MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSIT FERHAT ABBAS -STIF
Facult de Technologie
: Dpartement dlectrotechnique
Mmoire de Master No. Rf. : .//2012
Prsent au Dpartement dlectrotechnique
Domaine : Sciences et Technologie Filire : Automatique Spcialit : Commande des processus industriels
Ralis par :
M. Belmahdi Mohamed Amine
Thme
Modlisation et commande adaptative dun bras manipulateur rigide 2 degr de libert
Soutenu le 27/06/2012 devant la commission dexamen compose de :
M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A lUniversit de Stif Prsident
M. REFFOUFI SALIM M.A.A lUniversit de Stif Directeur du Mmoire
M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A lUniversit de Stif Examinateur
M. BOURAHALA FAYAL M.A.A lUniversit de Stif Examinateur
Remerciements
Je remercie en premier lieu Allah le tout puissant pour mavoir donn la force et la volont
daccomplir ce modeste travail.
Je tiens remercier, en tout premier lieu, Mr. REFFOUFI SALIM, Directeur de ce mmoire,
Matre assistant au sein de notre dpartement, qui na pas hsit un instant donner son accord pour
llaboration de ce travail en morientant par ses prcieux conseils et ses encouragements.
Je remercie galement tous les membres du jury pour lintrt quils ont port mon travail :
M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A
M. REFFOUFI SALIM M.A.A
M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A
M. BOURAHALA FAYAL M.A.A
Mes remerciements vont toute ma famille, je cite en particulier, ma trs chre mre, mon pre,
mon frre et sa femme, mes surs qui mont toujours combl daffection et de soutien moral.
Je tiens galement remercier trs chaleureusement mes amis Abdenour, Ramzi et Soumia.
Sans oublier mes amis au sein de notre dpartement.
Je tiens remercier tous ceux qui mont fourni, de prs ou de loin, leur aide afin que je puisse
mener ce travail terme.
Stif, le 20 /06 /2012
SOMMAIRE
Sommaire
INTRODUCTION GNRALE .............................................................................. 1
Chapitre 01 ............................................................................................................................. 2
MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS ................................................... 2
1.1. Les robots industriels ....................................................................................................................................... 2
1.1.1. Introduction ............................................................................................................................................................. 2
1.1.2. Historique ................................................................................................................................................................. 2
1.1.3. Classifications des robots industriels ........................................................................................................... 3
1.1.4. Applications ............................................................................................................................................................. 4
1.2. Robot manipulateur .......................................................................................................................................... 5
1.2.1. Constitution mcanique ...................................................................................................................................... 5
1.2.1.1. Structure mcanique ................................................................................................................................ 6
1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs) ........................................................................................................... 6
1.2.1.3. Les capteurs .............................................................................................................................................. 6
1.2.1.4. La partie commande................................................................................................................................ 7
1.3. Modlisation dun bras manipulateur ........................................................................................................ 7
1.3.1. Modlisation gomtrique................................................................................................................................. 8
1.3.1.1. Modle gomtrique direct .................................................................................................................... 8
1.3.1.2. Modle gomtrique inverse ................................................................................................................ 11
1.3.2. Modlisation cinmatique ............................................................................................................................... 12
1.3.2.1. Modle cinmatique direct ................................................................................................................... 12
1.3.2.2. Modle cinmatique inverse ................................................................................................................ 13
1.3.3. Modlisation dynamique .................................................................................................................................. 14
1.3.3.1. Formalisme de Lagrange ...................................................................................................................... 15
1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique ................................................................................................................. 15
1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle .............................................................................................................. 15
1.3.3.4. Formulation du modle dynamique ................................................................................................... 16
1.4. Conclusion .......................................................................................................................................................... 16
Chapitre 02 .......................................................................................................................... 17
TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS ................................................17
2.1. Introduction ....................................................................................................................................................... 17
2.2. Techniques de commande des robots...................................................................................................... 17
2.2.1. Commande classique ......................................................................................................................................... 18
SOMMAIRE
2.2.1.1. Avantages ................................................................................................................................................ 18
2.2.1.2. Inconvnients ......................................................................................................................................... 18
2.2.1.3. Lois de commande ................................................................................................................................ 19
2.2.2. Commande dynamique ..................................................................................................................................... 21
2.2.2.1. Avantages ................................................................................................................................................ 21
2.2.2.2. Inconvnients ......................................................................................................................................... 22
2.2.2.3. Lois de commande ................................................................................................................................ 22
2.2.3. Commande adaptative ...................................................................................................................................... 24
2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative .............................................................................................. 24
2.2.3.2. Le principe .............................................................................................................................................. 24
2.2.3.3. Diffrentes commandes adaptatives................................................................................................... 25
2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS) .............................................................................................. 28
2.3. Conclusion .......................................................................................................................................................... 31
Chapitre 03 .......................................................................................................................... 32
SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE ............................................32
3.1. Introduction ....................................................................................................................................................... 32
3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert .................................................................................. 32
3.2.1. Modle gomtrique .......................................................................................................................................... 33
3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM) ................................................................... 33
3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage ........................................................................................................... 34
3.2.2. Modle cinmatique ........................................................................................................................................... 34
3.2.3. Modle dynamique ............................................................................................................................................. 34
3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie ................................................................................................................ 34
3.2.3.2. Calcul de la matrice ................................................................................................................. 34
3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit ............................................................................................. 35
3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL .................................................................................................. 35
3.3. La commande adaptative .............................................................................................................................. 35
3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande adaptative .............................................. 35
3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari dans le temps .................................. 38
3.4. La trajectoire dsire ...................................................................................................................................... 41
3.5. Rsultats de simulation ................................................................................................................................. 42
3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge ............................................................................................ 42
3.5.1.1. Changement des paramtres ................................................................................................................ 44
3.5.2. Simulation de schma bloc 1 avec la charge ............................................................................................ 45
3.5.3. Simulation de schma bloc 2 sans la charge ............................................................................................ 47
3.5.3.1. Changement des paramtres ................................................................................................................ 48
3.5.4. Simulation de schma bloc 2 avec la charge ............................................................................................ 50
SOMMAIRE
3.6. Comparaison entre les deux commandes ............................................................................................... 51
3.6.1. Sans charge ............................................................................................................................................................ 51
3.6.2. Avec charge ............................................................................................................................................................ 52
3.7. Conclusion .......................................................................................................................................................... 52
CONCLUSIONS GNRALES .............................................................................53
SOMMAIRE
Liste des figures
Figure 1-1 Robot chane simple ........................................................................................................................................... 6
Figure 1-2 Servomoteur ........................................................................................................................................................... 6
Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position ............................................................................................................................ 7
Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur ..................................................................................................... 7
Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique ........................................................................................................ 9
Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg .............................................................................................. 10
Figure 2-1 Schma classique dune commande PID ......................................................................................................... 18
Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage non-linaire ............................................................ 21
Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative ............................................................................................. 25
Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling ............................................................................................... 26
Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif .................................................................................................... 26
Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS ...................................................................... 27
Figure 2-7 Le modle derreur ............................................................................................................................................... 29
Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov .......................................................................................................... 30
Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes ................................................................................................ 32
Figure 3-2 Le Puma 560 ......................................................................................................................................................... 33
Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29) ................................................................................................ 38
Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48) ................................................................................................ 40
Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire .................................................................................... 41
Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps...................................................... 42
Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps ............................................................ 43
Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ........................................................................................... 43
Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps...................................................... 44
Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 44
Figure 3-11 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ......................................................................................... 45
Figure 3-12 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps ................................................... 46
Figure 3-13 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 46
Figure 3-14 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ......................................................................................... 47
Figure 3-15 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps ................................................... 47
Figure 3-16 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 48
Figure 3-17 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps ................................................... 48
SOMMAIRE
Figure 3-18 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 49
Figure 3-19 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ........................................................................................ 49
Figure 3-20 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps ................................................... 50
Figure 3-21 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps .......................................................... 50
Figure 3-22 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ......................................................................................... 51
SOMMAIRE
viii
Liste des tableaux
Tableau 3-1 Les paramtres de DHM ................................................................................................................................. 33
Tableau 3-2 Les paramtres du robot .................................................................................................................................. 41
Tableau 3-3 Rsultats des erreurs de position et de vitesse sans la charge .................................................................... 51
Tableau 3-4 Rsultats des erreurs de position et de vitesse avec la charge .................................................................... 52
SOMMAIRE
ix
Liste des Acronymes et Symboles
Acronymes :
EPFL cole Polytechnique Fdrale de Lausanne.
