Modelisation des taux d’int´ er´ et...

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Modelisation des taux d’interet - partie II

Modelisation des taux d’interet (II)

C. AziziehULB

2014-2015

C. Azizieh ULB Modelisation des taux d’interet (II)

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Table des matieres

1 Modelisation des taux d’interet - partie IIModele de Hull-WhiteModele de Cox-Ingersoll-RossModele CIR++Options sur zero-coupon


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Modele de Hull-WhiteModele de Cox-Ingersoll-RossModele CIR++Options sur zero-coupon

Modele de Hull-White

Le modele de Vasicek ne permet pas une calibration parfaite surla courbe des taux initialesModele de Vasicek (directement exprime sous la mesure risqueneutre)

dr(t) = a(θ − r(t))dt + σdW (t)

?Hull et White (1990) :

dr(t) = a(θ(t)− r(t))dt + σdW (t)

⇒ Introduction d’une cible mouvante θ(t)1

1. Attention : pas la meme formulation que dans [Brigo-Mercurio] : ce θ(t)-ci vautleur θ(t) divise par a...


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Solution de l’EDS du modele de Vasicek :

r(t) = r0e−at + θ(1− e−at) + σe−at∫ t

0easdW (s)

Solution de l’EDS du modele de Hull-White :

r(t) = r0e−at + a e−at∫ t

0θ(s)easds + σe−at

∫ t

0easdW (s)

Demonstration : ...

A nouveau, le taux court apparait comme une variable aleatoire deloi normale.


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Modele de Hull-White : calibrage de θ(t)

Avantage de ce nouveau modele : il permet d’incorporer comme contrainteinitiale toute la courbe des taux de depart donnee par le marche

En effet, en choisissant θ(t) comme :

θ(t) =1a∂

∂tf M(0, t) + f M(0, t) +

σ2

2a2 (1− e−2at)

ou f M(0, t) est la courbe des taux forward en t=0 observee dans le marche :

f M(0, t) = −∂ ln PM(0, t)∂t

alors on peut voir que les prix des zero-coupons donnes par le modele ent = 0 coincident avec ceux du marche, quelles que soient les valeurs desautres parametres a et σ

→ expression analytique de la cible de mean reversion, en fonction dela courbe des taux initiale


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Modele de Hull-White - prix d’un ZC

Pour voir cela, on reecrit la solution de l’EDS du taux court pour cechoix de θ(t) :

r(t) = r(s)e−a(t−s) + α(t)− α(s)e−a(t−s) + σ

∫ t

se−a(t−u)dW (u)

α(t) = f M(0, t) +σ2

2a2 (1− e−at)2

Demonstration : ...

On a alors (cf. proprietes de l’integrale d’Ito)

E [r(t)|Fs] = r(s)e−a(t−s) + α(t)− α(s)e−a(t−s)

Var [r(t)|Fs] =σ2

2a

(1− e−2a(t−s)

)C. Azizieh ULB Modelisation des taux d’interet (II)

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Comme α(0) = r0, on peut ecrire r(t) en fn de α(t) :

r(t) = α(t) + σ

∫ t

0e−a(t−u)dW (u)

Si l’on definit le processus d’OU x(t) par :

dx(t) = −ax(t)dt + σdW (t), x(0) = 0

alors on sait que la solution x(t) est egale a :

x(t) = σ

∫ t

0e−a(t−u)dW (u)

On peut donc reecrire le taux court comme :

r(t) = α(t) + x(t)

Ceci fournit une formulation equivalente du modele de Hull-White,construite sur base du modele de Vasicek.


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→ Formulation equivalente du modele de Hull-White :

r(t) = x(t) + α(t)dx(t) = −ax(t)dt + σdW (t), x(0) = 0

α(t) = f M(0, t) +σ2

2a2 (1− e−at)2

Le taux court est modelise comme la somme d’un processusdeterministe α(t) et d’un processus de Vasicek de cible de retour a lamoyenne nulle, mais de memes parametres de volatilite σ et vitessede retour a la moyenne a


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Comme

P(t ,T ) = EQ

[exp

(−∫ T

tr(u)du

)]on en deduit alors facilement que

P(t, T ) =PM (0, T )

PM (0, t)exp

{1− e−a(T−t)

af M (0, t)−

σ2

4a(1− e−2at )

(e−a(T−t) − 1

a

)2

+e−a(T−t) − 1

art

}

ou PM(0, s) designe le prix d’un zero-coupon de maturite s en t = 0donne par le marche.

