement les distorsions et décrit de plus

correctement les comportements de la ligne piézométrique en cas de mise en charge.

Les schémas de la page suivante comparent l’allure des lignes d’eau obtenues avec le

calcul exact et le calcul approché, dans le cas de deux tronçons de pentes différentes :

les distorsions restent locales, du fait des propriétés des différentes courbes de remous.

Dans le cas du régime transitoire, les équations de Barré de St Venant sont prises en

compte, à l’exception du terme V.dt

dV mis à zéro dans l’équation de quantité de

mouvement.

L’annulation de ce terme revient à mettre à zéro le terme F dans l’équation (3.1) dans le

cas du régime permanent.

h2

h1


Figure 3.3 : Comparaison entre les lignes d'eau avec formulation complète

et avec formulation simplifiée = pointillés

hC

hC

hC

hC

hC

i1 > ic

i1 < ic

i1 > ic

i1 < ic

i1 < ic

i2 < i1 < ic

i2 > ic

i2 > ic

i2 < ic

i2 > i1 > ic


� Mise en charge des collecteurs

On adopte l’artifice de la fuite : le collecteur est prolongé verticalement par une fuite de

faible épaisseur non régulière, qui, en pratique, est choisie égale à 5% ou 0.5% de la

largeur moyenne du collecteur suivant l’application.

� Débordement

Lorsque la cote piézométrique atteint la cote du terrain naturel, il y a débordement sur

chaussée.

On suppose que le volume débordé est perdu.

Le débordement est modélisé par des lois de déversoir de 1 m de largeur chacun et

disposés tous les 50 m dans une zone de débordement.

� Cas des faibles hauteurs d’eau

Il se pose des problèmes numériques lorsque :

∆X > i

h

car alors ∆X est trop grand pour assurer la convergence de l’algorithme en cas de

variation de la ligne d’eau en régime transitoire :

Il apparaît difficile d’ajuster ∆X aux faibles valeurs de h car alors le nombre de points de

calcul deviendrait prohibitif, par exemple :

i = 1 % et h = 1 cm nécessite ∆X = 1 m

Pour contourner cette difficulté, l’algorithme de base est modifié comme suit :

� ∆X est figé indépendamment des hauteurs d’eau, à une valeur fixe,

h

∆x

A

B

ZBZFA

ZVA


� On connaît à l’instant tn, la cote zB :

Si ZB < ZFA + 0,05 (ZVA – ZFA), alors on impose : ZA = ZFA + HNA, HNA étant la hauteur

normale au point A.

Dans le cas contraire, ZA est calculé avec l’algorithme complet.

Cette procédure revient à désolidariser les cotes amont et aval pour les faibles débits

et en l’absence de remous aval.


4 LES SINGULARITES EN LIGNE

Les singularités en ligne sont intégrées dans les deux applications HYDRARIV et

HYDRANET.

Sont classés dans cette catégorie tous les ouvrages hydrauliques apportant une modification

à l’écoulement le long d’un collecteur, d’un canal ou tronçon de rivière, et plus généralement,

le long d’une branche 1D. Par extension une singularité est définie dans HYDRA comme

toute loi d’écoulement régie par des équations autres que celles du tronçon de collecteur ou

de cours d’eau.

La plupart des singularités sont communes aux deux domaines d’applications : fluvial et

assainissement. C’est pourquoi elles sont regroupées.

Une singularité peut :

� être courte (localisée en un seul PK) ou longue (étendue entre un PK début et un PK

fin le long d’une branche de calcul),

� se caractériser par une discontinuité de débit (hydrogramme d’apport ou dérivation),

ou de cote piézométrique, ou les deux à la fois,

� nécessiter ou non la définition d’une section de vallée ou de collecteur, de part et

d’autre de la singularité,

� être de type passif (ouvrage statique) ou actif (organe régulable).

Les tableaux pages suivantes récapitulent l’ensemble des singularités disponibles pour

l’utilisateur, regroupées par classe et avec pour chacune d’elles :

� le mot clé servant à désigner la singularité,

� sa définition,

� les conditions d’utilisation,

� le type de singularité en distinguant :

� les écoulements graduellement variés le long d’un tronçon figé par un PK amont et

un PK aval,

� les apports hydrologiques,

� les pertes de charge en ligne,

� les dérivations et les maillages,

� les ouvrages de stockage,

� les conditions à la limite aval.

Les modules hydrauliques en couleur de police bleue sont des modules toujours supportés

par HYDRA, mais jugés néanmoins obsolètes et que l’on n’a pas intégré dans HYDRARIV

ou HYDRANET


Les fonctionnalités de chaque singularité et les équations associées sont détaillées dans les

manuels utilisateurs (HYDRANET, HYDRARIV, HYDRA).

TABLEAU 4.1 : LISTE DES SINGULARITES DISPONIBLES

Classe type

singularité Désignation Définition Conditions d’utilisation *

1. Ecoulement graduellement

varié

FERE

LM

LMME

Perte de charge définie par une courbe paramétrique Tronçon figé de collecteur Tronçon figé de rivière - vallée

Utilisation à l’intérieur d’un tronçon avec section de rivière

1+2 2

2. Apport HY

HYBV

HC

HCV

Injection hydrogramme Apport d’un bassin versant Injection d’un débit constant Injection d’un débit variant linéairement dans le temps

Module hydrologique fonctionnant avec des données pluviométriques Intéressant à mettre en œuvre dans le cas de défluences