JPL Jet Propulsion Laboratory.
JIRA Japon Industrial Robot Association.
AFRI Association Franaise de Robotique Industrielle.
RIA Robot Institute of America.
AFNOR Association Franaise de NORmalisation.
DH Denavit Hartenberg.
DHM Denavit Hartenberg Modifi.
DDL Degr De Libert.
PID Proportionnel Intgral Driv.
PD Proportionnel Driv.
MRAS Systme Adaptative Modle de Rfrence.
Symboles :
q Vecteur des variables articulaires.
X Vecteur des variables oprationnelles.
Vecteur des vitesses articulaires.
Vecteur des vitesses oprationnelles.
La vitesse angulaire.
Vecteur des acclrations des articulations.
T La matrice de transformation entre les repres.
J(q) La matrice Jacobienne.
La matrice inertie.
SOMMAIRE
x
Vecteur des couples.
Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.
Vecteur des forces de gravit.
Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane terminal.
Lagrangienne.
nergie cintique.
nergie potentielle
Lerreur de position.
Lerreur de vitesse.
Lerreur dacclration.
La position angulaire.
La vitesse angulaire.
La fonction de Lyapunov.
m La masse du bras.
L La longueur du bras.
INTRODUCTION GNRALE
1
INTRODUCTION GNRALE
Quand on parle de robotique, plusieurs ides viennent lesprit de chacun de nous.
Historiquement, nous pourrions nous rfrer aux premiers concepts et automates de lantiquit ou
aux premiers robots comme des personnages de la mythologie.
Cest au sicle dernier que lclatement de la robotique industrielle a amorc lexplosion
des thmes de recherche. A cette poque les robots taient conus en respectant les contraintes
imposes par le milieu industriel, comme la rptabilit et la prcision dans la ralisation des tches,
cest avec les dveloppements scientifiques, spcifiquement de llectronique et de linformatique
mais aussi automatique, mathmatique, mcanique, matriaux, que la technologie robotique a
progress. Les robots actuels sont dots dune intelligence qui leur donne une certaine autonomie
qui va leur permettre de se diffuser dans de nouveaux domaines.
Ce travail reprsente une introduction sur le domaine de la robotique et principalement la
modlisation et la commande des robots manipulateur. Le mmoire est constitu de trois chapitres,
chaque chapitre traite une partie de ce travail.
Dans le premier chapitre nous exposons une introduction sur les robots industriels, les
lments constituants un robot manipulateur tels que la structure mcanique, les actionneurs ou les
servomoteurs et les capteurs et aussi ce chapitre sera consacr aux modlisations des robots aprs
avoir rappel les principes et les mthodes de la modlisation.
Le deuxime chapitre traite quelques techniques de commande des robots manipulateurs telle
que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative.
Dans le dernier chapitre on va simuler la commande adaptative pour un robot manipulateur
rigide deux degr de libert par deux lois de commande avec prsentation des rsultats de
simulation.
Finalement une conclusion gnrale sur le contenu des trois chapitres et les rsultats obtenus
par la simulation des deux lois de commande qui nous utilisent dans le dernier chapitre.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
2
Chapitre 01
MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
1.1. Les robots industriels
La robotique a toujours t une technique charge dun contenu motionnel, bien avant
quelle devienne une ralit industrielle et par lconomique, elle tait prsente dans tous les
ouvrages danticipation. Dans le domaine industriel, lapproche ntait pas trs diffrente.
Certains responsables ont souffert, dans les annes 60 et 70, de la pression des ouvriers sur les
conditions de travail et de salaires. Il en est rsult le mythe de lusine sans homme, qui a eu
plus dun adepte. Dans un tel contexte, deux solutions taient proposes : lusine automatique,
ddie une production bien dtermine, ou lusine robotise, plus ou moins prte excuter
nimporte quelle tche dans un domaine assez large. Il a t cr de nombreuses usines
automatiques ddies.[1]
1.1.1. Introduction
Les robots industriels ont t dvelopps pour intervenir dans les milieux risques, par
exemple dans lindustrie nuclaire ou dans des environnements crant une forte corrosion. Un
robot industriel peut aussi servir au maniement d'objets lourds, ce qui est une autre utilisation
trs courante. Les robots sont depuis longtemps utiliss dans les chanes de montage de
l'industrie Automobile o ils remplacent les ouvriers dans les tches pnibles et dangereuses.
1.1.2. Historique
L'origine du mot robot est issue du grecque "Robota" qui signifie travail forc. Le terme de
robotique est apparu en 1942 dans l'uvre de l'crivain ISAACASIMOV.
Le premier robot manipulateur industriel, appel Unimate, tait un descendant direct des
tlmanipulateurs dvelopps pour les besoins du nuclaire. Cr par George Devol dans les
annes 1950, il fut utilis pour travailler sur les chanes d'assemblage de General Motors
partir de 1961.
Parmi les robots industriels, le KukaFamulus, qui date de 1973, fut le premier robot 6
axes entrans de faon lectromcanique.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
3
Le Robot Delta, imagin en 1985 par Reymond Clavel, professeur l'cole
Polytechnique fdrale de Lausanne (EPFL), possde un bras de manipulation form de 3
paralllogrammes. Son brevet tombe dans le domaine public en 2007 et diffrents constructeurs
devraient alors sortir leur propre robot delta.
Le Jet Propulsion Laboratory (JPL) dveloppe un robot industriel hexapode ( 6 pattes)
du nom de Lemur. Lemur aura pour mission de monter, assembler et rparer des installations
spatiales. Pesant moins de 5 kg, il offre la possibilit innovante dadapter diffrents outils sur
chacun de ses membres.[2]
1.1.3. Classifications des robots industriels
Dans la robotique, on peut distinguer les robots industriels, composes d'un bras articule muni
d'un effecteur, et les robots mobiles qui peuvent se dplacer en autonomie dans un
environnement.
Cependant, certains organismes, comme la JIRA (Japon Industrial Robot Association) ou
l'AFRI (Association Franaise de Robotique Industrielle), ont tabli des classifications plus
prcises, bases sur la spcificit fonctionnelle des robots.
La classification labore par la JIRA est la suivante :
Classe 1 : TELEMANIPULATEURS. Bras command par un oprateur humain.
Classe 2 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE FIXE. Contrle automatique, mais
difficilement programmable.
Classe 3 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE VARIABLE. Contrle automatique,
reprogramme mcaniquement.
Classe 4 : ROBOTS PLAY-BACK . Squences qui sont excutes lorigine sous la
supervision de ltre humain, mmorises puis rappeles pour tre rejoues.
