Informe Hardy Cross

7/24/2019 Informe Hardy Cross

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA

MTODO DE HARDY CROSS

PARA LA DETERMINACIN DEL REPARTO DE CAUDALES EN LAS REDES DEDISTRIBUCIN DE AGUA

Hardy Cross, naci en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y creador del

mtodo de clculo de estructuras conocido como mtodo de Cross o mtodo de

distribucin de momentos, concebido para el clculo de grandes estructuras de

hormign armado. ste mtodo fue usado con frecuencia entre el a!o 1"#5 hasta el

1"$%, cuando fue sustituido por otros mtodos. l mtodo de Cross hi&o posible el

dise!o eficiente y seguro de un gran n'mero de construcciones de hormign armado

durante una generacin entera.

(dems tambin es el autor del mtodo de Hardy Cross para modelar redes

comple)as de abastecimiento de agua. Hasta las 'ltimas dcadas era el mtodo msusual para resol*er una gran cantidad de problemas.

H(+- C+//


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PRIMEROS AO DE HARDY CROSS:[]

btu*o el t0tulo de achillerato de Ciencia en ingenier0a ci*il del 2nstituto de 3ecnolog0a

de 4assachusetts en 1"%8, y despus ingres en el departamento de puentes de loserrocarriles del 6ac0fico de 4issouri en /t. 7ouis, donde permaneci durante un a!o.

espus *ol*i a la academia de orfol9 en 1"%". :n a!o despus de su graduacin

estudi en Har*ard donde obtu*o el t0tulo de 4C en 1"11. Hardy Cross desarroll el

mtodo de distribucin de momentos mientras traba)aba en la uni*ersidad de Har*ard.

7uego traba) como profesor asistente de ingenier0a ci*il en la uni*ersidad de ro;n,

donde ense! durante < a!os. espus de un bre*e regreso a la prctica de

ingenier0a en general, acept un puesto como profesor de ingenier0a estructural en la

:ni*ersidad de 2llinois en :rbana=Champaign en 1">1. n la :ni*ersidad de 2llinois

Hardy Cross desarrollo su mtodo de distribucin de momentos e influy en muchos

)*enes ingenieros ci*iles. /us estudiantes en 2llinois tu*ieron con l un duro momentoargumentando por?ue l era dif0cil de escuchar.

MTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA:

tro mtodo de Hardy Cross es famoso por modelar flu)os de +ed de abastecimiento

de agua potable. Hasta dcadas recientes, fue el mtodo ms com'n para resol*er

tales problemas.

l recibi numerosos honores. ntre ellos tu*o un grado Honorario de 4aestro de

(rtes de la :ni*ersidad -ale , la medalla 7amme de la /ociedad (mericana para

ducacin en 2ngenier0a @1"AAB, la medalla ason del 2nstituto (mericano delConcreto @1"#5B, y la medalla de oro del 2nstituto de 2ngenieros structurales de Dran

reta!a @1"5"B.

MTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED:

l 4todo de (proEimaciones /ucesi*as, de Hardy Cross, est basado en el

cumplimiento de dos principios o leyesF

7ey de continuidad de masa en los nudosG 7ey de conser*acin de la energ0a en los circuitos.

l planteamiento de esta 'ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de cargao de prdida de energ0a, bien sea la ecuacin de Ha&en illiams o, bien, laecuacin de arcy eisbach.

7a ecuacin de Ha&en illiams, de naturale&a emp0rica, limitada a tuber0as dedimetro mayor de >, ha sido, por muchos a!os, empleada para calcular las prdidas

de carga en los tramos de tuber0as, en la aplicacin del 4todo de Cross. lloobedece a ?ue supone un *alor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la


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superficie interna de la tuber0a, lo cual hace ms simple el clculo de las prdidas deenerg0a.

7a ecuacin de arcy eisbach, de naturale&a racional y de uso uni*ersal, casinunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, por?ue in*olucra elcoeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, 9, de la superficie internadel conducto, y el n'mero de +eynolds, +, de flu)o, el ?ue, a su *e& depende de latemperatura y *iscosidad del agua, y del caudal del flu)o en las tuber0as.

