Modélisation et commande adaptative d’un bras manipulateur rigide à 2 degré de liberté

MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSIT FERHAT ABBAS -STIF

Facult de Technologie

: Dpartement dlectrotechnique

Mmoire de Master No. Rf. : .//2012

Prsent au Dpartement dlectrotechnique

Domaine : Sciences et Technologie Filire : Automatique Spcialit : Commande des processus industriels

Ralis par :

M. Belmahdi Mohamed Amine

Thme

Modlisation et commande adaptative dun bras manipulateur rigide 2 degr de libert

Soutenu le 27/06/2012 devant la commission dexamen compose de :

M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A lUniversit de Stif Prsident

M. REFFOUFI SALIM M.A.A lUniversit de Stif Directeur du Mmoire

M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A lUniversit de Stif Examinateur

M. BOURAHALA FAYAL M.A.A lUniversit de Stif Examinateur

Remerciements

Je remercie en premier lieu Allah le tout puissant pour mavoir donn la force et la volont

daccomplir ce modeste travail.

Je tiens remercier, en tout premier lieu, Mr. REFFOUFI SALIM, Directeur de ce mmoire,

Matre assistant au sein de notre dpartement, qui na pas hsit un instant donner son accord pour

llaboration de ce travail en morientant par ses prcieux conseils et ses encouragements.

Je remercie galement tous les membres du jury pour lintrt quils ont port mon travail :

M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A

M. REFFOUFI SALIM M.A.A

M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A

M. BOURAHALA FAYAL M.A.A

Mes remerciements vont toute ma famille, je cite en particulier, ma trs chre mre, mon pre,

mon frre et sa femme, mes surs qui mont toujours combl daffection et de soutien moral.

Je tiens galement remercier trs chaleureusement mes amis Abdenour, Ramzi et Soumia.

Sans oublier mes amis au sein de notre dpartement.

Je tiens remercier tous ceux qui mont fourni, de prs ou de loin, leur aide afin que je puisse

mener ce travail terme.

Stif, le 20 /06 /2012

SOMMAIRE

Sommaire

INTRODUCTION GNRALE .............................................................................. 1

Chapitre 01 ............................................................................................................................. 2

MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS ................................................... 2

1.1. Les robots industriels ....................................................................................................................................... 2

1.1.1. Introduction ............................................................................................................................................................. 2

1.1.2. Historique ................................................................................................................................................................. 2

1.1.3. Classifications des robots industriels ........................................................................................................... 3

1.1.4. Applications ............................................................................................................................................................. 4

1.2. Robot manipulateur .......................................................................................................................................... 5

1.2.1. Constitution mcanique ...................................................................................................................................... 5

1.2.1.1. Structure mcanique ................................................................................................................................ 6

1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs) ........................................................................................................... 6

1.2.1.3. Les capteurs .............................................................................................................................................. 6

1.2.1.4. La partie commande................................................................................................................................ 7

1.3. Modlisation dun bras manipulateur ........................................................................................................ 7

1.3.1. Modlisation gomtrique................................................................................................................................. 8

1.3.1.1. Modle gomtrique direct .................................................................................................................... 8

1.3.1.2. Modle gomtrique inverse ................................................................................................................ 11

1.3.2. Modlisation cinmatique ............................................................................................................................... 12

1.3.2.1. Modle cinmatique direct ................................................................................................................... 12

1.3.2.2. Modle cinmatique inverse ................................................................................................................ 13

1.3.3. Modlisation dynamique .................................................................................................................................. 14

1.3.3.1. Formalisme de Lagrange ...................................................................................................................... 15

1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique ................................................................................................................. 15

1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle .............................................................................................................. 15

1.3.3.4. Formulation du modle dynamique ................................................................................................... 16

1.4. Conclusion .......................................................................................................................................................... 16

Chapitre 02 .......................................................................................................................... 17

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS ................................................17

2.1. Introduction ....................................................................................................................................................... 17

2.2. Techniques de commande des robots...................................................................................................... 17

2.2.1. Commande classique ......................................................................................................................................... 18

SOMMAIRE

2.2.1.1. Avantages ................................................................................................................................................ 18

2.2.1.2. Inconvnients ......................................................................................................................................... 18

2.2.1.3. Lois de commande ................................................................................................................................ 19

2.2.2. Commande dynamique ..................................................................................................................................... 21

2.2.2.1. Avantages ................................................................................................................................................ 21

2.2.2.2. Inconvnients ......................................................................................................................................... 22

2.2.2.3. Lois de commande ................................................................................................................................ 22

2.2.3. Commande adaptative ...................................................................................................................................... 24

2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative .............................................................................................. 24

2.2.3.2. Le principe .............................................................................................................................................. 24

2.2.3.3. Diffrentes commandes adaptatives................................................................................................... 25

2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS) .............................................................................................. 28

2.3. Conclusion .......................................................................................................................................................... 31

Chapitre 03 .......................................................................................................................... 32

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE ............................................32

3.1. Introduction ....................................................................................................................................................... 32

3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert .................................................................................. 32

3.2.1. Modle gomtrique .......................................................................................................................................... 33

3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM) ................................................................... 33

3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage ........................................................................................................... 34

3.2.2. Modle cinmatique ........................................................................................................................................... 34

3.2.3. Modle dynamique ............................................................................................................................................. 34

3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie ................................................................................................................ 34

3.2.3.2. Calcul de la matrice ................................................................................................................. 34

3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit ............................................................................................. 35

3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL .................................................................................................. 35

3.3. La commande adaptative .............................................................................................................................. 35

3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande adaptative .............................................. 35

3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari dans le temps .................................. 38

3.4. La trajectoire dsire ...................................................................................................................................... 41

3.5. Rsultats de simulation ................................................................................................................................. 42

3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge ............................................................................................ 42

3.5.1.1. Changement des paramtres ................................................................................................................ 44

3.5.2. Simulation de schma bloc 1 avec la charge ............................................................................................ 45

3.5.3. Simulation de schma bloc 2 sans la charge ............................................................................................ 47

3.5.3.1. Changement des paramtres ................................................................................................................ 48

3.5.4. Simulation de schma bloc 2 avec la charge ............................................................................................ 50

SOMMAIRE

3.6. Comparaison entre les deux commandes ............................................................................................... 51

3.6.1. Sans charge ............................................................................................................................................................ 51

3.6.2. Avec charge ............................................................................................................................................................ 52

3.7. Conclusion .......................................................................................................................................................... 52

CONCLUSIONS GNRALES .............................................................................53

SOMMAIRE

Liste des figures

Figure 1-1 Robot chane simple ........................................................................................................................................... 6

Figure 1-2 Servomoteur ........................................................................................................................................................... 6

Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position ............................................................................................................................ 7

Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur ..................................................................................................... 7

Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique ........................................................................................................ 9

Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg .............................................................................................. 10

Figure 2-1 Schma classique dune commande PID ......................................................................................................... 18

Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage non-linaire ............................................................ 21

Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative ............................................................................................. 25

Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling ............................................................................................... 26

Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif .................................................................................................... 26

Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS ...................................................................... 27

Figure 2-7 Le modle derreur ............................................................................................................................................... 29

Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov .......................................................................................................... 30

Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes ................................................................................................ 32

Figure 3-2 Le Puma 560 ......................................................................................................................................................... 33

Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29) ................................................................................................ 38

Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48) ................................................................................................ 40

Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire .................................................................................... 41

Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps...................................................... 42

Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps ............................................................ 43

Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ........................................................................................... 43

Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps...................................................... 44

Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 44

Figure 3-11 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ......................................................................................... 45

Figure 3-12 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps ................................................... 46






SOMMAIRE


Figure 3-19 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ........................................................................................ 49




SOMMAIRE

viii

Liste des tableaux

Tableau 3-1 Les paramtres de DHM ................................................................................................................................. 33

Tableau 3-2 Les paramtres du robot .................................................................................................................................. 41

Tableau 3-3 Rsultats des erreurs de position et de vitesse sans la charge .................................................................... 51

Tableau 3-4 Rsultats des erreurs de position et de vitesse avec la charge .................................................................... 52

SOMMAIRE

ix

Liste des Acronymes et Symboles

Acronymes :

EPFL cole Polytechnique Fdrale de Lausanne.