Classe 5 : ROBOTS AVEC CONTROLEUR NUMERIQUE. Les positions des squences
sont contrles par des donnes numriques.
Classe 6 : ROBOTS INTELLIGENTS. Le robot peut grer son environnement des
modifications arrivant durant l'excution.
La classification labore par l'AFRI est la suivante :
Classe A : TELEMANIPULATEURS. Manipulateur maitre/esclave.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
4
Classe B : MANIPULATEURS AUTOMATIQUES. Manipulateurs automatiques avec
squences fixes et variable (Machines commandes numriques).
Classe C : ROBOTS PROGRAMMABLES. 1ere gnration de robots.
Classe D : ROBOTS INTELLIGENTS. 2me gnration de robots.
Ces classifications des seuls robots industriels en fonction du type de commande ont bien
vieilli, puisque tous les robots modernes, quils soient poste fixe ou mobile, sont conus avec
pour principal souci la dtection de lenvironnement, soit pour la scurit des personnes et des
biens, soit pour une meilleure autonomie de leur comportement. Ceci signifie quils sont tous
dots dun minimum de capteurs externes et quils se trouvent tous dans la classe 6 de la JIRA
ou la classe D de lAFRI. Pourtant, tous ces robots sont loin dtre identiques en performance.
On tentera plus loin de proposer une nouvelle classification qui peut prendre ce phnomne en
compte.[2]
1.1.4. Applications
Les robots manipulateurs industriels sont utiliss pour raliser des tches de dplacements
doutils, de manutention ou dassemblage. Ils se substituent lhomme ou prolongent son action
en apportant prcision, rapidit ou capacit appliquer dimportants efforts.
Parmi les applications les plus utilises dans la robotique industrielle sont :
Le soudage robotis des chssis de voiture amliore la scurit car un robot ne manque jamais
son point de soudure et les ralise toujours de la mme manire tout au long de la journe .
peu prs 25% des robots industriels sont impliqus dans diffrentes oprations de soudure.
Lassemblage occupe environ 33% des applications des robots industries. Beaucoup de ces
robots peuvent tre trouvs dans lindustrie automobile et lindustrie lectronique.
Lemballage et la pelletisation sont toujours des applications mineures des robots industriels,
comptant seulement pour 2,8% des applications des robots.
Lindustrie agro-alimentaire est un champ dapplications vou jouer un rle majeur dans le
futur, les constructeurs dveloppent une gamme spcifique de produits pour ce domaine.
Les applications dans lindustrie pharmaceutique et dans les biotechnologies constituent
galement un march davenir encore presque vierge.[2]
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
5
1.2. Robot manipulateur
Un bras manipulateur est le bras d'un robot gnralement programmable, avec des
fonctions similaires un bras humain. Les liens de ce manipulateur sont relis par des axes
permettant, soit du mouvement de rotation, ou de translation (linaire) de dplacement.
Il peut tre autonome ou contrl manuellement et peut tre utilis pour effectuer une
varit de tches avec une grande prcision. Les bras manipulateurs peuvent tre fixes ou
mobiles (c'est--dire roues) et peuvent tre conus pour des applications industrielles.
Gnralement, un robot manipulateur est considr comme un systme articul rigide. Nous
avons trouv dans la littrature diffrentes dfinitions de ce systme dynamique tel que :
Celle donne par JIRA (Japon Industrial Robot Association) : Un robot est un systme
versatile dot dune mmoire et pouvant effectuer des mouvements comme ceux dun
oprateur humain.
Celle donne par RIA (Robot Institute of America) : Un robot est un manipulateur
fonction multiple programm pour raliser automatiquement des taches varies
ventuellement rptitives.
Celle donne par AFNOR (Association Franaise de NORmalisation) : Manipulateur
command en position, reprogrammable, polyvalent, plusieurs degrs de libert, capable de
manipuler des matriaux, des pices, des outils et des dispositifs spcialiss, au cours de
mouvements variables et programms pour lexcution dune varit de tches. Il a souvent
lapparence dun ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Son unit de commande
utilise, notamment, un dispositif de mmoire et ventuellement de perception et dadaptation
lenvironnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes ont gnralement tudies
pour effectuer la mme fonction de faon cyclique et peuvent tre adaptes dautres
fonctions sans modification permanente du matriel. [3]
1.2.1. Constitution mcanique
Un bras manipulateur est compos de quatre parties principales :
a) Structure mcanique.
b) Les servomoteurs (Actionneurs).
c) Les capteurs.
d) La partie commande.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
6
1.2.1.1. Structure mcanique
Une structure mcanique qui sera le squelette du robot, peut tre divise en deux parties
distinctes comme le montre la figure (1.1) :
a) Organe terminal : les tches qui sont dvolues aux robots sont trs varies. Pour
chaque opration ou travail spcifique, lorgane terminal prend un aspect particulier.
b) lment porteur : il est compos dun ensemble de corps souples ou rigides lis par
des articulations, servant dplacer lorgane terminal dune configuration une autre.
Figure 1-1 Robot chane simple
1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs)
Le second lment correspond aux servomoteurs qui vont permettent au robot d'effectuer
rellement ses actions. Ces servomoteurs seront commands par la partie commande en
interaction avec les informations transmises par les capteurs. Le terme "servo" induit en effet un
asservissement effectu en fonction d'une comparaison avec le rsultat souhait et la ralit
extrieure.
Figure 1-2 Servomoteur
1.2.1.3. Les capteurs
La troisime partie composante d'un robot correspond aux diffrents capteurs sensoriels
quipant le robot pour une application particulire.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
7
Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position
1.2.1.4. La partie commande
Quatrime le cerveau (La partie commande) : cette partie qui va permette au robot d'analyser
les donnes provenant des capteurs et d'envoyer les ordres relatifs aux servomoteurs.[4]
Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur
1.3. Modlisation dun bras manipulateur
Pour dvelopper une stratgie de commande performante pour un robot, il est impratif de
connatre la cinmatique et la dynamique du manipulateur considr. Pour cela on est souvent
amen dcrire les diffrentes relations mathmatiques qui permettent de dfinir les
mouvements de ce dernier dans lespace.
Dans la pratique courante de robotique, la description du mouvement dun robot
manipulateur dans lespace est ralise en fonction des modles de transformation entre l'espace
oprationnel (dans lequel est dfinie la situation de l'organe terminal) et l'espace articulaire
(dans lequel est dfinie la configuration du robot).
Parmi ces modles, on distingue :
Les modles gomtriques direct et inverse qui expriment la situation de l'organe terminal
en fonction de la configuration du mcanisme et inversement,
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
8
Les modles cinmatiques direct et inverse qui expriment la vitesse de l'organe terminal en
fonction de la vitesse articulaire et inversement,
Les modles dynamiques dfinissant les quations du mouvement du robot, qui permettent
d'tablir les relations entre les couples ou forces exercs par les actionneurs et les positions,
vitesses et acclrations des articulations.
Dans le prsent chapitre, on prsentera quelques dfinitions concernant ces modles ainsi
que la faon de leurs obtentions.
1.3.1. Modlisation gomtrique
1.3.1.1. Modle gomtrique direct
Le modle gomtrique direct permet de dterminer la position et lorientation de lorgane
terminal du manipulateur par rapport un repre de rfrence en fonction des variables
articulaires, le modle scrit :
(1.1)
O
Par exemple, si le manipulateur se dplace dans lespace on pose m=6 (3 coordonnes pour
la position et 3 coordonnes pour la rotation). Sil se dplace dans un plan on pose m=2 et si en
plus on est concern par la rotation on pose m=3.
