Notes   : Bloc 1 - Mathématique 11 e année (Parcours C)

1.1- Propriété des fonctions en général Fonction  : Une fonction est une relation où pour chaque valeur de ___, il n’y

a qu’une seule valeur de ___.) Domaine  : Le domaine (D) est l’ensemble des valeurs de ___ d’une relation.

La variable représentée par le domaine est la variable ____________________. Image  : L’image (I) est l’ensemble de tous les valeurs de ___ (ou ). La

variable présentée par l’image est la variable _____________________. Valeur initiale  : C’est la valeur de ___ lorsque _______. Elle est aussi appelée

ordonnée à l’origine (ou ). Cette valeur initiale est ___________.

Zéros  : C’est la(les) valeur(s) de ___ lorsque _______ (ou = 0). On les appelle aussi ________________, _______________ ou __________________. Graphiquement, il s’agit des valeurs de ___ pour lesquelles la courbe coupe l’axe des x. Il peut y avoir ___________ , _______________ ou _________________ abscisses.

Extrémum relatif  : C’est le maximum/minimum (le point le plus haut ou le plus bas) d’une fonction sur un certain intervalle [a ,b ].

Extrémum absolu  : C’est le maximum/minimum (le point le plus haut ou le plus bas) de la fonction au complet.

Équation de l’axe de symétrie  : Équation de la droite qui divise une courbe en deux parties _____________________ (_________________________)

Sommet   d’une fonction : Point sur le graphique de la fonction qui, s’il existe, est un extrémum absolu situé sur l’axe de symétrie.

1

Signe d’une fonction  : Le signe d’une fonction indique sur quels intervalles du domaine l’image est soit ou . Les figures ci-dessous apportent plus de précisions.

Intervalle de croissance et décroissance (variation) d’une fonction  : La variation d’une fonction indique sur quels intervalles la fonction est croissante ou décroissante. Les figures ci-dessous apportent plus de précision.

2

Exemple 1 : Soit la représentation du graphique de la fonction f ci-dessous. Détermine…

a) Df  :

b) If  :

c) Les zéros de f :

d) La valeur initiale de f :

e) Les maximums relatifs de f :

f) Le minimum absolu de f :

g) Les intervalles où f est croissante   :

h) Les intervalles où f est strictement décroissante   :

i) Les intervalles où f est positive   :

j) Les intervalles où f est strictement négative   :

k) Explique pourquoi f n’a pas de maximum absolu.

3

Exemple 2 : Un employé de la ville doit vider un réservoir d’eau. Pour ce faire, il doit y ajouter un liquide afin de créer une réaction chimique. La quantité totale de liquide (f(x), en litres) du réservoir en fonction du temps écoulé (x, en minutes) est représenté dans le graphique suivant.

a) Selon le contexte, que représente le domaine de la fonction?

b) Selon le contexte, que représente l’intervalle où la fonction est strictement croissante ?

c) Selon le contexte, interprète la valeur initiale de cette fonction.

d) Pendant combien de temps l’employé a-t-il laissé réagir le produit ?

e) Que s’est-il passé 5 minutes après le début de l’opération ?

1.2 Propriétés de la fonction quadratique4

Un joueur de football décoche une passe à un de ses coéquipiers sur le terrain. On décrit la hauteur h(t) du ballon de football (en pieds) en fonction du temps t, (en secondes), par l’équation : h(t) = -0,25(t – 6)2 + 16.

a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon de football ?

b) Après combien de secondes le ballon atteint-il cette hauteur maximale ?

c) Quelle est la valeur initiale dans ce problème et que représente-t-elle ici ?

d) Sur quel intervalle le ballon est-il en ascension ?

e) Pendant combien de secondes le ballon est-il dans les airs ?

f) Quelle était la hauteur du ballon à la :i) 2e seconde ? ii) 7e seconde ? iii) 10e seconde ?

g) Après combien de secondes le ballon était-il à une hauteur de 15 pieds ?