JPL Jet Propulsion Laboratory.

JIRA Japon Industrial Robot Association.

AFRI Association Franaise de Robotique Industrielle.

RIA Robot Institute of America.

AFNOR Association Franaise de NORmalisation.

DH Denavit Hartenberg.

DHM Denavit Hartenberg Modifi.

DDL Degr De Libert.

PID Proportionnel Intgral Driv.

PD Proportionnel Driv.

MRAS Systme Adaptative Modle de Rfrence.

Symboles :

q Vecteur des variables articulaires.

X Vecteur des variables oprationnelles.

Vecteur des vitesses articulaires.

Vecteur des vitesses oprationnelles.

La vitesse angulaire.

Vecteur des acclrations des articulations.

T La matrice de transformation entre les repres.

J(q) La matrice Jacobienne.

La matrice inertie.

SOMMAIRE

x

Vecteur des couples.

Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.

Vecteur des forces de gravit.

Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane terminal.

Lagrangienne.

nergie cintique.

nergie potentielle

Lerreur de position.

Lerreur de vitesse.

Lerreur dacclration.

La position angulaire.

La vitesse angulaire.

La fonction de Lyapunov.

m La masse du bras.

L La longueur du bras.

INTRODUCTION GNRALE

1

INTRODUCTION GNRALE

Quand on parle de robotique, plusieurs ides viennent lesprit de chacun de nous.

Historiquement, nous pourrions nous rfrer aux premiers concepts et automates de lantiquit ou

aux premiers robots comme des personnages de la mythologie.

Cest au sicle dernier que lclatement de la robotique industrielle a amorc lexplosion

des thmes de recherche. A cette poque les robots taient conus en respectant les contraintes

imposes par le milieu industriel, comme la rptabilit et la prcision dans la ralisation des tches,

cest avec les dveloppements scientifiques, spcifiquement de llectronique et de linformatique

mais aussi automatique, mathmatique, mcanique, matriaux, que la technologie robotique a

progress. Les robots actuels sont dots dune intelligence qui leur donne une certaine autonomie

qui va leur permettre de se diffuser dans de nouveaux domaines.

Ce travail reprsente une introduction sur le domaine de la robotique et principalement la

modlisation et la commande des robots manipulateur. Le mmoire est constitu de trois chapitres,

chaque chapitre traite une partie de ce travail.

Dans le premier chapitre nous exposons une introduction sur les robots industriels, les

lments constituants un robot manipulateur tels que la structure mcanique, les actionneurs ou les

servomoteurs et les capteurs et aussi ce chapitre sera consacr aux modlisations des robots aprs

avoir rappel les principes et les mthodes de la modlisation.

Le deuxime chapitre traite quelques techniques de commande des robots manipulateurs telle

que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative.

Dans le dernier chapitre on va simuler la commande adaptative pour un robot manipulateur

rigide deux degr de libert par deux lois de commande avec prsentation des rsultats de

simulation.

Finalement une conclusion gnrale sur le contenu des trois chapitres et les rsultats obtenus

par la simulation des deux lois de commande qui nous utilisent dans le dernier chapitre.

CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

2

Chapitre 01

MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

1.1. Les robots industriels

La robotique a toujours t une technique charge dun contenu motionnel, bien avant

quelle devienne une ralit industrielle et par lconomique, elle tait prsente dans tous les

ouvrages danticipation. Dans le domaine industriel, lapproche ntait pas trs diffrente.

Certains responsables ont souffert, dans les annes 60 et 70, de la pression des ouvriers sur les

conditions de travail et de salaires. Il en est rsult le mythe de lusine sans homme, qui a eu

plus dun adepte. Dans un tel contexte, deux solutions taient proposes : lusine automatique,

ddie une production bien dtermine, ou lusine robotise, plus ou moins prte excuter

nimporte quelle tche dans un domaine assez large. Il a t cr de nombreuses usines

automatiques ddies.[1]

1.1.1. Introduction

Les robots industriels ont t dvelopps pour intervenir dans les milieux risques, par

exemple dans lindustrie nuclaire ou dans des environnements crant une forte corrosion. Un

robot industriel peut aussi servir au maniement d'objets lourds, ce qui est une autre utilisation

trs courante. Les robots sont depuis longtemps utiliss dans les chanes de montage de

l'industrie Automobile o ils remplacent les ouvriers dans les tches pnibles et dangereuses.

1.1.2. Historique

L'origine du mot robot est issue du grecque "Robota" qui signifie travail forc. Le terme de

robotique est apparu en 1942 dans l'uvre de l'crivain ISAACASIMOV.

Le premier robot manipulateur industriel, appel Unimate, tait un descendant direct des

tlmanipulateurs dvelopps pour les besoins du nuclaire. Cr par George Devol dans les

annes 1950, il fut utilis pour travailler sur les chanes d'assemblage de General Motors

partir de 1961.

Parmi les robots industriels, le KukaFamulus, qui date de 1973, fut le premier robot 6

axes entrans de faon lectromcanique.


3

Le Robot Delta, imagin en 1985 par Reymond Clavel, professeur l'cole

Polytechnique fdrale de Lausanne (EPFL), possde un bras de manipulation form de 3

paralllogrammes. Son brevet tombe dans le domaine public en 2007 et diffrents constructeurs

devraient alors sortir leur propre robot delta.

Le Jet Propulsion Laboratory (JPL) dveloppe un robot industriel hexapode ( 6 pattes)

du nom de Lemur. Lemur aura pour mission de monter, assembler et rparer des installations

spatiales. Pesant moins de 5 kg, il offre la possibilit innovante dadapter diffrents outils sur

chacun de ses membres.[2]

1.1.3. Classifications des robots industriels

Dans la robotique, on peut distinguer les robots industriels, composes d'un bras articule muni

d'un effecteur, et les robots mobiles qui peuvent se dplacer en autonomie dans un

environnement.

Cependant, certains organismes, comme la JIRA (Japon Industrial Robot Association) ou

l'AFRI (Association Franaise de Robotique Industrielle), ont tabli des classifications plus

prcises, bases sur la spcificit fonctionnelle des robots.

La classification labore par la JIRA est la suivante :

Classe 1 : TELEMANIPULATEURS. Bras command par un oprateur humain.

Classe 2 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE FIXE. Contrle automatique, mais

difficilement programmable.

Classe 3 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE VARIABLE. Contrle automatique,

reprogramme mcaniquement.

Classe 4 : ROBOTS PLAY-BACK . Squences qui sont excutes lorigine sous la

supervision de ltre humain, mmorises puis rappeles pour tre rejoues.

Classe 5 : ROBOTS AVEC CONTROLEUR NUMERIQUE. Les positions des squences

sont contrles par des donnes numriques.

Classe 6 : ROBOTS INTELLIGENTS. Le robot peut grer son environnement des

modifications arrivant durant l'excution.

