Mangétisme - cahier-de-prepa.fr

PCSI 2019–2020, Lycée Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles

Cinquième partie

Mangétisme

213


Chapitre 24Le champ magnétique

Strong parallel magnetic fields.Mega Shark vs. Crocosaurus (2010)

BibliographiebCap Prépa Physique MPSI–PCSI–PTSI, Pérez, 2013 �! Chapitre 20

La notion de magnétisme nous est relativement familière ce-pendant elle reste difficile à appréhender et formaliser : dansce chapitre nous allons poser un cadre descriptif de la notionde champ magnétique afin de commencer à étudier quelquesphénomènes liés au magnétisme.

� Thalès : la magnétite attire le fer.� Invention de la boussole, IIIème siècle.� Utilisation de la boussole pour la navigation, XIIIème siècle.� Ørsted (1820) : courant électrique perturbe une boussole.

N* Thalès de Millet (-625– -647) : astronome, physicien, mathématicien, géomètre et politicien grec.N* Hans Christian Ørsted 1777–1851 : physicien danois.

I Notion de champ magnétique

1.1 Champ

Un champ est la représentation d’une propriété physique en toutpoint de l’espace à un (ou plusieurs) instant donné. Cette pro-priété est définie par une grandeur physique qui est une fonctionde l’espace et du temps.� Champ scalaire : la grandeur physique est une grandeur scalaire

(température, pression, masse volumique, concentration...)� Champ vectoriel : la grandeur physique est représentée par

un vecteur (champ de pesanteur, champ de vitesse d’un solide,champ de vitesse d’un fluide, champ magnétique...)

b Champ

� Un champ est dit permanent ou stationnaire s’il ne dépend pasdu temps.

� Un champ est dit uniforme s’il est indépendant de la position.

b Propriétés d’un champ

1.2 Mise en évidence expérimentale

Alignement d’une boussole.K Effet des aimants entre eux

Par convention on appelle pôle nord de la boussole l’extrémité qui pointe le nord géographique. L’alignement d’une boussole est orienté,le champ magnétique a donc une direction qui lui est associée : le champ magnétique est représenté par un vecteur.

1.3 Sources de champ magnétiqueDe nombreux dispositifs permettent de créer des champs magnétiques, intéressons–nous à quelques uns de ces dispositifs.

1.3.1 Aimant droit

K Aimant droit et carte de champ

Figure 1 – Aimant droit et limaille de fer Figure 2 – Carte de champ d’un aimant droit

Tout aimant possède un pôle nord et un pôle sud (on parle de dipôle magnétique). Des pôles de même nature se repoussent tandisque des pôles de nature différente s’attirent.

b Interaction entre deux aimants

214


Une ligne de champ magnétique est une ligne orienté tangente auchamp magnétique en tout point. Dans le cas d’un aimant droit,les lignes de champ sortent du pôle nord et entrent au pôle sud.Un petit aimant à tendance à s’aligner sur les lignes de champmagnétique.

Figure 3 – Lignes de champ d’un aimant droit

b Lignes de champ magnétiqueRemarque : Champ magnétique terrestre.

Figure 4 – Lignes de champ de la Terre

1.3.2 Fil

Un champ magnétique peut être créé grâce à un courant électrique.b Origine du champ magnétique

Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil.b Lignes de champ associées à un fil

Figure 5 – Champ magnétique créé par un fil Figure 6 – Carte de champ magnétique associée à un fil

1.3.3 Bobine plate ou spireFil électrique de forme circulaire, si un courant parcourant le fil il apparait un champ magnétique.

Les lignes de champs sortent par la face nord et entre par la face sud. On peut donc définir des pôles pour une bobine plate et latraiter de façon analogue à l’aimant droit.

b Lignes de champ associée à une spire

Figure 7 – Champ magnétique créé par une spire

Figure 8 – Champ magnétique créé par deux bobines en configurationHelmholtz

215


1.3.4 Solénoïde

Un solénoïde est un enroulement de fil en forme d’hélice, cela cor-respond à peu de choses près à l’association de plusieurs spires.

Le champ est quasiment uniforme dans le solénoïde, les lignes dechamp sortent par la face nord et rentrent par la face sud.

b Lignes de champ associées à un solénoïde

Remarque : Le champ au sein d’un solénoïdé réel n’est pas rigoureu-sement uniforme. Figure 9 – Champ magnétique créé par un solénoïde

1.4 Mesure de champ magnétiqueComme souvent en physique, la quantification d’une grandeur se fait par l’effet qu’a cette grandeur. Il semble naturel d’affirmer qu’unaimant génère un champ magnétique bien supérieur à celui de la Terre.

L’unité SI de champ magnétique est le Tesla (T).b Unité SI du champ magnétique

N* Nikola Tesla (1856–1943) : ingénieur américain d’origine serbe.

� Un champ magnétique peut se mesurer par la force de Lorentz : nous avons vu dans le chapitre 12 l’effet d’un champ magnétiquesur des particules chargées.

� Cette force a également une manifestation macroscopique, un fil électrique parcouru par un courant et plongé dans un champmagnétique subit une force proportionnelle au champ magnétique : c’est la force de Laplace (cf chapitre 25).

� Il apparait sur les faces opposés d’un conducteur (ou semi–conducteur) parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique,une différence de potentiel perpendiculaire à la circulation du courant : effet Hall. C’est cet effet qui est aujourd’hui utilisé le plussouvent pour mesurer un champ magnétique.

b Mesure de champ magnétique

� Composante horizontale du champ magnétique terrestre à la surface de la Terre : 4, 7.10�5T� Champ à l’extrémité d’un aimant usuel : 10�1 à 1T� IRM : 6T� Intérieur d’un électroaimant à bobinage : 10 à 100T� Magnétar (étoile à neutron à grande vitesse de rotation) : 1011T

b Ordres de grandeur

1.5 Interprétation des lignes de champ

Deux lignes de champs voisines s’éloignent l’une de l’autre dans une zone où le champ magnétique décroit en intensité.b Intensité du champ magnétique

Le champ magnétique est uniforme là où les lignes de champ sont parallèles.b Champ uniforme

Si deux lignes de champs associées à une unique carte se croisent en un point A alors le champ magnétique est nul en ce point�!B (A) =

�!0 .

b Intersection de lignes de champs

Champ uniformeChamp décroit avec la distance

TD 27 Ex1

216


II Champ magnétique et courant

2.1 Description du champ magnétique

Un courant circulant dans la direction du pouce génère un champ magnétique orienté suivant la direction du majeur.b Détermination “avec les mains" du sens du champ magnétique

blank

blank

Dans le vide, l’intensité du champ magnétique créé par un circuit est proportionnelle à l’intensité du courant dans ce circuit.b Intensité du champ magnétique

Remarque (hors programme) : Ces différents constats sont rassemblés pour construire l’expression général d’un champ magnétique enfonction du courant électrique, la loi de Biot et Savart

�!B (�!r ) =

µ0

4⇡

Z

�!r 02C

I�!dl ^ (�!r ��!r 0)

|�!r ��!r 0|3

.

A l’intérieur d’un solénoïde infini d’axe de direction �!uz comportant n spires par unité de longueur, et parcouru par un courant i, lechamp magnétique est uniforme et vaut : �!

B = µ0ni�!uz .

Avec µ0 = 4⇡.10�7H.m�1 la perméabilité magnétique du vide.

b Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde

TD 27 App1

2.2 Principe de superposition

x

y

�!B1

�!B2

�!B

↵

Une boussole placée sur l’intersection des axes de deux solénoïdes s’aligne sur le champ résultant.Expérimentalement on constante que la boussole fait un angle ↵ avec l’un des deux champs telque :

tan↵ =i2i1

=B2

B1.

Cette relation montre que le champ résulte de la superposition des champs de chacun dessolénoïdes :

�!B =

�!B1 +

�!B2 .

Dans le vide, les champs magnétiques en un point de l’espace se somment vectoriellement.b Principe de superposition

TD 27 Ex2

III Moment magnétiqueIl est possible d’unifier la description des différentes sources de champ magnétique que nous venons d’étudier grâce à la notion de momentmagnétique. Cette notion nous sera utile à plusieurs reprises à l’avenir. Un circuit électrique enserrant les lignes de champs (ex : spire),plus celui–ci sera petit plus le champ magnétique associé sera intense : les dimensions du circuit revêtent donc un caractère particulier.