1+2

1+2

1+2

1+2

3. Ouvrage en ligne le long

d’une branche de calcul

DH

KV

CPR

VA

DE

TR

RGB

RACB

Perte de charge (en régime noyé) définie paramétriquement Perte de charge à la Borda Chute avec loi définie paramétriquement pour le régime dénoyé Loi de vanne-orifice Seuil de déversement frontal avec vanne mobile auto-régulée Transition de débit sans perte de charge et sans déphasage Régulation d’un débit ou d’une cote de consigne par vanne frontale Raccord hydraulique au droit d’une rupture de géométrie

Ne fonctionne qu’en régime noyé Utilisation uniquement à l’intérieur d’un tronçon de type fermé Gestion automatique régime noyé – régime dénoyé Gestion automatique régime noyé – régime dénoyé Gestion automatique régime noyé – régime dénoyé Cet élément ne fait rien, il permet de marquer un point courant L’actionneur est une vanne clapet fonctionnant en régime noyé uniquement. Il est placé en ligne le long d’un collecteur module automatiquement géré par HYDRANET et HYDRARIV.

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

Colonne * : 1 : disponible dans HYDRANET 2 : disponible dans HYDRARIV


TABLEAU 4.1 : LISTE DES SINGULARITES DISPONIBLES (SUITE)

Classe type


4. Dérivations, restitutions et maillages (**)

QR

QDQ

QDZ

QDL

QMS1 QMS2

QMV1 QMV2

Réinjection d’un débit dérivé autre part dans le modèle Débit dérivé latéralement suivant une loi de type QD (QAM) Débit dérivé suivant une loi de type QD (Z) Débit dérivé suivant une loi de type déversoir latéral rectangulaire Défluence suivant une loi de type seuil Défluence suivant une loi de type vanne

Utilisé généralement avec une dérivation de type QDQ, QDZ, QDL ou RGA. Le choix du module HYDRA (REGA ou REGD) est assuré par le pré processeur Le choix du module HYDRA (REGA ou REGD) est assuré par le pré processeur Le choix du module HYDRA (REGA ou REGD) est assuré par le pré processeur Il faut que les modules figurent simultanément dans le modèle QMS1 : émetteur QMS2 : récepteur Il faut que les modules figurent simultanément dans le modèle QMV1 : émetteur QMV2 : récepteur

1+

2

Colonne * : 1 : disponible dans HYDRANET 2 : disponible dans HYDRARIV (**) : Nom supporté par les applications HYDRANET et HYDRARIV. Elles ont leur équivalent dans les liaisons latérales (présentées au chapitre 6)


TABLEAU 4.1 : LISTE DES SINGULARITES DISPONIBLES (SUITE)

Classe type


5. Ouvrage de stockage

BO

BAS

GRV1 GRV2

Bassin de stockage en série Regard de collecteur Bassin de retenue en dérivation avec lois de dérivation et de restitution intégrées

Les deux modules GRV1 et GRV2 doivent figurer simultanément dans le modèle : GRV1 : dérivation + bassin GRV2 : restitution dans réseau

1+2

1+2 2

6. Condition à la limite aval

CLZK

CLZT

CLZQ

CLZF

CLQ0

Condition limite de type Strickler Condition limite de type Z(t) Condition limite de type Z(Q) (courbe paramétrée) Condition limite de type Fr = 1 Condition à la limite aval à débit imposé nul (à tout instant) et à cote initiale imposée

Ne fonctionne qu’à l’intérieur d’un tronçon de section de rivière Doit être mise à l’extérieur d’un tronçon de section Doit être mise à l’extérieur d’un tronçon de section Doit être mise à l’extérieur d’un tronçon de section A utiliser dans des modélisations de type « casier » seulement.

2

1+2

1+2

1+2

1+2

L’examen des divers points singuliers et de leurs fonctionnalités appelle les remarques

principales suivantes :

� Certaines singularités remplissent une fonction simple (par exemple la perte de charge à

la Borda KV), d’autres intègrent tout un ensemble de fonctions comme le bassin de

retenue en dérivation (GRV1 + GRV2) qui simule à la fois l’effet de remplissage du

bassin, l’ouvrage de prise et l’ouvrage de restitution. Un point singulier complexe peut

être modélisé avantageusement en assemblant explicitement plusieurs singularités

élémentaires.

� Pour modéliser correctement les singularités induisant des variations brusques de niveau

d’eau, il est important d’être familiarisé avec la notion de section de contrôle. Un ouvrage

fonctionne en régime dénoyé lorsque le débit d’écoulement ne dépend pas du niveau

aval. On dit alors que l’ouvrage forme une section de contrôle. Le régime est noyé

lorsque le débit dépend des deux niveaux amont et aval à la fois.


Le croquis suivant illustre ces deux cas d’écoulement :

Il est tout à fait possible au cours d’une même simulation de passer du régime dénoyé au

régime noyé et vice-versa suivant les valeurs respectives de Q et ZC. Certaines des

singularités disponibles dans HYDRA gèrent automatiquement ces deux types

d’écoulement, notamment CPR, VA, DE.

D’autres supposent explicitement un régime noyé comme (DH et KV) : il appartient dans

ce cas à l’utilisateur de s’assurer que le calcul reste bien dans la plage de

fonctionnement compatible avec les fonctionnalités du module.

� Les lois d’écoulement décrites par les diverses singularités en cote sont bien adaptées si

le régime est fluvial en amont, mais conduisent à des distorsions si le régime est

torrentiel. Dans ce dernier cas, il convient donc d’interpréter avec prudence certains

résultats fournis par HYDRA. En pratique d’ailleurs, les lois de fonctionnement des points

singuliers en régime torrentiel ne peuvent dans la majorité des cas n’être approchées

que par modèle physique et non par la modélisation numérique.

