Modélisation surfacique Partie III : Reconstruction de...

Modélisation surfaciquePartie III : Reconstruction de surfaces

Ulysse Vimont

Inria, Équipe Imagine

2013-2014

1 Introduction

2 Opérations sur les nuages de points

3 Simplification de maillage

4 Inférence de voisinage

5 Approche différentielle

6 Conclusion

Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2013-2014 1 / 43

1 IntroductionChaine de l’information 3DDéfinitionExempleProblématiqueEstimationApprochesRéférences





6 ConclusionUlysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2013-2014 2 / 43

Chaine de l’information 3D

un objet réel est scanné sous pllusieurs angleschaque résultat est pré-traité (filtrage, outliers, ...)les différents nuages de points sont recalés entre euxle résultat est post-traité (homogénéisation, filtrage, ...)le résultat est convertit en un modèle structurécette nouvelle structure est améliorée (rebouchement des trous, ...)le résultat est visualisé, imprimé, animé, ...

cf http://graphics.stanford.edu/data/3Dscanrep/.


http://graphics.stanford.edu/data/3Dscanrep/

Définition

Reconstruction de surface :Passer d’un modèle de représentation d’objet ponctuel à un modèlesurfacique.

nuage de points -> maillage,surfaces B-spline, surfacesparamétriques, surface implicite

problème classique : mise enplace d’outils standard detraitement des nuages depoints Hugues Hoppe, Surface reconstruction

from unorganized points.


Exemple

virtualisation : scan d’objet réel -> maillagecompression : perte de connectivité -> reconstructionremaillage : ré-échantillonnage + re-création de la connectivité...

Recon.Scan

monde virtuel

objet réel nuage de points maillage


Problématique

création d’information :intégration d’a priori ?

robustesse : inadaptation dumodèle ?

conservation de l’informationinitiale ? interpolant vs.approximant.


Estimation

Il existe beaucoup de méthodes de reconstruction de surface.La qualité d’une méthode s’estime à :

sa complexité algorithmique (capacité à reconstruire à partir debeaucoup de points)la qualité des résultats (capacité à reconstruire une variété sans trous)la résistance au bruit

autre critère :temps réeladaptatifmettable à l’échelle (scalable)


Approches

Différentes manières de concevoir le problème :simplification de maillages denses (Optimal transport theory,simplification locale, crust)inférence du voisinage (alpha shapes, Rotating Ball Algorithm)fonction de distance signée (Radial Basis Function, problème dePoisson)

Quelques sous-problèmes :définition des normalesorientation des normales


Références

Deux thèses :Inverse geometry : from the raw point cloud to the 3d surface : theoryand algorithms, Julie Digne (UCBL)Surface Reconstruction from Unorganized Points, Hugues Hoppe...

Coté framework :documentation CGALdocumentation OpenMesh


1 Introduction

2 Opérations sur les nuages de pointsDistance de HausdorffDistance à un nuage de pointsVoisinage dans un nuage de pointsFiltrage d’un nuage de pointsCalcul des normales d’un nuage de pointsOrientation des normalesTriangulation de Delaunay




6 ConclusionUlysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2013-2014 10 / 43

Distance de Hausdorff

Définition : distance de Hausdorff d’un point à un ensembleSoit S un ensemble. On définit la distance de Hausdorff du point A à Spar :

dist(A, S) = min({dist(A, s)|s ∈ S})

dépend d’une distance "simple" (de point à point)algorithme de Newton pour trouver la distance minimale



Définition : distance de Hausdorff d’un ensemble à un autreSoit S1 et S2 deux ensembles. On définit la distance de Hausdorff de S1 àS2 par :

dist(S1,S2) = max({dist(s,S2)|s ∈ S1})

non symétrique (dist(S1, S2) 6= dist(S2, S1) en général)



Définition : distance de Hausdorff symétriséeSoit S1 et S2 deux nuages de points. On définit la distance de Hausdorffsymétrisée de S1 à S2 par :

dist∗(S1,S2) = max(dist(S1,S2), dist(S2, S1))

on peut en imaginer d’autres (dist(S1,S2) + dist(S2,S1) par exemple)


Distance à un nuage de points

Remarque : la distance d’un point à un ensemble correspond à la distanced’un ensemble ponctuel à un ensemble quelconque.

