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Méthode de Cross (sur base des notes de cours du Prof. R. Maquoi, Université de Liège) Prof. N. Boissonnade Chaire de Leadership en Enseignement sur les Charpentes Métalliques André-Picard Département de Génie Civil et de Génie des Eaux – Université Laval Québec, Canada [email protected]
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Méthode de Cross
(sur base des notes de cours du Prof. R. Maquoi, Université de Liège)
Prof. N. Boissonnade
Chaire de Leadership en Enseignement sur les Charpentes
Métalliques André-Picard
Département de Génie Civil et de Génie des Eaux – Université Laval
Québec, Canada
Objectifs et motivation
La méthode de Cross était la méthode « star » de la 2nde moitié du XXème
siècle pour la résolution de systèmes hyperstatiques
Elle permet avec relativement peu d’efforts de traiter des structureshautement hyperstatiques
Elle est particulièrement efficace pour les structures à nœuds fixes
Elle a été supplantée par la méthode des déplacements (ou des matrices derigidité ou méthode des éléments finis), essentiellement en raison del’essor des ordinateurs et des programmes de calcul
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Objectifs et motivation
Même si elle n’est plus tellement enseignée au niveau universitaire, elleconserve certaines vertus
Elle contribue en particulier à acquérir le « sens des Structures », c’est à-dire à sentir comment les structures résistent et se déforment
Pour ces raisons, il nous a semblé opportun pour les personnes désireusesde se spécialiser dans le domaine des Structures d’en avoir un aperçu
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Culture Structures – Méthode de Cross
1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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Culture Structures – Méthode de Cross
1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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1 – Introduction
La méthode de Cross est une application particulière de la méthode desrotations
Elle a été développée en 1930 par H. Cross (plusieurs variantes etadaptations ont par la suite été développées)
La méthode consiste à résoudre le système d’équations linéaires par latechnique de relaxation (approximations successives)
On négligera l’allongement et le raccourcissement des barres (hypothèsed’incompressibilité)
Il conviendra de distinguer les structures à nœuds fixes des structures ànœuds déplaçables
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Culture Structures – Méthode de Cross
1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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2.1 – Convention de signes
Comme dans le cas de la méthode des déplacements et de la méthode desrotations, la convention de signes adoptée pour la méthode de Cross est detype « déplacements » :
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RdM
Déplacements
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1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée
Pour la barre AB encastrée-appuyée ci-dessous, soumise à un momentd’extrémité MB, on peut montrer que le moment en A MA vaut : + 0.5 MB
Attention au fait que si en convention RdM le moment change de signesur la barre, ce n’est pas le cas en convention déplacements !
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A BMB
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1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud
Dans un système hyperstatique où plusieurs éléments sont connectésrigidement en un même nœud, on peut montrer que la répartition desmoments entre les barres arrivant au même nœud se fait au prorata desrigidités
« La rigidité attire l’effort »
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M
2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud
Chaque barre aboutissant au nœud apporte sa contribution à la rigidité(flexionnelle) totale du nœud :
On entend par raideur ou rigidité (flexionnelle) le facteur suivant :
R dépend donc :Du matériau (E)De la section (I)De la géométrie de la poutre (L)Des conditions d’appui (α)
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tot barreR R=∑
barreE IR
Lα ⋅
= ⋅
2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud
Pour une poutre bi-encastrée :
Pour une barre encastrée-appuyée :
Analogie du seau d’eau
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4 4barreE IR
Lα ⋅= ⇒ = ⋅
3 3barreE IR
Lα ⋅= ⇒ = ⋅
2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud
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On appelle coefficient de partage Πi (ou de distribution) à un nœud lerapport :
Où :Ri est la raideur de la barre considéréeΣ Rj est la somme des raideurs de toutes les barres aboutissant au nœud
ii
jj
RR
Π =∑
2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud
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Chaque barre possède pour chaque nœud un coefficient Πi
Πi représente l’apport relatif de raideur de la barre considérée au nœudétudié
