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Cinématique V – Torseur cinématique - p.1

TORSEUR CINEMATIQUE

I – Rappel : le torseur cinématique

1. Composantes vectorielles du torseur cinématique

Dans le chapitre II cinématique du solide – mouvements simples nous avons mis en évidenceque le mouvement quelconque d'un solide S dans un repère R, est composé de deux éléments : larotation et la translation.

Un champ de vecteurs uniforme caractérise la vitesse globale de rotation du solide, et un champde vecteurs équiprojectif, représente les vitesses linéaires des points du solide.

La conséquence de l'équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse, est que ce champ devecteurs est aussi le champ de moment d'un torseur le torseur cinématique .

Il nous reste à démontrer ce qui a été admis jusque là, que la résultante de ce torseur est bien levecteur vitesse angulaire.

2. Relation fondamentale des moments

Soit un solide S animé d'un mouvement quelconque par rapport à un repère R0. Soit un repèreR, lié à S d'origine OS.

x0

y

y0

OS

x

O

z0z

M

2.1. Expression générale du vecteur vitesse d'un point

Déterminons l'expression de la vitesse absolue d'un point M de ce solide, il faut pour cela utiliserla dérivation composée :


2.2. Relation entre deux vecteurs vitesse

Soit N, un second point du solide S. Ecrivons la relation définie ci-dessus au point N :

MN)R/R()R/S,M(V)R/S,N(V

MN)R/R(MO)R/R()R/O(V)R/S,N(V

)MNMO()R/R()R/O(V)R/S,N(V

NO)R/R()R/O(V)R/S,N(V

000

0S00S0

S00S0

S00S0

∧Ω+=

∧Ω+∧Ω+=

+∧Ω+=

∧Ω+=

On reconnaît la relation fondamentale des moments du torseur cinématique, avec pour résultantele vecteur vitesse angulaire du solide S dans R0.

avec :

3. Composantes scalaires du torseur cinématique

Comme tout torseur, le torseur cinématique a six composantes scalaires dans un repère donné R.Les notations utilisées pour ces composantes sont les suivantes :

p, q, r , composantes du vecteur vitesse angulaire ;u, v, w, composantes du vecteur vitesse linéaire ;

R,A

A

w

v

u

r

q

p

)R/S(V

=

Dans une chaîne de solides, avant analyse cinématique, on peut définir le torseur cinématique dechaque liaison. Les composantes du torseur d'une liaison cinématique sont inconnues a priori. Cesont les inconnues cinématiques de la liaison.

II - Caractéristiques du torseur cinématique

1. Invariants d'un torseur

Soit le torseur défini par AA

AM

RT

= . On appelle "Invariant" d'un torseur, une quantité qui

reste constante quel que soit le point d'expression considéré.

# La résultante est un invariant vectoriel, par définition ;

# steBAS CRMRMI =⋅=⋅= : le produit scalaire des deux éléments de réduction d'un torseur est

un invariant scalaire. La projection du vecteur moment sur la résultante est constante.

2. Axe central d'un torseur

L'axe central d'un torseur est la droite ∆ telle que quel que soit I ∈ ∆, la résultante , et levecteur moment en I du torseur sont colinéaires. Soit I ∈ ∆, MMMMI = λλλλ RRRR. λ est le pas du torseur,homogène à une longueur.


La détermination de l'axe central d'un torseur dans le cas général sera vue en statique.Considérons le torseur cinématique du mouvement du solide S en mouvement par rapport à un

repère R : A

A)R/S)R/S,A(V

)R/S(V

Ω=

Soit Q un point de l'axe central du torseur cinématique du mouvement de S alors :

λ pas du torseur

Soit Q0 point de l'axe central, projeté orthogonal de A sur ∆ :

2S

2)R/S(

I

)R/S(

)R/S,A(V . )R/S(

Ω=

Ω

Ω=λ 2o)R/S(

)R/S,A(V)R/S(AQ

Ω

∧Ω=

L'axe central est parallèle au vecteur résultante. Il est appelé "axe instantané de rotation etde glissement".