Demonstration : utiliser le lien entre PM(0, t) et f M(0, t), la formulationequivalente du modele, et le prix d’un ZC dans le modele de Vasicek.

Ceci implique bien que P(0, t) = PM(0, t) pour tout t ≥ 0 (exercice) :le modele se calibre parfaitement sur la courbe des taux initiale.


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Si l’on revient a l’exemple de la courbe des taux plate (qui ne pouvaitetre calibree parfaitement par le modele de Vasicek), on voit quedans Hull-White cela donne comme choix pour θ(t) :

Si Y (0, t) = δ pour tout t , alors on voit directement que f (0, t) = δpour tout t .

θ(t) = 1a∂∂t f (0, t) + f (0, t) + σ2

2a2 (1− e−2at) = δ + σ2

2a2 (1− e−2at)

On voit donc que θ(t) est bien une fonction de t , on quitte donc lecadre Vasicek


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Modele de Hull-White : Remarque

La formulation equivalente de Hull-White peut se reecrire :

dx(t) = −ax(t)dt + σdW (t), x(0) = 0r(t) = x(t) + α(t)

α(t) = f M(0, t)− f x(t)Vasicek (0, t)

ou f x(t)Vasicek (0, t) designe la courbe des taux forward instantanee initiale

dans le modele de Vasicek que satisfait le processus x(t) (i.e. dansun modele de Vasicek dans lequel le taux court vaudrait x(t)).


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Modele de Hull-White : Remarque

En effet, on a vu que dans le modele de Vasicek,

PVasicek (0, t) = exp(

1a(1 − e−at )

(θ −

σ2

2a2− r0

)− t

(θ −

σ2

2a2

)−

σ2

4a3(1 − e−at )2

)En remplacant θ et r0 par 0, prenant le log puis − ∂

∂t , on arrive a montrer quele second terme intervenant dans la definition de α(t) :

σ2

2a2 (1− e−at)2 = −f x(t)Vasicek (0, t)

Rem : On peut generaliser cette construction a d’autres modeles de tauxcourt, en particulier au modele de Cox-Ingersoll-Ross (CIR, voir plus loin)


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Modele de Hull-White : avantages / inconvenients

Avantages :Parfaite calibration sur la courbe des taux initialesCalibration possible des autres parametres (a et σ) sur unensemble de swaptions ou de caps, existence formule analytiqueexacte pour les prix des caps et swaptions (voir plus loin)

Inconvenients :Possibilite de taux negatifs (...)Modele a un seul facteur, parfaite correlation entre taux ZC dedifferentes maturites, et moins de souplesse de calibration sur lemarche des options. Une version a 2 facteurs existe (voir plusloin)


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Modele de Cox-Ingersoll-Ross : Definition

Rappel : cadre general des modeles de taux court :

dr(t) = f (t , r(t))dt + ρ(t , r(t))dW (t)

Le choix d’un modele de taux consiste alors a choisir 3 fonctions de 2variables :

f (t , r) : le trend (le drift) du taux courtρ(t , r) : la volatilite du taux courtλ(t , r) : le prix du risque du marche

Cox-Ingersoll-Ross (1985) :

f (t , r) = a(b − r), ρ(t , r) = σ√

r , λ(t , r) =π

σ

√r

σ, π,a,b constantes positives


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Modele de Cox-Ingersoll-Ross

L’EDP du prix d’un zero-coupon devient :

∂P∂t

+ (a(b − r) + πr)∂P∂r

+12σ2r

2P∂r 2 − rP = 0

On peut montrer (voir plus loin) que la solution de cette equation peut s’ecriresous la forme :

P(t , s) = A(t , s)e−rt B(t,s)

ou A et B ne dependent pas de r (modele affin). Des lors le rendementinstantane moyen du zero-coupon devient 2

µ(t , s, r) = r(t) + πr(t)B(t , s)

La prime de risque apparait comme une fonction lineaire du taux court(contrairement au cas du modele de Vasicek ou elle etait constante).