Lorsqu’un moment M est appliqué au nœud considéré, un moment Mi naitdans la barre i à l’endroit du nœud, tel que :
i iM M= Π ⋅
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1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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2.4 – Principe de la méthode
Comme dans la méthode des déplacements/rotations, on commence parbloquer les déplacements des nœuds (intermédiaires) de la structure
Les seuls blocages effectués concernent les rotations des nœuds (on verraplus loin comment traiter le cas des structures à nœuds mobiles)
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2.4 – Principe de la méthode
La méthode consiste à débloquer UN nœud, tout en maintenant les autresbloqués
Sous l’effet des charges appliquées (nodales ou agissant entre nœuds), lenœud considéré n’est pas en équilibre
Il doit être « rééquilibré » par un moment d’équilibrage adéquat (le nœudsubit alors la rotation associée)
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2.4 – Principe de la méthode
Ce moment d’équilibrage se répartit au prorata des rigidités dans lesdifférentes barres associées au nœud
On rebloque ensuite le nœud, puis on en débloque un autre et on répète lamême procédure
On continue les itérations jusqu’à ce que le déséquilibre deviennenégligeable : tous les nœuds ont alors tourné jusqu’à leur position finale
Connaissant la rotation, on peut en déduire le moment associé (relationsforces-déplacements)
Cette procédure itérative est une résolution par relaxations d’un systèmed’équations linéaires (approximations successives)
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Culture Structures – Méthode de Cross
1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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3.1 – Méthodologie
Les différentes étapes à suivre pour déterminer les efforts internes dansune structure hyperstatique par la méthode de Cross sont les suivantes : A – Choisir les nœuds à bloquer et déterminer la structure de référence B – Déterminer les coefficients de partage Πi
C – Déterminer les moments attaquants D – Appliquer le schéma de Cross E – Déterminer le diagramme des moments (convention RdM) F – Déterminer les diagrammes de N et T
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3.1 – Méthodologie
Application à un cas concret
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q = 20 kN/m
6 m 9 m
5 m
4 m
A B C
E
D
2.1244 I 2.1244 I
0.7321 I
0.6188 I
3.1 – Méthodologie
A – Choisir les nœuds à bloquer et déterminer la structure deréférence
Le principe est le même que pour la méthode des rotations (structurecinématiquement déterminée de référence C0)
On identifie les nœuds (intermédiaires) que l’on va alternativementbloquer/débloquer
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3.1 – Méthodologie
B – Déterminer les coefficients de partage Πi
Où :Ri est la raideur de la barre considéréeΣ Rj est la somme des raideurs de toutes les barres aboutissant au nœud
Il faut calculer ce coefficient Πi :Pour chaque barre aboutissant au nœud considéréPour tous les nœuds (intermédiaires) que l’on va bloquer/débloquer
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ii
jj
RR
Π =∑
3.1 – Méthodologie
C – Déterminer les moments attaquants
On appelle « moments attaquants » les moments d’encastrement parfaitaux extrémités des barres engendrés par les charges appliquées (Matt)
Il s’agit des termes k3p et k6p pour une barre bi-encastrée, et k3p pour unebarre encastrée-appuyée
Ce sont ces moments qui créent un déséquilibre au nœud lorsqu’il estdébloqué
Ils résultent aussi bien des charges appliquées que de tassements d’appuis,dilatations, …
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3.1 – Méthodologie
D – Appliquer le schéma de Cross
Comme expliqué précédemment, il s’agit de débloquer UN nœud puis d’yappliquer un moment d’équilibrage de façon à ce que le nœud soit enéquilibre, càd tel que Σ Mint = Σ Mext
Σ Mint est la somme des moments internes au nœud (dans les barres)
Σ Mext est la somme des moments externes au nœud (charges appliquéesou moments transmis)
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Mext
Mint 2
Mint 3Mint 1
3.1 – Méthodologie
D – Appliquer le schéma de Cross
Le moment d’équilibrage (Méqui) est distribué au prorata des rigidités dansles différentes barres
On rebloque ensuite le nœud puis on en débloque un autre et ainsi de suite
Il s’agit d’un schéma itératif
Attention de ne pas oublier les moments transmis (Mtrans) aux nœudsadjacents (règle de transmission du moment) !
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3.1 – Méthodologie
D – Appliquer le schéma de Cross
Lorsque le moment de déséquilibre devient négligeable, on considère quel’équilibre est atteint (càd que le nœud est arrivé dans une configurationproche de sa rotation finale), et on arrête le schéma de Cross
Le moment dans la structure hyperstatique vaut :
(On rappelle que l’on travaille en convention déplacements !)