3. "Image" du torseur cinématique

4. Axoïdes d'un mouvement

On considère toujours S un solide en mouvement par rapport à un repère R. Les surfacesgénérées par ∆ dans les repères respectivement liés à S et à R sont les axoïdes du mouvement.

Les deux surfaces axoïdes sont tangentes suivant ∆. Leur mouvement relatif est une rotationinstantanée d'axe ∆ combinée à un glissement instantané suivant ∆. Les axoïdes sont pour unmouvement spatial ce que sont la base et la roulante pour un mouvement plan.


Exemple : un cylindre C roule sans glisser sur un plan incliné P.

En I, et sur tout point de la génératrice de contact, V(I,S/R) = 0. Ainsi l'axe central du torseurcinématique est D, dirigé par la génératrice de contact. Dans ce cas particulier, il s'agit d'un axeinstantané de roulement.

Les axoïdes sont : le plan P, et le cylindre C.

P

C∆

Torseur cinématique exprimé en I :

I

III – Torseurs cinématiques des mouvements particul iers

1. Mouvement de translation

Dans le cas du solide en translation, tous les points ont même vitesse linéaire, il n'est alors plusindispensable de préciser le centre d'expression du torseur. Il s'agit d'un torseur "moment pur", toutpoint de l'espace est central.

2. Mouvement de rotation

Dans le cas du solide en rotation, tous les points de l'axe de rotation ont une vitesse linéairenulle. Ainsi lorsque le centre d'expression du torseur cinématique est pris sur l'axe de rotation, letorseur s'écrit :

avec O, point de l'axe de rotation (ou centre…)

L'axe central est l'axe de rotation qui est alors permanent dans le cas d'une rotation d'axe fixe, ou quipossède un point fixe (l'axe de rotation est alors de direction variable).

3. Mouvement hélicoïdal

Dans le cas du solide en mouvement hélicoïdal, l'axe de l'hélice est l'axe central permanent, et lepas réduit de l'hélice donne la relation entre le moment et la résultante cinématique.

avec : (S/R)p )R/S,O(V rΩ±= , pr pas réduit : π

=2p

pr .

Remarque : le pas réduit de l'hélice est le pas du torseur.


IV – Composition des torseurs cinématiques

1. Composition cinématique

Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère R lui-même en mouvement dans unrepère R0. Soit M un point de ce solide. Nous avons vu dans le chapitre "Composition demouvements" que :

et

Ceci s'écrit de manière évidente sous forme de composition de torseurs cinématiques :

V(S/R0)M = V(S/R)M + V(R/R0)M

2. Application aux chaînes de solides ouvertes : li aison équivalente

2.1. Présentation : soient 1, 2 et 3, solides en liaison.

(1)L12

(2) (3)L23

La composition de mouvements s'écrit :

AAA )1/2(V)2/3(V)1/3(V +=

2.2. Liaison équivalente

En considérant n solides en chaîne ouverte, la liaison équivalente Léqu s'obtient en faisant lasomme des torseurs cinématiques des liaisons successives Li :

∑−

=

==1n

1iAiAAéqu ])L(V[)1/n(V)L(V

2.3. Mobilités de la liaison équivalente

Chaque liaison Li possède Nci inconnues de liaison. La mobilité cinématique d'une liaison est lenombre de ces inconnues (cela correspond au nombre de degrés de liberté).

Alors la mobilité cinématique de la liaison équivalente est la somme des inconnues cinématiquesde chaque liaison, on obtient le nombre d'inconnues cinématiques de la liaison équivalente :

∑−

=

==1n

1iCCiC NNm

2.4. Mobilités utiles mobilités internes

Lorsque dans une chaîne de solides, un solide peut se déplacer indépendamment des autressolides, son ou ses mouvements indépendants constituent des mobilités internes m i à la chaînede solides, en opposition aux mobilités utiles m u. On note alors :

mC = mu + mi


2.5. Exemple : ouvre barrière SINSUMATIC

Le système d'ouvre-barrière étudié est présenté sur le plande la page suivante. Destiné à l'ouverture de barrières, il utiliseun système de transformation de mouvement que nous allonspartiellement étudier. Le mouvement de rotation de l'arbre AS

(sortie d'un moto-réducteur), conduit à un mouvementalternatif de rotation, d'amplitude 90°. Cette rotationcorrespond à l'ouverture ou à la fermeture de la barrière.