Définition : distance de Hausdorff d’un point à un nuage de pointsSoit P = {pi} un nuage de points. On définit la distance de Hausdorff dupoint A à P par :

dist(A,P) = mini (dist(A, pi ))



Définition : distance de Hausdorff entre nuages de pointsSoit P1 = {p1

i } et P2 = {p2i } deux nuages de points. On définit la distance

de Hausdorff de P1 à P2 par :

dist(P1,P2) = mini (dist(p1i ,P2))

Définition : distance de Hausdorff symétrisée entre nuages de pointsSoit P1 = {p1

i } et P2 = {p2i } deux nuages de points. On définit la distance

de Hausdorff symétrisée de P1 à P2 par :

dist∗(P1,P2) = max(dist(P1,P2), dist(P2,P1))



Application : recalage. On a deux nuages de points, e ton cherche latransformation qui fait passer de l’un à l’autre

on détermine les paramètres de l transformation qui minimise ladistance entre les nuages de pointson procède par morceaux pour recaler les nuages issus de capturessous différents angles (grâce au recouvrement)

http://en.wikipedia.org/wiki/Point_set_registration


http://en.wikipedia.org/wiki/Point_set_registration

Voisinage dans un nuage de points

Soit P = {pi} un nuage de points. Pour chaque i on cherche un ensemblevi ⊂ P qui représente la notion de localité.

idée 1 : On considère l’ensemble des points du nuage dans une sphèrecentrée autour du point considéré. Problème :

I on ne peut être sûr que vi {pi} 6= ∅idée 2 : On considère un nombre donné de plus proches voisins dupoint considéré. Problème :

I on ne peut être sûr de conserver la notion de localitéI non symétrique (pj ∈ vi ; pi ∈ pj)

il faut choisir la notion correspondant à son objectif (ou faire uncompromis)la complexité de la détermination du voisinage dépends de lastructure accélératrice utilisée


Filtrage d’un nuage de points

notion de voisinage -> notion de régularité

Principe : lissage laplacienLe lissage laplacien consiste à rendre un ensemble de valeurs réparties dansl’espaces plus homogènes en rapprochant chaque composantes de lamoyenne de ses composantes voisines.

cf. lissage laplacien pour les maillagesdifférence : définition de la proximité dans l’ensemblerésultats différents en fonction de la notion de voisinage adoptéeproblème : lissage de parties non surfaciques pures

Extension : approximation locale et projection sur un espace de régression.


Calcul des normales d’un nuage de points

Hugues Hoppe, Surface reconstruction from unorganized points.

Idée de basePour un point pi donné :

on détermine son voisinage vi

on trouve un plan Πi approximant vi

on prend le vecteur normal ni de Πi

Orientation des normales ? (ex : du plan vers le point)Homogénéité de la répartition des normales ?


Calcul des normales d’un nuage de pointsVoronoi-based Variational Reconstruction of Unoriented Point Sets, P.Alliez et al., SGP 2007

Idée de basePour un nuage de points P = {pi} donné, on détermine son diagramme deVoronoï P ′ = {ci} (ensemble de cellules). Ensuite, pour chaque pi :

on détermine les composantes principales {dj} de la cellule cicorrespondanteon prend ni = dk où k = argminj‖dj‖la valeurs propre associée représente une mesure de confiance

Orientation des normales ? (ex : du point vers le centre de gravité dela cellule)Homogénéité de la répartition des normales ?


Orientation des normales

Idée : pour chaque point, on prend la direction moyenne des normales duvoisinage (lissage laplacien des directions des normales).Problèmes :

surfaces non orientablesnuages peu denseszones non surfaciques


Triangulation de DelaunayPour tout nuage de point, on peut trouver une triangulation telle quechaque triangle a un cercle circonscrit ne contenant aucun autre point del’ensemble que ceux sur lequelle il s’appuie.

notion fondamentale

dualité avec le diagramme deVoronoï

complexité algorithmique enn × log(n)


1 Introduction


3 Simplification de maillageEnveloppe convexeAlgorithme de CrustExtensionTransport optimalBilan



6 Conclusion


Enveloppe convexeDétection du contour de la triangulation de Delaunay : en 2D, on garde lesarêtes adjacentes à un seul sommetProblèmes :

nuage volumique vs nuage surfaciqueobjets non convexesalgorithme non optimal pour extraire une enveloppe convexe (cf.Quickhull, Jarvis)


Algorithme de CrustÉtant donné un nuage de points P = {pi}, calculer sa triangulationde Delaunay T = {ti} (ensemble de triangles) et son diagramme deVoronoï P ′ = {p′i , } (ensemble de points).On cherche à déterminer quels sont les arêtes de T qui ne sont passur la surface.Garder les arêtes a de T pour lesquelles on peut trouver un cerclecontenant a et ne contenant pas de sommet de Voronoï p′i .


Algorithme de CrustAvantage :

preuve de convergenceInconvénient :

qualité du maillage de sortie


Extension

The Power Crust, Nina Amenta Sunghee, Choi Ravi and Krishna Kolluri,SMA, 2001.


