Montage : Translation de fréquence, application à l ...

École Normale Supérieure de Cachan

Montage : Translation de fréquence, application à l’analysespectrale.

MASTER FESupPA

François Bailly, Valentin Marcel

8 avril 2014

1 Motivations et Théorie

1.1 IntroductionSupposons vouloir transmettre trois signaux (S1, S2 et S3), via un canal de transmission et dont les allures spectralesschématiques en bande de base sont représentées sur la Figure 1. Il va de soi que les transmettre tels quels entraîneraità la réception un problème de séparation de sources non trivial, afin de remonter à l’information contenue dans chacundes signaux (exemple de la réception radio et du canal Hertzien). L’idée de la translation de fréquence est de séparer àl’émission ces trois signaux dans le domaine fréquentiel (autour de f0, f1 et f2, Figure 1) afin qu’ils puissent être reçusde manière distincte, après un filtrage adapté. D’autres arguments viennent justifier cette pratique : il y a fort à parierque la canal utilisé pour la transmission soit à bande passante limitée B, et que les signaux en bande de base soient horsde cette bande passante. La nécessité de les "décaler" en fréquence afin qu’ils puissent transiter au travers du canal estalors claire. Enfin, des considérations vis à vis du bruit permettent de valider l’idée de la translation de fréquence etapportent une information quantitative quant au choix des fréquences porteuses f0, f1 et f2. En effet, dans une hypothèseraisonnable d’additivité du bruit, l’analyse de sa densité spectrale de puissance nous informe qu’aux basses fréquences

l’importance du bruit peut être critique (Flicker Noise), et qu’elle n’est pas constante (décroissance en1

f). Aux plus

hautes fréquences (≈ MHz), on observe un plancher de bruit, localement qualifiable de bruit blanc, et de puissancemoindre. Ce lieu fréquentiel parait être un bon compromis pour le choix des fréquences autours desquelles l’informationpeut être transmise.

Figure 1 – Schéma d’une chaîne de transmission

1.2 Principe de la translation de fréquenceLes propriétés de la transformée de Fourier stipulent que le produit de signaux temporels conduit à la création d’unsignal dont le spectre est égal au produit de convolution des spectres des signaux multipliés. Le caractère neutre del’impulsion de Dirac vis à vis de l’opération de convolution nous invite à multiplier le signal contenant l’information parune sinusoïde.

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Montage : Translation de fréquence, application à l’analyse spectrale.

2 Réalisation d’un analyseur de spectre

2.1 MotivationsLes signaux et les systèmes peuvent être caractérisés de manière équivalente dans les domaines fréquentiel et temporel.Toutefois, l’une ou l’autre représentation peut s’avérer plus adéquate pour mettre en évidence un paramètre donné. Cettedualité bien connue se retrouve dans les appareils de mesure : l’analyseur de spectre est au fréquentiel ce que l’oscillo-scope est au temporel. Il existe deux grandes familles d’analyseurs de spectre principalement justifiées par les gammesde fréquences à analyser.Pour les basses fréquences (jusqu’à la centaine de kHz), les analyseurs de spectre à balayage, lents et coûteux ainsi queles analyseurs à batteries de filtres commutés, réservés à certaines applications précises (audio), ont laissé la place auxanalyseurs numériques à FFT notamment. Concernant les hautes fréquences (jusqu’à la dizaine de GHz), on retrouveles analyseurs de spectre analogiques à balayage. Leur fonctionnement repose sur le principe de la translation de fréquence.

