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Métrologie Nucléaire PHYSH-407 Titulaire: N. Pauly 1

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Métrologie Nucléaire

PHYSH-407

Titulaire: N. Pauly

1

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Organisation du cours

• Théorie: – 2 ECTS

– 4 questions de théorie lors de l’examen écrit → 60% de la note finale

– Slides disponibles sur http://metronu.ulb.ac.be/pauly_cours.html

• Laboratoires: – 3 ECTS (1 ECTS est pour PHYSH-405)

– Organisation: E. Gnacadja ([email protected])

– 25% de la note finale → Note de participation + Cahier de rapports

– 1 question lors de l’examen écrit → 15% de la note finale

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Références

• S. Tavernier, Experimental techniques in nuclear and particle physics, Springer-Verlag, 2010. Texte complet: http://www.springer.com/physics/particle+and+nuclear+physics/book/978-3-642-00828-3

• P. Sigmund, Particle penetration and radiation effects, Springer-Verlag, 2006. Texte complet: http://www.springer.com/physics/particle+and+nuclear+physics/book/978-3-540-31713-5

• R.D. Evans, The atomic nucleus, McGraw-Hill, 1995. Texte complet: http://www.archive.org/details/atomicnucleus032805mbp

• G.F. Knoll, Radiation detection and measurement (4 éd.), Wiley, 2010.

• W.R. Leo, Techniques for nuclear and particle physics experiments: a how-to approach (2 éd.), Springer-Verlag, 1994.

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Plan du cours Partie I: Rappels • Notions de relativité • Notions de statistique • Filiation radioactive

Partie II: Interactions des rayonnements ionisants avec la matière 1. Interaction des particules chargées avec la matière: Considération de base 2. Interaction des ions avec la matière 3. Interaction des électrons et des positrons avec la matière 4. Interaction des photons avec la matière 5. Interaction des neutrons avec la matière 6. Ionisations et excitations

Partie III: Détection des rayonnements ionisants

7. Propriétés générales des détecteurs 8. Détecteurs basés sur l’ionisation des gaz 9. Détecteurs basés sur l’ionisation dans les semiconducteurs 10. Détecteurs basés sur la scintillation 11. Détecteurs de neutrons 4

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Partie I: Rappels

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Rappels

• Notions de relativité

• Notions de statistique

• Filiation radioactive

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Postulats fondamentaux de la relativité

1. Principe de relativité ou principe d’invariance galiléenne (Poincarré, 1905): Les lois de la physique sont identiques, c’est-à-dire ont même expression mathématique, dans tous les référentiels inertiels ou référentiels galiléens (un référentiel inertiel est un référentiel dans lequel un objet isolé est en mouvement de translation rectiligne uniforme et les référentiels inertiels sont en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres)

2. Universalité de la vitesse de la lumière (Einstein, 1905): La vitesse de la lumière dans le vide est constante et isotrope et a même mesure dans tous les référentiels inertiels en mouvement relatif. Cette vitesse ne dépend donc pas de l’état de mouvement de la source (vitesse de la lumière: c = 299 792 458 ms-1 ≈ 3 108 ms-1)

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La masse m0 et la charge q d’une particule sont propres à celle-ci et donc invariantes pour un changement de repère inertiel

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Transformation de Galilée

Considérons un point P dans 2 référentiels inertiels: S et S’ (P est au repos dans S’)

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Le référentiel S’ se déplace à une vitesse v constante par rapport au référentiel S selon l’axe x → selon la transformation de Galilée (non-relativiste), on a pour tout P:

x

y

z

x'

y'

z' S S’

. P

Pour une particule de masse m0 et de vitesse v: T = m0v2/2 et p = m0v

Pas valable pour l’électromagnétisme

v

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Transformation de Lorentz (1)

9

x

y

z

x'

y'

z' S S’

. P

Pour des vitesses élevées (proches de c) → utilisation de la transformation de Lorentz (c est identique dans les 2 référentiels)

v ≈ c

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Transformation de Lorentz (2)

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avec

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Expression de ° en fonction de ¯

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Intervalle entre deux événements

• Dans un espace quadridimensionnel (3 coordonnées spatiales + le temps) → un événement est représenté par un point → point d’univers