Soit un circuit filiforme plan dont le contour délimite une aire S. On oriente ce circuit arbitrairementen plaçant une flèche pour le courant. Le vecteur surface est défini comme

�!S = S�!n avec �!n le vecteur

unitaire orthogonal au plan contenant le circuit et orienté par le sens d’orientation du courant et la“règle" de la main droite.

b Vecteur surface d’un circuit filiforme plan

217


Soit un circuit filiforme de vecteur surface�!S parcouru par un courant d’intensité i. Le moment magnétique

�!M du circuit est défini

par : �!M = i

�!S .

Le vecteur moment magnétique s’exprime en A.m2 et pointe du sud ver le nord du circuit.

b Moment magnétique d’un circuit filiforme

Un enroulement de N spires jointives (solénoïde) parcourues par l’intensité i est équivalent à une seule spire parcourue par uneintensité Ni. Le moment magnétique d’une bobine de N spires s’écrit donc :

�!M = Ni

�!S .

b Moment magnétique d’un solénoïde

Puisqu’un aimant droit et un solénoïde génèrent des champs magnétiques de même géométrie, on peut définir le moment magnétiqued’un aimant droit comme le moment magnétique

�!M = i

�!S du solénoïde de même taille que l’aimant et qui produirait le même champ

magnétique que l’aimant.

b Moment magnétique d’un aimant

� Spire de rayon 5cm parcourue par un courant de 1A : 8.10�3A.m2

� Aimant permanent usuel : 1A.m2

� Terre : 8.1022A.m2

b Ordre de grandeur

218


Chapitre 25Action d’un champ magnétique

Mankind has always fearedwhat it doesn’t understand.

Magneto


Un circuit électrique parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique subit des actions mécaniques dites de Laplace. Dansce chapitre nous allons nous attarder sur ces actions mécaniques et les utilisations que l’on peut en faire, par exemple pour mettre aupoint des moteurs électriques.

� Ampère (1820) : mise en évidence de la force magnétique� Sturgeon (1825) : invention de l’électroaimant

N* William Sturgeon (1783–1850) : physicien et inventeur anglais.

I Force de Laplace

1.1 Première approche

K Rail de Laplace

Un fil électrique rectiligne parcouru par un courant i et plongé dans un champ magnétique�!B subit une force, dite force de Laplace, qui

vérifie les caractéristiques suivantes

� la force est perpendiculaire au fil et au champ magnétique ;� le trièdre formé par le courant orienté, le champ magnétique et la force de Laplace est direct ;� sa norme est proportionnelle à la longueur du fil, à l’intensité du courant et à l’intensité du champ magnétique.

Soit un fil électrique rectiligne de longueur l parcouru par un courant électrique i et plongé dans un champ magnétique uniforme�!B . Soit le vecteur

�!l de norme l, confondu avec le fil et orienté par i. La force de Laplace subie par le fil s’écrit

�!F L = i

�!l ^

�!B .

b Force de Laplace

Remarque : La force de Laplace est une conséquence de la force de Lorentz exercé sur les porteurs de charges en mouvement dans leconducteur. Les porteurs de charges sont déviés sur l’une des faces du conducteur, ce qui induit l’apparition d’une différence de potentielU (et donc d’un champ électrique

�!E ) par effet Hall. Ce champ électrique engendre une force sur les charges positives réparties dans le

conducteur�!F = q

�!E qui va pouvoir mettre ce dernier en mouvement : c’est la force de Laplace.

I��!B•e

��!v

�!F lorentz

� � �

� � ��!E

Remarquons que la force de Lorentz magnétique ne travaille pas alors que la force de Laplace oui.Remarque : Pour une intensité de 1A, un champ de 1T et un fil de 1m ; la force subie est de 1N. Cette valeur est faible, en pratique onutilise des bobinages pour augmenter la longueur du fil et donc la force subie.

1.2 Le rail de LaplaceSoit deux rails conducteurs parallèles séparés d’une distance l et raccordés à un générateur de courant de c.e.m. I, le tout fixe dans leréférentiel du laboratoire supposé galiléen. On ferme le circuit en déposant une tige conductrice de masse m et de longueur l sur lesrails et libre de se déplacer sans frottement. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire

�!B = �B�!u z

perpendiculaire au circuit.

⌦�!B

� �!u x

�!u y

�!u z

219


Ne pas confondre le champ magnétique extérieur dans lequel est plongé le dispositif et le champ magnétique créé par le circuit luimême !Remarque : Cette expérience est à l’origine de la conception des moteurs linéaires.Force de Laplace appliquée à la tige

�!F L = I

�!l ^

�!B = Il�!u y ^B(��!u z) = �IlB

�!u x .

La puissance associée à la force de Laplace s’écritPL =

�!F L ·

�!v = �IlBv .

Puissance motrice si v < 0, i.e. mouvement dans le sens des x décroissants. Si on néglige les frottements alors la seul force présente estla force de Laplace, ainsi le théorème de la puissance cinétique conduit à

dEc

dt= PL =)

dvdt

= �lBm

I .

1.3 GénéralisationEn pratique on ne rencontrera pas toujours un conducteur linéaire tel que le rail de Laplace, ainsi l’expression de la force de Laplaceque nous avons précédemment introduit est mise en défaut. Il faut alors se tourner vers une expression plus fondamentale.

Un élément de fil situé au point M , de longueur�!dlM orienté par l’intensité électrique i et plongée dans un champ magnétique

�!B (M)

subit une force de Laplace élémentaire d’expression

�!dFL = i

�!dlM ^

�!B (M) .

b Force de Laplace élémentaire

Cette expression faisant intervenir la valeur du champ magnétique au point M , on peut donc désormais travailler avec des champsmagnétiques non–uniformes et des circuit non–rectilignes.

La force de Laplace découle de la force élémentaire de Laplace par

�!F L =

Z

circuit

�!dFL =

Z

M2circuit

i�!dlM ^

�!B (M) .

b Force de Laplace

Remarque : On retrouve l’expression précédente si on intègre le long d’un fil rectiligne.Remarque importante : La distance élémentaire

�!dlM est orienté, on sera attentif lors de l’intégration aux orientation respectives des

longueurs et des champs magnétiques.

II Action de Laplace sur un moment magnétique

2.1 Spire plongée dans un champ magnétique

Soit une spire rectangulaire PQRS de côtés a et b parcourue parun courant électrique i. Ce circuit peut pivoter librement autour de�!uz, il est plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire�!B = B�!ux.1. Exprimer la résultant des forces de Laplace subies par le circuit.2. Exprimer le moment des actions de Laplace par rapport au centrede la spire O.3. Reformuler

��!ML afin de faire apparaitre le vecteur

�!B et le moment

magnétique�!M .

4. Exprimer la puissance associé au couple��!ML.

1.

�!F L = i

��!PQ ^

�!B + i

�!QR ^

�!B + i

�!RS ^

�!B + i

�!SP ^

�!B = i

⇣��!PQ+

�!QR+

�!RS +

�!SP

⌘^�!B =

�!0 .

La résultant des forces est nulle, i.e. le champ magnétique n’a pas tendance à déplacer le centre de masse du cadre.2. Commençons par calculer les forces subies par chaque coté de la spire, on note �!ur le vecteur unitaire aligné sur les bords horizontaux

220


de la spire

�!F1 = i

��!PQ ^

�!B = �ib�!ur ^B�!ux = ibB cos↵�!uz ;

�!F3 = i

�!RS ^

�!B = ib�!ur ^B�!ux = �ibB cos↵�!uz ;

�!F2 = i

�!QR ^

�!B = �ia�!uz ^B�!ux = �iaB�!uy ;

�!F4 = i

�!SP ^

�!B = ia�!uz ^B�!ux = iaB�!uy .

��!ML =

��!OM1 ^

�!F1 +

��!OM2 ^

�!F2 +

��!OM3 ^

�!F3 +

��!OM4 ^

�!F4 = �

b2�!ur ^ (�iaB)�!uy +

b2�!ur ^ iaB�!uy = b�!ur ^ iaB�!uy = iabB sin↵�!uz .