La position de lorgane terminal peut tre dfinie par des cordonnes cartsiennes,
cylindriques ou sphriques. Le choix dune structure particulire est guid par les
caractristiques du robot, ainsi que par celle de la tche raliser.[4]
Pour calculer le modle gomtrique du robot manipulateur, il existe 3 mthodes, la
premire est la mthode classique, la deuxime est la convention de DenavitHartenberg (DH)
et la troisime mthode est la convention de DenavitHartenberg modifi (DHM).
a. La mthode classique
Le principe de cette mthode est bas sur les trois tapes suivantes:
Fixer des repres chaque corps du robot. Figure (1-5).
Calculer les matrices homognes entre chaque corps
Calculer la matrice homogne entre la base du robot et lorgane terminal.
(1.2)
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
9
Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique
b. Convention de Denavit-Hartenberg (DH)
La convention de Denavit et Hartenberg (DH 1955) est une mthode systmatique. Elle
permet le passage entre articulations adjacentes dun systme robotique. Elle concerne les
chanes cinmatiques ouvertes o larticulation possde uniquement un degr de libert, et les
surfaces adjacentes restent en contact. Pour cet aspect lutilisation des charnires ou des
glissires est indispensable. Le choix adquat des repres dans les liaisons facilite le calcul des
matrices homognes de DH et permet darriver exprimer rapidement des informations de
llment terminal vers la base ou linverse.[1]
Cette mthode est destine systmatiser la modlisation de n'importe quel type de robot
srie.
Ses principaux avantages sont :
Simplification maximale du modle gomtrique.
tablissement d'une norme reconnue par tous.
Hypothse :
On peut reprsenter l'attitude d'un repre Ri par rapport un repre Ri-1 l'aide de 4
paramtres uniques condition de fixer deux contraintes [5]
DH1 : l'axe de est l'axe de .
DH2 : l'axe coupe l'axe .
Le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la premire articulation et le dernier repre (Xn,Yn,Zn)
dans lorgane terminal.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
10
Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg
Les termes sont appels les paramtres de Denavit- Hartenberg.
i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.
di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.
i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.
ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.
Dcomposition en 4 transformations lmentaires :
Rotation autour de z d'un angle .
Translation le long de z d'une longueur d.
Translation le long de x d'une longueur a.
Rotation autour de x d'angle .
Comme ces transformations sont faites par rapport au repre courant, on a :
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
c. Convention de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)
La mthode de DH modifie o le repre Ri est tel que l'axe zi est suivant l'articulation n i et
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
11
non pas i+1.
Dans cette mthode le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la base du bras manipulateur et le
dernier repre (Xn,Yn,Zn) dans la dernire articulation.
Les paramtres de Denavit- Hartenberg modifie :
i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.
di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.
i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.
ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
La convention Denavit-Hartenberg cest la plus utilise pour dterminer la position et
lorientation de lorgane terminal par rapport au repre de rfrence, et la plus rpandue pour
exprimer le passage du repre Ri-1 au repre Ri.[5]
1.3.1.2. Modle gomtrique inverse
Le modle gomtrique inverse permet de dterminer le vecteur des variables articulaires
partir du vecteur de coordonnes oprationnelles, le modle scrit :
(1.11)
Cest--dire partir de position de lorgane terminale dans la matrice , on cherche le
vecteur des variables articulaires .
(1.12)
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
12
Avec
1.3.2. Modlisation cinmatique
1.3.2.1. Modle cinmatique direct
Le modle cinmatique direct permet de dterminer la vitesse de lorgane terminal dans
lespace oprationnel en fonction de la vitesse des variables articulaires.[5]
Le modle est dcrit par lquation :
(1.13)
O
Lune des mthodes utilises pour le calcul de la matrice jacobenne est la drivation du
modle gomtrique direct :
(1.14)
La 2me
mthode est propagation de la vitesse :
La dtermination du Jacobien consiste calculer les vitesses linaires et angulaires en
fonction des vitesses articulaires, les calculs se propagent de la base vers leffecteur. Chaque
lment du robot manipulateur est suppos rigide, son mouvement est dcrit par les vecteurs des
vitesses angulaires et linaires. Ces vitesses seront dcrites dans les repres associs aux
articulations ensuite dans le repre de base.[7]
1er tape : calcul des vitesses angulaires
et
La formule qui donne les vitesses angulaires
est :
(1.15)
La vitesse angulaire de larticulation n par rapport repre de base est :
(1.16)
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
13
O
Avec
2me tape : calcul des vitesses linaires
et
La formule qui donne les vitesses linaires est :
(1.17)
La vitesse linaire de larticulation n par rapport au repre de base est :
(1.18)
On a donc
alors le Jacobien est :
(1.19)
1.3.2.2. Modle cinmatique inverse
Le modle cinmatique inverse permet de dterminer la vitesse des variables articulaires en
fonction de la vitesse des variables oprationnelles. Pour les manipulateurs non redondants, le
modle scrit :
(1.20)
La solution de lquation (1.20) existe si est de rang plein, cela est valable tant que le
manipulateur ne passe pas par une configuration singulire. Pour les manipulateurs redondants,
le modle cinmatique inverse admet plusieurs solutions possibles. Le choix dune parmi
plusieurs est guid par loptimisation dune fonction objective.
Dans le cas rgulier le nombre de degr de libert (DDL) de lespace de la tche est gale
nombre darticulations du bras manipulateur et la matrice J est carre avec un dterminant non
nul.
Le modle cinmatique inverse est dtermine par le calcul de la matrice inverse .
Si le bras manipulateur possde six DDL avec une poigne de type rotule, la matrice prend
la forme :
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
14
(1.21)
Avec deux matrices carres inversibles.
Alors :
(1.22)
Linversion de est plus simple que linversion de .[7]
1.3.3. Modlisation dynamique
Un systme mcanique peut tre traduit sous forme dun modle dynamique pour faciliter
son tude grce aux quations diffrentielles qui existent entre les variables dtat du
mcanisme, leurs drivs et les forces extrieures agissant sur chaque corps. [9]
La forme la plus gnrale du modle dynamique est :
(1.23)
O :
: La matrice inertie.
: Vecteur des couples.
: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.
: Vecteur des forces de gravit.
Cette quation exprime les couples (et/ou les forces) moteurs des actionneurs des diffrentes
bras du robot manipulateur en fonctions des positions, des vitesses et des acclrations
articulaires et des forces extrieurs exercer sur lorgane terminal. Il exprime lquilibre entre
les couples dentranement et le couple de freinage dus aux inerties, aux forces centrifuges et de
Coriolis ainsi quaux forces de gravitation. Ce modle est aussi appel, modle dynamique
inverse. [1]
(1.24)
O :
: Vecteur des positions articulaires.
: Vecteur des vitesses articulaires.
: Vecteur des acclrations articulaires.
: Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane terminal.
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
15
1.3.3.1. Formalisme de Lagrange
Le modle dynamique (1.24) est obtenu par lquation dEuler-Lagrange (E-L) suivante :
(1.25)
O L la fonction de Lagrange donne par:
(1.26)
Avec
1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique
Lnergie cintique totale du robot est :
(1.27)
O et llment est dfinit par :
(1.28)
: est la matrice homogne de transformation de repre repre .
Avec
(1.29)
: La masse du corps n i.