• Une particule en mouvement décrit dans cet espace une ligne → ligne d’univers

• On définit l’intervalle s12 entre 2 événements 1 et 2 par

• À partir des postulats → s12 est le même dans tous les référentiels inertiels → invariant

• Pour 2 événements infiniment proches → intervalle ds →

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Quadrivecteur espace-temps

• Quadrivecteur espace-temps défini comme l’ensemble des composantes réelles ct, x, y, z → le carré de son module est défini par →

• S2 est donc invariant pour une transformation lorentzienne

• Considérons 2 référentiels inertiels S et S’ ayant comme origine des espaces et des temps le même événement E1→ si nous considérons un deuxième événement E2 avec comme coordonnées x,y,z,t dans S et x’,y’,z’,t’ in S’ (quadrivecteur espace-temps) → la forme quadratique

est un invariant 13

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Quadrivecteurs

• De manière générale → un quadrivecteur est un l’ensemble des composantes réelles x0, x1, x2, x3 qui se transforment, dans un changement de référentiel inertiel, comme les coordonnées espace-temps

• Ils ont comme propriété:

– Le carré de l’amplitude X2= x02 - x1

2 - x22 - x3

2 d’un quadrivecteur est invariant

– La combinaison linéaire de 2 quadrivecteurs est un quadrivecteur

– Le produit scalaire de 2 quadrivecteurs est invariant

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Dilatation du temps

• Considérons 1 point matériel avec une vitesse v (le long de x) mesurée dans le référentiel S → dans un intervalle de temps dt → il se déplace d’une distance dx →

• Pour un observateur dans le référentiel S’ → le point est fixe →

• ¢t’ = ¢¿0 est le temps propre du point matériel

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Pour un observateur au repos (dans S), l’intervalle de temps ¢t est toujours plus grand que le temps propre

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Exemple de dilatation du temps

• Au Fermilab, des pions ¼+ sont crées avec une énergie cinétique T = 200 GeV → ils se déplacent de 300 m avec une perte < 3%

• Cette perte est due à la désintégration du ¼+ → vie moyenne du ¼+: ¿0 = 26.0 ns (temps propre)

• Si cette vie moyenne était la même pour l’observateur du laboratoire (dans S) → la fraction de ¼+ survivants en d = 300 m avec une vitesse v ≈ 0.99 c serait →

• Mais à 200 GeV → ° = 1433 → ¿lab = °¿0 ≈ 37 ¹s →

16 cqfd

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Contraction de la longueur

• Un objet a une longueur fixe l0 (longueur propre) pour un observateur dans S’

• Un observateur au repos (dans S) voit cet objet se déplacer avec une vitesse v (parallèle à l’objet)

• La longueur dans S, l, est toujours plus petite que l0:

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La longueur d’un objet en mouvement est toujours plus petite que sa longueur propre

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Exemple de contraction de longueur

• Les muons cosmiques ¹ produits dans la partie extérieure de l’atmosphère par les rayons cosmiques (principalement des protons) ont une v ≈ c

• La vie moyenne d’un muon ¿¹ = 22 ¹s → Ils devraient se désintégrer après avoir parcouru une distance moyenne de d = c¿¹ = 660 m → aucun ne devrait atteindre la surface de la terre

• En réalité → contraction de l’épaisseur de l’atmosphère terrestre → avec ° ≈ 1000 → l’épaisseur de l’atmosphère de ≈ 10 km est « vue » par le ¹ comme ayant une épaisseur de ≈ 10 m

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Cinématique relativiste

• Une particule de masse m0, en mouvement avec une vitesse dans un référentiel inertiel au repos est caractérisée par:

- une quantité de mouvement

- une énergie totale E = °m0c2

- une énergie cinétique: T = E - m0c2 = (° - 1)m0c2

• Les relations suivantes existent entre E, T et p:

• Pour un photon ou un neutrino → v = c → E = pc

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Illustration géométrique des relations de cinématique

20

pc

pc

E

m0c2

T T + 2m0c2

2E

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Quadrivecteur énergie-impulsion

• Les 4 composantes E/c, px, py, pz forment le quadrivecteur énergie-impulsion

• Le carré du module du quadrivecteur énergie-impulsion est donc invariant dans un changement de référentiel inertiel