La classification labore par l'AFRI est la suivante :

Classe A : TELEMANIPULATEURS. Manipulateur maitre/esclave.


4

Classe B : MANIPULATEURS AUTOMATIQUES. Manipulateurs automatiques avec

squences fixes et variable (Machines commandes numriques).

Classe C : ROBOTS PROGRAMMABLES. 1ere gnration de robots.

Classe D : ROBOTS INTELLIGENTS. 2me gnration de robots.

Ces classifications des seuls robots industriels en fonction du type de commande ont bien

vieilli, puisque tous les robots modernes, quils soient poste fixe ou mobile, sont conus avec

pour principal souci la dtection de lenvironnement, soit pour la scurit des personnes et des

biens, soit pour une meilleure autonomie de leur comportement. Ceci signifie quils sont tous

dots dun minimum de capteurs externes et quils se trouvent tous dans la classe 6 de la JIRA

ou la classe D de lAFRI. Pourtant, tous ces robots sont loin dtre identiques en performance.

On tentera plus loin de proposer une nouvelle classification qui peut prendre ce phnomne en

compte.[2]

1.1.4. Applications

Les robots manipulateurs industriels sont utiliss pour raliser des tches de dplacements

doutils, de manutention ou dassemblage. Ils se substituent lhomme ou prolongent son action

en apportant prcision, rapidit ou capacit appliquer dimportants efforts.

Parmi les applications les plus utilises dans la robotique industrielle sont :

Le soudage robotis des chssis de voiture amliore la scurit car un robot ne manque jamais

son point de soudure et les ralise toujours de la mme manire tout au long de la journe .

peu prs 25% des robots industriels sont impliqus dans diffrentes oprations de soudure.

Lassemblage occupe environ 33% des applications des robots industries. Beaucoup de ces

robots peuvent tre trouvs dans lindustrie automobile et lindustrie lectronique.

Lemballage et la pelletisation sont toujours des applications mineures des robots industriels,

comptant seulement pour 2,8% des applications des robots.

Lindustrie agro-alimentaire est un champ dapplications vou jouer un rle majeur dans le

futur, les constructeurs dveloppent une gamme spcifique de produits pour ce domaine.

Les applications dans lindustrie pharmaceutique et dans les biotechnologies constituent

galement un march davenir encore presque vierge.[2]


5

1.2. Robot manipulateur

Un bras manipulateur est le bras d'un robot gnralement programmable, avec des

fonctions similaires un bras humain. Les liens de ce manipulateur sont relis par des axes

permettant, soit du mouvement de rotation, ou de translation (linaire) de dplacement.

Il peut tre autonome ou contrl manuellement et peut tre utilis pour effectuer une

varit de tches avec une grande prcision. Les bras manipulateurs peuvent tre fixes ou

mobiles (c'est--dire roues) et peuvent tre conus pour des applications industrielles.

Gnralement, un robot manipulateur est considr comme un systme articul rigide. Nous

avons trouv dans la littrature diffrentes dfinitions de ce systme dynamique tel que :

Celle donne par JIRA (Japon Industrial Robot Association) : Un robot est un systme

versatile dot dune mmoire et pouvant effectuer des mouvements comme ceux dun

oprateur humain.

Celle donne par RIA (Robot Institute of America) : Un robot est un manipulateur

fonction multiple programm pour raliser automatiquement des taches varies

ventuellement rptitives.

Celle donne par AFNOR (Association Franaise de NORmalisation) : Manipulateur

command en position, reprogrammable, polyvalent, plusieurs degrs de libert, capable de

manipuler des matriaux, des pices, des outils et des dispositifs spcialiss, au cours de

mouvements variables et programms pour lexcution dune varit de tches. Il a souvent

lapparence dun ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Son unit de commande

utilise, notamment, un dispositif de mmoire et ventuellement de perception et dadaptation

lenvironnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes ont gnralement tudies

pour effectuer la mme fonction de faon cyclique et peuvent tre adaptes dautres

fonctions sans modification permanente du matriel. [3]

1.2.1. Constitution mcanique

Un bras manipulateur est compos de quatre parties principales :

a) Structure mcanique.

b) Les servomoteurs (Actionneurs).

c) Les capteurs.

d) La partie commande.


6

1.2.1.1. Structure mcanique

Une structure mcanique qui sera le squelette du robot, peut tre divise en deux parties

distinctes comme le montre la figure (1.1) :

a) Organe terminal : les tches qui sont dvolues aux robots sont trs varies. Pour

chaque opration ou travail spcifique, lorgane terminal prend un aspect particulier.

b) lment porteur : il est compos dun ensemble de corps souples ou rigides lis par

des articulations, servant dplacer lorgane terminal dune configuration une autre.

Figure 1-1 Robot chane simple

1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs)

Le second lment correspond aux servomoteurs qui vont permettent au robot d'effectuer

rellement ses actions. Ces servomoteurs seront commands par la partie commande en

interaction avec les informations transmises par les capteurs. Le terme "servo" induit en effet un

asservissement effectu en fonction d'une comparaison avec le rsultat souhait et la ralit

extrieure.

Figure 1-2 Servomoteur

1.2.1.3. Les capteurs

La troisime partie composante d'un robot correspond aux diffrents capteurs sensoriels

quipant le robot pour une application particulire.


7

Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position

1.2.1.4. La partie commande

Quatrime le cerveau (La partie commande) : cette partie qui va permette au robot d'analyser

les donnes provenant des capteurs et d'envoyer les ordres relatifs aux servomoteurs.[4]

Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur

1.3. Modlisation dun bras manipulateur

Pour dvelopper une stratgie de commande performante pour un robot, il est impratif de

connatre la cinmatique et la dynamique du manipulateur considr. Pour cela on est souvent

amen dcrire les diffrentes relations mathmatiques qui permettent de dfinir les

mouvements de ce dernier dans lespace.

Dans la pratique courante de robotique, la description du mouvement dun robot

manipulateur dans lespace est ralise en fonction des modles de transformation entre l'espace

oprationnel (dans lequel est dfinie la situation de l'organe terminal) et l'espace articulaire

(dans lequel est dfinie la configuration du robot).

Parmi ces modles, on distingue :

Les modles gomtriques direct et inverse qui expriment la situation de l'organe terminal

en fonction de la configuration du mcanisme et inversement,


8

Les modles cinmatiques direct et inverse qui expriment la vitesse de l'organe terminal en

fonction de la vitesse articulaire et inversement,

Les modles dynamiques dfinissant les quations du mouvement du robot, qui permettent

d'tablir les relations entre les couples ou forces exercs par les actionneurs et les positions,

vitesses et acclrations des articulations.

Dans le prsent chapitre, on prsentera quelques dfinitions concernant ces modles ainsi

que la faon de leurs obtentions.

1.3.1. Modlisation gomtrique

1.3.1.1. Modle gomtrique direct

Le modle gomtrique direct permet de dterminer la position et lorientation de lorgane

terminal du manipulateur par rapport un repre de rfrence en fonction des variables

articulaires, le modle scrit :

(1.1)

O

Par exemple, si le manipulateur se dplace dans lespace on pose m=6 (3 coordonnes pour

la position et 3 coordonnes pour la rotation). Sil se dplace dans un plan on pose m=2 et si en

plus on est concern par la rotation on pose m=3.

