Nom de la revue. Volume X – n° X/2001, pages 1 à X

Modélisation des transferts de masse dans les matériaux à matrice cimentaire à l’aide d’un modèle morphologique. M. Bogdan1,3 — E. Roubin1 — J.-B. Colliat2 — F. Benboudjema1 — L. Stefan3

1Laboratoire de Mécanique et Technologie, ENS de Cachan, Université Pierre et Marie Curie, CNRS, UniverSud Paris PRES 61 avenue du Président Wilson, 94230 Cachan cedex, France {bogdan, roubin, benboudjema}@lmt.ens-cachan.fr 2LML, ECLille, BP 48, F-59650 Villeneuve d’Ascq, France

Jean-baptiste.colliat@univ-lille1.fr 3Areva NC, 33 rue La Fayette, 75009 Paris, France

Lavinia.stefan@areva.com RÉSUMÉ. L’étude proposée ici se focalise sur la création d’un nouveau modèle d’hydratation. L'approche consiste à créer des morphologies par seuillage de réalisations de champs aléatoires. Les avantages de cette méthode sont nombreux, le principal étant le peu de paramètres nécessaires à la description d’une morphologie. Cela permet de créer un modèle hétérogène pour des matériaux de types « inclusions » ou « mousses ». Le point central de cette étude est donc le processus d'hydratation de la pâte de ciment. Une version simplifiée de modèle d'hydratation analytique a donc été implémentée. Une fois ces morphologies créées, pour différents degrés d'hydratation, elles sont projetées sur des maillages éléments finis. Cela nous donne donc la possibilité d’effectuer tout type de calcul, et ainsi de prédire des propriétés comme le coefficient de diffusion effectif, le module de Young, le coefficient de Poisson,… ABSTRACT. In this work we present a new morphological model for heterogeneous media that is well suited for cement based materials. The main application addressed here is a model for the evolution cement paste with respect to the hydration degree, containing only anhydrous cement, water, and hydrated products. Secondly, those morphologies are projected on FE trusses, which allow us to predict the evolution of any chosen material characteristic (elastic properties and diffusivity) with the evolution of the hydration degree. MOTS-CLÉS : modèle morphologique, multi-échelles, champs aléatoires, hydratation, diffusion, E-FEM, prédiction KEYWORDS: morphological modeling, multi-scale, random fields, hydration process, prediction diffusivity, E-FEM

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1. Introduction

La modélisation des matériaux à matrice cimentaire a toujours été un enjeu de taille, spécialement au jeune âge. Pour l’industrie du nucléaire, de la construction, ou pour la recherche, l’objectif est de toujours mieux comprendre les processus d’hydratation, ainsi que l’évolution des propriétés de transport, mécaniques, les différents retraits, le fluage,…

L’étude proposée ici se focalise sur les pâtes de ciments, et plus spécifiquement sur la création d’un nouveau modèle d’hydratation. Issue des travaux de R. J. Adler [Adler, 2008], l'approche consiste à créer la morphologie et les différentes phases de celle-ci par seuillage de réalisations de champs aléatoires. Les avantages de cette méthode sont nombreux. Tout d'abord, contrairement à la majorité des modèles numériques d'hydratation existants, les inclusions ne seront pas des sphères, mais des formes aléatoires. Ensuite, la création de ce type de morphologie est sensiblement plus légère numériquement que les modèles existants puisqu’on aura besoin d'uniquement trois paramètres (deux pour le champ aléatoire, et un pour le seuil) pour décrire toute la morphologie (au lieu de classiquement quatre paramètres par inclusion). En générant donc des réalisations de champ aléatoires aux propriétés choisies, et en les seuillant, on peut obtenir une large gamme de morphologies, dont on maitrise les caractéristiques géométriques et topologiques. Cela permet de créer un modèle hétérogène pour des matériaux de types « inclusions » ou « mousses ».