� Certaines singularités sont automatiquement positionnées par le pré processeur

HYDMAKE (générateur de modèle) en fonction de la description du modèle faite par

l’utilisateur et ne sont donc pas directement accessibles. Il s’agit essentiellement de

modules qui génèrent automatiquement les variations brusques de géométrie des

sections des cours d’eau.

� Les singularités en « ligne » ne modélisent correctement les lois de pertes de charge que

lorsque le débit est positif uniquement. S’il existe des risques d’inversion forts

d’écoulement, il convient d’adopter une représentation topologique différente et

d’introduire des liaisons latérales qui fonctionnent correctement quel que soit le régime

d’écoulement.

ZA

ZC

ZA

ZC

Cote critique

Régime dénoyé : Q = f (ZA)

Régime noyé : Q = f (ZA, ZC)


5 DOMAINE CASIER ET STATION DE GESTION

5.1 LE CASIER (APPLICATION HYDRARIV)

Le casier est une zone d’expansion du lit majeur caractérisée par des vitesses d’écoulement

généralement faibles et dont le contour s’appuie sur la topographie naturelle ou sur des

obstacles artificiels à l’écoulement des eaux.

L’équation de base d’un casier exprime la loi de conservation de la masse :

)Z,Z(qldt

ZdS ic

i

iC ∑=

où :

S : surface au miroir du casier

ZC : cote d’eau (supposée uniforme dans le casier)

qli : débit échangé avec un autre domaine. Les liaisons latérales disponibles sont présentées

au chapitre 6.

Zi : cote d’eau des autres domaines

Il est à noter que le casier constitue une approximation très simplificatrice de la réalité. Son

utilisation ainsi que celle des liaisons associées exigent donc un certain discernement.

Les casiers sont généralement regroupés à plusieurs pour former un « domaine casier »

identifié par un numéro de branche fictive. Cette entité est utilisée dans les applications

fluviales.

5.2 LA STATION DE GESTION (APPLICATION HYDRANET)

La station de gestion comporte une collection non ordonnée de nœuds de calcul. A chaque

nœud est affectée une surface au miroir.

La variation du niveau d’eau à un nœud est régie par la même équation que pour le casier.

Sur le plan de la formulation, la station de gestion présente les mêmes fonctionnalités que le

domaine casier : sa désignation « station de gestion » est plutôt réservée aux applications

d’assainissement, dans la mesure où elle fait référence à des ouvrages ponctuels souvent

complexes abritant des singularités de natures variées et modélisées par des liaisons.


6 LIAISONS LATERALES

Les liaisons latérales permettent de connecter hydrauliquement des entités définies par

ailleurs le long des branches de collecteurs, dans les domaines casier et dans les stations de

gestion.

On distingue deux types de connecteurs :

� Liaisons binodales

La liaison binodale est connectée à chaque extrémité à une entité.

Entité 1 Entité 2

Le débit véhiculé par la liaison est régi par l’équation :

ql = f )z,z( 21 où :

1z est la cote d’eau moyenne associée à l’entité 1

2z est la cote d’eau moyenne associée à l’entité 2

Les entités connectables à une liaison sont :

� Les tronçons de vallées LMME, pour lesquels les positions des nœuds amont et aval

ont été spécifiées explicitement,

� Le tronçon de collecteur LM, pour lequel les positions des nœuds amont et aval ont

été spécifiées explicitement,

� Le bassin de stockage BO en série le long d’une branche de collecteur,

� Le regard BAS positionné le long d’une branche de collecteur,

� Un casier quelconque situé dans un domaine CASIER,

� Un nœud quelconque situé dans une station de gestion.

� Un pavé quelconque situé dans un domaine 2D

� Liaison uninodale

La liaison uninodale est connectée à une seule entité : elle est utilisée pour spécifier des

conditions aux limites avec l’extérieur.

1

Le débit sortant est régi par l’équation :

ql = f(Z1)

ql

ql


Les entités uninodales connectables à une liaison sont :

� Le casier d’un domaine « casier »

� Le nœud d’une station de gestion

� Un pavé d’un domaine 2D

(Les liaisons uninodales ne sont pas connectables à une entité positionnée sur un

collecteur, car le domaine 1D dispose de ses propres singularités pour définir les

conditions à la limite aval, comme l’indiquent les tableaux du chapitre 4).

Les liaisons offrent une grande souplesse d’utilisation : elles sont définies par un libellé

qui leur est propre et le nombre de liaisons que l’on peut «accrocher » à une entité licite

n’est pas limité.

Le tableau page suivante récapitule l’ensemble des liaisons disponibles. Plusieurs de ces

liaisons sont communes aux 2 domaines d’applications : elles sont regroupées

ensemble.

Les fonctionnalités de chaque liaison et les équations associées sont détaillées dossier B

du manuel utilisateur.