La position de lorgane terminal peut tre dfinie par des cordonnes cartsiennes,

cylindriques ou sphriques. Le choix dune structure particulire est guid par les

caractristiques du robot, ainsi que par celle de la tche raliser.[4]

Pour calculer le modle gomtrique du robot manipulateur, il existe 3 mthodes, la

premire est la mthode classique, la deuxime est la convention de DenavitHartenberg (DH)

et la troisime mthode est la convention de DenavitHartenberg modifi (DHM).

a. La mthode classique

Le principe de cette mthode est bas sur les trois tapes suivantes:

Fixer des repres chaque corps du robot. Figure (1-5).

Calculer les matrices homognes entre chaque corps

Calculer la matrice homogne entre la base du robot et lorgane terminal.

(1.2)


9

Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique

b. Convention de Denavit-Hartenberg (DH)

La convention de Denavit et Hartenberg (DH 1955) est une mthode systmatique. Elle

permet le passage entre articulations adjacentes dun systme robotique. Elle concerne les

chanes cinmatiques ouvertes o larticulation possde uniquement un degr de libert, et les

surfaces adjacentes restent en contact. Pour cet aspect lutilisation des charnires ou des

glissires est indispensable. Le choix adquat des repres dans les liaisons facilite le calcul des

matrices homognes de DH et permet darriver exprimer rapidement des informations de

llment terminal vers la base ou linverse.[1]

Cette mthode est destine systmatiser la modlisation de n'importe quel type de robot

srie.

Ses principaux avantages sont :

Simplification maximale du modle gomtrique.

tablissement d'une norme reconnue par tous.

Hypothse :

On peut reprsenter l'attitude d'un repre Ri par rapport un repre Ri-1 l'aide de 4

paramtres uniques condition de fixer deux contraintes [5]

DH1 : l'axe de est l'axe de .

DH2 : l'axe coupe l'axe .

Le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la premire articulation et le dernier repre (Xn,Yn,Zn)

dans lorgane terminal.


10

Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg

Les termes sont appels les paramtres de Denavit- Hartenberg.

i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.

di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.

i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.

ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.

Dcomposition en 4 transformations lmentaires :

Rotation autour de z d'un angle .

Translation le long de z d'une longueur d.

Translation le long de x d'une longueur a.

Rotation autour de x d'angle .

Comme ces transformations sont faites par rapport au repre courant, on a :

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

c. Convention de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)

La mthode de DH modifie o le repre Ri est tel que l'axe zi est suivant l'articulation n i et


11

non pas i+1.

Dans cette mthode le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la base du bras manipulateur et le

dernier repre (Xn,Yn,Zn) dans la dernire articulation.

Les paramtres de Denavit- Hartenberg modifie :

i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.

di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.

i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.

ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

La convention Denavit-Hartenberg cest la plus utilise pour dterminer la position et

lorientation de lorgane terminal par rapport au repre de rfrence, et la plus rpandue pour

exprimer le passage du repre Ri-1 au repre Ri.[5]

1.3.1.2. Modle gomtrique inverse

Le modle gomtrique inverse permet de dterminer le vecteur des variables articulaires

partir du vecteur de coordonnes oprationnelles, le modle scrit :

(1.11)

Cest--dire partir de position de lorgane terminale dans la matrice , on cherche le

vecteur des variables articulaires .

(1.12)


12

Avec

1.3.2. Modlisation cinmatique

1.3.2.1. Modle cinmatique direct

Le modle cinmatique direct permet de dterminer la vitesse de lorgane terminal dans

lespace oprationnel en fonction de la vitesse des variables articulaires.[5]

Le modle est dcrit par lquation :

(1.13)

O

Lune des mthodes utilises pour le calcul de la matrice jacobenne est la drivation du

modle gomtrique direct :

(1.14)

La 2me

mthode est propagation de la vitesse :

La dtermination du Jacobien consiste calculer les vitesses linaires et angulaires en

fonction des vitesses articulaires, les calculs se propagent de la base vers leffecteur. Chaque

lment du robot manipulateur est suppos rigide, son mouvement est dcrit par les vecteurs des

vitesses angulaires et linaires. Ces vitesses seront dcrites dans les repres associs aux

articulations ensuite dans le repre de base.[7]

1er tape : calcul des vitesses angulaires

et

La formule qui donne les vitesses angulaires

est :

(1.15)

La vitesse angulaire de larticulation n par rapport repre de base est :

(1.16)


13

O

Avec

2me tape : calcul des vitesses linaires

et

La formule qui donne les vitesses linaires est :

(1.17)

La vitesse linaire de larticulation n par rapport au repre de base est :

(1.18)

On a donc

alors le Jacobien est :

(1.19)

1.3.2.2. Modle cinmatique inverse

Le modle cinmatique inverse permet de dterminer la vitesse des variables articulaires en

fonction de la vitesse des variables oprationnelles. Pour les manipulateurs non redondants, le

modle scrit :

(1.20)

La solution de lquation (1.20) existe si est de rang plein, cela est valable tant que le

manipulateur ne passe pas par une configuration singulire. Pour les manipulateurs redondants,

le modle cinmatique inverse admet plusieurs solutions possibles. Le choix dune parmi

plusieurs est guid par loptimisation dune fonction objective.

Dans le cas rgulier le nombre de degr de libert (DDL) de lespace de la tche est gale

nombre darticulations du bras manipulateur et la matrice J est carre avec un dterminant non

nul.

Le modle cinmatique inverse est dtermine par le calcul de la matrice inverse .

Si le bras manipulateur possde six DDL avec une poigne de type rotule, la matrice prend

la forme :


14

(1.21)

Avec deux matrices carres inversibles.

Alors :

(1.22)

Linversion de est plus simple que linversion de .[7]

1.3.3. Modlisation dynamique

Un systme mcanique peut tre traduit sous forme dun modle dynamique pour faciliter

son tude grce aux quations diffrentielles qui existent entre les variables dtat du

mcanisme, leurs drivs et les forces extrieures agissant sur chaque corps. [9]

La forme la plus gnrale du modle dynamique est :

(1.23)

O :

: La matrice inertie.

: Vecteur des couples.

: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.

: Vecteur des forces de gravit.

Cette quation exprime les couples (et/ou les forces) moteurs des actionneurs des diffrentes

bras du robot manipulateur en fonctions des positions, des vitesses et des acclrations

articulaires et des forces extrieurs exercer sur lorgane terminal. Il exprime lquilibre entre

les couples dentranement et le couple de freinage dus aux inerties, aux forces centrifuges et de

Coriolis ainsi quaux forces de gravitation. Ce modle est aussi appel, modle dynamique

inverse. [1]

(1.24)

O :

: Vecteur des positions articulaires.

: Vecteur des vitesses articulaires.

: Vecteur des acclrations articulaires.

: Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane terminal.


15

1.3.3.1. Formalisme de Lagrange

Le modle dynamique (1.24) est obtenu par lquation dEuler-Lagrange (E-L) suivante :

(1.25)

O L la fonction de Lagrange donne par:

(1.26)

Avec

1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique

Lnergie cintique totale du robot est :

(1.27)

O et llment est dfinit par :

(1.28)

: est la matrice homogne de transformation de repre repre .

Avec

(1.29)

: La masse du corps n i.

La matrice dinertie est symtrique et dfinie positive ( ), alors lnergie

cintique dpend des variables articulaires et .[8]

1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle

Lnergie potentielle dun bras manipulateur est donne par :

(1.30)

O: (1.31)

Avec

Lnergie potentielle dpend de la variable articulaire .