Como ?uiera ?ue el 4todo de Hardy Cross es un mtodo iterati*o ?ue parte de lasuposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la 7ey de Continuidadde 4asa en los nudos, los cuales corrige sucesi*amente con un *alor particular, I,en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramosde la red. llo implica el clculo de los *alores de + y f de todos y cada uno de lostramos de tuber0as de la red, lo cual ser0a inacabable y agotador si hubiese ?uehacerlo a u!a con una calculadora sencilla. 4s a'n, sabiendo ?ue el clculo delcoeficiente de friccin, f, es tambin iterati*o, por aproEimaciones sucesi*a.

7o anterior se constitu0a, hasta hoy, en algo prohibiti*o u obstaculi&ador, no obstanteser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuber0as.

Hoy, esto ser no slo posible y fcil de e)ecutar con la ayuda del programa enlengua)e (/2C, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de lastuber0as y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la redcompletamente cuantas *eces sea con*eniente.

FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS:

l mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientesF

1. Le !e "#$%&$'&!(! !e )(*( e$ +#* $'!#*: 7a suma algebraica de loscaudales en un nudo debe ser igual a cero

jl

m

(Qij+qi )=0

D#$!e:

Ii)FCaudal ?ue parte del nudo i o ?ue fluye hacia dicho nudo.

?iF Caudal concentrado en el nudo i

m F 'mero de tramos ?ue confluyen al nudo i.

,. Le !e C#$*e-("&/$ !e +( e$e-0( e$ +#* "&-"'&%#*: 7a suma algebraica delas prdidas de energ0a en los tramos ?ue conforman un anillo cerrado debe

ser igual a cero.


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i=l , j=l

n

hfij=0

D#$!e:

hf i) F6rdida de carga por friccin en el tramo

n F 'mero de tramos del circuito i

C2LCULO DE REDES DE TUBER3AS

n esta acti*idad se *a a resol*er la red de tuber0as mostrada, utili&ando el mtodo

Hardy=Cross.

D(%#* !e+ 4-#5+e)(:

7ongitud de cada tramoF 1%%% m. imetro interior de las tuber0asF A%% mm. luido transportadoF agua. Viscosidad cinemticaF 1e=$ m>Js.


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De*"-&4"&/$ !e+ )6%#!#:

1KB L umerar los tramos de tuber0as y asignarles un sentido @esta eleccin esarbitrariaB. ste paso ya se ha hecho en el dibu)o.

>KB L legir las mallas y un sentido de recorrido @ya hecho en el dibu)oB.

#KB L (signar un *alor numrico a cada caudal de forma ?ue se cumpla laconser*acin de la masa en cada nodo. l signo del caudal es negati*o si se opone alsentido de recorrido de la malla.

AKB L Calcular el coeficiente C ide cada l0neaF

22

ii

KC A

=,

onde Mies el coeficiente de prdidas de carga lineales

i

LK f

D=

.

/e recomienda calcular el coeficiente de friccin con la frmula aproEimada

( ) 2.5

1.02 log Ref

=.

5KB L Calcular la correccin a los caudales de cada mallaF

0.5 i i i

i i

C Q QQ

C Q =

.

$KB L (plicar la correccin de cada malla a los caudales ?ue la componen. n el casode ?ue un caudal pertene&ca a dos mallas, la correccin de otras mallas tendr signonegati*o si el recorrido de la malla tiene distinto sentido ?ue en la primera malla. stasituacin ocurre con la l0nea 1.


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E7ERCICIOS

E8e-"&" 1:

esarrollar la eEpresin empleada en el estudio de de los caudales en redes detuber0aF

Qo

Qo

A B

CD

S#+'"&/$:

l mtodo del clculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en todaslas ramas de la red y a continuacin hacer un balance de las prdidas de cargacalculadas. n el laso o circuito 'nico, mostrado en la figura 1%, para ?ue los caudalesen cada laso de la rama sean el correcto se habr de *erificar

6ara aplicar esta eEpresin, la prdida de carga en funcin del caudal habr ?ue

ponerse en la forma, HL=k Qn

. n el caso de utili&ar la formula de Ha&en illiams,

la eEpresin anterior toma la forma HL=k Q1.85 .