2.2 Principe

Figure 2 – Schéma de principe d’un analyseur de spectre

Le fonctionnement d’un analyseur de spectre à balayage se base sur le principe de l’hétérodyne. La première étapeconsiste à faire "glisser" le signal à analyser en fréquence (en multipliant par un signal dont la fréquence augmente avecle temps), puis à le faire passer dans un filtre passe-bande très sélectif (filtre céramique). Une fois le signal filtré autourde la composante à analyser, on mesure une image de la puissance de la composante isolée (ou bande de composantes)via le bloc détecteur de puissance. Après un éventuel bloc d’amplification, la dernière étape qui concerne l’utilisateurconsiste à visualiser l’analyse spectrale ainsi effectuée. Pour ce faire, plusieurs solutions s’offrent à nous :

— Régler l’oscilloscope en mode XY, en observant sur la voie 1 la rampe correspondant à l’évolution en fréquencedu signal multipliant l’entrée et sur la voie 2 la sortie du détecteur de puissance.

— Régler l’oscilloscope en mode temporel classique, en observant la sortie du détecteur de puissance pour un signalmultipliant l’entrée variant logarithmiquement en fréquence.

2.3 Réalisation des blocs, choix des composants2.3.1 Translation en fréquence

On utilise pour cela un multiplieur large bande (ref. AD734) de bande passante 5 MHz, de gain 110 dans la bande passante.

Le constructeur spécifie que ce composant est à faible distorsion (<80 dBc), ce qui est appréciable pour notre utilisationcar on espère avoir en sortie du multiplieur :

s(t) =1

10· e1(t) · e2(t)

En considérant des entrées sinusoïdales de fréquences f1 et f2 :

s(t) =A1A2

20· [sin (2π(f1 − f2)t) + sin (2π(f1 + f2)t)]

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Ceci est valable en régime linéaire et on peut vérifier le fonctionnement du composant avec des entrées de faible amplitudepour rester dans ce régime de fonctionnement :

Figure 3 – Multiplieur AD734 en régime linéaire

Pour deux signaux d’entrée sinusoïdaux de fréquences respectives 100 et 300 kHz et d’amplitude 2 Vpp, la fonction FFTde l’oscilloscope sur le signal de sortie du multiplieur traduit le bon fonctionnement du composant utilisé, avec une raieà 200 kHz et une seconde à 400 kHz.Examinons à présent les limites du composant :

Figure 4 – Multiplieur AD734 en régime non linéaire

Pour les mêmes signaux en entrée mais d’amplitude 5 Vpp, la fonction FFT de l’oscilloscope sur la sortie du multiplieurnous indique l’apparition d’harmoniques, qui sont bien d’amplitudes inférieures aux deux raies qui prouvent la fonctionattendue du composant. Ces harmoniques traduisent le fait que la fonction réalisée par le multiplieur en présence designaux trop puissants n’est plus une simple multiplication. Malgré le caractère filtrant de notre montage (cf. filtrecéramique) il faut garder à l’esprit la non linéarité mise en évidence ici pour expliquer des phénomènes observés par lasuite. D’autre part, pourquoi ne pas travailler avec des signaux limitant le caractère non linéaire de l’AD734 ? La réponseprovient des différentes atténuations que va subir le signal à travers les blocs, qui nécessitent une puissance d’entrée nonnégligeable pour avoir une sortie significative.Une fois cette fonction réalisée, il faut générer un signal sinusoïdal de fréquence variable sur une des entrées du multiplieurpour faire "glisser" l’autre signal (à analyser) en fréquence. Pour générer ce signal, on peut classiquement utiliser un VCOcontrôlé en tension par une rampe (cf. schéma de principe de l’analyseur). Puisque ce type de translation en fréquence

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conserve le spectre du signal incident, une fréquence fixe f0 (celle du filtre passe-bande) verra passer la somme des deuxfréquences (ou la différence) :

f0 = f1 + f2

Avec f1 la fréquence du signal en sortie du VCO, qui augmente selon une rampe et donc f2 qui diminue en décrivant lespectre du signal à analyser :