16

1.3.3.4. Formulation du modle dynamique

En exploitant les relations (1.25) et (1.26) nous obtenons:

(1.32)

O : lexpression du couple

Avec :

(1.33)

Donc :

(1.34)

En remplaant (1.32) dans (1.34) et en utilisant la symtrie de trouve :

(1.35)

Lutilisation des symboles de Christoffel :

(1.36)

Lquation du modle dynamique du robot manipulateur est:

1.4. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons expos une introduction sur les robots manipulateurs industriels

et ses classifications, la dfinition de quelques notions gnrales relatives aux mcanismes des

robots manipulateurs chane simple et les diffrents modles utiliss pour dcrire les

mouvements des articulations dun manipulateur et montr comment calculer ces

modlisations (gomtrique, cinmatique et dynamique) auxquelles ils sont ncessaires pour la

commande des robot manipulateurs.

CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

p. 17

Chapitre 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.1. Introduction

La commande des robots manipulateurs a pour but de contrler le dplacement des

actionneurs suivant une trajectoire programme, donc problme de la commande des robots

manipulateurs peut tre formul comme la dtermination de lvolution des forces gnralises

(forces ou couples) que les actionneurs doivent exercer pour garantir lexcution de la tche tout

en satisfaisant certains critres de performance. Durant ces trois dernires dcennies, en vue

damliorer les performances des manipulateurs, des recherches avances ont permis de faire

merger de nouvelles techniques de commande non linaire pour les applications aux robots

manipulateurs.

2.2. Techniques de commande des robots

Dans le cas o le modle exact du robot est parfaitement connu, plusieurs stratgies de

commande peuvent tre appliques. Cependant, en pratique, cette condition idale nest jamais

tout fait remplie vu les diffrentes perturbations agissant sur le robot manipulateur, et les

incertitudes du modle, do la ncessit dadapter la commande.

Diffrentes techniques sont utilises pour la commande des bras manipulateurs. La

conception mcanique du bras manipulateur a une influence sur le choix de schma de

commande. Un robot manipulateur est une structure mcanique complexe dont les inerties par

rapport aux axes des articulations varient non seulement en fonction de la charge mais aussi en

fonction de la configuration, des vitesses et des acclrations.[6]

Parmi les commandes des robots manipulateurs les plus utilises dans les applications

industriels sont :

Commande classique.

Commande dynamique.

Commande adaptative.


p. 18

2.2.1. Commande classique

La commande classique est lensemble des lois linaires de type PID (proportionnel intgral

driv) gains constants, et le rgulateur standard (PID) est le rgulateur le plus utilis dans

lindustrie, car il permet de rgler laide de ses trois paramtres les performances

(amortissement, temps de rponse) dune rgulation dun processus modlis par un deuxime

ordre. Pour laborer une commande PID, il faut considrer chaque articulation du robot comme

un mcanisme indpendant et pouvant tre linaris dans une zone de fonctionnement.[8]

Les paramtres du rgulateur PID sont le gain proportionnel Kp, le temps intgral Ti et le

temps drivatif Td, les temps tant exprims en secondes.

La figure (2.1) prsente le schma dune commande classique PID.

Figure 2-1 Schma classique dune commande PID

La commande classique tient le monopole dans le domaine industriel mais elle prsente

certains inconvnients et certains avantages.

2.2.1.1. Avantages

Facilit dimplantation.

Faible cot (implantation, temps de calcul).

2.2.1.2. Inconvnients

Cette commande, fonde sur un modle linaire du robot manipulateur, nest plus

acceptable pour les grands dplacements effectus des vitesses importantes et

demandant une bonne prcision.

le terme intgral est indispensable pour liminer lerreur statique en position due aux

forces de gravit. Cependant, pour une entre de type rampe, lerreur statique subsiste.


p. 19

la dynamique du manipulateur variant avec sa configuration, il ne sera pas possible de

maintenir les performances du systme pour toutes les configurations accessibles si les

coefficients du correcteur sone constants.[8]

2.2.1.3. Lois de commande

Si les forces de pesanteur sont compenses mcaniquement ou autrement, la loi de

commande choisir est du type PD :

(2.1)

Dans le cas o les forces de pesanteur ne sont pas compenses, une commande PID est

ncessaire et la loi correspondante est de la forme :

(2.2)

: Position dsire.

: Position relle.

: Vitesse dsire.

: Vitesse relle.

KP, KD, KI : matrices diagonales (nn) contenant les gains KPi, KDi, KIi.

Limplantation de la commande PID ncessite la connaissance des gains KPi, KDi, KIi de

chaque articulation.

Pour cela, on suppose que les quations dynamiques des articulations sont dcouples et

linaires et en ngligeant les forces centrifuge et Coriolis ainsi que les forces de pesanteur et de

frottement.

Lquation correspondant de chaque articulation prend la forme :

(2.3)

O Ji : reprsente la partie fixe (ou maximale dans dautre cas) de llment mij de la

matrice dinertie M(q).

Le modle est dautant plus raliste que le rapport de rduction est important, que les

vitesses sont faibles et que les gains en position et en vitesses sont grands.

On galisant lquation (2.3) avec une quation du systme (2.2) on obtient :

(2.4)


p. 20

La fonction de transfert en boucle ferme entre qi et qdi est comme suit :

(2.5)

On remarque bien que,

donc, la prsence dune erreur.

En robotique, la pratique la plus courante consiste choisir les gains de manire obtenir

comme ples dominants un ple double rel ngatif, dans le but dobtenir une rponse sans

oscillations et rapide, lautre ple est choisi rel ngatif mais loin des deux autres.

Lquation caractristique de la fonction de transfert (2.5) scrit sous la forme :

(2.6)

Si on pose

;

;

.

Alors

(2.7)

Les ples choisis sont donc comme suit :

; ;

Do :

(2.8)

Avec K>0 et >0 .

Nous remarquons que les gains Kp ,KD , KI sont fonction de Ji suppos constant, mais en

ralit Ji varie en fonction de la situation de lensemble du robot, donc lamortissement nest

vraiment critique que pour la valeur de Ji choisie.[8]

Les commandes de type PID sont implantes dans tous les contrleurs de robots industriels

actuels. Le systme est considr comme un systme linaire et chacune de ses articulations est

asservie par une commande dcentralise de type PID gains constants.


p. 21

2.2.2. Commande dynamique

Ce type de commande est aussi connu sous le nom de commande par dcouplage non

linaire ou couple calcul. La commande par dcouplage non linaire commande dynamique

est un asservissement non linaire dont les paramtres utilisent un modle de la dynamique du

robot, la mise en uvre de cette mthode exige le calcul en ligne du modle dynamique et la

connaissance des valeurs numriques des paramtres inertiels et de frottements ce qui ne

constitue plus maintenant une limite rdhibitoire grce aux volutions technologiques en micro-

informatique et le dveloppement de techniques d'identification.

La commande dynamique n'est pas dans tous les cas le type de commande ncessaire pour

obtenir une bonne prcision et une bonne stabilit. En effet une commande classique suffit

lorsque le robot manipulateur volue sans contraintes de performance, de rapidit et de prcision

car dans ce cas, les inerties ont une influence moins importante, Pour valuer ces performances,

nous comparons cette stratgie (commande dynamique) la commande classique de type

PID.[12]

La figure (2-2) prsente le schma dune commande dynamique par dcouplage non-

linaire.

Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage non-linaire

Cette commande consiste transformer par un retour dtat le problme de commande dun

systme non linaire en un problme de commande dun systme linaire, ce qui permet ensuite

dappliquer les techniques classiques de la thorie de la commande linaire.

La commande dynamique prsente des avantages comme elle prsente des inconvnients.

2.2.2.1. Avantages

Bonne prcision de suivi.