# Le schéma cinématique du système de transformationde mouvement est donné ci-contre.

Les différentes liaisons du mécanisme sont :

Liaison 7/1 : liaison pivot d'axe Ax ;Liaison 7/6 : liaison rotule de centre B ;Liaison 3/6 : liaison pivot glissant d'axe Bu ;Liaison 3/2 : liaison pivot d'axe Cy2 ;Liaison 2/1 : liaison pivot d'axe Cz ;

# Torseurs des différentes liaisons

Considérons les pièces 3, 6 et 7 :(7)

Rotule decentre B

(6) (3)Pivot glissant

d'axe Bu

Rotule de centre B :

)y,v,u,B(67

67

67

A

2

0

0

0

r

q

p

)7/6(V

rrr

=

Pivot glissant d'axe B :

)y,v,u,B(

3636

A

2

0

0

u

0

0

p

)6/3(V

rrr

=

# Liaison équivalente : BBB )7/6(V)2/3(V)7/3(V +=

)y,v,u,B(

36

67

67

6736

)y,v,u,B(67

67

67

)y,v,u,B(

3636

A

222

0

0

u

r

q

pp

0

0

0

r

q

p

0

0

u

0

0

p

)7/3(V

rrrrrrrrr

+=

+

=

Conclusion :

# La liaison équivalente est une liaison sphère cylindre d'axe Bu.

# Analyse des mobilités : m = NC,L76 + NC,L76 = 3 + 2 = 5

mobilités utiles : mu = 4 ce sont les mobilités de la liaison équivalente ;

mobilités internes : mi = 1 c'est la rotation propre de la rotule 6.


3. Application aux chaînes de solides fermées : fer meture cinématique

3.1. Fermeture cinématique (cas d'un cycle)

Dans le cas d'une chaîne de solides fermée, on peut établir la fermeture cinématique . Lafermeture géométrique vue précédemment consiste à écrire une équation géométrique vectorielle,la fermeture cinématique consiste à écrire une équation "torsorielle" traduisant la composition desmouvements.

Soient 1, 2 et 3, solides en liaison, formant un cycle.

0 )1/3(V)3/2(V)2/1(V AAA =++

La fermeture cinématique conduit à l'écriture de 2équations vectorielles ou encore 6 équations sclalairesdans un repère donné.

(1)L13

(2)

(3)

L23

L12

3.2. Mobilités et hyperstatisme

# Soit NC, le nombre d'inconnues cinématiques : NC = Σ(NCi) somme des inconnues de liaisondes différentes liaisons du cycle.

# Soit mC l'indice de mobilité du mécanisme : il se décompose entre les mobilités utiles et lesmobilités internes.

mC = mu + mi

# Le système de 6 équations scalaires est de rang rC. Le rang d'un système d'équations est lenombre d'équations linéairement indépendantes. C'est aussi le nombre d'inconnues cinématiquesqui pourront être exprimées lors d'une résolution du système.

Alors les relations de mobilités et d'hyperstatisme s'écrivent :

mC = NC – rC (avec 6rc ≤ )

h = 6 – NC + mC

# Degré d'yperstatisme : il correspond au nombre de degrés de liberté supprimés en tropdans la chaîne cinématique. Concrètement il se traduira par des difficultés ou une impossibilité demontage, des contraintes de précision dans la réalisation des surfaces des liaisons (coût plus élevé).

Dans certains dispositifs il apporte plus de rigidité et de précision, ce qui améliore lesperformances d'une chaîne de solides.

3.3. Exemple : motorisation d'un axe de système ass ervi

On considère un axe de commande asservi dont la chaîne cinématique est représentée sur leschéma ci-après. L'ensemble est constitué d'un moteur à courant continu qui entraîne la vis 1.

Le chariot 2 en liaison glissière avec le bâti se déplace alors en translation.