Transport optimalAn Optimal Transport Approach to Robust Reconstruction andSimplification of 2D Shapes, Fernando de Goes, SGP, 2011Objectif : filtrage d’un maillage reconstruit

calcul du delaunay completcalcul du cout de toutes les simplifications possiblesréalisation de la simplification la moins couteuseitération jusqu’à atteinte d’un seuil (nb. de pts., erreur d’approx.)

Problèmes :seulement en 2Dreconstruit le bruit


Bilan

Problèmes des approches parsimplification de maillage :

nécessite la construction d’ungraphe intermédiaire lourdnon scalable

cf. The Digital Michelangelo Project


1 Introduction



4 Inférence de voisinagePrincipeBPABilan


6 Conclusion


PrincipeCritère ad hoc

-> définition de la connectivité sousla forme de triangles s’appuyant surdes points situés dans un mêmevoisinage.

Problèmes :Définition de la localité ?Échantillonage de points nonhomogènePropriétés sur la surfacerésultante : variété ?création de la triangulation deDelaunay -> scalabilité ?


Ball Pivoting Algorithm (BPA)

The ball-pivoting algorithm for surface reconstruction, Fausto Bernardiniet al., 1999

Extension des alpha-shape (mix simplification / approche locale)

Algorithme :on part de 3 pts sur lesquels s’appuie une sphère re rayon ρ, ilsforment un trianglela sphère pivote autour d’une des arête, jusqu’à atteindre un nouveautriplet, qui à son tour forme un triangle

Exemple en 2D sur les slides de Julie Digne.


Ball Pivoting Algorithm (BPA)

Remarques :plus la boule est petite, plus on va créer de trous et de partiesdéconnectéesplus la boule est grande, plus on va perdre de détailscas limite : boule de rayon ∞. Triangulation finale = enveloppeconvexe.

Extension :le rayon doit être choisit en fonction du pas d’échantillonagerayon adaptatif en fonction du pas moyen dans un certain voisinage


Bilan

Problème des approches locales :nécessitent une adaptation locale pour correctement reconstruire lasurfacepas d’assurance de variété topologique


1 Introduction




5 Approche différentielleRBFBilan

6 Conclusion


Radial Basis Function (RBF)

Interpolation de valeurs dans l’espace (scattered data interpolation) :Soit N point pi de l’espace affectés d’autant de valeurs wi . Oncherche une fonction continue de l’espace f telle que ∀i , f (pi ) = wi ).On considère une fonction radiale r (par exemple r(x) = ‖x‖), qu’onva utiliser comme base pour exprimer f : f (x) =

∑fi r(x − pi ).

On note φi ,j = r(pi − pj), et Φ = (φi ,j) (matrice symétrique)Le problème s’exprime par Φ× F = W où :

I F = (fi ))I W = (wi )

démo octave


Radial Basis Function (RBF)Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial BasisFunctions, J. C. Carr et al., SIGGRAPH 2001.

On peut utiliser les RBF pour reconstruire une surface :



on défermine une fonction implicite qui va définir notre surfaceinterpolantecontrainte f (pi ) = 0 insuffisante (on obtient la fonction nulle)pour chaque point, dans la direction de sa normale, on définit deuxnouveaux points de contrainte :

I un à l’intérieur avec un poids positifI un à l’extérieur avec un poids négatif

Remarques :autre solution : prendre en compte le gradient dans la résolutionon résout un problème de Poissonon peut rajouter un terme polynomiale à l’expression de f pourminimiser la courbureon obtient un maillage par un algo type marching cube.



Autre utilisation :

rebouchage de trous(interpolation vs extrapolation)

Implicit Skinning : Real-TimeSkin Deformation with ContactModeling


Inconvénient :nécessite la résolution d’un système linéairenon scalable et potentiellement lent


Conclusion

Il existe bien d’autre méthodes non présentées ici, par exemple àSIGGRAPH 2013 (s2013.siggraph.org/attendees/technical-papers/session/surface-reconstruction) :

Screened Poisson-Surface Reconstruction, Kazhdan and HoppeA Benchmark for Surface Reconstruction, Berger, Levine, Nonato,Taubin and SilvaDense Scene Reconstruction With Points of Interest, Zhou and KoltunScalable Real-Time Volumetric Surface Reconstruction, Jiawen Chen,Bautembach and Izadi


s2013.siggraph.org/attendees/technical-papers/session/surface-reconstruction

s2013.siggraph.org/attendees/technical-papers/session/surface-reconstruction

Conclusion

Dant tout les cas, il faut faire un compromis entre :la rapiditéla robustessela scalabilité


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