Como se suponen unos caudalesQ

0 , el caudal *erdadero Q en una tuber0a

cual?uiera de la red puede eEpresarseQ=Q

0+

, donde es la correccin

?ue habr de aplicarse aQ

0 . ntonces mediante el desarrollo del binomio,

k Q1.85=k(Q0+ )

1.85

=k(Q01.85+1.85Q

0

1.851+)


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/e desprecian los trminos a partir del segundo pro ser tan pe?ue!os

comparado conQ

0 .

6ara el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuacin @2B se obtineF

k(Q01.85+1.85Q

0

0.85 )k(Q0

1.85+1.85Q0

0.85 )=0

k(Q01.85

+1.85Q0

1.85 )+1.85 k(Q00.85

+1.85Q0

0.85 )=0

espe)ando

.

= k(Q0

1.85+1.85Q0

1.85 )1.85

k(Q0

0.85

+1.85

Q00.85

)n general para un circuito ms complicado se tieneF

= k Q01.851.85 k Q00.85

(3)

6ero k Q01.85=HL y k Q0

0.85=HL

Q0por lo tanto,

= (HL)

1.85 (HLQ0) (4)

E8e-"&" ,:

n el sistema de tuber0as en paralelo, mostrado en la fig. >, determinar, paraQ=456 l /s , los caudales en los dos ramales del circuito utili&ado en el mtodo de

Hardy Cross.

1500m - 30cm D

C1 =120

900m - 40cm D

C1 =120

WQ Z Q

S#+'"&/$:


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/e supone ?ue los caudalesQ

30y Q

40. /on iguales, respecti*amente, a 150 l /s y

306 l /s los clculos se reali&an en la tabla ?ue sigue @obsr*ese ?ue se ha puesto

306 l /s B, procediendo asi se calculan los *alores de / mediante el iagrama , o

por cual?uier otro procedimiento, luego HL=SL y a continuacin se determinan

HL

Q0 . se notara ?ue cuanto mayor seaHL ms ale)ados de los correctos

estarn los caudales Q . @los *alores de Q se han elegido deliberadamente

distintos de los correctos para ?ue den lugar a *alores grandes de HL y as0ilustrar en el procedimiento.

D")

L)

Q0

*'4'e*%#

l /s

HL

)

HL

Q0

Q1

9;

15%%

"%%

15%

=#%$

>5.5

=1A.A

%.1>.>

=###.8

456 +11.16 %.>1$ A5$

=

(HL)

1.85 (HLQ)=

+11.16

1.85 ( .216 )=27.8 l /s

ntonces, los *alores deQ

1 sern (15027.8 )=122.2l / s y

(30627.8=333.8 )l / s . +epitiendo de nue*o el proceso de clculoF

HL HL

Q1

Q2

11?.1

%.1#5

%.%51

N#.>

N#.>

1>5.A

##%.$

+0.6 %.18$ A5$

o es necesario hacer una nue*a aproEimacin ya ?ue el diagrama no puedeconseguirse una mayor precisin de #lJs aproEimadamente. 3ericamente, H7deber0an ser igual a cero, pero esta condicin se obtiene muy raramente.

/e obser*a ?ue el caudal ?ue fluye por la tuber0a de #%cm era el >$,AO de A5$lJs, es

decir, 1>%.AlJs lo ?ue constituye una comprobacin satisfactoria.


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E8e)4+# 9.> 6ara la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.Considerar H C L 1%% en todas las tuber0as.

/olucin. 6ara la solucin de esta red *amos a aplicar el mtodo de Hardy Cross. 7aecuacin de descarga en cada tuber0a es.