Ce moment est indépendant du point O, c’est un moment relatif à des actions mécaniques de résultante nulle : c’est un couple.3. Rappelons que le moment magnétique d’une spire s’écrit

�!M = i

�!S = iab�!u✓ avec

�!S le vecteur surface du circuit orienté dans le sens

conventionnel. Le moment subie par la spire s’écrit

��!ML = iab⇥B ⇥ sin↵�!uz = iab�!u✓ ^B�!ux =

�!M ^

�!B .

4. La puissance s’écrit P =��!ML

�!! = iab!B sin↵ .

2.2 Moment magnétique plongé dans un champ magnétique

Un moment magnétique�!M plongé dans un champ magnétique uniforme

�!B subit, de la part de ce champ, des actions de Laplace dont

la résultante est nulle et le moment est��!ML =

�!M ^

�!B .

b Moment magnétique dans un champ magnétique uniforme

Remarque importante : Si le champ magnétique n’est pas uniforme à l’échelle du dipôle magnétique, la résultante des actions magnétiquesn’est pas nulle !

x

y

�!B

�!M

�

��!ML

x

y

�!B

�!M

⌦

��!ML

L’action d’un champ magnétique sur un moment magnétique tant à aligner les vecteurs�!M et

�!B .

� Si ↵ 2 ]0,⇡[ alors��!ML orienté suivant +�!uz et le moment magnétique tourne dans le sens trigonométrique.

� Si ↵ 2 ]�⇡, 0[ alors��!ML orienté suivant ��!uz et le moment magnétique tourne dans le sens antitrigonométrique.

Si le moment magnétique est légèrement écarté (i.e. ↵ 6= 0) alors le moment des actions de Laplace tend à le ramener parallèle au champmagnétique : position d’équilibre stable. De plus ↵ = ⇡ est une position d’équilibre mais instable.

Le couple de Laplace�!MM =

�!M ^

�!B subit par un moment magnétique

�!M tend à aligner

�!M et

�!B .

b Effet mécanique d’un couple de Laplace

Remarque : ceci explique le comportement d’une boussole dans le champ magnétique terrestre.Remarque : le couple

��!ML traduit l’action à distance d’une source de champ magnétique sur un moment magnétique. D’après le principe

des actions réciproques, la source de champ magnétique subie le moment opposé ��!ML. Ainsi, deux aimants proches vont tourner pour

aligner leurs moments magnétiques, la présence de frottements assurent qu’ils se stabiliseront après un temps suffisamment long.

2.3 Effet moteur d’un champ magnétique tournant

Si l’on parvient à générer un champ magnétique tournant, un moment magné-tique dans ce champ pourra tourner lui aussi en cherchant à s’aligner avec lechamp magnétique sous l’effet du couple de Laplace. C’est le principe à la basedu fonctionnement des moteurs à champ tournant.Le moyen le plus simple de créer un champ tournant est d’associer deux bobinesalignés sur deux axes perpendiculaire générant deux champs sinusoïdaux en qua-drature de phase. Considérons deux bobines identiques, alors le champ résultants’écrit comme la superposition des deux champs indépendants

�!B = Ki1(t) +Ki2(t) =

�!B1 +

�!B2 = B0 cos(!t)

�!ux +B0 sin(!t)�!uy . �!ux

�!uy

Bobine 1

Bobine 2L’expression de ce champ n’est valable qu’à l’intersection entre l’axe des deux bobines. En pratique le champ obtenu n’est pas uniforme carles lignes de champs s’écartent rapidement en s’éloignant d’une bobine. On fera tout de même l’approximation d’un champ stationnairepour des bobines très proches et dans une petite zone autour de l’intersection entre les axes des bobines.

221


III Interaction entre un champ et un dipôle (Hors programme)

3.1 Cas du dipôle électriqueNous avons vu dans le cours de mécanique que l’énergie potentielle associée à une charge électrique plongée dans un champ électrosta-tique

�!E s’écrivait Eel(x) = qV (x) avec q la charge électrique et V (x) le potentiel électrostatique en x.

De plus, dans le cadre du cours de chimie nous avons introduit la notion de dipôle électrostatique. Considérons un dipôle électrostatiqueinfinitésimal de longueur dx aligné avec un champ électrostatique le long de l’axe �!ux, son énergie potentielle s’écrit comme la sommedes énergies potentielles associées à chacune de ses charges

•-q

|x

•q

|x+ dx

dx

Eel = �qV (x) + qV (x+ dx) = qdVdx

dx .

Or le champ électrostatique est défini par�!E = �

��!gradV qui se simplifie dans le cas unidimensionnel en

�!E = �

dVdx�!ux. De plus, le moment

dipolaire électrique est défini par �!p = q(dx�!ux). Ainsi, l’énergie potentielle associée à un dipôle électrostatique s’écrit en toute généralité

Eel = ��!p�!E .

On peut naturellement associer à cette énergie potentielle une force conservative traduisant l’interaction entre un dipôle électrostatiqueet un champ électrostatique

�!Fel = �

��!gradEel =

��!grad

⇣�!p�!E⌘

.

Exemple : Considérons un dipôle permanent indéformable (i.e. �!p constant) plongé dans un champ électrique uniforme, alors�!Fel =

�!0 .

Le seul effet est l’alignement du dipôle avec le champ électrique, vu précédemment.Exemple : Considérons un dipôle permanent indéformable (i.e. �!p constant) plongé dans un champ électrique non uniforme.La forceprécédente s’écrit dans le cas où le dipôle �!p = p�!ux et le champ

�!E = E(x, y, z)�!ux sont alignés

�!Fel = p

dEdx�!ux .

Le champ électrique non uniforme engendre une force le long de l’axe du dipôle.Exemple : Considérons deux charges électriques confondues +q et �q qui s’attirent par le biais d’une force de type rappel élastiquede raideur k. On plonge ce système dans un champ électrique

�!E = E(x, y, z)�!ux. Supposons la charge +q fixe, alors il apparaît une

force de Lorentz sur la charge �q engendrant un dipôle induit de longueur d’équilibre vérifiant le principe fondamental de la statique0 = �qE � kx) x = �qE/k, le moment dipolaire associé est �!p = �qx�!ux. Ainsi, la force électrique apparaissant sur ce dipôle est de laforme

�!Fel =

��!grad

⇣�!p�!E⌘=��!grad

✓q2E2

k

◆/

dE2

dx�!ux .

3.2 Cas du dipôle magnétiqueL’étude des phénomènes magnétiques est moins intuitive que celle des phénomènes électriques, on peut toutefois introduire par analogieune énergie potentielle magnétique et une force magnétique d’interaction entre un dipôle magnétique

�!M et un champ magnétique

�!B

Emag = ��!M�!B ;

��!Fmag =

��!grad

⇣�!M�!B⌘

.

Exemple : Si on plonge un dipôle magnétique permanent dans un champ uniforme il ne subit qu’un couple qui tend à l’orienter le longdu champ magnétique.Exemple : Si on aligne un dipôle magnétique permanent avec un champ magnétique non uniforme de la forme

�!B = B(x)�!ux alors il

apparait une force de la forme��!Fmag = m

dBdx�!ux .

Exemple : Si on plonge un objet qui acquiert un moment magnétique induit par le champ magnétique�!B = B(x)�!ux alors il apparait une

force de la forme��!Fmag /

dB2

dx�!ux .

Citations bis

Magnetism, you recall from physics class, is a powerful forcethat causes certain items to be attracted to refrigerators.

Peter Archer, The quotable intellectual

Français : Lokhlass vient de Loch Ness et classe.Anglais, allemand : Lapras est tiré du nom Laplace.

Japonais : “ra pu ra su" vient de Laplace.http ://www.pokepedia.fr

222


Chapitre 26Lois de l’induction

L’induction, en nous faisant convenir de choses évidentes,tire de ces aveux le moyen de nous faire convenir de choses douteuses,

mais qui ont du rapport avec les premières.Cicéron


L’un des phénomènes majeurs du magnétisme est l’induction, nom donné en référence à l’apparition de courants dits induits dans lesystème. L’induction est technologiquement très importante : générateurs électriques, moteurs, transformateurs, chauffage, freinage parinduction...

� Faraday (1831) : approcher un aimant d’une spire engendre un courant électrique.N* Michael Faraday (1791–1867) : chimiste et physicien anglais.

I Induction et flux magnétique

1.1 Approche expérimentale

Approcher un aimant d’une spire reliée à un oscilloscope.K Induction dans une spire

� L’intensité du courant induit augmente avec la vitesse d’ap-proche de l’aimant.

