Modélisation du comportement cyclique des ouvrages … · Méthodologies de modélisation des...

Modélisation du comportement cyclique des ouvrages en terre intégrant des techniques de régularisation

Doctorant:

Alexandre Foucault (LMSSMat, LaMSID)Directrice de thèse :Arézou Modaressi (LMSSMat, ECP)Encadrement :

François Voldoire (EDF R&D/AMA/T62)

21 juin 2010

Mise en contexte

Projet EDF CODHYBAR « Comportement Dynamique et Hydromécanique des BARrages »

Maintien du patrimoine hydraulique et de sa durabilité

Sûreté de l’hydrauliqueLot géomécanique

Développement d’outils qualifiés de simulation fineMéthodologies de modélisation des ouvrages en terre

Capacité de maîtriser les scenarii les plus pénalisants pour leur tenue

Décrire l’apparition des modes de ruineCouplage multi-physique statique et dynamique

2

Problématique

Introduction d’un modèle de sol adapté au comportement cycliqueApproche multi-mécanismes [Mroz, 1967]Lois d’écoulement non associéesAdoucissement

Apparition d’instabilités matérielles Mode de rupture type diffusMode de rupture type localisé

Localisation des déformationsDépendance pathologique des résultats aux maillages (MEF)Méthode de régularisation

Mise en œuvre de méthodes numériques robustes et performantes

3

Barrage Lower San Fernando (1971)

Barrage en remblai

Séisme de M=6.6, PGA=0.59g, le 09/02/1971

Observations après séismeLiquéfaction du parement amontTassement de la crête 8.5m

Glissement du parement amont de plus de 40m Retenue d’eau assurée à 1.4m seulement

4

Sommaire

1. Implantation numérique du modèle de Hujeux

a. Formulation du modèle

b. Intégration implicite

c. Validation numérique

d. Estimateurs de perte d’unicité

e. Conclusion

5

2. Couplage modèle de Hujeux/2 nd

gradient de dilatation

a. Mise en contexte

b. Modèle de 2 nd gradient de dilatation

c. Contrôle de la largeur de bande

d. Modélisation d’un essai biaxial drainé

e. Stabilité d’un déblai sous charge de

fondation superficielle

f. Retour sur le couplage

3. Conclusions et perspectives

Implantation numérique du modèle de Hujeux

Formulation théorique du modèle

Intégration implicite du modèle

Validation numérique

Conclusion

Barrage de Grand-Maison

Hauteur: 160 mètres

6

1-a Présentation du modèle de Hujeux(Aubry et al., 1982; Hujeux, 1985; ~10 thèses)

Modèle utilisé par le CIH avec le code GEFDynMaturité du modèle (20 ans)Intégration explicite du modèle de Hujeux

Sous-incrémentation du chargement local appliqué

Capacité de représenter le comportement des sols argileux et granulaires sous séisme pour une large gamme de déformations

Paramètres matériaux3 pour l’élasticité non-linéaire18 pour la plasticité

Large banque de données de paramètres

7

1-a Présentation du modèle de HujeuxModèle écrit en petites déformations, exprimé en contraintes effectivesÉlasticité non linéaire4 mécanismes plastiques : 3 déviatoires / 1 de consolidationCritère de rupture type Mohr-Coulomb/ Concept d’état critiqueMobilisation progressive de la frictionLoi d’écoulement plastique non associée pour la partie volumiqueCouplage des mécanismes par la déformation volumique plastiqueComportement cyclique introduit par des variables d’histoire à évolution discontinueGestion des états de traction

8

( )

−⋅−=Ψ

k

kv

p

qr ψααψ sink

kd

f

S∂∂

=Ψkc

kkkk r

P

pbpqf

−⋅+= ln1sinφ

Mécanisme déviatoire monotone

CP

kq

kp

1-b Intégration numérique

BesoinsRobustesse

Performance

Intégration du modèle dans Code_AsterCadre Assurance QualitéLogiciel OpenSource

Couplage Hydro-Mécanique

Méthodes de régularisation

Capacité de résolution de problèmes complexes sols et structures

Intégration implicite du modèle de Hujeux

9

motivée par les résultats obtenus par [Manzari et Prachathananukit, 2001;