Vis 1 : vis de pas p, filetage à droite.


y

zx

A B

C01 2

Graphe des liaisons :

(2) Hélicoïdale d'axe Ax

(0)

(1)

Pivot d'axe Ax

GlissièreDe direction x

Ecriture des torseurs :

)R,A(

10

A

0

0

0

0

0

p

)0/1(V

=

)R,A(

2121

A

0

0

u

0

0

p

)1/2(V

= avec 2121 p 2p

u

π=

)R,A(

20

A

0

0

u

0

0

0

)0/2(V

=

Remarque : c'est un cas particulier où les torseurs sont déjà tous écrits au même point.

La fermeture cinématique s'écrit au point A :

0)2/0(V)0/1(V)1/2(V AAA =++

# Equations :

=+=+

=−=+=+

=+

000

000

0uu

000

000

0pp

2021

1021

# Analyse cinématique :

Inconnues cinématique : NC = 3 ;

Mobilités : m = m u + m i = 1 + 0 = 1 ;

Hyperstatisme : h = 6 – 3 + 1 = 4

Analyse de l'hyperstatisme :

- la rotation de la vis autour de y et z est supprimée deux fois (glissière et pivot)soit deux degrés de liberté supprimés en trop (Ry et Rz)

- la translation de la vis suivant y et z est supprimée deux fois (glissière et pivot)soit deux degrés de liberté supprimés en trop (Ty et Tz)


# Résolution : 10212120 p 2p

p 2p

uuπ

−=

π== C'est la relation entre la vitesse de translation

de l'axe, et la vitesse de rotation de la vis.

3.4. Cas des chaînes de solides à plusieurs cycles

Rappel : nombre cyclomatique

Soient :

L : nombre total de liaisonsNCL : nombre de classes d'équivalencen : nombre de "solides actifs".

Alors : nL1NL CL −=+−=γ

Les relations de mobilités et d'hyperstatisme deviennent :

mC = NC – rC (avec γ×≤ 6rc )

h = 6 γ – NC + mC


EXERCICES D'APPLICATION

Ex. 1 – Treuil d'hélicoptère de secours en montagne

Présentation

Le treuil étudié équipe les hélicoptères de secours en montagne. Le mécanisme intègre unmoteur électrique, un frein de sécurité, un dispositif de roue libre, et un réducteur d'entraînement.Le réducteur comporte trois étages de réduction, un premier étage avec deux engrenages à axesfixes, et deux trains épicycloïdaux successifs. On propose de déterminer le rapport de réduction parune analyse cinématique, dans un premier temps graphiquement, puis analytiquement.

1. Analyse graphique des trains épicycloïdaux

Le premier train d'engrenage n'est pas pris en compte. On cherche donc le rapport de réductionentre 1 et 4'. D'autre part, on considère la situation pour laquelle 4 et 1' sont cinématiquement liés.L'étude graphique sera réalisée sur la figure réponse . Les différents points sont repérés sur lesfigures proposées question 2..

# Représenter )0/1,I(V ; prendre arbitrairement un vecteur de longueur 15 cm.

# Identifier le CIR du satellite 2, et représenter le champ des vecteurs vitesse de ce satellite.


# Représenter )0/2,O(V 2

# Représenter le champ des vecteurs vitesse du porte-satellites 4. En déduire le vecteur vitesse

)0/'1,J(V .

# Par une analyse similaire, déterminer graphiquement le champ des vecteurs vitesse du portesatellites 4'.

# Conclure en déterminant le rapport des vitesse 10

0'4

ωω=ρ .

2. Etude analytique

2.1 Etude du premier étage

L'arbre d'entrée est l'arbre moteur a ; il tourne, par rapport au bâti, à la vitesse ωa. L'arbre desortie est l'arbre d ; il tourne par rapport au bâti à la vitesse ωd. L'arbre intermédiaire i tourne parrapport au bâti, à la vitesse ωi.

On note le rayon primitif de chacun des pignonsra, rb, rc, rd.

ra=10mm ; rb=20mm ;

rc=10mm ; rd=20mm

# Déterminer littéralement le rapport de réduction R1=ωd/ωa de ce premier étage en fonction desrayons primitifs des pignons. Application numérique : calculer R1.