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( )att équi transnb itérations
M M M M= + +∑
3.1 – Méthodologie
E – Déterminer le diagramme des moments (convention RdM)
Recomposer le diagramme de moment à partir des valeurs nodalesdéterminées précédemment
Prendre en compte les charges appliquées entre nœuds : utilisation duprincipe de superposition
Attention à la convention de signe : « repasser » en convention RdM
Pour une barre AB :
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( ) ( )1A BRdM RdM
x xM x M M xL L
µ = − ⋅ − + ⋅ +
3.1 – Méthodologie
F – Déterminer les diagrammes de N et T
Les efforts normaux et tranchants sont obtenus par coupes successives auxdifférents nœuds de la structure, en y exprimant l’équilibre
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1 – Introduction 2 – Principes généraux et définitions
2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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3.2 – Calcul des rotations
L’application de la méthode de Cross offre la possibilité de calculerrapidement les rotations aux nœuds considérés dans le schéma de Cross
Chaque fois que l’on rééquilibre un nœud dans le schéma de Cross, ilsubit une rotation ∆φ
La rotation totale du nœud j de la barre ij est la somme des différentesrotations ∆φi engendrées par les différents moments d’équilibrage(soulignés) appliqués pendant les itérations du schéma de Cross :
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,équi ijnb itérations
tot inb itérations ij
M
Rφ φ= ∆ =
∑∑
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3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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4.1 – Méthodologie
Le cas des structures à nœuds déplaçables peut également être traité par laméthode de Cross, en ayant recours à un « artifice » basé sur le principede superposition
On commence par déterminer le degré de mobilité dmob de la structure
C’est le nombre de blocages simples d’ensemble (bielles) qu’il fauteffectuer pour que la structure soit à nœuds fixes
Dans cette « nouvelle » structure, on applique une première fois laméthode de Cross
On obtient un diagramme de moments (et aussi de N, T, …) MCross 0
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4.1 – Méthodologie
On étudie ensuite, toujours en appliquant la méthode de Cross, ladistribution des moments dans la structure à nœuds fixes dépourvue decharges extérieures mais à laquelle on fait subir un déplacement unitairede la bielle i
On obtient un diagramme de moment MCross i, et on parle d’état secondairei
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1
4.1 – Méthodologie
On répète l’opération autant de fois qu’il y a de bielles
On peut montrer qu’en vertu du principe de superposition, lecomportement réel de la structure (à nœuds mobiles) est une combinaisonlinéaire de ces comportements partiels
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x
1
4.1 – Méthodologie
La superposition des différents diagrammes de moment par exemples’écrit :
Les « inconnues » xi sont des constantes caractérisant l’intensité réelle desétats secondaires
En exprimant que dans la structure réelle l’effort normal dans une bielleest nul, on peut écrire dmob équations liant les états Cross 0 et Cross i
On se trouve en présence d’un système d’équations linéaires à dmobinconnues (les xi) dont la résolution permet de déterminer le diagrammede moments dans la structure réelle (à nœuds mobiles)
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01
mobd
réel Cross i Cross ii
M M x M=
= + ⋅∑
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2.1 – Convention de signes 2.2 – Transmission des moments le long d’une barre encastrée-appuyée 2.3 – Répartition des moments entre les barres aboutissant au même nœud 2.4 – Principe de la méthode
3 – Cas des structures à nœuds fixes – Méthodologie 3.1 – Méthodologie 3.2 – Calcul des rotations
4 – Cas des structures à nœuds mobiles 4.1 – Méthodologie 4.2 – Remarques
5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats 6 – Take home message
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4.2 – Remarques
Les coefficients xi apparaissent comme les déplacements réels des nœudsoù se trouvaient initialement les blocages simples
L’étude des états secondaires est indépendante des charges appliquées
Dans le cas où la structure est à nœuds déplaçables, il faut comparer lesdegré d’indétermination cinématique m au degré d’hyperstaticité h afin dedéterminer laquelle de la méthode des forces ou de la méthode de Cross(ou des rotations) est la plus rapide à appliquer
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5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats
On conservera 4 décimales pour le calcul des Πi (précision de l’ordre de1% dans le schéma de Cross)
A chaque nœud concerné par le schéma de Cross, on doit avoir Σ Πi =1.0000
Pendant le schéma de Cross : Commencer avec des moments attaquants de l’ordre de 1000 ou plus
Cross x10, x100, … (précision de l’ordre de 1% dans le schéma de Cross) Commencer par débloquer le nœud le plus déséquilibré (conv. plus rapide) Indiquer l’ordre de débloquage des nœuds Utiliser un code couleur : Matt Méqui Mtrans
Quand un nœud est en équilibre, souligner Ne pas descendre en dessous de l’unité (décimales) dans le schéma de Cross Arrêter le schéma de Cross à l’unité
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5 – Astuces de calcul et contrôle des résultats
Vérifier la continuité du moment aux nœuds du schéma de Cross
La somme des moments externes appliqués aux nœuds doit être égale à lasomme des moments internes (attention aux signes !)
Puisque seule une barre est nécessaire au calcul de la rotation à un nœud,il existe deux (ou plus) manières de calculer cette rotation : vérifications !
Tenir compte des éventuelles symétries/dissymétries de la structure ou duchargement permet de vérifier la cohérence générale et locale (nœuds,extremum) du diagramme des moments
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6 – Take home message
Dans un système hyperstatique où plusieurs éléments sont connectésrigidement en un même nœud, on peut montrer que la répartition desmoments entre les barres arrivant au même nœud se fait au prorata desrigidités
« La rigidité attire l’effort »
Cela signifie que dans une structure hyperstatique, les zones quiconcentrent de grandes rigidités sont des zones où les efforts internes sontimportants et donc déterminants pour le dimensionnement
En conséquence, il faut également savoir « assouplir » la structure
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