Le point central de cette étude reste néanmoins le processus d'hydratation de la pâte de ciment, avec des inclusions en ciment anhydre dans un « matrice » d'eau. Ensuite en ajoutant des seuils supplémentaires, on peut créer autant de phases concentriques qu’on le souhaite. Une version simplifiée de modèle d'hydratation analytique a donc été implémentée, en ne considérant que trois phases : le ciment anhydre, les hydrates et l'eau. Le lien qui a été fait entre les seuils et les fractions volumiques des excursions nous permet donc de créer une morphologie initiale, puis de la faire évoluer selon un modèle choisi.

Une fois ces morphologies créées, pour différents degrés d'hydratation, elles sont projetées sur des maillages éléments finis, et traitées dans un cadre multi-échelle séquencé. Cela nous donne donc la possibilité d’effectuer tout type de calcul, et ainsi de prédire des propriétés comme le module de Young, le coefficient de Poisson, le coefficient de diffusion effectif, ou toute autre propriété de transport.

2. Création de morphologies

Nous allons dans un tout d’abord expliquer brièvement le processus de création des morphologies, avec dans un premier temps la génération de champs aléatoires, puis le seuillage de ces derniers, et enfin le lien qui existe entre les variables du champ aléatoire et les caractéristiques géométriques des excursions.

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2.1. Création et génération de champs aléatoires

La première étape de la méthodologie décrite ici est la génération de réalisations de champs aléatoires. Nous présentons ici de façon synthétique les idées principales et les outils nécessaires à une implémentation numérique efficace.

Dans un premier temps il a été fait usage de la décomposition orthogonale [Kahrunen, 1947], qui permet, pour des champs Gaussiens corrélés, une séparation entre les variables d’espaces et les variables aléatoires. Par la suite, afin de déterminer les variables d’espaces, la décomposition de Karhunen-Loève est utilisée car celle-ci permet d’y arriver en résolvant un problème de valeurs propres. La démonstration peut être trouvée dans [Loève, 1978]. L’implémentation numérique de ce problème est ici faite grâce aux méthodes Éléments Finis (EF). Enfin, la dernière étape est de générer de tels champs, avec les bonnes fonctions d’espaces. Pour les variables aléatoires, un simple générateur de nombres aléatoires suffit. Cependant, pour des systèmes multidimensionnels, de grandes tailles, ce processus est très « gourmand » en mémoire. C’est pourquoi nous avons utilisé ici la méthode des Bandes Tournantes [Matheron, 1973] [Mantalgou et al, 1982], qui permet de créer des champs multidimensionnels à partir d’une sommation de champs unidimensionnels.

2.2. Seuillage et excursions de réalisations de champs aléatoires

La seconde étape consiste à venir seuiller ces réalisations de champs aléatoires. Nous expliquons donc ici le principe des excursions. Considérons les champs aléatoires comme des fonctions aléatoires : ! !,! :! ⊂ ℝ! ⟶ ℝ!, où M est un espace Euclidien à N dimensions (x est la variable d’espace, et ! la variable aléatoire). Dans le cadre de nos travaux, nous travaillons uniquement avec des champs corrélés Gaussiens ! (où qui en dérive directement) qui sont définis dans un cube de taille T à valeurs dans ℝ. Ainsi une excursion !! d’un tel champ se définit par « l’ensemble des points de M où les valeurs de ! sont au dessus d’un certain seuil u » :

Un exemple est présenté (fig. 1), pour une réalisation unidimensionnelle γ définie sur un segment M. Un second exemple (fig. 2) montre l’équivalent tridimensionnel, et met en valeur la variété de morphologies qu’il est possible de créer (type éponge à gauche, ou inclusions à droite, avec tous les intermédiaires).

!! ≡ !! !,! = {! ∈ !: !(!) ≥ !} [1]

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Figure 1. Exemple de seuillage à une dimension, et excursion (Au)

Figure 2. Exemple d’excursions tridimensionnelles

2.3. Caractérisation

L'intérêt et le choix de la méthode pour obtenir les morphologies précédentes résident dans les travaux de R.J. Adler [Adler et al, 2008]. En effet ces derniers ont permis de créer un lien entre d'une part les grandeurs propres aux champs aléatoires (L! et σ) et au seuil (u) de l'excursion, et d'autre part les caractéristiques géométriques et topologiques des morphologies créées.