Figure 5 – Principe fréquentiel du multiplieur

2.3.2 Filtrage

Le bloc de filtrage sert à fixer la fréquence f0 introduite précédemment, qui correspond à la fréquence autour de laquelleon analysera nos signaux. Une remarque vient naturellement quant à ce choix : pourquoi ne pas décaler la fréquencecentrale du filtre plutôt que d’opérer la translation fréquentielle introduite plus haut ? C’est la qualité du filtre à réaliserqui va fixer notre choix : on préfère réaliser un filtre performant (très sélectif) à fréquence fixe, et décaler le signal àanalyser, plutôt que des bancs de filtres analogiques (coûteux, moins performants). Il faut donc constituer un filtre passe-bande et l’on sent dans une première approche qualitative que la sélectivité du filtre jouera sur la résolution de notreanalyseur de spectre. Pour ce faire, plusieurs solutions s’offrent à nous : filtres passifs, filtres actifs... Nous choisirons dansun premier temps un filtre céramique (ref. SFU455A), appréciable pour son facteur de qualité (Q ≈ 200) et qui de plusest couramment utilisé dans ce type d’application. Le filtre en question présente une fréquence de résonance de l’ordrede 455 kHz, mais nous possédons un moyen de réglage fin via une capacité à placer sur le composant :

Figure 6 – Filtre céramique SFU455A

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Ainsi, pour différentes valeurs de capacités, on obtient les différentes réponses en fréquence du filtre :

Figure 7 – Réponse en fréquence du filtre céramique pour différentes valeurs de capacités

Pour notre application on prendra C = 10 pF pour améliorer la sélectivité du filtre. On remarque au passage son gain àf0 = 457 kHz qui est de l’ordre de −15 dB, d’où les considérations du paragraphe précédent sur la puissance des signauxd’entrée à injecter dans le circuit.

2.3.3 Détecteur de puissance

En sortie du filtre que l’on va supposer parfait pour une première étude qualitative, le signal est une sinusoïde pureà f0 = 457 kHz, dont la puissance (l’amplitude) dépend de la puissance de la composante du signal d’entrée située àf = f0−f1, à l’instant où la sinusoïde en sortie du VCO est précisément à f1. Il y a donc deux dynamiques distinctes quisont respectivement celle de la variation de la rampe du signal de commande du VCO et celle de la fréquence sélectionnéepar le passe-bande. Pour avoir une image de la puissance véhiculée par le signal en sortie de filtre, il faut que notredétecteur de puissance soit insensible aux variations à 457 kHz du signal, afin qu’il détecte sa valeur crête. D’autre part,pour qu’il détecte les variations d’amplitude du spectre analysé, il doit laisser passer les variations à la fréquences debalayage. Un montage classique de détecteur de crête permet de remplir cette fonction :

Figure 8 – Détecteur de crête

D’après les considérations précédentes, on dispose d’une fourchette pour dimensionner la valeur du filtre passe basnécessaire à la détection de la puissance de la fréquence à analyser à un instant donné. Pour une fréquence de balayagemaximale de 20 Hz, on prend :

20 < fC 457000⇒ 1

457000 RC <

1

20

C = 10 nF et R = 50 kΩ conviennent.

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2.3.4 Amplificateur logarithmique

Afin de se rapprocher des fonctions réalisées par un analyseur de spectre à balayage classique, un affichage de la puissancedes composantes spectrales en décibels peut être intéressant. Pour obtenir ce résultat à une constante près, il faut effectueranalogiquement l’opération logarithme. Un montage simple permet de comprendre le principe de réalisation d’un telcircuit :

Figure 9 – Principe de l’amplification logarithmique

VD = −V s

ID = ISAT

e−VSVT − 1

≈ ISATe−VSVT

Avec VT = 25 mV à 25 C, tension thermodynamique.

VE = RISAT

e−VSVT

⇔ ln(VE) = ln(RISAT )− VSVT

VS = −VT · ln(

VERISAT

)On paie la simplicité de ce montage en examinant les termes de l’expression établie : ISAT et VT dépendent de latempérature, et l’échauffement naturel des composants du circuit entraine une dérive de la tension de sortie ce qui n’estpas tolérable pour effectuer des mesures (absence de référence).A la place d’utiliser une diode, on préfère utiliser un transistor. En effet, la qualité de sa caractéristique courant tensionest bien souvent meilleure que celle de la diode. On obtient alors le montage suivant :

Figure 10 – Amplification logarithmique à transistor.