La matrice dinertie est symtrique et dfinie positive ( ), alors lnergie
cintique dpend des variables articulaires et .[8]
1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle
Lnergie potentielle dun bras manipulateur est donne par :
(1.30)
O: (1.31)
Avec
Lnergie potentielle dpend de la variable articulaire .
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
16
1.3.3.4. Formulation du modle dynamique
En exploitant les relations (1.25) et (1.26) nous obtenons:
(1.32)
O : lexpression du couple
Avec :
(1.33)
Donc :
(1.34)
En remplaant (1.32) dans (1.34) et en utilisant la symtrie de trouve :
(1.35)
Lutilisation des symboles de Christoffel :
(1.36)
Lquation du modle dynamique du robot manipulateur est:
1.4. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons expos une introduction sur les robots manipulateurs industriels
et ses classifications, la dfinition de quelques notions gnrales relatives aux mcanismes des
robots manipulateurs chane simple et les diffrents modles utiliss pour dcrire les
mouvements des articulations dun manipulateur et montr comment calculer ces
modlisations (gomtrique, cinmatique et dynamique) auxquelles ils sont ncessaires pour la
commande des robot manipulateurs.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 17
Chapitre 02
TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
2.1. Introduction
La commande des robots manipulateurs a pour but de contrler le dplacement des
actionneurs suivant une trajectoire programme, donc problme de la commande des robots
manipulateurs peut tre formul comme la dtermination de lvolution des forces gnralises
(forces ou couples) que les actionneurs doivent exercer pour garantir lexcution de la tche tout
en satisfaisant certains critres de performance. Durant ces trois dernires dcennies, en vue
damliorer les performances des manipulateurs, des recherches avances ont permis de faire
merger de nouvelles techniques de commande non linaire pour les applications aux robots
manipulateurs.
2.2. Techniques de commande des robots
Dans le cas o le modle exact du robot est parfaitement connu, plusieurs stratgies de
commande peuvent tre appliques. Cependant, en pratique, cette condition idale nest jamais
tout fait remplie vu les diffrentes perturbations agissant sur le robot manipulateur, et les
incertitudes du modle, do la ncessit dadapter la commande.
Diffrentes techniques sont utilises pour la commande des bras manipulateurs. La
conception mcanique du bras manipulateur a une influence sur le choix de schma de
commande. Un robot manipulateur est une structure mcanique complexe dont les inerties par
rapport aux axes des articulations varient non seulement en fonction de la charge mais aussi en
fonction de la configuration, des vitesses et des acclrations.[6]
Parmi les commandes des robots manipulateurs les plus utilises dans les applications
industriels sont :
Commande classique.
Commande dynamique.
Commande adaptative.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 18
2.2.1. Commande classique
La commande classique est lensemble des lois linaires de type PID (proportionnel intgral
driv) gains constants, et le rgulateur standard (PID) est le rgulateur le plus utilis dans
lindustrie, car il permet de rgler laide de ses trois paramtres les performances
(amortissement, temps de rponse) dune rgulation dun processus modlis par un deuxime
ordre. Pour laborer une commande PID, il faut considrer chaque articulation du robot comme
un mcanisme indpendant et pouvant tre linaris dans une zone de fonctionnement.[8]
Les paramtres du rgulateur PID sont le gain proportionnel Kp, le temps intgral Ti et le
temps drivatif Td, les temps tant exprims en secondes.
La figure (2.1) prsente le schma dune commande classique PID.
Figure 2-1 Schma classique dune commande PID
La commande classique tient le monopole dans le domaine industriel mais elle prsente
certains inconvnients et certains avantages.
2.2.1.1. Avantages
Facilit dimplantation.
Faible cot (implantation, temps de calcul).
2.2.1.2. Inconvnients
Cette commande, fonde sur un modle linaire du robot manipulateur, nest plus
acceptable pour les grands dplacements effectus des vitesses importantes et
demandant une bonne prcision.
le terme intgral est indispensable pour liminer lerreur statique en position due aux
forces de gravit. Cependant, pour une entre de type rampe, lerreur statique subsiste.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 19
la dynamique du manipulateur variant avec sa configuration, il ne sera pas possible de
maintenir les performances du systme pour toutes les configurations accessibles si les
coefficients du correcteur sone constants.[8]
2.2.1.3. Lois de commande
Si les forces de pesanteur sont compenses mcaniquement ou autrement, la loi de
commande choisir est du type PD :
(2.1)
Dans le cas o les forces de pesanteur ne sont pas compenses, une commande PID est
ncessaire et la loi correspondante est de la forme :
(2.2)
: Position dsire.
: Position relle.
: Vitesse dsire.
: Vitesse relle.
KP, KD, KI : matrices diagonales (nn) contenant les gains KPi, KDi, KIi.
Limplantation de la commande PID ncessite la connaissance des gains KPi, KDi, KIi de
chaque articulation.
Pour cela, on suppose que les quations dynamiques des articulations sont dcouples et
linaires et en ngligeant les forces centrifuge et Coriolis ainsi que les forces de pesanteur et de
frottement.
Lquation correspondant de chaque articulation prend la forme :
(2.3)
O Ji : reprsente la partie fixe (ou maximale dans dautre cas) de llment mij de la
matrice dinertie M(q).
Le modle est dautant plus raliste que le rapport de rduction est important, que les
vitesses sont faibles et que les gains en position et en vitesses sont grands.
On galisant lquation (2.3) avec une quation du systme (2.2) on obtient :
(2.4)
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 20
La fonction de transfert en boucle ferme entre qi et qdi est comme suit :
(2.5)
On remarque bien que,
donc, la prsence dune erreur.
En robotique, la pratique la plus courante consiste choisir les gains de manire obtenir
comme ples dominants un ple double rel ngatif, dans le but dobtenir une rponse sans
oscillations et rapide, lautre ple est choisi rel ngatif mais loin des deux autres.
Lquation caractristique de la fonction de transfert (2.5) scrit sous la forme :
(2.6)
Si on pose
;
;
.
Alors
(2.7)
Les ples choisis sont donc comme suit :
; ;
Do :
(2.8)
Avec K>0 et >0 .
Nous remarquons que les gains Kp ,KD , KI sont fonction de Ji suppos constant, mais en
ralit Ji varie en fonction de la situation de lensemble du robot, donc lamortissement nest
vraiment critique que pour la valeur de Ji choisie.[8]
Les commandes de type PID sont implantes dans tous les contrleurs de robots industriels
actuels. Le systme est considr comme un systme linaire et chacune de ses articulations est
asservie par une commande dcentralise de type PID gains constants.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 21
2.2.2. Commande dynamique
Ce type de commande est aussi connu sous le nom de commande par dcouplage non
linaire ou couple calcul. La commande par dcouplage non linaire commande dynamique
est un asservissement non linaire dont les paramtres utilisent un modle de la dynamique du
robot, la mise en uvre de cette mthode exige le calcul en ligne du modle dynamique et la
connaissance des valeurs numriques des paramtres inertiels et de frottements ce qui ne
constitue plus maintenant une limite rdhibitoire grce aux volutions technologiques en micro-
informatique et le dveloppement de techniques d'identification.
La commande dynamique n'est pas dans tous les cas le type de commande ncessaire pour
obtenir une bonne prcision et une bonne stabilit. En effet une commande classique suffit
lorsque le robot manipulateur volue sans contraintes de performance, de rapidit et de prcision
car dans ce cas, les inerties ont une influence moins importante, Pour valuer ces performances,
nous comparons cette stratgie (commande dynamique) la commande classique de type
PID.[12]
La figure (2-2) prsente le schma dune commande dynamique par dcouplage non-
linaire.
Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage non-linaire
Cette commande consiste transformer par un retour dtat le problme de commande dun
systme non linaire en un problme de commande dun systme linaire, ce qui permet ensuite
dappliquer les techniques classiques de la thorie de la commande linaire.
La commande dynamique prsente des avantages comme elle prsente des inconvnients.
2.2.2.1. Avantages
Bonne prcision de suivi.
Application aux robots rapides.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 22
2.2.2.2. Inconvnients
Ncessit dune identification prcise des paramtres du robot.
Ncessit dun important temps de calcul.
Identification en ligne (paramtres de dernier corps).
Parmi les solutions apportes pour remdier aux problmes prcdents, nous citons
lutilisation :
Des systmes informatiques performants.
Du formalisme de Newton-Euler pour lidentification en ligne.
Dun modle dynamique rduit.
La commande dynamique a t tudie par un ensemble de chercheurs depuis une vingtaine
dannes dans le but de trouver une forme qui ne ncessite pas un temps de calcul important.[8]
2.2.2.3. Lois de commande
Si lquation du modle est comme suit :
(2.9)
Lquation de la loi de commande sera donn par :
(2.10)
O :
(2.11)
Avec estims de ,
M : Matrice dinertie.
C : Matrice des termes Coriolis, centrifuges et de gravits.
: Couple de frottement.
Dans le cas o le modle dynamique est exact, lquation (2.11) nous donne lquation de
lerreur .
(2.12)
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 23
Lquation de lerreur est dcoupl et linaire.
Le bon choix des constantes Kp, KD et KI fait tendre asymptotiquement lerreur vers zro.
partir de lquation (2.12) nous dduisons la fonction de transfert entre la position
dsire et la position relle mesure :
(2.13)
La fonction de transfert (2.13) est unitaire, donc la trajectoire du robot doit suivre
exactement la trajectoire derreur de modlisation.
Le calcul de la commande dynamique dpend de la tche raliser :
Si la charge est connue, sont identification se fait hors ligne.
Si la charge nest pas connue lidentification en ligne est obligatoire.
Si vecteur de commande u est obtenu par un correcteur proportionnel drive et dune
anticipation en acclration. Il scrit donc :
(2.14)
En utilisant le fait que dans le cas parfait, le comportement de lerreur est alors
caractris par lquation suivante :
(2.15)
Dans ce cas, lerreur se comporte comme un systme du second ordre. La pulsation propre
et lamortissement sont alors rgls par les gains du correcteur :
(2.16)
La prsence dun gain intgral est thoriquement inutile puisque le systme asservi se
comporte comme un double intgrateur. Cependant, en pratique, le gain intgral est utilis pour
diminuer linfluence des erreurs de modlisation puisque la commande en couple calcul a
aussi tendance tre peu robuste face aux erreurs de modlisation.[8]
Lorsque les erreurs de modlisation sont importantes, que ce soit cause dincertitudes sur
les paramtres inertiels, soit cause des charges inconnues soit cause des frottements.
Lquation de lerreur sera donne par la relation suivante :
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 24
(2.17)
Soit :
(2 .18)
O :
(2.19)
Couple de perturbation.
Nous dduisons que lerreur de modlisation constitue une excitation pour lquation de
lerreur e. Remdier ce problme cest augmenter les gains , et .
2.2.3. Commande adaptative
La commande adaptative a dbute dans les annes 50 comme solution pour contrler les
processus fonctionnant sous des conditions et environnement variables dans le temps. Dans les
annes 60 plusieurs contributions de thorie de la commande ont t introduites dans le
dveloppement de la commande adaptative, comme par exemple lapproche dtat et les
thories de stabilit. Au dbut des annes 70 les diffrentes mthodes destimation ont t
introduites dans la commande adaptative. Lutilisation de la commande adaptative a commenc
au dbut des annes 80 en parallle avec une rapide volution en micro-lectronique qui permit
dimplmenter des rgulateurs adaptatifs sur des systmes a microprocesseurs.[11]
2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative
La commande adaptative est un ensemble de techniques utilises pour lajustement
automatique en temps rel des rgulateurs des boucles de commande afin de raliser ou
maintenir un certain niveau de performances quand les paramtres du procd commander
sont soit inconnus soit variantes dans le temps.[12]
2.2.3.2. Le principe
En principe, un systme de commande adaptative mesure un certain indice de performance
du systme commander partir de lcart entre lindice de performance dsir et lindice de
performance mesur. Le mcanisme dadaptation commande certains paramtres du systme
ajustable ou introduit un signal supplmentaire de commande daprs une certaine stratgie afin
de minimiser lindice de performance. La figure (2-3) reprsente le principe gnral dun
systme dans une plage donne de commande adaptative.[13]
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 25
Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative
2.2.3.3. Diffrentes commandes adaptatives
Bien quil existe plusieurs types de commande adaptatives nous prsentons les plus
rpondues telles que :
Gain-Scheduling.
Rgulateur auto-adaptative.
Commande adaptative modle de rfrence.
Lensemble des commandes ont pour rles lajustement des paramtres du rgulateur, mais
ils diffrent par la manire dajustement.[8]
a. Gain-Scheduling
Il est possible des fois de trouver des variables auxiliaires qui ont une grande corrlation
avec le changement des paramtres dynamiques. Il est donc possible de rduire les effets des
paramtres on ajustant le rgulateur et on se basant sur ces variables auxiliaires.
Le problme du Gain-Scheduling est la dtermination des paramtres auxiliaires, qui
ncessite la connaissance de la physique du systme commander.
Ce procd a la proprit de rpondre avec grande vitesse aux variations processus.
La figure (2-4) donne un schma bloc de cette commande.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 26
Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling
b. Rgulateur auto-adaptative
Dans le cas des systmes adaptatifs, il est suppos que les paramtres du rgulateur sont
ajusts tout le temps et suivent les changements du processus. Cependant il est difficile
danalyser la convergence et la stabilit de tels systmes.
Pour simplifier le problme, on suppose que le processus a ses paramtres constants mais
inconnus. Lorsque le processus est connu, la procdure dajustement du rgulateur spcifier les
paramtres ncessaires.
Le rgulateur auto-adaptatif est bas sur lide de sparer entre lestimateur des paramtres
inconnus et la procdure dajustement.[8]
La figure (2-5) montre que les paramtres inconnus sont estims en ligne utilisant les
mthodes destimation rcursives.
Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif
Les paramtres estims sont supposs prendre les valeurs relles et les incertitudes de
lestimation ne sont pas considres.
Parmi les mthodes destimation des paramtres on cite :
Les approximations stochastiques.
Les moindres carrs.
Les moindres carrs tendu et gnraliss.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 27
La variable instrumentale.
Le maximum de Likelihode.
La combinaison des mthodes destimations et dajustements des paramtres permet davoir
des rgulateurs diffrentes proprits.
En gnral, on estime les paramtres de la fonction de transfert du processus et les
perturbations et cela donne un algorithme adaptatif indirect. Dans le cas o les paramtres du
rgulateur sont en fonction des paramtres du modle, lestimation est dite indirecte.[8]
c. Commande Adaptative Modle de Rfrence (MRAS)
La commande adaptative avec modle de rfrence consiste adopter lorgane de
commande dune faon ce que le processus se comporte comme le modle de rfrence. La
dtermination dune loi de commande adaptative permet la repense du systme de suivre celle
du modle mme en prsence des perturbations en agissant sur les performances dynamiques du
systme. Le principe de cette commande est illustr dans la figure (2-6) :
Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS
Lensemble du systme de commande a une premire boucle ordinaire contenant le modle
de rfrence et le mcanisme dajustement des paramtres du rgulateur.