� L’intensité du courant induit augmente si la surface de la spireaugmente.

� Le sens du courant induit est tel qu’il génère un champ ma-gnétique induit tendant à s’opposer à la croissance du champmagnétique dû au rapprochement de l’aimant.

b Observations sur le courant induit

Remarque : Les mêmes résultats sont obtenus lorsque l’on déplacela spire et que l’aimant est fixe.

Figure 1 – Induction dans une spire1.2 Flux magnétique� Pour une spire de taille donnée, rapprocher l’aimant engendre un courant induit. De plus, rapprocher l’aimant revient à augmenter le

champ magnétique perçu au niveau de la spire.� Pour une augmentation de champ magnétique donnée (i.e. utiliser le même aimant et le déplacer de la même façon), augmenter la

taille de la spire conduit à un courant induit plus élevé.

Soit un circuit orienté par le sens conventionnel du courant. Soit�!S le vecteur surface du circuit défini

par le sens de i et la “règle" de la main droite. Si le circuit est plongé dans un champ magnétique�!B uniforme, le flux magnétique � à travers le circuit est défini par le produit scalaire

� =�!B.�!S ;

exprimé en Weber (1Wb=1T.m2).

b Flux magnétique

Dans le cas où le champ magnétique n’est pas uniforme il faut définir le flux élémentaire en un point M appartenant à la surfaceorientée du circuit

d�(M) =�!B (M)

�!dSM .

Le flux totale s’écrit comme l’intégrale du flux élémentaire sur toute la surface du circuit

� =

Z

M2Scircuit

d�M =

Z

M2Scircuit

�!B (M)�!nMdS .

b Flux magnétique dans le cas général

223


II Lois de l’induction

2.1 Loi de Faraday (1831)L’apparition d’un courant induit montre que tout se passe comme si la spire était reliée à un générateur. La loi de Faraday consiste àexprimer la f.e.m. induite en fonction des paramètres du problèmes. Ainsi la spire de courant est équivalente à un générateur (grâce auphénomène d’induction) associée à une résistance. Mesurer la f.e.m. induite revient à mesurer la tension aux bornes de la spire.

Soit un circuit électrique filiforme orienté par le sens conventionnel de i. Soit�!S le vecteur surface de ce circuit, orienté par i et la

“règle" de la main droite. Le circuit est le siège d’une f.e.m. induite e orienté conventionnellement dans le même sens que i telle que

e = �d�dt

;

exprimé en V.

b Loi de Faraday

Remarque : Une étude expérimentale précise n’est pas possible avec un aimant car on ne connait pas précisément le champ magnétiqueassocié à une telle source. Il faudrait réaliser l’expérience dans l’entrefer d’un électroaimant.

� Orienter le circuit en choisissant un sens conventionnel pour le courant.� En déduire le vecteur surface

�!S du circuit.

� Calculer le flux magnétique à travers le circuit � =�!B.�!S ou � =

Z

M2Scircuit

�!B (M)�!nMdS

� En déduire la f.e.m. e = �d�dt

.� Dessiner le schéma équivalent au circuit : dipôles décrivant le circuit dont un générateur lié au phénomène d’induction.� Le schéma équivalent permet d’écrire une ou plusieurs équations électriques afin de calculer l’intensité du courant induit.

Fiche méthode : Loi de Faraday

Remarque importante : Une spire est équivalente à une résistance associée en série avec une inductance et un générateur de f.e.m.

e = �d�dt

, cependant dans certains cas l’inductance sera négligée, on le précisera.

2.2 Interprétation : loi de modération de LenzInterprétons l’expérience introductive avec la loi de Faraday.

� Plus l’aimant est approché rapidement, plus le flux magnétique augmente rapidement et donc d�dt

est grand. La valeur absolue de laf.e.m. induite est grande, ce qui fait croitre l’intensité du courant induit.

� Plus la surface de la spire est grande, plus le flux � est grand et ainsi l’intensité du courant induit augmente.� Le sens du courant induit est tel que ce courant engendre un champ magnétique tendant à s’opposer aux variations du champ

magnétique extérieur.

N* Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804–1865) : physicien germano–balte.

Le sens du courant induit est tel que, par ses effets, il tend à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance. La loi de modérationde Lenz est implicitement contenue dans la loi de Faraday grâce au signe négatif.

b Loi de modération de Lenz

Remarque : La cause de l’apparition du courant induit est le déplacement de l’aimant, i.e. d’un moment magnétique. Alors la spireacquiert un moment magnétique dans la direction opposée afin de repousser l’aimant.Remarque : La cause de l’apparition du courant induit est l’augmentation du flux du champ magnétique à travers la spire, alors unchamp magnétique induit opposé au champ magnétique extérieur apparaît pour diminuer ce flux.Remarque : Les ruptures d’équilibre chimique par ajout d’un constituant peuvent également s’interpréter à l’aide d’une loi de modération.Remarque : Après avoir traité un exercice, vérifier que vos résultats sont en accord avec la loi de modération de Lenz.

Les questions 1 et 2 traitent de ce chapitre la question 3 est une ouverture vers le chapitre suivant.TD27 – Ex1

224


III Les origines de l’induction (Hors programme)

L’année prochaine vous étudierez les lois de Maxwell qui permettent de décrire l’électromagnétisme (ensemble des phénomènes électriqueset magnétiques comme par exemple la propagation des ondes lumineuses).

8>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:

div�!E =

⇢E0

;

�!rot�!E = �

@�!B@t

;

div�!B =

�!0 ;

�!rot�!B = µ0

�!j + µ0E0

@�!E@t

.

3.1 Circuit fixe dans un champ variable : induction de NewmannIl faut ajouter quelques notions supplémentaire pour pouvoir traiter ce problème. Pour un champ magnétique stationnaire, la définition

de la différence de potentiel en électromagnétisme est U = �

Z b

a

�!E .�!dl (notez que nous avons déjà utilisé cette relation de façon

indirecte dans le chapitre 14). Il est nécessaire de maitriser également quelques outils d’analyse vectorielle de Spé comme le théorèmede Green–Ostrogradki (aussi appelé théorème flux–divergence)

y

V

div�!F · dV =

{

@V

�!F ·

�!dS ;

avec V un volume et @V la surface fermée englobant ce volume.

Ainsi que le théorème de Stokes x

S

�!rot�!F · dS =

I

@S

�!F ·

�!dl ;

avec S une surface et @S le contour fermée entourant cette surface.

L’induction peut se voir comme l’apparition d’un champ électromoteur. Une f.e.m. n’est plus ni moins qu’une différence de potentiel etengendre ainsi un champ électrique tel quel

�!Em = �

��!grade

e =

I

C

�!Em ·

�!dl =

x

S

⇣�!rot�!Em

⌘·�!dS =

x

S

�@�!B@t

·�!dS = �

@@t

x

S

�!B ·

�!dS = �

d�dt

.

3.2 Circuit mobile dans un champ stationnaire : induction de LorentzCe second cas peut se s’écrire à l’aide d’un changement de référentiel appliqué aux forces de Lorentz. Soit des porteurs de charges enmouvement à la vitesse �!v dans au circuit lui même en mouvement à la vitesse �!ve par rapport au laboratoire, le tout plongé dans unchamp électromagnétique. Ainsi les porteurs de charge subissent une force exprimée dans le référentiel du circuit

�!f = q

⇣�!E +�!v ^

�!B⌘

.

Exprimons la force�!f 0 dans le référentiel du laboratoire puis réexprimons la dans le référentiel du circuit

�!f 0 = q

⇣�!E 0 +�!v 0

^�!B 0

⌘= q

⇣�!E 0 + (�!v +�!ve) ^

�!B 0

⌘.

Or en mécanique classique, les forces sont invariantes par changement de référentiel. Ainsi ce changement de référentiel se traduit parles transformations des champs

�!B =

�!B 0 et

�!E =

�!E 0 +�!ve ^

�!B 0. Il apparait un second champ électromoteur de la forme �!ve ^

�!B avec �!ve

la vitesse du circuit par rapport au laboratoire. Dans ce cas la f.e.m. induite peut s’écrire

e =

I

C

⇣�!ve ^

�!B⌘.�!dl .