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C’est un montage à base commune. On a de la même façon que pour la diode :

VS = −VT · ln(

VERISAT

)On note sur ce schéma la présence d’une résistance de sortie RC . Si on supprime cette résistance on peut observer desinstabilités dues au gain en tension du transistor. En effet la boucle de rétroaction de l’amplificateur réalisé ne doitpas trop amplifier le signal de sortie ramené à la borne inverseuse de l’AOP via le transistor. Si le gain en tension estsupérieur à 1, alors l’amplificateur devient instable et l’on observe des oscillations du signal de sortie ; on a alors réaliséun oscillateur.Le gain en tension dans la boucle de rétroaction vaut :

B = gmRC

Or gm =IC0

UT, le gain en tension vaut ainsi B =

Ve − εUT

. Aussi, lorsque Ve est trop élevé le montage devient instable.

C’est afin de s’affranchir de ce problème que l’on ajoute la résistance RC en sortie de l’AOP qui permet de réaliser undiviseur de tension et de diviser le gain par gmRC ce qui nous donne un gain unitaire.Ce montage étant toujours très sensible à la température, on devrait utiliser un montage différentiel avec un transistorayant les mêmes caractéristiques que celui utilisé dans l’amplificateur logarithmique qui permettrait de compenser lesvariations de la tensions de sortie.Fort heureusement, un tel composant existe en intégré : l’amplificateur logarithmique 4127JG. Nous détaillerons néan-moins les possibilités d’utilisation qu’il offre.

Figure 11 – Amplificateur logarithmique 4127

Son schéma électronique simplifié est le suivant :

Figure 12 – Montage simplifié de l’amplificateur logarithmique 4127

En entrée, on repère le montage en ampli-log avec l’aop et le transistor. L’entrée est directement le courant IS et peutêtre positive ou négative (on a alors un montage inverseur de courant. On peut régler un courant de référence IR à l’aided’une résistance R1 qui va nous permettre d’ajuster l’échelle logarithmique en sortie que l’on choisira arbitrairement. Unétage amplificateur de gain pur nous permettra enfin de régler la gamme de variation du signal de sortie E0 en faisantvarier une résistance R2.La fonction réalisée est donc la suivante :

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E0 = A log10

(ISIR

)où A =

1

0.434

RT +R2

RTVT avec RT = 520Ω.

La datasheet de l’amplificateur précise la valeur max de courant en entrée : 1mA. Après les différents blocs assemblés, latension maximum en entrée de l’ampli est de l’ordre de 2V, on choisira une résistance RC = 100kΩ pour avoir un courantmax de 10µA en entrée de l’ampli-log et rester en deçà des spécifications du constructeur. Voici la marche à suivre pourajuster les valeurs de sorties :

— On applique à l’entrée du montage complet un signal de référence (une sinusoïde d’amplitude 1V dans notre cas,choisie arbitrairement) qui fixera le 0 de notre échelle en dB. On doit ensuite choisir une résistance réglable R1

entre les pattes 22 et 23. Pour calculer son ordre de grandeur on a IREF ≈ 15−Uzener

(520+R1). On choisira R1 de l’ordre

de 4, 5MΩ, on choisira donc 4 résistances 1MΩ en série avec un potentiomètre P2 de 1MΩ que l’on règlera demanière à avoir l’amplitude du fondamental en sortie de 0V (équivalent 0dB).

— On règle ensuite la gamme de variation du signal de sortie (on veut par exemple une amplitude en sortie de 1Vpour le fondamental d’amplitude 4

π , d’un signal carré d’amplitude 1V. Ainsi, on a à peu près 1V→ 1dB. On a doncune échelle en dBV, Pour cela on règle l’amplificateur de tension par la valeur de R2. On prendra un potentiomètrede 100kΩ.