Afin de pouvoir décrire ces morphologies, il est choisit ici d'utiliser les courbures de Lipschitz-Killing, que nous noterons LKCs. Dans un espace à N dimensions, on peut définir N+1 LKCs, chacune d'entre elles donnant une mesure dans la jème dimension. Ainsi dans notre cas, si l'on s'intéresse à une excursion A! tridimensionnelle, les quatre LKCs, notées L!  ,nous donnent à la fois une description géométrique – L!, L!, L!- et topologique - L!.

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Celles-ci sont définies par:

− !!(!!) est le volume de !!

− !!(!!) est la demi-surface de !!

− !!(!!) est deux fois le calliper diameter de !!

− !!(!!) est la caractéristique d’Euler de !!

La caractéristique d'Euler est un nombre qui définit l'aspect de notre morphologie. Elle est définie en trois dimensions par:

Le lien précédemment cité permet donc de relier de façon probabiliste (en espérance) ces LKCs aux paramètres des champs aléatoires (!",!) et au seuil (!). Ainsi, on peut relier et contrôler les paramètres géométriques (!! la fraction volumique, ! la surface volumique) et topologiques (!, ici, le nombre de grains) de façon explicite. Si ! est la taille du cube modélisé, ce lien s’exprime par :

Pour de plus amples détails sur ces formules et leurs démonstration, se référer à [Adler, 2008] et [Adler 2009].

A ce jour il subsiste un problème dû à la forte non-linéarité des équations 3 : le système n’est pas toujours solvable. En effet, pour des champs corrélés Gaussiens, la fraction volumique maximale que l’on peut atteindre est de 15%, et on arrive jusqu’à 30% en utilisant des champs Chi-2. Ce n’est pas très réaliste pour des pâtes de ciments (ratio e/c d’environ 0,7), mais c’est le meilleur résultat qu’on ait obtenu pour l’instant.

Enfin, un dernier point qui mérite d’être précisé, est qu’une excursion n’est pas nécessairement définie par « tous les points de M où les valeurs de ! sont au dessus d’un seuil u ». Elles peuvent aussi être définies par les points « en dessous », ou encore par « tous les points de M où les valeurs de ! sont comprises entre les seuils

L0  (Au)  =  #{composant  connectés  dans  Au}  -­‐  #{“anses”  dans  Au}    +  #{“trous”  dans  Au}  

[2]

! !! !,! = !!  !! [3]

! !! !,!, !! = 12 !  !

!

! !! !,!, !! = !

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u et v », ce qui permet de créer de multiples phases « concentriques » (un seuil donnera deux phases, deux seuils donneront trois phases).

3. Processus d’hydratation

Dans cette partie nous présentons une application pour les pâtes de ciment, et leur hydratation, en s’appuyant sur un modèle analytique simple.

3.1. Modèle analytique

Nous avons utilisé ici le modèle de Powers [Powers, 1947], mais dans une version simplifiée. Traditionnellement, on considère cinq fractions volumiques : le ciment anhydre, les hydrates, eau en gel, eau libre et le retrait chimique. Nous n’en avons gardé que trois pour cette première application, en prenant en compte uniquement le ciment anhydre, les hydrates (qui incluent l’eau en gel), et l’eau libre. Le retrait lui n’est pas prit en compte (sa fraction volumique répartie dans la fraction volumique d’eau). De plus, à cause de ces hypothèses, nous avons décidé que le degré d’hydratation pouvait aller jusqu’à un, afin de ne pas sous-estimer la fraction volumique des hydrates (20% du volume initial du ciment anhydre est inclus dans les pores à l’état final). Ainsi, les équations [Stefan et al, 2010] du modèle peuvent se ramener à :

! =  ! !

! ! +  !! !!

