Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant...
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7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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UniversitéTunis El Manar
École Nationale d’Ingénieurs de Tunis
Année Universitai re:2010/2011
T T H H E E S S E E
PRESENTEE POUR L’OBTENTION DU
D D O O C C T T O O R R AAT T
DISCIPLI NE : GENIE MECANIQUE
P P a a r r
BOUGHATTAS Nejmiddin
Modélisation d’un écoulement diphasique réactifdans un jet turbulent axisymétrique suivant
une méthode Eulérienne-Lagrangienne
Présentée et soutenue le, 19/03/2011
Membres du jury
Président: Mr BESSROUR Jamel, Professeur, ENIT Rapporteur: Mr BELMABROUK Hafedh, Professeur, FSM Rapporteur: Mr BENTICHA Hmaied, Professeur, EPAM Sousse
Examinateur: Mr KAIROUANI Lakdhar , Professeur, ENIT Directeur de thèse: Mr SAID Rachid, Professeur, IPEIM
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i
Résumé
Ce travail porte sur l‟étude numérique et théorique de la combustion dans les brouillards de
gouttelettes dans une configuration de jet rond turbulent.
Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de simulation de type Euler/Lagrange qui
résolvent directement les équations instantanées de la phase gazeuse et effectuent un suivi
lagrangien des trajectoires des gouttes.
La configuration étudiée représente des gouttes de combustibles ou des particules de verres
injectées à haute vitesse dans une turbulence. Le mouvement des gouttes ou des particules est
supposé uniquement gouverner par la force de traînée visqueuse et la force de graviter-
flottabilité. Le chargement de la phase dispersée est suffisamment important pour qu‟elles
influent sur la phase gazeuse (couplage inverse) mais suffisamment faible pour pouvoirnégliger les collisions inter-particulaires.
L‟approche quasi-stationnaire à symétrie sphérique dans la quelle le chauffage de la goutte
est calculé par le modèle à conductivité infinie est utilisée. Les phénomènes de convection
sont pris en compte par l‟intermédiaire de corrélations.
Le modèle de combustion de PDF présumée est utilisé pour prendre en compte certains
effets chimiques, sachant que la tabulation chimique est générée par l‟approche flamelette.
Des résultats sont présentés dans le cas d‟un jet axisymétrique turbulent réactif chargé de
gouttelettes de combustibles (Do-décane).
Mots clefs : combustion du spray, simulation numérique, écoulement diphasique, couplageinverse, modélisation de la turbulence, dispersion des gouttes, évaporation des gouttes.
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ii
Abstract
This work is devoted to the numerical and theoretical study of turbulent combustion in
two-phase flow, using Reynolds Averaged Navier-stokes Simulation (RANS) for the
continuous phase coupled with a Lagrangian prediction of droplets trajectories.
The configuration corresponds to a particles or droplet injected at high velocity into
turbulent free jet. The motion of particles or droplets is supposed to be governed only by the
drag and gravity-floatability forces. The particle mass loading is large so that exchanges
between the two phases are significant. Inter-particles collisions are neglected.
Main assumption in vaporization models is "corrected spherical symmetry", which means
spherical symmetry is assumed for heat and mass transfer between the droplet and the
surrounding fluid. Convection effects are taken into account by introducing correlation laws
in the model.
The combustion model is presumed PDF, who take into account for detailed chemistry,
knowing that chemistry tabulation is generated by the flamelette approach.
Results are presented in the case of a turbulent reactive spray charged with fuel droplets
(Do-decane).
Key words
spray combustion, numerical simulation, two-phase flow, two-way coupling,turbulence modelling, particles dispersion, droplets vaporization.
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iii
Remerciements
Cette thèse réalisée au sein de l‟unité de recherche EMIR „Étude des Milieux Ionisés
et Réactifs‟, n‟aurait pas connu de genèse, ni de dénouement, sans l‟intervention des
personnes dont les noms vont suivre.
Je tiens tout d‟abord à exprimer toute ma reconnaissance et ma gratitude à Monsieur
Jamel BESSROUR , de l‟intérêt qu‟il a porté à mes travaux. Il m‟a fait un grand honneur en
présidant mon jury de thèse.
J‟exprime de même mes sincères remerciements à Monsieur Hafedh
BELMABROUK et Monsieur Hmaied BENTICHA qui ont bien voulu prendre sur leur
temps pour être rapporteurs de cette thèse, et d‟en avoir amélioré le contenu par la qualité de
leurs remarques. L‟occasion m‟est ici offerte de les remercier vivement pour leurs remarques
constructives. Je joins à ces remerciements Monsieur Lakdhar KAIROUANI pour avoir
accepté d‟examiner et porter un jugement à mon travail. Qu‟ils trouvent dans ces quelques
lignes l'expression de mon profond respect.
Je suis très reconnaissant à Monsieur Rachid SAID, de m‟avoir accueilli dans son
équipe de recherche, d‟avoir dirigé ce travail, des moyens qu‟il a mis à ma disposition, de
l‟effort qu‟il a fait pour corriger ce mémoire et des discussions et des débats qu‟on a mené
ensemble. Je tiens à lui exprimer ma gratitude.
Mes remerciements s‟adressent aussi :
À Mohamed Hichem GAZZAH pour nos collaborations en cours et à venir, nos
discussions et nos moments de détente. Je regrette qu‟il n‟ait pu assister à ma soutenance.
À Sabra HABLI, à Ridha ENNETTA et à Mouldi CHRIGUI pour leurs aides précieux et
leurs participations actives aux travaux de ma thèse. Qu'il trouve ici l‟expression de toute mareconnaissance. À Marie-Sohpie GRANCHER et Gilles CABOT pour leurs accueils
chaleureux, pour leurs gentillesses, pour leurs perspicacités, et pour les moyens qu‟ils ont mis
à ma disposition, lors de mon séjour au laboratoire CORIA de Rouen. À F-X Demoulin
et à Anna Chtab pour les discussions fructueuses que j‟ai pu avoir avec, ainsi que pour les
conseils qu‟ils ont su me prodiguer.
Enfin, j‟adresse à mon père, à ma mère, à mes frères et à mes sœurs, ma
reconnaissance la plus profonde pour avoir fait de moi ce que je suis maintenant, pour leursamours, leurs encouragements et leurs appuis dans les moments les plus difficiles.
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Table des matières
iv
Table des matières
I ntroduction Générale ...................................................................................................1
Dispersion du spray turbulent .......................................................................................7
Introduction ....................................................................................................................................... 9 1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique ............................. 9
1.1 Concepts de base ............................................................................................................ 10
1.1.1 La turbulence...................................................................................................... 10
1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique ..................................... 12
2. Approche lagrangienne .......................................................................................................... 15
2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes ................................................ 16 2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons .................................................................. 16
2.1.2 Modèle de corrélation de temps ......................................................................... 18
2.1.3 Modèle de type langevin (one step model) ........................................................ 22
2.2 Construction des trajectoires des particules fluides .................................................... 22
2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne ........................................... 23
2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide .. 25 3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence) ......................................... 27
4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique ......................................... 29
4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée .......................................................... 30
4.2 Équations de l’écoulement porteur ............................................................................... 32
4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre ........................................................ 33
4.2.2 Tenseur de Reynolds ........................................................................................... 37
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Table des matières
v
4.3 Termes de couplage entre les deux phases ................................................................... 38
4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne .............................................................. 38
4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence ............................ 38
5. Méthode numérique ............................................................................................................... 39
6. Conditions aux limites ............................................................................................................ 41
6.1 Phase continue ................................................................................................................ 41
6.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 44
7. Résultats et discussion ............................................................................................................ 45
7.1 Phase continue ................................................................................................................ 46
7.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 51
7.3 Couplage entre les deux phases ..................................................................................... 57
Conclusion ....................................................................................................................................... 58
Références ........................................................................................................................................ 59
Combustion tur bulente en phase gazeuse ................................................................65
Introduction ..................................................................................................................................... 67
1. Notion de cinétique chimique ................................................................................................ 68
2. Les différents types de flammes ............................................................................................ 70
2.1 Flamme de prémélange .................................................................................................. 71
2.1.1 Flamme de prémélange laminaire ..................................................................... 71
2.1.2 Flamme de prémélange turbulente .................................................................... 72
2.2 Flamme de diffusion ....................................................................................................... 75
2.2.1 Flamme de diffusion laminaire .......................................................................... 75
2.2.2 Flamme de diffusion turbulente ......................................................................... 76
2.3 Flamme partiellement prémélangée ............................................................................. 80
3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente ........................................................... 81
3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie ........................................................... 82
3.2 Traitement statistique .................................................................................................... 86
3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence) .......................................... 88
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Table des matières
vi
3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire) ................................. 89
3.4.1 Modèle à échelles égales ...................................................................................... 89
3.4.2 Modèle à échelles non-égales .............................................................................. 90
3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire............................... 91
3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion) ............................ 92
3.5.1 Modèle eddy dissipation ..................................................................................... 92
3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium ........................... 93
4. Méthode numérique ............................................................................................................... 95
5. Résultats et discussion ............................................................................................................ 96
5.1 Écoulement turbulent non réactif ................................................................................. 97
5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire ......................................................... 106
5.3 Écoulement turbulent réactif ...................................................................................... 108
Conclusion ..................................................................................................................................... 118
Références ...................................................................................................................................... 119
Combustion du spray tur bulent ................................................................................124
Introduction ................................................................................................................................... 126
1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles ............................ 126
2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée ................................................................ 130
2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte ..................................... 130
2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte ...................................... 136
3. Vaporisation d’une goutte en mouvement ......................................................................... 138
4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs .............................................................. 139
5. Méthodes numériques .......................................................................................................... 145
6. Résultats et discussion .......................................................................................................... 145
Conclusion ..................................................................................................................................... 158
Références ...................................................................................................................................... 159
Conclusions et Perspectives ..................................................................................................163
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Table des matières
vii
Annexes ..........................................................................................................................................169
Annexe A : Méthodes numériques .....................................................................................170
Annexe B : Statistiques ...........................................................................................................189
Annexe C : Relations stoechiométr iques d’un hydrocarbure ...............................190
Annexe D : Constantes dans le polynomiale de la chaleur spécif ique ..............192
Annexe E: Équations du modèle d’évaporation ..........................................................193
Bibl iographie générale ............................................................................................................198
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Nomenclature
viii
Nomenclature
Lettres latines
a Taux d‟étirement d‟une flamelette laminaire s-1
A R Paramètre de moyenne pour l‟estimation des propriétés physiques -
A (aij) Matrice des coefficients de corrélation -
B (bij) Matrice de factorisation -
BT Nombre de transfert de chaleur de Spalding -
B M Nombre de transfert de masse de Spalding -
C D Coefficient de traînée -
C l Chaleur spécifique du liquide J.kg-1.K -1
C P
Chaleur spécifique du milieu gazeux J.kg-1.K -1
C vap Chaleur spécifique de la vapeur J.kg-1.K -1
C μ , C ε
C p , C t Constantes du modèle de turbulence -
D, d Diamètre de la buse m
Da Nombre de Damkhöler -
De Diamètre effectif m
D1 Coefficient de diffusion de la vapeur dans le milieu ambiant m2.s-1
D, D p,g Diamètre d‟une particule ou d‟une goutte m
G , P k Terme de production de l‟énergie de turbulence kg.m-1.s-3
g Accélération de la pesanteur m.s-2
h Enthalpie massique J.kg-1
H R Chaleur de réaction ou de combustion J.kg-1
k Energie cinétique turbulente m2.s-2
k p Energie cinétique turbulente des petites échelles des tourbillons m2.s-2
k t Energie cinétique turbulente des grands tourbillons m2.s-2
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Nomenclature
ix
Le Échelle de longueur m
Lh Échelle de longueur hybride m
L Eij Échelle intégrale spatiale eulérienne m
L E 1 Nombre de Lewis -
Lvap Chaleur latente de vaporisation J.kg-1
m Paramètre de boucle -
m1 Masse molaire de la vapeur du fuel kg.mole-1
m2 Masse molaire du milieu gazeux ou de l‟air kg.mole-1
m P Masse d‟une particule kg
0
m Débit vaporisé kg.s-1
Np Nombre de particules ou de gouttes dans le brouillard - n p Nombre moyen de particules ou de gouttes par unité de volume -
Nu Nombre de Nusselt effectif -
Nu* Nombre de Nusselt lié à la convection -
P Pression Pa
P 0 Pression atmosphérique Pa
P e Nombre de Peclet -
P St Pression de saturation du vapeur du fuel prés de la surface de la goutte Pa
Pr Nombre de Prandtl du milieu gazeux -
~ P Terme de production d‟un scalaire kg.m-1.s-1
2 ~ P Terme de production de fluctuation d‟un scalaire kg.m-1.s-1
Q g Flux de chaleur arrivant sur la goutte J.m-2.s-1
Q L Quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte J.s-1
QV Débit volumique m3.s-1
Qm Débit massique Kg3
.s-1
R Constante des gaz parfaits J.kg-1.K -1
r Coordonnée radiale à partir du centre de la goutte m
r s Rayon instantané de la goutte m
r fT Rayon du film pour les transferts de chaleur m
r fm Rayon du film de diffusion de la vapeur m
R fL Coefficient de corrélation lagrangienne -
R FP Distance entre une particule fluide et une particule discrète m Rep Nombre de Reynolds particulaire -
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Nomenclature
x
Re Nombre de Reynolds de l‟écoulement porteur -
R (r ij) Matrice réduit des coefficients de corrélation -
S ij Tenseur du taux de déformation moyen -
Sc Nombre de Schmidt du milieu gazeux -Sh Nombre de Sherwood effectif -
Sh* Nombre de Sherwood lié à la convection -
S g Φ Terme source sur une quantité Φ de l‟écoulement porteur -
S pΦ Terme source dû à la phase particulaire -
S l Φ Terme source dû à la phase liquide (goutte) -
S t Nombre de Stokes -
t Variable de temps s
t e Temps de vie du tourbillons s
t c Temps de traversé du tourbillons ou temps de transit s
t int Temps d'interaction particule/tourbillons s
T B Température d‟ébullition k
T S Température à la surface de la goutte k
T ∞ Température à l‟infini de la goutte k
T crit Température critique du liquide k
u Vitesse instantanée m.s-1
U Vitesse moyenne m.s-1
u' Vitesse fluctuante m.s-1
U’ Vitesse RMS ( 2' u ) m.s-1
vrel Vitesse relative particule - fluide m.s-1
Volume d‟une particule ou d‟une goutte m3
W Masse molaire Kg.mol-1
X Fraction molaire -
x Cordonnée axiale m
y Cordonnée radiale m
Y 1 Fraction massique du vapeur -
Y F Fraction massique du fuel -
S Y 1
Fraction massique du vapeur à la surface de la goutte -
1Y Fraction massique du vapeur à l‟infini de la goutte - Z Fraction de mélange -
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Nomenclature
xi
Lettres grecques
α P Fraction volumique de la phase dispersée -
α , β , ζ ω , ζ ω* , β * , β 0 ,
ζ k , ζ ε Constantes des modèles de turbulence -
λg Conductivité thermique du vapeur entourant la goutte J.m-1.s-1.K -1
Taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente m2.s-3
t Taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente m2.s-3
p Energie de transfert des grandes échelles aux petites échelles des tourbillons m2.s-3
ω Taux de dissipation spécifique s-1
Taux de réaction -
k Taux de production de l‟espèce k -
Ωij Tenseur de vorticité moyen -
Taux de dissipation scalaire s-1
η L Échelle intégrale temporelle lagrangienne de la turbulence s
η P Temps de relaxation des particules s
K Échelle spatiale de Kolmogorov (plus petites structures de l‟écoulement) m
K Échelle de temps de Kolmogorov s
δij Symbole de Kronecker (=1, i= j, =0, i≠ j) -
δ L ; δT E paisseur d‟une flamme de prémélange laminaire ; turbulente m
Δt Pas de temps choisi s
Λ Débit vaporisé adimensionnel -
Rapport massique stoechiométrique oxygène/fuel -
ν Viscosité cinématique m2.s-1
μ Viscosité dynamique kg.m-1.s-1
ρ Masse volumique (densité) kg.m-3
θ Grandeur scalaire (température ou fraction massique ou de mélange) -
Ø Rapport du débit massique particule/fluide à l‟injection -
Φ Quantité transportable -
Rapport d‟équivalence fuel/air -
Ґ Φ Terme de diffusion -
Variable aléatoire Gaussienne -
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Nomenclature
xii
Indices inférieurs
0 Indice relatif à la valeur initiale
c Condition sur l'axe du jet (centerline)
cof Indice relatif au co-flow
crit Indice relatif à la valeur critique
f Indice relatif au fluide porteur
g Indice relatif à la phase gazeuse entourant la goutte
in Indice relatif à la condition au limite d‟entrée
i, j Indice de composante
l Indice relatif à la phase liquide de la goutte
p Indice relatif à la phase particulaire
s Indice relatif à la surface de la goutte
st Indice relatif à la stoechiométrie
t Indice relatif au terme turbulent
vap Indice relatif à la phase vapeur
Indices supérieurs
ref état de référence auquel évaluer les propriétés physiques du film de diffusion de la
masse et de la température entourant la goutte
s Indice relatif à la surface de la goutte
T Indice relatif au transposé d‟une matrice
Loin de la surface de la goutte
Notation
' Indice de fluctuation au sens de Reynolds
' ' Indice de fluctuation au sens de Favre
Valeur moyenne au sens de Reynolds
~ Valeur moyenne au sens de Favre
Moyenne statistique sur un échantillon de taille n
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Nomenclature
xiii
Abréviation
CMC Conditional Moment Closure
CTE Crossing Trajectory Effect
DNS Direct Numerical Simulation
EDM Eddy Dissipation Model
EIM Eddy Interaction Model
IEM Interaction by Exchange with the Mean
LES Large Eddy Simulation
MIL Modèle Intermittent Lagrangien
MTS Multiple Time Scale
PDF Probability Density Function
PSI-C Particle Source In Cell
RANS Reynolds Average Navier-Stokes Simulation
RMS Root Mean Square
RNG Renormalization Group
RSM Reynolds Stress Model
SDM Single Droplet Model
STD Standard
TCM Time Correlated Model
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Introduction générale
1
Introduction Générale
Notre besoin pour l‟énergie, sous ses différentes formes, ne cesse de s‟accroître de jour en
jour, à cause du rythme accéléré du développement technologique.
Les hydrocarbures constituent l‟énergie la plus prépondérante parmi la panoplie globale
des énergies depuis le début du 20eme siècle (elles fournissent plus de 70% de nos besoins
courants en énergie), et c‟est alors que la combustion a commencé de jouer son rôle capital
dans les différents secteurs. En effet, c‟est l'un des rares phénomènes observables et employés
à tout les niveaux de notre société, depuis le brûleur de nos chaudières, en passant par lesmoteurs des automobiles et en arrivant aux navettes spatiales (voir figure 1). Cependant, les
ressources des hydrocarbures restent limitées et risquent un jour, de s‟épuiser et disparaître, à
cause de l‟utilisation excessive et parfois désabusée.
D‟autant plus que, les différents systèmes industriels, impliquant des phénomènes de
combustion sont soumis à des contraintes de plus en plus pressantes, tant sur le plan
économique (réduction des coûts, amélioration des performances et du rendement) que sur le
plan environnemental (réduction des émissions des polluants, des émissions sonores).
L‟ensemble de ces considérations et de ces enjeux majeurs, motivent de nombreux travaux
de recherche, liés à la combustion turbulente qui restera une technologie d‟énergie clé pour le
futur. Ces travaux traitent le sujet de la combustion sous ces divers aspects et ses diverses
implications.
Dans la majorité des cas, ces systèmes de conversion (transformation de l‟énergie
emprisonnée dans les hydrocarbures de la forme chimique à la forme de chaleur et de lumière)
sont basés sur la combustion turbulente d‟un carburant qui est stocké sous forme liquide.
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Introduction générale
2
Ce dernier est injecté à haute pression dans la chambre de combustion sous forme de
brouillard (nuage de gouttelettes ou spray) puisque le fait d'atomiser un liquide sous une
forme très dispersée est une méthode efficace pour brûler un combustible liquide peu volatile.
D‟où l'intérêt tout particulier d'étudier de façon précise la combustion dans les brouillards et
c‟est pourquoi de plus en plus de travaux leur sont consacrés.
L‟objectif des théoriciens, numériciens et expérimentateurs est de comprendre, prédire et
contrôler l'ensemble des processus se déroulant depuis l'injection du liquide dans la chambre
de combustion. La majeure partie des phénomènes en présence sont résumés grâce à quatre
intitulés principaux: spray, évaporation, mélange et combustion.
Spray: lors de la désintégration ou la pulvérisation du jet liquide en sortie de
l'injecteur, il ya formation d'une multitude de gouttes dans un large spectre detailles et de vitesses. Les propriétés caractéristiques du spray doivent être
caractérisées au niveau de l'injecteur (distribution de la taille et de la vitesse) et au
sein de l'écoulement (interaction goutte/écoulement, goutte/goutte, goutte/paroi,
taille et dynamique des gouttes etc…)
Evaporation: lorsque le spray est injecté dans une chambre où règne une haute
température, les gouttes s'échauffent et s'évaporent. Les lois de chauffage et
d'évaporation s'avèrent très différentes en fonction des propriétés de la phase porteuse et sont propres à chaque goutte de l'écoulement.
Mélange: un des phénomènes essentiels au sein de la chambre de combustion
concerne la turbulence qui agit à tous les niveaux : dispersion du spray, micro-
mélange turbulent et mélange à grande échelle de la vapeur du combustible avec
l‟oxydant et enfin, mélange éventuel des gaz brûlés au sein du spray, influençant
ainsi fortement les phénomènes d‟évaporation.
Combustion: enfin, la combustion aura lieu au sein du combustible évaporé, ses
propriétés sont totalement dépendantes des phénomènes présentés ci-dessus. Tous
les régimes de combustion (prémélangé, non-prémélangé, partiellement
prémélangé) peuvent se rencontrer dans la chambre. De plus les problèmes
d‟extinction, ou encore de retour de flamme (flashback) au cœur du spray peuvent
apparaître. Aussi, les interactions entre le spray, les flammes et les ondes
acoustiques qui se propagent au sein de la chambre de combustion doivent être
évoquées.
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Introduction générale
3
Vu la richesse et la diversité du sujet, il est difficile, voir impossible, de réaliser une
modélisation globale de l'ensemble des phénomènes présents. Par conséquent, les chercheurs
sont amenés à restreindre leur travail au niveau des limites des outils mathématiques,
informatiques ou expérimentaux dont ils disposent. L'un des challenges découlant directement
de cette constatation est de faire reculer ces frontières. D‟autre part, les outils numériques et
expérimentaux sont complémentaires. Cependant, la mise au point d'une expérience peut
s'avérer parfois impossible, trop coûteuse ou même dangereuse, en regard des résultats
cherchés. Ceci a conduit la communauté scientifique à adopter la modélisation numérique
comme outil majeur de recherche et de développement.
Toutefois, si les problèmes de modélisation de la combustion turbulente au sein d'un milieu
purement gazeux commencent à être bien connus, et pour la majeur partie d'entre euxmaîtrisés, ce n'est plus de tout le cas lorsque une phase liquide évolue au sein d'un oxydant
gazeux. L'apparition de termes sources directement liées à la présence dispersée de
gouttelettes de combustible, nécessite le développement de nouveaux modèles afin d'être
correctement pris en compte dans les chambres de combustion ; puisque l'inclusion d'une
nouvelle phase liquide au sein d'un gaz modifie considérablement les caractéristiques de
l‟écoulement concerné.
Les travaux de recherche de cette thèse convergent inéluctablement dans ce contexte. Eneffet, l'objectif général de ce travail est le développement d‟un modèle mathématique et
numérique basé sur l‟approche Eulérienne-Lagrangienne permettant la description des
différents phénomènes existant au sein d‟un écoulement turbulent diphasique réactif et de le
valider, par comparaison, avec les valeurs expérimentales publiées dans la littérature. Par
conséquent, le travail proposé traitera différents sujets liés à cette thématique dans le but de
mieux comprendre et maîtriser les phénomènes aérothermochimiques liés aux brouillards de
combustible en milieu réactif.
La configuration adoptée est celle d‟un brûleur rond ou axisymétrique (tube injectant du
combustible dans l‟atmosphère au repos). Malgré sa simplicité apparente, c‟est une
configuration fondamentale à bien des égards, tant dans sa mise en œuvre largement répandue
que dans la multiplicité des problèmes qu‟elle permet d‟illustrer.
Le développement de notre travail dans cette thèse s‟effectue en trois parties.
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Introduction générale
4
Dans la première partie, la dispersion des gouttes ou des particules sera abordée comme
une finalité en soi et non pas sous l'angle de la combustion ultérieure de la vapeur issue du
spray.
Nous débuterons par aborder les aspects fondamentaux de la modélisation d'un écoulementdiphasique gaz-particules. Ensuite, plusieurs modèles de turbulence de premier ordre (k -ε avec
la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (88), k -ω (98) et MTS) seront testés afin de sélectionner
le modèle qui s'adapte le mieux avec l'expérience.
Une fois le modèle de turbulence est fixé pour la modélisation de l‟écoulement porteur,
deux modèles stochastiques Lagrangiens (modèle d‟interaction de tourbillon et modèle de
corrélation de temps) sont employés pour la prédiction de la phase dispersée. Ces deux
modèles tiennent compte de l'effet de l'anisotropie de la turbulence sur la dispersion des particules. Cette hypothèse est accomplie en appliquant des relations algébriques déduites
d‟une fermeture au second ordre pour estimer le tenseur de Reynolds.
Enfin, l'interaction entre les deux phases est accomplie à travers des termes sources, dans le
but de prendre en considération les échanges de quantités de mouvements. Quand à la
modulation de la turbulence, elle n‟a pas d‟influence sur l‟écoulement porteur puisqu‟il a été
supposé dilué.
Dans la deuxième partie, on traitera la modélisation de la combustion turbulente dans un
milieu purement gazeux, ceci dans le but de développer et valider un code de calcul réactif.
Au début, une brève description des différents types de flammes est établie. Ensuite, une
description plus fine des flammes de diffusion d‟un point de vue théor ique est menée, en
présentant les équations moyennées et fermées d‟un écoulement turbulent réactif.
Plusieurs modèles de turbulence (STD k -ε, k -ε avec la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω
(98) et MTS), ainsi que plusieurs modèles scalaires (modèle standard à échelle égale, modèleà échelle non-égale, modèle à équation de transport) seront concourus et confrontés aux
résultats expérimentaux, pour la configuration d‟un jet de propane non réactif. Également,
deux modèles de combustion (modèle de dissipation scalaire, modèle de PDF présumé ou
conserved scalar model) seront testés pour la configuration d‟un jet de méthane réactif, où on
a recouru à deux méthodes de tabulation chimique (Flamelette, Chemkin) qui seront elles-
mêmes mises à l‟épreuve pour la configuration d‟une flamme laminaire de méthane à contre
courant.
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Introduction générale
5
La troisième partie cristallise la finalité de ce travail de recherche. On y traitera la
combustion turbulente dans les brouillards de gouttelettes du combustible.
Dans un premier temps, nous rappelons les différentes approches phénoménologiques des
mécanismes mis en jeu lors de la combustion turbulente des sprays. Par la suite, nous présenterons une description générale de la combustion et de l‟évaporation d‟une goutte
isolée, ainsi qu‟une goutte dans un brouillard. On présentera ensuite, le développement
mathématique nécessaire pour l‟établissement des équations décrivant un écoulement gazeux
chargé de gouttelettes réactives. L‟étape suivante consiste à proposer l‟application que nous
avons choisie de traiter, ainsi que l‟exploitation des résultats du code de calcul développé.
Une conclusion générale viendra clôturer ce travail. Elle passera en revue les principaux
résultats obtenus le long de notre étude, qui constitue le maillon de la chaîne, auquelsuccédera quelques perspectives ultérieures tant au niveau de l‟application de ce travail qu‟au
niveau des compléments qui peuvent lui être conférés.
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Introduction générale
6
Application Configuration Image
Moteur de fusée
Turbine à gaz
Four industriel
Moteur à injectiondirecte
Figure 1: Différents systèmes industriels impliquant la combustion de spray (Kuo, 1986).
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7
Première partie
Dispersion du spray turbulent
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Dispersion du spray turbulent
8
Dispersion du spray turbulent
Introduction ....................................................................................................................................... 9
1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique ............................. 9
1.1 Concepts de base ............................................................................................................ 10
1.1.1 La turbulence...................................................................................................... 10
1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique ..................................... 12
2. Approche lagrangienne .......................................................................................................... 15
2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes ................................................ 16 2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons .................................................................. 16
2.1.2 Modèle de corrélation de temps ......................................................................... 18
2.1.3 Modèle de type langevin (one step model) ........................................................ 22
2.2 Construction des trajectoires des particules fluides .................................................... 22
2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne ........................................... 23
2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide .. 25
3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence) ......................................... 27
4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique ......................................... 29 4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée .......................................................... 30
4.2 Équations de l’écoulement porteur ............................................................................... 32
4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre ........................................................ 33
4.2.2 Tenseur de Reynolds ........................................................................................... 37
4.3 Termes de couplage entre les deux phases ................................................................... 38
4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne .............................................................. 38
4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence ............................ 38
5. Méthode numérique ............................................................................................................... 39 6. Conditions aux limites ............................................................................................................ 41
6.1 Phase continue ................................................................................................................ 41
6.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 44
7. Résultats et discussion ............................................................................................................ 45
7.1 Phase continue ................................................................................................................ 46
7.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 51
7.3 Couplage entre les deux phases ..................................................................................... 57
Conclusion ....................................................................................................................................... 58 Références ........................................................................................................................................ 59
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Dispersion du spray turbulent
9
Introduction
Plusieurs papiers édités (Shirolkar et al., 1996; Gouesbet Berlemont, 1999; Loth, 2000;
Mashayek et al., 2003) traitent le sujet de la modélisation des écoulements turbulents
diphasiques et discutent ses aspects théoriques et expérimentaux. Leur objectif est de fournir
une vue d'ensemble sur la modélisation d'un tel problème. Nous essayons, basé sur la vaste
quantité d'informations disponibles, d‟élaborer un exposé dans lequel un examen des
différentes méthodes, permettant la modélisation de ce type d‟écoulement, sera présenté.
Nous allons également rappeler plusieurs définitions (telles que la fonction de corrélation
lagrangienne, nombre de Stokes, l‟échelle intégrale de temps…) qui sont généralement
employées pour impliquer certaines prétentions ou servir comme outils conceptuels pour
dériver un modèle.
En premier abord et en début de cette première partie, nous allons nous intéresser aux
aspects fondamentaux de la modélisation des écoulements diphasiques. Un examen des
modèles Lagrangiens sera abordé dans la deuxième section. Par la suite, on discutera le
couplage entre les deux phases. Les équations décrivant notre configuration seront
mentionnées ultérieurement, ainsi que la méthode numérique permettant leur résolution. La
dernière section sera consacrée à la discussion des résultats des simulations.
1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique
On présentera dans cette première section une synthèse bibliographique des différentes
techniques de modélisation des écoulements diphasiques. De même, une discussion des
concepts de base, utilisée pour la description des modèles de dispersion des particules, est
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Dispersion du spray turbulent
10
fournie, ainsi que les principes fondamentaux des interactions fluide-particules. Cette
discussion permet la compréhension de la signification physique des modèles de dispersion.
1.1 Concepts de base
Afin de prévoir le mouvement de la phase dispersée, il est important de connaître
certaines propriétés de la phase porteuse. Ces informations peuvent être obtenues soit
expérimentalement, soit à partir d‟un modèle de turbulence, appliqué pour la prédiction de la
phase continue. Par conséquent, la section suivante sera dédiée à la compréhension des
caractéristiques d‟un écoulement turbulent et à la nature de son interaction avec les particules.
1.1.1 La turbulence
La turbulence apparaît toujours à des nombres de Reynolds élevés. Elle résulte
souvent de l‟instabilité des écoulements laminaires, qui se produisent lorsqu‟un potentiel
d‟énergie est imposé (habituellement un gradient de pression ou de vitesse). Dans le but de
bien comprendre le transport turbulent des particules, on discutera les aspects importants
relatifs à un écoulement turbulent, tels que la vorticité, les structures tournantes, connues sous
le nom de tourbillons, et le mécanisme d‟affaiblissement de la turbulence.
La vorticité est une caractéristique particulière locale de l‟écoulement, elle est définie
comme deux fois le taux moyen de rotation de deux lignes initialement perpendiculaires
suivant un élément fluide. Par conséquent, la vorticité est une mesure de rotation sans
déformation. Les écoulements turbulents sont caractérisés par des niveaux de vorticité plus
élevés que les écoulements laminaires, et pour cette raison là, les petites particules sont
emportées par les tourbillons à travers l'écoulement turbulents. Les tourbillons turbulents , ou
simplement un tourbillon est une idée conceptuelle plutôt qu'une définition physiqueemployée pour se référer aux structures tournantes, observées dans les écoulements
turbulents. Normalement, les écoulements turbulents contiennent des tourbillons de
différentes tailles, chacun d'eux se distingue par une quantité d'énergie cinétique rotationelle.
Ces tourbillons résultent de l'action des forces de dissipation sur les structures produites par
l'augmentation de l'énergie cinétique rotationelle.
Dans les écoulements turbulents, le tourbillon n'est pas uniquement convexe (se
déplaçant autour de lui même par le champ d'écoulement), mais, il est également accru par unmécanisme appelé étirement de tourbillons.
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Dispersion du spray turbulent
11
Figure1-1: Interaction tourbillon- particules dans un écoulement (Shirolkar et al., 1996)
Pour cette raison là, les structures à grande échelle (tourbillons de grande taille) se
décomposent en de plus petites structures (tourbillon de petite taille). Ce phénomène mène aumécanisme connu sous le nom déclin de la turbulence (turbulence decay). Les plus grands
tourbillons, qui ont une inertie importante, ne peuvent pas répondre rapidement aux forces
visqueuses, et par conséquent, elles vont se décomposer pour donner des tourbillons plus
petits. Cette cascade d'énergie (transfert d‟énergie des gros tourbillons vers les petits
tourbillons) continue jusqu'à ce que les forces visqueuses deviennent dominantes. Ainsi, dans
chaque écoulement turbulent, il y a une limite minimale pour la taille des petits tourbillons.
Aussi, chaque tourbillon possède une échelle de temps et de longueur, désignéerespectivement: temps de vie d'un tourbillon (Eddy life time) et taille caractéristique d'un
tourbillon (Eddy characteristic size). La signification physique de ces deux échelles est
respectivement :
- L‟intervalle de temps pour lequel cette structure tournante maintient son format d'origine
avant de se dissiper complètement ou bien avant de se décomposer en plus petits tourbillons.
- La dimension physique d'une structure tournante.
L'interaction entre les tourbillons et les particules injectées est connue sous le nom de la
dispersion turbulente de particules en raison de l'effet dispersif observé sur ces derniers. La
figure 1-1, illustre le transport des particules dû au mouvement des tourbillons dans
l'écoulement turbulent. Cette figure montre la présence de tourbillons de différentes tailles qui
interagissent avec des particules de tailles variées. La taille de la particule et la taille du
tourbillon sont deux paramètres importants pour la détermination des résultats de l'interaction
tourbillon-particule. Le transport des particules, dû aux tourbillons, dépend également des
différentes propriétés de l'écoulement porteur et des particules, telles que la viscosité du
fluide, la densité du fluide et des particules, la distribution de l'énergie cinétique turbulente…
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Dispersion du spray turbulent
12
1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique
Les différentes grandeurs caractéristiques des écoulements diphasiques (gaz-particule)
sont résumées en bref, comme suit :
Fraction volumique
La fraction volumique de la phase dispersée représente le volume occupé par les
particules par unité de volume, elle s'exprime par:
p
3
p
p p p n D
n 6
(1-1)
n P : nombre de particules présentes dans une unité de volume.
La fraction volumique est utilisée pour caractériser l‟interaction entre les deux phases. Concentration massique
La concentration massique s‟exprime en fonction de la fraction volumique par:
p p p C (1-2)
Taux de chargement
Le taux de chargement représente le rapport des débits massiques entre les particules et
le fluide. Il est définit par la relation suivante :
tion secu
tion secu
q
qØ
f f
p p
mf
mp
(1-3)
Nombre de Reynolds des particules
Il caractérise l‟effet de la phase dispersée sur la variation de l‟écoulement turbulent.
f
p f p f
ep
uu D R
(1-4)
Echelle de longueur de Kolmogorov
Représente ou caractérise la taille des plus petites structures de l‟écoulement turbulent.