— On pourra affiner les réglages si besoin en répétant les points précédents.

Cet amplificateur logarithmique nous permet de visualiser beaucoup d’harmoniques du signal dont l’amplitude seraitcomplètement effacée en l’échelle linéaire. On peut, de plus, régler la gamme et l’échelle grâce aux potentiomètres P1 etP2 ce qui nous permet d’adapter l’affichage avec le signal que l’on veut observer.

3 Caractérisation de l’appareil réaliséL’utilisation de l’appareil ainsi réalisé laisse apparaître certaines limitations qui étaient prévisibles par la théorie. Unefois le filtre choisi, le seul moyen de réglage de notre analyse réside dans les paramètres du balayage fréquentiel du signaldu VCO (fréquences minimales et maximales, vitesse de balayage...).

3.1 Phénomène de repliement de spectreOn peut mettre en évidence deux causes de repliement de spectre :

— En réglant mal la plage de balayage de la fréquence du signal en sortie de VCO, on peut faire en sorte qu’à deuxinstants distincts (t1 et t2) dans une période de balayage on ait :

f0 = f1(t1) + f2, puis, f0 = |f1(t2)− f2| avec f2 fixée.

On observe alors deux images de la fréquence f2, ce qui correspond en fait à une représentation bilatérale de latransformée de Fourier. En réglant astucieusement la plage de balayage, on peut remédier à cette limite.

— Dans le cadre de l’analyse de signaux à spectres étendus (voire infinis), on peut être contraints à choisir la plagede fréquences en sortie du VCO de telle sorte qu’une partie du spectre du signal à analyser passe dans le filtre viala somme des fréquences (f0 = f1 + f2) et qu’une autre partie, plus haute en fréquence, y passe via la différence(f0 = |f1 − f2|, cf. Figure 10). On obtient alors une visualisation désordonnée de la répartition fréquentielle descomposantes du signal à analyser. On ne peut compenser cette limitation par un réglage de la plage de balayage :c’est le rôle du filtre anti-repliement.

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Figure 13 – Schématisation des deux causes de repliement

3.2 Filtre anti repliementLa solution classique pour s’affranchir du problème observé consiste à filtrer la partie du signal qui est sujette aurepliement, et ce avant l’analyse. Notons que cela à pour effet de limiter la fréquence maximale d’utilisation de notreappareil, car toute fréquence supérieure à la fréquence de coupure du filtre passe-bas qui va être mis en œuvre ne pourraêtre observée.Nous proposons de câbler un filtre passe-bas du second ordre via une cellule de Sallen-Key. Exemple de fonctionnementsur le signal carré :

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Figure 14 – Observation du spectre replié d’un signal carré à 100 KHz

En insérant le filtre anti repliement dans notre montage, on obtient :

Figure 15 – Observation du spectre filtré d’un signal carré à 100 KHz

3.3 PerformancesRésolution en régime quasi statique : limitée par l’acuité de la résonance du filtre passe bande.⇒ Mise en évidence en changeant la technologie du filtre passe-bande (ex. circuit bouchon RLC classique, Q ≈ 50).

Vitesse de balayage et influence sur la résolution : dynamique limitée par le temps de réponse du filtre. Plus la vitessede balayage (en Hz/s) augmente, plus la résolution fréquentielle est dégradée :

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Figure 16 – Effet de la vitesse de balayage sur la résolutoin fréquentielle

3.4 ApplicationsObservation du spectre de la modulation AM

Modulation FM :— Observation de l’étalement du spectre par rapport à la modulation AM.— Possibilité de retrouver l’ordre de grandeur de l’indice de modulation via la bande de Carson.— Visualisation des coefficients des fonctions de Bessel en modifiant la déviation en fréquence de la modulation

analysée.

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