Foster et al., 2005]

1-b Intégration implicite du modèleMéthode de Newton pour l’équilibre global

Méthode de Newton à l’échelle localePrédiction élastique à partir de

Tir explicite

Itérations de corrections

Système variant de 9 à 15 équations

But Déterminer l’état final des contraintes et des variables internesConstruire la matrice tangente en vitesse du modèle

Conception de l’algorithme de gestion des mécanismesRespect de l’ensemble de la formulation du modèleOptimisation du nombre d’équations à résoudre

( )++ ασ ,

( )εασ ∆−− ,,eσ

( )( )0000 ,,, αελσ ∆∆∆∆ pv

( )( )nnpvnn δαεδδλδσ ,,,

10

1-c Validation numériqueBut

Validation des fichiers sources en respect du modèle de HujeuxGestion des mécanismes cycliquesCouplage et activation des mécanismes

Ensemble complet de chemins de chargement sollicitant le modèle

Qualification du code pour la simulation d’ouvrages géotechniques

MoyensComparaison des résultats avec GEFDyn 16 cas-tests restitués dans la base Code_Aster

Essais triaxiaux drainé/non drainé, monotone/cyclique, contrôlés en déformation/contrainte

Analyse sismique d’une colonne de sol après modélisation de sa construction par couches (évaluation du transfert de chargement sismique à travers la colonne)

Interaction forte avec le développement informatiqueRobustesse

Performance

11

1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur sable d’Hostun [Lopez-Caballero, 2003]

Sensibilité des résultats suivant un schéma d’intégration implicite

12

État de contraintes initial

Déviateur appliqué

Utilisation matrice tangente

Convergence locale et globale pour ηtol<10-8

kPa300 =σkPa151 =∆σ

'p

q q

zzε

A

B


Profil de convergence global sur p’ Profil de conver gence du résidu global après 2.5 cycles

Évolution monotone vers la solution en p’ (pression isotrope effective)

Taux de convergence augmentant pour de faibles niveaux d’incréments de chargement

13

B

A B


Après ¼ du 1 er cycle de chargement

Profil de convergence du Newton local mis en place pour l’intégration du modèle de Hujeux

14

1) Résolution du système non linéaire avec M pot

1 en 22 itérations

2) Domaine potentiel, M pot1 ≠

Domaine activé, M act1

3) Création de M pot2

a) Ajout du mécanisme plastique isotrope à M pot

1

b) Modification de la prédiction àl’aide des contraintes obtenues après résolution du système avec Mpot

1

4) Résolution avec M pot2 en 10

itérations

1-c Validation numérique

Étude statique et dynamique d’une colonne de sol unidimensionnelle

15


Construction par couches d’une colonne de sol 1D

Paramètres matériaux Hujeux [Kordjani, 1995]Utilisation matrice tangente

Modélisation à intégration complète

Convergence atteinte pour ηtol<10-10

Analyse sismique de la colonne de solSchéma de Newmark -

Utilisation matrice tangente

Modélisation à intégration complèteConvergence atteinte pour ηtol<10-6

Séisme normé à 0.15g

16

25.0=β 5.0=γ

H=25m

H=5m

H=0m


17

Construction par couches d’une colonne de sol

Comparaison des résultats GEFDyn et Code_Aster

Variable d’écrouissage du modèle de Hujeuxmr3

Tassement [cm]

pvε mr3

%5=ζ

Fréquence [Hz]

Spectre calculé au sommet

1-c Validation numériqueAnalyse sismique de la colonne de sol saturé


Incrément de pression hydraulique [kPa] en

fin de séisme

18

][cmU y

Décalage de la 1ère fréquence de résonance (cohérence entre les deux codes)Sources des différences potentielles

Évolution différente des mécanismes cycliquesCritère de convergence appliqué sur les degrés de pression hydraulique

%5=ζ

Fréquence [Hz]


pvε

19

Analyse sismique de la colonne de sol sèche


Résultats très proches sur tous les points de contrôle

Différences relevées à relier à l’évolution des mécanismes cycliques

][cmU y

1-d Estimateurs de perte d’unicité

Problèmes d’équilibre avec le modèle de HujeuxOpérateur tangent local non symétrique et dépendant en vitesse