413
f
f
K
(1-5)
L‟échelle de temps de Kolmogorov correspondante est donnée par :
21
f
f K
(1-6)
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Dispersion du spray turbulent
13
Temps de relaxation des particules
C‟est l‟échelle de temps des particules qui représente le temps nécessaire pour la
particule à répondre aux sollicitations du fluide.
p f D
p
f
p
ep D f
p p
p
uuC
D
RC
D
3
4
3
4 2
(1-7)
Deux particules avec deux masses volumiques et deux diamètres différents, mais un même
η p possèdent deux trajectoires identiques.
Temps caractéristique de la turbulence
L‟échelle intégrale temporelle lagrangienne représente le temps de corrélation des
fluctuations de vitesse d‟une particule fluide.
Dans le cas d'une turbulence homogène et isotrope, on a :
2
20140
'
L
u.
k . (1-8)
Dans le cas d'une turbulence non isotrope, plusieurs expressions peuvent être trouvées dans
la littérature:
Selon Berlemont et al. (1990), on a
'
y
'
x
y x L
uuCte (1-9)
Burry & Bergeles (1993) proposent l'expression suivante:
2
22 '
y
'
x
y x L
uuCte (1-10)
La constante varie de 0.2 à 0.6 en fonction du type d‟écoulement. Elle est égale à 0.2 dans
le cas d'un écoulement dans un tube ou dans un jet.
Coefficient de traînée
Le coefficient de traînée C D est calculé en utilisant les corrélations empiriques standard
pour une sphère rigide comme le montre la figure 1-2:
Pour des Reynolds de particules faible ( Rep < 0.5), Stokes (1851) développe une solution
analytique du coefficient de traînée de la forme :
R C pe
D
24
(1-11)
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Dispersion du spray turbulent
14
Figure 1-2: Coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds des paricules
Pour des Reynolds de particules plus importants (0.5 < Rep < 1000), Clift et al. (1978)
proposent une extension semi-empirique qui reprend la forme de Schiller & Nauman (1933) :
68701501
24 .
pe
pe
D R. R C (1-12)
Pour des Reynolds de particules supérieurs à 1000, la forme du sillage derrière la particule
ne change quasiment plus et le coefficient de traînée devient constant :
C D = 0.44 (1-13)
Ce régime est désigné comme un régime newtonien.
Finalement, le coefficient de traînée chute brutalement pour Repcrit = 2.5 105, lorsque la
couche limite autour de la particule passe à l‟état turbulent.
Nombre de Stokes
Il caractérise l‟influence de la turbulence sur le mouvement des particules . Il est définicomme le rapport du temps de relaxation de la particule τ p et du temps caractéristique de la
turbulence τ L.
L
p
t S
(1-14)
Si S t 0 ; les particules suivent parfaitement le fluide. La vitesse de la particule est très
proche de celle du fluide environnant.
Si S t ∞ ; les particules possèdent une forte inertie et elles ne sont pas affectées par laturbulence.
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Dispersion du spray turbulent
15
2. Approche lagrangienne
Classiquement, deux approches théoriques sont utilisées pour modéliser les écoulements
diphasiques, qui sont l‟approche Eulérienne (Euler Euler) et l‟approche Lagrangienne (EulerLagrange). Il est important de mentionner que les deux approches montrent leurs propres
avantages et inconvénients, et sont complémentaires. N'importe quel progrès réalisé dans une
approche permettra d‟accomplir un progrès dans l'autre. L'approche Eulérienne permet de
traiter les deux phases comme deux milieux continus équivalents pour les quels sont écrites
des équations locales de bilans instantanés de masse, de quantités de mouvements et d‟énergie
(Picart et al, 1986; Simonin et al., 1993; Rizk Elghobashi, 1989…).
Dans l‟approche Lagrangienne, un certain nombre de trajectoires de particules sont
simulées, et les grandeurs moyennes et fluctuantes caractérisant leur comportement sont
ensuite obtenues statistiquement (Berlemont et al., 1990; Gosman Ioannides, 1981;
Pozorski Minier, 1998…). Les modèles lagrangiens sont basés sur deux étapes : la première
décrit l'écoulement continu, et la seconde étape consiste à suivre les trajectoires des particules
en prenant en considération les caractéristiques de l‟écoulement.
N‟importe quelle approche peut être employée pour la description de l‟écoulement
turbulent. La méthode basée sur la simulation numérique directe (DNS) offre une opportunité
unique pour étudier les effets spécifiques comme l‟interaction tourbillon/particule (Elghobashi
et Truesdel, 1993; Eaton et Fessler, 1994;…), mais demeure limitée pour des écoulements à
faible nombre de Reynolds. La simulation des grandes échelles (LES) peut manipuler des
écoulements plus complexe (Boivin et al., 2000; Almeida and Jaberi, 2008;…). Mais le
meilleur rapport qualité/prix, obtenu jusqu‟à maintenant pour les problèmes industriels est
accompli à travers une modélisation stochastique complète (RANS), utilisant un modèle de
turbulence à deux équations, garni par des relations algébriques, afin de prendre en compte
l‟anisotropie de l‟écoulement, ou bien à travers un modèle de second ordre (RSM) pour une
meilleur prédiction du tenseur de Reynolds.
Le point de départ de cette approche est la loi fondamentale de la dynamique:
F dt
ud m
p
p (1-15)
p
pu
dt
xd (1-16)
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Dispersion du spray turbulent
16
Où ∑ F désigne l‟ensemble des forces agissant sur la particule. La résolution de ces
équations nécessite la connaissance de la vitesse instantanée du fluide, à la position de la
particule discrète ainsi que le pas de temps nécessaire pour l‟intégration de ces dernières.
2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes
Plusieurs schémas permettant la construction des trajectoires des particules discrètes sont
discutés et présentés. Ils sont classés suivant la méthode adoptée pour la détermination de la
vitesse instantanée du fluide à la position de la particule discrète, nécessaire pour la résolution
de l'équation de mouvement de la particule. Cependant, il faut maintenir à l'esprit que tous ces
schémas sont très sensibles à l'approximation des échelles de la turbulence (de temps ou delongueur).
En plus, trois effets caractérisent la dispersion turbulente des particules : Effet d'inertie,
Effet de croisement des trajectoires et Effet de continuité de l'écoulement turbulent.
* l'effet d'inertie est valorisé lorsque aucune force extérieure n'est appliquée sur la particule
(le mouvement de la particule est contrôlé seulement par l'inertie). Le paramètre clé sera donc
le temps de relaxation de la particule η p qui décrit sa réponse à n'importe quelle fluctuation de
l'écoulement qui l'entoure.
* l'effet de croisement des trajectoires (CTE) est dû à la présence de forces extérieures qui
s'appliquent sur la particule notamment la gravité. Comme conséquence, la particule ne suit
plus les tourbillons, mais les croise le long de sa trajectoire.
* le troisième effet qui peut modifier le comportement des particules est dû à la continuité
de l'écoulement turbulent. Un résultat net de cet effet est l'existence de corrélation de vitesse
du fluide négatif et positif le long de la trajectoire de la particule discrète.
2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons
Historiquement, la première approche, qui a été développée et extensivement utilisée dans
les codes de calculs, est le modèle d'interaction de tourbillons " Eddy Interaction Model ".
Cette approche proposée par Gosman & Ioannides (1981) a été adoptée, par la suite, par
Shuen et al. (1983), Faeth (1983), Sommerfeld et al. (1993), Chen et Pereira (2000), parmid‟autres. Dans ce modèle, La particule est assumée être en interaction avec une succession de
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Dispersion du spray turbulent
17
Figure 1-3 : Modèle d'interaction de tourbillons (Graham & James, 1996)
tourbillons turbulents au cours de son mouvement, comme le montre la figure 1-3. Chaque
tourbillon est supposé caractérisé par une vitesse fluctuante constante, une échelle de temps
(Eddy Life Time) et une échelle de longueur (Eddy Length Scale).
Ces deux échelles peuvent être estimées à partir des propriétés de la turbulence (k et ε) le
long de la trajectoire de la particule discrète, comme le montre les relations (1-18) et (1-19).
La vitesse fluctuante, utilisée pour chaque tourbillon, est déterminée par un tirage aléatoire,suivant une fonction de densité de probabilité (PDF) Gaussienne.
uu f
2 et vv f
2 (1-17)
Où est une variable aléatoire Gaussienne.
L'échelle de longueur est estimée par:
23234/3
164.0k k
C Le (1-18)
Le temps caractéristique du tourbillon est défini par la relation suivante:
'
u
Lt ee (1-19)
Dans le cas d'une turbulence isotrope, t e est donné par:
k C
k
Lt ee
4/3
2
3
32
(1-20)
Temps = 0 Temps = t1
P
F
P
F
Particule Discrète
Particule Fluide et tourbillon
XP0
d (t1)
Ue
Up0
XP0 + Ue t1
2 Le
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Dispersion du spray turbulent
18
Le temps de transit ou de traversée d'un tourbillon, déterminé à partir de la relation
d (t 1)= Le, est estimé par la relation suivante:
p f p
e pc
uu
Lt
1ln (1-21)
Le temps d'interaction entre une particule et un tourbillon (Eddy Interaction Time) doit être
le minimum du temps caractéristique du tourbillon t e (Eddy Life Time) et du temps de
traversée d'un tourbillon t c (Eddy Transit Time).
ceint t ,t mint t (1-22)
L'équation (1-21) n‟a pas de solution lorsque Le > p f p uu . Dans ce cas, la particule est
assumée attrapée par le tourbillon et le temps d'interaction sera l'échelle de temps t e.
ceint
eint
t,tmint
tt
p
erel
p
erel
Lv si
Lv si
(1-23)
Durant cette interaction, la vitesse fluctuante du fluide reste constante et la particule
discrète se déplace en respectant son équation de mouvement. À la fin de cette interaction, la
particule est captée par un autre tourbillon que l‟on va considérer. Une nouvelle vitesse
fluctuante est tirée et le processus est répété.
Ce modèle tient compte de l'effet d'inertie et de croisement des trajectoires, mais ne tient
pas compte de l'effet de continuité. L'analyse de la performance d'une variété de modèles
d'interaction de tourbillons a été investie par Graham (1996), (1998) et Graham & James
(1996).
2.1.2 Modèle de corrélation de temps
Cette méthode appelée aussi modèle à deux étapes, est similaire à la précédente, dans le
sens qu'elle résout l'équation de quantité de mouvement d'une particule. La différence réside
dans la façon de déterminer la vitesse fluctuante de la particule fluide à la position de la
particule discrète.
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Dispersion du spray turbulent
19
Figure 1-4 : Trajectoire couplée ( Burry & Bergeles, 1993)
C'est une technique qui est basée sur la réalisation simultanée d'une trajectoire pour les
particules fluides, et une autre pour les particules discrètes. À l‟origine, elle a été développée
par Ormancey & Martinon (1984), elle a été adoptée par la suite par Zhou & Leschziner
(1991), Lu et al. (1993), Burry & Bergeles (1993) et étendue par Berlemont et al. (1990).
La figure 1-4 présente une vue d'ensemble de la méthode. À chaque fois qu'une particule
discrète est lancée, on lance également, du même point et au même instant, une particule
fluide.
La particule fluide est déplacée à x f (t+ Δt ) en respectant l'équation suivante :
x f,i (t+ Δt ) = x f,i (t ) + u f,i ( x f,i (t )) Δt . (1-24)
La vitesse instantanée du fluide u f,i est décomposée en une partie moyenne, qui est connue
par interpolation à la position de la particule discrète à partir des résultats du modèle de
turbulence, et une partie fluctuante u' , qui est générée à l'aide d'une PDF Gaussienne et en
respectant des corrélations lagrangiennes de temps.
La particule discrète est déplacée à x p(t+ Δt ) en intégrant les équations (1-15) et (1-16). Des
différences apparaissent entre les deux trajectoires. Ainsi, à chaque pas de temps Δt , la vitesse
du fluide est transférée de la position de la particule fluide à la position de la particule discrète
en respectant des corrélations spatiales Eulériennes. À l'étape de temps suivante, les deux
particules sont lancées de nouveau, du même endroit P = x p (t + t ), et au même instant, et le
processus est répété.
CorrélationEulérienne
xf (t)=x p(t)
v p(t)
uf (t)
F=xf (t+t)
P=x p(t+t)v p(t+t)
uf (x p,t+t)
Uf (t+t)
CorrélationEulérienne
Suivi Lagrangiende la particule
fluide
Particule discrète
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Dispersion du spray turbulent
20
Le temps d‟intégration doit être choisi de façon à capter tous les événements subis par la
particule au cours de son parcours, Desjonquères (1987) a montré que Δt est de l'ordre de:
510
L p ,mint
(1-25)
Cette technique a été étendue par Berlemont et al. (1990), qui ont introduit une méthode de
matrice de corrélation pour la trajectoire des particules fluides, dans le but d'utiliser n'importe
quel type de corrélation. Ils ont également défini un domaine de corrélation autour de la
particule fluide, à l'aide d'une échelle de longueur L D, comme le montre la figure 1-5.
Lorsque la distance r entre les deux particules est plus grande que L D, on considère alors
une nouvelle particule fluide dont la trajectoire sera simulée à partir du point P , et le
processus sera répété.
Toujours selon Berlemont et al. (1990), cette méthode traite l'effet de croisement de
trajectoires d'une manière très physique, mais elle inclut aussi l'effet de continuité à l'aide des
corrélations Eulériennes.
Le processus de détermination de la vitesse fluctuante du fluide à la position de la particule
discrète est le suivant:
n F p e' u' u 22
F P
F P
' u' u
' u' u 2
212 1 P ' u (1-26)
où en est une variable aléatoire Gaussienne.
Cependant, les corrélations Eulériennes, entre la particule fluide et la particule discrète,
doivent être exprimées dans un repère dont le premier axe est colinéaire au vecteur FP . Par
conséquent, un changement de repère est nécessaire à chaque pas de temps.
Dans la littérature, on trouve plusieurs expressions des corrélations spatiales entre les deux
points F et P . Berlemont et al. (1990) et Burry & Bergeles (1993) utilisent la fonction de
Frenkiel (1948) pour modéliser la corrélation entre F et P . Par contre, Pascal & Osterlé (2000)
utilisent la décroissance exponentielle pour modéliser la fonction de corrélation.
Berlemont et al. (1990) proposent l'expression suivante:
Ln
r mcos
Ln
r exp P ' u F ' u P ' u F ' u
ji E ij ji E ij
ji ji
11 22
22 (1-27)
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Dispersion du spray turbulent
21
Figure 1-5 : Trajectoire couplée et domaine de corrélation ( Berlemont et al ., 1990)
Alors que Burry & Bergeles (1993) proposent la forme suivante:
Ln
r mcos
Ln
r exp F ' u F ' u P ' u F ' u
ji E ij ji E ij
ji ji
11 22
(1-28)
avec
r : Distance entre les points F et P .nij : paramètre de boucle qui permet d'introduire l'effet de continuité dans la corrélation
Eulérienne (on choisit nij = 0 dans la direction principale et n jj = 1 dans la direction
transversale.)
ji E L : Échelle spatiale eulérienne de corrélation définie par:
ji L
'
j
'
iij ji E uuC L (Berlemont et al., 1990) (1-29)
ji L
'
j
'
i
ij ji E
uuC L
2
22
(Burry & Bergeles, 1993) (1-30)
Avec C ij = 1
L D est définie comme la moyenne arithmétique des échelles spatiales Eulériennes de la
turbulence :
2
j j E ii E
D
L L
L
(1-31)
P
F
P
P
FF
CorrélationEulérienne
r LD
Particule Discrète
Particule Fluide etdomaine de corrélation
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Dispersion du spray turbulent
22
2.1.3 Modèle de type langevin (one step model)
Ce modèle utilise une équation de type Langevin et il est basé sur un processus
stochastique d'une seule étape (les deux étapes Eulérienne et Lagrangienne, de la méthode
précédente, sont mélangées pour donner un schéma stochastique simple). Il présente un bon
compromis entre précision et simplicité. La vitesse de la particule fluide „vue‟ par la particule
discrète est générée en respectant une échelle de temps Lagrangienne. Par conséquent, le
problème se ramène à l'approximation de l'échelle de Temps/espace T *.
La vitesse du fluide vue est donnée par:
n fi fi bet ' aut t ' u
*
iT
t expa
221
2 1 at ' ub fi (1-32)
Avec en , une variable aléatoire Gaussienne.
Différentes expressions de T * peuvent être trouvées dans la littérature (Wang & Stock,
1990; Pozorski & Minier, 1998). Le modèle de type Langevin n‟est pas retenu dans notre
étude.
2.2 Construction des trajectoires des particules fluides
La construction de la trajectoire d‟une particule fluide est donnée par l‟équation (1-24),
d‟où la nécessité de déterminer à chaque instant t , la vitesse instantanée u f,i ( x f,i (t )) du fluide
au point x f,i (t ).
t xu' t xu t xu i f,i f,i f,i f,i f,i f, (1-33)
La partie moyenne i f,u est soit mesurée expérimentalement, soit déterminée par la
résolution des équations de transport moyennées utilisant un modèle de turbulence. Mais cen‟est pas le cas pour la partie fluctuante u‟ f,i , qui reste inconnue et qui représente la principale
difficulté de notre problème.
Pour estimer les fluctuations de vitesse de la particule fluide u f,i’ ( x f,i (t )), on suppose que le
champ de fluctuation de vitesse est Gaussien (Hypothèse classique pour les modèles de
turbulence). Cette hypothèse ne suffit pas. En effet, les fluctuations de vitesse dans un
écoulement turbulent ne sont pas totalement indépendantes. Elles obéissent à des fonctions de
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Dispersion du spray turbulent
23
corrélation tant Eulérienne que Lagrangienne (corrélation spatiale Eulérienne, corrélation
temporelle Eulérienne, corrélation temporelle Lagrangienne).
Dans le cadre d‟une description Lagrangienne du comportement des particules fluides, la
dépendance entre les fluctuations à l‟instant t et l‟instant t + Δt se fait seulement parl‟intermédiaire de la fonction de corrélation temporelle Lagrangienne du fluide, définie par :
t ' ut ' u
t ' ut ' u )( R
ji
ji fL
ij22
(1-34)
Le problème est donc de modéliser ces corrélations et d‟effectuer des tirages aléatoires des
fluctuations de vitesse qui les respectent.
2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne
La première approche a été proposée par Gosman & Ioannides (1981), et a été appelée
“ Eddy Life Time ”. Chaque vitesse fluctuante du liquide est maintenue constante sur un
intervalle de temps, égal à l'échelle intégrale de temps lagrangienne L .
La fonction de corrélation Lagrangienne résultante diminue linéairement de 1 à 0 de délai
égal à 2 L .
L
fL R
21 (1-35)
Figure 1-6 : Eddy Life Time et fonction de corrélation Lagrangienne.
Une première extension a été proposée par Ormancey & Martinon (1984). Elle est devenue
omni présente dans la communauté Lagrangienne. Dans cette approche (random eddy lifetime
ou modified eddy lifetime), une distribution de Poisson d'intervalle de temps est introduite:chaque fluctuation de vitesse du fluide est maintenue constante jusqu'à un nombre aléatoire
u’
L
1
L
R fL
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Dispersion du spray turbulent
24
(uniformément distribué entre 0 et 1) plus petit que Δt / L. La fonction de corrélation
lagrangienne résultante diminue exponentiellement de 1 à 0:
L fL exp R (1-36)
Figure 1-7 : Schéma de distribution de Poisson et fonction de corrélation Lagrangienne.
Plus tard, Desjonqueres (1987), a défini un processus qui peut prendre en compte n'importe
quel type de fonction de corrélation. Ceci peut être fait par une matrice de corrélation comme
décrite par Berlemont et al. (1990). En plus, Desjonqueres (1987) a introduit la fonction de
corrélation de Frenkiel (1948), définie par:
L L
fLm
m
cosmexp R
11 22 (1-37)
où m est un paramètre de boucle.
Figure 1-8 : Schéma de distribution et fonction de corrélation Lagrangienne de Frenkiel.
Notons que cette fonction de corrélation présente des boucles négatives. Sachant que, pour
m=0, on obtient la forme qui décroît exponentiellement de 1 à 0. La valeur retenue par Picart
et al. (1986), lors des confrontations des simulations avec les résultats expérimentaux, estm=1.
u’
1
R fL
u’
1
R fL
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Dispersion du spray turbulent
25
2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide
Plusieurs méthodes permettent la génération du vecteur vitesse fluctuante de l'écoulement:
* Méthode basée sur l'équation de Langevin
Cette méthode est dérivée de l'équation de Langevin et conduit à la décroissance
exponentielle de R fl . Elle a été testée par Pozorski & Minier (1998).
Le processus est le suivant:
n
' ' bet uat u (1-38)
Où en est une variable aléatoire Gaussienne ( 10 2 nn e ,e ).
21u at b et t
expa 2' 2
L
(1-39)
* Méthode basée sur une matrice de corrélation
La méthode présentée ci-dessus permet la prise en compte de n'importe quel type defonction de corrélation.
Dans une description bidimensionnelle, on doit définir le vecteur des fluctuations de
vitesse des particules fluides de composantes :
u' = ( u x' (0), u y' (0), u x' ( Δt ), u y' ( Δt ), u x' (2 Δt ), u y' (2 Δt ),...., u x' (iΔt ), u y' (iΔt ),.......) (1-40)
Le nombre de pas de temps utilisé pour la trajectoire en question peut être constant ou
variable:
Constant, lorsque la dispersion est calculée en fonction du temps.
Variable, lorsque la dispersion est calculée en fonction de la distance à partir de
l‟injecteur.
Mathématiquement, le problème consiste à obtenir un vecteur X de variables aléatoires
normales, corrélées, sachant qu‟on connaît < xi x j > = ai j, où ai j sont connus (matrice A).
On dispose pour cela d‟une matrice de corrélation A (ai j) et d'un vecteur Y ( yi) de variables
aléatoires centrées, de variance unité, non corrélées.
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Dispersion du spray turbulent
26
La matrice de corrélation A est donnée par :
t i' ut i' ut i' ut i' u' ut i' u' u
t i' u' ut i' ut i' u' u
' u' u' u
' u
t i' u
t i' u
' u
' u
t i' u t i' u .... ' u ' u
y y x y y y x
x y x x x
y y x
x
y
x
y
x
y x y x
2
2
2
2
00
00
000
0
0
0
00
(1-41)
Les termes de cette matrice peuvent se regrouper en trois familles :
t i' ut i' u x x , t i' ut i' u y y et t i' ut i' u y x sont les composantes du
tenseur de Reynolds et sont définies ou données par le modèle de turbulence.
t j' ut i' u x x et t j' ut i' u y y sont des corrélations temporelles
Lagrangiennes exprimées sous la forme suivante (cas de fonction de corrélation de
Frenkiel):
x L x L x x
x x
m
t i jmcos
m
t i jexp
t j' ut i' u
t j' ut i' u
11 22
22
(1-42)
y L y L y y
y y
m
t i jmcos
m
t i jexp
t j' ut i' u
t j' ut i' u
11 2222
(1-43)
t j' ut i' u y x et t j' ut i' u x y sont des corrélations temporelles
Lagrangiennes croisées et modélisées sous la forme suivante (cas de fonction de
corrélation de Frenkiel):
y L y L
y x y x y xm
t i jmcos
m
t i jexpt iut i' ut jut j' ut j' ut i' u
11 22
(1-44)
x L x L
y x y x x ym
t i jmcos
m
t i jexpt iut i' ut jut j' ut j' ut i' u
11 22
(1-45)
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Dispersion du spray turbulent
27
Cette modélisation n'est pas entièrement satisfaisante, essentiellement pour les échelles
temporelles qu'elle fait intervenir. Le bon terme serait η Lxy , mais nous manquons
d'informations pour l'estimation d'une telle échelle. Nous utilisons donc cette forme (1-44 ;
1-45) dont la justification sera apportée par les résultats satisfaisants que nous obtenons.
En partant d‟un vecteur Y ( yi), de variables aléatoires centrées, de variance unité, non
corrélées (on a supposé une distribution Gaussienne pour les fluctuations de vitesse) c‟est à
dire que 0i y et ijii y y ( 12 i y , ii y y =0 pour i ≠ j). Supposons une relation linéaire entre u
et Y , le problème sera résolu si on trouve une matrice B qui satisfait u' = B Y .
Après quelques passages mathématiques (Desjonquères, 1987), on montre que A = B T B
où B T est la matrice transposée de B . Cette factorisation de la matrice A est appelée
factorisation ou décomposition de Cholesky.
Les éléments de B sont donnés par les relations suivantes:
1111 ab (1-46)
1111 bab ii (1-47)
i jbbbab jj
j
k
jk ik ijij
11
1
(1-48)
ibabi
k ik iiii
1
1
1
2 (1-49)
D‟où la matrice B est déterminée en premier lieu à partir de la matrice de corrélation A,
pour en déduire, par la suite, les éléments du vecteur u' et ce en multipliant B par Y .
3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence)
Dans cette partie, nous proposons d‟étudier l‟action des particules sur le fluide. En effet, la
présence de particules induit des modifications sur l‟écoulement gazeux, aussi bien sur les
vitesses moyennes (effet d‟entraînement ou de ralentissement) que sur la turbulence
(atténuation ou amplification).
De nombreuses études ont été consacrées à cette modulation de la turbulence et de
nouveaux développements sont prévus à l'avenir puisque aucun modèle n'est disponibleactuellement pour toute condition d'écoulement.
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Dispersion du spray turbulent
28
Les différents mécanismes dépendants qui contribuent à la modulation de la turbulence,
sont :
La dissipation de l‟énergie cinétique turbulente par les particules.
L‟augmentation de la viscosité apparente due à la présence des particules.
L‟étirement des tourbillons ou présence de sillage derrière la particule.
L‟augmentation du gradient de vitesse entre les particules.
La concentration préférentielle des particules due à la turbulence.
Figure 1-9 : Modification de l’intensité turbulente en fonction des échelles spatiales
(Gore & Crowe, 1989)
Dans le but de proposer une classification de l'influence des particules sur le fluide, Gore et
Crowe (1989) ont résumé plusieurs mesures expérimentales et ont considéré le rapport entre
le diamètre des particules et une longueur caractéristique de la turbulence du fluide porteur
( Le), comme le montre la figure 1-9.
Pour un rapport dp / Le < 0.1, la turbulence est réduite, alors qu‟au contraire, pour un
rapport dp / Le > 0.1, on a une augmentation de la turbulence (La figure 1-9 indique 0.08 au
lieu de 0.1). Ce critère montre que la turbulence est atténuée en présence de particules de petitdiamètre et amplifiée en présence de particules de taille relativement élevée.
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Dispersion du spray turbulent
29
La même tendance a été décrite par Elghobashi (1994), qui a établi une carte des régimes
d'interaction entre les particules et la turbulence, en considérant l'échelle de temps de
Kolmogorov η k et le temps de relaxation de particule η p comme le montre la figure 1-10.
Les particules favorisent la production de la turbulence pour η p / η k > 102
. Pourη p / η k 102, les particules favorisent la dissipation, pour une fraction volumique comprise
entre 10-3 et 10-6 (Two-way coupling).
En même temps, plusieurs études numériques sont développées dans le but de mieux
comprendre le phénomène d'interaction turbulence/particule. La DNS et la LES sont deux
outils efficaces pour une meilleur description du mécanisme Two-way coupling. Plusieurs
papiers édités peuvent être trouvés dans la littérature, parmi lesquels, on peut citer Squires &
Eaton (1990), Elgobashi & Truesdell (1993), Ahmed & Elgobashi (2000), Vermorel et al.(2003) et c.…
Figure 1-10 : Carte de régime d'interaction entre particules et turbulence ( Elghobashi, 1994)
4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique
Le point de départ concernant la mise en équations d‟un écoulement diphasique gaz-
particules consiste à établir des équations du mouvement d‟une particule isolée dans un
One waycoupling
Effet
négligeablesur laturbulence
α p
η p / η k
1-10 3-
10 5-10 7-
10
2-10
210
410
010
Les particulesfavorisent ladissipation de k
Four way
coupling
Two way
coupling
Les particulesfavorisent la
production de k
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Dispersion du spray turbulent
30
champ turbulent. Nous déterminerons quelles sont les forces agissant sur cette particule et, en
se plaçant dans un cadre précis d‟hypothèses simplificatrices, nous justifierons le fait de ne
prendre finalement en compte que la force de traînée visqueuse et la force de flottabilité.
Une fois les équations de la trajectoire sont obtenues, nous établissons les équations aux
grandeurs moyennes régissant l‟écoulement turbulent gazeux. Ensuite, nous exposons
brièvement les modèles de turbulence permettant la fermeture de ces équations, ainsi que les
relations algébriques destinées à l‟estimation du tenseur de Reynolds. Nous finirons par
l‟exposition des équations de couplage entre les deux phases.
4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée
Cette équation constitue le point de départ de la simulation d‟une trajectoire de particule
discrète dans l‟approche lagrangienne. Les premiers travaux de référence sur le sujet
remontent au milieu du 19ème siècle. Stokes (1851) étudie alors les efforts de traînée exercés
par un fluide laminaire sur des corps de géométrie sphérique. Basset (1888), Boussinesq
(1885) et Oseen (1927) s‟intéressent par la suite au mouvement d‟une particule soumise à la
gravité dans un champ fluide au repos pour donner naissance à ce que l‟on appelle le modèle
B.B.O. Dans sa thèse, Tchen (1947) propose une extension de ce modèle dans le cas d‟un
écoulement turbulent. Plus récemment, Maxey & Riley (1983) et Gatignol (1983) reprennent
les équations de Tchen pour corriger certaines inconsistances du modèle.
Les équations présentées ci-dessous s‟inspirent directement de ces deux dernières études et
reposent sur les hypothèses suivantes :
Les particules sont sphériques et indéformables.
Les particules ne sont pas en rotation et sont animées uniquement d‟un mouvement de
translation.
L'écoulement autour de la particule est homogène (ceci revient à supposer que le
diamètre des particules est plus petit que l'échelle de Kolmogorov).
Les interactions de type hydrodynamique ou collisionnel entre particules ne sont pas
prises en compte.
La turbulence n‟est pas perturbée par la présence de particules.
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Dispersion du spray turbulent
31
L‟équation s‟écrit :
Basset dehistoire' d Termed t
d
ud
D
u D
C D
m
pressionde gradient de Forcet D
u Dm
é flotabilit deTerme g mm
ajoutéemassedeTermedt ud
Dt u DC m
trainéede Forceuuuum D
C
dt
dum
t
i , pi , f
H
p p
p f f
i , f
f
i f p
i , pi , f A f
p f i , pi , f p
p
f
p
Di , p
p
9
21
4
3
(1-50)
Sachant que d /dt représente la Dérivée temporelle le long de la trajectoire de la particule
discrète et D/ Dt représente la Dérivée suivant le mouvement du fluide.
i
i , p
i
i , f x
ut dt
d et
xu
t Dt
D (1-51)
Cette formulation ne tient pas compte de la portance relative aux effets de cisaillement du
champ fluide et de la rotation de la particule ainsi qu‟aux éventuelles non-linéarités du champ
fluide (termes de Faxen).
Soit une nouvelle écriture de l‟équation du mouvement :
d t
d
ud
D
u D
C Dt D
u D
g dt
ud
Dt
u DC uu
RC
Ddt
du
t
i , pi , f
H p p
f f i , f
p
f
p
f
i
i , pi , f
A
p
f
i , pi , f
ep D f
p p
i , p
1
9
12
1
3
4
12
(1-52)
Odar & Hamilton (1964) ont été les premiers à proposer les fonctions empiriques C A et C H qui
représentent respectivement le coefficient de masse ajoutée et le coefficient de Basset.
2
2
1201
132012
C
C A
A.
A..C
3
3
1
520
480 C
C
H A
A.
.C (1-53)
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Dispersion du spray turbulent
32
Où AC représente le facteur d‟accélération donnée par la relation suivante :
dt
uud D
uu A
p f
p
p f
C
2
(1-54)
Dans le cas des écoulements gaz-solide où ρ p >> ρ f , les forces de masse ajoutée et de
Basset ainsi que la force liée au gradient de pression peuvent être négligées.
Par conséquent, l‟équation du mouvement d‟une particule s‟écrit :
archimède' d poussée gra vitétrainéeté flottabilitrainée
p
p F F F F F dt
ud m (1-55)
L‟équation retenue pour notre étude est la suivante :
p
f
ii , pi , f
p
i , p g uu
dt
du
1
1 (1-56)
Avec 68706870
2
15013150118 .
pe p f
p
.
pe f
p p
p R. D
m
R.
D
(1-57)
4.2 Équations de l’écoulement porteur
Le système des équations régissant le jet turbulent se compose de l‟équation de continuité
et de l‟équation de conservation de la quantité de mouvement.
0
i
i
U x
(1-58)
Pu
j
ji
i
j
j
i
ji j
ji
iS
x
' u' u
x
U
x
U
x x
P
x
U U
(1-59)
Où PuiS est le terme de source de quantité de mouvement qui traduit les forces
d‟interactions particules-fluide et qui sera détaillé dans 4-3.
Ce système d‟équations fait apparaître des corrélations doubles ji ' u' u qui rendent le
système ouvert. Sa fermeture nécessite l‟utilisation d‟un modèle de turbulence pour modéliserces corrélations.
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Dispersion du spray turbulent
33
4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre
Les modèles de turbulence de premier ordre sont basés sur l‟hypothèse de Boussinesq
(1877) qui consiste à modéliser directement les tensions de Reynolds à l‟aide d‟une viscosité
turbulente et du gradient de la vitesse moyenne.
k - x
U
x
U ' u' u ij
i
j
j
it ji
3
2
(1-60)
La question est alors de savoir comment évaluer cette nouvelle inconnue, qui est la
viscosité turbulente µt .
Modèle k -ε
Depuis sa création dans les années 70, le modèle k -ε reste jusqu‟à nos jours le modèle le
plus populaire et le plus utilisé des modèles de turbulence. Cependant, l'un de ses défauts
majeurs est son incapacité de prédire correctement le taux d‟épanouissement des jets ronds.
La viscosité turbulente est définie par :
k C t
2
(1-61)
Les équations modélisées de k et de ε sont les suivantes :
k
jk
t
j j
jS
x
k
x x
k U
avec GS k (1-62)
S
x x x
U
jk
t
j j
j
avec
k C G
k C S
2
21
(1-63)
Le terme de production de l‟énergie de turbulence est donné par l‟expression suivante :
j
i
i
j
j
it
x
U
x
U
x
U G
(1-64)
Les constantes de ce modèle sont d‟après Launder Spalding (1974) données dans le tableau
1-1. Ces constantes incluent la correction de Rodi (1972).
C µ C ε1 C ε2 ζ k ζ ε
0.09 – 0.04 f 1.44 1.92 – 0.0667 f 1.0 1.3
Tableau 1-1: Constantes empirique du modèle k -ε.
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Dispersion du spray turbulent
34
avec x
U
x
U
U
Y f
.
cc
20
2
(1-65)
Où U c est la vitesse longitudinale sur l‟axe du jet, Y la demi-largeur du jet et ΔU la variation
radiale de la vitesse longitudinale sur Y .
Modèle RNG k -ε
Concernant le modèle RNG k -ε, dont la structure des équations de l‟énergie cinétique de la
turbulence et sa dissipation scalaire conservent identiquement les mêmes formes que le
modèle k -ε standard, il entre dans le cadre des nouveaux modèles proposés. Il a été développé
par Yakhot & Orszak (1986), puis révisé par Yakhot et al (1992). Les constantes empiriques
du modèle RNG k -ε sont données dans le tableau 1-2 :
C µ C ε1 C ε2 ζ k ζ ε
0.0845 1.42 – R 1.68 0.7179 0.7179
Tableau 1-2: Constantes du modèle RNG k -ε.
avec3
0
1
1
R ,
C
G , 0 = 4.38 et β = 0.015 (1-66)
Modèle k -ω (88)
Le modèle k -ω a été proposé par Wilcox (1988). ω est définie comme une fréquence
caractéristique de la décroissance de la turbulence sous sa propre inertie ou comme un taux de
dissipation par unité d‟énergie cinétique turbulente.
Cette nouvelle variable est donnée par :
k C
(1-67)
La viscosité turbulente est définie par :
k t (1-68)
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Dispersion du spray turbulent
35
Les équations modélisées de k et de ω sont les suivantes :
k
j*
t
j j
jS
x
k
x x
k U
avec k GS *
k (1-69)
S
x x x
U
j
t
j j
j
avec 2
Gk
S (1-70)
Les constantes empiriques utilisées dans ce modèle sont données dans le tableau 1-3:
β * ζ ω ζ ω* α β
0.09 2.0 2.0 5/9 3/40
Tableau 1-3: Constantes du modèle k -ω (88).
Modèle k -ω (98)
La principale différence par rapport au modèle précèdent vient des constantes,
récapitulées dans le tableau 1-4, d‟après Wilcox (1998).
β * ζ ω ζ ω* α β β 0
* β 0
β 0* f β* 2.0 2.0 13/25 β 0 f β 0.09 9/125
Tableau 1-4: Constantes du modèle k -ω (98).