5

6

 y = (x – )2 +   - forme canonique (ou forme ____________________)

Une fonction quadratique est une fonction déterminée par un polynôme de second degré. Ex.  : y = x2, f(x) = 2x2 + 4, y = -2(x – 3)2 – 4

L es paramètres a , h et k de la forme canonique

a

h

k

Ex. : Remplis le tableau ci-dessous.

Équation canonique Ouverture Sommet Axe de symétrie Extremum Domaine Image

1) y = x2

2) y = – x2 – 3

3) y = 4(x + 3)2

4) y = – ½(x – 4)2 + 1

*** Les graphiques des # 1 et 2 sont congruents (mêmes largeurs), mais ils occupent des positions différentes sur le plan cartésien.

Ex. :

7

Ex. 1 : Trace les paraboles suivantes. Détermine ensuite le domaine, l’image, les coordonnées à l’origine, le signe ainsi que les intervalles de croissance et décroissance.

a)y = -2(x + 2)2 + 2

b) y = ½(x – 3)2 – 8

8

D =

I =

Abs. :

Ord. :

+ :

- :

Croiss. :

Décr. :

D =

I =

Abs. :

Ord. :

+ :

- :

Croiss. :

Décr. :

Ex. 2 : Détermine le domaine, l’image, les coordonnées à l’origine, le signe ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance des paraboles définies par les équations suivantes.

a) y = –2(x – 5)2

b) y = (x + 5)2 -16

c) y = 2(x + 3)2 + 1

9

D =

I =

Abs. : Ord. :

+ :

- :

Croissant :

Décroissant :

D =

I =

D =

I =

Abs. : Ord. :

+ :

- :

Croissant :

Décroissant :

Abs. : Ord. :

+ :

- :

Croissant :

Décroissant :

Détermination de la règle (équation) d’une fonction quadratique ( , , )

Ex. 3   :

a) y = b) c)

Ex. 4: Écris une équation de la parabole dont le sommet est le point (-1, 4) et qui passe par le point (-2, 2).

Ex. 5 : Écris une équation de la parabole qui est congruente à y = 3(x + 4)2 – 5 et qui a son maximum au point (2, -8).

10

Ex. 6   : Application

Au football, un quart arrière passe le ballon à un receveur posté 40 m plus loin. On peut représenter la trajectoire du ballon par la fonction :

h(d) = -0,01(d – 20)2 + 6

où h(d) est la hauteur du ballon, en mètres, et d est la distance horizontale entre le ballon et le quart arrière.

a) Quelle est la hauteur maximale du ballon ?

b) Quelle est la distance horizontale entre le ballon et le quart arrière au moment où le ballon atteint sa hauteur maximale?

c) Quelle est la hauteur du ballon au moment où le quart arrière le lance ? Au moment où le receveur l’attrape ?

d) Un demi-défensif se trouve à 2 m devant le receveur. À quelle hauteur le demi défensif devrait-t-il sauter pour intercepter la passe?

11

Complétion du carré d’équations quadratiques y = ax 2 + bx + c (a = 1)

La complétion du carré est une méthode qui nous permet de passer de la forme générale d’une fonction quadratique (y = ax2 + bx + c) à la forme standard ou canonique (y = a(x – h)2 + k). La forme standard est beaucoup plus pratique pour la représentation graphique.

Ex. 1 : Réécris les fonctions ci-dessous sous la forme standard.

a) y = x2 + 8x + 2 b) y = x2 – 10x c) y = x2 – 9x + 3

2 e méthode   : Raccourci Il est possible de trouver les coordonnées du sommet (h, k) à l’aide de la règle suivante. On peut ainsi écrire l’équation sous forme canonique.

h=−b2a et k=4ac−b2

4 a

Ex. 2 : Réécris les fonctions ci-dessous sous la forme standard.

a) y = x2 + 8x + 2 b) y = –1,5x2 – 2,4x + 3

c) y = 5x – 3x2 d) y = ½ x2 - 3x + 5

12

Ex. 3 : On peut représenter la trajectoire parabolique d’un avion qui simule l’apesanteur grâce à l’équation quadratique suivante :

h(t) = –10t2 + 300t + 9750

où h(t) représente l’altitude de l’avion, en mètres, et t, le temps écoulé depuis le début des conditions d’apesanteur, en secondes.