• Or dans un référentiel inertiel dans lequel la particules est au repos →

• On en déduit →

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Quadrivecteur énergie-impulsion pour un système de particules

• Considérons un ensemble de particules libres sans interaction → chaque particule est caractérisée par un quadrivecteur espace-temps et un quadrivecteur énergie-impulsion

• La résultante est aussi un quadrivecteur dont les composantes sont les sommes algébriques des quadrivecteurs énergie-impulsion des particules →

• Propriété des quadrivecteurs → invariance de P2 →

• Relation très utile pour l’étude la collision ou la désintégration de particules 22

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Exemple: désintégration d’une particule (1)

• Soit la désintégration A → B + C avec A initialement au repos dans le référentiel du laboratoire (qui s’identifie donc au référentiel du centre de masse) →

• L’invariance du quadrivecteur énergie-impulsion implique →

• On a de plus →

• Par soustraction →

• En divisant par

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Exemple: désintégration d’une particule (2)

• On obtient donc →

• Et finalement →

• Comme pB,C2 ≥ 0 → on en déduit mA ≥ mB + mC → mAc2 = mBc2 +

mCc2 + T avec T, l’énergie cinétique totale dans le système du centre de masse

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Exemple: Énergie de seuil (1)

• L’énergie de seuil de production de Q particules lors d’une collision inélastique est l’énergie cinétique minimale des N particules incidentes, permettant de créer des particules au repos dans leur référentiel du centre de masse

• Soit le cas de l’énergie cinétique minimale que doit posséder une particule de masse m1 entrant en collision avec une particule immobile de masse m2, pour former Q particules de masse mj

• Dans le repère du laboratoire, S, avant la collision →

• Dans le repère du centre de masse, S’, après la collision →

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Exemple: Énergie de seuil (2)

• Avec

• En notant

• Et en remplaçant →

• Pour la réaction entre 2 protons (l’un immobile) →

• Avec mp = 938 MeV/c2 → Tmin = 6 mc2 → Tmin = 5.63 GeV

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Remarque sur la limite relativiste

• Si la vitesse d’une particule est « proche » de la vitesse de la lumière → les relations relativistes doivent être utilisées pour la particule

• Que veut dire « proche » de la vitesse de la lumière ? → délicat à déterminer de prime abord

• Il est plus simple de considérer l’énergie cinétique de la particule T →

Si T > (1/200)m0c2 → les relations relativistes doivent être utilisées pour la particule (200 est un facteur arbitraire → dépend des applications et de la précision voulue)

• Exemples: pour un électron → (1/200)mec2 = 2.56 keV

pour un proton → (1/200)mpc2 = 4690 keV 27

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Notions de statistique

• Considérons un processus caractérisé par un nombre de succès x résultant d’un nombre d’essais n

• Chaque essai est un processus binaire pour lequel la probabilité de succès vaut p

• 3 modèles statistiques sont importants pour ce cours:

- La distribution binomiale

- La distribution de Poisson

- La distribution gaussienne (ou normale)

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Distribution binomiale

• La distribution binomiale est applicable à tous les processus caractérisés par une valeur constante de p

• Propriétés de la distribution binomiale :

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Distribution de Poisson

Elle résulte d’une simplification de la distribution binomiale sous les conditions que n est grand et p petit →

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Exemples de distributions de Poisson

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Distribution de Poisson pour les désintégrations nucléaires

4 conditions: - les atomes sont identiques

- les atomes sont indépendants

- la vie moyenne des atomes est longue

- le nombre d’atomes est élevé

→ la probabilité d’observer x désintégrations dans un intervalle de temps T:

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avec a le nombre moyen de désintégrations pur unité de temps → = aT

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Distribution des intervalles de temps: Distribution d’Erlang (1)

• La probabilité de n’avoir aucun événement dans un intervalle de temps [0,t] est e-at

• La probabilité d’avoir exactement 1 un événement en dt est adt

• La probabilité combinée d’observer la 1ère désintégration dans l’intervalle [t, t+dt] est

• f1(t) est la densité de probabilité de la variable aléatoire t définie comme le temps entre 2 désintégrations successives

• Détermination de la densité de probabilité fk(t) de l’intervalle de temps t entre 1 désintégration arbitraire et la kème suivante