0
4001
6801
01
2
2
k
k
k
k
* f
avec
j j
k x x
k
3
1
(1-71)
801
701
f avec 30
*
ki jk ij
w
S ;
i
j
j
iij
x
U
x
U
2
1 et
i
j
j
iij
x
U
x
U S
2
1
(1-72)
Ωij et S ij représentent respectivement le tenseur de vorticité moyen et le tenseur du taux moyen
de contrainte.
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Dispersion du spray turbulent
36
Modèle Multiple-Time-Scale : MTS (Two-scale k -ε model)
Le modèle MTS a été proposé par Kim & Chen (1987). Il est basé sur une fermeture en un
point unique et sur une méthode simplifiée de partage du spectre. L‟avantage du modèle MTS
réside dans sa capacité de prendre en compte l‟instabilité du champ de la turbulence. Cemodèle considère que le spectre d‟énergie turbulente est divisé en deux régions, une région de
production de l‟énergie cinétique turbulente et une région de dissipation de l‟énergie cinétique
turbulente.
Par conséquent, Le modèle MTS utilise quatre équations partielles pour la fermeture de la
turbulence afin d‟expliquer la production, la cascade et la dissipation de l‟énergie cinétique
turbulente. Ces quatre équations sont :
(i) l‟énergie cinétique turbulente des grands tourbillons, k p.
(ii) l‟énergie cinétique turbulente des petites échelles des tourbillons, k t.
(iii) le taux de transfert d‟énergie des grandes échelles aux petites échelles des
tourbillons, ε p.
(iv) le taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente, εt .
La viscosité turbulente est définie par :
p
t
k C
2
(1-73)
Les équations modélisées de k p, k t , ε p et de εt sont les suivantes :
t
t
k
j
t
k
t
j j
t jS
x
k
x x
k U
avec t pk t
S (1-74)
p
p
k
j
p
k
t
j j
p jS
x
k
x x
k U
avec P k GS
p
(1-75)
t
t
S x x x
U
j
t t
j j
t j
avec
t
t t
t
t p
t
t
p
t k
C k
C k
C S t
2
32
2
1
(1-76)
p
S x x x
U
j
p
p
t
j j
p j
avec
p
p
p
p
p
p
p
pk
C k
GC
k
GC S
p
2
32
2
1
(1-77)
L‟hypothèse de l‟équilibre spectral entre la région de transfert et celle de dissipation donne :
ε = εt et k = k t + k p (1-78)
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Dispersion du spray turbulent
37
Les constantes empiriques de ce modèle sont données dans le tableau 1-5:
C µ C p1 C p2 C p3 C t 1 C t 2 C t 3 ζ kp ζ kt ζ ε p ζ εt
0.09 0.21 1.24 1.84 0.29 1.28 1.66 0.75 0.75 1.15 1.15
Tableau 1-5: Constantes du modèle MTS.
4.2.2 Tenseur de Reynolds
Les modèles de turbulence de premier ordre prédisent l‟énergie cinétique turbulente k ,
mais ne donnent aucune information précise sur sa répartition selon les directions. Plusieurs
moyens permettent une meilleure estimation de la structure anisotropique de la turbulence,
parmi lesquels, on peut citer le modèle de second ordre RSM, qui est difficile à manipuler à
cause des problèmes de stabilité. Une solution intermédiaire consiste à estimer le tenseur de
Reynolds à partir des relations algébriques déduites d‟une fermeture de second ordre (Rodi,
1979). Ces relations sont complémentaires aux modèles de turbulence de 1ere ordre, et sont
définies comme suit :
G D x
U
x
U k G P
cGk ' u' u ijij
i
j
j
iijijij ji
3
2
3
21
1
3
2321
1
(1-79)
Avec k , , G, et les gradients de vitesse sont calculés à l‟aide d‟un modèle de turbulence de
premier ordre. Les tenseurs P ij et Dij sont donnés par :
k
j
k i
k
ik jij
x
U uu
x
U uu P (1-80)
j
k
k i
i
k
k jij x
U uu
x
U uu D (1-81)
Les constantes c’ 1, γ1 , γ2 et γ3 sont données respectivement par 1.8, 0.76, 0.18 et 0.11 (Picart
et al., 1986).
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Dispersion du spray turbulent
38
4.3 Termes de couplage entre les deux phases
La présence des particules induit des modifications au sein l‟écoulement gazeux aussi bien
sur les vitesses moyennes que sur la turbulence. Par conséquent, il faut introduire des termes
sources dans les équations de transport de la phase fluide. Cette méthode est appelée méthode
PSI-CELL „„Particle Source In Cell‟‟ proposée par Crowe et al. (1977).
4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne ou la quantité de mouvement moyenne
L‟équation du terme source de la quantité de mouvement s‟écrit :
g
t d
ud mnS p p Pu
(1-82)
Où u
représente la vitesse instantanée de la particule et m p sa masse. n p indique le nombre
moyen de particules par unité de volume.
4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence
Dans la littérature, on peut trouver différentes modélisations des termes sources de
modulation de la turbulence. Cependant, nous présenterons seulement la modélisation
classique ou standard de la turbulence du fluide en écoulement diphasique (Berlemont et al .,
1990) et la modélisation complète ou consistante (Crowe, 2000). Le modèle semi-empirique
de Yarin et Hestroni (1994), le modèle thermodynamique de Sadiki et Ahmadi (2002), ainsi
que le nouveau modèle de Mando et al. (2009) ne seront pas discutés dans ce travail.
L‟ensemble des expressions des termes des modèles de modulation de l‟écoulement porteur
sont récapitulées dans le tableau 1-6, sachant que certains auteurs (Boulet et Moissette, 2002)
ont mélangé ou mixé le modèle standard et le modèle consistant dans leurs simulations.
Le défaut majeur du modèle standard (Berlemont et al., 1990), est qu'il ne prédit qu'une
atténuation de l'énergie cinétique turbulente alors qu'il a été démontré expérimentalement que
les particules de grosses tailles ont tendance à augmenter la turbulence (Gore & Crowe 1989).
Lain et sommerfeld (2003) ont concouru plusieurs modèles de modulation de la turbulence,
et ont signalé que, bien que, le modèle consistant présente des prédictions meilleures que le
modèle standard, dans le sens qu‟il peut prédire aussi bien l‟atténuation que amplification de
la turbulence, n‟est pas complètement satisfaisant, et que le modèle hybride ne doit pas être
pris en compte, puisqu‟il combine deux types de contributions basées sur deux concepts
différents.
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Dispersion du spray turbulent
39
Tableau 1-6: Tableau récapitulatif des expressions des termes sources
de modulation de la turbulence.
La constante C ε3 varie entre 0.9 et 2.3 (= 1.9, Berlemont 1990 ; = 1.1, Berlemont 1995).
Concernant le taux de dissipation pour le modèle complet, Crowe (2000) propose uneestimation plutôt qu‟une équation de bilan.
Lh désigne une échelle de longueur hybride telle que :
111
L
L eh
(1-83)
Le est exprimé par la relation (1-18), et représente la distance moyenne entre deux
particules donnée par :
p
/
P
p D
D
313
6
(1-84)
5. Méthode numérique
Les calculs réalisés sont basés sur une version améliorée du code de calcul TEACH
(Gosman et Ideriah, 1976) pour la simulation de l‟écoulement porteur, et sur le code de calcul
Termes sources Formulation
< Spk >
Berlemont (1990)
fi pu pk ' u' S S i
< Spk >
Crowe (2000) pi pu pi fi pu ' u' S uuS
ii
< Spε >
Forme classique pk p S
k C S
3
Equation spécifique de ε f lors de l‟utilisationdu modèle de Crowe (2000) h
f
p f Lk
23
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Dispersion du spray turbulent
40
PALAS (PArticle Lagrangian Simulation; Berlemont et al., 1990) pour la simulation de la
phase dispersée. Le couplage entre les deux codes ou les deux phases s‟effectuent selon la
procédure suivante :
1. Prédiction de l‟écoulement porteur jusqu'à une convergence partielle.
2. Suivi des particules à travers le champ turbulent.
3. Calcul des termes sources pour chaque variable et à chaque volume de contrôle.
4. Re-calcul de la phase continue avec prise en compte des termes sources induites par
les particules jusqu'à une convergence partielle de la phase Eulérienne.
5. Répétition des étapes 2-3-4 jusqu'à la convergence totale.
Généralement, un grand nombre d‟itérations entre la phase Eulérienne et la phase
Lagrangienne est nécessaire pour achever une convergence satisfaisante des résultats. Ce
nombre dépend du taux de chargement des particules, du diamètre des particules, et du type
de l‟écoulement. Dans notre cas, et puisque le taux de chargement est de l‟ordre de 8 % ; trois
itérations peuvent amener à des résultats satisfaisants.
La méthode des volumes finis (MVF) à maillage décalé de Patankar (1980) est utilisée
pour la résolution numérique des équations de transports de l'écoulement porteur.
La formulation est elliptique de type convection-diffusion, utilisant un schéma hybride en
espace et le couplage pression-vitesse s‟appuit sur l‟algorithme SIMPLE. La convergence est
détectée pour la valeur de 0.3 %. Le calcul est mené avec un maillage structuré, évolutif et
raffiné près de la section d‟émission et près de l‟axe de symétrie. Différentes tailles de grilles
sont testées, comme le montre la figure 1-11 et dévoilent que les résultats sont indépendants
des influences numériques pour des grilles plus fines que 54 x 54 pour un domaine de 0.6m de
longueur et de rayon égal à 0.2m.
Le système d'équation (1-79, 1-80, 1-81) est résolu en utilisant un algorithme de
prédiction-correction (P.C.M) comme il a été préconisé par Picart et al (1986).
Pour la simulation de la phase dispersée, typiquement, 25000 trajectoires pour une classe
de taille 40 – 45 μm ont été réalisées. La taille des particules ainsi que leurs positions
d‟injection sont générées aléatoirement suivant une loi uniforme. La détermination des
grandeurs caractéristiques des particules est achevée statistiquement à travers un algorithme
dit „de mise à jour‟. Les détails de la méthode numérique sont développés dans les annexes A
et B.
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Dispersion du spray turbulent
41
0 20 40 60
X / d
0
4
8
12
U
f 0
/
U
f c
7 0 X 7 0
6 5 X 6 5
5 4 X 5 4
4 0 X 4 0
Figure 1-11 : Test d’indépendance de la taille de la grille basée sur l’évolution da la vitesse axiale.
6. Conditions aux limites
La formulation du problème à résoudre nécessite la spécification des conditions aux limites
à la frontière du domaine d‟étude. Deux sortes de conditions aux limites sont utilisées : lesconditions de Dirichlet qui consistent à fixer la valeur d‟une variable en un point de la
frontière et les conditions de Neumann qui consistent à fixer la valeur de la dérivée de la
variable.
6.1 Phase continue
Dans le cas d‟un jet axisymétrique, et pour des raisons de symétrie, seul la moitié du domaineest considérée comme domaine de calcul.
Condition à l'entrée
Nous devons imposer des champs initiaux qui représentent l‟état de base du modèle au
moment où commence la simulation.
L 'écoul ement du co-courant ( pour x = 0 et y ≥ d /2 )
Un léger co-courant (coflow) d‟air permet, entre autre, d‟éviter les recirculations éventuelleset stabiliser le calcul sans changer radicalement l‟écoulement.
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Dispersion du spray turbulent
42
En effet, un jet avec un rapport de la vitesse du co-courant par la vitesse de sortie de la buse
inférieure à 0.05 est comparable ou identique à un jet débouchant dans un milieu stagnant (R.
A. Antonia, R. W. Bilger, 1973).
ucof = 0.05 ms-1
(1-85)L‟énergie cinétique de turbulence k est estimée par la relation suivante :
2010 cof in u.k (1-86)
La dissipation de l'énergie cinétique de la turbulence est donné par :
LARGE
.
in
in R.
k C
0050
51
(1-87)
L 'écoul ement du jet central ( pour x = 0 et 0 ≤ y < d /2 )Les profils des vitesses moyennes et fluctuantes longitudinales ont été calculés en
extrapolation avec les valeurs mesurées à x = 0.5d (voir figure 1-12).
Le profil de k est obtenu en supposant 2' u = 2' v et 2' w = 0.
Le profil de la vitesse est donné par :
.
in
d
yuu
51
0
21
(1-88)
0 2 4 6 8
Y ( m m )
0.0
0.4
0.8
1.2
U
f
/
U
f c
E x i t w a l l
1 / 5 power
Figure 1-12-a: Condition initiale pour la vitesse
moyenne longitudinale à x=0.5d ( phase continue)
0 2 4 6 8
Y ( m m )
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
U ' f
/
U
f c
E x i t w a l l
Figure 1-12-b: Condition initiale pour la vitesse
fluctuante longitudinale à x=0.5d ( phase continue)
Exp. (1994) x/d = 0.5
Sim. x/d = 0
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Dispersion du spray turbulent
43
L‟énergie cinétique de turbulence k est estimée par la relation suivante :
2
10040
d
y..uk inin (1-89)
Le profil de la dissipation de l‟énergie cinétique de la turbulence du jet central est donné par
la relation suivante :
m
in
in L
k C 23
(1-90)
Avec Lm représente la longueur de mélange et d le diamètre de la buse ( Lm = 0.005 d)
A noter que la vitesse radiale est supposée égale à zéro sur toute la section d'entrée. Pour le
modèle MTS, une condition d‟instabilité est utilisée pour estimer les quantités turbulentes à la
section d‟émission (Chen, 1985) : k p = k t = 0.5 k et ε p = 0.5 εt = 0.5 ε
Condition àla sorti e
Loin de l‟entrée, on supposera que le régime est établi (écoulement développé). Ce qui se
traduit par la non variation dans la direction axiale, c'est-à-dire le gradient de toutes les
variables dans la direction axiale est égal à zéro, à l‟exception de la vitesse longitudinale qui
suit un traitement spécial pour vérifier le principe de la conservation de la masse :
u (ni, j) = u (ni-1, j) + uinc (1-91)
La correction uinc est l'incrément de vitesse nécessaire pour la conservation de la masse à la
sortie.
0
outlet x
, Φ = V , k , ou ε. (1-92)
Condition sur l’axe de symétrie
Toutes les dérivées radiales sont nulles ainsi que la composante radiale v de la vitesse qui est
nulle :
00
r r
(1-93)
Condition sur les bords du jet
Les conditions aux limites sur les bords du jet sont classiques, à savoir :
u = 0 ; 0r v ; k = 0 ; ε = 0 (1-94)
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Dispersion du spray turbulent
44
0 2 4 6 8 10
Y ( m m )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
U p
/
U
f c
E x i t w a l l
Figure 1-13-a: Condition initiale pour la vitesse
moyenne longitudinale à x=0.5d ( phase dispersée)
0 2 4 6 8
Y ( m m )
0.00
0.10
0.20
0.30
U ' p
/
U f c
E x i t w a l l
Figure 1-13-b: Condition initiale pour la vitesse
fluctuante longitudinale à x=0.5d ( phase dispersée)
6.2 Phase dispersée
De même que l‟écoulement turbulent, des conditions aux limites à la frontière du domaine
d‟étude, concernant la dispersion des particules doivent être spécifiées.
Condition ini tiale
La vitesse initiale des particules est égale à 0.65 fois celle du fluide à l'injection, comme le
montre la figure 1-13-a. La vitesse fluctuante (RMS) longitudinale des particules à l'injection
est égale à 3 fois celle du fluide à l'injection (figure 1-13-b). La vitesse fluctuante (RMS)
transversale des particules est égale à celle du fluide.
Condition àla sorti e
Lorsque la particule atteint la sortie du domaine de calcul, sa trajectoire sera arrêtée et une
nouvelle particule sera lancée.
Condition sur l’axe de symétr ie
Lorsque la particule atteint l'axe de symétrie, on note la position de l‟impact puis on tire une
autre particule dont la vitesse sera l'opposée de la vitesse de la particule juste avant l'impact.
Condition sur les bords du jet
Les conditions aux limites sur les parois sont les mêmes que celle de l‟axe de symétrie.
Exp. (1994)x/d = 0.5
Sim. x/d = 0.33
Sim. x/d = 1
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Dispersion du spray turbulent
45
7. Résultats et discussion
Les paramètres utilisés dans les simulations numériques sont les mêmes que ceux utilisés
dans le travail expérimental de Prevost (1994). Ils sont résumés dans le tableau 1-7. Unereprésentation schématique de cette expérience est donnée sur la figure 1-14, elle consiste à
injecter des particules de verre dans un jet rond turbulent dirigé vers le bas et débouchant dans
l‟air ambiant. Les mesures des vitesses simultanées de la phase continue et la phase dispersée
ont été effectuées avec une technique Laser à Phase Doppler (PDA - Phase Doppler
Anémométrie). Une des originalités de la présente expérience réside dans l‟analyse du
comportement de particules polydispersées à travers quatre classes de taille (10 – 15, 20 – 25,
30 – 35 et 40 – 45 µm), cependant nous avons choisi la classe 40 – 45 µm pour tester les
différents modèles stochastiques de dispersion.
U f C 0 d / 2 D p Ø f p Re Qv f Qv p
m.s - m µm kg.m- kg.m- l.s - l.s -
24.85 0.005 40 - 45 0.08 1.205 2460 13100 1.492 12 10-2
Tableau 1-7 : Configuration expérimentale
Figure 1-14 : Configuration expérimentale. Figure 1-15 : Vecteur vitesse et contour de vitessemoyenne longitudinale de la phase continue ( MTS ).
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Dispersion du spray turbulent
46
Le diamètre du tube, utilisé dans cette expérience, est de 10 mm. Sa longueur est de
700 mm afin d‟assurer un écoulement établi de la phase gazeuse à l‟éjection. Le débit
volumique de l‟écoulement gazeux à l‟injection est Qv f = 1.492 l.s -1, ce qui correspond à une
vitesse moyenne, dans la section, de l‟ordre de 20m.s-1 (≈ 0.8 U fc0). Le taux de chargement
des particules Ø ou le rapport du débit massique des particules et du débit massique d‟air peut
être considéré comme constant durant l‟expérience, il est fixé à 0.08 ou 8%.
Le rapport des débits volumiques est 3.9 x 10-2 % ; ce rapport est très inférieur à 3 %,
rapport au-delà duquel des interactions entre particules peuvent survenir (Hardalupas et al.,
1989). Nous pouvons donc considéré l‟écoulement comme dilué.
La figure 1-15 représente les vecteurs vitesses ainsi que les iso-vitesses axiales dans le cas
de notre configuration, en appliquant le modèle MTS dans le but d'avoir une vue réaliste surl'écoulement.
7.1 Phase continue
La figure 1-16 présente l‟évolution axiale de la vitesse longitudinale de l‟écoulement
porteur. Elle représente l‟une des caractéristiques les plus importantes dans l‟étude des jets,
puisque la décroissance de cette quantité est la conséquence de la variation de tous les paramètres du jet. La loi de décroissance axiale de la vitesse s‟écrit sous la forme suivante :
Bd
X A
U
U
fc
fc0 (1-95)
Où A représente la pente de cette droite et B représente l'origine virtuelle ou fictive.
Tableau 1-8: Comparaison des caractéristiques de la décroissance de la vitesse axiale.
Les comparaisons entre les valeurs de A et de B présentent un bon moyen de sélection du
meilleur modèle de turbulence.
k -ε RNG k -ε MTS k -ω (88) k -ω (98)Exp.
(1994)
Chassaing
(1979)
Ferrand et al.
(2003)
A 0.189 0.35 0.235 0.46 0.187 0.228 0.193 0.205
B 1.0 5.5 3.8 8.0 5.17 4.0 3.0 2.0
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Dispersion du spray turbulent
47
0 10 20 30 40 50
X / d
0
4
8
12
U
f 0
/
U
f c
Figure 1 - 16 : Profils axiaux de la vitesse
moyenne longitudinale.
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.40
0.80
1.20
U
f
/
U
f c
Figure 1-17-a : Evolution radiale de la vitesse
longitudinale moyenne à x/d =10
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.40
0.80
1.20
U
f
/
U
f c
Figure 1-17-b : Evolution radiale de la vitesse
longitudinale moyenne à x/d =20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.40
0.80
1.20
U
f
/
U
f c
Figure 1-17-c : Evolution radiale de la vitesse
longitudinale moyenne à x/d =30
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
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Dispersion du spray turbulent
48
La valeur de B (rapportée dans le tableau 1-8) présente un éparpillement considérable.
Cette variation n‟est pas inattendue parce que la position de l'origine virtuelle est sensible à la
variation du nombre de Reynolds, aux profils de vitesse et d‟intensité à la sortie du jet et au
rapport de densité du fluide injecté au fluide ambiant.
Ainsi, les valeurs calculées ( A et B) à l‟aide du modèle k -ω (88) surestiment
significativement les mesures expérimentales. La constante A obtenue à l‟aide des modèles
k -ε et k -ω (98) sont en accord avec les mesures de Chassaing (1979) ; alors que le modèle
MTS fournit les meilleures prédictions de A et de B.
Il s'est avéré que le modèle RNG k -ε prévoit mal les profils de vitesse dans un jet plan ou
axisymétrique, cela est dû à sa surestimation du taux de propagation (spreading rate) de
l‟écoulement (Wilcox, 1998).
Les profils radiaux de la vitesse moyenne longitudinale rendue sans dimension par la
vitesse moyenne sur l‟axe, sont donnés sur les figures 1 -17-a, 1-17-b et 1-17-c pour trois
sections différentes. Pour la première section, à x/d =10, on remarque que l‟accord calcul-
expérience est satisfaisant, seulement pour les deux modèles MTS et k -ε et cela jusqu'au
Y / X =0.1, sachant que les résultats des deux modèles sont presque identiques. Après, le calcul
surestime les valeurs expérimentales. On note aussi que les résultats obtenus avec les modèles
k -ω (88) et k -ω (98) sous-estiment les valeurs expérimentales, alors ceux obtenus par lemodèle RNG k -ε les surestiment.
Pour la deuxième et la troisième section ( x/d =20 et x/d =30), on remarque que seuls les
modèles MTS et k -ε prédisent raisonnablement l'évolution radiale de la vitesse longitudinale
près de l'axe de symétrie, tandis qu'ils prévoient des profils légèrement supérieur aux résultats
expérimentaux sur les bords du jet. Cette différence est due au fait que l‟écoulement est par
intermittence turbulent et laminaire.
La défaillance du modèle k -ω (88) en comparaison avec les autres modèles, pourrait être en
partie attribuée à la négligence du terme de diffusion de croisement (cross diffusion term)
j j
k x x
k
3
1
parce que son inclusion conduit à l‟amélioration des performances du modèle de turbulence
pour la prédiction d‟un jet libre. Son premier rôle sera d'augmenter ω et par conséquent,
réduire l'énergie cinétique k en accroissant le terme source de la dissipation.
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Dispersion du spray turbulent
49
0 10 20 30 40 50
X / d
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
U ' f
/
U
f c
Figure 1-18-a: Variation axiale de la vitesse
fluctuante longitudinale
0 10 20 30 40 50X / d
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
V ' f
/
U
f c
Figure 1-18-b: Variation axiale de la vitesse
fluctuante transversale.
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.10
0.20
0.30
U ' f /
U
f c
Figure 1-19-a: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante longitudinale à x/d=10
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
V ' f
/
U
f c
Figure 1-19-b: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante transversale à x/d=10
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
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Dispersion du spray turbulent
50
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.10
0.20
0.30
U ' f
/
U
f c
Figure 1-20-a: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante longitudinale à x/d=20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.10
0.20
0.30
V ' f
/
U
f c
Figure 1-20-b: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante transversale à x/d=20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
U ' f
/
U
f c
Figure 1-21-a: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante longitudinale à x/d=30
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
V ' f
/
U
f c
Figure 1-21-b: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante transversale à x/d=30
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
Exp. (1994)
k -ε
MTS
RNG
k -ω 88
k -ω 98
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Dispersion du spray turbulent
51
Les modèles k -ε, RNG k -ε et MTS possèdent le terme de diffusion de croisement dans leurs
équations de dissipation ε. Le modèle k -ω (98) utilise le coefficient * f
pour combler l'impact
du terme de diffusion de croisement dans l'équation de k . L‟action fournie par * f
n'émule pas
complètement l'action du terme de diffusion décrite dans l'équation de ε, puisque le modèle dek -ω (98) n'est pas aussi performant que le modèle k -ε.
Les évolutions axiales de l‟intensité de la turbulence longitudinale et transversale sont
représentées sur les figures 1-18-a et 1-18-b. Cette quantité croit rapidement à la sortie du jet
et tend asymptotiquement vers une limite, à cause de la décroissance de la vitesse moyenne
axiale. On remarque la même tendance du comportement des modèles de turbulence avec
ceux qui précèdent. Les modèles k -ε et MTS présentent toujours les meilleures prédictions,
alors que la surestimation du modèle k -ω (88) revient à la négligence du terme de diffusion de
croisement.
Les figures 1-19-a et 1-19- b présentent l‟évolution radiales respectivement des fluctuations
de vitesses (RMS) longitudinales et transversales normalisées par la vitesse sur l‟axe pour la
section x/d = 10. Les résultats du calcul des fluctuations de vitesse (RMS) longitudinales et
transversales rendus sans dimension par la vitesse sur l'axe pour les sections x/d =20 et x/d =30
sont également portés sur les figures 1-20-a, 1-20-b, 1-21-a, 1-21-b. D'après les figures 19, 20
et 21, on constate que les deux modèles MTS et k -ε prouvent leurs capacités à bien prédire
l'évolution radiale des fluctuations de vitesse. Néanmoins, les prédictions du modèle MTS
sont meilleures dans la région de l‟axe, mais celles de k -ε sont meilleures sur les bords du jet.
En résumé, les comparaisons de nos calculs avec les mesures expérimentales de Prevost
(1994) ont montré que les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les
évolutions radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels du jet sont mieux prédites avec
les modèles MTS et k -ε. Cependant, le modèle MTS s'avère meilleur que le modèle k -ε pour la
prédiction des propriétés dynamiques moyennes de l'écoulement dans la région de l‟axe de
symétrie, alors que le modèle k -ε l‟emporte dans la région du bord du jet.
7.2 Phase dispersée
Les vitesses moyennes et fluctuantes des particules sont obtenues en utilisant un procédé
statistique de moyenne sur toutes les trajectoires de particules qui traversent le volume de
contrôle en question.
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Dispersion du spray turbulent
52
0 10 20 30 40 50
X / d
0
2
4
6
8
U
p 0
/
U
p c
Figure 1 - 22: Profils axiaux de la vitesse
moyenne des particules.
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.0
0.4
0.8
1.2
U p
/
U
f c
Figure 1-23-a: Profils radiaux de la vitesse
moyenne des particules à x/d=10
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
U p
/
U
f c
Figure 1-23-b: Profils radiaux de la vitesse
moyenne des particules à x/d=20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
U p
/
U
f c
Figure 1-23-c: Profils radiaux de la vitesse
moyenne des particules à x/d=30
Exp. (1994)
TCM + k -ε
TCM + MTS
TCM + k -ω 88
EIM + k -ε
EIM + MTS
EIM + k -ω 88
Exp. (1994)
TCM + k -ε
TCM + MTS
TCM + k -ω 88
EIM + k -ε
EIM + MTS
EIM + k -ω 88
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Dispersion du spray turbulent
53
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
U ' p
/
U
p c
Figure 1-24-a: Profils radiaux de la vitesse
longitudinale fluctuante des particules à x/d=10
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.0
0.1
0.2
0.3
U ' p
/
U
p c
Figure 1-24-b: Profils radiaux de la vitesse
longitudinale fluctuante des particules à x/d=20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.0
0.1
0.2
0.3
U ' p
/
U
p c
Figure 1-24-c: Profils radiaux de la vitesse
longitudinale fluctuante des particules à x/d=30
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Y / X
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
V ' p
/
U
p c
Figure 1-25-a: Profils radiaux de la vitesse
fluctuante des particules à x/d=10
Exp. (1994)
TCM + k -ε
TCM + MTS
TCM + k -ω 88
EIM + k -ε
EIM + MTSEIM + k -ω 88
Exp. (1994)
TCM + k -ε
TCM + MTS
TCM + k -ω 88
EIM + k -ε
EIM + MTS
EIM + k -ω 88
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Dispersion du spray turbulent
54
Ainsi, une prédiction précise du champ turbulent est préalable pour une meilleure
prédiction des paramètres dynamiques de la phase dispersée. C'est pourquoi les résultats des
modèles MTS et k -ε sont retenus, puisqu'ils sont les mieux conformes aux données
expérimentales monophasiques. En plus, les résultats du modèle k -ω (88) ont été également
considérés, afin de mettre au point l'influence des résultats indésirables de l'écoulement
porteur sur les prédictions de la phase dispersée.
Le profil de l‟évolution axiale de la vitesse moyenne de la phase dispersée est représenté
sur la figure 1-22. On remarque que le Modèle de Corrélation de Temps et le Modèle
d'Interaction de Tourbillon donnent des résultats presque identiques. Un léger avantage pour
EIM est signalé. D'autant plus que les prédictions, utilisant le modèle MTS pour l'écoulement
porteur, fournissent les meilleurs résultats, comme dans le cas du jet monophasique. Cetteremarque peut être déduite du tableau 1-9.
Tableau 1-9 : Comparaison des caractéristiques de la décroissance de la vitesse axiale
des particules pour différentes combinaisons de modèles de turbulence et de dispersion .
x/d 10
U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c
20
U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c
30
U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c
Hardalupas et al. (1989) Y / X = 0
Y / X = 0.1
0.16 0.04
0.16 0.06
0.25 0.07
0.20 0.07
0.265 0.13
0.245 0.15
Prevost (1994) Y / X = 0
Y / X = 0.1
0.145 0.03
0.21 0.04
0.32 0.06
0.20 0.07
0.31 0.10
0.22 0.12
Simulation Y / X = 0
TCM + MTS Y / X = 0.1
0.083 0.024
0.18 0.025
0.127 0.032
0.173 0.047
0.13 0.05
0.147 0.09
Simulation Y / X = 0
EIM + MTS Y / X = 0.1
0.04 0.014
0.09 0.015
0.082 0.018
0.106 0.029
0.125 0.044
0.093 0.07
Tableau 1-10: Comparaison des caractéristiques fluctuantes des particules.
TCM+
k -ε
TCM+
MTS
TCM+
k -ω (88)
EIM+
k -ε
EIM+
MTS
EIM+
k -ω (88)
Exp.(1994)
A 0.125 0.15 0.31 0.142 0.177 0.32 0.19
B 12 14 18 15 17 18 12
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Dispersion du spray turbulent
55
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
V ' p
/
U
p c
Figure 1-25-b: Profils radiaux de la vitesse
transversale fluctuante des particules à x/d=20
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
V ' p
/
U
p c
Figure 1-25-c: Profils radiaux de la vitesse
transversale fluctuante des particules à x/d=30
0 10 20 30 40 50
X / d
0
2
4
6
8
10
U
f 0
/
U
f c
Figure 1-26-a : Profils axiaux de la vitesse
moyenne de l'écoulement avec et sans particules.
0 10 20 30 40 50
X / d
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
U ' f
/
U
f c
Figure 1-26-b : Profils axiaux de la vitesse
fluctuante de l'écoulement avec et sans particules.
Exp. (1994)
TCM + k -ε
TCM + MTS
TCM + k -ω 88
EIM + k -ε
EIM + MTS
EIM + k -ω 88
Exp. (1994)Monophasique
Exp. (1994)Diphasique
Sim.Monophasique
Sim.Diphasique
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Dispersion du spray turbulent
56
Les figures 1-23-a, 1-23-b et 1-23-c, présentent respectivement les évolutions radiales des
vitesses longitudinale des particules pour les sections x/d=10, x/d=20 et x/d=30. Les
prédictions de toutes les combinaisons des modèles sont presque identiques pour la première
section, comme pour le cas de l'écoulement porteur. Cependant, pour les deux autres sections,
les prédictions du EIM sont plus proches des résultats expérimentaux que les prédictions du
TCM sur les bords du jet.
Les profils adimensionnels de la vitesse fluctuante longitudinale des particules, normalisée
par la vitesse moyenne des particules sur l'axe, sont représentés sur les figures 1-24-a, 1-24-b
et 1-24-c, pour trois sections différentes, 10d , 20d et 30d . Les figures 1-25-a, 1-25-b et 1-25-c,
présentent respectivement les évolutions radiales des vitesses fluctuantes transversales des
particules pour les sections x/d=10, x/d=20 et x/d=30.D'après les figures 24 et 25, on remarque que les deux modèles de dispersions sous-
estiment largement les valeurs expérimentales. Cependant le Modèle de Corrélation de Temps
fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le Modèle d'Interaction de Tourbillon.
Cette remarque peut être déduite du tableau 1-10 où on compare les résultats de nos
simulations avec les valeurs expérimentales de Prevost (1994) et celles de Hardalupas et al.
(1989).
La sous-estimation des résultats des deux modèles de dispersion peut être attribuée auxconditions initiales (Berlemont et al., 1990), au modèle de turbulence de premier ordre
(Sommerfeld and Qui, 1993), ou bien aux résultats expérimentaux (Berlemont et al., 1990;
Chen, 2000). Cependant, dans nos simulations, bien qu‟on ait utilisé des modèles de premier
ordre, seuls les vitesses fluctuantes des particules sous-estiment les valeurs expérimentales,
alors que les vitesses fluctuantes de l‟écoulement porteur présentent une bonne satisfaction
avec l‟expérience (figures 1-19, 1-20, 1-21). Concernant les conditions initiales, elles sont très
bien définies dans l‟expérience, vérifiées et approuvées dans nos simulations. Par conséquent,ces sous-estimations sont attribuées non seulement au modèle de turbulence de premier ordre,
aux conditions initiales, ou aux mesures expérimentales, mais aussi aux modèles stochastiques
de dispersion (Boughattas et al. 2010). Déjà, lors des expériences, on remarque que la
concentration des particules dans la région de l‟axe de symétrie est très grande, et par
conséquent les particules acquièrent une vitesse transversale supplémentaire. Pour contourner
ce problème, Kohnen et Sommerfeld (1998) utilisent la correction de Drift ou de Dérive, qui
n‟est pas prise en considération dans nos simulations, peut être qu‟elle peut corriger cette sousestimation !
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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Dispersion du spray turbulent
57
Le terme de correction de Drift est additionné aux vitesses fluctuantes du fluide „vues‟ par
les particules discrètes. Il est défini par :
y
C v L Drift Drift
2 (1-96)
Où C Drift est égale à 0.25 et ζ 2 représente la variance de vitesse fluctuante ( ' v' v ,' u' u ).
7.3 Couplage entre les deux phases
Comme déjà signalé, notre configuration est classée comme un écoulement dilué. Par
conséquent, la modulation de la turbulence est négligée, et seul l‟échange de la quantité de
mouvement moyenne est pris en considération.
Le profil axial de la vitesse longitudinale de l'écoulement turbulent est présenté sur la
figure 1-26-a, avec et sans particules, en utilisant la combinaison MTS+TCM. Dans la figure
1-26-b, le profil axial de l'intensité de turbulence longitudinale de l'écoulement porteur est
tracé avec et sans particules. On note que les résultats des simulations présentent une
satisfaction acceptable, et sont conformes aux résultats expérimentaux de Prevost (1994) pour
le cas de la décroissance de la vitesse moyenne.À noter, qu‟à partir des simulations qu‟on a réalisées, on a pu remarquer que le modèle
standard et le modèle consistant de la modulation de la turbulence présentent des résultats
identiques pour la prédiction du terme source de l‟énergie cinétique turbulente Spk , cette
constatation a été aussi signalée dans les travaux de Chrigui (2005). Cela est dû bien entendu,
aux diamètres des particules qui sont relativement petits ( 60 µm).
Enfin, la figure 1-27 montre le comportement général des particules et leur dispersion dans
l‟écoulement porteur turbulent. On remarque que le suivi des particules est réalisé en 3D,
mais on peut tracer des résultats en 2D. À signaler que la dispersion dans la 3 eme direction est
due aux corrélations doubles ' v' u .
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Dispersion du spray turbulent
58
Figure 1-27 : Dispersion des particules dans la phase porteuse turbulente
Conclusion
Comme déjà indiqué, l'objectif de cette première partie est d'évaluer les performances de
cinq modèles de turbulence de premier ordre et de deux modèles de dispersion stochastique,
ainsi que la considération de leurs interactions. Les résultats numériques trouvés ont abouti
aux conclusions suivantes:
Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les évolutions
radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels d‟un jet d‟air incompressible
sont mieux prédites avec les modèles MTS et k -ε avec la correction de Rodi.
Cependant le modèle MTS s'avère plus précis pour la prédiction des paramètres
moyens sur l‟axe du jet, alors que celles de k -ε sont meilleures sur les bords du jet.
