Modélisation dynamique du rein par uneapproche de type morphingDe la reconstruction 3D à la simulation dumouvement

Valentin LeonardiLaboratoire LSIS (UMR CNRS 7296)ESIL - Campus de Luminy - Case 925163, Avenue de Luminy13288 Cedex 9

valentin.leonardi@univ-amu.fr

RÉSUMÉ. L’utilisation d’une méthode non-invasive de destruction de tumeur par transmissiond’ondes transcutanée nécessite de garder le faisceau d’ondes ciblé sur la tumeur. Lorsque latumeur se situe au sein d’un organe mobile comme le rein, la simulation de son mouvementdevient nécessaire. Nous présentons ici une méthode originale afin d’obtenir cette simulation :le mesh morphing (nous considérons que le rein a déjà été segmenté et reconstruit pour troisphases du cycle respiratoire). Une telle approche permet la transition progressive entre diffé-rents modèles rénaux, conduisant à la simulation du mouvement. Ainsi, la méthode est purementgéométrique et ne nécessite pas de marqueur ou d’appareil de tracking. Les résultats sont direc-tement des simulations 3D et les modèles sont animés en temps réel. Finalement, notre approcheest automatique et rapide, et peut donc être utilisée dans un environnement médical.

ABSTRACT. When using a non-invasive way of tumor destruction through transcutaneous trans-mition of waves, it is primordial to keep the wave beam focused on the tumor. If the tumor islocated in a moving organ like the kidney, motion simulation is necessary. We present here anoriginal method to obtain the kidney motion simulation: this is done using a mesh morphing.Such an approach allows a smooth transition between the different kidney models, resultingin a motion simulation. Thus, the method is purely geometric and does not need any kind ofmarkers or tracking device. It gives directly a full 3D simulation and models are animated inreal time. Finally, our approach is automatic and fast, so that it can easily be used in a medicalenvironment.

MOTS-CLÉS : Modélisation géométrique, simulation de mouvement d’organe, modélisation durein, mesh morphing

KEYWORDS: Geometrical modeling, organ motion simulation, kidney modeling, mesh morphing

JDL’6 2012, pages 1 à 12

1. Introduction

Le projet KiTT (pour Kidney Tumor Tracking), dans lequel nous sommes im-pliqués, s’inscrit dans un contexte de traitement mini-invasif des tumeurs rénales. Safinalité est de développer une nouvelle approche totalement non-invasive en transmet-tant un agent physique (ondes de radiofréquence, ultrasons, ...) par voie transcutanéejusqu’à éradication de la tumeur. La principale difficulté est d’avoir le faisceau d’ondescontinuellement focalisé sur la tumeur alors que celle-ci est bouge en raison du mou-vement et de la déformation du rein sous l’influence cycle du respiratoire. Un trackingtemps-réel du rein (et donc de la tumeur) est alors nécessaire. Avant cette étape desuivi de l’organe, il faut en obtenir un modèle 3D robuste. Ces travaux sont décritsdans une précédente publication (Leonardi et al., 2011b)

Nous proposons ici une nouvelle méthode dont l’objectif est double : le premierest d’obtenir le mouvement et la déformation d’un organe (le rein dans notre cas) sousl’influence de la respiration. Le second objectif découle logiquement du premier etest le tracking d’une partie de cet organe, la tumeur. L’originalité de notre méthodeest qu’elle repose sur une approche entièrement géométrique : le mesh morphing. Elleest ainsi accélérée et ne nécessite que trois modèles correspondants à trois phasesrespiratoires : la phase d’inspiration (quand le volume d’air dans les poumons estmaximal), la phase d’expiration (quand le volume d’air dans les poumons est minimal)et la phase située entre les deux dernières que nous appellerons phase médiane. Deplus, les résultats obtenus sont eux aussi de nature géométrique puisqu’il s’agit d’unmodèle 3D animé. De ce fait, le mouvement et les déformations peuvent être étudiéssous n’importe quel angle alors que certaines méthodes n’offrent que la possibilitéd’une visualisation 2D. Enfin, la tumeur étant également animée il est possible deconnaître sa position à tout moment.