1.85

fh KQ=

5

1 .8 5 7 ,8 66

1,72 10

H

x Lk

C D=

stas ecuaciones corresponden a la frmula de Ha&en y illiams, ?ue es la ?ueutili&aremos, dado ?ue el coeficiente de resistencia est en los datos referido a dichafrmula. /i ste no fuera el caso se utili&ar0a las ecuaciones correspondientes.mpe&aremos por di*idir la red en dos circuitos en cada uno de los cualesconsideramos como sentido positi*o el correspondiente al sentido contrario de lasagu)as del relo). sto es puramente con*encional y podr0a ser al contrario.Haremos tambin, tentati*amente, una suposicin con respecto a la distribucin decaudales. n consecuencia cada caudal *endr asociado a un signo. Habr caudalespositi*os y negati*os. 6or consiguiente las prdidas de carga en cada tramo tambinestarn afectadas del correspondiente signo. /abemos, sin embargo, ?ue ni los

caudales ni las prdidas de carga tienen signo. /e trata solamente de algocon*encional para eEpresar la condicin 1 ?ue debe satisfacer una red. /e obtiene as0F


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7a magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente,cuidando tan slo ?ue se cumpla la ecuacin de continuidad en cada nudo @en *aloresabsolutos naturalmenteB.(hora debemos hallar los *alores de M en cada ramal para facilitar as0 el clculo de laprdida de carga con los diferentes caudales ?ue nos irn aproEimandosucesi*amente a la solucin final.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BNNMMB

%,%##$

8%

$

4

C4

4

C

%,%%"$

"

%,%>8%

$

%,%%8#

%

Calculemos ahora los *alores de la prdida de carga f% h en cada circuito aplicando la

ecuacin de descarga.CIRCUITO I CIRCUITO II

BNNMMB

0fh =

N8

#

= #.

C4

4

C

0fh =

=5


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Calculamos nue*amente

Q

5.441.37

1.85 2.15

Q

x

= =

6.122.28

1.85 1.42

Q

x

= =

1Q= +

2Q =

7os nue*os caudales y los correspondientes *alores de hfson

Calculamos ahora nue*amente la correccin I

0.470.12

1.85 2.12Q

x

= =

0.160.06

1.85 1.41Q

x= =

0Q=

0Q =

n consecuencia los caudales sonF


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stos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.bsr*ese ?ue la condicin 1, PhfL% para cada circuito es la eEpresin de conceptosbsicos del flu)o en tuber0as. (plicada, por e)emplo, al circuito 2, debe entenderse ?ueen realidad refle)a el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se *e acontinuacin.

6or lo tanto se debe cumplir la ecuacin fundamental.

BM MN BNf f fh h h+ =

Como efecti*amente ocurre con los resultados obtenidos.ebe cumplirse, por las mismas ra&ones, las siguientes ecuaciones

0MC MN NCf f f

h h h+ + =

BNC BMCf fh h=

7a condicin # ?ueda tambin satisfecha. 3omemos un ramal cual?uiera @CB.

8"

100

0.6

37.83

H

f

D

C

L km

k m

= =

= =

2.63 0.540.00426 100 8 63.05

194.7

.

Q x x x

Qs

Valor que est dentro del error aceptado

=

=


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TABLACALCULOS DEL E7EMPLO 9

@a

Q0

fh

0f

h

Q Q fh

Q Q f

h

Q

BNNM

MB

C&-"'&%# 1%,%##$8%$

%,%%$">

N%

=1#%

8#

=#,

=$

=1#

=$

N$A

=##

=1#$

N$ =5,AA

N1

N#

N1

N$5

=#%

=1#5

N"

N18,%"

N#",#> N$,1>

=>

=#

=>

=1%5

N#%

N"5

=5#,15

N15,1$

N#


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E7EMPLO ;.>

+esol*er la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de prdidas de carga 9constante.

atosF

12 1800k =

23 20000k =

34 1800k =

14 680k =+esolucinn primer lugar, debe hacerse una suposicin de caudalesF

4alla 2F

12 14 24350 / 650 / 110 /Q l s Q l s Q l s= = =

4alla 22F

23 34 24240 / 760 / 110 /Q l s Q l s Q l s= = =

n primera iteracin serF

3uber0a Q& 4& 4&+Q& Q1

M(++( I 1=>1=A

>=A

>=#

%.#5

=%.$5

%.11

%.>A

>>%.5

=>8

$#%

AA>

$$%

A8%%

=%.%%1$

M(++( II #=A>=A

=%.