0
0.2
0.4
0.6
X ( m )
0
0.005
0.01
Z ( m ) 0
0.02
0.04
0.06
0.08
Y ( m )
X
YZ
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Dispersion du spray turbulent
59
le modèle k -ω (88) prévoit mal le champ dynamique du jet incompressible ; et même
la correction apportée qui se traduit par le modèle k -ω (98) ne corrige pas
complètement cette insatisfaction.
Les modèles TCM et EIM prédisent les caractéristiques moyennes des paramètresvectoriels des particules, de façon presque identique dans la région de l'axe de
symétrie du jet, alors que sur les bords du jet, le modèle d'interaction de tourbillons
fournit les meilleures prédictions.
Pour ce qui concerne les vitesses fluctuantes des particules, les deux modèles sous-
estiment considérablement les résultats expérimentaux. Cependant, le modèle TCM
fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le modèle EIM.
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65
Deuxième partie
Combustion turbulente
en phase gazeuse
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Combustion turbulente en phase gazeuse
66
Combustion turbulente en phase gazeuse
Introduction ..................................................................................................................................... 67
1. Notion de cinétique chimique ................................................................................................ 68
2. Les différents types de flammes ............................................................................................ 70
2.1 Flamme de prémélange .................................................................................................. 71
2.1.1 Flamme de prémélange laminaire ..................................................................... 71
2.1.2 Flamme de prémélange turbulente .................................................................... 72
2.2 Flamme de diffusion....................................................................................................... 75
2.2.1 Flamme de diffusion laminaire .......................................................................... 75
2.2.2 Flamme de diffusion turbulente ......................................................................... 76
2.3 Flamme partiellement prémélangée ............................................................................. 80
3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente ........................................................... 81
3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie ........................................................... 82
3.2 Traitement statistique .................................................................................................... 86
3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence) .......................................... 88
3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire) ................................. 89
3.4.1 Modèle à échelles égales ...................................................................................... 89
3.4.2 Modèle à échelles non-égales .............................................................................. 90
3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire .............................. 91
3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion) ............................ 92
3.5.1 Modèle eddy dissipation ..................................................................................... 92
3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium ........................... 93
4. Méthode numérique ............................................................................................................... 95
5. Résultats et discussion ............................................................................................................ 96
5.1 Écoulement turbulent non réactif ................................................................................. 97
5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire ......................................................... 106
5.3 Écoulement turbulent réactif ...................................................................................... 108
Conclusion ..................................................................................................................................... 118
Références ...................................................................................................................................... 119
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Combustion turbulente en phase gazeuse
67
Introduction
La plus part des foyers de combustion (fours industriels, turbines à gaz...) doivent avoir
recours à des systèmes où le combustible et le comburant sont injectés séparément. La
combustion non-prémélangée apparaît en effet plus simple à mettre en œuvre et plus sûre, elle
offre une sécurité accrue en comparaison aux flammes prémélangées. En dépit de ceci, la
simulation des flammes de diffusion est d'un grand intérêt pratique, dans le but d'améliorer les
performances d‟un tel système.
La modélisation de ce type d'écoulement a fait l'objet de diverses publications au cours des
dernières décennies. Malgré le progrès réalisé, beaucoup de questions restent encore à
discuter vu la complexité et la diversification du problème. C‟est une tâche très difficile et
reste incomplète jusqu'à nos jours.
Le modèle k -ε a focalisé l'attention de la plupart des auteurs qui ont travaillé sur le sujet de
la modélisation de l‟écoulement porteur . Concernant le taux de dissipation scalaire, quireprésente la diffusion turbulente de la fluctuation d'un scalaire, et qui est considéré comme le
paramètre le plus important pour la description des flammes de diffusions ; le modèle
standard à échelles égales a été abondamment utilisé. Peu nombreux sont les travaux qui
utilisent un modèle autre que ce dernier. En ce qui concerne la modélisation de la combustion
non-prémélangée, outre le modèle standard de dissipation des tourbillons, ou encore, Eddy
Dissipation Model, plusieurs autres modèles ont été développés (modèle PDF à équation de
transport ; modèle Probabiliste EUlérien Lagrangien ; modèle Conditional Moment
Closure …). Cependant, le modèle de PDF présumée, est le seul modèle de combustion
turbulente qui possède un couplage parfait entre la chimie et le transport moléculaire dans le
cas d‟un grand nombre de Damköhler, à côté de son coût numérique très faible. C‟est pour ces
raisons là qu'il a été adopté dans la présente étude.
Par conséquent, l'objectif de cette partie est de comparer les performances de plusieurs
modèles mathématiques (modèles de turbulence, modèles de dissipation scalaire, modèles de
combustion et méthodes de tabulation chimique) afin d'investir et discuter leurs habilités dansla prédiction d'un jet de propane non réactif, d'une flamme de diffusion turbulente de méthane
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Combustion turbulente en phase gazeuse
68
et d'une flamme de diffusion laminaire de méthane à contre courant. Cependant, une
caractérisation de la combustion apparaît comme étape indispensable à la compréhension des
différentes études menées au cours de ce travail. Par conséquent, on commence par apporter
un compte-rendu non-exhaustif sur les connaissances théoriques générales concernant les
flammes, ainsi que quelques brefs rappels concernant certaines notions utiles pour une
meilleure compréhension de cette étude. Pour plus de détails, on pourra se référer ou se
rapporter aux ouvrages suivants : Borghi & Champion (2000) ; Peters (2000).
1. Notion de cinétique chimique
Un processus chimique de combustion est en fait une succession de coupures et decréations de liaisons entre les molécules. Chaque coupure et/ou création de liaison est une
réaction élémentaire. L‟ensemble des réactions élémentaires constitue le mécanisme cinétique
du processus réactionnel. L‟état final du processus réactionnel correspond à l‟équilibre
chimique, la composition du mélange est alors définie par les lois de la thermodynamique.
Suivant les conditions de température et de pression de l‟état final, des espèces chimiques
apparaissent ou disparaissent. Certaines espèces produites, même en très faible proportion, ont
une grande importance : c‟est le cas de certaines espèces polluantes (oxyde d‟azote,monoxyde de carbone ...).
Les étapes élémentaires sont caractérisées par leur taux de réaction i qui permet de
calculer l‟effet de la réaction sur chaque espèce. k traduit la variation de l‟espèce k au cours
du temps. Le taux de réaction élémentaire est égal au produit d‟une constante de vitesse K ou
appelée aussi constante spécifique de réaction, par les concentrations des espèces réactives,
élevées chacune à une puissance qui correspond à leur coefficient stœchiométrique. La
constante de vitesse dépend de la température et elle est le plus souvent exprimée par une loi
d‟Arrhénius :
T
T exp A
T R
E exp A K aa (2.1)
Où A est un facteur pré-exponentielle, T a la température d'activation, E a l'énergie d'activation
et R la constante des gaz parfaits. L‟énergie d‟activation représente la quantité d‟énergie à
apporter au système considéré pour que les espèces puissent réagir de façon significative.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
69
Le processus réactionnel d‟une combustion peut faire intervenir des centaines d‟espèces et
des milliers de réactions élémentaires, pour lesquelles il faut connaître les constantes des lois
cinétiques dont les valeurs sont déterminées expérimentalement. Des logiciels comme
Chemkin (2005) ou Cantera (2005) utilisent des tabulations très détaillées de ces constantes.
Les milliers de réactions élémentaires qui interviennent dans le processus réactionnel
n‟agissent pas toutes à la même vitesse. Certaines ont des taux beaucoup plus forts que
d‟autres. Cette disparité de temps caractéristique permet de bâtir des schémas réactionnels
simplifiés. Ces schémas réduits permettent de diminuer le temps de calcul et sont tout à fait
pertinents lorsqu‟on ne s‟intéresse qu‟à un petit nombre d‟espèces. La façon la plus simple
d‟écrire un processus r éactionnel est d‟exprimer le passage d‟un état initial à un état final,
sous la forme d‟une r éaction globale. Soit, par exemple, pour la combustion d‟un
hydrocarbure dans l‟air:
QO H COO F O H COO F 222 222
Où ’ est un coefficient stœchiométrique et Q le dégagement de chaleur.
Le taux de disparition du carburant (taux de réaction chimique de la combustion) peut
s‟exprimer en utilisant une loi d‟Arrhénius (empirique):
T
T expY Y T AY Y T k ab
O
a
F
bab
O
a
F
ba
k (2.2)
Fuel A E a a b
CH4 1.3 x 108 48.4 - 0.3 1.3
C2H2 6.5 x 1012 30.0 0.5 1.25
C2H4 2.0 x 1012 30.0 0.1 1.65
C2H6 1.1 x 1012 30.0 0.1 1.65
C3H8 8.6 x 1011 30.0 0.1 1.65
Tableau 2-1 : Lois globales pour la combustion de divers hydrocarbures avec l'air
Le tableau 2-1 donne les valeurs de A, E a, a et b, qui sont conseillées par Westbrook et
Dryer (1981) pour différents hydrocarbures. L‟utilisation d‟une réaction globale ne permet
évidemment pas de représenter les processus réels de cinétique chimique.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
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2. Les différents types de flammes
Comme déjà signalé, la combustion est une réaction d‟oxydoréduction irr éversible et
fortement exothermique. Le réducteur est appelé combustible et l‟oxydant est appelé
comburant. Elle se manifeste sous forme de zones de réaction séparant le combustible et le
comburant. Ces zones réactionnelles ou flammes peuvent être de deux types comme la montre
la figure 2-1.
Figure 2-1 : Flamme prémélangée (a) et flamme de diffusion (b), (Veynante & Vervisch; 2002).
Quand la combustion est contrôlée par la diffusion entre réactifs, c'est-à-dire, quand la
combustion se produit en même temps que le mélange du combustible et du comburant, on a
une flamme de diffusion. Quand le comburant et le combustible sont déjà intimement
mélangés lorsque la combustion a lieu, on a une flamme de prémélange. Un troisième régime,
peut être considéré, comme mélange des deux régimes cités ci-dessous, il est appelé flamme
partiellement mélangée. Le tableau 2-2 et la figure 2-2 montre les différents régimes de
combustion ainsi que leurs applications.
Flamme de prémélange Flamme non-prémélangée
TurbulentMoteur à allumage commandé
ou Moteur à essence
Moteur diesel - Moteur de fusée
Four industriel
LaminaireBec bunsen
Cuisinière domestique
Bougie
Briquet
Tableau 2-2 : Différents régimes de combustion et leurs applications (Veynante & Vervisch; 2002)
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Figure 2-2: Différentes type de flammes (Bockhorn et al; 2009)
2.1 Flamme de prémélange
La flamme de prémélange peut être rencontrée dans plusieurs applications technologiques
telles que les moteurs à allumage commandé. Elle est caractérisée par un front de flamme, qui
se propage dans un prémélange de carburant et d‟oxydant préalablement réalisé, et sépare les
gaz frais et brûlés. Deux zones distinctes composent le front de flamme: une zone de
préchauffage, où les effets diffusifs sont prépondérants aux effets chimiques et la zone de
réaction, où les gaz chauffés à travers la zone précédente réagissent chimiquement et
fournissent l'essentiel du dégagement de chaleur. On note qu‟il est nécessaire d‟initier la
combustion par l‟apport d‟une source de chaleur comme l‟étincelle d‟une bougie.
2.1.1 Flamme de prémélange laminaire
Lorsqu‟on allume un mélange gazeux où le combustible et l‟oxydant sont initialement
mélangés à l‟état moléculaire et au repos, un front de flammes, séparant les gaz frais des gaz
brûlés, se propage dans tout l‟espace à une certaine vitesse, laissant derrière lui les produits de
combustion. Si les gaz réactifs sont initialement placés dans un tube et qu‟on allume le
mélange à une extrémité du tube, un certain temps apr ès l‟inflammation, une flamme plane se
propage à vitesse constante perpendiculairement à l‟axe du tube comme le montrela figure 2-3.
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Figure 2-3 : Structure et propagation du front de flamme de prémélange laminaire
(Veynante & Vervisch; 2002)
Deux principaux paramètres caractérisent la flamme de prémélange laminaire : sa vitesse
(S L) et son épaisseur (δ L). La vitesse de propagation représente la rapidité du front de flamme
à se déplacer et consommer le mélange de gaz frais. L'épaisseur correspond à la distance pour
laquelle les gaz frais sont amenés vers leur température d‟inflammation représente l‟épaisseur
de la zone de dégagement de chaleur.
2.1.2 Flamme de prémélange turbulente
La structure du front de flamme peut être modifiée par la turbulence de l‟écoulement
indépendamment des phénomènes d‟instabilité, et engendre ou donne naissance à une flamme
plissée. Ceci provoque des variations dans la vitesse instantanée de déplacement du front de
flamme et par conséquent accroître la vitesse de libération de l'énergie, et provoque une
augmentation de la surface de la flamme. La flamme plissée est constituée de flammelettes de
type laminaire, d‟épaisseur constant δ L (Figure 2-4), plissées et étirées par la turbulence.
L‟épaisseur turbulente δT est l‟espace qu‟occu pe en moyenne ces flammelettes plissées.Elle est considérée comme l‟épaisseur moyenne de la flamme turbulente.
É aisseur de réaction r
Mélangefrais
F+O
Gaz brûlés
P
Zone de préchauffage
SL
F + O P
Zone de réaction (flamme)
Épaisseur thermique L
≈ 10 r
Température
Fuel
Ox.
Taux de réaction
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73
Plusieurs phénomènes régissent les flammes turbulentes de prémélange. Ces phénomènes
sont traduits sous forme d‟équations bilans. Ce sont les équations de conservation de la masse,
des espèces, de la quantité de mouvement et de l‟énergie. Cependant, le système d‟équations
ainsi obtenu n‟est pas fermé.
Figure 2-4 : Structure du front de flamme de prémélange turbulente (Veynante & Vervisch; 2002).
Beaucoup d‟auteurs ont donc recherché des modèles basés sur des approches physiques des
phénomènes comme le modèle eddy-break-up ou EBU (Mason & Spalding, 1973), le modèledes flammelettes ou modèle BML (Bray Moss Libby) (Bray & Moss, 1977, Libby & Bray,
1980, Bray et al., 1981, Bray et al., 1988, Bray, 1990), le modèle de densité de surface de
flamme (Pope, 1988 ; Candel & Poinsot, 1990 ; Trouvé & Poinsot, 1994 ; Vervisch et al.,
1995 ; Veynante et al., 1996), le modèle de fermeture conditionnelle du moment, ou en
anglais Conditional Moment Closure (CMC) (Swaminathan & Bilger, 2001a, 2001b), le
modèle basé sur la dissipation scalaire (Mantel & Borghi, 1994 ; O‟Young & Bilger, 1996 ;
O‟Young & Bilger, 1997) ou le modèle basé sur l‟enthalpie sensible et sur des équationsdifférentielles de second ordre couplées décrivant des concentrations d‟espèces (Abou-Ellail
et al., 2000).
Les régimes de combustion de prémélange sont présentés dans le diagramme de Borghi
(Figure 2-5). Il constitue le diagramme le plus souvent rencontré dans la littérature. On
distingue 3 grands types de flammes suivant la valeur de deux nombres caractéristiques de la
turbulence qui y règne ( u‟/S L ; Le/δ L) et trois nombres adimensionnels (nombre de Reynolds
turbulent ; nombre de Damkhöler ; nombre de Karlovitz) définis comme suit :
Zone deréaction
Gaz brûlésST Mélange
frais
δT
Flamme
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74
Le nombre de Reynolds turbulent, Ret , compare l‟intensité de l‟agitation
turbulente aux forces visqueuses.
et
Lu'Re (2.3)
Le nombre de Damkhöler, Da, compare le temps caractéristique de la turbulence
τ L avec celui de la réaction chimique τc.
L
Le
c
L S
u
L Da
' (2.4)
Le nombre de Karlovitz, Ka, compare le temps caractéristique des structures
turbulentes les plus rapides (tourbillons de Kolmogorov) η k avec celui de la
réaction chimique η c.2123
'
e
L
L K
c
LS
u Ka
(2.5)
Il est à noter que ces trois nombres sont reliés par la relation suivante :
22 Ka Da Ret (2.6)
Figure 2-5 : Diagramme de combustion prémélangée (Borghi & Champion, 2000)
Les trois familles sont :
Flammes plissées : la propagation laminaire de la flamme prédomine et l‟interaction
avec la turbulence reste faible.
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75
Flammes épaissies : les zones de préchauffage et de réaction sont perturbées par la
turbulence.
Entre les deux, les flammes que l‟on peut appeler plissées-épaissies, où des
extinctions locales sont possibles. Les structures turbulentes sont capables de
pénétrer la zone de préchauffage et de l‟épaissir.
2.2 Flamme de diffusion
Le carburant est à contre courant de l'oxydant et la flamme se positionne entre les deux.
Contrairement à la flamme de prémélange, c'est la diffusion du carburant et de l'oxydant qui
contrôle la combustion et par conséquent, la flamme de diffusion ne se propage pas et n'a pas
d'épaisseur caractéristique. La combustion non-prémélangée apparaît, en effet, plus simple à
mettre en œuvre et plus sûre. Elle est souvent décrite à l'aide d'un paramètre, appelé fraction
de mélange et noté Z . il s'agit d'une richesse normalisée, variant de 0 dans l'oxydant jusqu'à 1
dans le carburant.
2.2.1 Flamme de diffusion laminaire
La structure d‟une flamme de diffusion laminaire est schématisée sur la figure 2-6. La
fraction massique d‟oxydant est maximale dans l‟oxydant pur et diminue car l‟oxydant se
mélange aux produits de combustion. Il n‟y a plus d‟oxydant au niveau de la flamme, car la
réaction chimique l‟a intégralement consommé. L‟évolution est la même pour le combustible.
Les fractions massiques de l‟oxydant et du carburant sont des fonctions linéaires par
morceaux, en fonction de la fraction de mélange seulement. Cette analyse a été proposée parBurke et Schumann, 1928 comme le montre la figure 2-7.
Dans ce type de flamme, la zone de réaction est plus épaisse que celle d‟une flamme de
prémélange. Cependant, les flammes de diffusion comme les flammes de prémélange se
développent grâce au concours des phénomènes de réaction ainsi que des phénomènes de
diffusion de chaleur et de masse qui se produisent de part et d‟autre de la zone réactive.
Toutefois, les phénomènes de convection jouent un rôle plus important en amenant les réactifs
et en emportant les produits.
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Figure 2-6 : Structure d’une flamme de diffusion laminaire (Veynante & Vervisch; 2002).
Figure 2-7 : Structure d’une flamme de diffusion ‘Burke-Schumann’
2.2.2 Flamme de diffusion turbulente
Les flammes turbulentes non-prémélangées se rencontrent dans l‟industrie, le plus souvent
dans les brûleurs à gaz (un jet de gaz combustible est injecté au centre d‟un écoulement d‟air
de même direction, et, après allumage, la combustion se développe sous la forme d‟uneflamme semblable à celle d‟un briquet, mais turbulente). Ces flammes sont caractérisées par
FuelOx
Zone de réaction
Température
FuelOx.
Taux de réaction
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Combustion turbulente en phase gazeuse
77
trois grandeurs intéressantes en pratique, à savoir la longueur de la flamme (à partir du début
du brûleur), son domaine de stabilisation (en fonction des paramètres de réglage, vitesse des
gaz, richesse globale du mélange, …), et la quantité globale des différents produits qui
peuvent être libérés par la flamme, ou le niveau maximal de la température atteint au cœur de
celle ci. Dans ce type de flamme, la turbulence joue un rôle indispensable pour mélanger le
plus rapidement possible les gaz en présence. Toutefois, les réactions chimiques auront lieu à
l‟échelle moléculaire, par conséquent il est nécessaire que la diffusion moléculaire entre en
jeu. D‟où la nécessité d‟observer les grandeurs fluctuantes.
En ce qui concerne la modélisation de la combustion non-prémélangée, outre le modèle
standard Eddy Dissipation Model de Magnussen et Hjertagrer (1977), extensivement utilisé
dans les codes de calcul industriels vu sa simplicité, plusieurs autres modèles ont étédéveloppés. Parmi lesquels, on peut citer les plus utilisés, notamment, le modèle des
flamelettes de Peters (1984), le modèle PDF à équation de transport de Pope (1985), le
Modèle Intermittent Lagrangien (MIL) de Borghi et al (1986, 1988) et le modèle Conditional
Moment Closure (CMC) proposé indépendamment par Klimenko (1990) et Bilger (1993). Le
modèle des flamelettes suit l'approche de conservation de scalaire (conserved scalar approach)
et utilise une banque de données et une approche de PDF présumée.
Concernant la structure d‟une flamme de diffusion turbulente dans l‟hypothèse du régimeflamelette, elle est supposée constituée de plusieurs flammelettes dont l‟épaisseur est plus
petite que toutes les échelles de la turbulence. Ces flammelettes sont alternativement plissées,
étirées et comprimées par la turbulence comme le montre la figure 2-8.
Figure 2-8 : Présentation du front de flamme turbulent par une collection de flammelettes.
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Partant de cette idée, il est alors possible d‟étudier séparément ces zones de réactions
(les flammelttes) et de calculer leur structure interne, en prenant en compte tous les détails
d‟une chimie complexe, et ceci à travers les résultats obtenus dans une configuration
d‟écoulement à contre courant laminaire, figure 2-9.
Figure 2-9 : Schématique d'une flamme de diffusion à contre-courant laminaire.
Concernant les régimes de combustion non-prémélangée, il est difficile de les distinguer,
vu que la flamme de diffusion ne se propage pas, et par conséquent, n‟a aucune caractéristique
de vitesse. D‟autant plus que, la flamme de diffusion ne possède aucune échelle de longueur
fixe de référence, et l‟épaisseur de la flamme est caractérisée par la fraction de mélange locale
qui se développe instantanément entre l‟oxydant et le carburant. Cependant, on peut les
classer suivant le nombre de Damkhöler.
Pour Da 1, c'est-à-dire que la taille des tourbillons est plus petite que l‟épaisseur du front
de flamme. Ces petits tourbillons encouragent ou favorisent le processus de transport dans le
front de flamme et ils entraînent un intense mélange et une réaction soutenue. Ce régime peut
être appelé régime de distribution de la zone de réaction (Distributed reaction zone regime).
Pour Da 1, c'est-à-dire lorsque la combustion est plus rapide que le mélange, le régime
est désigné comme régime de Flamelette. Dans ce régime, la turbulence a un effet négligeable
sur le front de flamme. Ces deux régimes sont schématisés dans la figure 2-10.
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Figure 2-10 : Effets de la turbulence sur la zone de réaction.
Dans la littérature, plusieurs propositions du diagramme de combustion des flammes de
diffusion peuvent être trouvées (Libby et Williams, 1994 ; Cuenot et Poinsot, 1994 ; Peters,
2000 ; Borghi et Champion 2000), néanmoins, aucun compromis n‟a été établi et le sujet
présente un aspect controversable dans la communauté scientifique.
Dans la présente étude, le diagramme de Borghi est présenté dans la figure 2-11.
Figure 2-11 : Diagramme des flammes de diffusion turbulentes dans le plan ( Da, Ret )
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Combustion turbulente en phase gazeuse
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En dessous d'un certain nombre de Damkhöler Da, le mélange est plus rapide que la
chimie, de ce fait, les fluctuations de richesse et de température ont le temps de périr. Par
conséquent, il est impossible de rencontrer des structures de flammes laminaires. C'est
l‟unique cas où le taux de réaction moyen peut être calculé en utilisant les valeurs moyennes
des fractions massiques et de la température directement dans la loi chimique. Au contraire, si
le nombre de Damkhöler est très élevé, la réaction chimique est toujours en équilibre. En
dessous d'un nombre de Reynolds critique Ret *, les flammes laminaires sont plissées et étirées,
c'est le domaine où l'on applique les modèles de flammelettes. Au dessus de ce nombre
critique, la flamme se plisse tellement qu'il y aura des interactions entre les flammelettes.
Elles pourront se rejoindre et se recouper, ce qui devrait changer le taux de réaction local. Il
faut toutefois, tenir compte de toutes les échelles de la turbulence, quand le nombre de
Damkhöler diminue peu à peu, certaines échelles de temps de la turbulence entament
l‟interaction avec la flamme, et à l'éteindre localement par étirement. C'est le rôle de la droite
limite qui compare le temps chimique η c aux échelles de temps les plus petites de la
turbulence η K , celles de Kolmogorov qui sont les premières à interagir avec le front de flamme
laminaire.
Bien que cette classification paraisse très intéressante, son utilité n‟est pas très grande en
pratique pour deux raisons. D‟une part, les limites sont floues et les lois représentant les
propriétés des flammes ne sont pas bien connues. D‟autre part, il est très difficile de pouvoir
représenter un cas pratique comme un point dans ce plan.
2.3 Flamme partiellement prémélangée
La combustion partiellement prémélangée prend place lorsque le carburant et l‟oxydant
sont mélangés ensemble, volontairement ou involontairement, avant la réaction (Figure 2-12).
Ce type de flamme peut apparaître dans les zones de recirculation des brûleurs de diffusion.
Dans la pratique, ce type de flamme peut être utilisé comme une stratégie pour éviter les
inconvénients et maintenir les avantages des deux modes de combustion mentionnées ci-
dessus. Dans plusieurs fours, le carburant est partiellement prémelangé avec l‟air avant
d‟entrer dans la chambre de combustion. Pareillement, dans les turbines à gaz, on trouve
souvent un prévaporisateur qui permet de mélanger la vapeur du combustible avec l‟oxydant.
Cela permet de réduire jusqu'à 35 des émissions de NOx et jusqu'à 60 des émissions de
CO (Blum, 2005).
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Combustion turbulente en phase gazeuse
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Figure 2-12 : Flamme de diffusion liftée de type jet.
3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente
En mécanique des fluides, le mouvement d‟un écoulement est soumis aux équations bien
connues sous le nom de „Navier -Stokes‟. L‟équation de bilan de l‟énergie, qui est la forme du premier principe de la thermodynamique, est aussi nécessaire pour des écoulements où la
masse volumique peut varier, et à plus forte raison encore si des transferts de chaleur sont
susceptibles de se produire. La chimie impose en plus, de tenir compte des bilans de masses
des espèces présentes, qui peuvent non seulement être soumises à des réactions mais aussi à
des phénomènes de diffusion. Ces équations traduisent les bilans des différentes grandeurs
caractéristiques d'un gaz réactif . Ce sont les équations de l‟aérothermochimie. D'autant plus
que, la modélisation de la combustion non-prémélangée ou partiellement prémélangée dansdes milieux purement gazeux s‟effectue généralement grâce à un scalaire conservatif: la
fraction de mélange Z .
Nous exposons dans un premier temps le système d'équations de bilan instantanées des
scalaires évoluant dans un écoulement monophasique turbulent réactif (la partie dynamique à
été traitée dans la première partie). Nous aborderons ensuite leurs traitements statistiques ainsi
que la modélisation de leurs fluctuations. Une récapitulation des équations moyennées et
modélisées sera établie à la fin.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
82
3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie
Équation bilan des espèces :
k
j
k
j
j
k jk
x
J
x
Y u
t
Y
(2. 7)
Avec k = 1,2,3… N , N est le nombre des espèces, k représente le taux de production de
l‟espèce k par unité de volume. Y k est la fraction massique de l'espèce k définie par:
k k k k
k X W
W
m
mY
(2.8)
X k , W k et W représente respectivement la fraction molaire, la masse molaire de l'espèce k et la
masse molaire moyenne du mélange.
k j J désigne le flux de diffusion moléculaire de l‟espèce k . Dans la majorité des cas, l‟effet
Soret et la baro-diffusion sont négligeables. On obtient alors la loi de Fick:
j
k
k j
k k
k j
x
Y
Sc x
Y D J
(2.9)
Soit une nouvelle écriture de l‟équation de conservation des espèces :
k
j
k k
j
k
j
k
k j j
k jk
x
Y D
x x
Y
Sc x x
Y u
t
Y
(2.10)
Sck et Dk représentent respectivement le nombre de Schmidt de l‟espèce k et le coefficient de
diffusion moléculaire de l‟espèce k .
Équation de transport de l’énergie en terme d’enthalpie :
Le bilan énergétique peut être décrit en utilisant l'enthalpie massique h, qui est définie par:
N
k k k hY h
1
(2.11)
Sachant que l'enthalpie spécifique a l'espèce k ne dépend que de la température:
dT T pC hh k
T
T ref ,k k
ref
(2.12)
Où C pk est la chaleur spécifique de l'espèce k . Celle du mélange est donnée par:
N
k k k CpY Cp
1 (2.13)
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Combustion turbulente en phase gazeuse
83
h j J désigne le flux de diffusion d'enthalpie défini par :
N
k
k jk
j
h j J h
x
h
Cp J
1
(2.14)
Sachant que l‟effet Dufour est négligeable et que λ est un coefficient de conduction de lachaleur défini par :
Pr
pC (2.15)
Où Pr est le nombre de Prandtl du mélange.
Dans le cas d‟un constituant unique, les flux d‟espèces k j J dus à la diffusion moléculaire
sont nuls et on obtient la loi de Fourier :
j j
h
j x
T
x
h
Cp J
(2.16)
L'équation de l'enthalpie peut être écrite, en l‟absence de rayonnement, comme suit
(Peters, 2000) :
N
i
iii j
j
Y grad DCp
divhh grad Cp
divt
P hu
xh
t 1
(2.17)
Dans le but de simplifier la présente équation, on suppose que le nombre de Lewis est égal
à 1 ( D1 = Dk , cas pour la plupart des gaz, sauf l‟hydrogène qui fait l'exception), ainsi
que 0t
P
. On peut obtenir une écriture simplifiée de l‟équation de conservation de
l'enthalpie:
j j j j
j
j x
h D
x x
h
Pr xhu
xh
t 1
(2.18)
Sachant que D1 représente le coefficient de diffusion donné par :
Cp D
1 (2.19)
Équation de transport de la fraction de mélange :
La variable de la fraction de mélange notée Z a été trouvée particulièrement appropriée
pour étudier les problèmes des flammes de diffusion turbulent (Bilger 1980; Peters 2000).C'est un scalaire passif conservé (scalaire qui est ni détruit, ni crée par la réaction chimique).
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Combustion turbulente en phase gazeuse
84
Pour définir la variable de la fraction de mélange, écrivons tout d‟abord la réaction
élémentaire ou globale de la combustion d‟un hydrocarbure dans l‟air.
O H COO F O H COO F 222 222
Soit 22222424
xN m
nO H m
COn xN Om
n H C mn
Avec x = 79/21 = 3.76
Le diazote ou le N 2 ne prend pas part à la réaction de la combustion, c‟est une espèce inerte.
Soit encore, on peut écrire :
produitsde Kg oxydant ' d Kg Fuel de Kg 11
F et2
O sont les coefficients stœchiométriques du fuel et de l‟oxygène. représente le
rapport massique stœchiométrique oxygène/fuel. Il est défini par:
F F
OO
W
W
22 (2.20)
Avec W k , la masse molaire de l'espèce k .Le rapport d‟équivalence fuel/air est défini par :
2
1
2
1
22
22
,O
, F
,O F F
, F OO
Y
Y
Y W
Y W
(2.21)
Les indices (1) et (2) caractérisent respectivement ici le combustible ou le carburant et
l‟oxydant ou le comburant.
Sachant que :Y F,1 = 1 ; Fraction massique du fuel dans le combustible.
Y O2,2 = 0.232 ; Fraction massique de l‟oxygène dans l‟air .
L‟expression de Z est donnée par:
1
12
,OO F,1 F 22Y Y Y Y
Z (2.22)
2
2
,O F,1
,OO F
2
22
Y Y
Y Y Y
Z
(2.23)
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Combustion turbulente en phase gazeuse
85
Puisque le mélange stœchiométrique est défini lorsque le combustible et l‟oxydant s‟annulent
conjointement par consommation totale de l‟un et de l‟autre, cad :2O F Y Y
Donc
1
1
1
1
2
2
2
,O
F,1 ,O F,1
,O
st
2
2
2
Y Y Y Y
Y Z (2.24)
Le tableau 2-3 fournit la fraction de mélange stoechiométrique pour divers hydrocarbures.
Fuel Hydrogène Méthane Ethane Etylène Propane Acétylène Heptane
H2 CH4 C2H6 C2H4 C3H8 C2H2 C7H16
Z st 0.0284 0.0549 0.0586 0.0635 0.0601 0.0702 0.0621
Tableau 2-3 : Fraction de mélange stœchiométrique pour divers hydrocarbures
Sachant que, si Z < Z st , on a un mélange pauvre, et si Z > Z st , on a un mélange riche.
Le choix de ces conditions pour les indices (1) et (2) implique que Z = 0 dans l‟oxydant
pur et Z = 1 dans le combustible pur. Compte tenu de cette définition, la fraction de mélange Z
est égale à la fraction massique de combustible lorsque le mélange n‟a pas encore réagi,
c‟est-à-dire dans les gaz frais.
L'équation d‟évolution de la fraction de mélange Z s‟écrit:
j j
j
j x
Z D
x Z u
x Z
t 1
(2.25)
Équation d'état :
A ces équations bilan précédentes, nous rajoutons l'équation d'état des gaz parfaits qui s'écrit:
N
k k
k
W
Y T R
W
1T R P
1
(2.26)
Où R représente la constante des gaz parfaits ( R=8.314 J mol-1 K -1); et W désigne la masse
molaire moyenne.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
86
3.2 Traitement statistique
La résolution des équations de transports est prohibitive. Dés lors, l'approche statistique
parait naturelle et ce sont les valeurs moyennes et les écarts types qui permettent de définir
l'écoulement. Reynolds (1883) fut le premier à décomposer une variable aléatoire en une
moyenne et une fluctuation selon la relation:
' Avec 0' (2.27)
Pour les écoulements à masse volumique variable, et spécialement en combustion, on
utilise couramment une moyenne pondérée par la masse volumique (moyenne de Favre,
1965), qui permet de s'affranchir des corrélations avec la masse volumique.
Cette décomposition est définie par:
~ Avec
~
et 0
)~
( ~ (2.28)
Pour obtenir les équations d‟évolution des quantités moyennes, on applique l‟opérateur de
moyenne aux équations de transports des scalaires exactes (2.7), (2.18) et (2.25). On obtient :
Équation de transport de la fraction massique des espèces moyennées:
k
~
jk
j j
k
k j
k j
j
k
~uY
x x
Y ~
Sc xY ~
u~
xY ~
t
(2.29)
Équation de transport de l'enthalpie moyennée :
~
j
j j j
j
j
uh x x
h~
Pr xh~
u~
xh~
t
(2.30)
Équation de transport de la fraction de mélange moyennée :
~
j
j j j
j
j
u Z x x
Z ~
D x
Z ~
u~
x Z ~
t
(2.31)
Équation d'état moyennée :
L'application de l'opérateur moyenne à l'équation d'état des gaz donne:
k
k
1ik k W
1Y T Y
~T ~
R P
(2.32)
Cette équation est utilisée pour calculer la densité, alors que la pression est calculée par
l‟algorithme SIMPLE qui relie l‟équation de continuité et l‟équation de quanti té de
mouvement (décrit dans la première partie).
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Combustion turbulente en phase gazeuse
87
Pour le calcul de la densité, il y a trois méthodes:
1ere méthode : pour les jets où les deux gaz sont identiques :
Dans ce cas, on utilise l'équation d'état avec la simplification que la masse molaire est
constante, on aura donc :
W
1T ~
R P (2.33)
Subséquemment :
W
1T ~
R
P (2.34)
Par conséquent, la densité ne varie qu‟en fonction de la température.
2eme méthode : pour les jets où les deux gaz ne sont pas identiques:
Dans ce cas, on aura deux méthodes: la première, où la densité ne varie qu'en fonction de lafraction massique, alors on utilise la fonction de partage. La deuxième où la densité varie en
fonction de la fraction massique et de la température, alors on utilise l'équation d'état:
* équation de partage:
a
k
k
k Y ~
Y ~
11 (2.35)
Où ρa est la densité de l'air ambiant et ρk est la densité du fluide dans la buse.
* équation d'état:
k
k
1ik k W
1Y T Y
~T ~
R P
(2.36)
k
1ik
k
k
k
1ik k
W
Y ~
T ~
R
P
W
1Y T Y
~T ~
R
P (2.37)
Une fois écrites, les équations pour les bilans moyens, surgissent une difficulté bien connue.
En effet, le système que forment ces équations est non fermé du fait de la présence de termesinconnus qui sont:
~
jk uY : Flux turbulent de la fraction massique de combustible.
~
juh : Flux turbulent de l'enthalpie massique.
~
ju Z : Flux turbulent de la fraction de mélange.
k
~ : Taux moyen de réaction chimique.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
88
3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence)
L'hypothèse de Boussinesq (1877) ou encore l'hypothèse de transport par gradient permet
d'écrire:
j
k
t
t ~
jk x
Y ~
ScuY
; jt
t ~
j x
h~
Pr uh
; jt
t ~
j x
Z ~
Scu Z
(2.38)
Où Sct et Pr t représente respectivement le nombre de Schmidt et de Prandtl turbulent.