225


Chapitre 27Induction de Neumann : Circuit fixe dans un champ magnétique variable

This is an extremely unusual magnetic flux for any planet.Transformers Prime : Metal Attraction (2011)


La variation du flux d’un champ magnétique à travers un circuit est à l’origine de l’apparition de f.e.m. par le biais des phénomènesd’induction. Deux possibilités s’offrent donc à nous pour créer des f.e.m. : soit faire varier les champs magnétiques soit déplacer lescircuits afin de modifier le flux magnétique à travers ce dernier.C’est en 1831 que Faraday observa l’apparition d’une f.e.m. dans un circuit en déplaçant un aimant à proximité de ce dernier. Toutefoisnous avons vu qu’un circuit parcouru par un courant engendre un champ magnétique, ce qui peut entraîner des phénomènes d’inductionsdans d’autres circuits ou bien lui–même.

I Auto–induction

1.1 Flux magnétique et inductance propre

Le champ magnétique créé le circuit étudié est appelé champ magnétique propre. Tout autre champ ma-gnétique est dit extérieur.Le champ magnétique total est la somme de ces deux champs :

�!B tot =

�!B propre +

�!B ext .

b Champ magnétique propre et extérieur

On appelle flux propre le flux magnétique créé par un circuit à travers lui–même.b Flux magnétique propre

Le flux magnétique propre d’une bobine de longueur l comportant N spires s’écrit � = N�!B.�!S = µ0

N2

liS = Li .

b Flux propre dans une bobine longue

Calculer l’inductance propre d’une bobine telle que S = 1, 0.10�3m2, l = 0, 01m et N = 1.0⇥ 102 spires. L = µ0N2

lS ⇡ 12mH.

Ordre de grandeur

Un circuit électrique parcouru par un courant d’intensité i crée à travers lui un flux magnétique propre proportionnel à i

�propre = Li .

Avec le coefficient L appelé coefficient d’auto–inductance ou d’inductance propre. Ce coefficient est positif, dépend uniquement de lagéométrique du circuit et s’exprime en Henry (H).

b Coefficient d’auto–inductance ou d’inductance propre

En toute généralité le calcul du flux propre passe par la connaissance précise du champ propre, pour une géométrique quelconque cecalcul peut s’avérer fastidieux. Dans le cas d’une bobine longue idéale le calcul est quant à lui très simple car nous avons vu que lechamp magnétique à l’intérieur d’un tel circuit est uniforme et s’exprime

�!B = µ0Ni�!uz.

Pour un circuit indéformable, la f.e.m. induite s’écrit

e = �d�dt

= �d�ext

dt� L

didt

.

� Le premier terme est la contribution du champ extérieur.� Le second terme est appelé force électromotrice auto–induite.

b Force électromotrice induite dans un circuit fixe et indéformable

1. Orienter le circuit puis calculer le flux magnétique.2. Exprimer la f.e.m. induite.3. Représenter le schéma électrique équivalent : éléments du circuits, f.e.m. induite (générateur de tension).4. Obtenir l’équation électrique du circuit à partir du schéma équivalent.

Fiche méthode : Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Ri = e = B0S! sin(!t)� Ldidt()

didt

+1⌧i =

B0S!L

sin(!t), circuit du 1er ordre avec forçage.

TD28 – App1

226


1.2 Loi de modérationSoit un circuit électrique composé d’une générateur de f.e.m. E, une résistance R et une inductance L. En l’absence de champmagnétique extérieur la seule f.e.m. induite apparaissant est e = �L

didt

, ainsi l’effet d’auto–induction engendre une f.e.m. s’opposant àcelle du générateur, ceci a pour effet de créer un courant d’intensité négative (i.e. qui s’oppose au courant créé par le générateur ). C’està nouveau une manifestation de la loi de modération de Lenz.

E L

R

i

E e

R

i

2. didt

+RLi =

EL

3. i =ER

(1� exp(�t/⌧)) avec ⌧ =LR

.

TD28 – App2

1.3 Aspect énergétiqueA partir du schéma électrique équivalent on peut écrire

Ei = Ui� ei = Ri2 +12Ldi2

dt.

Et par intégration on peut obtenir la variation d’énergie emmagasinée dans la bobine en fonction du temps et ainsi définir l’énergiepotentielle magnétique du circuit

�EL = EL(t)� EL(0) =12Li2(t)�

12Li2(0) .

L’énergie potentielle magnétique associée à un circuit magnétique d’inductance propre L, parcouru par une intensité électrique i s’écrit

Em =12Li2 .

Cela correspond à l’énergie dépensée par le générateur pour créer le champ magnétique propre lors de la croissance de i.

b Énergie potentielle magnétique d’un circuit

Remarque : Le courant (ainsi que l’énergie magnétique) étant une quantité continue lors de l’ouverture brutale d’un interrupteur lecourant ne peut chuter brutalement alors il apparaît une étincelle de rupture afin d’évacuer l’énergie stockée de façon continue.

II Bobines en interactionUn circuit étant le siège d’un phénomène d’induction engendre un champ magnétique avec lequel il va interagir (auto–induction). Maisalors que se passe–t–il lorsque deux circuit sont approchés l’un de l’autre ?

2.1 Inductance mutuelleEn toute généralité le champ magnétique

�!B 1 engendré par le circuit 1 est proportionnel au courant i1 le parcourant tandis que le circuit

2 engendrera un champ magnétique�!B 2 proportionnel au courant i2

�1!2 / B1 / i1 et �2!1 / B2 / i2 .

Par analogie avec l’inductance propre on définit le coefficient d’inductance mutuelle entre deux circuit par

�1!2 = Mi1 ; �2!1 = Mi2 .

Le coefficient M ne dépend que de la géométrie des circuits ainsi que leur orientation respective et s’exprime en Henry (H).

b Coefficient d’inductance mutuelle

Effets de bords négligés :�!B 1 = µ0

N1

l1i1�!uz alors �1!2 =

�!B1.N2

�!S2 = µ0

N1N2

l1S2 cos ✓

TD28 – App3

Remarque : Le calcule de �2!1 est plus compliqué car le champ magnétique n’est pas uniforme... Le fait que l’inductance mutuelle soitla même pour les deux flux nécessitera de passer par des calculs plus précis de champ magnétique, nous admettrons donc ce résultatpour le cas général.

TD28 – App6

227


2.2 Couplage de deux circuitsSoit deux circuits similaires à proximité l’un de l’autre. Le phénomène d’induction est à l’origine d’une f.e.m. dont l’un des terme provientde l’auto–induction et l’autre du circuit voisin (induction mutuelle ou inductance de couplage) d’après la loi de Faraday

e1 = �d�1

dt= �L1

di1dt�M

di2dt

; e2 = �d�2

dt= �L2

di2dt�M

di1dt

.

E1 L1

R1

i1

M

E2L2

R2

i2

Figure 1 – Circuits couplés par inductance mutuelle.

E1 e1

R1

i1

M

E2e2

R2

i2

Figure 2 – Schéma électrique équivalent.La dynamique de ce système est régit par un système de deux équations à deux inconnues

E1 � L1di1dt�M

di2dt

= R1i1 ;

E2 � L2di2dt�M

di1dt

= R2i2 .

Dans le cas où R1 = R2, E1 = E, E2 = 0 et L1 = L2 la résolution peut se faire en combinant les équations pour faire apparaître deuxnouvelles variables x = i1 + i2 et y = i1 � i2

(L+M)dxdt

+Rx = E ;

(L�M)dydt

+Ry = E .

On reconnait deux équations différentielles linéaires d’ordre 1 qui admettent comme solutions

x(t) = Axe�t/⌧x +Bx ;

y(t) = Aye�t/⌧y +By ;

avec les temps caractéristiques ⌧x =L+M

R, ⌧y =

L�MR

et les solutions en régime permanent Bx = By =ER

. On peut donc obtenirles courants

i1(t) =x(t) + y(t)

2=

Ax

2e�t/⌧x +

Ay

2e�t/⌧y +

ER

;

i2(t) =x(t)� y(t)

2=

Ax

2e�t/⌧x

�Ay

2e�t/⌧y .

Initialement, on considère qu’il n’y a pas de courant établi i1(0) = i2(0) = 0, cela reste vrai après l’allumage de la source car la bobinetend à modérer les variations de courants (loi de Lenz). Ainsi les conditions initiales permettent d’écrire

Ax

2+

Ay

2+

ER

= 0 ;

Ax

2�

Ay

2= 0 .