a) Trouve l’altitude maximale atteinte par l’avion.

b) Trouve le nombre de secondes que dure la simulation, si l’apesanteur se termine à la même altitude qu’elle commence.

c) Pour quel intervalle l’avion est-il en ascension ? en descente ?

d) Quelle était l’altitude de l’avion au début du phénomène d’apesanteur ?

e) Après combien de temps l’avion était-il à une hauteur de 11   510 m ?

f) À quelle hauteur l’avion se trouvait-il après 12 secondes ?

13

Ex. 4 : Trouve deux nombres dont la différence est 8 et dont le produit est un minimum.

Ex. 5 : M. Lajoie décide de mettre une piscine dans la cour arrière de sa maison. Il doit entourer celle-ci d’une clôture pour des raisons de sécurité. Il achète 80 m de clôture qu’il devra utiliser pour construire trois côtés de la clôture puisque la maison servira comme clôture pour le quatrième côté. Il veut avoir le plus d’espace possible.

Quelles dimensions correspondent à une aire maximale et quelle est l’aire maximale?

14

Ex. 6 : On vend des programmes informatiques aux élèves à raison de 20 $ chacun, et 300 étudiants sont prêts à les acheter à ce prix. Pour chaque augmentation de 5 $ du prix, il y a 30 étudiants de moins qui sont prêts à acheter le logiciel.

Revenu = (prix)(# de ventes)Revenu = ( )( ) où x = le nombre d’augmentations de 5$ du prix

Quel est le revenu maximal?

1.3 Intérêt simple et intérêt composé (RAS 2.3) L’intérêt simple est l’intérêt calculé sur un montant une fois par année.

L’intérêt composé est l’intérêt versé à intervalles réguliers et ajouté au capital pour la période d’intérêt suivante.

Comparaison entre l’intérêt simple et composé pour un capital de 5000 $ à du 6%

15

Épargnes calculés à intérêt composé

Année Capital ($) Intérêt ($) Montant final ($)

1 5000 300,00 53002 5300 318,00 56183 5618 337,10 5955,084 5955,08 357,30 6312,385 6312,38 378,74 6691,12

Épargnes calculés à intérêt simple

Année Capital ($) Intérêt ($) Montant

final ($)1 5000 300,00 53002 5000 300,00 56003 5000 300,00 59004 5000 300,00 62005 5000 300,00 6500

Dans le graphique ci-contre, on retrouve la comparaison graphique des valeurs des deux placements à long terme. Plus on avance dans le temps,plus l’écart s’accroit. L’intérêt simplese modélise à l’aide d’un fonction affine (une droite) tandis que l’intérêt composése modélise à l’aide d’une fonction exponentielle.

La formule pour calculer l’intérêt simple est :

Ex. 1 : Quel sera l’intérêt sur 5000 $ à du 8% :

a) au bout de 30 mois ? b) au bout de 150 jours ?

*** tableaux importants

Période d’intérêt # périodes/annéeTaux

d’intérêt/période

Semestrielle

Trimestrielle

Mensuelle

16

Quotidienne

Hebdomadaire

Annuelle

La formule pour calculer l’intérêt composé est  :

où Ex. 2 a): Tara a 50 000 $ à placer. Le taux d’intérêt actuel est de 4% par année, capitalisé annuellement. Quel est le montant final qu’elle aura au bout de 5 ans?

b) Michel investit 12 500 $ à un taux annuel de 8%, composé mensuellement. Combien d’intérêt aura-t-il accumulé dans 4 ½ ans ?

c) Un montant de 1500 $ est placé à un taux annuel de 5%, capitalisé par semestre. Combien vaudra-t-il au bout de 42 mois ?

17

Ex. 3 : Un héritage a été placé dans un compte à un taux annuel de 6 %, capitalisé trimestriellement. Au bout de 3 ans et demi, le certificat vaut 24 635,11 $. Quelle était la valeur de l’héritage ?