Par conséquent l'écriture des équations de transport modélisées de l'enthalpie, de la fraction de
mélange et de la fraction massique des espèces, sont les suivantes:
Équation de transport de la fraction massique des espèces modélisée :
k
j
k
t
t
k j j
k jk ~
x
Y ~
ScSc x x
Y ~u~
t
Y ~
(2.39)
Équation de transport de la l'enthalpie moyennée et modélisée:
jt
t
j
j
j x
h~
Pr Pr xh~
u~
xh~
t
(2.40)
Équation de transport de la fraction de mélange modélisée:
jt
t
j j
j
x
Z ~
ScSc x x
Z ~
u~
t
Z ~ (2.41)
Équation de transport des fluctuations d'un scalaire moyenné :
L'équation de transport de la variance de la fraction de mélange est nécessaire lors de l'étude
des flammes de diffusion. L'équation de transport des fluctuations d'un scalaire
( 2T ~ , 2Y
~ et 2 Z ~ ) est donnée par:
n Dissipatio
~
j j
oduction Pr
j
~
j
~
j
"
j j j j
j
x x x
~
uu x x
~
x x
~u~
t
~
22
2
222
(2.42)
Les équations de transport de fluctuation d'un scalaire contiennent deux termes non
modélisés; un terme de production et un terme de dissipation. Le terme de production est
modélisé à l'aide d'un modèle de turbulence de premier ordre. Il est donné par:
2
2
j
t
x
~
P
(2.43)
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Combustion turbulente en phase gazeuse
89
Concernant le terme de dissipation, ou plus précisément le taux de dissipation scalaire moyen,
noté ~ , paramètre clef pour la description des flammes de diffusion, il est défini par :
2222
~ D
x x
~
~
j j
(2.44)
Soit une autre écriture de l‟équation de transport des fluctuations d'un scalaire:
~
x
~
x
~
x x
~u~
t
~
jt
t
jt
t
j j
j
2
222
2 (2.45)
Plusieurs modèles sont proposés dans la littérature pour modéliser le taux de dissipation
scalaire moyenne ~ .
3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire)
Le taux de dissipation instantané de la fraction de mélange représente l‟état local du
mélange et joue un rôle particulier dans la détermination de l‟épaisseur de la flamme
laminaire.
3.4.1 Modèle à échelles égales
Le modèle algébrique classique du taux de dissipation scalaire est basé sur l'hypothèse de
la proportionnalité des échelles caractéristiques temporelles et spatiales du champ dynamique
et scalaire. Les échelles temporelles et spatiales dynamique sont respectivement η u ~ k /ε et
Lu ~ k 3/2/ε. Les échelles temporelles et spatiales scalaire sont respectivement :
~
~
~ s
2
2/3
2/12/32
~
~
~
s L (2.46)
Supposer η u = η s ou Lu = L s permet d‟écrire :
2
~
k Cte~ (2.47)
La constante Cte ou plus précisément le rapport des échelles du temps dynamique et
scalaire ~ /
~ / ~ / k
~ / R su
2 est égale à 2 (Jones et Whitelaw, 1982). Cependant,
les mesures expérimentales d‟un jet d‟hélium (Panchapakesan et Lumley, 1993) ont montréun comportement variant de la constante Cte autour de la valeur de 1.5.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
90
Déjà, Pfuderer et al. (1996) ont adopté la valeur de 1.5 lors de leurs simulations pour la
modélisation d‟une flamme de diffusion H2/N2/air. Dans la présente étude, la valeur de la Cte
est prise égale à 2. L‟hypothèse d'égalité des échelles conduit ou implique un nombre de
Schmidt turbulent fixe. Ce nombre est défini comme le rapport de la viscosité turbulente
νt ~ k 2/ε et la diffusivité turbulente
2
22
~
~
~
s .
3.4.2 Modèle à échelles non-égales
Pour surmonter la défectuosité du modèle précédent, Yoshizawa (1988) a développé un
modèle basé sur l'approximation d'interaction directe de deux échelles (Two scale Direct
Interaction Approximation, TSDIA). Ce modèle n'assume pas l'égalité des échelles et il est
compatible avec les modèles de turbulence à deux équations. Il consiste essentiellement en de
nouvelles expressions pour la diffusivité turbulente et le taux de dissipation scalaire, sachant
qu‟il a été montré, sur des études dimensionnelles, que ces deux paramètres sont corrélés.
Ce modèle permet d'écrire:
212~~ (2.48)
Avec 21
00
e Du , sachant que De représente le diamètre effectif défini par:
buse
a
k busee D DS D
21
21
(2.49)
Les coefficients λ1 et λ2 devraient avoir des valeurs appropriées. En lui considérant le
comportement de similitude des variables dans un jet rond, il a été montré que les constantes
devraient vérifier λ1 + 2 λ2 = 2 (Sanders, 1994). Les calculs exploratoires ont prouvé que la
plus grande influence sur la solution a été exercée par λ1 ce qui a mené au choix de λ1 = 1 et
par conséquent λ2 = 0.5. Ces valeurs différentes de celles indiquées par Yoshizawa (1988)
λ1 = 1.2 et λ2 = 0.306, qui sont fondées sur l‟hypothèse que la turbulence est complètement
régie par l‟intervalle à inertie du spectre.
La valeur de Ø 0 (grandeur adimensionnelle) est prise égale à 5 dans les simulations de
Hidouri et al (2003). Sanders (1994) a adopté la valeur de 4 pour Ø 0, alors que la valeur
utilisée par Gazzah et al. (2005) est de 7. Dans cette étude, la valeur de Ø 0 est prise égale
à 6.5 ; Sachant que les auteurs, cités ci-dessus, ont utilisé un code de calcul parabolique.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
91
3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire
Ce type de modèle présente une amélioration quand à la fermeture des équations de bilan.
Cependant, plusieurs versions de l‟équation de transport de ~
peuvent être trouvées dans lalittérature, puisqu‟il a fait l‟objet de nombreux travaux de recherches. De plus, sa mise en
œuvre numérique reste délicate.
Les différentes équations proposées, diffèrent entre elles par l‟addition des termes
supplémentaires ou la modification des constantes. Son expression générale est donnée par :
k C ~C P
k C P ~C
x x x
u~
D Dk P ~ P
jt
t
j j
j
22
2
1221 2
(2.50)
P k ou G représente le terme de production de l‟énergie cinétique (équation 1-64).
2 ~ P représente le terme de production de fluctuation d‟un scalaire :
2
jt
t
j
~
j~
x
~
x
~
u P
222 (2.51)
Les coefficients ou les constantes des différents modèles suivant les différents auteurs sont
données dans le tableau 2-4, sachant qu‟on a proposé ou ajuster deux constantes différentes, et
que le nombre de Reynolds turbulent est donné par C
k Ret 12
. Les deux constantes
proposées pour ce travail, sont référées par Modèle A et Modèle B dans le tableau 2-4.
Tableau 2-4 : Coefficients dans l’équation du taux de dissipation scalaire suivant différents auteurs.
C P 1 C P 2 C D1 C D2
Mantel et Borghi (1994)
2 f ~
k
1 21
6250 /
t Re. 2190
/
t Re.
Sanders et al. (1996) 1 0.725 1 0.95
Chen (1987) 0,5 1.45 1.15 0.6
Jones et Musonge (1988)
2 f ~
k
1.45 1 0.9
Modèle A 1.02 1.65 1.45 0.9
Modèle B
2 f ~
k
0.3 21
1950 /
t Re. 21210
/
t Re.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
92
3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion)
Il s'agit de calculer le taux moyen de réaction ~ . Cependant, la relation
T ,Y ~ k = T ~ ,Y ~k ne peut être validée car T ,Y ~ k est une fonction fortement non linéaire
des concentrations des espèces et de la température, d'où la nécessité d'un modèle de
combustion. Dans cette étude, deux modèles de combustion sont discutés.
3.5.1 Modèle Eddy Dissipation
Le modèle de dissipation des tourbillons ou encore „Eddy Dissipation Model‟ (EDM) de
Magnussen et Hjertagrer (1977) est basé sur une hypothèse de réaction unique et globale
infiniment rapide (temps chimique très faible par rapport aux autres temps liés à
l‟écoulement). C'est une extension du modèle Eddy Break Up (EBU), développé à l'origine
par Spalding (1971) pour modéliser la combustion prémélangée, et utilise une technique de
fermeture du terme de production basée essentiellement sur des résultats expérimentaux.
Ce type de fermeture s‟appuie sur le principe et l‟hypothèse que le taux de réaction est
contrôlé, en moyenne, par le mélange turbulent, ce qui entraîne que le terme de production
k
~ est proportionnel à l‟inverse du temps turbulent τ L. Par conséquent, le taux de
consommation du fuel est spécifié comme une fonction des propriétés locales de
l‟écoulement. Le modèle considère le taux de dissipation du fuel, de l‟oxydant et des produits
de combustion, et prend le taux le plus bas comme étant le taux de réaction du fuel.
Le taux de réaction est défini par:
1
2
Pr O
F
Y ~
AB ,Y ~
A ,Y ~
Amink ~
~~ (2.52)
Où A et B sont deux constantes empiriques. Ces constantes sont données respectivement par
A=4 et B=0.5. Dans cette formule, il est difficile de justifier le facteur
„
12
Pr O
F
Y ~
AB ,Y ~
A ,Y ~
Amin ‟, mais les résultats qualitatifs de cette formule restent réalistes.
En effet, le modèle Eddy Dissipation présente des prédictions assez raisonnables et il est très
facile à implanter dans les codes de calcul du fait de sa simplicité. D‟autant plus que, son coût
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Combustion turbulente en phase gazeuse
93
numérique, qui est très faible. Cependant, ces performances dépendent beaucoup des
performances du modèle de turbulence.
La chaleur libérée par une réaction chimique est donnée par l‟expression suivante :
R F P H Y T C h (2.53)
Donc la température est calculée à l‟aide de l‟enthalpie h (résolue à l‟aide d‟une équation de
transport), à travers l‟expression suivante :
P
R F
C
H Y hT
(2.54)
Où H R est la chaleur de réaction (heat of reaction, Dégagement de chaleur par unité de masse
de carburant consommée en J.kg-1) et C P est la chaleur spécifique du mélange donnée par
l‟équation 2-13. La chaleur spécifique des différentes espèces est obtenue à l‟aide d‟un
polynomiale de la forme :
4
4
3
3
2
2
1
10 T aT aT aT aaCpk (2.55)
Les constantes a0, a1, a2, a3, a4 sont spécifiques pour chaque combustible et sont données dans
un tableau dans l‟annexe D, ainsi que la chaleur de réaction H R.
Puisque la fraction massique du fuel et la fraction de mélange sont calculées à l‟aid e des
équations de transport, les fractions massiques des différentes espèces sont obtenues à l‟aide
de relations stœchiométriques, elles sont détaillées dans l‟annexe C.
Concernant le méthane CH4, gaz utilisé dans ce travail, le rapport stœchiométrique
oxygène/fuel est égal à 4, et on a :
2330233442
. Z .Y Y F O (2.56)
F O H Y Z .Y 2522
(2.57)
F CO Y Z .Y 7522
(2.58)
Z .Y N 176702
(2.59)
F Pr Y Z Y 5 (2.60)
3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium
Cette méthode, autant efficace que rapide, est basée sur la combinaison des équations de
transport et de la fonction de densité de probabilité ou PDF et où le champ scalaire et le
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Combustion turbulente en phase gazeuse
94
champ dynamique sont découplés. En effet, Dans ce modèle, et dans la prétention de
simplification que la chimie est infiniment rapide, la structure locale de flamme est
entièrement déterminée par la fraction de mélange moyenne Z ~
et sa variance 2 Z ~ .
La moyenne de n'importe quel scalaire est calculée en utilisant l'approche PDF présumée àtravers l'équation suivante:
dZ Z p~ Z ~
1
0
(2.61)
En particulier, la densité volumique moyenne, la température du mélange réactif et la
fraction massique des espèces chimiques produit par la réaction sont données par:
dZ Z p~ Z
1
0
11
(2.62)
dZ
Z
Z p~ Z T T
~
1
0
(2.63)
dZ
Z
Z p~ Z Y Y
~ii
1
0
(2.64)
La distribution de la densité volumique, des fractions massiques et de la température qui
constituent des librairies de flammelettes, sont prises à partir de la solution de l'équilibrechimique donnée par le code de calcul Chemkin (2005) ou Flamelette „RUN-1DL‟ (1997).
Le modèle flamelette repose sur l'hypothèse que le front de flammes turbulent est composé
de flammelettes d'épaisseur très petite par rapport à toutes les échelles turbulentes. Cette
hypothèse permet d'utiliser les résultats obtenus dans une configuration d'écoulement
laminaire (figure 2-7 et figure 2-8). La structure d‟une flammelette de diffusion laminaire est
contrôlée par le transfert de chaleur et de masse et peut être décrite par des équations de
transport monodimensionnelles (Peters, 1984; 1987):
Equation de conservation de la fraction massique:
k k k
Z
Y
t
Y
2
2
2 (2.65)
Equation de conservation de l'énergie:
N
k p
k k
C
h
Z
T
t
T
12
2
2
(2.66)
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Combustion turbulente en phase gazeuse
95
Sachant que le taux de dissipation scalaire χ est proportionnel au taux d‟étirement a à travers
la relation suivante (Kim & Williams ; 1993) :
2
1
2
22
12
13
4 Z erfcexp
a
k
a
k
a
(2.67)
Où 1erfc est l‟inverse de la fonction erreur complémentaire et non pas l‟inverse.
A la stoechiométrie, on peut écrire :
21 22expa
Z erfc
(2.68)
Le mécanisme réactionnel, utilisé dans cette étude, pour modéliser la structure d'uneflammelette de diffusion laminaire méthane-air dans l'espace de la fraction de mélange, est le
mécanisme détaillé GRIMECH 3.0. (53 espèces et 325 réactions, Smith G. P., et al .).
Pour le calcul de la PDF du scalaire inerte Z p~ , plusieurs formes ont été proposées et
testées dans la littérature (fonction Delta, Kalil et al. 1975 ; fonction Gaussienne, Lockwood
et al. 1976), cependant la fonction Bêta proposée par Janicka et Kollmann (1987), est
largement utilisée dans le cas de la combustion turbulente non-prémélangée et permet d'écrire:
1
0
11
11
1
1
dZ Z Z
Z Z Z p~
(2.67)
Les deux paramètres α et β sont reliés à Z ~
et 2 Z ~ par:
Z ~
, Z ~
1 avec
11
2
Z ~ Z ~
Z ~
(2.68)
4. Méthode numérique
La méthode numérique a été évoquée dans la première partie, et détaillée dans l‟annexe A.
Le code utilisé est une version améliorée de TEACH (Gosman et Ideriah, 1976). Différentes
tailles de grilles sont testées et montrent que les résultats sont indépendants des influences
numériques pour des grilles plus fines que 100x60 pour un domaine de 2m de longueur et de
rayon égal à 0.45m. À noter que les conditions aux limites adoptées sont les mêmes
conditions utilisées dans la première partie.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
96
Les équations de conservation qui décrivent la structure d'une flammelette de diffusion
laminaire méthane-air (eq. 2.65 - eq. 2.66), mono-dimensionnelle et instationnaire sont
résolues en utilisant le code de calcul Flamelette développé par Rogg (1997) et le code
commercial Chemkin (2005).
Le couplage RANS/PDF-présumée passe tout d'abord par la résolution des équations
(2.65-2.66) pour chaque valeur possible de Z ~
. Par la suite, l'écoulement sera résolu par le
code RANS à masse volumique variable (calculé à l‟aide de l‟équation de partage, 2.35). Une
fois le code converge, une subroutine permet la lecture du tableau obtenu par la résolution des
équations (2.65-2.66), ainsi que le calcul de la densité , la température T ~
et les fractions
massiques des différents espèces iY ~
grâce aux équations (2.62-2.63-2.64). Enfin, l'écoulement
sera recalculé, en utilisant les valeurs de la densité déjà trouvée, pour le calcul des paramètres
dynamiques de l‟écoulement, et le processus sera répété jusqu'à convergence.
5. Résultats et discussion
Les paramètres utilisés dans les simulations numériques sont les mêmes que dans les
travaux expérimentaux de Schefer (2001) (jet rond confiné de propane non réactif) et deStreb (1993) (jet rond libre de méthane réactif). Le schéma de principe des configurations
adoptées est illustré sur la figure 2-13. Le tube central amène le méthane ou le propane, et le
tube coaxial, de l‟air. Les conditions expérimentales et les principaux paramètres de s deux
écoulements sont récapitulés dans le tableau 2-5. Les mesures des vitesses ont été effectuées
avec une technique LDV (Laser Doppler Velocimetrie). Pour ce qui concerne les mesures de
la densité et de la fraction de mélange, elles sont accomplies par la technique Rayleigh
Scattering. Enfin, les mesures des concentrations sont achevées par la technique RamanScattering.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
97
Figure 2-13 : Schéma illustrant la configuration d’un jet libre ou confiné.
Schefer (2001) Streb (1993)
U 0 (m.s - ) 69.0 69.3
U cof (m.s- ) 9.2 0.05
D (mm) DI =5.26 ; DE =9.0 10
Re 68000 29400
ρk (kg.m-
) 1.882 0.668 ρa (kg.m- ) 1.202 1.202
T k (K) 294 323
T a (K) 294 294
Tableau 2-5 : Configurations expérimentales
5.1 Écoulement turbulent non réactif
Sur la figure 2-14, on présente l‟évolution axiale de la vitesse longitudinale du propane
dans le cas d'un jet non réactif. Quatre modèles de turbulence de premier ordre sont appliqués
(k -ε ; RNG k -ε ; k -ω 98 ; MTS), ainsi que deux corrections, une pour le modèle k -ε et une
autre pour le modèle k -ω 98. Le modèle k -ω 88 n‟a pas été retenu, à cause des mauvaises
prédictions obtenues dans la première partie, lors de la simulation d‟un jet turbulent à masse
volumique constante. La correction concernant le modèle k -ε est celle de Rodi (1972),
présentée dans la première partie et désignée dans la nomenclature des figures par COR., alors
U 0
U Cof
D
X
Y
CH4 ou C3H8
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Combustion turbulente en phase gazeuse
98
que celle du modèle k -ω 98, concerne les conditions d‟entrées où on a remplacé d par 2d dans
les équations (1-88 ; 1-89 ; 1-90), cette correction est désignée par COR1.
La première constatation à retenir à partir de la figure 2-14, concerne les résultats du
modèle k -ω 98, qui surestiment les valeurs expérimentales, alors que celle des modèles RNGk -ε et STD k -ε sous-estiment ces derniers. La deuxième, concerne les corrections appliquées
aux deux modèles k -ε et k -ω, et qui permettent de combler les insatisfactions et les
défaillances de ces derniers. Jusqu‟à présent, le modèle k - reste le plus populaire et le plus
utilisé des modèles de turbulence pour la prédiction des écoulements industriels. Il s‟est révélé
d‟une précision suffisante et satisfaisante pour une gamme assez diversifiée d‟applications.
Néanmoins, les constantes de ce modèle sont ajustées pour des configurations très précises
d‟écoulement. Il a été développé et fondé pour la prédiction des écoulements près des paroisou les couches limites et que son application exige et nécessite toujours une correction pour
chaque configuration. Parfois son application s‟est trouvée mise en défaut par les écoulements
les plus simples ; par exemple, il sur estime d‟à peu près 30% le taux de décroissance dans un
jet rond ou axisymétrique.
Le point faible du modèle k - réside ou se focalise surtout dans la modélisation de
l‟équation de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente ε, qui a une forme assez
compliquée, et formée de plusieurs termes. Ceci nécessite une bonne interprétation physiquede différents termes et une idée approximative des ordres de grandeur de ces termes. Certaines
tentatives ont été faites pour généraliser la forme de cette équation, mais son application reste
strictement limitée aux cas qu‟elles ont suscités.
On note aussi, que le modèle k -ε avec la correction de Rodi (1972) ainsi que le modèle
MTS sont les plus conformes aux résultats expérimentaux de Schefer (2001).
Dans les modèles de turbulence de 1ere ordre et même ceux de second ordre, seuls les
processus de production et de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente sont considérés,
alors que dans le modèle MTS, les processus de production, de cascade et de dissipation de k
sont considérés. Ceci explique la supériorité des prédictions du modèle MTS. On note enfin,
que l‟une des défaillances du modèle k -ω réside dans sa sensibilité aux conditions initiales,
puisque la correction adoptée a corrigé les imperfections de ce modèle.
La figure 2-15 montre la variation de la fraction de mélange du propane sur l‟axe de
symétrie du jet. Les résultats montrent que le modèle MTS fournit les meilleures prédictions,
alors que le modèle k -ω 98 surestime significativement les valeurs expérimentales.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
99
0 20 40 60 80
X / D
0
20
40
60
80
U c
( m / s )
Figure 2-14 : Profils axiaux de la vitesse
moyenne longitudinale.
0 20 40 60 80
X / D
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z c
Figure 2-15 : Profils axiaux de la fraction
de mélange longitudinale.
0 20 40 60 80
X / D
0
2
4
6
8
u ' c
( m / s )
Figure 2-16-a : Variation axiale de la vitesse
fluctuante longitudinale
0 20 40 60 80
X / D
0
2
4
6
8
v ' c
( m / s )
Figure 2-16-b : Variation axiale de la vitesse
fluctuante transversale
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω
k -ω + COR 1
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω
k -ω + COR 1
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Combustion turbulente en phase gazeuse
100
0.0 0.4 0.8 1.2
Y / X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z
Figure 2-17-a : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=4.
0 1 2 3
Y / X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Z
Figure 2-17-b : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=15.
0 1 2 3 4 5
Y / X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Z
Figure 2-17-c : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=30.
0 1 2 3 4 5 Y / X
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Z
Figure 2-17-d : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=50.
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω
k -ω + COR 1
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω k -ω + COR 1
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Combustion turbulente en phase gazeuse
101
0 20 40 60 80X / D
0.0
0.1
0.2
0.3
Z ' c
/ Z c
Figure 2-18 : Variation axiale de la fluctuation
de la fraction de mélange.
0 1 2 3 Y / X
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
Z '
Figure 2-19-a : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=15.
0 2 4 6 Y / X
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Z '
Figure 2-19-b : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=30.
0 2 4 6 Y / X
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Z '
Figure 2-19-c : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=50.
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω
k -ω + COR 1
k -ω + COR 1
+ COR 2
Exp. (2001)
k -ε + COR.
STD k -ε
RNG
MTS
k -ω
k -ω + COR 1+ COR 2
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Combustion turbulente en phase gazeuse
102
Les évolutions axiales de la vitesse fluctuante longitudinale et transversale sont tracées sur
les figures 2-16-a et 2-16-b. Les résultats numériques de tous les modèles sous-estiment les
mesures expérimentales.
Les profils radiaux de la fraction massique du propane sont donnés sur les figures 2-17-a ;2-17-b ; 2-17-c et 2-17-d pour quatre sections différentes. La première à x/d =4, on remarque
que l‟accord calcul-expérience est satisfaisant pour la plus part des modèles, sauf pour le
modèle k -ω 98 corrigé.
Pour la deuxième section, à x/d =15, les prédictions de tous les modèles sont presque
identiques sauf bien sûr pour le modèle k -ω 98, et l‟accord avec l‟expérience est satisfaisant
même sur les bords du jet. La même tendance est observée pour la troisième et la quatrième
section à x/d =30 et 50.
Dans la suite, on s‟intéresse à la variance de la fraction de mélange ou plus précisément à
l‟intensité des fluctuations d‟un scalaire, et ce à travers la figure 2-18.
Nous remarquons, tout d‟abord, que cette quantité croie rapidement à la sortie du jet et
tende asymptotiquement vers une limite. Cette valeur asymptotique est controversée et varie
entre 0.18 et 0.26, dans notre cas, elle est de l'ordre de 0.25.
La correction désignée par COR 2, et présentée dans la nomenclature, indique la correction
de la constante Cte dans l‟équation (2-47), et qui sera égale à 0.13 au lieu de 2 pour le cas du
modèle k -ω 98. Cette correction a été appliquée à cause des mauvaises prédictions de ce
dernier, qui sous estiment significativement les mesures expérimentales de Schefer (2001). La
plus importante remarque à signaler, concerne les prédictions du modèle k -ε avec la correction
de Rodi, où a partir de x/d =50, on relève un comportement non asymptotique (figure 2-18).
Cette défaillance est, bien entendue dû, à la correction de Rodi, puisque les prédictions du
modèle STD k -ε présente un comportement asymptotique. Par conséquent, bien que lacorrection de rodi performe la modélisation des jets ronds dans le sens qu‟elle pr édit mieux le
taux d‟épanouissement du jet, mais présente une très grande faiblesse lors de la prédiction de
l‟intensité de la fluctuation de la fraction de mélange.
L‟examen des figures 2-19-a ; 2-19-b et 2-19-c, où nous présentons les évolutions radiales
de la variance de la fraction de mélange du propane, pour les sections x/d =15, 30 et 50,
permet de signaler que tous les modelés fournissent des résultats presque identiques, et que la
correction appliquée au modèle k -ω 98 corrige les insatisfactions de ce dernier.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
103
0 20 40 60 80
X / D
0.0
0.1
0.2
0.3
Z ' / Z c
Figure 2-20 : Variation axiale de la fluctuation
de la fraction de mélange.
0 1 2 3 Y / X
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
Z '
Figure 2-21-a : Profils radiaux de la
fraction de mélange à x/d=15.
0 2 4 6
Y / X
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Z '
Figure 2-21-b : Profils radiaux de la fraction
de mélange à x/d=30.
0 2 4 6 8 Y / X
0.00
0.02
0.04
0.06
Z '
Figure 2-21-c : Profils radiaux de la
fraction de mélange à x/d=50.
Exp. (2001)
Échelles égales
Échelles non-égales
Mantel et Borghi (94)
Chen (1987)
Modèle A
Modèle B
Exp. (2001)
Échelles égales
Échelles non-égales
Mantel et Borghi (94)
Chen (1987)
Modèle A
Modèle B
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Combustion turbulente en phase gazeuse
104
0.0 0.5 1.0 1.5
Y / X
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
R t
Figure 2-22 : profils radiaux du rapport
du temps à x/d=30.
1 10 100X / d
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
1E-2
Figure 2-23 : profiles logarithmique axiaux
du taux de dissipation scalaire
Déjà, on ne trouve pas une explication d‟un tel comportement, mais on peut se contenter
d‟éliminer ce modèle de turbulence dans nos prochaines simulations.
Par la suite, on a fixé le modèle de turbulence (MTS), et on a varié le modèle scalaire.
Seuls les modèles indiqués dans la nomenclature des figures 2-20, 2-21, 2-22, 2-23 seront
concourus et comparés aux résultats expérimentaux de Schefer (2001).
Le reste des modèles indiqués dans le tableau 2-4, à savoir le modèle de Sanders et al.
(1996) et le modèle de Jones et Musonge (1988) ne seront pas considérés, puisqu‟ils
produisent des résultats comparables à ceux donnés par le modèle de Mantel et Borghi (1994).
Déjà, les prédictions de ce dernier ne sont pas en concordance avec l‟expérience, et
surestiment significativement les valeurs expérimentales. Cela est dû à notre code de calcul
qui est elliptique, alors que celui utilisé par ces derniers est parabolique.
Déjà, Colin et Benkenida (2003), exigent de modifier les constantes du modèle de Mantel
et Borghi (1994) pour chaque application.
On note aussi, que les résultats du modèle à échelles égales présentent des prédictions
meilleures que celle du modèle à échelles non-égales. Toutefois, on remarque un
comportement similaire du modèle de Chen (1987) et du Modèle A, qui est dû au fait de lasimilarité des types des constantes (Cp1).
Exp. (1993)
Échelles égales
Échelles non-égales
Mantel et Borghi (94)
Chen (1987)
Modèle A
Modèle B
Z U
d
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Combustion turbulente en phase gazeuse
105
La figure 2-22 expose le profil radial du rapport d‟échelle de temps caractéristique Rη à la
section x/d=30. Ce rapport est un paramètre important, qui ne dépend ni du nombre de
Reynolds, ni du rapport de densité. Il est défini par s
u R
. Dans la région de l‟axe de
symétrie du jet, les valeurs expérimentales de Rη révélées par Panchapakesan et Lumley, 1993
semblent constantes et oscillent autour de la valeur de 1.5.
La détermination de Rη a fait l‟objet de nombreuses études expérimentales dont la plupart
concernent la décroissance des fluctuations du scalaire derrière une turbulence de grille.
Cependant, la difficulté de mesurer la dissipation d‟une part et la précision de la mesure
d‟autre part, peuvent expliquer, au moins partiellement, le non accord de la communauté
scientifique sur ce sujet. Concernant les prédictions des différents modèles scalaires, aucun
d‟eux n‟est capable de reproduire les mesures de l‟expérience de Panchapakesan et Lumley,
1993, sauf le modèle à échelles égales qui présente un comportement constant égal à 2.
Le modèle algébrique à échelles non-égales, où l‟on ne suppose pas la proportionnalité des
échelles dynamiques et scalaires, montre une décroissance de Rη de la valeur de 2.5 sur l‟axe
de symétrie à 0.5 sur les bords du jet. Concernant les modèles scalaires à équation de
transport, ils présentent un comportement similaire ou semblable, la valeur de Rη est de l‟ordre
de 2 sur l‟axe de symétrie, puis s‟annule à y=0.25 x, et croît et tendent asymptotiquement à lavaleur de 1.25 plus tard.
La dissipation du scalaire est une grandeur importante, tant sur le plan théorique
qu‟expérimental, en particulier dans la combustion. Les travaux de Mantel et Borghi (1994)
montrent qu‟à partir de l‟équation de transport de ~ , il est possible de reconstituer l‟équation
de bilan de la densité de surface de flamme, grandeur clé pour les modèles des flammes
cohérentes. Les résultats du calcul du taux de dissipation scalaire sur l‟axe sont portés sur la
figure 2-23. On constate que les différents modèles scalaires pressentent un comportementsimilaire, sauf pour le modèle de Mantel et Borghi (1994).
En résumé, les comparaisons de nos calculs avec les mesures expérimentales de Schefer
(2001) ont montré que les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les
évolutions radiales ou longitudinales des paramètres scalaires ou dynamiques du jet sont
mieux prédites avec le modèle de turbulence MTS et le modèle scalaire à échelles égales.
Cependant, et concernant le modèle k - , si on applique la correction de Rodi (1972), on aura
des problèmes lors de la prédiction de l‟intensité des fluctuations d‟un scalaire, et si on
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Combustion turbulente en phase gazeuse
106
n‟applique pas cette correction, on aura des problèmes lors de la prédiction du taux de
décroissance du jet.
5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire
Une configuration particulièrement intéressante est la flamme de diffusion à contre-courant
stationnaire. En effet, celle-ci se ramène à un cas monodimensionnel et permettant ainsi des
simulations détaillées, qui servirons par la suite, les modèles de combustion avec une chimie
complexe et un transport détaillé.
Figure 2-24 : Fraction massique de CH4, O2, CO2, CO et H2O d'une flammelette laminaire de
méthane/air obtenue pour un taux d'étirement de 100 s-1 par deux moyens de calcul
( Flamelette et Chemkin)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25Fraction de mélange
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
F r a c t i o n m
a s s i q u e
O2CH4
H2O
CO2
CO
Flamelette
Flamelette Chemkin
Chemkin Flamelette
Chemkin
Flamelette
Chemkin
Flamelette
Chemkin
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Combustion turbulente en phase gazeuse
107
Fiorina et al., 2005a = 10 s −1
∆ Fiorina et al., 2005a = 158 s −1
Cal. a = 100 s −1
Fiorina et al., 2005a = 10 s −1
∆ Fiorina et al., 2005a = 158 s −1
Cal. a = 100 s −1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10Fraction de mélange
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
F r a c t i o n
m a s s i q u e
d e
O 2
Flamelette
Chemkin
Figure 2-25 : Profiles de la fraction massique
de O2 d’une flammette de méthane.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10Fraction de mélange
0.00
0.04
0.08
0.12
F r a c t i o n
m a s s i q u e
d e
C O 2
Flamelette
Chemkin
Figure 2-26 : Profiles de la fraction massique
de CO2 d’une flammette de méthane.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10Fraction de mélange
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
F r a c t i o n
m a s s i q u e
d e
C O
Flamelette
Chemkin
Figure 2-27 : Profiles des fractions massiques
de CO d’une flammette de méthane.
0.00 0.04 0.08 0.12Fraction de mélange
0
500
1000
1500
2000
2500
T e m p é r a t u r e
Flamelette
Chemkin
Figure 2-28 : Profiles des températures
d’une flammette de méthane.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
108
La figure 2-24 présente les évolutions des fractions massiques du carburant, de l‟oxydant et
de quelques produits de combustion (CO2, CO et H2O) pour une flammelette de diffusion
laminaire à contre courant de méthane, et ce en utilisant deux codes de calculs différents,
Chemkin (2005) et Run-1DL ou Flamelette (1997). Sachant que le système d‟équations
(2.65 - 2.66) a été résolu pour un taux d‟étirement a égale à 100 s-1. Dans cette figure, on
remarque que l'oxydant 'fuit' à travers la zone de réaction ( Z = Z st =0.055) alors que le
comburant est consommé. La fraction massique de CO augmente dans la zone de réaction
alors que celle de CO2 diminue. Le dégagement de H2O est remarquable dans cette zone.
Sur les figures 2-25, 2-26, 2-27, 2-28, on a mis à l‟épreuve les deux moyens de calcul
(Chemkin et Flamelette) et ce en les confrontant avec les résultats des simulations de
Fiorina et al. (2005). Ce qu‟on peut retenir, c‟est que ces deux moyens de calcul présentent des prédictions semblable lors de la simulation de la fraction massique de O2 de CO et de la
température. Néanmoins, le code Flamelette présente des prédictions meilleures que le code de
calcul Chemkin, en comparaison avec les simulations de Fiorina et al. (2005). C‟est pour cette
raison là, qu‟il est adopté comme source de tabulation lors de l‟emploi du modèle de
combustion de PDF présumée.
5.3 Écoulement turbulent réactif
Une fois le modèle de turbulence (MTS) et le modèle scalaire (à échelles égales) sont
retenus, ainsi que la méthode de tabulation de la chimie détaillée (Flamelette). Deux modèles
de combustion, (PDF présumée et Eddy Dissipation) sont appliqués pour la simulation d'un jet
turbulent réactif de méthane (Streb, 1993).
La figure 2-29 présente la variation axiale de la vitesse moyenne du jet turbulent de
méthane réactif. Les résultats du calcul sont globalement en accord avec l'expérience de Streb(1993) pour le cas du modèle de PDF présumée. Toutefois, on note une sous-estimation pour
le cas du modèle de combustion Eddy Dissipation, cet écart traduit l'incapacité de ce dernier à
représenter correctement le couplage chimie-turbulence.
Sur la figure 2-30, on a présenté la variation axiale de l'énergie cinétique turbulente. On
note une sous-estimation des résultats, qui traduit l'incapacité de ces modèles de turbulence et
ces modèles de combustion à représenter correctement le champ dynamique dans la zone
d'établissement à la sortie du jet.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
109
0 40 80 120X / D
0
20
40
60
U ( m / s )
Figure 2-29 : Profils axiaux de la vitesse
moyenne longitudinale.
0 40 80 120X / D
0
20
40
60
80
K ( m * 2 / s * 2 )
Figure 2-30 : Variation axiale de l'énergie
cinétique turbulente
0 40 80 120 160 200X / D
0
4
8
12
D e m i
L a r g e u r D y n a m i q u e
/ D
Figure 2-31-a : Variation axiale des largeurs
a mis hauteurs dynamiques normalisées
0 40 80 120 160 200X / D
0
4
8
12
D e m
i L a r g e u r S c a l a i r e
/ D
Figure 2-31-b : Variation axiale des largeurs
a mis hauteurs scalaires normalisées
Exp. (1993)
EDM + k -ε
EDM + MTS
pdf + k -ε
pdf + MTS
Exp. (1993)
EDM + k -ε
EDM + MTS
pdf + k -ε
pdf + MTS
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Combustion turbulente en phase gazeuse
110
0 10 20 30 Y / X
0
2
4
6
8
10
U
( m / s )
Figure 2-32 : Profils radiaux de la vitesse
longitudinale à x/d=120.
0 5 10 15 20 25
Y / X
0
400
800
1200
1600
2000
T
( K )
Figure 2-33 : Profils radiaux de la
température à x/d=120.
0 40 80 120 160
X / D
0
400
800
1200
1600
2000
T
( k )
Figure 2-34 : Profils axiaux de la température
moyenne du mélange.