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Distribution des intervalles de temps: Distribution d’Erlang (2)

• Soit Fk(t): la fonction de distribution cumulée (probabilité d’observer k désintégrations dans un intervalle de temps < t ou, de manière équivalente, d’obtenir au moins k désintégrations dans un intervalle de temps [0 t]):

• En sachant que:

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Exemples de distributions d’Erlang

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Distributions des intervalles de temps pour (□) k = 1; (o) k = 2; (∆) k = 3; ( ) k = 5; (◊) k = 7 et (+) k = 9

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Distribution gaussienne (ou normale) (1)

Si p est petit et que la valeur moyenne de la distribution est grande ( > » 20) →

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Supposition valable en toute situation pour laquelle on accumule un nombre relativement important d’événements pendant la mesure

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Comparaison Poisson - gaussienne

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Distribution gaussienne (ou normale) (2)

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Largeur à mi-hauteur (Full width at half maximum ou FWHM)

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Loi de filiation radioactive: constante de désintégration

• Soit ¸, la probabilité de désintégration par unité de temps → ¸ est appelée la constante de désintégration

• Par conséquent ¸dt est la probabilité de désintégration d’un noyau dans l’intervalle de temps dt

• Application de la distribution de Poisson → la probabilité de survie d’un noyau à l’instant t sachant qu’il existait en t = 0 →

• Si N0 est est le nombre initial (en t = 0) de noyaux non-désintégrés → le nombre de noyaux N(t) qui survivent en t est

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Demi-vie et activité

• La demi-vie T½ est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux présents est réduit de moitié →

• L’activité A(t) à l’instant t est définie comme le nombre moyen de désintégrations par unité de temps →

• L’unité d’activité est le becquerel (Bq) → 1 Bq = 1 désintégration par seconde (ancienne unité → le Curie (Ci) correspondant à l'activité de 1 g de 226Ra → 1 Ci = 3.7 £ 1010 Bq)

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Filiation radioactive (1)

• Supposons →

• Le nombre de X1 (« parent ») décroît selon la loi exponentielle →

• Le nombre de X2 (« fille ») s’accroît par désintégration du X1 et se désintègre avec une constante de désintégration ¸2 →

• Avec comme solution →

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Filiation radioactive (2)

• Le nombre de X3 évolue comme

• En pratique → mesures des activités A1 = ¸1N1 et A2 = ¸2N2 → en supposant N2(0) = N3(0) = 0 →

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et

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Equilibres (1)

• On constate que A1(t) est maximum en t = 0 et nulle en t = 1 et que A2(t) est nulle en t = 0 et t = 1 et → A2(t) passe par un maximum pour dA2(t)/dt = 0 →

• Ce maximum se produit lorsque les activités du parent et de la fille sont égale → A1(tm) = A2(tm)

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Equilibres (2)

• En tm → on parle « d’équilibre idéal »

• Le rapport des activités de X2 et X1 vaut →

• Pour t < tm → toujours A1 > A2

• Pour t > tm → toujours A1 < A2

• La relation spécifique entre parent et fille dépend des grandeurs relatives de leur constante de désintégration → 3 cas sont à considérer → 1. ¸2 < ¸1

2. ¸2 > ¸1

3. ¸2 À ¸1

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Non-équilibre: ¸2 < ¸1

• Les isotopes X1 se désintègrent plus vite les produits de filiation X2 → le rapport des activité augmente sans limite

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Exemple de cas pour lequel ¸2 < ¸1

• Désintégration du tellure métastable →

• On a donc → ¸1 = 2.31 10-2 h-1 et ¸2 = 3.59 10-3 h-1

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Équilibre transitoire: ¸2 > ¸1

• Le rapport des activité augmente avec le temps et tend vers une limite constante → pour t → 1:

• L’activité de la fille décroît à la même vitesse que celle du parent → cet équilibre de régime est appelé équilibre transitoire

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Équilibre séculaire: ¸2 À ¸1

• Le rapport des activité augmente avec le temps et tend vers 1 pour t → 1:

• Les activités du parent et de la fille deviennent égales → équilibre séculaire

• Exemple → désintégration du radium →

• On a donc → ¸1 = 1.18 10-6 j-1 et ¸2 = 1.81 10-1 j-1

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