Les deux nouvelles ides apportes par le MRAS sont :
Les performances sont fixes par le choix dun modle de rfrence.
Lajustement des paramtres du rgulateur est bas sur lerreur :
. (2.20)
Le but de cette rgulation est la minimisation de lerreur entre la sortie du modle de
rfrence et la sortie du processus .
Le problme dans le cas du (MRAS) consiste obtenir le mcanisme dajustement des
paramtres du rgulateur qui stabilise le systme et rduit lerreur zro [8].
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 28
2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS)
La construction dun systme adaptatif modle de rfrence consiste au :
Choix du modle de rfrence fixe les performances dsires.
Chois de la loi de commande.
Dtermination de la loi dadaptation.
Si le choix du modle de rfrence et la loi de commande est li aux performances dsires,
la loi dadaptation doit assurer la stabilit du systme et la tendance de lerreur vers zro. Parmi
les approches utilises comme mcanismes, nous notons :
Les rgles MIT (gradient).
La fonction de Lyapunov.
a. Approche du gradient
La mthode du gradient est utilise en premier lieu par Whitaker dans son travail original.
Le dveloppement de cette approche envers le MRAS revient utiliser les rgles de MIT.
Rgle de MIT
Soit lerreur entre et : et le vecteur des paramtres ajuster. Un critre
minimiser est propos comme :
(2.21)
Par consquent pour que J soit petit il est raisonnable de changer les paramtres dans le sens
ngatif du gradient de J c.--d. :
(2.22)
(2.23)
Sil est suppos que les paramtres changent plus lentement que les autres variables du
systme, alors on peut calculer
dans ce cas en supposant constant.
Reprsente la sensibilit du systme et dtermine la vitesse dadaptation des
paramtres. Le schma de la figure (2-7) reprsente le modle derreur.
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 29
Figure 2-7 Le modle derreur
Le choix du critre est arbitraire, si on pose :
(2.24)
(2.25)
La rgle de MIT est performante si est choisi petit, mais sa valeur peut dpendre de
lamplitude du signal et du gain du processus. En consquence, il nest pas possible de donner
une limite qui assure la stabilit globale du systme. Il se peut que le systme est stable pour des
valeurs et non pour dautres.
Une faon de remdier au problme prcdent est dutiliser les rgles MIT modifies donns
par la formule.
(2.26)
Une autre faon de limiter carrment la vitesse de convergence est dintroduire la fonction
de saturation :
(2.27)
Il arrive parfois que le choix de larges des valeurs pour y provoque linstabilit.
Pour toutes ces raisons, le choix dune approche que se base sur la stabilit semble
meilleure.[8]
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 30
b. Fonction de Lyapunov
Les recherches extensives menes dans le but de trouver une mthode danalyse de stabilit,
qui assure la tendance de lerreur vers zro ont pu donner la fonction de Lyapunov. La mthode
propose par Lyapunov est valable pour les systmes non-linaires et dont lide est illustre en
figure (2-8).
Lnonc de la mthode est le suivant : lquilibre est stable si on trouve une fonction relle
de lespace dtat, sa courbe enveloppe ltat dquilibre et la drive de la variable dtat pointe
lintrieur de la courbe.
Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov
Pour noncer Formellement les rsultats on considre lquation diffrentielle suivante:
(2.28)
Avec
O x reprsente vecteur dtat de dimension n.
Soit la fonction Satisfaisant les conditions suivantes :
pour tout .
est diffrentiable en et .
est dfinie positive.
La condition suffisante pour une stabilit asymptotique uniforme pour le systme (2.28) est:
(2.29)
Alors doit tre dfinie ngative :
La condition (2.29) fixera donc la loi dadaptation assurant par suite la stabilit et la tendance de
lerreur vers zro. [8].
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 31
2.3. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons prsente quelques techniques de commande des robots
industriels telle que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative,
ces derniers sont les commandes les plus utilises dans l'industrie. Nous nous sommes plus
particulirement intresss la commande adaptative des robots manipulateurs car notre systme
possde un modle dynamique non linaire, paramtres inertiels variables, couplage entre les
articulations et erreurs didentifications.
Le prochain chapitre nous prsenterons la simulation de la commande adaptative pour un
robot manipulateur deux degrs de libert.
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 32
Chapitre 03
SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
3.1. Introduction
Lorsqu' un robot manipulateur doit tre command de manire rapide et prcise, les
contraintes dynamiques doivent tre prises en compte. Il est ncessaire de concevoir un systme
de commande plus sophistiqu qui prend en compte lensemble des forces dynamiques
dinteractions. Le modle dynamique doit tre le plus complet possible et les paramtres qui le
caractrisent doivent tre bien identifis. Le besoin une commande adaptative vient compenser
contraintes quopposent certains types de commandes. La simulation est effectue sur un bras
manipulateur deux degr de libert.
3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert
Un robot deux degrs de libert et qui a deux articulations rotodes.
Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes
m1 : masse du corps 1 ; m2 : masse du corps 2.
G1 : centre de masse du corps 1 ; G2 : centre de masse du corps 2.
L1 : longueur du corps 1 ; L2 : longueur du corps 2.
Lc1 : position du centre de masse G1 par rapport O1.
Lc2 : position du centre de masse G2 par rapport O2.
Ce bras est constitu de deux axes de masses respectives m1 et m2 de longueurs respectives
L1 et L2, les vecteurs numriques utiliss pour la simulation sont celles des axes 2 et 3 du robot
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 33
Puma 560. Figure (3-2).
Figure 3-2 Le Puma 560
Soit :
Vecteur des coordonnes oprationnelles donnant la position de lorgane terminal.
Vecteur des coordonnes gnralises.
3.2.1. Modle gomtrique
Les positions des masses m1, m2 sont donnes par [8]:
(3.1)
(3.2)
Avec
3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)
Nous dfinissons les paramtres (DHM) de ce robot manipulateur 2 DDL comme suit :
Tableau 3-1 Les paramtres de DHM
joint d a V.A
1 q1 0 0 0 q1
2 q2 0 L1 0 q2
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 34
3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage
La matrice du passage globale est donne par :
(3.3)
3.2.2. Modle cinmatique
Le modle cinmatique appel aussi modle variation el permet de calculer les vitesses ou la
variation de lorgane terminal en fonction des vitesses articulaires.
(3.4)
(3.5)
3.2.3. Modle dynamique
3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie
Afin de calculer la matrice dinertie M(q), on calcule dabord ses lments mij(q) par la
formule (1.28),[7] on a donc :
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Avec :
(3.9)
mp: une masse dans lorgane terminal.
Telle que reprsente linertie par rapport laxe (Oi , Zi) du corps Ci.
3.2.3.2. Calcul de la matrice
A partir de la relation (1.36) et la matrice M(q), on peut calculer les lments de la
matrice :
(3.10)
(3.11)
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 35
(3.12)
(3.13)
3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit
Lnergie potentielle de chaque corps Cj (i=1,2) sobtient partir de relation (1.31) et
(1.32).