0 40 80 120 160X / D
0.00
0.04
0.08
0.12
F r
a c t i o n
m a s s i q u e
H 2 O
Figure 2-35 : Profils axiaux des fractions
massique de H2O.
Exp. (1993)
Exp. (1984)
EDM + k -ε
EDM + MTS
pdf + k -ε
pdf + MTS
Exp. (1993)
EDM + k -ε
EDM + MTS
pdf + k -ε
pdf + MTS
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Combustion turbulente en phase gazeuse
111
Les figures 2-31-a et 2-31-b montrent les positions des demi-épaisseurs pour la vitesse
moyenne et la fraction de mélange. La demi-épaisseur est définie comme étant la position
radiale à partir de l‟axe où la valeur de la variable est égale à la moitié de sa valeur sur l‟axe.
Un comportement global satisfaisant des résultats est signalé.
Sur la figure 2-32, on a représenté la variation radiale de la vitesse moyenne longitudinale
pour la section X / D = 120. De même, la variation radiale de température moyenne pour la
section X / D = 120 est tracée sur la figure 2-33.
La figure 2-34 présente le profil axial de la température moyenne. La première constatation
concerne les valeurs expérimentales de Streb (1993) et de Jeng Faeth (1984), qui présentent
un éparpillement. La deuxième concerne l‟effet du modèle de turbulence qui est négligeable
devant l‟effet du modèle de combustion. La troisième se rapporte à notre incapacité d‟évaluerles performances de ces deux modèles de combustion, puisque l‟expérimentale adoptée ne
fournit aucun résultat sur l‟écoulement sans réaction. En effet, les deux modèles de
combustion dépendent de la turbulence. Pour le modèle Eddy Dissipation, il dépend de
l‟énergie cinétique turbulente ainsi que sa dissipation, c'est-à-dire du champ dynamique de la
turbulence. Alors, pour le modèle de PDF présumée, il dépend de l‟évolution de la fraction de
mélange ainsi que sa variance, c'est-à-dire du champ scalaire de la turbulence. D‟autant plus
que, à cause de la valeur très petite de la stoechiométrie du méthane ( Zst = 0.055), des erreursminima dans la prédiction de la fraction de mélange conduit à des grandes erreurs dans la
prédiction du champ de la température et du champ des concentrations des produits de
combustion.
Sur Les figures 2-35, 2-36, 2-37, on a représenté les variations axiales des fractions
massiques de l‟eau (H2O), du méthane (CH4) et de l‟oxygène (O2). Ces figures révèlent un
accord satisfaisant entre les résultats prédits par le modèle k -ε + PDF présumée et ceux
obtenus expérimentalement par Streb (1993). Néanmoins, l'écart signalé est essentiellementdû à l'effet du rayonnement, qui a été négligé dans nos calculs et aux résultats indésirables
lors du calcul de la flamelette laminaire de diffusion de méthane.
Des résultats de calcul sont présentés aussi sous forme de champs de température associé
au vecteurs vitesses, de fractions massiques de H2O, de O2 et de CO2, dans les figures
2-38_2-41, et ce, en utilisant deux modèles de turbulence et deux modèles de combustion
différents.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
112
0 40 80 120 160X / D
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
F r a c t i o n
m a s s i q u e
C H
4
Figure 2-36 : Profils axiaux des fractions
massique de CH4.
0 40 80 120 160X / D
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
F r a c t i o n
m a s s i q u e O 2
Figure 2-37 : Profils axiaux des fractions
massique de O2.
Pour ce qui concerne la figure 2-38, on signale un couplage parfait pour ce qui concerne le
modèle de PDF présumée associé avec l‟approche flamelette, puisque les lignes de courant
suivent exactement l‟élargissement du jet. Sachant que, c‟est le seul modèle de combustion
turbulent qui possède un couplage parfait entre la chimie et le transport moléculaire dans le
cas de grand nombre de Damköhler, et c'est l‟une des raisons pour la quelle, il est adopté dans
notre étude.
On remarque également que la production de l‟eau et du CO2 est importante dans la zone
de réaction (figure 2-39, 2-41), alors que la consommation de l‟oxygène est importante dans
cette zone (figure 2-40).
Enfin, sur la figure 2-42, on a représenté le champ de fraction massique de CO et de NO2.Ces résultats ne sont permis que par le modèle de PDF présumée. Pour la production de NO 2,
elle est très petite, et on peut dire même négligeable par rapport aux autres fractions
massiques. On note aussi, que la zone de production de NO2 se trouve à l‟extrémité du jet, et
non pas à l‟intérieure du jet où se localise la zone de réaction. A signalé enfin que, la
production du CO est moins importante que celle du CO2.
Exp. (1993)
Exp. (1984) EDM + k -ε
EDM + MTS
pdf + k -ε
pdf + MTS
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Combustion turbulente en phase gazeuse
113
Figure 2-38 : Vecteurs vitesse et contours de la température moyenne utilisant
A k -ε + PDF présumée
B MTS + EDM
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Combustion turbulente en phase gazeuse
114
Figure 2-39 : Contours de la fraction massique de H2O utilisant
A k -ε + PDF présumée
B MTS + EDM
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Figure 2-40 : Contours de la fraction massique de O2 utilisant
A k -ε + PDF présumée
B MTS + EDM
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116
Figure 2-41 : Contours de la fraction massique de CO2 utilisant
A k -ε + PDF présumée
B MTS + EDM
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Figure 2-42 : Contours de la fraction massique utilisant k -ε + PDF présumée de
A CO
B NO2
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Combustion turbulente en phase gazeuse
118
Il est toujours important de signaler que lors de nos simulations, on n‟a pas pris en
considération l‟effet de rayonnement et principalement celui causé par les particules de suies.
Ce phénomène aura un effet direct sur le champ de température et par conséquent sur le
champ des produits de combustion. Une variation de 300 à 400 K serait distinguée surtout sur
l‟extrémité supérieure de la flamme.
Conclusion
Comme déjà signalé auparavant, nous avons étudié dans cette partie, un écoulement
turbulent non réactif de propane et un autre réactif de méthane. Pour le premier, on a appliqué
quatre modèles de turbulence de premier ordre (k -ε ; RNG k -ε ; k -ω 98 ; MTS) raccordés avec
trois modèles scalaires (modèle à échelles égales ; modèle à échelles non-égales ; modèle à
équation de transport). Pour le deuxième écoulement, on a assimilé la flamme de diffusion
turbulente à un ensemble de flamelettes de diffusion laminaire, et la combustion a été simulée
par une méthode probabiliste qui ne dépend que de la fraction de mélange ainsi que sa
variance. Également, on a appliqué le modèle de dissipation de tourbillon.
Les confrontations de nos simulations avec les mesures expérimentales prises de la
littérature révèlent que :
Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les évolutions
radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels et scalaires d‟un jet de propane
compressible sont mieux prédites toujours avec les modèles MTS et k -ε.
Cependant, et concernant le modèle k -ε, on est tombé dans le conflit, que si on
applique la correction de Rodi, on aura une défaillance lors de la prédiction de
l‟intensité des fluctuations des scalaires, alors que lorsqu‟on ne l‟applique pas, on
aura une défaillance lors de la prédiction du taux de décroissance du jet.
Le meilleur rapport qualité/difficulté, pour la prédiction du taux de dissipation
scalaire pour ce qui est relative aux modèles scalaires, est offert par le modèle
classique à échelles égales.
Pour ce qui concerne les moyens de tabulation chimique, le code Flamelette
l‟emporte légèrement sur le code Chemkin pour la prédiction d‟une flamme
laminaire de méthane à contre courant.
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Combustion turbulente en phase gazeuse
119
À propos de l'écoulement réactif du méthane, on n‟a pas pu vérifier les performances
des deux modèles de combustion, à cause de l‟indisponibilité des résultats
expérimentaux de la même configuration dans le cas non réactif. Cependant, malgré
le désaccord entre le calcul et l‟expérience, on peut dire qu‟il y a une bonne
reproduction de la réalité par le calcul et que le désaccord signalé est dû à la
négligence de la modélisation de la radiation causée par la formation des suies.
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124
Troisième partie
Combustion du spray turbulent
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Combustion du spray turbulent
125
Combustion du spray turbulent
Introduction ................................................................................................................................... 126
1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles ............................ 126
2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée ................................................................ 130
2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte ..................................... 130
2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte ...................................... 136
3. Vaporisation d’une goutte en mouvement ......................................................................... 138
4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs .............................................................. 139
5. Méthodes numériques .......................................................................................................... 145
6. Résultats et discussion .......................................................................................................... 145
Conclusion ..................................................................................................................................... 158
Références ...................................................................................................................................... 159
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Combustion du spray turbulent
126
Introduction
La modélisation des flammes turbulentes en milieu purement gazeux a été étudiée lors dela deuxième partie. Maintenant, le problème qui se pose consiste à étendre les méthodes
développées au cas des flammes en milieu polyphasique, afin de tenir compte de la présence
de combustible en gouttes liquides. Nous essayons ici de présenter une approche qui
synthétise les connaissances acquises et permet d‟aborder les aspects de ce type de flamme,
ainsi que d‟en bâtir une simulation numérique.
En premier lieu, nous rappelons les différentes approches phénoménologiques des
mécanismes mis en jeu lors de la combustion turbulente des sprays, et ce, en décrivant lesinteractions qui prennent place entre la flamme et le liquide. D‟autant plus que, nous
exposerons quelques comportements de flamme diphasique. Par la suite, on s‟intéressera à la
théorie de la vaporisation, puis de la combustion d‟une goutte seule, avant de considérer la
combustion et les flammes dans les brouillards de gouttelettes. La représentation théorique
des brouillards réactif s, fera l‟objet de la quatrième section de cette partie. Il s‟agit là,
d‟établir les équations nécessaires pour représenter ce milieu, à qui doivent être associées des
modélisations de certains termes. Les problèmes associés à ces modélisations sont nombreuxet encore en cours de discussion. Dans la dernière section, nous montrons, les résultats de nos
simulations pour la configuration que nous avons choisie de traiter, ainsi que leurs
exploitations.
1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles
Dans des nombreux foyers, le combustible est injecté sous forme liquide ; une des raisons
à cela est que le stockage des liquides peut se faire avec des volumes plus petits que celui des
gaz. Cependant, dans la très grande majorité des cas, la combustion ne se fait pas sous forme
liquide ; le liquide se vaporise, tout en se décomposant, et ensuite seulement ces vapeurs se
mélangent et la combustion se produit en phase gazeuse. Sachant que le débit vaporisé en est
d‟autant plus important, il y a intérêt à créer le plus possible de surface de contact entre le
liquide et le gaz. C‟est pourquoi tous les brûleurs, utilisant un combustible liquide, injectent
ce dernier dans le foyer sous forme d‟un brouillard de gouttelettes, et la situation usuelle de la
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Combustion du spray turbulent
127
combustion d‟un liquide est donc celle de la combustion d‟un brouillard de goutte lettes dans
un milieu gazeux comburant.
La vaporisation et la combustion d‟une goutte sphérique de combustible liquide dans un
milieu gazeux oxydant sont donc des situations très intéressantes à étudier. Elles l‟ont ététhéoriquement pour la première foi dans les années cinquante (Godsave, 1953 ;
Spalding, 1953).
L‟approche théorique classique consiste à classer les f lammes en deux catégories idéales :
les flammes de prémélange et les flammes de diffusion. Cette classification ne s‟étend pas de
façon directe ou systématique aux flammes diphasique. En effet, on ne peut pas parler que de
la combustion de gouttes isolées ou la combustion de groupes de gouttes. Cependant, les
expériences dévoilent diverses structures de flammes de spray, et plusieurs classifications deces différents régimes ont été menées par un certain nombre de travaux. Nous allons ici
reconsidérer ces différentes structures possibles.
Les premiers jalons concernant la classification de la morphologie des flammes de sprays
ont été posé par l‟équipe de chercheurs de Chiu (Chiu et Liu, 1977), qui ont proposés de les
classés en fonction de différents paramètres (figure 3-1), et notamment le nombre sans
dimension G, définissant la combustion de groupe et s‟écrivant :
S
NpG
/ 325 (3.1)
Où Np est le nombre de gouttes dans le brouillard et S = δ s / δrf le paramètre de séparation,
avec δ s la distance moyenne entre les gouttes et δrf un rayon caractéristique d‟une flamme de
diffusion entourant une goutte isolée évaporante. On note que, dans le cas d‟un spray dilué, on
a l‟approximation suivante : δ s = n p1/3 où n p est le nombre de gouttes par unité de volume.
Lorsque G >> 1, alors on parle de combustion externe. Les gouttes étant trop proches, ladiffusion de chaleur ne peut se faire correctement entre elles. Seules les gouttes situées le plus
à l‟extérieur s‟évaporent et une flamme se forme alors autour du nuage. A l‟inverse, pour
G << 1, les gouttes sont très éloignées les unes des autres permettant à la chaleur de circuler
entre elles et provoquant une évaporation et une combustion individuelle.
Plus tard, Borghi et al. (2000) d´écrivent en outre, d‟autres modes de combustion (par
poches ou par percolation) en introduisant des temps caractéristiques chimiques et
d‟évaporation (épaisseur de la flamme δ f ; temps caractéristique de la flamme η f ; et tempsd‟évaporation moyen η v).
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Combustion du spray turbulent
128
Figure 3-1 : Diagramme de combustion de groupe (Chiu et al. 1977)
Figure 3-2 : Diagramme des flammes de prémélange diphasique ( Borghi et al. 2000)
Figure 3-3 : Différents types de combustion d’un spray observés par Réveillon et Vervisch (2005)
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Combustion du spray turbulent
129
A cela, s‟ajoute la flamme épaissie ou combustion distribuée, qui apparaît lorsque le temps
d‟évaporation est très long devant le temps chimique. Les gouttes ont alors le temps de
pénétrer la zone de réaction et la flamme s‟épaissit (la flamme est plus large que la distance
entre gouttes). Les différentes descriptions sont récapitulées dans le diagramme de la Fig 3-2.
Toutefois, et comme le soulignent Réveillon et Vervisch (2005), les descriptions
précédentes ne prennent pas en considération deux facteurs importants. Le premier est la
richesse globale du spray (proportionnelle au rapport entre masse de fuel liquide et masse
d‟oxydant), qui va avoir une importance considérable sur la distribution locale de carburant
gazeux et donc sur le type de flamme rencontré dans le foyer. Par exemple, des zones très
riches peuvent apparaître en dehors des limites de flammabilité. Le deuxième paramètre est
l‟advection. La description précédente n‟en tient pas compte, or là encore, il est clair que dansun brûleur réel, la vitesse du gaz et des gouttes va avoir une influence authentique sur la
topologie de la flamme. Ils ont donc mené une étude complète à l‟aide de DNS d‟un spray
dilué dont la richesse globale, le temps d‟évaporation et la séparation entre les gouttes varient,
pour des cas laminaires et faiblement turbulents. Ils mettent ainsi en évidence différentes
structures de flammes, en plus de celles décrites par Borghi. Les trois principales sont les
suivantes (voir la figure 3-3) :
Combustion externe : elle correspond à un régime dans lequel il existe uneflamme continue. Cette combustion externe peut être "fermée" (faible richesse,
le spray est enfermé par la flamme, la combustion est principalement
prémélangée) ou "ouverte" (richesse plus importante, la flamme se positionne au
niveau de la ligne stoechiométrique).
Combustion de groupe : les gouttes brûlent par paquets. La combustion peut être
prémélangée riche ou bien de diffusion.
Combustion hybride : il s‟agit d‟un mode situé entre les deux précédents. On
assiste à la combustion prémélangée par paquets. Cependant, comme la richesse
globale est plus importante, les fronts de diffusion ne peuvent se stabiliser
autour des gouttes. Le fuel restant brûle en formant une flamme de diffusion à
l‟extérieur du spray.
Cependant, dans une configuration complexe avec des zones de recirculation et un spray
polydispersé, il est fort probable qu‟on rencontre tous les types de flammes évoqués
précédemment.
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Combustion du spray turbulent
130
2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée
Avant d‟envisager une discussion de différentes études, aussi bien théoriques
qu‟expérimentales, qui ont traité la combustion des brouillards de gouttes, il faut considéreren premier lieu le cas le plus simple qui est l‟évaporation et la combustion d‟une goutte
immobile. Même si cette hypothèse de gouttes isolées n‟est pas satisfaisante, la description de
l‟évaporation et la combustion d‟une goutte seule a été largement étudiée, et fait encore
l‟objet de nombreuses recherches. Parmi les revues de synthèse existantes, citons celles de
Law (1982, 1993) et Sirignano (1983,1999).
Une première classification des différentes études sur les phénomènes d‟évaporation et de
combustion de gouttes concerne le traitement de la phase gazeuse, suivant qu‟elle est
considérée comme quasi-stationnaire ou instationnaire. Une deuxième classification est liée
au traitement de la phase liquide, suivant que la température est supposée uniforme ou bien
que l‟on prend en compte les phénomènes de conduction ou de convection à l‟intérieur de la
goutte. Enfin, la convection (vitesse relative goutte/écoulement) peut être prise en compte par
l‟intermédiaire de lois de corrélation ou bien calculée de façon complète.
Nous considérons donc, le cas idéal, où la goutte du combustible est dans une atmosphère
comburante d‟extension infinie et immobile (stationnaire), et où la géométrie du problème est
sphérique. Nous confinerons pour étudier seulement la situation la plus simple possible de la
gazéification de gouttelette, à savoir la loi en d 2 de la vaporisation et de la combustion d‟une
goutte. Dans cette situation la gouttelette est traitée comme source constante de vapeur de
carburant de composante unique, impliquant que nous n'avons pas besoin d'être concernés par
les procédés de transfert de chaleur et de masse à l'intérieur de la gouttelette.
2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte
Le problème à étudier est schématisé dans la figure 3-4, sachant que les échanges se font
par diffusion moléculaire, la diffusion de la chaleur est représentée par la loi de Fourier, et la
diffusion d‟espèces par la loi de Fick. Connaissant aussi que
r s : Rayon instantané de la goutte.
r fT : Rayon du film pour les transferts de chaleur.
r fM : Rayon du film de diffusion de la vapeur.
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Combustion du spray turbulent
131
Vapeur de liquide :
En r = r fM : 11 Y Y
En r = r S :S
Y Y 11
l vapGS Q Lmqr 0
24
Température du gaz :
En r = r S : T = T S
En r = r fT : T = T ∞
Figure 3-4 : Description du modèle dans le cas d’une goutte au repos.
Figure 3-5: Répartitions de concentrations et de température autour d’une goutte en évaporation
Figure 3-6 : Répartitions de concentrations et d e température autour d’une goutte en combustion
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Combustion du spray turbulent
132
Le flux de chaleur arrivant sur la goutte Q g est divisé en deux parties, une partie représente
la quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte Ql et une partie ( Lvap) permet
l‟évaporation du liquide; Lvap étant la chaleur latente de vaporisation par unité de masse.
Les équations classiques de la mécanique des fluides sont appliquées mais exprimées dansun repère sphérique. Elles permettent de trouver les évolutions des quantités Y 1 et T autour de
la goutte. La forme attendue de profils est schématisée sur la figure 3-5.
Équation de conservation de la masse :
04 2
r r
g ( , vitesse radiale des gaz) (3.2)
Équation de conservation de la fraction massique du vapeur de fuel :
r
Y Dr
r r
Y r g g
11
212 44 (3.3)
Équation de conservation de l‟énergie en terme de température :
r
T r
r r
T C r g
p
g 2244 (3.4)
L‟intégration de ces équations, ainsi que l‟application des conditions aux limitesappropriées aboutissent à :
Bilan de vapeur à la surface de la goutte
La vapeur diffusée dans l‟écoulement en provenance de la vaporisation de la goutte est
gérée par l‟équation de transport de la fraction massique de vapeur (annexe E, (E-21)) :
M *
S g B LnShr Dm 12 1
0
(3.5)
Où *hS est le nombre de Sherwood lié à la convection autour de la goutte et qui vaut 2 dans
le cas d‟une goutte au repos. Contrairement à l‟apparence, la formule (3.5) n‟offre pas encore
le débit vaporisé. En effet, le nombre de transfert de masse de Spalding n‟est pas encore
connu pour le moment. Il est défini par la relation suivante :
s
s
M Y
Y Y B
1
11
1
(3.6)
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Combustion du spray turbulent
133
Où, Y S 1 est la fraction massique de vapeur à la surface de la goutte définie par :
2111
111
1 m X X m
X mY S
(3.7)
Ou encore :
2
112
1
2
11
1m
X mm
X
m
mY S
(3.8)
Avec m1 et m2 sont les masses molaires du combustible et de l‟oxydant. X 1 est la fraction
molaire qui est relié à la pression de saturation à travers la relation de Clausius-Clapeyron,
pour une chaleur latente de vaporisation Lvap = cte comme suit :
S
B
vapatm sat
T T R
m L p xe
P
P
P
P X
111
1 (3.9)
Où, T B est la température d‟ébullition ou de saturation du liquide ; T S est la température de
la surface de la goutte, P est la pression partielle de vapeur, P atm la pression atmosphérique, et
R, la constante des gaz parfaits.
Si on suppose que T B à la pression de référence égale à l‟unité, on obtient :
S ref
vapref
sat
T T R
L p xe
P
P
P
P X
111 (3.10)
Dans le même contexte, on peut utiliser aussi la corrélation proposée par Reid et al.
(1987) :
crit
S
.
crit
S
.
crit
S
.
crit
S
S
crit crit sat
T
T .
T
T .
T
T .
T
T .
T
T p xe
P
P
P
P X
1764517
1458381
1775802
1233031
51
51
52
1
(3.11)
Avec T crit , la température critique du liquide.
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Combustion du spray turbulent
134
Évolution du diamètre de la goutte
L‟évolution du diamètre de la goutte au cours du temps est alors obtenue à partir de
l‟équation du débit évaporé (annexe E, (E-34)).
vapl
g
C Ddt
dD
2 (3.12)
Où, Λ est le débit vaporisé adimensionnel ; λ g est la conductivité thermique du vapeur ;
C vap est la chaleur spécifique de la vapeur ; et ρl la masse volumique du liquide.
Le débit vaporisé adimensionnel est donné par l‟expression suivante:
T
*
g s
vap
M
*
B Ln Nur
C m
= B Ln Le
Sh
121
0
1 (3.13)
Avec Le1 le nombre de Lewis donné comme suit :
1
1D g vap
g
C Le
(3.14)
Le débit vaporisé déjà donné par la relation (3.5) en fonction des transferts de masse, peut
être également défini en fonction des transferts de chaleur, sous la forme suivante :
T
*
S
vap
g B Ln Nur
C m 120
(3.15)
Où BT est le nombre de transfert de chaleur de Spalding qui est donné par la
relation suivante :
0
m / Q L
T T C B
Lvap
S
vap
T
(3.16)
Après quelque étapes de calculs, et on partant de la relation (3.9), on peut montrer alors
que BT et Bm sont relies par la relation suivante :
*Sh / * Nu Le
T m B B 111 (3.17)
Évolution de la température de la goutte
L‟évolution temporelle de la température de la goutte est calculée à partir du modèle àconductivité infinie.
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Combustion du spray turbulent
135
Ce modèle suppose que la conductivité thermique du liquide est très supérieure à celle du
gaz et donc que la température T s est uniforme partout dans la goutte. Ceci est vérifié pour la
majorité des hydrocarbures où le rapport entre les conductivités thermiques du liquide et du
gaz est de l‟ordre de 5 au minimum. On obtient :
l l
l
sl l
l S
C
Q
r C
Q
Ddt
dT
33 4
36 (3.18)
Où, C l est la chaleur spécifique du liquide et Ql est la quantité de chaleur transmise à la
goutte, par unité de temps.
L‟expression de Ql est donnée par (annexe E ; (E-27)) :
vap
vap s g sl
C L )T T ( Nur Q 2 (3.19)
Où Nu est le nombre de Nusselt effectif, donné par :
D
T T
q Nu
S
g
g
(3.20)
Le nombre de Nusselt effectif Nu et le débit adimensionnel Λ sont reliés par la relation
suivante :
1
* Nu / exp Nu
(3.21)
Avec * Nu , le nombre de Nusselt lié à la convection qui vaut 2 dans le cas d‟une goutte au
repos.
Propriétés physiques
La modélisation des propriétés physiques de la phase gazeuse autour de la goutte est très
importante car elle conditionne les échanges thermiques et massiques à la surface de la goutte.
Elles sont estimées à l‟état de référence suivante :
111113
1
3
21 Y Y Y AY AY S
R
S
R
ref (3.22)
T T T AT AT S R
S R
ref
31
321 (3.23)
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Combustion du spray turbulent
136
Nous utiliserons la valeur A R = 1/3, comme le préconisent Hubbard et al (1975). Déjà,
Plusieurs études ont été réalisées pour déterminer l‟état de référence auquel sont évaluées les
propriétés physiques du film. Toutes montrent que la règle de 1/3 donne les meilleurs résultats
(Yuen et Chen, 1975 ; Abramzone et Sirignano, 1987).
2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte
Ce problème se traite de façon très semblable au cas précédente, et ce, en reprenant les
mêmes hypothèses simplificatrices, et en y ajoutant de plus que la combustion, qui peut être
décrite par une réaction unique, globale, très rapide, et irréversible, de façon que le
combustible et l‟oxydant ne peuvent être présents au même endroit sans brûler trèsrapidement. Le front de flamme ou la zone de réaction est maintenue à une distance de la
goutte où les quantités de combustible Y 1 et de comburant Y ox sont proches des proportions
stœchiométriques. La chaleur produite par la réaction de combustion contribue alors
principalement à la vaporisation de la goutte. Sur la figure 3-6, on peut voir les profils de Y Ox,
Y 1 et T que l‟on s‟attend à trouver en fonction de r , et la comparaison avec la figure 3-5
montre l‟effet escompté de la combustion, puisque Y 1 s‟annule brusquement dés le front de
flamme et ne tend pas asymptotiquement vers 0 comme dans le cas de l‟évaporation pure. Les équations de bilan dans le milieu gazeux autour de la goutte en combustion sont
semblables à celles d‟une goutte en évaporation, seulement, en y rajoute les termes de
réaction :
Équation de conservation de la masse :
04 2
r r
g ( , vitesse radiale des gaz) (3.24)
Équation de conservation de la fraction massique du vapeur de fuel :
2
11
1
212444 r m
r
Y Dr
r r
Y r g g
(3.25)
Équation de conservation de la température :
222 444 r q
r
T r
r r
T C r g
p
g
(3.26)
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Combustion du spray turbulent
137
Dans ces expressions, désigne le taux de réaction molaire par unité de volume et q la
chaleur molaire de réaction par unité de volume. m1 est la masse molaire de la vapeur du fuel.
L‟hypothèse d‟une réaction infiniment rapide permet d‟introduire la variable Z ou la
fraction de mélange définie par :
1
1
2 m
Y
m
Y Z ox
(3.27)
Z peut satisfaire une équation sans terme de réaction :
r
Z Dr
r r
Z r g g 1
2244 (3.28)
L‟intégration de l‟équation (3.24), ainsi que l‟application des conditions aux limitesappropriées aboutie à :
1
0
1
20
4m
m
r
Z Dr Z m g
(3.29)
Ainsi,
21
0
1
41 r
r
D
m
m Z
Z
g
(3.30)
En intégrant de nouveau, on obtient :
r D
mexp
mm
Y
m Z
g
ox
1
0
121 4
11
(3.31)
En se plaçant à la surface de la goutte, où1
1
m
Y Z
S
, il est possible de déterminer le débit
Vaporisé0
m , ainsi que la diminution du diamètre de la goutte, et ceux, à travers, le nombre de
transfert de masse de Spalding M B ,qui est la véritable inconnue du problème, et qui en
combustion, s‟écrit :
S
ox
S
M Y
Y m
mY
B 1
2
11
1
(3.32)
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Combustion du spray turbulent
138
De même, en partant de l‟équation de conservation de l‟énergie ou de la température
(3.22), et en introduisant une variable intermédiaire Z T , on peut aboutir à l‟équation du
nombre de transfert de chaleur de Spalding BT :
0
2
m
Q L
qmY T T C
Bl
vap
oxS
P
T
(3.33)
3. Vaporisation d’une goutte en mouvement
Plusieurs phénomènes influencent les caractéristiques de vaporisation et de combustion des
gouttes de combustibles liquides dans les brouillards. L‟un des plus intéressants est sans doute
le phénomène de convection qui est dû à l‟existence d‟une vitesse relative entre les gouttes
liquides injectées et le gaz comburant. Ce phénomène de convection affecte l‟ensemble des
processus rencontrés que l‟on connaît sur la vaporisation et la combustion d‟une seule goutte.
Ceci, à travers l‟amincissement de la couche limite gazeuse entourant la phase liquide, et par
conséquent, l‟augmentation des transferts de masse et de chaleur.
Ce phénomène est pris en compte par l‟intermédiaire de corrélations. L‟étude
dimensionnelle du problème montre que ces lois de corrélation sont de la forme :
T ep* B , Pr , R f Nu et mep
* B ,Sc , R f Sh Où
vap g
g
C Pr
: Nombre de Prandtl.
1 DSc
g
g
: Nombre de Schmidt du milieu gazeux.
Différentes corrélations sont proposées dans la littérature.
La corrélation la plus communément utilisée est celle de Ranz-Marshall (1952), et elle a la
forme suivante :
312 Pr R0.55+2= Nu*
1
ep (3.34)
312Sc R0.55+2=Sh*
1
ep (3.35)
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Combustion du spray turbulent
139
Plus tard, Faeth (1977), propose une correction à l‟expression précédente, basée sur les
travaux théoriques de Fedell (1968), et qui s‟écrit :
21
34
312
23211
/
ep
1
ep
Pr R
.
Pr R0.55+2= Nu*
(3.36)
21
34
312
23211
/
ep
1ep
Sc R
.
Sc R0.55+2=Sh*
(3.37)
Ces deux expressions sont adoptées dans nos simulations. Ce choix est basé sur les travaux
de Grancher (1990), qui a concouru les différentes corrélations proposées dans la littérature,
afin d‟estimer leur domaine d‟application et leur validité dans le cas que nous traitons.
Concernant la combustion d‟une seule goutte en mouvement, jusqu'à maintenant, aucune
étude purement théorique n‟est établie. Seulement, des tentatives expérimentales ou
numériques ont été menées.
4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs
Dans le but de modéliser la combustion dans les sprays, une voie alternative, permet de
considérer la combustion globale du spray comme étant la somme de la combustion de chaque
goutte individuelle. Dans ce cas, il est possible de résoudre analytiquement les équations
décrivant la combustion d'une goutte isolée (Law, 1982). Néanmoins, des études
expérimentales (Miyasaka et Law, 1981 ; Castanet, 2004) ont eu tendance à montrer que la
combustion d'une goutte seule était fortement perturbée par la présence d'autres gouttes dans
son voisinage. D‟autant plus que, l'analyse de la combustion des sprays a montré que le
régime de combustion où chaque goutte est entourée d'une flamme n'est pas du tout général,
et c‟est en phase gazeuse du milieu polyphasique que les réactions chimiques de combustion
des vapeurs de combustible et comburant prend place. C'est pourquoi les tentatives de
modélisation de la combustion diphasique turbulente ne se basent jamais sur la combustion
d'une goutte isolée. La plupart des tentatives tiennent compte de la présence des gouttes à
travers des termes sources supplémentaires dus à la vaporisation. Par contre, en ce quiconcerne la combustion, elles se servent des méthodes développées dans le cadre de la
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Combustion du spray turbulent
140
combustion purement gazeuse et la présence des gouttes n'est prise en compte que lors de la
fermeture des termes nécessaires à ces méthodes.
L'approche la plus simple consiste à supposer que la combustion turbulente n'est pas
affectée par la présence physique des gouttes mais seulement par les vapeurs que celles-ci produisent. Ca devrait être le cas, quand le rayon des gouttes tend vers zéro. Le modèle est
celui de Magnussen et Hjertagrer (1977), qui par sa simplicité, ne permet pas une prise en
compte des gouttes. Ce modèle a été employé pour la simulation de la combustion d‟un
brouillard de gouttelettes de propane dans un atmosphère au repos (Makhviladze et al., 1999),
ainsi que dans un moteur Diesel (Xin et al., 1998) associé avec le modèle chimique
Shell (Halstead et al., 1977). Durant l'auto-allumage, la chimie est supposée très lente devant
le mélange (Da << 1), le taux de combustion est donc contrôlé par la chimie, le modèle Shellest employé. Quand la concentration en radicaux accroît, la chimie est supposée s'accélérer
jusqu'à devenir beaucoup plus rapide que le mélange (Da >> 1), le modèle de dissipation de
tourbillons est alors utilisé, à partir d'un certain seuil plutôt arbitraire. La période de transition
est critique car les deux modèles ne sont plus dans un cadre respectant leurs hypothèses.
Cependant, il existe des cas où la présence des gouttes modifie fortement les flammes comme
le montre les résultats expérimentaux de Amsden et al. (1989) et Annamalai et al. (1992).
Des modèles plus sophistiqués ont été développés et proposés dans la littérature. Citons parexemple, les modèles basés sur le calcul de la densité de surface de flamme qui suppose que
la structure des flammelettes est similaire à la structure des flammes gazeuses. Ces modèles se
décomposent en deux catégories différentes. Il faut préciser s'il s'agit de flammelettes de
diffusion ou de flammelettes de prémélange. Or les deux types de flammelettes peuvent
coexister dans les structures fines des flammes diphasiques. Il faut en plus, connaître la
densité de surface de flamme de prémélange et la densité de surface de flamme de diffusion
(Veynante et al., 1989 ; Dillies et al., 1993). Barbeau (1998) utilise pareillement le modèle de
surface de flamme, mais considère une flammelette de prémélange où le taux de réaction par
unité de surface de flamme est calculé comme la moyenne de ce taux de réaction pour
différentes flammeslettes de prémélange avec différentes richesses correspondant chacune à
une variable de mélange Z . Il utilise alors une PDF présumée de cette variable de mélange, ce
qui permet de décrire les fluctuations de richesse.
Une autre approche consiste à déterminer le taux de réaction d'une flamme laminaire
diphasique. Dans ce cas, les flammelettes ne se situent pas entre les gouttes mais plutôt autourde paquets de gouttes ou groupes de gouttes. De nombreuses expériences et simulations
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Combustion du spray turbulent
141
numériques directes ont été dédiées aux flammes laminaires à contre courant diphasique
(Chen et Gomez 1996 ; Gutheil et Sirignano 1998 ; Watanabe et al. 2008) qui permettent,
dans un premier temps, d'étudier les flammes laminaires diphasiques et qui pourraient servir
de bibliothèque pour un modèle de PDF présumée dans un deuxième temps. Deux modèles
ont été présentés dans la littérature. Ceux qui utilisent une bibliothèque de flammes laminaires
qui ne tient pas compte de la présence des gouttes (Gill et al. 1995), ce qui correspond
approximativement au cas de flammelettes à prévaporisation. Une amélioration a été faite plus
tard, utilisant des flammelettes diphasiques (Ge et Gutheil, 2008 ; Chrigui, 2005). Les
flammelettes laminaires utilisées dans la bibliothèque sont des flammes de diffusion ce qui
limite l'utilisation de ces modèles aux flammes turbulentes de diffusion à chimie
suffisamment rapide pour négliger les flammelettes de prémélange qui pourraient exister.
Il est possible aussi de calculer la PDF de plusieurs scalaires de la même façon que dans le
cas gazeux mais en tenant compte du spray (Durand et al., 1996 ; Jones et Sheen, 1999). Dans
ce cas, il n'est pas nécessaire de préjuger que la flamme est composée de flammelettes
laminaires. Donc il est possible de traiter à la fois des flammes de prémélange et des flammes
de diffusion, sans présumer la structure du front de flamme. Cependant il faut transporter
autant d'espèces qu'il est nécessaire pour calculer le taux de réaction. Même avec une méthode
de type Monte-Carlo, la résolution de l'équation de transport de la PDF des scalaires en plus
de la résolution de l'équation de transport du spray, aussi avec une méthode de Monte-Carlo,
reste une solution onéreuse en terme de puissance de calcul.
D‟autant plus que, Demoulin et Borghi (1999, 2002) ont calculé la PDF de Z de façon
présumée, tout en tenant compte du spray. Ils ont adapté aussi le modèle MIL (Modèle
Intermittent Lagrangien) au cas diphasique, afin de pouvoir prendre en compte des effets de
chimie non infiniment rapide, et ils l‟ont appliqué pour la combustion dans un moteur diesel.
Tout comme Ge et Gutheil (2006, 2007, 2008), qui ont testé plusieurs constantes du modèle
MIL pour décrire le mélange moléculaire, ainsi qu‟ils ont modifié et discuté la fonction β de
la PDF présumée, sachant que le couplage chimie/turbulence a été accompli par le modèle
Flamelette. Dans le même contexte, Kim et Huh (2002) ; Mortensen et Bilger (2009) ; ont
étendu le modèle CMC (conditional moment closure), développé à l‟origine pour la
modélisation de la combustion dans les écoulements purement gazeux aux écoulements à
plusieurs phases.