Application aux robots rapides.


p. 22

2.2.2.2. Inconvnients

Ncessit dune identification prcise des paramtres du robot.

Ncessit dun important temps de calcul.

Identification en ligne (paramtres de dernier corps).

Parmi les solutions apportes pour remdier aux problmes prcdents, nous citons

lutilisation :

Des systmes informatiques performants.

Du formalisme de Newton-Euler pour lidentification en ligne.

Dun modle dynamique rduit.

La commande dynamique a t tudie par un ensemble de chercheurs depuis une vingtaine

dannes dans le but de trouver une forme qui ne ncessite pas un temps de calcul important.[8]

2.2.2.3. Lois de commande

Si lquation du modle est comme suit :

(2.9)

Lquation de la loi de commande sera donn par :

(2.10)

O :

(2.11)

Avec estims de ,

M : Matrice dinertie.

C : Matrice des termes Coriolis, centrifuges et de gravits.

: Couple de frottement.

Dans le cas o le modle dynamique est exact, lquation (2.11) nous donne lquation de

lerreur .

(2.12)


p. 23

Lquation de lerreur est dcoupl et linaire.

Le bon choix des constantes Kp, KD et KI fait tendre asymptotiquement lerreur vers zro.

partir de lquation (2.12) nous dduisons la fonction de transfert entre la position

dsire et la position relle mesure :

(2.13)

La fonction de transfert (2.13) est unitaire, donc la trajectoire du robot doit suivre

exactement la trajectoire derreur de modlisation.

Le calcul de la commande dynamique dpend de la tche raliser :

Si la charge est connue, sont identification se fait hors ligne.

Si la charge nest pas connue lidentification en ligne est obligatoire.

Si vecteur de commande u est obtenu par un correcteur proportionnel drive et dune

anticipation en acclration. Il scrit donc :

(2.14)

En utilisant le fait que dans le cas parfait, le comportement de lerreur est alors

caractris par lquation suivante :

(2.15)

Dans ce cas, lerreur se comporte comme un systme du second ordre. La pulsation propre

et lamortissement sont alors rgls par les gains du correcteur :

(2.16)

La prsence dun gain intgral est thoriquement inutile puisque le systme asservi se

comporte comme un double intgrateur. Cependant, en pratique, le gain intgral est utilis pour

diminuer linfluence des erreurs de modlisation puisque la commande en couple calcul a

aussi tendance tre peu robuste face aux erreurs de modlisation.[8]

Lorsque les erreurs de modlisation sont importantes, que ce soit cause dincertitudes sur

les paramtres inertiels, soit cause des charges inconnues soit cause des frottements.

Lquation de lerreur sera donne par la relation suivante :


p. 24

(2.17)

Soit :

(2 .18)

O :

(2.19)

Couple de perturbation.

Nous dduisons que lerreur de modlisation constitue une excitation pour lquation de

lerreur e. Remdier ce problme cest augmenter les gains , et .

2.2.3. Commande adaptative

La commande adaptative a dbute dans les annes 50 comme solution pour contrler les

processus fonctionnant sous des conditions et environnement variables dans le temps. Dans les

annes 60 plusieurs contributions de thorie de la commande ont t introduites dans le

dveloppement de la commande adaptative, comme par exemple lapproche dtat et les

thories de stabilit. Au dbut des annes 70 les diffrentes mthodes destimation ont t

introduites dans la commande adaptative. Lutilisation de la commande adaptative a commenc

au dbut des annes 80 en parallle avec une rapide volution en micro-lectronique qui permit

dimplmenter des rgulateurs adaptatifs sur des systmes a microprocesseurs.[11]

2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative

La commande adaptative est un ensemble de techniques utilises pour lajustement

automatique en temps rel des rgulateurs des boucles de commande afin de raliser ou

maintenir un certain niveau de performances quand les paramtres du procd commander

sont soit inconnus soit variantes dans le temps.[12]

2.2.3.2. Le principe

En principe, un systme de commande adaptative mesure un certain indice de performance

du systme commander partir de lcart entre lindice de performance dsir et lindice de

performance mesur. Le mcanisme dadaptation commande certains paramtres du systme

ajustable ou introduit un signal supplmentaire de commande daprs une certaine stratgie afin

de minimiser lindice de performance. La figure (2-3) reprsente le principe gnral dun

systme dans une plage donne de commande adaptative.[13]


p. 25

Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative

2.2.3.3. Diffrentes commandes adaptatives

Bien quil existe plusieurs types de commande adaptatives nous prsentons les plus

rpondues telles que :

Gain-Scheduling.

Rgulateur auto-adaptative.

Commande adaptative modle de rfrence.

Lensemble des commandes ont pour rles lajustement des paramtres du rgulateur, mais

ils diffrent par la manire dajustement.[8]

a. Gain-Scheduling

Il est possible des fois de trouver des variables auxiliaires qui ont une grande corrlation

avec le changement des paramtres dynamiques. Il est donc possible de rduire les effets des

paramtres on ajustant le rgulateur et on se basant sur ces variables auxiliaires.

Le problme du Gain-Scheduling est la dtermination des paramtres auxiliaires, qui

ncessite la connaissance de la physique du systme commander.

Ce procd a la proprit de rpondre avec grande vitesse aux variations processus.

La figure (2-4) donne un schma bloc de cette commande.


p. 26

Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling

b. Rgulateur auto-adaptative

Dans le cas des systmes adaptatifs, il est suppos que les paramtres du rgulateur sont

ajusts tout le temps et suivent les changements du processus. Cependant il est difficile

danalyser la convergence et la stabilit de tels systmes.

Pour simplifier le problme, on suppose que le processus a ses paramtres constants mais

inconnus. Lorsque le processus est connu, la procdure dajustement du rgulateur spcifier les

paramtres ncessaires.

Le rgulateur auto-adaptatif est bas sur lide de sparer entre lestimateur des paramtres

inconnus et la procdure dajustement.[8]

La figure (2-5) montre que les paramtres inconnus sont estims en ligne utilisant les

mthodes destimation rcursives.

Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif

Les paramtres estims sont supposs prendre les valeurs relles et les incertitudes de

lestimation ne sont pas considres.

Parmi les mthodes destimation des paramtres on cite :

Les approximations stochastiques.

Les moindres carrs.

Les moindres carrs tendu et gnraliss.


p. 27

La variable instrumentale.

Le maximum de Likelihode.

La combinaison des mthodes destimations et dajustements des paramtres permet davoir

des rgulateurs diffrentes proprits.

En gnral, on estime les paramtres de la fonction de transfert du processus et les

perturbations et cela donne un algorithme adaptatif indirect. Dans le cas o les paramtres du

rgulateur sont en fonction des paramtres du modle, lestimation est dite indirecte.[8]

c. Commande Adaptative Modle de Rfrence (MRAS)

La commande adaptative avec modle de rfrence consiste adopter lorgane de

commande dune faon ce que le processus se comporte comme le modle de rfrence. La

dtermination dune loi de commande adaptative permet la repense du systme de suivre celle

du modle mme en prsence des perturbations en agissant sur les performances dynamiques du

systme. Le principe de cette commande est illustr dans la figure (2-6) :

Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS

Lensemble du systme de commande a une premire boucle ordinaire contenant le modle

de rfrence et le mcanisme dajustement des paramtres du rgulateur.

Les deux nouvelles ides apportes par le MRAS sont :

Les performances sont fixes par le choix dun modle de rfrence.

Lajustement des paramtres du rgulateur est bas sur lerreur :

. (2.20)

Le but de cette rgulation est la minimisation de lerreur entre la sortie du modle de

rfrence et la sortie du processus .