Perte d’unicité matérielle

Calcul d’estimateurs Travail du second ordre incrémental

Perte d’unicité dans la direction de chargement

Déterminant de la matrice tangente en vitesse

Critère de Rice (2D) (en post-traitement)Apparition d’une bifurcation polarisée, supposée en bandes

εσεσ

∆⋅∆∆⋅∆

( ) 0det =⋅⋅ nHn ep

( ) 0det =epH

20

1-e Conclusion sur l’intégration

Validation acquise de l’intégration implicite du modèle de Hujeux

Pour une large gamme de chemins de chargementPrécision des résultatsRobustesse de l’algorithme

Qualification sur des études industriellesApplication à une colonne de sol sous séisme

Sensibilité à la vérification de l’équilibre globalGestion fine des mécanismes plastiques nécessaire

Application à la construction par couches, mise en eau d’une digue homogèneValidation des résultats par rapport à GEFDyn

PerspectivesAlgorithme de recherche linéaire localeLimitation des critères locaux de sous-incrémentations

21

Couplage modèle de Hujeux/2 nd gradient de

dilatation

Mise en contexte

Modèle de 2 nd gradient de dilatation

Contrôle de la largeur de bande

Essai biaxial drainé

Stabilité d’un déblai sous charge de fondation superficielle

Perspectives

22

Barrage du Mont Cenis

Hauteur 120m

2-a Mise en contexteModes de rupture naturels

Localisé

Diffus

23

[Alshibili et al., 2005]

University of Washington –College of Civil & Environmental

Engineering

Exemple en mécanique des sols – simulation EF

Localisation des déformations dans une bande de largeur 1 élémentOrientation des bandes dépendante du maillage

24

[Khoei et Bakhshiani, 2005]

2-a Mise en contexteModèle de Hujeux:

Perte d’unicité matérielleCapacité à représenter ces modes de ruine [Vossoughi, 2001], [Hamadi, 2006]

Défaillance de l’intégration numérique classiqueVariable de couplage du modèle de Hujeux

Nécessité d’introduire une technique numérique de régularisation

Intérêts du modèle de 2nd gradient de dilatation [R.Fernandes et al., 2008]

Contrôle de la cinématique du milieu à l’occasion des pertes d’unicitéSimplicité d’utilisation ; adapté au calcul HM1 seule inconnue nodale supplémentaireTemps de calcul supplémentaire limité voire profitable

pvε

25

2-c Modèle du 2nd gradient de dilatation

26

2-b Modèle de 2 nd gradient de dilatation (Fernandes et al., 2008)

Puissance virtuelle des forces intérieures – modèle micromorphique de dilatation

Relation supposée - Modèle de 2 nd gradient de dilatation

Formulation mixte de W int :

( ) ( )( ) adadijjviijij VUudvSu 0

*0

***** ,,.. ∈∀∈∀∇+−+= ∫Ω

χχχεκεσintW

vεχ =

( ) ( ) ( )( )0,1,2 PPP λχU

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫ ∫Ω Ω

−−+−+−−∇+Ω=

∈∀∈∀∈∀

dvrSdu

LVUu

vvvvjjiijij

adadadi

χεχεχελχελχεσ

λχ

....

,,,*******

*0

*0

*

intW

( ) adadi

ij

ijiijij VUudv

xx

uSu 0

*0

**2

* ,,.

.. ∈∀∈∀

∂∂∂+= ∫

Ω

χεσintW

v,ui

iu

λÉlément fini

Modèle local classique

partie régularisante

Terme de pénalisation quadratique

27

Contrôle de la cinématique

2-b Modèle de 2nd gradient de dilatationRelation linéaire établie entre

Gradient de déformation volumiqueTenseur des doubles forces

Ajout d’un paramètre physique: module de rigidité de micro-dilatation

Conditions homogènes sur le terme de double forceSelon la direction : sur tout le bord du solide

Contribution du gradient de pour équilibrer les forces appliquées

Application à la propagation des ondes (poro-)élastiquesOndes dispersives

Application sismique

Rapport faible entre largeur de bandes et longueur d’ondesChamp d’ondes faiblement modifié par rapport au cas sans second gradient