La partie 2 de cet article traite des travaux précédents concernant le tracking d’unorgane et le mesh morphing. Une présentation de la méthode est fait dans la partie 3 :un bref rappel de la reconstruction du rein est abordé, puis l’algorithme utilisé pourle mesh morphing est décrit en détails. Dans la partie 4, les résultats obtenus sontprésentés, les performances de la méthode commentées et une discussion est faiteconcernant ses limites et les possibilités de les contourner.

2. État de l’art

2.1. Tracking d’organe

Les méthodes de tracking d’organe sont soit basées sur des modèles mathéma-tiques représentant le cycle respiratoire comme une fonction périodique, soit sur desalgorithmes empiriques permettant des prédire les futurs mouvements par observationet analyse des précédents.

La manière la plus intuitive de traquer un organe et de placer un marqueur facile-ment détectable par une acquisition d’imagerie médicale près de celui-ci (Nakamoto

et al., 2008), (Nicolau et al., 2007), (Olbricha et al., 2005), (Schweikard et al., 2000),(Shirato et al., 2000). Ce formalisme est également utilisé dans les systèmes robo-tiques de radio-chirurgie comme le Cyberknife (Murphy et al., 2003). Ce genre deméthode nécessite une intervention chirurgicale qui n’est pas adapté à notre problé-matique.

Les approches suivantes supposent que l’organe à traquer a déjà été segmenté etreconstruit au préalable. Dans la plupart des cas deux modèles sont suffisants, maistrois (Sarrut et al., 2006) ou parfois plus (Rohlfing et al., 2001) sont quelques foisnécessaires. Ces acquisitions en plus peuvent être utilisées pour améliorer la précisionde la simulation. Dans d’autre cas, ce ne sont pas des acquisitions qui sont nécessairesmais d’autres types de données essentielles à la méthode. Hostettler et al. (Hostettleret al., 2008) utilisent le mouvement du diaphragme afin de la répercuter sur les organesde l’abdomen. Dans (Sarrut et al., 2006), l’air, les tissus et les poumons de trois phasesrespiratoires doivent être segmentés pour obtenir le tracking de l’organe.

Les champs de déformations sont utilisés afin d’analyser les mouvement d’unorgane. Ces champs servent à calculer les déformations nécessaires à appliquer surun modèle source donné Ms afin de le déformer en un modèle cible donné Mt . Lechamp de déformation peut être calculé par Maximum de vraisemblance / Espérance-Maximisation (Reyes et al., 2005), moindres carrés (Sarrut et al., 2006) ou des ap-proches basés sur l’Information Mutuelle Normalisée (Rueckert et al., 1999). Lesdéformations peuvent également être appliquées sur un maillage via une super-quadratique déformable afin d’obtenir les mouvements de l’organe (Bardinet et al.,1996).

Les méthodes de recalage sont également un bon moyen d’arriver au trackingd’un organe. Nicolau et al. (Nicolau et al., 2007) utilisent deux acquisitions. Sur lapremière des marqueurs sont placés afin de relever la position de l’organe d’intérêt.Une seconde acquisition est ensuite faite, sans marqueurs. L’analyse de la différencede position de la colonne vertébrale entre les deux acquisitions permet de calculer lerecalage par minimisation de l’Extended Projective Point Criterion. Dans (Rueckertet al., 1999) deux opérations sont nécessaires pour obtenir le recalage : une transfor-mation affine est utilisée pour les mouvements globaux tandis d’une Déformation deForme Libre est utilisée pour les mouvements locaux. Deux algorithmes de recalagebasés sur le flux optique sont implémentés et accélérés par programmation GPU dans(Noe et al., 2008) afin de procéder à une radiothérapie guidée par images.