TABLEAU 6.1 : LISTE DES LIAISONS LATERALES

Désignation Définition Domaine d’utilisation *

LSTK

LPOR

LDEV

LORF

LPAV

LDD

LRC

LDVF

LDVT

LMRG

LQMP

LQDZ

LQDL

CLZQ

CLZT

CLQT

CLBO

Perte de charge par frottement sur le fond Fuite à travers une digue perméable Seuil déversant à surface libre Orifice Liaison interne à un bloc 2D Liaison de type LPAV générée entre 2 blocs d’un domaine 2D Liaison rivière – casier Seuil fusible de type 1 Seuil fusible de type 2 Vanne régulable Station de pompage Dérivation de type Q(z) Dérivation par seuil déversant Liaison uninodale de type Q(z) Liaison uninodale de type Z(t) Liaison uninodale Q(t) Liaison uninodale bassin

Hydraulique fluviale Hydraulique fluviale Toutes applications Toutes applications Hydraulique fluviale Hydraulique fluviale Hydraulique fluviale Hydraulique fluviale Hydraulique fluviale Toutes applications Toutes applications Toutes applications Toutes applications Toutes applications Toutes applications Toutes applications Toutes applications

2 2

1+2

1+2 2 2 2 2 2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

1+2

Colonne * : 1 : disponible dans HYDRANET

2 : disponible dans HYDRARIV

Quelques remarques :

� Avec le jeu de liaisons disponibles, un modèle peut tout à fait être construit sans

branche de calcul 1D et intégrer uniquement des domaines casiers ou 2D,

� Les liaisons LDEV et LORF font double emploi avec les singularités de maillage QMS,

QMV, respectivement, lorsque ces liaisons sont appliquées à des nœuds appartenant

à des branches 1D : ceci est dû à une raison historique, les singularités ayant été

développées pour le domaine 1D avant que les domaines casiers et les stations de

gestion ne fassent leur apparition.


En pratique, l’usage des liaisons sera préféré à celui des singularités de maillage

dans le domaine de l’assainissement car il est d’un emploi plus général et parce que

les paramètres de liaison sont pilotables par le module de contrôle.

Par ailleurs dans les applications HYDRANET et HYDRARIV, les singularités 1D du

type maillage ne sont pas accessibles alors que les liaisons le sont.

� Le même discours s’applique aux liaisons LQDZ et LQDL vis-à-vis des singularités de

type dérivation QDZ et QDL respectivement.

� De façon générale, les liaisons latérales permettent de décrire correctement tous les

régimes d’écoulements : elles complètent parfaitement les singularités du domaine 1D

et se substituent à elles dans la configuration de maillages complexes pour lesquels

les singularités 1D ne sont pas adaptées.


7 DOMAINE 2D

Le domaine 2D est disponible dans l’application HYDRARIV.

7.1 POSITION DU PROBLEME ET OBJECTIF RECHERCHE

Les méthodes classiques de résolution des équations de St Venant à deux dimensions ont

chacune des domaines d’application privilégiés. On peut citer :

� les méthodes de caractéristiques et les méthodes explicites qui conviennent bien pour

traiter des phénomènes rapidement variables tels les ruptures de barrage et les

intumescences,

� les méthodes implicites de résolution à pas fractionnés : double balayage (qui requiert

un maillage structuré), décomposition en 3 étapes : propagation – advection –

diffusion : ces méthodes sont bien adaptées au problème courantologique en milieu

maritime ou estuarien.

Dans le cas qui nous intéresse, c’est-à-dire l’hydraulique fluviale, on se heurte à plusieurs

difficultés :

� Le lit majeur, dans lequel on souhaite modéliser les écoulements, présente de

nombreuses singularités, organisées le long des lignes de fracture disposées de

façon quelconque : berges d’un cours d’eau, remblais, zones remblayées…etc. Un

maillage structuré est à exclure sauf s’il est très fin (mais alors on accroît

considérablement le temps de calcul).

� Les singularités sont définies par des lois d’écoulement fortement non linéaires,

rendant les calculs très instables, si on choisit une méthode de résolution explicite.

� Le phénomène de crue auquel on s’intéresse dure plusieurs semaines, voire plusieurs

mois : les pas de temps de calcul doivent rester suffisamment grands pour limiter les

temps de simulation,

� Le domaine bidimensionnel s’inscrit dans des modélisations globales où peuvent

coexister d’autres types de domaines : filaire et casier. Il se pose alors le problème

des conditions aux limites du domaine 2D et de sa connexion aux autres domaines.

La prise en compte de toutes ces contraintes nécessite de simplifier les équations (tout du

moins pour les simulations en régime transitoire) et de trouver un compromis satisfaisant

entre rapidité et précision des calculs. Notons au passage que les domaines 2D pris en

compte dans les applications fluviales sont géographiquement limités à une dizaine de

kilomètres le long de la vallée : les termes de propagation jouent un rôle mineur sur la

structure de la solution.


Deux types de formulation sont disponibles dans HYDRA pour le domaine 2D :

� Calcul à l’ordre 0 (formulation simplifiée)

Les équations de Barré de St Venant sont simplifiées en négligeant les termes

d’inertie : seuls sont intégrés les termes de continuité, de frottement et de pression.

� Calcul à l’ordre 1

Les équations complètes de Barré de St Venant sont résolues en trois étapes à

chaque pas de temps, fondées sur un algorithme de résolution original, développé

dans le dossier D.

7.2 FORMULATION SIMPLIFIEE DU PROBLEME BIDIMENSIONNEL EN REGIME TRANSITOIRE

Le domaine multidirectionnel est assimilé dans HYDRA à un assemblage fin de casiers

élémentaires de forme quadrangulaire et/ou triangulaire, et interconnectés par des liaisons

internes à chaque segment :

Chaque bloc élémentaire i est défini par :

� La position de ses sommets, calculés de façon à ce que le maillage soit le plus

orthogonal possible

� La surface au miroir Sc

� La cote moyenne de fond Zfi

� Le coefficient de Strickler du fond : Ki

La variation de la cote d’eau Zi est décrite par l’équation :

∑=

=4

1j

iji

i qdt

dZS

où qij est le débit échangé avec les blocs voisins, tels que :

( )ij

ji

ij3

5

ijiijL

ZZlHKq

−⋅⋅⋅=

i j

j

j

j


où :

Hij : hauteur d’eau moyenne dans les blocs i et j

lij : largeur du segment commun aux deux blocs i et j

Lij : distance entre les centroïdes de chaque bloc

Avec cette discrétisation, la notion de vecteur vitesse d’écoulement a un sens et peut être

calculée à chaque centroïde de bloc élémentaire à partir des valeurs de cote d’eau et des

débits échangés avec les blocs voisins.