18

Ex. 4 : Détermine le taux d’intérêt annuel composé mensuellement pour un investissement de 100$ rapporte 25 $ d’intérêts en 4 ans.

Inflation et dépréciation Inflation : augmentation, accroissement, etc… Dépréciation : diminution, perte de valeur, etc…

Ex. 1 : Thomas a payé 9000$ pour un timbre rare. On lui a donné la garantie que la valeur du timbre augmenterait de 15% par année. Quelle sera la valeur du timbre dans 5 ans ?

Ex. 2 : Une campagne antitabac vise à réduire de 5% par année le nombre de jeunes fumeurs. Pour une région donnée, le nombre de jeunes fumeurs s’élève à 850 et la campagne atteint l’objectif visé.

Combien de jeunes fumeurs y aurait-il dans 3 ans ?

19

Ex. 3 : Le nombre de personnes dans un club de marche est passé de 45 à 66 en 4 ans. Quel a été le taux d’accroissement durant cette période ?

1.4 - Les systèmes d’équations linéairesGraphiquesy = mx + b Pentes des droites

(m)ordonnées à l’origine

(b)Nombre de solutions

Différentes, sauf si les droites se coupent sur un axe ou à l’origine

Résolution graphique d’un système d’équations linéaires

Ex. 1   : Résous graphiquement le système d’équations suivant :

2y – 3x = 14 et y + 2x = 0

20

Méthodes algébriques de résolution de systèmes d’équations linéaires

Ex. 2 : Résous les systèmes d’équations suivants.a) 5x – 3y – 2 = 0 b) 3x + 2y = 2 7x + y = 0 4x + 5y = 12

c) 2x – 3y = 5 d) 2x – 3y = 5 2x – 3y = 4 4x – 6y = 10

Ex. 3 : Trouve les valeurs de a et k afin que la parabole d’équation y=a ( x−1 )2+k passe par les points (2, 6) et (3, 12).

Ex. 4 : Détermine l’équation de la parabole illustrée dans la figure suivante.

21

Systèmes d’équations à 3 variables

Ex. 5 : Résous algébriquement le système suivant.

4x + y + z = 52x – y + 2z = 10x – 2y – z = 2

Ex. 6 : Dans un triangle, la somme du premier et du deuxième angle est égale à 140°

de plus que le troisième angle. On sait également que le double du premier angle additionné au deuxième angle est égal à 10 fois le troisième angle.

Quelle est la valeur de chaque angle?

22

23

1.5 Les systèmes d’inéquations linéairesEx. 1 : Résous chaque inéquation et représente graphiquement.

a) 3 y4

+ y2≥5

b) 2x – 4y < 4

Ex. 2 : Détermine l’inéquation pour les ensemble-solutions représentés ci-dessous.

a) b)

24

Attention !

Ex. 3 : Le personnel d’une bibliothèque veut planter des fleurs sur leur terrain. La serre du village vend des caisses d’œillets à 5 $ chaque et des caisses de pétunias à 6 $ chaque, toutes deux taxes incluses. Le personnel de la bibliothèque dispose d’un maximum de 60 $ pour acheter les fleurs.

a) Écris une inéquation qui décrit le nombre de caisses d’œillets et le nombre de caisses de pétunias que les employés peuvent acheter.

b) Indique les restrictions qui s’appliquent aux variables.

c) Représente graphiquement la situation.

d) À partir du diagramme, détermine 4 combinaisons possibles que les employés pourraient acheter.

e) Serait-il possible d’acheter 8 caisses d’œillets et 4 caisses de pétunias ? Pourquoi ?

25

Ex. 4 : Résous graphiquement les systèmes ci-dessous.

a) 3x + 2y ≤ 6 b) y ≥ 2x – 1

6x – 3y ≥ 12 y < -x + 5

y < x4 – 4 x > –2

c) x ≤ 4 y ¿−2 x ≥ 0 y ≤ 0 Ex. 5 : Détermine les inéquations pour le système ci-dessous.