2.2. Morphing

Le mesh morphing est une méthode utilisée pour transformer progressivement unmodèle source Ms en un modèle cible Mt . La manière la plus usuelle d’obtenir un meshmorphing est de trouver un réseau de sommet/arête/face commun aux deux modèlesafin de calculer un metamesh Mm comprenant la topologie de Ms et Mt . Ce réseau com-mun est obtenu par projection des modèles sur des formes arbitraires, ces projections

étant basées sur la résolution d’un système linéaire. Cette approche a été utilisée enpremier par Kent et al. dans (Kent et al., 1992) où les deux modèles sont projetés surle disque unité. Dans (Alexa et al., 2000), Alexa et al. créent un mesh morphing pourlequel l’intérieur est pris en compte. Un modèle 3D est décomposé en un ensemble detétraèdres et une forme 2D en un ensemble de triangles. L’interpolation d’un tétraèdreest faite via l’utilisation de matrice de rotation et de cisaillement à valeurs positives.Dans (Gregory et al., 1998) Ms et Mt sont divisés en un nombre identique de patchs P.Chaque patch est ensuite transformé de manière à ce que le patch Pk de Ms soit trans-formé en Pk de Mt . Cette approche est proche de celle utilisée dans (Kanai et al., 2000)où les modèles sont divisés en n formes arbitraires. Ces formes sont ensuite projetéessur un polygone de manière à ce que leurs bords soient sur le bord du polygone. Lespositions des sommets restants sont calculées en considérant la forme comme un sys-tème masse-ressort au repos, les sommets du bord étant les masses fixes. Dans (Leeet al., 1999) Ms et Mt sont simplifiés en M′s et M′t par la méthode MAPS (Lee et al.,1998). Les sommets pour lesquelles la correspondance sommet à sommet entre Mset Mt est déjà connue sont conservés. Ms et Mt sont finalement transformés afin degarder ces correspondances. Malheureusement, les approches précédentes nécessitentsoit une interaction de l’utilisateur (ce qui peut être long et très fastidieux pour cer-taines méthodes), soit une correspondance sommet à sommet entre Ms et Mt connueau préalable.

Il est possible d’automatiser entièrement un algorithme de mesh morphing en uti-lisant une découpe du maillage automatique. Des travaux existent malgré que la tâchesoit difficile : certaines méthodes sont basées sur l’utilisation d’un unique patch (Ka-nai et al., 1997), d’autres sont apparentés à des problèmes de théorie des graphes etvisent à équilibrer la taille des patchs (Eck et al., 1995), (Karypis et al., 1999). Unautre moyen d’automatiser le mesh morphing est de projeter les modèles sur la sphèreunité (Kent et al., 1992). En effet, il n’est plus besoin de diviser les modèles étantdonné qu’ils sont homéomorphes à une sphère. En revanche, ils doivent être étoilés.Alexa (Alexa et al., 2000) introduit une variante pour la projection sur la sphère unité :de même que pour la projection barycentrique, chaque sommet est placé au barycentrede ses voisins. Enfin, une nouvelle approche de mesh morphing est décrite dans (Yanet al., 2007). Le principe est de calculer un champ de contrainte C afin de déformerMs en Mt . C est ensuite interpolé pour déterminer un nouveau champ de déformationC′ et obtenir un modèle intermédiaire Mi.

3. Contribution scientifique

3.1. Reconstruction du rein

Une description complète de la méthode de reconstruction du rein peut être trouvéedans (Leonardi et al., 2011a). Elle permet d’obtenir un modèle 3D du rein et se diviseen 2 étapes : la première est la segmentation de l’organe duquel est issu un nuagede points. Elle est basée sur une approche par croissance de région, initialisée ma-nuellement pour la coupe médiane puis propagée automatiquement. La seconde étape

consiste à reconstruire le nuage de points afin d’en obtenir un modèle. La reconstruc-tion utilisée est la reconstruction de surface de Poisson (Kazhdan et al., 2006).