Ce vecteur est calculé comme suit au centroïde du casier :

∑

=

j

ij

iij

ij

i nHl

q

2

1u

où :

qij : débit échangé avec le pavé j

ijn : vecteur normal à la frontière commune entre les pavés i et j

lij : longueur de la frontière commune entre les pavés i et j

Hi : hauteur d’eau calculée dans le pavé i

Lorsqu’elle est applicable, cette formulation comporte deux gros avantages :

� Le domaine 2D est ramené à un cas particulier du domaine casier : il s’intègre

parfaitement avec les autres domaines considérés dans HYDRA et donc dans la

structure globale du système d’équations à résoudre : en particulier, le raccordement

du domaine 2D aux autres domaines s’effectue au moyen de liaisons spécifiques, tels

que les liaisons LRC pour le raccordement domaine 2D – rivière ou les liaisons LDD

pour le raccordement de deux domaines 2D adjacents.

� La formulation simplifiée permet de réduire le nombre d’inconnues présentes dans les

équations de trois (h, u, v) à une seule (h). Le vecteur vitesse disparaît en effet du

système d’équations et est approximé sur la seule connaissance des cotes d’eau au

centroïde de chaque pavé : ceci permet de réduire considérablement les temps de

calculs lorsque l’on souhaite suivre l’évolution de la crue en régime transitoire.

Cette formulation est applicable lorsque les termes de pression et de frottement dominent les

termes d’inertie, ce qui est généralement le cas pour les écoulements en plaine inondable.

Les distorsions induites sur la solution exacte sont analysées dans le dossier D.

ijni

lij


7.3 FORMULATION COMPLETE DU PROBLEME BIDIMENSIONNEL EN REGIME TRANSITOIRE

Les équations de Barré de St Venant s’expriment classiquement sous forme différentielle :

� Continuité :

( ) ( ) 0vhy

uhxt

h=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

� Dynamiques selon x et y :

=

−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=

−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

0jy

zg

y

vv

x

vu

t

v

0jx

zg

y

uv

x

uu

t

u

y

x

avec :

h : hauteur d’eau

u,v : composantes de la vitesse

g : accélération de la gravité

z : cote de la surface libre

x, y : abscisse et ordonnée du point où sont définis (h, u, v)

jx, jy : gradient de perte de charge engendré par le frottement

Cette formulation intègre les échanges de quantités de mouvement. Elle doit être utilisée

dans les problèmes de courantologie et notamment les écoulements dans les lacs, les

espaces estuariens ou les lits mineurs de cours d’eau.


8 REGIME TRANSITOIRE : METHODE GENERALE DE RESOLUTION

8.1 DISCRETISATION DES EQUATIONS

8.1.1 Domaine 1D

Chaque branche est jalonnée d’une succession de modules hydrauliques :

� Elément hydraulique courant (tronçon de collecteur ou singularité)

A chaque nœud sont définies deux grandeurs hydrauliques : - un débit longitudinal : Q ; - une cote d’eau : z.

Les équations différentielles de chaque élément hydraulique (tronçon élémentaire de

collecteur ou de rivière ou point singulier) sont discrétisées suivant le schéma implicite de

Preismann :

où : A est le point amont et C le point aval de l’élément hydraulique discrétisé

θ est compris entre 0,5 et 1

point de calcul

{Q;z}

module de calcul

confluence

condition

amont : Q=0 condition à la

limite aval qm

A C

M

x

t

tn+1=tn+dt

tn+θdt

xA xC

2

xx CA +

tn

Point d’évaluation des fonctions et de leurs dérivées

figurant dans les équations

M

x

t

tn+1=tn+dt

tn+θdt

xA xC

2

xx CA +

tn

Point d’évaluation des fonctions et de leurs dérivées

figurant dans les équations


L’algorithme de discrétisation est le suivant :

( ) ( )

( )

dx

ff

dx

ff

x

f

ffdt2

1

t

f

ff2

ff2

1f

ACAC

CA

CACA

∆−∆⋅θ+

−=

∂

∂

∆+∆=∂

∂

∆+∆θ

++=

où : fA est la fonction évaluée au point A à un instant donné.

fC est la fonction évaluée au point C à un instant donné.

∆fA = fA(t+dt) - fA(t)

∆fC = fC(t+dt) - fC(t)

Après discrétisation du système d’équations entre les points amont A et aval C, on obtient un

système linéarisé sous la forme matricielle suivante :

fZ

ZM

Q

Q

C

A

C

A+

∆

∆=

∆

∆

où : les coefficients de la matrice M et du vecteur f sont calculés au temps t et :

( )( )

−+=∆

−+=∆

)t(ZdttZZ

)t(QdttQQ

AAA

AAA

QA(t) est le débit au point A (idem pour le point C)

ZA(t) est la cote piézométrique au point A (idem pour le point C)

dt est le pas de temps

� Conditions aux limites

Chaque condition à la limite peut quant à elle être discrétisée sous la forme :

ra . ∆QA + sa . ∆ZA = ta

où les coefficients ra, sa et ta sont évalués au temps t.