Dans la présente étude, l‟approche adoptée est celle de PDF présumée, servant d‟une bibliothèque de flamelette laminaire à contre courant diphasique. Cette approche a été
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Combustion du spray turbulent
142
développée pour la première fois par Hollmann et Gutheil (1998), pour la simulation d‟une
flamme diphasique de diffusion, et qui est une extension du modèle flamelette dans le cas
monophasique. Dans cette approche, donner la distribution de la fraction de mélange ainsi que
sa variance, permet d‟obtenir par interpolation, la distribution de la densité, de la température,
des espèces chimiques à partir de la librairie flamelette. Par conséquent, la principale
difficulté réside dans la modélisation du terme source du fluctuation de la fraction de
mélange, outre la modélisation du terme source de masse ou de vapeur.
Une discussion de plusieurs modèles de fluctuation d‟un scalaire peut être trouvée dans
Colin et Benkenida (2003), qui ont proposé un nouveau modèle à deux équations, basé sur la
variance de la fraction massique et la dissipation scalaire. Ce dernier modèle prend en
considération le temps total nécessaire pour un mélange parfait entre le fuel évaporé à lasurface de la goutte et le gaz environnant. Dans la présente étude, nous avons adopté le
modèle développé par Hollmann et Gutheil (1998), du moins, en raison de sa simplicité
(tableau 3-1), sachant que, Kim et Huh (2002) ont testé trois modèles de terme source de
fluctuations de la fraction de mélange : le modèle de Hollmann et Gutheil (1998), le modèle
SDM (Single Droplet Model) de Réveillon et Vervisch (2000), le modèle où ils ne
considèrent pas ce terme. Ils ont signalé que les trois modèles fournissent les mêmes
prédictions, à cause de leurs contributions, qui est négligeable devant les autres termes. Ils ont
suggéré aussi, de modifier la fonction β de la pdf dans le spray en évaporation. Alors que,
Réveillon (2004) a signalé que les termes sources de fluctuations de Z liés à l‟évaporation du
spray sont du même ordre de grandeur que les termes de dissipation et ne sont absolument pas
négligeables.
C‟est en général, en phase gazeuse du milieu polyphasique, qui est le siège des réactions
chimiques de combustion des vapeurs de combustible et du comburant. Mais cette
combustion se fait dans un milieu turbulent, comportant des fluctuations de vitesse, de
fraction massique et de température. Comme c‟est souvent le cas, l‟approche Eulérienne-
Lagrangienne, qui est adoptée le long de cette étude, consiste à résoudre tout d‟abord les
équations de transport des variables décrivant les paramètres du fluide sans tenir compte des
termes sources de la phase dispersée. Cette phase gazeuse qui est décrite dans un contexte
Eulérien, par la résolution de l‟ensemble des équations de conservation de la masse
(continuité), et de la quantité de mouvement, à qui s‟ajoute deux équations supplémentaires,
celle de l‟énergie cinétique turbulente ainsi que sa dissipation, dans le but de la détermination
de viscosité turbulente µt .
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Combustion du spray turbulent
143
Ces équations s‟écrivent en coordonné cylindrique de la forme elliptique générale suivante :
l g S S
r r
r r x xV r
r r U
x
11 (3.38)
Où Φ est la quantité transportable, Г Ф est le coefficient de diffusion, S gФ est le terme
source de l‟écoulement turbulent, et S l Ф est le terme source due à la phase liquide. Le tableau
3-1 récapitule l‟ensemble de ces équations. Par conséquent, on aura le champ dynamique de
l‟écoulement porteur turbulent, qui sera la base de l‟approche Lagrangienne destiné à
l‟estimation des propriétés des gouttes, et ce, en résolvant un système de quatre équations.
Pour chaque goutte, les paramètres suivants sont résolus : le vecteur position, le vecteur
vitesse, le diamètre et la température. Les équations pour les gouttes sont les suivants :
i , g
i , g u
dt
dx (3.39)
l
f
ii , g i , f .
pe f
g l i , g g uu
R.
D
dt
du
1
150118 6870
2
(3.40)
M
vap g l
g
*
g B Ln
C D Le
Sh
dt
dD
1
2
1
(3.41)
T
*
vap
vap s
l l g
g S
B Ln NuC
L )T T ( Nu
C Ddt
dT 1
62
(3.42)
La vitesse de l‟écoulement à la position de la goutte, ainsi que le pas de temps sont
calculées à l‟aide du modèle de corrélation de temps. Les nombres de Sherwood et de Nusselt
convectifs sont donnés par les relations 3.36 et 3.37.
L‟étape suivante consiste à recalculer la phase porteur, toute en tenant compte des termessources induites par les gouttes, et en y ajoutant deux équations supplémentaires, à savoir,
l‟équation de la fraction de mélange, ainsi que sa variance. Après quelque itérations entre le
module Eulérien et le module Lagrangien, et dés qu‟on obtient un champ stable de Z ~
et 2 Z ~ ,
on applique l'approche de PDF présumée à travers l'équation (2.61), pour déterminer le champ
de la température du mélange réactif, le champ de la fraction massique des espèces chimiques
produit par la réaction, et la densité volumique moyenne nécessaire pour l‟établissement du
champ dynamique réactif. Sachant que Z p
~
est déterminé par la fonction Bêta et Z est prise à partir de la librairie flamelette.
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Combustion du spray turbulent
144
Tableau 3-1: Équations de transport de la phase gazeuse.
Où :
n : Le nombre moyen de gouttes par unité de volume.
. : La moyenne effectuée sur les gouttes présentes dans le volume considéré.
G : Terme de production de l‟énergie cinétique de la turbulence.
T ref : Température de référence définie par l‟équation (3.23)
Sct ; ζ θ’ sont tous égaux à 0.7
Équation Ф Г Ф S gФ S lФ
Continuité 1 0 0 0
mn
Quantité de
mouvement
axiale
u μeff = μ + μt
r
vr
r r x
u
x x
P eff eff
1
g
t d
ud mn p
Quantité de
mouvement
radiale
v μeff = μ + μt 22
1
r
v
r
vr
r r r
u
xr
P eff eff
t d
vd mn p
Énergie
cinétique
turbulente
k k k
eff t
G - ρε 0
Taux de
dissipation
de k
ε
t eff
k cG
k c
2
21
0
Fraction de
mélange Z
t t
eff
ScSc
t
0 0
mn
Fluctuation
de la fraction
de mélange
2" Z ~
t eff 22 22 " z ~
k Z divt
Z
Z " Z ~
mn 2120
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Combustion du spray turbulent
145
5. Méthodes numériques
La méthode numérique a été évoquée dans la première et la deuxième partie, et détaillée
dans les annexes A et B. Le code utilisé pour la phase Eulérienne est une version améliorée ducode TEACH (Gosman et Ideriah, 1976). Pour la phase Lagrangienne, le code exploité est
celui de PALAS (PArticle Lagrangian Simulation; Berlemont et al., 1990, 1995). Le couplage
entre les deux phases est accompli à l‟aide du processus PSI-CELL (Crowe et al., 1977) à
travers les termes sources S lФ de l‟équation (3.38) et qui sont détaillés dans le tableau 3-1.
Généralement, trois itérations entre la phase Eulérienne et la phase Lagrangienne peuvent
amener à des résultats satisfaisants afin d‟achever une convergence des résultats.
Le maillage utilisé, la dimension du domaine, les conditions aux limites, le nombre des
gouttes, sont les même que dans la première partie.
Le couplage RANS/PDF-présumée a été développé dans la deuxième partie. Les équations
de conservation qui décrivent la structure d'une flammelette diphasique de diffusion laminaire
Do-décane-air, mono-dimensionnelle et instationnaire sont résolues en utilisant le code de
calcul Flamelette développé à l‟origine par Rogg (1997), sachant que le mécanisme
réactionnel utilisé inclus 57 espèces et 73 réactions élémentaires.
6. Résultats et discussion
La configuration traitée durant cette thèse, est celle d‟un jet axisymétrique turbulent
débouchant dans l‟air ambiant. Cependant, aucun résultat expérimental clairement défini, et
permettant une comparaison efficace, n‟a pour l‟instant été trouvé dans nos recherches
bibliographiques. La plus part des expériences disponibles, concernent les atomiseurs de typeHallow-cone (Sommerfeld et Qiu, 1998 ; Ge et Gutheil, 2008) ; ou les jets à cœur liquide
déstabilisés par un écoulement annulaire d'air (Cessou, 1994). Par conséquent, nous avons
choisi arbitrairement une configuration (la même configuration traitée dans la première partie,
sauf le taux de chargement des gouttes qui a été augmenté afin d‟accroîtr e le couplage entre
les deux phases, et par conséquent le débit volumique des gouttes), et dont les principaux
paramètres sont récapitulés dans le tableau 3-2.
Les résultats présentés sont obtenus avec une chimie supposée infiniment brusque etdétaillée, le mécanisme réactionnel utilisé inclus 57 espèces et 73 réactions élémentaires.
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Combustion du spray turbulent
146
U f C 0 d / 2 D g Ø Re Qv f Qv l
m.s -1 m µm l.s -1 l.s -1
24.85 0.005 45 - 50 0.5 13100 1.492 0.746
Tableau 3-2 : Configuration expérimentale
La Figure 3-7 et la Figure 3-8 montrent respectivement les évolutions des fractions
massiques du carburant C12H26 (Do-décane), de l‟oxydant O2 et de quelques produits de
combustion (CO2, CO et H2O) ainsi que la température pour une flammelette de diffusion
diphasique laminaire à contre courant pour un taux d‟étirement a égal à 100 s-1.
La valeur de la fraction de mélange stœchiométrique obtenue lors de notre simulation est
de 0.077, alors que la valeur théorique est de 0.064. Cela est dû à plusieurs paramètres, tel que
le taux d‟étirement, le taux d‟équivalence et le taux de chargement, qui influent la quantité de
vapeur obtenue avant d‟atteindre la zone de la flamme de diffusion (Watanabe et al. 2007).
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50Fraction de mélange
0.00
0.10
0.20
0.30
F r a c t i o n
m a s s i q u e
H2O
CO2
CO
Figure 3-7: Fraction massique des espèces d'une
flammelette de Do-décane
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50Fraction de mélange
0
500
1000
1500
2000
2500
T e m p é r a t u r e
Z st = 0.077
Figure 3-8: Température d'une flammelette
laminaire de Do-décane
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Combustion du spray turbulent
147
Figure 3-9 : vecteurs vitesse et contours de la fraction massique du vapeur du fuel
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Combustion du spray turbulent
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Figure 3-10 : vecteurs vitesse, lignes de courant et contours de la température moyenne.
0
0 . 0
1
0 . 0
2
0 . 0
3
0 . 0
4
0 . 0 5
0 . 0
6
X
( m
)
0
0 . 0
1
0 . 0
2
0 . 0
3
0 . 0
4
0 . 0
5
0 . 0
6
Y ( m )
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Combustion du spray turbulent
149
La figure 3-9 présente le champ dynamique de l‟écoulement turbulent associé au champ de
la fraction massique de vapeur du combustible (Do-décane) dans une section longitudinale du
domaine de calcul.
Concernant le champ de vitesse, on constate qu‟il y a des zones de recirculation, ceci vientdu fait que, le jet central à une vitesse et une inertie plus important, il entraîne avec lui l‟air du
jet auxiliaire ayant à l‟origine une vitesse très faible. Cette accélération et orientation vers le
centre crée des zones d‟aspiration provoquant ainsi l‟arrivé de l‟air de la partie haute, d‟où la
présence sur cette figure de vecteurs vitesses dirigés vers le bas.
Concernant la fraction massique de la vapeur, on manipule avec des gouttes de petite
taille ; dés leurs misent en contact avec l‟air chaud, ces gouttes s‟évaporent rapidement et
totalement et on remarque, qu‟avant une distance de 10 cm de l‟injecteur, toutes les gouttessont évaporées, et que la vapeur résultante est portée vers le haut et sur les bords par
convection et diffusion.
On observe aussi, à travers la figure3-9, que la fraction massique de la vapeur ou
couramment la fraction de mélange, est riche dans la zone du noyau potentielle du jet, atteint
la stœchiométrie à une distance de 0.23 m de la buse d‟injection, et finir par devenir pauvre au
delà de cette distance. Sachant qu‟en présence de la flamme, la forte chaleur résultante
dégagée, favorise l‟évaporation des gouttes, et par conséquent, le positionnement de lastœchiométrie sera décalé vers le haut.
Dans notre configuration, on peut assister à deux types de flamme, une flamme de
prémélange dans la première zone, où le combustible évaporé se mélange avec l‟oxydant du
jet central et s‟enflamme par la suite, et une flamme de diffusion. Ce dernier type de flamme
ne peut se manifester que lorsque le jet est bien chargé de gouttes, ainsi une bonne portion de
vapeur n‟aura pas la possibilité d‟être consommé au départ et elle va se mélanger par
diffusion avec l‟air en provenance du milieu environnant. Par contre, si le taux de chargement
est faible, la quantité d‟air du jet central est largement suffisante pour pouvoir consommer la
totalité du combustible évaporé et on sera alors dans le cas d‟une flamme de pr émélange
uniquement. Si on manipule avec des gouttes assez grosses, ces dernières n‟auront pas assez
de temps pour s‟évaporer complètement, pour cela, elles continuent leurs trajectoires vers le
haut du jet, et elles seront entourées par une flamme de diffusion.
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Combustion du spray turbulent
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Figure 3-11 : Contours de la fraction massique de H2O.
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Combustion du spray turbulent
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Figure 3-12 : Contours de la fraction massique de CO.
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Figure 3-13 : Contours de la fraction massique de CO2.
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Figure 3-14 : Contours de la fraction massique de N02
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Figure 3-15 : Contours de la fraction massique de N0.
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Figure 3-16 : Contours de la fraction massique de CH4.
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Combustion du spray turbulent
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Figure 3-17 : Contours de la fraction massique de O2.
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Combustion du spray turbulent
157
La figure 3-10 présente conjointement le champ de vecteurs vitesses, les lignes de courant
et le champ de température du jet, rond, turbulent, réactif, chargé de gouttelettes de
Do-décane.
En agrandissant la zone située près de l‟injecteur. On remarque l‟établissement d‟une zonede recirculation permettant l‟accrochage de la flamme à la buse en l‟empêchant de se décoller.
La présence d‟une bande chaude présentant les zones de réaction placée au cœur du jet,
entraîne une poussé des gaz vers l‟extérieur provoquant ainsi l‟élargissement du jet.
L‟aspect de notre flamme correspond plus à une flamme de prémélange, ceci est du au
faite, qu‟il y a une bonne quantité d‟air qui est injecté avec les gouttes dans le jet central. Par
contre si le jet était du liquide pur, on aura plus la structure d‟une flamme de diffusion.
Sachant que, la position de la flamme dans notre cas, est indiquée par la valeur
stoechiométrique de la fraction de mélange du Do-décane ( Zst = 0.077), où la température est
maximale et qui sera diffusée et convectée vers les bords du jet.
Les figures allant de 3-11 à 3-17 présentent les fractions massiques de quelques produits de
combustion, tel que H2O, CO, CO2, NO2, NO, CH4, et O2.
La figure 3-11, nous montre une abondante dans la production de la vapeur d‟eau dans les
zones de réaction placées dans les régions à haute température. On constate la mêmeremarque pour le dioxyde de carbone, où on trouve des fractions importantes sur l‟axe du jet
jusqu'à une hauteur de 0.5m.
Par contre, les valeurs maximales de production de CO n‟accèdent pas la hauteur de 0.2m.
Ceci vient du faite que, le CO existant dans la zone comprise entre 0.2 et 0.5 m sur l‟axe de
symétrie, est presque entièrement transformé en CO2.
A propos du NO et NO2, on constate que le manque d‟oxygène provoqué par les réactions
chimiques inhibe la formation du NO2 sur l‟axe de symétrie ; par contre sur les bords du jet,
l‟air en provenance par diffusion de l‟extérieur favorise la production du NO2 ; c‟est pour
cette raison là, que le pic de formation, se trouve décalé vers l‟extérieur.
Notons que, l‟existence d‟un produit de combustion, tel que le méthane, qui ne réagit pas,
est du, à l‟insuffisance de la quantité d‟oxygène, qui a été totalement consommé par les
réactions chimiques.
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Combustion du spray turbulent
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Pour l‟oxygène, contrairement à la vapeur du combustible, il est maximum vers l‟extérieur,
dans l‟air ambiant et très faible sur l‟axe de symétrie du jet. Dans cette zone, la majorité de
l‟oxygène est consommé par les réactions chimiques ayant lieu dans cet endroit.
Conclusion
Au cours de cette partie, nous nous sommes intéressés aux processus de la combustion
turbulente dans les sprays, et ce, en simulant le comportement d‟un jet chargé de gouttelettes
de Do-décane, assez fines et avec un taux de chargement relativement important.
Le champ dynamique ainsi que l‟allure des champs scalaires obtenus, telles que la
température et les fractions massiques de certains produits de combustion et de polluants,
présentent un comportement logique et la forme de la flamme parvenue est qualitativement
bien représentée, ce qui prouve le potentiel du modèle adopté (pdf présumée avec tabulation
flamelette).
Principalement, on constate la présence des zones de recirculation et des gaz repoussés
vers l‟extérieur sous l‟effet de l‟expansion des gaz chauds situés au milieu du jet. On note
également que le choix adopté dans notre configuration correspond plus à une flamme de
prémélange où la vapeur du combustible et l‟oxydant ayant la possibilité de se mélanger avant
la zone de réaction.
Certainement, notre étude aura plus de valeur, si on trouve la possibilité de valider nos
simulations avec l‟expérimentale afin de les vérifier en détail, mais les expériences manquent
encore.
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Conclusions et Perspectives
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Conclusions et Perspectives
164
Conclusions et Perspectives
Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse visent et s‟accentuent sur le
développement d‟un modèle mathématique et numérique permettant la modélisation desflammes turbulentes à plusieurs phases. Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de
simulation de type Euler/Lagrange qui résolvent directement les équations instantanées de la
phase gazeuse ou la phase continue et effectuent un suivi lagrangien de la phase dispersée ou
discrète. Les phénomènes d‟atomisation, se produisant généralement à la sortie des buses, ne
sont pas pris en compte, et la phase liquide est supposée dispersée et décrite de manière
statistique.
Pour ce faire, il a fallu découplé le problème en plusieurs parties liées à cette thématique,d‟une part, puisqu‟il est difficile de discerner les caractéristiques précises de telle ou telle
propriété de l‟écoulement si toutes les interactions entre les différents constituants entre en jeu
simultanément (tous les phénomènes étant couplés entre eux et avec la phase gazeuse et sa
turbulence), et d‟autre part, pour mieux comprendre et maîtriser les phénomènes
aérothermochimiques liés aux brouillards de combustible en milieux réactifs. Il s‟agit donc,
dans un premier temps, d‟isoler les différents phénomènes élémentaires, d‟en comprendre la
physique et d‟en donner des modèles pertinents. La première étape de ce travail est consacrée à la partie dynamique du problème, où on a
considéré un jet turbulent d‟air incompressible et isotherme chargé de particules. Un état de
l‟art sur la modélisation d‟un tel problème est mené, également, on a présenté les équations
nécessaires à la description de la phase dispersée ainsi qu‟à la phase gazeuse. Et on a fini par,
évaluer les performances de cinq modèles de turbulence de premier ordre (k -ε avec la
correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (88), k -ω (98) et MTS) et de deux modèles de dispersion
stochastique (modèle d‟interaction de tourbillon et modèle de corrélation de temps), ainsi quela considération de leurs interactions.
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Conclusions et Perspectives
165
On s‟est consacré ensuite, plus particulièrement, à la partie scalaire du problème. Ceci, à
travers un jet turbulent compressible de propane et un autre réactif de méthane. Au début, une
brève description des différents types de flammes est établie. Ensuite, une description
détaillée des flammes de diffusion est menée, et ce, en présentant les équations moyennées et
fermées d‟un écoulement turbulent réactif. Également, on a mis à l‟épreuve plusieurs modèles
de turbulence (STD k -ε, k -ε avec la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (98) et MTS), ainsi que
plusieurs modèles scalaires (modèle standard à échelles égales, modèle à échelles non-égales,
modèle à équation de transport), pour la simulation d‟un jet de propane non réactif.
Pareillement, deux modèles de combustion (modèle de dissipation scalaire, modèle de PDF
présumé ou conserved scalar model) sont testés pour la configuration d‟un jet de méthane
réactif, où on a recouru à deux méthodes de tabulation chimique (Flamelette, Chemkin) qui
sont elles-mêmes mises à l‟épreuve pour la configuration d‟une flamme laminaire de méthane
à contre courant.
La troisième partie vient achever ce travail de recherche, et ce, en combinant les deux
précédentes, tout en considérant l‟évaporation des gouttelettes. Après une présentation
simplificatrice du problème, ainsi qu‟une description générale de la combustion dans les
brouillards. L‟étape suivante, concerne la modélisation détaillée de l‟un des phénomènes
élémentaires le plus important, intervenant dans les flammes diphasique, à savoir,
l‟évaporation couplée à la dynamique des gouttelettes. Également, l‟ensemble des équations
décrivant la configuration adoptée est établi. Et on a fini par présenter les résultats des
simulations de l‟application que nous avons choisis de traiter ainsi que leurs exploitations.
Les confrontations de nos simulations avec les mesures expérimentales prises de la
littérature révèlent que :
Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les
évolutions radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels d‟un jet d‟air
incompressible sont mieux prédites avec les modèles MTS et k -ε avec la
correction de Rodi. Cependant le modèle MTS s'avère plus précis pour la
prédiction des paramètres moyens sur l‟axe du jet, alors que celles du k -ε sont
meilleures sur les bords du jet.
Le modèle k -ω (88) prévoit mal le champ dynamique du jet incompressible ; et
même la correction apportée qui se traduit par le modèle k -ω (98) ne corrige
pas complètement cette insatisfaction.
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Conclusions et Perspectives
166
Les modèles TCM et EIM prédisent les caractéristiques moyennes des
paramètres vectoriels des particules, de façon presque identique, dans la région
de l'axe de symétrie du jet, alors que sur les bords du jet, le modèle
d'interaction de tourbillons fournit les meilleures prédictions.
Pour ce qui concerne les vitesses fluctuantes des particules, les deux modèles
sous-estiment considérablement les résultats expérimentaux. Cependant, le
modèle TCM fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le modèle
EIM.
Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les
évolutions radiales ou longitudinales des paramètr es vectoriels et scalaires d‟un
jet de propane compressible sont mieux prédites toujours avec les modèlesMTS et k -ε.
Cependant, et concernant le modèle k -ε, on est tombé dans le conflit, que si on
applique la correction de Rodi, on aura une défaillance lors de la prédiction de
l‟intensité des fluctuations des scalaires, alors qu‟en l‟ignorant, on aura une
défaillance lors de la prédiction du taux de décroissance du jet.
Le meilleur rapport fiabilité/faisabilité, pour la prédiction du taux de
dissipation scalaire pour ce qui est relative aux modèles scalaires, est offert par
le modèle classique à échelles égales.
Pour les moyens de tabulation chimique, le code Flamelette l‟emporte
légèrement sur le code Chemkin pour la prédiction d‟une flamme laminaire de
méthane à contre courant.
À propos de l'écoulement réactif du méthane, on a utilisé deux modèles de
combustion, à savoir le modèle de dissipation des tourbillons et le modèle dePDF présumée. Le premier modèle dépend énormément de la variable de
Zeldovich et suppose que toutes les variables au sein de l‟écoulement fluctuent
dans le même sens que Z , chose qui n‟est pas forcement toujours vrai. D‟autant
plus que, la valeur stœchiométrique Z st du méthane est très petite, donc le
minimum d‟erreur conduit à des énormes variations de la température et des
produits de combustion.
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Conclusions et Perspectives
167
La structure de la flamme dans le brouillard de gouttelettes du Do-décane
obtenue, présente un comportement logique, ce qui prouve le potentiel du
modèle adopté, mais les expériences manquent encore pour la vérifier en détail.
En résumé, Ce travail de thèse apporte des éléments supplémentaires pour la
compréhension des phénomènes mis en jeu dans une flamme diphasique turbulente et leurs
interactions. Elle peut être considérée comme une olympiade entre les différents modèles
mathématique, physique et numérique intervenant dans la combustion des sprays, à savoir :
Les modèles de turbulence.
Les modèles stochastiques de dispersion.
Les modèles scalaires.
Les moyens de tabulation chimique.
Les modèles de combustion.
Les modèles de couplage Eulérien-Lagrangien.
Les perspectives et suites possibles à donner à ce travail restent très conséquentes et très
nombreuses. Elles peuvent être envisagées sur plusieurs angles :
Le premier point concerne le développement du code de calcul pour sa généralisation à des
situations tridimensionnelles.
D‟autre part, la prochaine étape importante consiste à valider nos simulations concernant le
modèle de vaporisation et le modèle de combustion dans les brouillards par comparaison avec
des résultats expérimentaux. Cette validation permet de juger le comportement du code dans
des situations réelles.
D‟autant plus que, il nous semble tout aussi important de poursuivre l‟extension du code de
calcul à des situations où interviennent des phénomènes de pulvérisation et d‟atomisation du
jet liquide. La prise en compte de tels phénomènes sera effectuée à partir de travaux existants
mais en conservant une démarche identique à celle adoptée jusqu‟à présent.
Une autre direction peut être envisagée, concerne la combinaison de l‟approche LES ou la
simulation aux grandes échelles qui résout les grandes échelles caractéristiques del'écoulement et modélise les plus petits.
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Conclusions et Perspectives
168
Une étape suivante consiste aussi à l‟extension du code de calcul pour mener des
simulations concernant les configurations réelles telle que l‟on rencontre dans la réalité, à
géométrie complexe c'est-à-dire, développer et adopter un maillage non uniforme.
Notons enfin, que traiter un tel problème avec une méthode Eulérienne-Lagrangienne esttrès escarpé et ennuyeux (à titre d‟exemple, ce manuscrit comprend environ 350 équations).
Malgré que ça soit la méthode la plus naturelle, et qui se rapproche de la réalité. Cependant,
on exige le développement d‟une méthode purement Eulérienne basé sur la résolution d‟un
système de sept équations seulement qui nous semble une solution appropriée.
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169
Annexes
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Annexe A Méthodes numériques
170
Annexe A : Méthodes numériques
1. Résolution numérique de la phase continue
La Méthode des Volumes Finis (MVF) à maillage décalé de Patankar (1980) est utilisée pour la résolution numérique des équations de la phase continue. Elle consiste à discrétiser ledomaine en un nombre fini de volume de contrôle indépendant entre eux, puis d‟effectuer des
bilans (masse, quantité de mouvement, température, fraction massique…) sur ces petitsvolumes. Le résultat de la discrétisation en un point est une équation algébrique liant la valeurde la variable aux valeurs des variables adjacents. La formulation est elliptique de typeconvection-diffusion, utilisant un schéma Hybride en espace et le couplage pression-vitesses‟appui sur l‟algorithme SIMPLE.
Cette méthode représente l'avantage d'être efficace, stable, converge assez rapidement, etrespecte le principe de conservation de tout scalaire transportable dans le domaine de calcul.
1.1 Maillage
Le domaine étudié est défini par un maillage de points discrètement espacés sur lesquelssont centrés les volumes de contrôle (figure A-1). Le point P est entouré par les points N, S,W et E. Les points N et S indiquent respectivement les cotes Nord et Sud, ceux-ci définissentla direction radiale du jet. Les points W et E indiquent les côtés Ouest et Est et définissent ladirection axiale. Ces nœuds seront les lieux de stockage des variables scalaires ( P , k , …). Les
points n, s, w, et e qui se situent respectivement aux milieux des segments PN, SP, WP et PEindiquent les positions des interfaces. Ces nœuds seront les lieux de stockage des variables vectorielles (u, v). Le choix du maillage décalé est opté pour remédier le problème de calculde tous les coefficients (scalaire et vectorielle) en un seul point, puisque dans ce cas, onobtient un champ de pression non uniforme et un champ de vitesse qui ne satisfait pasl‟équation de continuité. Les points du maillage principale sont développés au début, elles
sont représentés respectivement par X ( I ) et Y ( J ) dans les directions x et y. Par la suite, les points du maillage décalé sont calculés en utilisant la position du maillage principale, ellessont représentés par XU ( I ) et YV ( J ) respectivement dans les directions x et y. La figureA-1 montre la géométrie adoptée au problème ainsi que le maillage et les volumes decontrôles. La génération du maillage principal est donnée par la subroutine INIGRID et celuidu maillage décalé ainsi que les quantités géométriques sont calculées dans la subroutine
INIT . Le maillage dans la direction axiale et radiale est défini par:
C C C
k Z k
1
11 2
(A-1)
Avec k = [1,2,…, N ] où N est le nombre totale de mailles et C représente le facteurd‟expansion fixé à 1.05 dans la direction radiale et 1.02 dans la direction axiale.
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Annexe A Méthodes numériques
171
Figure A-1: Maillage ( principale et décalé) et volume de contrôle autour de P .
Les quantités géométriques calculées sont :
DXPW : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection axiale de X (2) à X (NI).
DXEP : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection axiale de X (1) à X (NIM1).
DYPS : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection radiale de Y (2) à Y (NJ).
DYNP : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection radiale de Y (1) à Y (NJM1).
DXPWU : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection axiale de XU (3) à XU (NI).
DXEPU : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection axiale de XU (2) à XU (NIM1).
DYPSV : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans la directionradiale de YV (3) à YV (NI).
DYNPV : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection radiale de YV (2) à YV (NIM1).
SEW : Espace du volume de contrôle du maillage principal dans la direction axiale.
SNS : Espace du volume de contrôle du maillage principal dans la direction radiale.
SEWU : Espace du volume de contrôle du maillage décalé dans la direction axiale. SNSV : Espace du volume de contrôle du maillage décalé dans la direction radiale
r = YV J
Y (1 ) =YV (2)
Y ( NJ )=YV ( NJ )
r n=YV ( J+1)
Δr SNS ( j)﴿
xe DXEP (i)﴿
ΔX SEW ) (i)﴿
xw DXPW (i)﴿
r p= Y ( J )
J s
J n n
s
ewW E
N
P
ys DYPS ( j)﴿
yn DYNP ( j)﴿
S
X ( I ) XU ( I +1)
X ( I-1) XU ( I )
X ( I+1) X ( NI )= XU ( NI )
J w
J e
X ( 1 ) = XU ( 2 )
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Annexe A Méthodes numériques
172
1.2 Résolution de l’équation différentielle
La résolution de l‟équation différentielle aux dérivées partielles est réalisée sur deuxétapes :
Discrétisation de l‟équation différentielle.
Résolution de l‟équation algébrique résultante.
1.2.1 Discrétisation de l’équation de transport
La forme générale de l'équation de transport en régime permanant s'écrit en coordonnéecylindrique de la façon suivante :
sourceterme
diffusiondetermeconvectiondeterme
S r
r r r x x
vr r r
u x
11 (A-2)
Avec Φ : quantité transportable. Γ Φ : coefficient de diffusion. S Φ : terme source.
L'équation (A-2) peut être récrite sous la forme suivante :
S
r r vr
r r xu
x
1 (A-3)
En faisant intervenir les flux totaux aux interfaces suivant x et r définit par :
xu J x
(A-4)
r
v J r
(A-5)
On obtient une nouvelle écriture de l'équation (A-2):
S
r
J r
r x
J r x 1
soit encore
rS
r
J r
x
rJ r x (A-6)
Intégrant l'équation (A-6) sur le volume de contrôle et linéarisons le terme source, on obtient:
y xr S S J J J J p pu snwe (A-7)
Avec
r r x
u J p
e
ee
xr r
v J n
n
nn
r r x
u J p
w
ww
xr r
v J s
s
s s
(A-8)
Revenant à l'équation de transport (A-2) et posant Φ = 1; Γ Φ = 0 et S Φ = 0, c'est-à-dire prenantl'équation de continuité:
0 vr r
ur x
(A-9)
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Annexe A Méthodes numériques
173
De même, en intégrant l'équation (A-9) sur le volume de contrôle, on obtient :
0 xvr vr r ur ur snwe
(A-10)
Notant F le taux d'écoulement de la masse (flux convectif), l'équation (A-9) devient
F e - F w + F n - F s =0 (A-11)Avec
F e= (r ρ u)e Δr F w= (r ρ u)w Δr
F n= (r ρ v)n Δ x F s= (r ρ v) s Δ x (A-12)
Multipliant l'équation (A-10) par Φ P et la soustraire de l'équation (A-2), on obtient :
y xr )S (S F J F J F J F J p P pu P s s P nn P ww P ee (A-13)
Le problème dans l'équation (A-13) est de déterminer les flux dans les interfaces. Pour cela,
des schémas d‟approximation sont entrepris, d'après Patankar (1980), on peut écrire:
E P E P ee a F J P W W P ww a F J
N P N P nn a F J P S S P s s a F J (A-14)
Les coefficients de transports a E , aW , a N et aS représente l'influence convectif et diffusif sur lesquatre faces du volume de contrôle.
En remplaçant les équations (A-14) dans l'équation (A-13), on aboutit à l'équation suivante:
baaaaa S S N N W W E E P P (A-15)Avec a P = a E + aW + a N + aS - S P r p Δ x Δr et b = S u r p Δx Δr (A-16)
Soit l'équation discrétisée finale :
baanb
nbnb P P (A-17)
Avec nb (neighbours) dénote les nœuds voisins E, W, N ou S.
Dans la présente étude, le schéma hybride est utilisé pour le calcul des coefficients anb.
eee E C D ,C maxa 2
1
2
1
wwwW C D ,C maxa 2
1
2
1
nnn N C D ,C maxa2
1
2
1
s s sS C D ,C maxa2
1
2
1
(A-18)
C est le coefficient de convection et D est le coefficient de diffusion.
Par conséquent C e = F e ; C w = F w ; C n = F n ; C s = F s
r
xe
r D e
e
;
r w x
r D w
w
;
x yn
r D n
n
;
x ys
r D s
s
(A-19)
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Annexe A Méthode numérique
174
Le schéma utilisé est une combinaison de deux autres schémas, à savoir le schéma auxdifférences centrées (Central Differencing Scheme) et le schéma Upwind. Bien entendu, leschéma aux différences centrées qui est un schéma de précision de second ordre, est utilisé
pour des petits nombres de Peclet ( Pe 2). Alors que le schéma Upwind qui est un schéma de précision de premier ordre, est utilisé pour des grands nombres de Peclet ( Pe 2).
Le nombre adimensionnel Pe ou le nombre de Reynolds cellulaire est le rapport entre lecoefficient de convection et le coefficient de diffusion :
xu
x
u
D
C Pe (A-20)
Le schéma Hybride présente l‟avantage d‟être complètement conservative et très stable encomparaison avec les schémas d‟ordre supérieure de précision. En plus, elle a été approuvée
pour la prédiction des écoulements pratique. Le seul désavantage concerne l‟erreur detransaction de série de Taylor qui est seulement de premier ordre.
1.2.2 Résolution de l’équation discrétisée
Un ensemble d‟équations algébriques comprenant chaque une (ni-2) x (n j-2) équations estobtenue après la procédure de la discrétisation et l‟incorporation des conditions aux limites,avec ni et n j représente respectivement le nombre de volume de contrôle dans la directionlongitudinale et radiale.
À cause du grand nombre de volume de contrôle impliqué dans cette étude, il estimpraticable de résoudre les équations algébriques avec une méthode directe. Par conséquent,une méthode itérative a été suggérée pour rendre le système moins dense que dans sa formeinitiale. Ces méthodes itératives sont classées en deux catégories :
méthode itérative point par point. méthode itérative ligne par ligne.
Dans notre cas, ce système d‟équation est résolu par une méthode de balayage ligne parligne de Gauss-Seidel qui utilise une combinaison de la méthode Tri-Diagonal-MatrixAlgorithme (TDMA) pour une configuration monodimensionnelle et une méthode itérative
point par point de Gauss-Seidel.
D‟après la description monodimensionnelle de la méthode TDMA, l‟équation discrétiséed‟une variable Ф s‟écrit de la manière suivante, sachant que la direction E -W est supposéconstante :
j j j j j j j d acb 11 (A-21)
Avec j ,iab P j
j ,iac N j
j ,iaa S j
j ,iS j ,i j ,ia j ,i j ,iad uW E j 11 (A-22)
L‟algorithme TDMA consiste à une formule de récurrences des variables en question, par
conséquent on peut obtenir les nouvelles valeurs de Ф à l‟aide des conditions aux limites.