3.2. Morphing

Dans notre cas, l’étape de morphing ne doit comporter que des interactions trèsbasiques avec l’utilisateur. La topologie des deux modèles à transformer sont prochesl’un de l’autre étant donné qu’ils viennent du même rein. De ce fait, la méthode demesh morphing utilisée est basée sur une découpe automatique du maillage en deuxpatchs, une projection sur le disque unité et la création d’un metamesh. Toutes cesétapes sont décrites ci-dessous. Pour le reste de l’article nous utiliserons les symbolessuivants : M représente un modèle donné, Ms le modèle source et Mt le modèle cible(target en anglais) comme utilisé précédemment. La connectivité entre les sommets,arêtes et faces de M est notée C. V = {v1,v2,v3, ...,vn} est la position dans R3 dessommets. Les arêtes sont représentées par une paire de sommet {i, j} et les faces parun triplet {i, j,k}. Enfin, N(i) est l’ensemble des sommets adjacents au sommet {i},i.e. N(i) = {{ j}|{i, j} ∈C}.

3.2.1. Découpe du maillage : obtention du chemin de découpe

La première phase de découpe du maillage consiste à calculer son axe principal.Cela peut être fait en ne considérant que les sommets de M et en utilisant l’Analyseen Composante Principale (ACP). De plus, l’ACP donne les 3 vecteurs principaux dumaillage ; les deux premiers définissent le plan principal. La phase suivante consistealors à calculer les intersection entre les arêtes de M et le plan principal, définissantainsi les arêtes coupées. De la même manière, les sommets {i, j} d’une arête coupéesont appelés sommets coupés. Cet ensemble d’arêtes coupées est un premier pas versle chemin de découpe final.

Le chemin de découpe doit être un boucle unique d’arêtes dans C, i.e.{{i1, i2},{i2, i3}, ...,{in−1, in} , {in, i1}|{ik, im} ∈ C ∀(k,m) ∈ [1;n] ; cet ensemble estun sous-ensemble de C et est appelé c. Ainsi, deux arêtes successives doivent avoirun sommet en commun. Le but du premier post-traitement des arêtes coupées estde supprimer les arêtes cul-de-sac de c. L’un des sommets d’un telle arête n’est encommun avec aucune autre arête coupée, i.e. {{i, j}|∀l ∈ N( j){ j, l} /∈ c}. Afin de dé-tecter ces sommets, la liste d’adjacence partielle est dressée pour chaque sommet dec. Cette liste est l’ensemble des sommets { j} adjacents à un sommet {i} dans c, i.e.{{ j}|{i, j} ∈ c}. Une arête cul-de-sac est alors simplement trouvée quand au moinsl’un de ses sommets n’a qu’un seul voisin, i.e. sa liste d’adjacence partielle est delongueur 1 (Figure 1 - b). Le second post-traitement consiste à supprimer les bouclelocales : le chemin de découpe doit être une unique succession d’arêtes et chaquesommet doit être commun à deux et seulement deux arêtes. Grâce à la liste d’adja-cence partielle, les sommets à partir desquels le chemin de découpe se sépare sontfacilement détectés ; de tels sommets ont au moins 3 voisins. Les boucles locales sontalors supprimées de la manière suivante : en partant d’un sommet d’adjacence 2, un

voisin est arbitrairement choisi et ainsi de suite jusqu’à ce qu’un sommet d’adjacence3 soit atteint. Pendant cette phase, chaque sommet n’est visité qu’une seule fois demanière à ce qu’il apparaisse au plus une fois dans le chemin de découpe final. Unvoisin du sommet d’adjacence 3 est également choisi arbitrairement, mais toutes lesautres arêtes contenant ce sommet sont supprimées de c. Un tel traitement créant denouvelles arêtes cul-de-sac, les arêtes de chaque voisin d’adjacence 2 sont suppriméesrécursivement jusqu’à ce qu’un voisin d’adjacence 3 soit trouvé (Figure 1 - c,d,e).Ainsi, le sommet d’adjacence 3 courant étant devenu un sommet d’adjacence 2, leprocessus entier est répété jusqu’à ce que l’on tombe sur le premier sommet.

Figure 1 – Exemple du post-traitement du chemin de découpe. Bien qu’il soit impos-sible, il illustre tous les cas qui sont résolus. De haut en bas : (a) Chemin de découpeinitial - (b) Les sommets d’adjacence 1 sont détectés (losange) et les arêtes cul-de-sac supprimées - (c) Les sommets d’adjacence 3 (ou plus) sont détectés (carré). Enpartant du sommet désigné, un voisin est choisi arbitrairement - (d) Pour un som-met d’adjacence 3, un voisin est toujours choisi arbitrairement, mais toutes les autresarêtes sont supprimées - (e) Afin d’éviter l’apparition de nouvelles arêtes cul-de-sac,on supprime récursivement chaque arête issue d’un voisin d’adjacence 2 - (f) Le che-min de découpe final, obtenu après post-traitement.