Le problme dans le cas du (MRAS) consiste obtenir le mcanisme dajustement des

paramtres du rgulateur qui stabilise le systme et rduit lerreur zro [8].


p. 28

2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS)

La construction dun systme adaptatif modle de rfrence consiste au :

Choix du modle de rfrence fixe les performances dsires.

Chois de la loi de commande.

Dtermination de la loi dadaptation.

Si le choix du modle de rfrence et la loi de commande est li aux performances dsires,

la loi dadaptation doit assurer la stabilit du systme et la tendance de lerreur vers zro. Parmi

les approches utilises comme mcanismes, nous notons :

Les rgles MIT (gradient).

La fonction de Lyapunov.

a. Approche du gradient

La mthode du gradient est utilise en premier lieu par Whitaker dans son travail original.

Le dveloppement de cette approche envers le MRAS revient utiliser les rgles de MIT.

Rgle de MIT

Soit lerreur entre et : et le vecteur des paramtres ajuster. Un critre

minimiser est propos comme :

(2.21)

Par consquent pour que J soit petit il est raisonnable de changer les paramtres dans le sens

ngatif du gradient de J c.--d. :

(2.22)

(2.23)

Sil est suppos que les paramtres changent plus lentement que les autres variables du

systme, alors on peut calculer

dans ce cas en supposant constant.

Reprsente la sensibilit du systme et dtermine la vitesse dadaptation des

paramtres. Le schma de la figure (2-7) reprsente le modle derreur.


p. 29

Figure 2-7 Le modle derreur

Le choix du critre est arbitraire, si on pose :

(2.24)

(2.25)

La rgle de MIT est performante si est choisi petit, mais sa valeur peut dpendre de

lamplitude du signal et du gain du processus. En consquence, il nest pas possible de donner

une limite qui assure la stabilit globale du systme. Il se peut que le systme est stable pour des

valeurs et non pour dautres.

Une faon de remdier au problme prcdent est dutiliser les rgles MIT modifies donns

par la formule.

(2.26)

Une autre faon de limiter carrment la vitesse de convergence est dintroduire la fonction

de saturation :

(2.27)

Il arrive parfois que le choix de larges des valeurs pour y provoque linstabilit.

Pour toutes ces raisons, le choix dune approche que se base sur la stabilit semble

meilleure.[8]


p. 30

b. Fonction de Lyapunov

Les recherches extensives menes dans le but de trouver une mthode danalyse de stabilit,

qui assure la tendance de lerreur vers zro ont pu donner la fonction de Lyapunov. La mthode

propose par Lyapunov est valable pour les systmes non-linaires et dont lide est illustre en

figure (2-8).

Lnonc de la mthode est le suivant : lquilibre est stable si on trouve une fonction relle

de lespace dtat, sa courbe enveloppe ltat dquilibre et la drive de la variable dtat pointe

lintrieur de la courbe.

Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov

Pour noncer Formellement les rsultats on considre lquation diffrentielle suivante:

(2.28)

Avec

O x reprsente vecteur dtat de dimension n.

Soit la fonction Satisfaisant les conditions suivantes :

pour tout .

est diffrentiable en et .

est dfinie positive.

La condition suffisante pour une stabilit asymptotique uniforme pour le systme (2.28) est:

(2.29)

Alors doit tre dfinie ngative :

La condition (2.29) fixera donc la loi dadaptation assurant par suite la stabilit et la tendance de

lerreur vers zro. [8].


p. 31

2.3. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons prsente quelques techniques de commande des robots

industriels telle que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative,

ces derniers sont les commandes les plus utilises dans l'industrie. Nous nous sommes plus

particulirement intresss la commande adaptative des robots manipulateurs car notre systme

possde un modle dynamique non linaire, paramtres inertiels variables, couplage entre les

articulations et erreurs didentifications.

Le prochain chapitre nous prsenterons la simulation de la commande adaptative pour un

robot manipulateur deux degrs de libert.

CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

p. 32

Chapitre 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

3.1. Introduction

Lorsqu' un robot manipulateur doit tre command de manire rapide et prcise, les

contraintes dynamiques doivent tre prises en compte. Il est ncessaire de concevoir un systme

de commande plus sophistiqu qui prend en compte lensemble des forces dynamiques

dinteractions. Le modle dynamique doit tre le plus complet possible et les paramtres qui le

caractrisent doivent tre bien identifis. Le besoin une commande adaptative vient compenser

contraintes quopposent certains types de commandes. La simulation est effectue sur un bras

manipulateur deux degr de libert.

3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert

Un robot deux degrs de libert et qui a deux articulations rotodes.

Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes

m1 : masse du corps 1 ; m2 : masse du corps 2.

G1 : centre de masse du corps 1 ; G2 : centre de masse du corps 2.

L1 : longueur du corps 1 ; L2 : longueur du corps 2.

Lc1 : position du centre de masse G1 par rapport O1.

Lc2 : position du centre de masse G2 par rapport O2.

Ce bras est constitu de deux axes de masses respectives m1 et m2 de longueurs respectives

L1 et L2, les vecteurs numriques utiliss pour la simulation sont celles des axes 2 et 3 du robot


p. 33

Puma 560. Figure (3-2).

Figure 3-2 Le Puma 560

Soit :

Vecteur des coordonnes oprationnelles donnant la position de lorgane terminal.

Vecteur des coordonnes gnralises.

3.2.1. Modle gomtrique

Les positions des masses m1, m2 sont donnes par [8]:

(3.1)

(3.2)

Avec

3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)

Nous dfinissons les paramtres (DHM) de ce robot manipulateur 2 DDL comme suit :

Tableau 3-1 Les paramtres de DHM

joint d a V.A

1 q1 0 0 0 q1

2 q2 0 L1 0 q2


p. 34

3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage

La matrice du passage globale est donne par :

(3.3)

3.2.2. Modle cinmatique

Le modle cinmatique appel aussi modle variation el permet de calculer les vitesses ou la

variation de lorgane terminal en fonction des vitesses articulaires.

(3.4)

(3.5)

3.2.3. Modle dynamique

3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie

Afin de calculer la matrice dinertie M(q), on calcule dabord ses lments mij(q) par la

formule (1.28),[7] on a donc :

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Avec :

(3.9)

mp: une masse dans lorgane terminal.

Telle que reprsente linertie par rapport laxe (Oi , Zi) du corps Ci.

3.2.3.2. Calcul de la matrice

A partir de la relation (1.36) et la matrice M(q), on peut calculer les lments de la

matrice :

(3.10)

(3.11)


p. 35

(3.12)

(3.13)

3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit

Lnergie potentielle de chaque corps Cj (i=1,2) sobtient partir de relation (1.31) et

(1.32).

(3.14)

(3.15)

3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL

Daprs les paragraphes prcdents, les matrices et le vecteur des termes des gravits du

modle dynamique du bras manipulateur sont exprims comme suit :

Matrice dinertie :

(3.16)

Matrice des forces centrifuge et Coriolis :

(3.17)

Vecteur des efforts gravitationnels :

(3.18)

Le modle dynamique est :

(3.19)

3.3. La commande adaptative

3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande adaptative

En l'absence de frottement ou d'autres perturbations, le modle dynamique d'un bras

manipulateur 2 DDL est:

(3.20)

O :

: La matrice dinertie (2 2).


p. 36

: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis (2 2).

: Vecteur des forces de gravit (2 1).

: Vecteur de couple (2 1).