28

²].[ mPabs

nnu∂ 0== njj SnS ΩS

vε∇S

2-c Contrôle de la largeur de bandeZoom sur un essai biaxial drainé non régularisé

Zoom sur la ruine d’une pente

Localisation des déformations dans une bandeSimplification du problème en une bande matériau dilatante

Hep défini comme un solide linéaire de comparaisonÉvaluation de l’introduction du modèle de 2nd gradient de dilatation sur les équations

Recherche des conditions d’apparition d’un mode de bifurcation dans la bande

29

2-c Contrôle de la largeur de bande (Chambon et al., 2001)

epepepep

eps

cHHHH

HbL

1111121211121211

12122−

= π

εσ &&epH=

• Lois de comportement

• Problème initialement homogène

• Conditions aux limites

Domaine étudié

Bande de cisaillement

====

connusFlx

vux

i&

&&

,

0,0,0

( )( ) yselontdéplacemenxv

xselontdéplacemenxu

:

:

=

0'21

'21'

v

vuij

&

&&&ε

∂∂∂∂

=

2

1

2

10

0

x

xb

b

S

S

v

v

s

sε

ε

''uxv

&&

=∂

∂ε

30

Recherche des solutions non triviales du problème en vitesse

2-d Essai biaxial drainé

31


P0P0

P0Uy

x

yΓB

A

ΓCΓH

20 cm

10 cm

−+=

c

kkkk

P

pMpqf ln1HCC

QUAD8(4)

512QUAD 2048 QUAD 6652 TRIA

32

HJS kc

kkkk r

P

pbMpqf

−+= ln1

HUJEUX

+=

−+=

isociso

kc

kkkk

rdPpf

rP

pbMpqf ln1

Paramètres matériaux Hujeux [Lopez-Caballero, 2003]

Utilisation matrice sécante

Modélisation à intégration sélective

Convergence atteinte pour ηtol<10-4

Réduction de 5% de la valeur de 0cP


Maillage à 512 éléments

33

Maîtrise de la largeur de bandePropriétés matériauxÉtat de contraintes initial

3 séries d’essais avec le modèle HCCMatériau dilatant

Résultats numériques

),( 00 Csc PPFbL ×=

2-d Essai biaxial drainé HCC

),( 00 Csc PPFbL ×=

Application analytique

−××=

epepepep

ep

scHHHH

HbL

1111121211121211

12122π

Résultats numériques

34

Série 1

P0 = 500 kPa

Très bonne concordance des résultats entre les simulations et le calcul analytique pour les 3 séries d’essais


35

HJS

kPa5003

=σ %88=DR

Maillage à 512 éléments

Application d’un facteur de réduction par rapport à l’approche analytique

pvε

yF

yU

Indicateur de plasticitéA

A

A-A

A-A

cmU y 4=

yF

yU

régularisés

homogène

2-d Essai biaxial drainéSensibilité des résultats aux maillages

M512

M2048 MALEA

HJS

kPa3003

=σ %88=DR

Existence d’un domaine de solutions multiples

pvε

36

A

A

Coupe A-A

Indicateur de plasticité

cmU y 4=

cmU y 2.3=

2-d Essai biaxial drainéSensibilité des résultats à la discrétisation du chargement

dUy=0.02mmdUy=0.04mmdUy=0.08mm HJS

kPa5003

=σ %88=DR

Existence d’un domaine de solutions multiples

pvε

yF

yU

37

Coupe B-B

B

B

régularisés

homogène


cmU y 4=

2-d Essai biaxial drainéÉvolution de la largeur de bande de cisaillement

HJS

kPa3003

=σ %88=DR

Stabilisation de la largeur de bande au cours de l’essai

Uy=2.4cm U y=4.8cm U y=8.0cm38

A

A

Coupe A-A

yF

yU

pvε


2-d Essai biaxial drainéÉvolution de l’énergie de déformation ajoutée

HCC

Stabilisation de l’énergie introduite

Diminution progressive de la participation relative du 2nd gradient de dilatation (atteinte locale de l’état critique)