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Annexe A Méthode numérique
175
La forme de récurrence des coefficients est la suivante :
j j j j 1 (A-23)
Avec1
j j j
j
j
ab
c
(A-24)
1
1
j j j
j j j
jab
ad
(A-25)
L‟algor ithme utilisé dans la subroutine LISOLV est le suivant :
Calcul de α2 et β 2 à l‟aide des conditions aux limites (conditions d‟entrées).
Utilisation des relations A-25 et A-24 pour calculer α j et β j de j = 2 à j = n j - 1.
Assimiler les conditions aux limites de sortie pour α n j-1 et β n j-1.
Utilisation de la relation A-23 pour obtenir Ф j de j = n j - 1 à j = 2.
1.3 L’algorithme de couplage pression-vitesse
La méthode de discrétisation présentée jusqu'ici permet la solution d'une équation detransport générale, mais une difficulté est rencontrée quand cette méthode est employée pourcalculer les profils de vitesse. La difficulté est provoquée par le champ inconnu de la pressionet la non linéarité du terme convectif. Le problème est contourné par l'utilisation du maillagedécalé ou déplacé comme le montre la figure A-2. Ce décalage est effectué de telle manièreque les vitesses soient définies aux interfaces du maillage principal. Dans ce cas, le problèmese ramène à l'enchaînement de l'équation de continuité avec l'équation de quantité demouvement par l'intermédiaire de la pression.
L'algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equation) est utilisé pour déterminer le champ de vitesse et de pression. Nous développerons ainsi l‟algorithme :
De la même manière que l‟équation (A-17), les équations de la quantité de mouvementdiscrétisée sur les volumes de contrôles décalés s‟écrivent :
ew P W nb
nbnbw p A P P buaua (A-26)
Avec r r A pew
ns P S nb
nbnb s p A P P bvava (A-27)
Avec xr A sns
La procédure itérative commence par l‟estimation de la pression. Soit P * le champ de pression estimé. Les équations (A -26) et (A -27) sont résolues pour obtenir le champ devitesse associé u* et v* :
ew
*
P
*
W nb
*
nbnb
*
w p A P P buaua (A-28)
ns
*
P
*
S nb
*
nbnb
*
s p
A P P bvava (A-29)
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Annexe A Méthode numérique
176
(A) maillage pour la résolution de l'équation de la continuité et les variables scalaires.(B) maillage décalé pour calculer v(C) maillage décalé pour calculer u
Figure A-2 : Localisations des volumes d’intégration sur les maillages décalés.
On définit la correction de la pression P' comme la différence entre la pression correcte Pet la pression estimée P * :
P = P * + P' (A-30)
De façon similaire on définit la correction des vitesses u' et v' comme la différence entreles vitesses correctes u , v et les vitesses estimées u* et v* :
u = u* + u' (A-31)
v = v
*
+ v' (A-32)La soustraction des équations (A-28) et (A-29) des équations (A-26) et (A-26)
respectivement, et en utilisant les formules de correction (30-32), nous obtenons les équationsde correction de pression :
ew
'
P
'
W nb
'
nbnb
'
w p A P P uaua (A-33)
ns
'
P
'
S nb
'
nbnb
'
s p A P P vava (A-34)
A ce moment une approximation est introduite: les termes nb
'
nbnb ua et nb
'
nbnb va sont
négligés pour simplifier les équations (A-33) et (A-34). L‟omission de ces termes est la principale approximation de l‟algorithme SIMPLE. En effet il a été démontré numériquementque malgré cette approximation, on aboutit à un champ de vitesse qui vérifie l‟équation decontinuité.
On obtient :
'
P
'
W e
'
P
'
W
p
ew'
w P P d P P a
Au (A-35)
'
P
'
S s
'
P
'
S
p
ns'
s P P d P P a
Av (A-36)
N
S
EW P
n
s
ew
N
S
EW P
n
s
ew
N
S
EW P
n
s
ew
B CA
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Annexe A Méthode numérique
177
Les équations (A-35) et (A-36) décrivent les corrections qui doivent être appliquées auxvitesses à travers les formules (A-31) et (A-32), ce qui donne :
'
P
'
W w
*
ww P P d uu (A-37)
' P ' S s* s s P P d vv (A-38)
Des expressions similaires existent pour u' e et v' n :
'
E
'
P e
*
ee P P d uu (A-39)
'
N
'
P n
*
nn P P d vv (A-40)
Jusqu‟à maintenant, on a considéré les équations de conservation de la quantité demouvement, mais le champ de vitesse, en même temps doit satisfaire l‟équation de continuité.
La substitution des équations corrigées (37 –40) dans l‟équation de continuité discrétisée
(A-10) donne :'
nb
'
nbnb
'
P P b P a P a (A-41)
Avec a P = a E + aW + a N + aS – S p où S p = 0
a E = r e ρe d e Δr a N = r n ρn d n Δ x
aW = r w ρw d w Δr aS = r s ρ s d s Δ x
et b’ = [( r ρ u* )w – ( r ρ u* )e] Δr + [(r ρ v* )s – ( r ρ v* )n] Δ x (A-42)
L‟équation (A-41) représente l‟équation de continuité discrétisée comme une équation decorrection de pression p' . Le terme source b' apparaît à cause du fait qu‟on utilise un champde vitesse incorrect u* et v*. Si b' = 0 ceci implique plus de correction de pression nécessaire.Par la résolution de l‟équation (A-41), on obtient la correction de pression pour tous les pointsdu maillage et alors la pression correcte peut être calculée à l ‟aide de la formule (A-30) et lescomposantes de la vitesse avec les formules de correction (A-31) et (A-32).
L‟algorithme de résolution est le suivant :
1. Introduction des champs de vitesse et pression initiaux ( P *, u* et v*).
2. Résolution des équations de quantité de mouvement et détermination de u* et v*.[équations (A-28) et (A-29)]
3. Résolution de l‟équation de correction de pression donnant P ‟.[équation (A-41)]
4. Correction de la pression et des vitesses.[équations (A-37) – (A-40)]
5. Actualisation, prendre P *=P , u* = u et v* = v et retour à 2 jusqu‟à la convergence.
6. Stockage des résultats.
RemarqueDans le cas où l‟écoulement est compressible, l‟équation de continuité peu être utilisée
comme équation de transport pour la densité et la pression peut alors être obtenue en utilisant
la densité et la température à l‟aide de l‟équation d‟état P = f ( ρ , T ). Si l‟écoulement estincompressible alors la densité est constante et elle n‟est pas liée à la pression.
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Annexe A Méthode numérique
178
1.4 Traitement du terme source
La plus part du temps, le terme source est à l'origine de la divergence de la solution et parconséquent, une linéarisation approprié de ce terme conduit à l'accomplissement d'unesolution convergente.
Terme source pour k S k = G – ρε (A-43)
Puisque S k = S u + S P k donc S u = G et S P = – ρε / k = –ρ2 c μ k /μt (A-44)
Terme source pour ε
k C G
k C S
2
21
(A-45)
Puisque S = S u + S P donc t
u
Gk C C G
k C S
11 (A-46)
et k
C k
C S p
2
2
2 (A-47)
G est terme de production qui s‟écrit de la façon suivante :
x
u
x
u
x
uG
j
i
i
j
j
i
t
(A-48)
En coordonnée cylindrique G est donné par :
2222
2 x
v
r
u
r
v
r
v
x
uG
t (A-49)
Terme source pour u Le terme source de l‟équation de quantité de mouvement longitudinale s‟écrit :
dr dx x
vr
r x
ur
x x
P r Su
P
W
nw
sw
eff eff
(A-50)
Notons Su = A + B + C
r r P P dr dx x
P r A p P W
P
W
nw
sw
(A-51)
r r x
u
x
udr dx
x
ur
x B p
W
eff
P
eff
P
W
nw
sw
eff
(A-52)
Avec x
uu
x
u we
P
(A-53)
sw
eff
nw
eff
P
W
nw
sw
eff x
vr
x
vr xdr dx
x
vr
r C (A-54)
Avec x
vv
x
v Wnn
nw
(A-55)
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Annexe A Méthode numérique
179
Les expressions de S u et S p de l‟équation linearisée sont données par :
S u = A + B + C et S p = 0 (A-56)
Terme source pour v
Le terme source de l‟équation de quantité de mouvement radiale s‟écrit :
dr dxr
v
r
vr
r r
ur
xr
P r Sv
P
S
es
ws
eff eff
2 (A-57)
Notons Sv = A + B + C + D
xr P P dr dxr
P r A s P S
P
S
es
ws
(A-58)
r r ur
r ur dr dx
yur
x B
ws
eff
es
eff
P
S
es
ws
eff
(A-59)
Avec ys
uu
r
u ese
es
(A-60)
x x
vr
r
vr dr dx
r
vr
r C
S
eff
P
eff
P
S
es
ws
eff
(A-61)
Avec
r
vv
r
v sn
P
(A-62)
r xr r
vr x
r
vdr dx
r
v D s
s s
P
S
es
ws
2
222
(A-63)
Les expressions de S u et S p de l‟équation linearisée sont données par :
S u = A + B + C et r xr r
S s
s
p 2
2 (A-64)
Terme source d’un scalaire (température, fraction massique, de mélange)
Dans le cas d‟un scalaire passif, on a :S Ф = 0 Par conséquent S u = 0 et S p = 0
Dans le cas de la fraction massique non passif, on a :
1
2
Pr O F
Y ~
AB ,Y ~
A ,Y ~
Amink ~
~S (A-65)
Si le car burant ou l‟oxydant présente le minimum des trois taux, on a alors :
S u = 0 et Small Y ~Y
~
,Y ~
mink ~
~ AS F
O F p
2 (A-66)
S mall est utilisé pour que S p ne tende pas vers ∞.
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Annexe A Méthode numérique
180
Si le taux du produit présente le minimum des taux, on aura :
F F
F
Pr
Y ~
k ~
~ ABY
~ Z ~
k ~
~ AB
Y ~
Z ~
k
~
~ AB
Y ~
k ~
~ ABS
2
1
(A-67)
Par conséquent
F u Y ~
Z ~
k ~
~ ABS 2 (A-68)
k ~
~ ABS p
(A-69)
Terme source de fluctuation d’un scalaire (température, fraction massique)
Pour la fluctuation d‟un scalaire, le terme source s‟écrit :
22
21 '
t k
Cster
CsteS '
(A-70)
Donc2
1
r CsteS t u
et
k ~
~CsteS p
2 (A-71)
Avec 8622
1 .Sc
Cstet
et 22 Cste
1.5 La sous relaxation
La sous relaxation est souvent utilisée dans les problèmes non linéaires pour éviter que le processus itératif ne diverge pas. Elle consiste à diminuer la rapidité des changements d‟unevariable, d‟une itération à une autre, par l‟introduction d‟un coefficient de sous relaxation αΦ.
Les équations de transport, après avoir été discrétisées, s‟écrivent sous la forme généralesuivante :
nb
unpnp p p S aa (A-72)
Supposons que Φ p*, la valeur de Φ p à l‟itération précédente, on peut écrire alors :
*
p
p
nbunpnp
*
p pa
S a
(A-73)
Où le terme entre parenthèse représente le changement survenu à Φ p pendant une itération.Cette variation peut alors être amortie par l‟introduction d‟un facteur de sous relaxation α p dela manière suivante :
*
p
p
nbunpnp
*
p pa
S a
(A-74)
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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Annexe A Méthode numérique
181
Multiplions l‟équation (A-74) par (a p /αΦ), on obtient :
*
p
p
nbunpnp
*
p
p
p
p aS a
aa
(A-75)
Soit *
p
p
nbunpnp p
p aS a
a
1 (A-76)
Cette équation se traduit dans le code de calcul par :
p
p
aa et *
p p
*
uu aS S 1 (A-77)
Cette sous relaxation est appliquée à tous les variables, sauf pour la pression. Elles‟effectue d‟une manière un peu différente compte tenu de l‟existence de l‟algorithme de
couplage vitesse-pression. Elle est simplement introduite dans la correction de pression P’ sous la forme suivante :
P P P P
* (A-78)
Tous les facteurs de sous relaxation doivent être compris entre les valeurs 0 et 1 et plusils sont faibles, plus la convergence est lente. Mais plus, ils sont forts, plus la sous relaxationest faible et plus il y a de chance de faire intervenir des instabilités dans le processus itératif.
Pour finir, rappelons que la valeur de ces coefficients peut être différente d‟une variable àune autre. Dans la présente étude, elles sont fixées à 0.5 pour la vitesse longitudinale etradiale ; 0.7 pour k , ε, T , Z et µt ; 0.5 pour la densité et 1.0 pour la pression.
1.6 Critère de convergence
Une procédure est convergente si toute erreur tend à décroître au cours des itérations. Elleconverge lorsque les itérations ne produisent plus de changements significatifs sur lesvariables selon un critère qui doit être défini par l'utilisateur. Le critère de convergence estdonc utilisé pour stopper le processus itératif lorsqu'il est satisfait.
Le critère de convergence utilisé repose sur le résidu d'une équation du problème(différence de deux solutions successives). Par conséquent, on procède au calcul du résidu quicorres pond à la somme, sur toutes les mailles, des erreurs effectuées sur l‟équation discrétiséeen question. Par définition :
1
2
1
2
ni
i
nj
j P P
nbnbnb aba RESOR (A-79)
Puis, ce résidu sera normalisé comme suit :
22
ji nn
RESOR RESOR
(A-80)
Par la suite, on définit SORCE comme le maximum des résidus de masse et de quantité demouvement : SORCE = MAX ( RESORM , RESORU , RESORV )
Un test se fait durant chaque itération, le nombre total d'itération ( NITER) est fixé à une
valeur maximale ( MAXIT ). Si cette valeur est atteinte ( NITER = MAXIT ), sans que le test soitvérifié (SORCE ≤ SORMAX ), le calcul s'arrête et on dit que la solution n'a pas convergé.
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Annexe A Méthode numérique
182
1.7 Fonctions de paroi
De point de vue numérique, les fonctions de parois sont utilisées pour calculer lacontribution aux termes sources dans les équations gouvernantes. Par conséquent, on imagineune frontière fictive entre la zone de paroi où les effets visqueux sont prédominants et la zoneloin de la paroi où la turbulence est développée (effets visqueux complètement négligeables).Sur cette frontière, on impose un certain nombre de relations et lois servant de conditions auxlimites qui régissent le comportement de l'écoulement soit dans la zone turbulente, soit dans lazone visqueuse et ce en fonction de sa position (valeur de y+).
Pour y+ > 11.63 : zone complètement turbulent (région de loi logarithmique y E Lnu
1 ).
Pour y+ ≤ 11.63 : zone visqueuse (région laminaire u+ = y+).
Avec
P yk C y
2141
(A-81)
y p est la distance entre le point p et la paroi.
Sachant que pour la fraction massique, ainsi que la fraction de mélange, on suppose que leflux normale à la paroi est nul, par conséquent Z wall = Y wall = 0, de même pour la vitesseradiale v = 0.
Pour y + ≤ 11.63
L'écoulement est supposé laminaire et la force de la paroi est introduite dans l'équation
discrétisé de la quantité de mouvement axiale comme un terme source.La valeur de l'effort de cisaillement du mur est obtenue à partir de la relation suivante
(Versteeg et Malalasekera, 1995):
p y
u
(A-82)
Par conséquent, la force de cisaillement est égale à :
cell
proiauadjacent controlede
volumedu surface p
N Anjr x y
u F
(A-83)
Puisque Su = S u+ S p u donc S u = 0 et S p = – ( / y P ) Acell (A-84)
Le flux de chaleur de la paroi à la cellule adjacent, dans le cas d'un écoulementlaminaire, est donné par la relation suivante (Versteeg et Malalasekera, 1995) :
cell
p
WALL P p
l
N A y
T T C q
(A-85)
Avec ζ l est le nombre de Prandtl laminaire.
D'où cell
p
p
l
p A y
C
S
et cell
p
WALL p
l
u A y
T C
S
(A-86)
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Annexe A Méthode numérique
183
Pour y + > 11.63
Le nœud p est considéré dans une région de loi logarithmique. Pour les nœuds situés prèsde la paroi nord, les fonctions utilisées sont les suivantes:
Equation de quantité de mouvement tangentielle à la paroi:
L‟effort de cisaillement ou la contrainte pariétale est donné par Gosman et Ideriah (1976) :
p p
y E Ln
uk C
u
uk C
21412141
(A-87)
Avec y E Lnu
1 (A-88)
κ : constante de Von Karman, κ = 0.4187
E : constante empirique de rugosité, dans le cas d'une paroi lisse, E = 9.793
Par conséquent, la force de cisaillement est égale à :
cell
p
cell N A y E Ln
uk C A F
2141
(A-89)
La contribution de l'effort de cisaillement est introduite dans le terme source de l'équationdiscrétisée de la quantité de mouvement axial.
Puisque Su = S u+ S p u donc :
S u = 0 et cell
p
p A
y E Ln
k C S
2141
(A-90)
Equation de l'énergie cinétique turbulente:
Pour l'équation de l'énergie cinétique de la turbulence, le coefficient nord correspondant auvolume de contrôle adjacent au mur est égale à zéro et la contribution au terme source estdonnée par :
v y
uk C
y
u
y
uG
p p
eff
23432
(A-91)
Par conséquent
v y
u
y
uGS
p
eff u
2
(A-92)
v y
uk C S
p
p
2143
(A-93)
Sachant que, pour y+ > 11.63 on a y E Lnu
1 et pour y+ ≤ 11.63 on a u+ = y+.
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Annexe A Méthode numérique
184
Equation du taux de dissipation:
La valeur du taux de dissipation qui doit être fixé au nœud adjacent à la paroi est donnée parGosman et Ideriah (1976) :
p
p y
k C
2343
(A-94)
La relation (A-94) est obtenue en supposant que le taux de production et de dissipation del'énergie cinétique turbulente sont égaux sur la paroi.
Pour fixer une valeur Φfix au centre d'un volume de contrôle P , on utilise la modificationsuivante des termes sources:
S p = – 1030 et S u = 1030 Φ fix
Par conséquent, l'équation discrétisé devient:
nb
fixnbnb p p aa 3030 1010 (A-95)
a p et anb devient négligeable dans l'équation précédente, d‟où on abouti à Φ p = Φ fix
Equation de la température:
Le flux de chaleur de la paroi à la cellule adjacent, est donné par la relation suivante (Versteeget Malalasekera, 1995) :
cell
WALL P p
N AT
T T k C C
q
2141
(A-96)
Par conséquent cell
p
p AT
k C C S
2141
et cell
wall p
u AT
T k C C S
2141
(A-97)
T +est donné par la relation suivante:
t
l t P uT
(A-98)
P est appelé 'pee-function' et peut être évalué par l'expression suivante (Jayatilleke, 1969) :
t
l
.
t
l
t
l ,exp.. P
007028011249
750
(A-99)
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Annexe A Méthode numérique
185
Figure A-3 : Champ de température et vecteur vitesse d’une configuration mettant en valeur les fonctions de paroi ( paroi de température 573 k entourant un domaine de calcul de température 273 k)
1.8 Procédure de calcul
La méthode itérative qui consiste à initialiser les calculs avec une approximation de lasolution puis d‟utiliser chaque itération pour se rapprocher de la solution exacte.
La structure générale du code de calcul est la suivante :
1. Lecture des données du problème ( LECTUR)
2. Génération du maillage ( INIGRD)
3. Calcul des quantités géométrique ( INIT )
4. Introduction du profil initial ( INVAR)
5. Calcul des propriétés de l‟écoulement ( PROPS )
6. Calcul de la composante axiale de la vitesse (CALCU )7. Calcul de la composante radiale de la vitesse (CALCV )
8. Calcul de la pression (CALCP )
9. Calcul de l‟énergie cinétique de la turbulence (CALCTE )
10. Calcul du taux de dissipation (CALCED)
11. Calcul des scalaires T , T ’ , Y et Y ’ (CALCFI )
12. Actualisation des propriétés de l‟écoulement ( PROPS )
13. Tester la convergence. Si le test n‟est pas satisfaisant, retour à l‟étape 6.
14. Calcul des composantes du tenseur de Reynolds (STRESS )
(2D) 21 Dec 2009
0 1 2 3 4
X ( m )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Y
( m
)
T
550
535
515500
480
460
440
423
400
385
365
348
330
310
290
275
(2D) 21 Dec 2009
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Annexe A Méthode numérique
186
Cette procédure est résumée par l‟organigramme suivant :
Figure A-4: Organigramme de simulation de la phase continue.
OUI
DEBUT
LECTUR
INIT
INIVAR
PROPS
CALCU
CALCV
CALCP
CALCTE
CALCED
CALCFI
PROPS
SORCE< 0.003
LISOLV
FIN
STRESS
MODФ
NON
INIGRD
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Annexe A Méthode numérique
187
1.8.1 Structure d'une subroutine de calcul d'une variable Φ
Le code de calcul contient des subroutines qui permettent le calcul des variablesu, v, P , Z, Y, k et . La structure de ces subroutines est identique pour tous les variables où ontrouve :
Calcul des aires et des volumes ( AREAN , AREAS, AREAEW , VOL) Calcul des coefficients de convection (C e ; C w ; C n ; C s) Calcul des coefficients de diffusion ( De ; Dw ; Dn ; D s) Calcul des coefficients anb (a E ; aW ; a N ; aS ) Calcul des termes sources (S p et S u) Traitement des conditions aux limites (axe de symétrie, paroi, sortie du domaine). Calcul du terme a P et du terme de résidu. Sous relaxation de la variable Φ. Solution de l‟équation de la variable Φ par appelle de la subroutine LISOLV .
2. Résolution numérique de la phase disperséeLa phase dispersée est traitée suivant une approche Lagrangienne, et ceux en résolvant
pour chaque particule ou goutte une équation de position, une équation de mouvement, uneéquation de température, une équation d‟évolution du diamètre, ainsi qu‟une équation de lavapeur dégagé ou libéré.
Pour cela, on dispose de trois techniques de résolution :
Méthode explicite : méthode non itérative
Méthode implicite: méthode itérative, le calcul se termine lorsque le résidu
(différence entre deux solutions successive) atteint une valeur minimale. Méthode semi-analytique : méthode où la vitesse de calcule est très rapide, mais
peut facilement mener à l‟introduction des incertitudes.
2.1 Méthode numérique du module de suivi des trajectoires des gouttes (particules)
La méthode retenue pour la résolution ou l‟intégration de l'équation de mouvement de la particule est une méthode complètement explicite (Runge –Kutta d‟ordre quatre). Le principedu suivi est que l‟ensemble des caractéristiques de la goutte ou la particule (vitesse et
position) à l‟instant t +t est calculé à partir des données équivalentes au pas de temps
précédent.
2.2 Méthode numérique du module de vaporisation des gouttes
Puisque les équations à résoudre ne sont pas linéaires, on adapte une méthode itérative. Latempérature de la goutte t T S à l‟instant t est connue, la fraction massique de la vapeur à lasurface est calculée grâce à la relation de Clausius-Clapeyron (3-7). Par la suite, on obtient ledébit vaporisé et la quantité de chaleur transmise au liquide. Une première estimation dudiamètre et de la température *
1T au temps t +δt sont obtenue immédiatement. On refait le
même calcul avec
21
*S S T t T
T
pour obtenir*
T 2 .
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Annexe A Méthode numérique
188
Le processus est répété jusqu'à la convergence, que l‟on définit par : K .T T * K
* K 101 .
La méthode implicite décrite ci-dessus s‟avère plus stable pour les équations que nousavons à résoudre, qu‟une méthode complètement explicite (celle de Runge-Kutta, parexemple).
La méthodologie suivie pour le module dispersé est résumée dans l'organigramme suivant:
Figure A-5 : Organigramme de simulation de la phase dispersée.
Gosman, A.D. and Ideriah, F.J.K. (1976) „Teach T Manual ‟, Department of MechanicalEngineering, Imperial College of Sciences and Technology, London, England.
Jayatilleke, C.L.V. (1969) „The influence of Prandtl number and surface roughness on theresistance of the laminar sublayer to momentum and heat transfer‟, Prog. Heat MassTransf., Vol. 1, pp. 193.
Patankar, S.V. (1980) Numerical heat transfer and fluid flow, Series in computationalmethods in mechanical and thermal sciences, Hemisphere/Mc Graw-Hill, New York.
Versteeg, H.K., Malalasekera, W. (1995) „ An introduction to computational fluid dynamics,
the finite volume method ‟, Longman Scientific Technical Burnt Mill, Harlow,England.
Toutes lesgouttes sont
injectées
Traitement statistique
NON
OUI
DEBUT
Injection d‟une goutte
FIN
Calcul des caractéristi ues de la outte
Lecture des données et initialisation
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Annexe B Statistiques
189
Annexe B : Statistiques
Concernant l‟approche Lagrangienne qui est une approche statistique. Comme déjà signalédans la première partie (Dispersion de spray turbulent), un grand nombre de trajectoires de
particule doivent être considérer (de l‟ordre de 20000 à 30000). Les vitesses moyennes etfluctuantes des particules sont obtenues en établissant la moyenne de toutes les trajectoires quicroisent le volume de contrôle eulérien en question. La moyenne est obtenue sur l‟équation de
position (1-16) et l‟équation de mouvement (1-15 ou 1-56) à travers le temps. Puis l‟ensembledes moyennes obtenues sont moyennés azimuthalement.
La forme classique de l‟estimation de la moyenne et de la variance sont comme suit :
n
x
x
n
ii
n
1 (B-1)
1
2
12
1
n
x xn
ini
n (B-2)
Cependant, lorsque le coefficient de variation x
de la variable étudiée est faible, on rencontre
des problèmes de précision numérique quand on calcule la variance de façon classique (enstockant la somme des carrés). D‟une façon générale, il est préférable d‟utiliser l‟algorithmesuivant, dit algorithme de mise à jour. La moyenne sur un échantillon de taille n, noté n x , est
calculée à partir de la valeur obtenue précédemment, pour un échantillon de taille n-1 :
11 nnnnn x x x x (B-3)
Avec
n
ii
nn
p
p
1
(B-4)
Où P i est le poids associé à chaque observation xi.
La variance calculée sur l‟échantillon de taille n, et noté 2
n , est également calculée en
fonction des valeurs trouvées précédemment:
21
2
1
2 11 nnnnnnn x x (B-5)
Le calcule de la covariance est similaire:
111 11 nnnnnnnn y y x x xy xy (B-6)
CETAMA (Commission d‟établissement des méthodes d‟analyse du commissariat à l‟énergieatomique), 1986, „Statistique appliquée à l‟exploitation des mesures‟, 2eme édition,Masson, France.
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Annexe C Relations stoechiométriques d’un hydrocarbure
190
Annexe C : Relations stoechiométriquesd’un hydrocarbure
Pour un mélange hydrocarbure/air, la réaction unique et globale s‟exprime comme suit :
22222424
xN m
nO H m
COn xN Om
n H C mn
Avec x = 79/21 = 3.76
Cinq espèces (fuel, O2, N2, CO2 et H2O) participent dans la composition du mélange. Puisquela fraction massique du fuel et la fraction de mélange sont calculés à l‟aide des équations detransports, la fraction massique des différentes espèces sont obtenues à l‟aide de relationsstœchiométriques.
O H CO Y K Y 22 3 (C-1)
F OO H Y Y K K Y 22 12 1 (C-2)
F N COO H O Y Y Y Y Y 2222 1 (C-3)
F OCOO H N Y Y Y Y Y 2222
1 (C-4)
O H CO Pr Y Y Y 22
(C-5)
Avec
2
211
O
N
W
W x K (C-6)
222
2
42
22
CO N O H
O H
W n xW m
nW m
W m
K
(C-7)
O H
CO
W m
W n K
2
2
2
3 (C-8)
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Annexe C Relations stoechiométriques d’un hydrocarbure
191
Sachant que le rapport massique stœchiométrique oxygène/fuel est définit par:
F F
OO
W
W
22 (C-9)
L‟expression de Z est donné par:
2
2
,O F,1
,OO F
2
22
Y Y
Y Y Y Z
(C-10)
AvecY F,1 = 1 ; Fraction massique du fuel dans le combustible.Y O2,2 = 0.232 ; Fraction massique de l‟oxygène dans l‟oxydant.
Donc on peut établir les différentes relations stœchiométriques.
Dans le tableau suivant, on présente ces relations pour deux hydrocarbures, à savoir lePropane et le Méthane.
Propane C3H8 Méthane CH4
K 1 4.29 4.29
K 2 0.098576 0.123898
K 3 1.8333 1.2222
3.635 4
O H Y 2
F Y Z . 6351 F Y Z . 252
2COY F Y Z 3 F Y Z . 752
Pr Y F Y Z . 6354 F Y Z 5
2 N Y Z . 17670 Z . 17670
2OY 233086836353 . Z .Y . F 233023344 . Z .Y F
Tableau C-1: Relations stœchiométriques du Propane et du Méthane.
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Annexe D Constantes dans le polynomiale de la chaleur spécifique
192
Annexe D : Constantes dans le polynomialede la chaleur spécifique
Les constantes dans le polynomiale de la chaleur spécifique Cp pour chaque espèce sontdéfinies dans le tableau suivant ; (Fluent Inc. 2003, Fluent 6.1 User‟s guide, Lebonon N.H.).
4
4
3
3
2
2
1
10 T aT aT aT aaCp (D-1)
Concernant la chaleur de réaction H R, elle est de l‟ordre de 5.008 x 107 J/Kg pour le propaneet de l‟ordre de 7.489 x 107 J/Kg pour le méthane, cependant la valeur utilisée dans nossimulations et tester pour plusieurs configurations est 4.489 x 107 J/Kg.
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Annexe E Équations du modèle d’évaporation
193
Annexe E: Équations du modèled’évaporation
1. Calcul du débit vaporisé
En partant des équations classiques de la mécanique des fluides exprimés dans un repèresphérique cité ci dessous :
Equation de conservation de la masse :
4
0
22 m
dt
r d r
t d
r d r s
sl g (E-1)
Equation de conservation de la fraction massique du fuel 1Y :
r
Y Dr
r r
Y m g
11
21
0
4
(E-2)
Equation de conservation de la température :
r
T
r r r
T
C
m g vap
2
0
4 (E-3)
On suppose que le rayonnement thermique n‟est pas pris en compte, par conséquent lestransferts de température s‟effectuent par conduction et convection soit :
S
C
s
G T T hr
T q
(E-4)
Avec C h set le coefficient de convection.
Le flux de chaleur arrivant sur la goutte Gq est divisé en deux parties, une partie représente la
quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte LQ et une partie permet l‟évaporation du
liquide vap L avec :
LvapG s Q Lmqr 0
24 (E-5)
L‟équation du flux de Stephan s‟écrit:
dt
dr Y
dt
r d
Dr
dY D s
S
s
S
1
11 (E-6)
Faisons un changement de variable en introduisant le paramètre de Spalding.
11
1
s
Y
Y b (E-7)
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Annexe F Équations du modèle d’évaporation
194
C‟est un ratio entre la fraction massique du fuel en tout point r et la fraction massique desespèces autre que le fuel à la surface de la goutte, par conséquent on aura b = b (r ).Il s‟agit à présent de réécrire le système d‟équations :
r
T r
r r
T C
m
r
b Dr
r r
bm
g vap
g
2
0
1
2
0
4
4 (E-8)
L‟équation du flux de Stephan s‟écrit :
t
r
r
b D S
S
1 (E-9)
Avec les nouveaux conditions aux limites
En r = r fM b = b
En r = r S b = bS L‟intégration du système d‟équation (E-8) donne :
2
2
0
11
2
0
4
4
C r
T r T C
m
C r
b Dr b
m
g vap
g
(E-10)
Avec les conditions aux limites citer si dessous et les équations (E-4) et (E-9) ; on obtient le
système suivant :
r
T r
C r m
T T hT T C
m
r
b Dr bb
m
g
vapS
S
C S
vap
g
S
2
20
0
1
2
0
4/4
14
(E-11)
On peut arranger les équations pour obtenir :
(E-12)
vapS
S
C S
vap
g
S g
C r / m
T T hT T
T
r
r C
/ m
bb
b
r
r
D
/ m
20
2
0
2
1
0
4
4
1
4
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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Annexe F Équations du modèle d’évaporation
195
En intégrant une seconde fois ; On obtient :
'
2
0
20
'
1
1
0
4/1
4/
4/11
C C m
r C r m
T T hcT T Ln
C D
m
r bb Ln
VAP
g vapS
sS
g
S
(E-13)
En appliquant les conditions aux limites en r = r fT et en r = r fM et en utilisant les équations(E-5) et (E-9), on abouti au système suivant :
vapS
S S
vapS
S S
fT
vap
g
S
S
fM g
C r m
T T hcT T
C r m
T T hcT T
Lnr r
C m
bb
bb
Lnr r D
m
)4/(
)4/(114/
1
1114/
20
200
1
0
(E-14)
Soit finalement :
vapS
S S
vapS
S
S
fT
fT
vap
g
S
S
fM
fM
g
C r m
T T hcT T
C r m
T T hcT T
Lnr r
r r C
m
bb
bb Ln
r r
r r
D
m
)4/(
)4/(4/
1
14/
20
200
1
0
(E-15)
En remplaçant r par r S ; b par bS et T par S T on peut déterminer le flux de Masse à la surfacede la goutte.
1
4/4
114
20
0
0
C
VAP S
fT
fT
VAP
g
S
fM
fM
g
h
C r m
Lnr r
r r
C m
bb Lnr r
r r Dm
(E-16)
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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Annexe F Équations du modèle d’évaporation
196
Soit B M le coefficient de diffusion de Spalding lié aux espèces définit comme suit :
S
S S
M Y
Y Y bb B
1
11
1
(E-17)
Soit BT le nombre de transfert de chaleur de Spalding définit tel que :
hc
C r m B
VAP S
T
2
0
4/ (E-18)
On définit aussi deux nombres convectifs :Sherwood Convectif
S fM
fM
r r
r Sh
2
* (E-19)
Nusselt Convectif
S fT
fT
r r
r Nu
2* (E-20)
Par conséquent le flux total de masse quittant la surface peut être écrit sous la forme suivant :
12
12
4
*
1
*
1
0
M S g
M S g
B LnShr D
B LnSh
r Dm
(E-21)
12
12
4
*
*0
T S
VAP
g
T S
VAP
g
B Ln Nur C
B Ln Nu
r C
m
(E-22)
2. Quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte
En partant de l‟équation (E-22), et en utilisons l‟équation (E-18), exprimons le coefficient
de convection hc en fonction du débit massique de l‟espèce à la surface de la goutte0
m :
*
0
2exp1
Nur
C m B
S g
VAP T
(E-23)
12
exp
4/
*
02
0
Nur
C m
hc
C r m
S g
VAP
VAP S
(E-24)
doncT
VAP
g
VAP
VAP
B
D
C m
Nu D
C m
D
C m
hc2
0
*
0
2
0
1exp
(E-25)
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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Annexe F Équations du modèle d’évaporation
197
Or le nombre de Nusselt de la goutte est définit par :
T
T
B
B Ln Nu
Dhc Nu
1*
, donc :
VAP
S LmT T hc DQl 0
2
VAP S
T
VAP LmT T BC m
00
)1(*)(2 T
vap
vap s
g s B Ln NuC
LT T Nur (E-26)
D‟où
vap
vap s
g sC
L )T T ( Nur Ql 2 (E-27)
3. Evolution du diamètre de la goutteOn partant de l‟équation (E-1), et en utilisant l‟équation (E-22), qui permet de calculer le
débit massique de l‟espèce à la surface de la goutte0
m , on peut écrire :
dt
r d r B LnShr Dm s sl M S g
2*
1
0
412 (E-28)
Par conséquent 12
*
1 M
l
g s s B LnSh D
dt
r d r
(E-29)
1*1
2
M
l
g S B LnSh Ddt r d
(E-30)
14 *
1
2
M
l
g B LnSh D
dt
Dd
(E-31)
12 *
1 M
l
g B LnSh D
Ddt
Dd
(E-32)
Multipliant en haut et en bas par vapC et g , on obtient :
vapl
g M
*
vapl g
g vap M
*
C D
B Ln Le
Sh
C D
DC B LnSh
dt
Dd
12
12
1
1
(E-33)
D‟où l‟obtention de la relation d‟évolution du diamètre de la goutte :
vapl
g
C Ddt Dd
2 (E-34)
7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…
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RESUME
Ce travail porte sur l‟étude numérique et théorique de la combustion dans les brouillards degouttelettes dans une configuration de jet rond turbulent.
Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de simulation de type Euler/Lagrange qui
résolvent directement les équations instantanées de la phase gazeuse et effectuent un suivilagrangien des trajectoires des gouttes.
La configuration étudiée représente des gouttes de combustibles ou des particules de verresinjectées à haute vitesse dans une turbulence. Le mouvement des gouttes ou des particules estsupposé uniquement gouverner par la force de traînée visqueuse et la force de graviter-flottabilité. Le chargement de la phase dispersée est suffisamment important pour qu‟ellesinfluent sur la phase gazeuse (couplage inverse) mais suffisamment faible pour pouvoirnégliger les collisions inter particulaires.