2. meme raisonnement que slide 47 partie IC. Azizieh ULB Modelisation des taux d’interet (II)

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En utilisant le changement de mesure habituel, on arrive a l’EDS dutaux court sous la mesure risque-neutre Q. Grace au choix de prix du

risque λ =π√

r(t)σ , on arrive a une dynamique de meme forme :

dr(t) = a(b − r(t))dt + σ√

r(t)(dW ∗(t) +π√

r(t)σ

dt)

⇔ dr(t) = a(1− π)︸︷︷︸=k

(b

1− π︸︷︷︸=θ

−r(t))dt + σ√

r(t)dW ∗(t)

⇔ dr(t) = k(θ − r(t))dt + σ√

r(t)dW ∗(t)

ou W ∗ est un M.B. standard sous Q.


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On peut montrer que l’EDS du taux court admet une unique solutionpositive mais pas disponible sous forme explicite. Sa distribution esttoutefois connue : de type chi-carree non centree.

On peut voir que le taux court ne touche jamais 0 a conditiond’imposer la condition (de Feller) : 2kθ > 0

On a cependant une expression analytique pour les momentsconditionnels du taux court.


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Lemma

Soit r(t) satisfaisant :

dr(t) = k(θ − r(t))dt + σ√

r(t)dW (t)

Alors les moments conditionnels sont donnes par :

EQ[r(t)|Fs] = r(s)e−k(t−s) + θ(1− e−k(t−s))

Var [r(t)|Fs] = r(s)σ2

k(e−k(t−s) − e−2k(t−s)) +

θσ2

2k(1− e−k(t−s))2

Demonstration : [Dana-Jeanblanc] pg 193

Commentaires : comparer avec le cas du modele de Vasicek


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Modele de Cox-Ingersoll-Ross : Prix d’un ZC

Proposition

Le prix en t d’un ZC d’echeance T est donne par :

P(t ,T ) = A(t ,T )e−B(t,T )r(t)

avec

A(t ,T ) =

(2he(k+h) T−t

2

2h + (k + h)(e(T−t)h − 1)

) 2kθσ2

= φ(T − t)

B(t ,T ) = ψ(T − t), ψ(x) =2(exh − 1)

2h + (k + h)(exh − 1)

h =√

k2 + 2σ2


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Modele de Cox-Ingersoll-Ross : Prix d’un ZCDemonstration : On resoud l’EDP du prix du ZC :

∂P∂t

+ (k(θ − r))∂P∂r

+12σ2r

2P∂r2 − rP = 0, P(T ,T ) = 1

On cherche une solution de la forme P(t ,T ) = φ(T − t)e−r(t)ψ(T−t),ce qui aboutit au systeme :

12σ2ψ2 + kψ + ψ′ = 1, ψ(0) = 0

φ′ = −kθψφ, φ(0) = 1L’equation en ψ est une equation de Ricatti, que l’on resoud encherchant une solution particuliere (par ex. une solution de typeconstante : par ex. ψ1 = − k+h

σ2 ), puis une solution de la forme y + ψ1 :

y ′ = 1− k(ψ1 + y)− σ2

2 (ψ21 + y2 + 2yψ1)

= −ky − σ2

2 y2 − σ2ψ1y= hy − σ2

2 y2


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Modele de Cox-Ingersoll-Ross : Prix d’un ZC

En posant z = 1y , on voit que

z ′ = − y ′

y2 = ... = −hz +σ2

2

Sol generale : z(t) = Ce−ht + σ2

2h = 1y(t) .

La sol generale de l’equation de Ricatti est donc y + ψ1, et enimposant ψ(0) = 0 on trouve la solution particuliere cherchee.

L’equation en φ est une simple equation lineaire homogene de degre1.

(...) �


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Modele CIR : Avantages et inconvenients

Avantage : taux toujours positifs, nombre reduit de parametresInconvenient : modele a un facteur, parfaite correlation entre tauxde differentes maturitesInconvenient : a nouveau, le modele ne se calibre pasparfaitement sur la courbe des taux initiale→ on peut refaire lameme extension que dans le cas de Vasicek : CIR++


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Extension de CIR : CIR++

Extension du modele CIR compatible avec la courbe des taux initiale :r(t) = x(t) + φ(t)

dx(t) = k(θ − x(t))dt + σ√

x(t)dtx(0) = x0

ou x0, k , θ, σ sont des constantes positives et φ(t) une fonctiondeterministe.