39 Déplacement axial [m]

Énergie 2 nd

gradient

Énergie relative

yU

2-e Stabilité d’un déblai sous chargement d’une fondation superficielle

40

2-e Stabilité de déblaiModélisation couplée HM4 maillages distincts

4040 – 8022 – 11409 - 26618 nœuds

Régularisation restreinte au modèle mécanique

24.5273636362563Maillage 3

24.0202694266591Maillage 2

23.2108853141695Maillage 1

Écart (%)

RégulariséLocalTemps CPU (s)

41

yU

42

2-e Stabilité de penteModèles standards EFMaillages 1 – 2 – 3 dεLocalisation des déformations

Concentration dans une largeur d’éléments

Maillage 1

Maillage 2

C

C

C-C

Maillage 3pvε

][NFy

][mU y

cmU y 20=

2-e Stabilité de pente

pvε

Modèles EF régularisésMaillages 1 – 2 – 3 – 4

43

Maillage 1

Maillage 4

Maillage 3

Maillage 2

C-C

dε

C

C

][NFy

][mU y

cmU y 20=

2-f Retour sur l’utilisation du modèle de 2 nd gradient de dilatation

Essai biaxial drainé sur matériau dilatantMise en place d’une procédure pour définir la valeur du module de rigidité bs fonction de

Propriétés matériauxÉtats de contraintes initial du solLargeur de bande visée

Modèle de 2nd gradient de dilatationSolution performante : nombre d’itérations réduit pour l’équilibreMinimum d’inconnues nodales supplémentaires

Assurance d’une objectivité des résultats aux maillagesNiveau d’énergie introduit faible en rapport à l’énergie totale de déformation du milieu

Stabilité du déblaiMise en place d’une méthodologie d’excavation sous Code_Aster

Correction de la dépendance pathologique des résultats en espace et en orientation liée aux maillagesGain en temps de calcul (~25%)

Prise en compte de la variation de bs aux états de contraintes initiaux

44

3 Conclusion et perspectives

Intégration du modèle de Hujeux dans Code_AsterGain de précision grâce à une intégration locale implicite

Capacité de modéliser des ouvrages géotechniques d’envergure

Travaux à réalisersur les temps de calcul local

Recherche linéaire localeCritères de tolérance sur les variables d’évolution

étude couplée hydro-mécanique 3D

Utilisation du 2nd gradient volumique avec le modèle de HujeuxIndépendance des résultats au maillageMaîtrise de la largeur de bande de cisaillement

Cas analytique bi-dimensionnel Matériau dilatant

A réaliser: Étude sur la liquéfaction des sols granulaires contractantsApplication à l’échelle d’un ouvrage géotechnique majeurÉvaluation de la méthode pour des sols stratifiés hétérogènesMise en place de la méthode pour des applications sismiques

45

QUESTIONS ?

46

Merci pour votre attention

1-a Évolution des surfaces de charge déviatoires cycliques [R7.01.23]

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )p

vk

ijkijk

pvk

ijck

k

pvk

ijHk

ijHk

Fp

Fp

Fp

εσσ

εσσ

εσσ

,

~

,

,

SS

Sn

SX

=

=

=

48

1-a Évolution des surfaces de charge de consolidation [R7.01.23]

49

1-a Gestion de la traction [R7.01.23]

Seuils déviatoires monotone et cyclique non définis en 0

Ajout d’un mécanisme de traction par plan déviatoire

kc

kkkk r

P

pbpMqf .ln1..

−+=

0. 0 ≤−= ctkk

tk Ppf π

0. ctk Pπ

pk

qkqk=Mpk

fk

Écoulement normal

Seuils intégrés à la résolution implicite du modèle

50

1-b Schéma d’intégration implicite du modèle Newton Niveau global :

Recherche de +σ , +α et éventuellement,

ε

σ

∂∂

Initialisation des variables internes

Prédiction élastique e

σ

Intégration plastique : Résolution par Newton en schéma linéaire implicite R(∆Y)=0

Prédiction ∆Y0 (Euler explicite)

Résolution ( ) εδ <∆∆∆⇒

∞Y

YssifinalY

Mise à jour : ( )++++k

pv r X,,, εσ

Test de convergence : Si non convergence, redécoupage du pas de temps possible

Définition du Mact

Mact = Mpot?