[4]

!!"! = 1 − ! (1 − !) !! = 2,12 1 − ! ! !! = 1 − !!"! − !!

où p est la porosité initiale, α le degré d’hydratation, Vanh , Vh , Vw , respectivement, les fractions volumique de ciment anhydre, d’hydrates et d’eau, et enfin !! et !! les masses volumiques de ciment anhydre et d’eau. 3.2. Morphologies initiales

La description géométrique et physique du ciment anhydre est relativement simple pour un ciment de Portland, sans addition. Si on considère un CEM-I, la densité moyenne sera de !! = 3,1  !. !!!!, la surface massique moyenne sera !!"## = 4000  !!!.!!!, ce qui finalement nous donne une surface spécifique de !!" = 12000  !!!. !!!!. De plus, si on considère qu’à l’instant initial notre morphologie est complètement déconnectée (grains de ciment anhydre défloculés), on va imposer une caractéristique d’Euler positive. Enfin, nous devons définir la

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taille du cube sur lequel on travaille ! = 100!" (c’est la taille usuelle pour un Volume Elementaire Représentatif (VER) pour de telles modélisations, comme on peut le lire dans [Kamali, 2009] ou [Smilauer, 2006])

En fixant ces paramètre un par un, on déduit dans un premier temps un rapport !/!!, puis la longueur de corrélation !! nécessaire à la réalisation de notre champ aléatoire. Théoriquement, on devrait aussi fixer la fraction volumique d’inclusions, et ainsi obtenir !, mais la forte non linéarité de l’équation 3 ne nous le permet pas. Ainsi, nous avons cherché à obtenir la fraction volumique maximale, qui montre un maximum autour de 30%, ce qui représente une pâte de ciment avec un ratio ! !  ~  0,7.

Connaissant tous ces paramètres, nous avons donc pu générer une réalisation de champ aléatoire (fig. 3 gauche), puis, par seuillage, on obtient une excursion qui représente le ciment anhydre. Le complémentaire sera considéré comme de l’eau.

Figure 3. Réalisation de champ aléatoire (gauche) et excursion (droite, représentant le ciment anhydre)

3.3. Hydratation

Une fois la morphologie initiale créée, on utilise l’équation 3 pour faire évoluer les seuils en accord avec le modèle analytique (équation 4). Ainsi, pour un degré d’hydratation donné, on connait les fractions volumiques de chaque phase, et ainsi le seuil à appliquer pour générer les différentes phases. Un exemple d’évolution en fonction du degré d’hydratation est donné (fig. 4).

4. Applications

Avec le modèle présenté, deux types d’applications sont possibles : on peut soit s’intéresser à des pâtes de ciment « durcies », et évaluer des propriétés à l’état final, ou bien s’intéresser à l’évolution de certaines propriétés durant le processus d’hydratation.

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4.1. Maillages non-adaptés et discontinuités faibles

Une fois les morphologies créées, elles sont projetées sur de maillages EF, afin de pouvoir les « utiliser ». Le choix a été fait d’utiliser des maillages non adaptés afin de ne pas contraindre les positions des nœuds au cours de l’évolution de l’hydratation. Cela signifie que les différentes propriétés mécaniques et matériaux doivent pouvoir être transcrites dans des éléments d’interfaces. Ces éléments sont donc bi-phasiques, chaque partie ayant des propriétés matériaux différentes. Ceci est réalisé à l’aide de discontinuités faibles [Ortiz, 1987]. Cet enrichissement est réalisé grâce à la E-FEM (Embedded Finite Element Method) [Benkemenoun et al, 2010].

α=0 α=0.5 α=1

Figure 4. Morphologies pour différents degrés d’hydratation (... eau, ... hydrates, ... ciment anhydre)

Pour les morphologies initiales nous avons donc deux matériaux différents, ce qui signifie qu’il y aura trois types d’éléments : ceux uniquement dans le ciment, ceux uniquement dans l’eau, et ceux d’interface. Par la suite, on ajoute une phase, ce qui signifie l’ajout de trois nouveaux types d’éléments (un matériau, deux

1 La limitation pour ν (0.1<ν<0.275), est strictement numérique. Elle est impose par le type d’éléments utilisés (poutre de Timoshenko dégénérées).

Tableau 1

Propriétées E (MPa) ν1 De ( m².s-1)

Ciment anhydre 135000 0.25 1,00.10-14

Hydrates 25000 0.25 1,00.10-11 eau 1 0.27 1,00.10-07

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interfaces). Ainsi, nous pouvons créer des morphologies multiphasiques, où chaque phase a ses propres propriétés matériaux (Tab. 1).