2.2 Etude du deuxième étage

L'arbre d'entrée de cet étage est l'arbre 1 etl'arbre de sortie est 4. Tous les éléments sontnumérotés sur le schéma. On note le rayon primitifde chacun des pignons r1, r2, r3.

La mesure algébrique de la vitesse de rotationde la pièce i par rapport au bâti 0 est notée ω

i, et la

mesure algébrique de la vitesse de rotation de lapièce i par rapport à la pièce j est notée ωij. R(O1,x, y, z) est un repère orthonormé direct lié au bâti.tel que l'axe (O1, z) est l'axe des liaisons pivotsdes arbres 1 et 4 par rapport au bâti 0.

a. Ecrire le torseur cinématique en O1 du pignon 1 par rapport à l'arbre 4.

b. Ecrire le torseur cinématique en O2 du pignon 2 par rapport à l'arbre 4.

c. I désignant le point de contact des pignons 1 et 2 sur les cercles primitifs. écrire la conditionde non glissement en I des pignons 1 et 2 en fonction de ω14, ω24 et des rayons r1 et r2.


d. De même, J désignant le point de contact des cercles primitifs du pignon 2 et de la couronne3, écrire la condition de non glissement en J du pignon 2 et de la couronne 3 en fonction de ω24,ω34, et des rayons r2 et r3.

e. En déduire la "raison basique" du deuxième étage : λ = ω14/ω34.

f. Sachant que ω3 = 0 (couronne 3 liée au bâti) exprimer le rapport ω4/ω1 en fonction de λ.

g. En déduire le rapport de réduction R2 = ω4/ω1, du deuxième étage en fonction des différentsrayons.

h. Application numérique: calculer R2, avec les données numériques suivantes :

r1 = 8 mm ; r2 = 16 mm ; r3 = 40 mm

2.3 Etude simplifiée du troisième étage

Le troisième étage peut être schématisé, pour simplifier, de la même manière que le deuxièmeétage.

a. Exprimer la raison basique λ' = ω1'4'/ω3'4' de cet étage et le rapport de réduction R3 = ω4'/ω1'

en fonction des rayons primitifs des différents pignons : r1', r2' et r3'.

b. Calculer la valeur numérique de λ' et de R3 avec les données numériques suivantes :

r1' = 14 mm ; r2' = 26 mm ; r3' = 66 mm

2.4 Rapport global de réduction

Sachant que l'arbre de sortie d du premier étage est l'arbre d'entrée 1 du second étage, quel'arbre de sortie 4 du second étage est l'arbre d'entrée du troisième étage et que l'arbre de sortie 4'du troisième étage est relié au tambour T.

Déterminer le rapport de réduction global du réducteur : R3 = ωT/ωa en fonction des rapports deréduction R1, R2, R3, et calculer sa valeur numérique. Comparer le résultat à la valeur déterminéegraphiquement.


Ex. 2 – Système d’agitation et de chauffage d'une enceint e thermostatée

Présentation

Reprenons l'exemple du système d’agitationprésenté Ch IV - §IV 2. Qui permet d'isolerles cellules de pancréas sous agitationpermanente.

La chaîne cinématique du dispositifd'agitation est présentée ci-dessous.

X0

y0

B

O3

O1

O2 z0

3

2

10

x3

x1

x2

θ1

θ2

θ3

1. Analyse cinématique

Procéder à l'analyse cinématique afin de déterminer le nombre d'inconnues cinématiques, lesmobilités et le degré d'hyperstatisme.

2. Loi entrée-sortie

2.1. Ecrire la fermeture géométrique,

2.2. Ecrire la fermeture cinématique de la chaîne de solide au point O1.

2.3. Trouver la loi d’entrée sortie.

Données :

121 x eOO = e = 26 mm ; 22 x bBO = b = 115,5 mm ;

33 x LBO = L = 200 mm 0013 y dx cOO −= c = 200 mm ; d = 112,5 mm


Treuil d'hélicoptère de secours en montagne – Figur e réponse

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