3.2.2. Projection sur le disque unité

Une fois que le chemin de découpe est obtenu, les sommets sont tagués de troismanières différentes que nous appellerons tag 0, 1 et 2. Les sommets définissant lechemin de découpe sont tagués à 0. Un voisin arbitraire d’un sommet tagué à 0 esttagué à 1. Tous les voisins du sommet tagué à 1 sont alors récursivement tagués demême manière, de sorte qu’une partie du maillage soit taguée à 1. L’autre partie esttagué à 2. Les deux modèles sont ensuite tournés afin que leur plan principal soit alignéavec le plan xz. Ainsi, il est possible de vérifier que les parties taguées identiquementpour les deux modèles aient la même orientation y. Si ce n’est pas le cas, alors les tags1 et 2 sont permutés. Cette étape est essentielle car la partie de Ms taguée à 1 (resp. 2)sera transformée en la partie de Mt taguée à 1 (resp. 2).

Une fois que tous les sommets sont tagués, ils peuvent être projetés sur le disqueunité. Bien que n’importe quel type de projection puisse être utilisée, nous avonschoisi la projection discrète harmonique (Polthier, 2000) étant donné qu’elle préservele plus possible la topologie des faces des modèles. La partie la plus simple de cetteprojection concerne les sommets coupés. Ils sont projetés sur le bord du disque demanière à ce que la longueur de l’arc entre une paire de sommets successifs soit pro-portionnelle à la longueur de l’arête du maillage entre ces deux sommets. Pour lessommets tagués à 1 ou 2, la projection discrète harmonique revient à résoudre unsystème linéaire décrit ci-dessous. Deux projections distinctes sont faites, une pourchaque tag. Soit Vi le sommet à projeter avec 0≤ i < n l’indice des sommets tagués à1 (resp. 2) et n≤ i<N l’indice des sommets tagués à 0. Le système linéaire à résoudreest alors :

(I−Λ)

v1v2v3...

vn−1

=

∑

N−1i=n λ0,ivi

∑N−1i=n λ1,ivi

∑N−1i=n λ2,ivi

...∑

N−1i=n λn−1,ivi

où Λ = {λi, j} et λi, j est un coefficient dépendant de la projection utilisée. Ici :

λi, j =

{cotαi, j+cotβ i, j

∑ j∈N(i)(cotαi, j+cotβi, j)if {i, j} ∈C

0 if {i, j} /∈C

avec αi, j = ∠(i,k0, j) et βi, j = ∠(i,k1, j). L’arête {i, j} est adjacente à deux etseulement deux faces car M est un maillage triangulé. k0 et k1 sont les deux sommetsdéfinissant ces faces. Nous appelons M′sN M′t N la projection de Ms et Mt pour le tag N.De même, {i′} est un sommet projeté. Bien que ces annotations n’aient pas réellementde sens puisque seule la position des sommets (vi) change durant la projection, ellespermettront de rendre les futures expressions plus claires.

3.2.3. Création et animation du metamesh : calcul des intersections et descoordonnées barycentriques

La troisième étape du mesh morphing est de superposer M′sN et M′t N pour chaquetag afin de créer le metamesh. La première phase consiste à détecter les intersectionsentre les arêtes projetées. Lorsque deux arêtes {i′, j′} ∈C pour M′s et {k′, l′} ∈C pourM′t se coupent, un nouveau sommet est créé. Il existe deux manières de définir ce pointd’intersection : v′i +α

−→v′iv′j et v′k +β

−−→v′kv′l . Les coefficients α et β sont sauvegardés avec

le nouveau sommet. Ceux-ci seront nécessaires pour les modèles intermédiaires étantdonné qu’ils sont suffisants pour connaître les coordonnées du sommet, même lorsqueque vi,v j,vk et vl sont interpolés. Ce type de sommet est appelé sommet d’intersection.Lorsqu’un sommet d’intersection est créé, les arêtes et faces appropriées sont égale-ment créées afin de construire la topologie du metamesh Mm. Ces nouvelles arêtes et

faces permettront à Mm de combiner les topologies des deux modèles Ms et Mt , etd’assurer une interpolation continue entre les deux modèles (Figure 2).