Ainsi les solutions prennent la forme

i1(t) =x(t) + y(t)

2=

ER

1�

e�t/⌧x + e�t/⌧y

2

�;

i2(t) =x(t)� y(t)

2=

ER

e�t/⌧y � e�t/⌧x

2.

En réponse à un échelon, le couplage influencera uniquement le régime transitoire.

2.3 Circuits couplés en RSFLe couplage des circuits par inductance mutuelle trouve de nombreuses applications en régime sinusoïdal forcé.

TD28 – Ex1

228


III Applications

3.1 Applications diverses

� Puces RFID : radioidentificationC’est une méthode permettant la transmission à distance d’informations placées sur de petits mar-queurs (étiquettes adhésives, puces sans contact, étiquettes antivol...). Lorsque l’étiquette passe prèsd’un lecteur, qui est un système actif fournissant un champ magnétique, un courant circule dans lecircuit et permet d’alimenter une petite antenne qui peut alors envoyer l’information contenue dans lapuce. Utilisations de puces RFID : Antivols, forfaits de ski, badges de télépéage...

� Détecteurs de métauxUne bobine crée un champ magnétique et, si un morceau de métal se trouve à proximité, il se crée enson sein un courant. Ce courant crée lui-même un champ magnétique détecté via la f.é.m qui apparaîtdans la bobine du détecteur.

� Boucle magnétiqueElle se trouve généralement aux feux rouges, ou devant des barrières de parking souterrain. Il s’agitd’une spire conductrice située dans le sol. Quand un véhicule s’arrête sur la boucle, il crée par couplageun courant induit dans la boucle magnétique qui peut ainsi détecter la présence du véhicule.

TD28 – Pb2

� Rechargement par inductionPour les brosses à dent, ou plus récemment les téléphones portables, on peut transmettre sans contactl’énergie électrique d’un générateur vers le système à recharger. Chacun est muni d’une bobine.

3.2 Chauffage par induction

Le fond de la casserole est un bloc métallique comportant de nombreux électrons libres. La plaque à induction crée au sein de lacasserole un champ magnétique variable qui engendre des courants de Foucault : les électrons soumis à un champ magnétique se mettenten mouvement et formes des « petites spires de courants ». Le matériaux possédant une certaines résistivité va dissiper une partie del’énergie des courants de Foucault sous forme thermique par effet Joule, chauffant ainsi directement le matériau de la casserole.N* Léon Foucault (1819–1868) : physicien français.Ainsi tous les matériaux ne seront pas adaptés : ils doivent présenter un caractère ferromagnétique (i.e. aimantables) afin de concentrerles lignes de champ magnétique dans le matériau et maximiser les courants de Foucault.

TD27 – Pb1

TD28 – Pb3

229


3.3 Le transformateur3.3.1 Principe général

Un transformateur de tension convertit une tension alternative en une autre tension alternative de même fréquence mais de valeurefficace différente. Le fonctionnement d’un tel dispositif repose sur le couplage de deux bobinages par l’intermédiaire d’un matériauferromagnétique dont le rôle est de canaliser les lignes de champs d’un bobinage à l’autre.

b Transformateur de tension

Figure 3 – Représentation d’un transforma-teur

Figure 4 – Transformateur

e1U1

•

i1

e2 U2

•

i2

Figure 5 – Schéma équivalent

Les f.e.m. e1 et e2 sont reliés au flux du champ magnétique par l’intermédiaire de la loi de Faraday, ainsi

e2e1

=�N2

d�dt

�N1d�dt

=N2

N1.

Les tensions au primaire et au secondaire d’un transformateur électrique sont liées au nombre de spires de chacun des enroulementspar

U2

U1=�e2�e1

=N2

N1.

b Relation de transformation en tension

Si le transformateur est parfait, il ne consomme aucune puissance ainsi on obtient le bilan U1i1 + U2i2 = 0 et donc le rapport

i1i2

= �U2

U1= �

N2

N1.

b Relation de transformation en courant

Quel nombre de spires faut–il pour utiliser des appareils européens (220V) aux USA (110V) ? Et pour alimenter un appareilnomade (12V) sur le secteur (220V) ?

Quelques exemples

3.3.2 Aspect énergétiqueReprenons l’exemple des deux circuits couplés. La loi des mailles associée à la loi de Faraday nous avait conduit à deux équations quel’on peut multiplier par i1 ou i2 pour faire apparaître des termes de puissance, nous arrivons à

E1i1 + E2i2 = R1i21 +R2i

22 + L1i1

di1dt

+M

✓i1di2dt

+ i2di1dt

◆+ L2i2

di2dt

.

On peut identifier la puissance fournie par les générateurs, la puissance dissipée par effet Joule et la puissance consommée pour fairecroitre le champ magnétique dans les circuits

Pm =ddt

✓12L1i

21 +

12L2i

22 +Mi1i2

◆.

Em =12L1i

21 +

12L2i

22 +Mi1i2 .

b Énergie potentielle magnétique de deux circuits couplés par induction

230


3.3.3 Exemples d’application� Élévation de tension, lignes à haute tension

Quel que soit le type de centrale (nucléaire, hydraulique, à charbon...), une turbine entraîne unalternateur qui convertit une puissance mécanique (arbre en rotation avec un certain couple dis-ponible) en une puissance électrique. Cette puissance électrique est obtenue sous la forme d’uneou de plusieurs tension(s) alternative(s), de l’ordre de 20 kV. Pour acheminer cette puissanceélectrique au niveau des agglomérations, on utilise des transformateurs élévateurs de tension,qui élèvent la valeur efficace d’un facteur d’environ 20, le transport se faisant sous 400 kV ou800 kV pour diminuer les pertes par effet Joule dans les lignes de transport.Ci-contre : Transformateurs à la Centrale hydroélectrique Robert-Bourassa, dans le nord duQuébec. Ce poste alimente les lignes de transport électrique à 735 kV qui relient le complexe dela Baie-James aux marchés du sud du Québec, sur une distance de 1500 km.

� Abaissement de tension, alimentation des appareils domestiques

À l’approche des agglomérations, des transformateurs abaissent la tension, pour finalementdélivrer la tension usuelle de 230V efficace. Un grand nombre d’appareils électriques usuels(ordinateur, téléphone portable...) nécessite une tension d’alimentation de l’ordre de quelquesdizaines de volts. La tension du secteur est donc rarement adaptée au fonctionnement desappareils. Un premier étage de l’alimentation comprend donc un transformateur abaisseur detension, avec un rapport de nombre de spires entre le secondaire et le primaire de l’ordre de1/20 à 1/100. Les appareils fonctionnant sur batterie nécessitent une tension continue, après letransformateur, un redresseur permet de délivrer une tension continue à partir d’une tensionsinusoïdale (en sortie du transformateur).

� Transformateurs d’isolementLorsque l’on souhaite visualiser la caractéristique d’un dipôle à l’oscilloscope il est nécessaire de visualiser la tension aux bornes dudipôle et la tension aux bornes d’une résistance afin de visualiser une image de l’intensité du courant. Le premier circuit ci–dessousn’est pas possible à réaliser car il y a deux masses ce qui court-circuite la diode. Une solution consiste à placer un transformateur derapport 1 entre le GBF et le reste du circuit à alimenter. De cette façon, le GBF, via le transformateur, applique une tension (variable)à l’association en série de la diode et du résistor. On peut alors placer dans le circuit secondaire une masse à l’endroit souhaité, il n’ya plus aucun lien électrique entre le GBF et le reste du circuit.

231


Chapitre 28Induction de Lorentz : Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Je comprends pas. Je roule à fond, à fond,à fond dans l’herbe mais ça avance pas.

Jean Alesi dans les Guignols de l’Info

BibliographiebCap Prépa Physique MPSI–PCSI–PTSI, Pérez, 2013 �! Chapitre 24bLe SUPer manuel de Physique PTSI, ed. Bréal, 2013 �! Chapitre 26

Les convertisseurs électromécaniques sont des dispositifs permettant de convertir une énergie électrique en énergie magnétique (etinversement). Ces dispositifs sont très nombreux dans notre environnements : moteurs, génératrices, freins... L’apparition d’une forceélectromotrice dans un dispositif possède de nombreux applications que ce soit de la conversion électromécanique ou non, on peut parexemple mentionner le chauffage par induction également. Dans ce chapitre nous allons donc remobiliser toutes les notions que nousavons introduites en mécaniques, électrocinétique et induction afin d’étudier le fonctionnement de plusieurs dispositifs réels que nousmodéliserons simplement.