4.2. Coefficient de diffusion effectif

Dans le cas où l’on ne travaille qu’avec des morphologies complètement hydratées, on peut s’intéresser par exemple à la diffusion. En représentant un VER, où chaque phase a sa propre diffusivité (table 1), on peut estimer le coefficient de diffusion effectif d’un VER de pâte de ciment.

En utilisant la loi de Fick (équation 5), on peut calculer le flux résultant Q, pour chaque gradient unitaire de concentration imposée C (D étant la matrice de diffusivité effective) :

Q = D . C [5]

C1 = [1 0 0] ; C2 = [0 1 0] ; C3 = [0 0 1] Finalement on obtient une matrice de diffusivité effective pour notre VER. On peut noter que celle-ci isotrope, et qu’il y a un ordre de grandeur de différence entre les directions principales et les autres.

!! =  5.03 1.02 ∗ 10!! 1.73 ∗ 10!!

7.94 ∗ 10!! 4.63 1.38 ∗ 10!!5.07 ∗ 10!! 3.54 ∗ 10!! 4.96

∗ 10!!!

4.3. Evolution du module de Young

Si maintenant on décide de suivre une propriété au cours de l’hydratation, on peut par exemple s’intéresser au module de Young. Cette fois-ci, pour chaque pas d’hydratation, on réalise la projection. Par des essais numériques de tri-traction et cisaillement pur, on obtient aisément le module de compressibilité et celui de cisaillement, ce qui permet de remonter à l’évolution du module de Young (fig. 5). On constate une croissance continue, avec un changement de pente autour de ! = 0.4. L’allure générale reste convenable, cependant la valeur finale est trop importante, probablement à cause des différentes hypothèses (hydratation complète, modèle de Powers simplifié,…)

5. Conclusion

Nous avons présenté un cadre d’étude multi-échelle séquencé morphologique pour les matériaux à matrice cimentaire Ces morphologies sont créée par seuillage de réalisations de champs aléatoires. Puis, par projections sur des maillages non adaptés, nous avons présenté deux types d’approches pour l’évaluation des propriétés matériaux. Cependant, il reste encore des efforts à fournir afin d’obtenir

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des morphologies plus réalistes (problème des fractions volumiques), et des processus d’hydratation plus complexes (plus de phases initiales et finales).

6. Bibliographie

Adler R.J., « Some new random field tool for spatial analysis », Stochastic Environmental Research and Risk Assessment. 2008, vol. 22, p. 809-822

Adler R.J. and Taylor J.E., Random Fields and Geometry, Boston, Springer, 2007 Benkemoun, N, « Failure of heterogeneous materials: 3D meso-scale FE models with

embedded discontinuities », Int. J. Num. Meth. In Engng, vol. 82, p. 1671-1688, 2010. Kamali-Bernard S. et al, « », Computational Material Science, 2009, n°45, p. 528-535. Karhunen K. « Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung », Ann. Acad. Sci.

Fennicae. Ser. A. I. Math. – Phys., 1947, n°37, p.1-79. Loève M., « Probability Theory », Graduated Texts in Mathematics, 1978, vol. 2, 4th edition. Mantalgou G. and Taylor J.L., « The turning Bands Methods for Simulation and Random

Fields unsing Line Generation with a spectral Method », Water Resources Research, 1982, vol. 2, n°2,p.129-149.

Matheron G., « The intrinsic random functions and their application », Advances in applied Probability, 1973, n°5, p. 439-468.

Ortiz M. et al, « A Finite Element method for localized failure analysis », Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1987, n°61, p. 189-214

Powers T.C. and Brownyard T.L., « Studies of the physical properties of hardened Portland cement paste », J. Am. Concr. Inst., 1947, n°43, p. 101-132, 249-336,469-505,845-880,933-992.

Smilauer V. et al, « Microstructured based micromechanical prediction of elastic properties in hydrating cement paste », Cement and Concrete Research, 2006, n°36, p. 1708-1718.

Stefan L. et al, « Prediction of elastic properties of cement pastes at early ages », Computational Materials Science, 2010, vol. 47, n°3, p775-784.

Figure 5. Evolution du module de Young pour une pâte de ciment (w/c = 0.7)

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