Figure 2 – Exemple d’une intersection entre deux arêtes projetées de Ms (trait plein) etMt (pointillés). Les sommets d’intersection 1, 2, 3 et 4 sont crées ainsi que les arêtes(C1, 1D, C2, 2F, ...) et les faces (C12, F23, ...).

La deuxième phase de la création du metamesh est le calcul des coordonnéesbarycentriques (CB) pour chaque sommet de Ms et Mt . Il est d’abord nécessaire desavoir sur quelle face {i′, j′,k′} de M′t (resp. de M′s) un sommet projeté v′m de M′s(resp. de M′t ) se trouve. Les CB sont un unique triplet u,v,w de manière à ce quev′m = uv′i + vv′j +wv′k. La face sur laquelle v′m se trouve ainsi que ses CB sont sauve-gardés. Ce type de sommet est appelé un sommet de maillage.

Ainsi, le metamesh est composé entièrement par un ensemble de sommets d’in-tersection et de sommets de maillage. Les modèles intermédiaires peuvent alors êtreobtenus facilement en interpolant la position de ces sommets. Cette interpolation estpossible étant donné que la position initiale et finale de chaque point est connue : pourun sommet de maillage venant de Ms, sa position initiale est sa position dans Ms. Saposition finale est connue par la combinaison de ses CB et de la face de Mt sur laquellele projeté du sommet se trouve. Inversement, pour un sommet de maillage venant deMt , sa position initiale est connue par combinaison de ses CB et de la face de Ms surlaquelle le sommet se projette. Sa position finale est sa position naturelle dans Mt .Pour un sommet d’intersection, la position initiale est connue grâce au coefficient α

et l’arête de Ms sur laquelle il se projette. La position finale est connue grâce à soncoefficient β et l’arête de Mt sur laquelle le sommet est projeté.

3.3. Tracking de la tumeur

Le tracking de la tumeur est le second objectif de notre méthode. En effet, il estimportant de savoir où celle-ci se situe à tout moment afin d’ajuster le faisceau d’ondesen conséquence. Cependant, il y a deux différences majeures entre la tumeur et le rein.La première est que la tumeur n’est pas déformée sous l’influence de la respiration,elle bouge simplement avec le rein. La deuxième est qu’elle peut être assimilée àun ellipsoïde. Dans la phase de segmentation, la tumeur est segmentée séparémentdu rein, de manière à ce que le centre de la tumeur soit connu. L’utilisation d’un

autre mesh morphing pour obtenir les mouvements de la tumeur (i.e. son tracking) neserait pas approprié étant donné que sa forme ne change pas d’une phase respiratoireà une autre. De plus, cela nécessiterait du temps de calcul inutile. Un moyen plusrapide et adéquat est d’interpoler sa position, les coordonnées de son centre étantconnues pour les phases d’inspiration, d’expiration et médiane. L’interpolation permetalors de connaître la position de la tumeur pour les phases intermédiaires. Ainsi lescoordonnées 3D sont connus à tout moment, permettant le tracking de la tumeur.

4. Conclusion et discussion

4.1. Résultats

Notre méthode a été testée sur trois modèles de rein M1, M2 et M3 obtenus par laméthode décrite en 3.1. Ces modèles correspondent respectivement aux phases d’ins-piration, médiane et d’expiration. Deux mesh morphing ont été faits : le premier entreM1 et M2 et le second entre M2 et M3. Les Figures 4 et 5 montrent plusieurs modèlesintermédiaires obtenus par mesh morphing entre M1, M2 et M3. Les résultats n’étantpas explicites avec des modèles figés, une version animée peut être vue à l’adressesuivante : http://www.youtube.com/watch?v=dhPqLp2X8NQ.