oui Calcul des matrices tangentes ε

σ

∂∂

(selon options) non

M pot = Mact

Définition du domaine des mécanismes potentiellement

actifs - Mpot

51

Système d’équations à résoudre R(Y)=0

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

=

+

=

+

=

+

=

+

==

∆

===−+

∆

=∆+∆+

+∆+

=

∆−∆∆

=

+

+

+

+

++

++

++

++

++

++

++

+

++

= =+

++

=

+

=

++

∑

∑

2.0

2.0

1.0ln-1

1.0ln-1

2.,0-1

--

1.3,2,1,0.

-1--

0sin-

3-.--

-4

-4

-

-

0

24

4-n

44

2

-n

144

,

1-

1

-

2,1

,

41-

1

-

∑

∑

LFCePdrp

LFMePdrp

LFCreP

pbMpq

LFMreP

pbMpq

LRcmn

P

Pc

rrr

LRkcmnaara

rrr

LEVPp

p

p

p

p

qr

p

p

R

vp

vp

vp

vp

cocc

com

ck

co

khk

ck

mk

co

khkk

cs

nnn

cmnkc

nkn

kknk

c

ccm

cmn

nbmeca

k k

nkn

knkvpvp

cmnkln

nnntkl

nbmeca

t

ntklijklijij

βε

βε

βε

βε

λ

ξλ

λλψξλεε

λλ ijLE0ICσσσσσσσσσσσσσσσσ

Ψε

Y

( )

( )( )( )( )( )( )

∆∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∆ ∆

nt

nt

pvxy

nt

nt

pvxy

nt

nt

pvxy

nt

nt

pvxy

nt

nt

pvxy

nt

ijn

t

ijpv

ij

xy

ij

Y

LF

r

LFLFLF

LF

r

LFLFLF

LR

r

LRLRLR

LR

r

LRLRLR

LEVP

r

LEVPLEVPLEVP

LE

r

LELELE

Yd

dR

i

λε

λε

λε

λε

λε

λε

2.2.2.2.

1.1.1.1.

2.2.2.2.

1.1.1.1.

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

( ) ( )iii YRYYY

R −=∆∂∂ +1.

( )ni

ni

pvij rY λεσ ∆= ++ ,,,

52

1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur un point matérielComparaison modèle de Hujeux/Expérimental [Mohkam, 1983]

[Servant et al., 2003]

53

[Kordjani, 1995]

1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur un élément cubique

54

1-c Validation numériqueEssai biaxial drainé sur sable dilatant

maxqconvq

q

max

max∆

1ε

q

1ε

vε

kPap 300 =

55


Analyse sismique de la colonne de solSensibilité au critère de convergence utilisé

56

1-c Application numérique

Modélisation d’une digue en terre homogèneConstruction par couchesMise en eauAnalyse sismique (à venir)

-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910111213141516

-0,11-0,10-0,09-0,08-0,07-0,06-0,05-0,04-0,03-0,02-0,010,00

DY [M]

HEIGHT [M]

CC - GEFDYN

CC - ASTER

ASTER - NEW METHOD

Tassement [m]

Hauteur de digue [m]

Étude réalisée par M.Kham

Modélisation couplée HM sous Code_Aster

• 901 éléments QUAD8(4)

• 2844 nœuds

57

1-d Perspectives

Benchmark El-Infiernillo [ICOLD, 1994]Construction par couchesMise en eauAnalyse sismique

58

2d – Essai biaxial drainé HCC Série 1

P0 = 500 kPa

59

Développement analytique:

Méthode de construction d’un déblai

Méthode d’excavation multi-modèlesVariation de Force de 1 à 0 durant la phase d’excavation

P=ρρρρgh

p0

0 T

1

(c)

60

Construction du déblai

Sensibilité au phasage:4 – 10 étapes

A A

B B

][mU x

][mU y

mr3

pvε

A-A

A-A

A-A

B-B

61

Modélisation du comportement cyclique des ouvrages … · Méthodologies de modélisation des...

Documents

Transcript of Modélisation du comportement cyclique des ouvrages … · Méthodologies de modélisation des...