� Confluence

Au point de confluence, on applique les relations suivantes :

QA3 = QC1 + QC2

ZA3 = ZC1 = ZC2

A1

A2

C1

C2

A3 C3

confluence


ou plutôt : ( )

( )

−=

−=

+=

3A2C2C

2C1C1C

2C1C3A

ZZε

1Q

ZZε

1Q

QQQ

, avec ε << 1

Après discrétisation au temps tn+θdt, on obtient la relation matricielle suivante :

f

Z∆

Z∆

Z∆

M

Q∆

Q∆

Q∆

2C

1C

3A

2C

1C

3A

+

=

� Dérivation / maillage

En présence d’une singularité de type dérivation / maillage, les équations locales s’écrivent

après discrétisation :

gqfZ

ZM

Q

Qm

1C

1A

1C

1A×∆++

∆

∆=

∆

∆

où : f et g sont des vecteurs de dimension 2

qm est le débit d’échange entre les deux branches.

Après discrétisation de l’équation de débit latéral, on obtient :

∆qm = a ∆ZA1 + b ∆ZC1 + c ∆ZA2 + d ∆ZC2

La combinaison de ces deux relations conduit au système linéaire suivant :

K est une matrice de rang 2x4 et l1 est un vecteur de rang 2.

A1

C1

A2

C2

qm

1

3A

2A

1C

1A

1C

1Al

Z

Z

Z

Z

KQ

Q+

∆

∆

∆

∆

=

∆

∆


� Singularités aux liaisons

Pour une singularité susceptible d’accueillir des liaisons, les équations deviennent :

( )∑ ⋅++

∆

∆=

∆

∆

jjj

C

A

C

Agqlf

Z

ZM

Q

Q (a)

où : qlj exprime le débit échangé pour la liaison j au temps tn+θdt

gj est un vecteur de rang 2 évalué au temps tn

8.1.2 Domaine surfacique

L’équation posée à chaque nœud de calcul est de la forme :

∑ +=j

niji )dtθt(ql

dt

dZS (b)

8.1.3 Liaisons latérales

ql = f ( iZ , jZ )

iZ est la cote moyenne sur la singularité amont.

Si cette singularité se trouve sur une branche 1D : 2

ZZZ CiAi

i

+= .

Si cette singularité est un élément d’un domaine surfacique : ii ZZ = .

Même chose pour la singularité aval ; la discrétisation de l’expression de ql au temps tn+θdt

s’exprime comme suit :

( ) ( ) ∑+=⋅+=+j

jjnn Z∆baql∆dtθtqldtθtql (c)

Cette équation vient se substituer au terme qlj de l’équation (a).

qi3 qi4

qi1qi2

iqi3 qi4

qi1qi2

i

Zi

Zj

Ci

Ai

ql


8.2 FORMATION D’UN SYSTEME MATRICIEL GLOBAL A CHAQUE PAS DE TEMPS

Le système matriciel global est formé en deux temps :

1. Substitution de chacune des équations (c) dans les équations (a) et (b).

2. Formation des équations locales aux nœuds du domaine 1D à l’aide des équations

(a), en satisfaisant l’équation de continuité à ce nœud, à savoir :

qCi = qAj

Le système global à résoudre ne fait intervenir que la cote en chaque nœud : il est formé par

la contribution de tous les systèmes matriciels locaux et se présente sous la forme :

[ ] { } fZK =∆⋅

où : [K] est une matrice carrée de rang n x n

{∆Z} sont les vecteurs des variations de cote d’eau entre les instants tn et tn+1

La matrice [K] a une structure en lignes de ciel. Les nœuds sont renumérotés en interne pour

obtenir une largeur de bande moyenne aussi faible que possible et ainsi limiter les temps de

calculs de résolution du système matriciel. Ce dernier est résolu à chaque pas de temps par

une méthode directe basée sur une décomposition LU de la matrice K.

8.2.1 Etablissement des conditions initiales

Cette première étape doit faire l’objet de calculs très précis et rigoureux afin que le calcul

transitoire démarre sans divergence numérique. Elle est effectuée automatiquement en trois

temps :

1) Premier temps : Distribution des débits en chaque point de calcul du domaine 1D

On suppose provisoirement inactifs tous les ouvrages de dérivation et toutes les liaisons

latérales.

Les débits à chaque nœud sont calculés à partir des débits initiaux d’injection des

hydrogrammes en procédant de l’amont vers l’aval pour chaque sous-réseau. Si les

dérivations de type QDQ (débit dérivé fonction du débit amont) sont présentes, plusieurs

itérations sont effectuées pour calculer cette distribution de débit.

Ci

Cj

Ai

Aj

i

j


2) Deuxième temps : Calcul des cotes piézométriques à chaque point de calcul du

domaine 1D

Les ouvrages de dérivation et les liaisons latérales sont toujours maintenus inactifs dans

cette étape. Les niveaux piézométriques à chaque point de calcul sont obtenus par des

calculs de courbes de remous en régime permanent le long de chaque sous-réseau, en

partant de la condition à la limite aval et en remontant vers l’amont.

Cette procédure explique la nécessité, pour pouvoir démarrer les calculs, d’une

représentation arborescente de chaque sous-réseau (une seule condition à la limite aval de

type f(Q,Z)=0, une ou plusieurs conditions à la limite amont de type Q=0 en tête de réseau).

3) Troisième temps : Calcul des conditions initiales avec liaisons latérales actives

Cette dernière étape est automatiquement occultée par le programme en cas d’absence de

module de maillage ou de liaison. Dans le cas contraire, les liaisons latérales sont

progressivement activées par une procédure spéciale intégrée à HYDRA et un calcul

transitoire fictif est mis en œuvre jusqu’à ce que les cotes des seuils des liaisons latérales

aient atteint leur position définitive.