I Du rail de Laplace au moteur linéaire

1.1 Présentation du dispositifLe rail de Laplace est constitué de deux rails horizontaux fixes sur lesquels peut coulisser une barre T refermant le circuit. Le tout estplongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan du circuit. Plusieurs expériences sont possibles : soit la barre estmise en mouvement par un opérateur, soit le circuit est alimenté par un générateur de tension.

� Fonctionnement générateur : circuit fermé par un ampèremètre et barre mise en mouvement par l’opérateur.� Fonctionnement récepteur : circuit fermé par un générateur de tension.

K Rail de Laplace

Un tel dispositif permet de convertir de l’énergie électrique en énergie mécanique et inversement, on parle de transducteur ou conver-tisseur électromécanique.

b Transducteur ou convertisseur électromécanique

1.2 Étude du dispositif en mode récepteur

Courant

��!Bext Action de

LaplaceMouvementdu circuit

Inductionf.e.m. induite Courant

induit

Loi de Lenz, courant induit opposé au courant

b Analyse de la conversion électrique ! mécanique

Le flux magnétique traversant le circuit s’écrit �(t) =�!B�!S (t) = Bax(t). Le circuit ne contenant qu’une unique spire son coefficient

d’auto–induction est faible (on le néglige devant le phénomène d’induction dû au champ magnétique extérieur). Ainsi la f.e.m. induites’écrit d’après la loi de Faraday e = �

d�dt

= �Bav(t).

Le schéma équivalent conduit (grâce à la loi des Mailles) à l’équation électrique E + e(t) = E �Bav(t) = Ri(t).b Équation électrique

La barre est parcourue par un courant et plongée dans un champ magnétique extérieur, il apparait donc une action de Laplace. Faisonsun bilan des forces en présence

� Le poids de la barre m�!g = �mg�!uz.� La réaction des rails

�!N qui compense le poids, on négligera les frottements pour simplifier l’étude.

� L’éventuelle action d’un opérateur�!F op = Fop

�!ux que l’on prendra nulle afin d’étudier la situation “moteur".� Les actions de Laplace

�!F L = i�!a ^

�!B = i(t)aB�!ux.

232


Le principe fondamental de la dynamique suivant �!ux conduit à l’équation mdvdt

= (�!P +

�!N +

�!F op +

�!F L)

�!ux = i(t)aB.

b Équation mécanique

Les équations électrique et mécanique sont couplées (elles contiennent toutes deux les quantités v(t) et i(t). La substitution ou la méthodedes pivot permet de découpler ces équations et d’obtenir le système

8><

>:

dvdt

(t) +a2B2

Rmv(t) =

aBRm

E ;

i(t) =1R

[E �Bav(t)] .

Pour un rail initialement au repos, la résolution de la première équation différentielle conduit aux solutions8>><

>>:

v(t) =EaB

1� exp

✓�

t⌧

◆�avec ⌧ =

Rma2B2

;

i(t) =ER

exp

✓�

t⌧

◆avec ⌧ =

Rma2B2

.

v(t)

t

i(t)

t

On observe un régime transitoire accéléré suivi d’un régime permanent, tout comme pour un objet en chute libre dans l’atmosphère :les effets inductifs entraînent une force de frottement fluide proportionnel à v, parfois on parle de frottement électormagnétique.

Partons de l’équation électrique et faisons apparaître des puissances en multipliant par i(t), notons que i(t) =maB

dvdt

d’après l’équationmécanique.

On obtient le bilan de puissance

Ei = Ri2 +BavmBa

dvdt

= Ri2 +12m

dv2

dt.

b Bilan de puissance

La puissance fournie par le générateur est en partie dissipée par effet Joule dans la résistance mais aussi convertie en puissance mécanique(en faisant croître l’énergie cinétique de la barre mobile).

Reprendre cette étude en tenant compte de l’auto–induction

1.3 Mode générateur

Actionmécaniqueextérieure

Mouvementdu circuit

Inductionf.e.m. induite Courant

induit

��!Bext Action de

Laplace

Loi de Lenz, action de Laplace opposée à l’action extérieure

b Analyse de la conversion mécanique ! électrique

Réaliser à nouveau l’étude précédente en l’absence de générateur et en considérant un opérateur appliquant une force�!F op.

Mode générateur

Équation électrique e(t) = �Bav(t) = Ri(t).

Équation mécanique mdvdt

= (�!P +

�!N +

�!F op +

�!F L)

�!ux = Fop + i(t)aB.

b Équations du dispositif

Après découplage, les équations précédentes deviennent8>><

>>:

dvdt

(t) +a2B2

Rmv(t) =

Fop

m;

i(t) = �Bav(t)

R.

233


Pour un rail initialement au repos, la résolution de la première équation différentielle conduit aux solutions8>><

>>:

v(t) =RFop

a2B2

1� exp

✓�

t⌧

◆�avec ⌧ =

Rma2B2

;

i(t) = �Fop

aB

1� exp

✓�

t⌧

◆�avec ⌧ =

Rma2B2

.

v(t)

t

i(t)

t


II Machines en rotation

2.1 Machine à courant continu à entrefer planLe moteur linéaire présente un inconvénient majeur, son encombrement. Peut–on réaliser le même genre de dispositif mais avec unsystème en rotation afin de pouvoir répéter le mouvement “indéfiniment" ? Une des premières machines de ce genre est la roue deBarlow, un disque métallique alimenté par un générateur et reposant sur un bain de mercure pour assurer la fermeture du circuitélectrique. La machine la plus simple à réaliser et permettant l’utilisation de ce principe est la machine à courant continu à entreferplan. Comme dans toute machine tournante, une MCC est constituée d’un stator fixe et d’un rotor mobile.

� Le rotor est le disque au centre, qui est entraîné en rotation autour de son axe. Les spires présentes sur le rotor comportent deux filsdans la direction radiale, faisant entre eux un angle de 90� et reliés en périphérie par une partie circulaire. Ils sont parcourus par descourants continus (d’où le nom de la machine).

� Les deux disques de part et d’autre du rotor constituent le stator. Ces deux disques sont fixes dans le référentiel d’étude. Des aimantspermanents disposés sur ces disques développent des lignes de champ magnétique orthogonales au plan définir par le rotor. L’ensemble(Stator 1,Stator 2) définit donc un entrefer plan, dans lequel est placé le rotor. On appelle entrefer l’espace situé entre les aimants :il s’agit ici du plan du rotor, d’où la dénomination de MCC à entrefer plan.

� Des contacts métalliques frottants appelés balais assurent le passage du courant entre les circuits électriques mobiles du rotor etl’alimentation, liée au stator. Un câblage astucieux du rotor couplé à une répartition bien choisie des aimants du stator permet unealimentation uniquement à partir des balais.

Figure 1 – Représentaion MCC à entrefer plan blankblankblankblank-blank(http ://pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr)

Figure 2 – MCC à entrefer plan (http ://tsiastnicolas.free.fr)

Le fonctionnement de ce dispositif est identique à celui du rail de Laplace à la différence près que la translation est remplacée par unerotation et les actions de Laplace prennent la forme d’un moment. On peut utiliser ce dispositif comme un générateur ou un récepteur.

234


2.2 Spire en rotation dans un champ magnétiqueNous allons étudier un dispositif plus moderne constitué d’une (ou plusieurs) spire en rotation dans un champ magnétique.

On considère un circuit rectangulaire PQMN d’aire S orienté arbitrairement parl’intensité électrique i qui le parcourt. Le circuit peut pivoter sans frottementautour de l’axe z. Il est plongé dans un champ magnétique uniforme

�!B = B�!ux

orthogonal à l’axe �!uz. La position de la spire est repérée grâce à l’angle � entrela direction du champ magnétique et la normale à la spire. On note J le momentd’inertie du cadre. On négligera l’auto–induction dans la suite.

Expression générale�!F L =

I

P2(C)

i�!dlP ^

�!B = i

✓I�!dl

◆^�!B =

�!0 .

La résultante totale est nulle.Calculons la force exercée sur chacune des parties de la spire

�!F1 = i

��!MN^

�!B ;

�!F2 = i

��!NP^

�!B k

�!uz ;�!F3 = i

��!PQ^

�!B = �

�!F1 ;

�!F4 = i

��!QM^

�!B = �

�!F2 .