(3.14)
(3.15)
3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL
Daprs les paragraphes prcdents, les matrices et le vecteur des termes des gravits du
modle dynamique du bras manipulateur sont exprims comme suit :
Matrice dinertie :
(3.16)
Matrice des forces centrifuge et Coriolis :
(3.17)
Vecteur des efforts gravitationnels :
(3.18)
Le modle dynamique est :
(3.19)
3.3. La commande adaptative
3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande adaptative
En l'absence de frottement ou d'autres perturbations, le modle dynamique d'un bras
manipulateur 2 DDL est:
(3.20)
O :
: La matrice dinertie (2 2).
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 36
: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis (2 2).
: Vecteur des forces de gravit (2 1).
: Vecteur de couple (2 1).
On pose :
(3.21)
O le terme dcrit une action de contrle qui garantit une compensation
approximative des effets non linaires et les dcouplages des articulations.[10].
: Vecteur de paramtres constants du robot (6 1).
: Matrice en fonction de positions, vitesses et acclrations (2 6)
Considrons la loi de commande avec K une matrice dfinie positive.
(3.22)
Avec
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Avec le terme est lquivalant de laction PD (proportionnel driv).
: Vecteur (6 1) estim du vecteur .
: Matrice (2 2) estim de la matrice M.
: Matrice (2 2) estim de la matrice C.
: Vecteur (2 1) estim du vecteur G.
En substituant (3.25) dans (3.21), donne :
(3.26)
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 37
O
La fonction de Lyapunov est dfinie par :
(3.27)
O
En utilisant la proprit et la drive de la fonction
de Lyapunov est :
(3.28)
La loi d'adaptation est choisie de telle sorte que , qui est :
(3.29)
Avec donc lquation (3.28) devient (3.30) :
(3.30)
Lquation (3.29) peut aussi s'crire sous la forme suivante :
En intgrant les deux cts de l'quation (3.29)
(3.31)
O
Le schma bloc de la loi de commande adaptative (3.29) est donn dans la figure 3-3.
Avec .
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 38
Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29)
Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.31) sont :
(3.32)
3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari dans le temps
Dans le but de contrler la trajectoire du robot manipulateur, si l'estimation de paramtre,
est dfinie comme une nouvelle commande dentre [10] :
(3.33)
O
Lutilisation de (3.33) dans le modle dynamique (3.25) est une stratgie de commande
obtenu de telle sorte que les erreurs et l'estimation du sont bornes.
preuve :
Afin dobtenir la loi d'estimation des paramtres dfinis dans l'quation. (3.33) qui satisfait
la stabilit du systme en boucle ferm et assure les limites des erreurs.
La fonction de Lyapunov propos :
(3.34)
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 39
La drive de la fonction de Lyapunov est :
(3.35)
Avec
En utilisant la proprit et la drive de la fonction
de Lyapunov devient :
(3.36)
On a et donc les premiers termes de l'quation (3.36) sont infrieurs ou gales
zro:
(3.37)
Pour la condition de stabilit, les derniers termes de l'quation. (3.36) doivent tre gale
zro :
(3.38)
Pour cette quation (3.38), il est trs important de choisir la fonction pour rsoudre cette
quation, et il n'y a pas une certaine rgle de choisir pour ce systmes. Nous utilisons les
paramtres d'tat du systme pour la recherche de la fonction approprie comme une solution
de lquation diffrentielle du premier ordre. Pour cela nous choisissons, et de son driv tel
que [10] :
(3.39)
On remplace (3.39) dans (3.38) :
(3.40)
Avec et en divisant lquation (3.40) par :
(3.41)
En multipliant lquation (3.41) par
:
(3.42)
Nous pouvons crire lquation (3.42) comme suit :
(3.43)
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 40
L'intgration des deux cts de l'quation (3.43) nous donne :
(3.44)
(3.45)
En divisant les deux cts de l'quation. (3.46) par
:
(3.46)
Avec : et le constant C=2 (3.47)
Par consquent, la loi d'adaptation des paramtres est :
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Le schma bloc qui comprend l'adaptation des paramtres en utilisant la loi de commande
(3.48) est illustr dans la figure (3-4).
Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48)
Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.48) sont :
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 41
(3.51)
Les paramtres du robot 2 DLL sont prsents dans le tableau 3-2:
Tableau 3-2 Les paramtres du robot
m1 m2 l1 l2 lc1 lc2 I1 I2 g
10Kg 5 Kg 1m 1m 0.5m 0.5m 10/12 Kg.m2 5/12 Kg.m
2 9.81 m/s
2
Les lments du vecteur constant : [10]
(3.52)
3.4. La trajectoire dsire
La dynamique du robot exige dimposer des trajectoires ralisables, ainsi la continuit en
position, vitesse et acclration offre au robot la possibilit de poursuivre la trajectoire avec des
commandes ralisables.
Pour notre simulation, un polynme du troisime ordre est considr comme une trajectoire
de rfrence , pour les deux articulations comme montre la figure suivante. [7].
(3.53)
Avec :
Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
tht
a (ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
dth
ta/d
t (ra
d/s)
thta
vitesse
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 42
Les angles des articulations changent de 0 rad 2,5 rad en 3s et la vitesse varie entre 0
rad/s et 1.25 rad/s pendant 1.5s et entre 1.25 rad/s et 0 rad/s jusqu 3s, le temps
d'chantillonnage est 0,01 s.
3.5. Rsultats de simulation
Pour une comparaison de la loi de commande propose par le contrleur connue (3.29) et le
contrleur (3.48) en utilisant les mmes paramtres tels que K et , les algorithmes de commande
dvelopps sont appliques au modle pour la mme trajectoire dsir afin d'analyser les
performances de chaque loi de commande.
Dans cette simulation nous considrons que les perturbations externes sont ngligeables.
3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge
Les rsultats des positions et des vitesses relles et dsirs des deux articulations et ses
erreurs sont prsents dans les figures (3.6) et (3.7) avec les paramtres :
Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
1 (
rad)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
2 (
rad)
thd1
thr1
e1
thd2
thr2
e2
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 43
Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps
D'aprs la figure (3-6) nous remarquons que la valeur de l'erreur maximale en rgime
transitoire pour la premire articulation est environ de 0.056 rad et pour la deuxime articulation
est environ de 0.015 rad avec les valeurs des paramtres sont :
partir de la figure (3-7) on remarque que lerreur de la vitesse pour la 1er articulation est
environ de 0.03 rad/s et 0.078 rad/s pour la deuxime articulation.
La figure suivante reprsente la commande U pour les deux articulations :
Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2
La deuxime articulation suit la trajectoire qui lui correspond avec une erreur maximale de
position mieux que la premire articulation car la 1er
articulation comporte les deux segments,
par contre la 2me
articulation ne commande quun seul segment.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
itesse (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
temps (s)
Err
eur
de v
itesse d
e1 (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
itesse (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
temps (s)
Err
eur
de v
itesse d
e2 (
rad)
thd1
thr1
de1
dthd2
dthr2
de2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
temps (s)
la c
om
mande U
(N
.m)
la commande U
u1
u2
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 44
3.5.1.1. Changement des paramtres
On augmente les paramtres qui sont quivalant laction de rgulation PD jusqu
130 pour le K et 60 pour , les rsultats des positions et des vitesses avec ses erreurs seront
prsentes dans les figures (3-9) et (3-10).
Les paramtres sont :
Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en fonction du temps
Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en fonction du temps
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
1 (
rad)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6
-4
-2
0
2
4x 10
-3
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
2 (
rad)
thd1
thr1
e1
thd2
thr2
e2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
ite
ss
e (
rad
/s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
temps (s)
Err
eu
r d
e v
ite
ss
e d
e1
(ra
d/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
ite
ss
e (
rad
/s)
0 0.5 1 1.5 2
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