26

1.6 Factorisation1. Facteur commun (rappel)

a) 7c2 + 14c3 – 21c5 b) 4a (c² – 9) – 7(c³ – 9c) c) a² + 3ac – 2ab – 6bc

2. Différence de deux carrés (rappel)

a) b2 – 16 b) 25x2 – 144y2 c) 3w2 – 75 d) x4 – 1

3. Trinôme ax 2 + bx + c

a) 2n2 + 13n + 15 b) z2 – 6z – 7 c) 2m2 + 12m + 18

d) 3p2 + 10p + 8 e) x4 + x2 – 90 f) 6x2 – 17xy + 5y2

27

1.7   : Résolution d’équations quadratiques par la factorisation Ex. 1: Résous les équations suivantes (trouve les ).

a) x2 + 3x – 28 = 0 b) 3x2 + 15x = 0 c) 25a2 – 9 = 0

d) (x + 2)² - 2x = 7 e) 2x2 + 3 = 5x + 1

Ex. 2 : Formule une équation quadratique dont les racines sont :

a) -1/2 et 4/3 b) 0 et –4

28

Ex. 3 : La longueur d’un terrain de soccer mesure 20m de moins que le double de sa largeur. L’aire du terrain est de 6000m2.

Quelles sont les dimensions du terrain?

Ex. 4 : Avant d’encadrer une photographie de 10 cm sur 5 cm, on doit l’entourer d’une bordure. La largeur de la bordure doit être la même de chaque côté de la photographie. L’aire de la bordure doit mesurer le double de l’aire de la photographie.

Quelle est la largeur de la bordure ?

29

Ex.5 : Application

a) Détermine l’équation générale de la parabole qui passe par les points (2, 5), (3, -2) et (-2, -7).

b) Pour quelle(s) valeur(s) de x la valeur de y sera-t-elle de 5 ?

30

1.8   : Résolution d’inéquations quadratiques Ex. 1 : Résous x2 – 2x – 15 > 0.

Ex. 2 : Résous 2x2 + x – 6 < 0.

Ex. 3 : Résous –9x2 + 25 ≤ 0

31

•

corde

diamètre

rayon

centre

•O

A

•B

C D

O

E

F

•

A B

C

D

12 cm 7 cm

x

2x•

1.9 - Les relations métriques

Les cordes

La médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle.Définition de médiatrice :

Si deux cordes sont congruentes, elles sont équidistantes du centre d’un cercle.

Si AB = CD, alors EO = FO

Ex. 1 : Trouve la longueur du côté AB.

Les angles et les arcs La mesure de l’angle au centre est égale au double de la mesure de

l’angle inscrit sous-tendu par le même arc.

32

x x

A

B

DC

•

•A B

C

•

70˚

105˚1

2

Les angles inscrits sous-tendus par le même arc, ou par des arcs égaux, sont congruents.

L’angle inscrit sous-tendu par un demi-cercle est un angle droit.

Ex. 2 : Détermine les mesures des angles 1 et 2.

Énoncés supplémentaires

La mesure de l’arc de cercle, en unités de longueur, est proportionnelle à l’angle au centre. Elle est déterminée par la relation :

Longueurde l ' arcCirconférence

=Mesure de l'angle aucentre360 °

La mesure de l’aire d’un secteur est proportionnelle à l’angle au centre. Elle est déterminée par la relation :

Airedu secteurAire ducercle

=Mesure de l' angleau centre360 °

33

Ex. 3 : Un asperseur pivote vers la droite puis vers la gauche en décrivant à chaque fois un angle de 100°. Le rayon du jet d’eau est ajustable.

a) On ajuste l’asperseur de façon à ce que l’eau soit projetée à une distance maximale de 25 mètres. Quelle est la longueur de l’arc du secteur irrigué, au mètre près ?

b) On veut être en mesure d’arroser 126 m2 de gazon. Quelle doit être la distance maximale de projection de l’eau, au mètre près, afin d’y arriver?

34