On pose :

(3.21)

O le terme dcrit une action de contrle qui garantit une compensation

approximative des effets non linaires et les dcouplages des articulations.[10].

: Vecteur de paramtres constants du robot (6 1).

: Matrice en fonction de positions, vitesses et acclrations (2 6)

Considrons la loi de commande avec K une matrice dfinie positive.

(3.22)

Avec

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Avec le terme est lquivalant de laction PD (proportionnel driv).

: Vecteur (6 1) estim du vecteur .

: Matrice (2 2) estim de la matrice M.

: Matrice (2 2) estim de la matrice C.

: Vecteur (2 1) estim du vecteur G.

En substituant (3.25) dans (3.21), donne :

(3.26)


p. 37

O

La fonction de Lyapunov est dfinie par :

(3.27)

O

En utilisant la proprit et la drive de la fonction

de Lyapunov est :

(3.28)

La loi d'adaptation est choisie de telle sorte que , qui est :

(3.29)

Avec donc lquation (3.28) devient (3.30) :

(3.30)

Lquation (3.29) peut aussi s'crire sous la forme suivante :

En intgrant les deux cts de l'quation (3.29)

(3.31)

O

Le schma bloc de la loi de commande adaptative (3.29) est donn dans la figure 3-3.

Avec .


p. 38

Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29)

Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.31) sont :

(3.32)

3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari dans le temps

Dans le but de contrler la trajectoire du robot manipulateur, si l'estimation de paramtre,

est dfinie comme une nouvelle commande dentre [10] :

(3.33)

O

Lutilisation de (3.33) dans le modle dynamique (3.25) est une stratgie de commande

obtenu de telle sorte que les erreurs et l'estimation du sont bornes.

preuve :

Afin dobtenir la loi d'estimation des paramtres dfinis dans l'quation. (3.33) qui satisfait

la stabilit du systme en boucle ferm et assure les limites des erreurs.

La fonction de Lyapunov propos :

(3.34)


p. 39

La drive de la fonction de Lyapunov est :

(3.35)

Avec

En utilisant la proprit et la drive de la fonction

de Lyapunov devient :

(3.36)

On a et donc les premiers termes de l'quation (3.36) sont infrieurs ou gales

zro:

(3.37)

Pour la condition de stabilit, les derniers termes de l'quation. (3.36) doivent tre gale

zro :

(3.38)

Pour cette quation (3.38), il est trs important de choisir la fonction pour rsoudre cette

quation, et il n'y a pas une certaine rgle de choisir pour ce systmes. Nous utilisons les

paramtres d'tat du systme pour la recherche de la fonction approprie comme une solution

de lquation diffrentielle du premier ordre. Pour cela nous choisissons, et de son driv tel

que [10] :

(3.39)

On remplace (3.39) dans (3.38) :

(3.40)

Avec et en divisant lquation (3.40) par :

(3.41)

En multipliant lquation (3.41) par

:

(3.42)

Nous pouvons crire lquation (3.42) comme suit :

(3.43)


p. 40

L'intgration des deux cts de l'quation (3.43) nous donne :

(3.44)

(3.45)

En divisant les deux cts de l'quation. (3.46) par

:

(3.46)

Avec : et le constant C=2 (3.47)

Par consquent, la loi d'adaptation des paramtres est :

(3.48)

(3.49)

(3.50)

Le schma bloc qui comprend l'adaptation des paramtres en utilisant la loi de commande

(3.48) est illustr dans la figure (3-4).

Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48)

Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.48) sont :


p. 41

(3.51)

Les paramtres du robot 2 DLL sont prsents dans le tableau 3-2:

Tableau 3-2 Les paramtres du robot

m1 m2 l1 l2 lc1 lc2 I1 I2 g

10Kg 5 Kg 1m 1m 0.5m 0.5m 10/12 Kg.m2 5/12 Kg.m

2 9.81 m/s

2

Les lments du vecteur constant : [10]

(3.52)

3.4. La trajectoire dsire

La dynamique du robot exige dimposer des trajectoires ralisables, ainsi la continuit en

position, vitesse et acclration offre au robot la possibilit de poursuivre la trajectoire avec des

commandes ralisables.

Pour notre simulation, un polynme du troisime ordre est considr comme une trajectoire

de rfrence , pour les deux articulations comme montre la figure suivante. [7].

(3.53)

Avec :

Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

temps (s)

tht

a (ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (s)

dth

ta/d

t (ra

d/s)

thta

vitesse


p. 42

Les angles des articulations changent de 0 rad 2,5 rad en 3s et la vitesse varie entre 0

rad/s et 1.25 rad/s pendant 1.5s et entre 1.25 rad/s et 0 rad/s jusqu 3s, le temps

d'chantillonnage est 0,01 s.

3.5. Rsultats de simulation

Pour une comparaison de la loi de commande propose par le contrleur connue (3.29) et le

contrleur (3.48) en utilisant les mmes paramtres tels que K et , les algorithmes de commande

dvelopps sont appliques au modle pour la mme trajectoire dsir afin d'analyser les

performances de chaque loi de commande.

Dans cette simulation nous considrons que les perturbations externes sont ngligeables.

3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge

Les rsultats des positions et des vitesses relles et dsirs des deux articulations et ses

erreurs sont prsents dans les figures (3.6) et (3.7) avec les paramtres :

Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

temps (s)

Angle

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

temps (s)

Err

eur

de p

ositio

n e

1 (

rad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps (s)

Angle

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

temps (s)

Err

eur

de p

ositio

n e

2 (

rad)

thd1

thr1

e1

thd2

thr2

e2


p. 43

Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps

D'aprs la figure (3-6) nous remarquons que la valeur de l'erreur maximale en rgime

transitoire pour la premire articulation est environ de 0.056 rad et pour la deuxime articulation

est environ de 0.015 rad avec les valeurs des paramtres sont :

partir de la figure (3-7) on remarque que lerreur de la vitesse pour la 1er articulation est

environ de 0.03 rad/s et 0.078 rad/s pour la deuxime articulation.

La figure suivante reprsente la commande U pour les deux articulations :

Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2

La deuxime articulation suit la trajectoire qui lui correspond avec une erreur maximale de

position mieux que la premire articulation car la 1er

articulation comporte les deux segments,

par contre la 2me

articulation ne commande quun seul segment.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (s)

la v

itesse (

rad/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

temps (s)

Err

eur

de v

itesse d

e1 (

rad/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (s)

la v

itesse (

rad/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

temps (s)

Err

eur

de v

itesse d

e2 (

rad)

thd1

thr1

de1

dthd2

dthr2

de2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

temps (s)

la c

om

mande U

(N

.m)

la commande U

u1

u2


p. 44

3.5.1.1. Changement des paramtres

On augmente les paramtres qui sont quivalant laction de rgulation PD jusqu

130 pour le K et 60 pour , les rsultats des positions et des vitesses avec ses erreurs seront

prsentes dans les figures (3-9) et (3-10).

Les paramtres sont :

Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps

Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

temps (s)

Angle

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

temps (s)

Err

eur

de p

ositio

n e

1 (

rad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps (s)

Angle

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6

-4

-2

0

2

4x 10

-3

temps (s)

Err

eur

de p

ositio

n e

2 (

rad)

thd1

thr1

e1

thd2

thr2

e2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (s)

la v

ite

ss

e (

rad

/s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

temps (s)

Err

eu

r d

e v

ite

ss

e d

e1

(ra

d/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (s)

la v

ite

ss

e (

rad

/s)

0 0.5 1 1.5 2

Modélisation et commande adaptative d’un bras manipulateur rigide à 2 degré de liberté

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