8.2.2 Calcul transitoire

Les variations de cote ∆Z sont calculées à chaque pas de temps en appliquant la méthode

décrite au paragraphe 8.2.

Les nouvelles cotes et les débits d’échange au temps n+1 sont directement calculés à partir

de la connaissance du vecteur {∆Z}.


8.3 PERFORMANCES DE LA METHODE UTILISEE

Le schéma de discrétisation a le grand avantage d’être inconditionnellement stable, c'est-à-

dire qu’il converge quels que soient la finesse de discrétisation spatiale et le pas de temps

adoptés.

Le fait de résoudre un système matriciel global à chaque pas de temps n’est pas un

problème dans la mesure où :

� Ce système ne met en œuvre qu’un seul degré de liberté, à savoir la cote d’eau à

chaque nœud ;

� La décomposition d’un modèle global en domaines disjoints facilite la renumérotation

interne des nœuds de façon à minimiser la longueur de bande de la matrice globale.

Afin de mieux contrôler le bon déroulement des calculs, HYDRA utilise une procédure de pas

de temps adaptatif ; le pas de temps est ajusté automatiquement pour limiter les variations

de cote d’eau à 10 cm et à tous les nœuds de calcul entre deux pas de temps. Cette

fonctionnalité contribue à renforcer significativement la robustesse des algorithmes.

Les temps de simulation obtenus sont pleinement compatibles avec les exigences pratiques

de gestion des projets. Ils varient pour un scénario de quelques secondes à une vingtaine de

minutes selon l’importance du modèle et la durée de l’épisode simulé. Les plus gros modèles

testés à ce jour atteignent 20 000 nœuds de calcul. Rien ne s’oppose à ce que cette taille

soit augmentée.


9 METHODE AFFINEE DE RESOLUTION POUR LE DOMAINE BIDIMENSIONNEL

9.1 FORMULATION ALTERNATIVE DU PROBLEME 2D

On souhaite développer une solution affinée dans domaine 2D, en résolvant les équations

de Barré de St Venant à deux dimensions par une méthode s’inspirant de celle présentée au

chapitre 2.

On utilise pour cela le même maillage que pour le domaine surfacique et la solution

recherchée est discrétisée au centre de chaque maille (ou pavé), où sont définies trois

inconnues :

- la cote d’eau Zi ;

- la composante horizontale de la vitesse ui ;

- la composante verticale de la vitesse vi.

Les équations de Barré de St Venant sont exprimées sous forme intégrale, avec un bilan de

masse et de quantité de mouvement pour chaque pavé i :

♦ Continuité :

0qdt

dZS

j

iji

i =+∑ (1)

♦ Quantité de mouvement projetée horizontalement :

( )0u.vuSC

2

1n

ρ

puq

t

huS i

2i

2if

ijx

ij

j

ijijii

i =++⋅++∂

∂∑∑ (2)

♦ Quantité de mouvement projetée verticalement :

( )0v.vuSC

2

1n

ρ

pvq

t

hvS i

2i

2if

j

ijy

ij

jijij

iii =++⋅++

∂

∂∑∑ (3)

avec :

ρ : masse volumique de l’eau

Si : surface du pavé

hi : hauteur d’eau au centre du pavé

qij : débit d’échange entre les pavés i et j, compté positivement de i vers j

pij : forces de pression appliquée sur la paroi via la frontière séparant les pavés i et j

ijn : vecteur normal à la frontière séparant les pavés i et j

uij, vij : composantes du vecteur vitesse à la frontière ij

Cf : coefficient de frottement sur le fond

x

y

ijn

nx

ij

ny

ij

x

y

ijn

nx

ij

ny

ij

Zi

ui

viqij

ijn

ii jjlij

i j


Les termes de pression sont calculés en supposant une profondeur moyenne constante

dans le pavé :

−=

−=

∑

∑

ijijy

ij

i

j

ijy

ij

ijijx

ij

ij

ijx

ij

l.n2

zz.h.gn

ρ

p

l.n2

zz.h.gn

ρ

p

(4)

Le débit d’échange entre deux pavés est calculé en appliquant localement le théorème de

Bernoulli le long de la ligne de courant qui traverse la frontière commune de ces deux pavés.

Ceci revient à considérer le système d’équation unidirectionnel localement.

On suppose connues la distribution du vecteur vitesse au centroïde du pavé i et la direction

ie du vecteur vitesse au centroïde du pavé i. De même pour le pavé j.

On calcule une direction moyenne ije en faisant la somme vectorielle pondérée des vecteurs

ie et je . ije fait un angle α avec la direction IJ.

Appliquons le théorème de Bernoulli le long de la ligne de courant I’J, sachant que la charge

en I’ est la même qu’au point I :

ij2jj

2iiII' L.αcos.Ju

2g

1Zu

2g

1ZHH ++=+== (5)

où : Lij : distance séparant les centroïdes de deux pavés

J : perte de charge linéaire par frottement

I Jjjii

Lign

e de

cou

rant

Lij

α

I’

ei

→ei

→

ej

→ej

→

eij

→eij

→


Les grandeurs |ui| et |uj| peuvent être approximées comme suit :

×=

×=

∗

∗

αcos

1

lh

qu

αcos

1

lh

qu

ijj

ij

j

iji

ij

i

(6)

où ∗ijl est la projection de la longueur de la frontière séparant les pavés i et j sur la normale à

la direction IJ.

∗ijl = A’B’

= projection de [AB] sur la perpendiculaire à (IJ)

La perte de charge J est exprimée sous la forme :

αcos

1

l

1

hK

q

hK

uJ

22ij3

102

2ij

34

2

2

⋅⋅==∗

(7)

où 2

hhh

ji += est la hauteur d’eau moyenne des deux pavés.