Le mouvement et les déformations globales du rein sont respectés. La rotationnaturelle de l’axe principal de l’organe est présent ainsi que son grossissement. Ce-pendant, les déformations locales ne sont pas totalement satisfaisantes, spécialementpour la tumeur. Celle présente sur le rein transformé est absorbée dans une partie del’organe et réapparaît d’une seconde partie, à côté de sa position d’origine. La défor-mation naturelle de la tumeur aurait été un déplacement progressif, presque commeune translation. Cela est dû à la méthode de morphing elle-même. Bien que ces erreursde déformation ne soient pas vraiment perceptibles, elles deviennent évidentes lorsquela tumeur est également modélisée : l’ellipsoïde la représentant déborde du rein (Fi-gures 3). Un autre inconvénient de notre méthode est qu’elle est basée sur une découpedu maillage par plan. Afin que le morphing soit possible, le chemin de découpe obtenupar l’intersection entre le modèle et ce plan doit être composé d’une seule composanteconnexe. Un tel critère n’est pas garanti. Par expériences et analyses, l’intersectionentre un rein et son plan principal sera constitué d’une composante connexe, mais celane serait pas nécessairement le cas pour un autre organe un tout autre type de modèlearbitraire.

Les trois modèles ayant plus ou moins le même nombre de sommets, arêtes etfaces, les temps de calcul pour un morphing sont équivalents pour le second. Lesmaillages sont composés d’environ 2300 sommets, 6900 arêtes et 4600 faces. Le mor-phing est exécuté en 40s. Bien que ce temps d’exécution ne permette pas un mor-phing temps réel, celui-ci reste acceptable pour notre contexte médical où les interven-tions réalisées pour détruire les tumeurs de manière non-invasive (par High FocusedUltrasound) sont très longues (jusqu’à 3 heures). De plus, tout le temps de calcul estdédié à la création du metamesh qui n’est réalisé qu’une fois. Son animation est en-

suite faite en temps réel étant donné qu’il s’agit simplement d’une interpolation entreune position initiale et finale de ses sommets, comme vu à la fin de la section 3.2.

Figure 3 – Mise en évidence des problèmes de déformations locales. Le modèle inter-médiaire avec la tumeur (ellipsoïde bleu) présente des imprécisions locales, spéciale-ment pour la région tumorale (cercle).

Figure 4 – Résultats finaux présentant les mouvements naturels du rein sous l’influencede la respiration. Les modèles sources et cibles obtenus par segmentation puis recons-truction sont en rouge, les modèles intermédiaires sont en gris. Le morphing de M1 àM2 est représenté (de gauche à droite).

Figure 5 – Le morphing de M2 à M3 , vu sous un autre angle (rotation de 180 degrésautour de l’axe vertical). Les modèles sont affichés en fil de fer et la tumeur est visible(ellipsoïde bleu).

4.2. Conclusion

Nous avons présenté une approche originale et entièrement géométrique en vued’obtenir une simulation de mouvement naturel du rein dû à la respiration. A partirde 3 acquisitions d’imagerie médicale de l’organe, chacune pour une phase différentedu cycle, le rein est d’abord segmenté puis reconstruit afin de créer un modèle pourchaque phase. L’organe est finalement animé en 3D et les mouvement respiratoires

simulés sont obtenus par mesh morphing entre les trois modèles précédemment créés(du premier au second puis du second au troisième). Pour ce faire, il est d’abord né-cessaire de découper le maillage, ce qui est fait automatiquement dans notre cas. Puis,les deux parties du modèle sont projetées sur le disque unité afin de créer un metameshqui comprend la topologie de deux modèles successifs. La transition progressive entresces modèles, et ainsi l’animation du rein, est obtenue en interpolant chaque sommetdu metamesh entre une position initiale et finale. Bien que les déformations généraleset le mouvement du rein soient bien simulés, les déformations locales manquent deprécisions surtout pour les tumeurs proches de la surface de l’organe. La résolution deces erreurs fera l’objet d’études futures.

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