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3uber0a Q& 4& 4&+Q& Q1

M(++( I 1=>1=A

>=A>=#

%.#A8

=%.$5>

%.111%.>#1


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E7EMPLO =.>

/e trata de anali&ar la red de la figura, aplicando las dos *ersiones del mtodo de

Cross.

Esquema de la red de tuberas del ejemplo.

L#* -e*'+%(!#* !e+ ($+&*&* !e +( -e!

7uego de anali&ar la red de la figura, aplicando los dos mtodos, se obtu*ieron los

resultados consignados en la figura # y la tabla 1.


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T(5+(1. D(%#* !e +( -e! -e*'+%(!#* #5%e$&!#*

(3/ 22C2(7/ 7( +

C L 1>5G 9 L %.15 mm

43 C+//=

H(Q R 2772(4/

43 C+//=

(+C- R 2/(CH

C&-"'&%# N#.

3ramo 7ongitu

d

imetro Iinicial o. Circuito

adyacente

I Hf V I hf *

m pul

g

m

m

lJs

lJs m mJs lJs m mJs

I 1=1 $%% 1$ A%%

18% % 1"5.

$

1.55

#%%

=$% 1 =$8 =

1.>5

1

=

1.%%

%

=1% # =11.>5< =

%.>$

1

=

%.#5

8

=11.1%" =

%.>1

>

=

%.#5A

>=A #%% 1> #%

%

A5 % AA.AA# %.A$

%

%.$>

"

AA.%%

=1% 1 =>5.%11 =

1.1A

A

=

%. #%% 8 >%

%

1% > 11.>5< %.>$

1

%.#5

8

11.1%" %.>1

>

%.#5A

#=# #%% 8 >% >5 % >5.% %.81 >5.8>< 1.%A %.8>>


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% # 8 "

S#=A #%% 1> #%

%

=A5 A =#$.5>1 =

%.#>

%

=

%.51

5

%

%

$% % 5>.>>1 A.A$

"

1.$$

>

51."18 A.%5

%

1.$5#

A=5 "%% 8 >%

%

=>% % =>


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Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultneamente.


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CONCLUSIONES

/i bien la ecuacin de Ha&en R illiams es muy prctica en el clculo de

las prdidas de carga en tuber0as, de)a tambin un poco de inconformidaden cuanto ?ue el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, a'ncon las *ariaciones del caudal y del n'mero de +eynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las prdidas de energ0a por friccin,

hf, sern sobreestimadas en comparacin con las calculadas con laecuacin de arcy eisbach.

(s0 mismo, el dimensionamiento de una red determinada, anali&ada con el

4todo de Cross y la ecuacin de Ha&en R illiams, conducir0a a laespecificacin de dimetros mayores ?ue los ?ue se obtendr0an si seaplicara el mismo mtodo con la ecuacin de arcy R eisbach. llo secomprobar0a cuando, de cumplir re?uerimientos de cargas de presinm0nima y mEima, se trata.

RECOMENDACIONES

/e recomienda la difusin y el uso ms generali&ado del 4todo de Crosscon la ecuacin de arcy eisbach, en con)uncin con la ecuacin deColebroo9 hite.

s ms confiable un *alor de 9 ?ue el correspondiente a C.

l *alor del coeficiente de *iscosidad cinemtica, *, debe introducirse lo

ms acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo ms realposible.

BIBLIOGRAFIA:

4ecnica de fluidos 22 de :garte

uscador google

4ecnica de los fluidos y hidrulica de +onald V. Diles

Hidrulica de canales de (rturo +ocha

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