En substituant les différents termes dans l’équation de Bernoulli, on obtient :

( )( )

αcos

L

l

1

hK

q

hg

hh

αcosl

qZZ

ij

2ij3

102

2ij

3

ji

22ij

2ij

ji ⋅⋅=−

⋅−−∗∗

(8)

Si on néglige les termes convectifs, on obtient :

αcosL

ZZlhKq

21

ij

ji

ij3

5

ij

−= ∗ (9)

On retrouve bien la relation utilisée pour les régimes transitoires, à condition de

sélectionner : αcosK'K =

La formulation adoptée pour le domaine surfacique apporte une distorsion se traduisant par

une sous-estimation de la rugosité d’environ 12% lorsque α=45° (erreur maximum).

A

B

A’

B’

I

J

iij


En prenant en compte tous les termes, l’équation (8) peut également être mise sous la forme

classique :

ij

ij

342

2

ij

FjFi

2

l.h

qu

coshk

uj

L

ZZi

cos.gh

uFr

:oùFr1

ji

dx

dh

=

α=

−=

α=

−

−=

On retrouve l’équation classique du régime unidimensionnel entre I et J à condition de tenir

compte de l’angle entre le vecteur vitesse et le segment orienté IJ, lorsque cet angle est

différent de 0.

L’expression (8) peut être exprimée sous la forme générale :

qij = f (Zi, Zj, α) (10)


9.2 METHODE DE RESOLUTION

Le calcul de la solution est initialisé en partant de la solution simplifiée calculée à l’instant t

en régime transitoire. On fait une première estimation du vecteur vitesse au centroïde de

chaque pavé.

On procède en trois étapes de calculs à chaque pas de temps :

� Etape 1 : Calcul des cotes et débits d’échange. On suppose α connue et on substitue (10) dans (1). La discrétisation de l’équation de continuité conduit à un système linéaire analogue à celui construit pour le régime transitoire :

[KZ] ∆Z = f

La résolution du système matriciel permet de calculer les termes { }iZ et { }ijq partout.

� Etape 2 : L’équation de quantité de mouvement projetée horizontalement est

discrétisée en figeant les valeurs de iZ et ijq . On obtient un système linéaire de la

forme : [Ku] ∆u = fu

� Etape 3 : On répète la même opération pour l’équation de quantité de mouvement

projetée verticalement. On obtient :

[Kv] ∆v = fv

A noter que les trois matrices [KZ], [Ku] et [Kv] ont exactement la même structure en

lignes de ciel.

A l’issue des étapes 2 et 3, on dispose d’une nouvelle estimation du vecteur vitesse

au centroïde de chaque case et donc de l’angle d’incidence {α}.

Cette méthode présente les principaux avantages suivants :

� Elle nécessite de résoudre à chaque pas de temps 3 systèmes d’équations à 1 degré de

liberté et non 1 système d’équations à 3 degrés de liberté ;

� Elle permet de conserver les mêmes structures de résolution que celles adoptées pour

le régime transitoire : les implications pour le code ce calcul restent limitées.

� Elle est inconditionnellement stable.

� Elle s’intègre parfaitement à la méthode générale de résolution dans le cas d’un modèle

comportant des domaines différents, car l’étape 1 est compatible avec l’algorithme

général de résolution présenté au chapitre 2.

En pratique, la méthode de résolution affinée n’est mise en œuvre que durant un intervalle

de temps donné au cours de la simulation : les essais réalisés montrent que le passage de la

méthode générale de résolution à la méthode affinée au cours d’une simulation ne provoque

pas de perturbations numériques notables : la nouvelle solution converge au bout de

quelques pas de temps.


Il est à noter que le terme convectif figurant dans l’équation (8) est annulé dès que le nombre

de Froude annoncé dépasse la valeur 0,3 : les applications du domaine 2D présentent les

mêmes limites que celles noter pour le domaine 1D pour les applications fluviales

(cf. chapitre 2) ou l’assainissement (cf. chapitre 3).

10 SYNTHESE

Les méthodes de résolution présentées dans ce dossier pour le régime transitoire répondent

à la grande majorité des besoins pratiques qui se posent dans les domaines de la

modélisation fluviale et de l’assainissement : les approximations qui sont faites peuvent

localement distordre la solution mais les inconvénients qui en résultent sont mineurs en

regard des réponses recherchées et des performances de calculs visées.

Il faut néanmoins bien garder à l’esprit les conséquences des approximations qui sont faites :

les algorithmes retenus pour les régimes transitoires négligent en effet les termes convectifs

le long d’une ligne de courant quand ils deviennent significatifs. Cette approximation est

acceptable pour les classes de problèmes auxquels on s’intéresse mais elle devient illicite si

on doit modéliser des phénomènes rapidement variables tels que les ruptures de barrage,

les mouvements brutaux de vannes dans des canaux ou encore les fortes amplitudes des

marées dans certains estuaires pour lesquels on a pu observer l’apparition de mascarets : la

résolution de ces problèmes nécessite de complexifier les méthodes de résolution et de

gérer l’apparition possible de discontinuités qui se manifestent physiquement par des

intumescences. HYDRA très clairement n’intègre pas ces algorithmes au stade actuel de

développement.

En conclusion, il convient de garder un esprit critique sur les résultats fournis par la

modélisation de façon à les utiliser à bon escient et de bien circonscrire leur plage de

validité.

NNNNOYAU DE CALCUL D ’HYDRANET ET D -...

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