Le taux court est la somme d’une fonction deterministe et d’unprocessus CIR.

φ(t) joue le role de la fonction α(t) dans la seconde formulation dumodele de HW.

Grace a la presence de φ(t), ce modele se calibre parfaitement sur lacourbe des taux initiale.


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CIR++ : calibration sur la courbe des taux initiale

La fonction deterministe φ(t) est determinee comme dans l’autreformulation du modele de HW :

φ(t) = f M(0, t)− f CIR(0, t)

ouf M(0, t est la courbe des taux forward instantanes en t = 0donnee par le marchef CIR(0, t) est la courbe des taux forward instantanes en t = 0 dumodele CIR decrivant la dynamique du processus x(t)


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En derivant par rapport a T la fonction obtenue pour ln P(0,T ) dansle modele CIR, on obtient l’expression analytique de f CIR(0, t)(exercice) :

f CIR(0, t) = f CIR(0, t ; x0, k , θ, σ)

=2kθ(exp(th)− 1)

2h + (k + h)(exp(th)− 1)+ x0

4h2 exp(th)(2h + (k + h)(exp(th)− 1))2

avec :

h =√

k2 + 2σ2


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En utilisant le meme raisonnement que dans le cas de Hull-White, onobtient bien que par ce choix de fonction φ(t), P(0,T ) = PM(0,T ) :

P(0, t) = EQ

[e−

∫ t0 r(u)du

]= EQ

[e−

∫ t0 x(u)due−

∫ t0 (f

M (0,u)−f CIR(0,u))du]

= PCIR(0, t).e−∫ t

0 f M (0,u)du.e∫ t

0 f CIR(0,u)du

= PCIR(0, t)PM(0, t)

PCIR(0, t)= PM(0, t)


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CIR++ : moments du taux court

On deduit immediatement des resultats pour E [r(t)] et Var [r(t)] dansle modele CIR, et du fait que r(t) = x(t) + φ(t) avec φ deterministe,que :

E [r(t)] = E [x(t)] + φ(t) = x0e−kt + θ(1− e−kt) + φ(t)

Var [r(t)] = Var [x(t)] =σ2

k(1− e−kt)(x0e−kt +

θ

2(1− e−kt))

On voit en particulier que si t →∞, r(t) tend vers :

θ + lim+∞

φ(t)


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CIR++ : Prix d’un ZC

■ Prix d’un ZC en t d’échéance T>t :

■ où

Modèle affin comme CIR

.)1)))(exp(((2

)1))(exp((2),(

;)1)))(exp(((2

)2/))(exp((2),(

));,,,;(),(exp(),()),0(exp(),0(),0(

)),0(exp(),0(),0(),(

2/2

0

0

0

htThkh

htTTtB

htThkh

tThkhTtA

kxtTtBTtAxTBTAtP

xtBtATPTtA

k

M

M

))(),(exp(),(),( trTtBTtATtP


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CIR++ : avantages et inconvenients

Avantages :Calibration parfaite sur la courbe des taux initialescalibration aisee sur swaptions car existence d’une formuleanalytique exacte pour le prix d’une swaption europeenne (voirplus loin). Modele a 4 parametres : x0, θ, k , σ.Pas ou “peu” de taux negatifs : le processus x(t) est positif,neanmoins, φ(t) ne l’est pas necessairement (cf. exemple slidesuivant)

Inconvenient : modele a un seul facteur→ passage a 2 ou 3facteurs : CIR2++, CIR3++


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CIR++ : illustrationCalibration sur courbe des taux initiale et ensemble de swaptions (zone Euro) fin 2010

• Courbe des taux forward instantanés (fin 2010)

Model parameters

kappa 0.007221

sigma 0.045458 theta 0.05

x0 0.04

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

1 5 9

13

17

21

25

29

Maturity (years)

Phi(t)


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Hull-White vs CIR/CIR++ : illustrationSimulations modele Hull-White (2 facteurs, calibre sur donnees de marche 2009)


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Hull-White vs CIR/CIR++ : illustrationSimulations modele Hull-White vs CIR++ calibre sur donnees identiques


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Options sur zero-coupon

cours au tableau


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