Calculer la résultante des forces de Laplace sur chaquepartie de la spire.

Expression générale�!ML,O =

I

P2(C)

��!OP ^ d

�!FL(P ).

Décomposons segment par segment

�!ML,O =

��!OJ1 ^

�!F1 +

��!OJ2 ^

�!F2 +

��!OJ3 ^

�!F3 +

��!OJ4 ^

�!F4

= 2��!OJ1 ^

�!F1 = 2

��!OJ1 ^

⇣i��!MN ^

�!B⌘

= 2⇣�a2sin��!ux +

a2cos��!uy

⌘^ (ib�!uz ^B�!ux) = �iabB sin��!uz

Calculer le moment associé aux actions de Laplace par rap-port au centre de la spire O.

�!ML,O = iab�!n ^

�!B =

�!M ^

�!B où

�!M = iS�!n avec S l’a surface de la spire.

Faire apparaître le moment magnétique de la spire.

Figure 3 – Représentation 3D de la spire en rotationautour de son axe vertical.

Figure 4 – Vu du dessus de la spire en rotation autourde son axe vertical

On applique le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, ce qui conduit à J � = �MB sin�.Considérons M > 0 alors� si sin� > 0 alors � < 0, i.e. le moment magnétique de la spire tend à s’aligner avec le champ magnétique ;� si sin� < 0 alors � > 0, i.e. le moment magnétique de la spire tend à s’aligner avec le champ magnétique ;� si sin� = 0 alors � = 0, i.e. la spire est immobile.

Discuter l’effet de ce couple.

Puissance mécanique d’un solide en rotation autour d’un axe P =�!MO2�.

�!⌦ =

⇣�!M ^

�!B⌘.��!uz = �MB sin�⇥ �.

En supposant que seules les forces de Laplace s’appliquent au système alors le théorème de l’énergie cinétique s’écrit

dEc

dt= P =) J �� = �MB� sin� .

Exprimer les puissances du problème et retrouver l’équation mécanique.

On a P = �dEp

dtalors Ep = �MB cos�+ cste. L’usage est choisir la constante nulle.

Supposons les actions de Laplace conservative, retrouver l’énergie potentielle associée.

On trouve un équilibre stable en � = 0 et un équilibre instable en � = ⇡.Déterminer les positions d’équilibre par une étude énergétique.

TD 29 Pb2

235


2.3 Les différents machines en rotations

Figure 5 – Machine à Courant Continu (MCC)Figure 6 – Représentation d’une MCC

Le fonctionnement de la MCC (et de fait des machines dites syn-chrones) est basé sur l’associations de plusieurs spires orientées dif-féremment. Dans une position donnée du rotor la spire interagissantavec le champ magnétique possède un moment magnétique non–aligné avec le champ magnétique, alors la spire (et de fait l’ensembledu rotor) tourne. Si rien n’était fait la spire s’alignerait avec le champmagnétique et le moteur s’arrêterait... Il faut donc changer de spireau court de la rotation, c’est le role des balais qui viennent fermerune spire spécifique.Le cas le plus simple (ci–contre) consiste à changer l’orientationd’une unique spire, pour rendre plus fluide le fonctionnement de lamachine on peut associer plusieurs spires. Figure 7 – MCC à une spire

� Machine à Courant Continu : association d’un stator créant un champ magnétique fixe et d’un rotor constitué d’une spire alimentépar un courant électrique. La vitesse de rotation est directement contrôlée par l’intensité du courant circulant dans le rotor.

� Machine synchrone : association d’un stator créant un champ magnétique tournant et d’un rotor de moment magnétique fixé (aimantpermanent ou alimentation électrique d’un spire). Le rotor tourne à la vitesse du champ tournant (synchrone).

� Machine asynchrone : association d’un stator créant un champ magnétique tournant et d’un rotor constitué d’une spire fermée nonalimentée. C’est le phénomène d’induction qui siège dans le rotor qui va créer un moment magnétique. Le rotor tourne à une vitesseinférieur à celle du champ tournant (asynchrone).

b Nomenclature

Dans les faits machines synchrones et asynchrones sont assez proches, la différence étant : associe–t–on un moment magnétique permanentau rotor ou non. Si le rotor est constitué de spires que l’on alimente alors il apparait un moment magnétique permanent (machinesynchrone) si les spires sont court–circuités alors il n’y a aucun moment magnétique permanent (machine asynchrone). Ces deux typesde machines peuvent également être utilisés comme récepteur ou génératrice (on parle d’alternateur car le courant généré est alternatif).

236


III Autres applications

3.1 Freinage par inductionNous avons vu lors de l’étude du rail de Laplace en mode générateur qu’il apparaissait une force s’opposant à l’action exercée parl’opérateur, i.e. une force magnétique s’opposant au mouvement apparait (cohérent avec la loi de modération de Lenz). Ce phénomèneest utilisé dans plusieurs dispositifs dont les freins électromagnétiques (TGV, poids lourds...).

Mise en évidence du freinage électromagnétique avec un aimant et des tubes en différents matériaux.K Freinage électromagnétique

Reprenons les résultats établis précédemment sur le rail de Laplace. En l’absence d’opérateur externe et de générateur, les équationsélectrique et mécanique permettent d’écrire (voir étude en début de chapitre pour la méthode complète)

8>><

>>:

dvdt

(t) +a2B2

Rmv(t) = 0 ;

i(t) = �Bav(t)

R.

Pour un rail initialement en mouvement à la vitesse v0, la résolution de la première équation différentielle conduit aux solutions8>><

>>:

v(t) = v0 exp

✓�

t⌧

◆avec ⌧ =

Rma2B2

;

i(t) = �aBR

v0 exp

✓�

t⌧

◆avec ⌧ =

Rma2B2

.

v(t)

t

i(t)

t


� Plus barre est massive plus il faut du temps pour la stopper (inertie).� Plus B est intense moins il faut de temps pour stopper la barre.

Remarque : le frein électromagnétique fait office de génératrice, l’énergie de freinage des tramways et métros de Lyon est ainsi récupéréeet réutilisée pour alimenter les transports en commun.http://www.rse-egis.fr/wp-content/uploads/2016/11/Egis_contact_39_Lyon_recup-energie-freinage.pdf

� Les courants induits sont volumiques, l’échauffement est mieux réparti que de le cas d’unfreinage par friction mécanique.

� Il n’y a pas d’usure mécanique.� Si la roue se bloque alors les actions de Laplace deviennent nulles et le freinage cesse. On

évite les dérapage intempestifs.� Un tel dispositif doit toutefois être associé à un système de freinage classique car le freinage

électromagnétique est d’autant moins important que le véhicule roule lentement.

b Caractéristiques du freinage par induction

237

http://www.rse-egis.fr/wp-content/uploads/2016/11/Egis_contact_39_Lyon_recup-energie-freinage.pdf


3.2 Haut–parleur électrodynamiqueUn haut-parleur est un appareil électromécanique qui transforme un signal électrique en signal sonore. La production du son est obtenuepar le déplaçant d’une membrane dans l’air. Un aimant permanent crée un champ magnétique permanent dans lequel se déplace l’équipagemobile constitué d’une bobine et relié à la membrane par un ressort.

Figure 8 – Haut–parleur électrodynamique blankblankblankblank-blank(http ://www.muzicosphere.fr) Figure 9 – Haut–parleur électrodynamique blankblank-

blankblankblank(http ://www.maxicours.com)Pour simplifier l’étude électrodynamique de ce haut-parleur et conformément au programme officiel, nous allons étudier le fonctionnementdans la géométrie simplifiée des rails de Laplace.

Dans ce modèle, la membrane est solidaire de la tige T . L’équipage mobile, constitué deT et de la membrane est de masse totale m. La tige T est reliée au bâti par l’intermé-diaire d’un ressort de constante de raideur k. L’origine de l’axe x est située à la positiond’équilibre du ressort.Pour tenir compte de la perte d’énergie au niveau de la membrane liée à l’émission del’onde sonore on ajoute une force de frottement fluide

�!ff = �↵�!v avec �!v = x�!ux. Le

générateur de tension E(t) délivre le signal électrique à transformer en signal sonore. Onnote R la résistance totale du circuit et L l’inductance propre du circuit.

TD 29 Pb1

238

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