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Mémoire Professionnel

Renaud Danflous

Le 30 mars 2007

Table des matières

Introduction 3

1 Séance d'explications sur un cours 7

1.1 Analyse a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Description de la séance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Analyse a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Préparation d'une �che d'objectifs 13

2.1 Analyse a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13



3 Di�érents supports pour expliquer un point de cours 23

3.1 Analyse a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23



Conclusion 31

Annexes 35

A Extraits du cours polycopié sur des révisions de géométrie 35

B Quelques listes d'objectifs faites par les élèves 37

C Un exemple de �che d'objectifs faite par mes soins 43

D La �che d'objectifs du chapitre 45

E Exercice sur l'étude de variations d'une fonction 49

1

Introduction

Une de mes premières di�cultés cette année concernait l'explication du cours

et des notions, nouvelles ou non, à mes élèves. Dès la première séance de l'année, je

me suis retrouvé dans une impasse pour expliquer la di�érence entre valeur exacte

et valeur approchée. L'utilisation de la calculatrice, qui me semblait naturelle dans

ce cas, d'autant que les élèves semblaient très familiers et épris de cet outil, ne me

fut d'aucune aide. Ma première idée fut que le problème pouvait venir du langage

ou du niveau de langage que j'employais. Par la suite les multiples remarques des

élèves sur des phrases ou des mots de mon cours qu'ils ne comprenaient pas ont

semblé con�rmer cette hypothèse. À chaque fois que j'essayais d'en savoir plus

en demandant un exemple concret1, mon investigation s'arrêtait net, les réponses

étant du même acabit que celle-ci : � Là comme ça, je sais pas, il faudrait que je

cherche dans mon cours �.

Après quelques tentatives infructueuses en séances d'Aide Individualisée pour

faire donner aux élèves des phrases qui leur posaient problème à cause du langage

employé, je décidai de prendre le problème à bras le corps en proposant à mes

élèves un texte mathématique écrit dans lequel ils devraient rechercher le type

de mots, expressions ou phrases qui leur posent problème. Les détails concer-

nant cette séance (préparation, déroulement, analyse) feront l'objet du premier

chapitre de ce mémoire.

L'échec cuisant de cette séance m'a amené à me poser beaucoup de questions

sur ma façon d'expliquer aux élèves. S'il est vrai que le français peut être une

source de problèmes pour certains d'entre eux2, la solution ne se trouve sans doute

pas dans le langage lui-même : leurs di�cultés en français risquent en e�et de les

gêner quelles que soient les modi�cations que j'apporterai à mon discours.

Peut-être qu'il serait plus judicieux de laisser les élèves tenter de s'approprier

1� Derya, tu me dis que mes phrases sont trop compliquées, mais est-ce que tu pourrais m'enlire une, là, maintenant ? �

2Une élève n'est par exemple pas tellement perturbée de voir dans son cours que � Le pointde concours des hauteurs est l'orthographe. �

3

ce cours, en cherchant par exemple à reformuler les énoncés dans leur langage

courant, ce qui serait une autre façon de se mettre à la portée des élèves. La

seconde expérience mise en place consista alors à faire faire aux élèves une �che

d'objectifs à la �n d'un chapitre. Dans cet exercice, ils auraient donc la possibilité

de formuler avec une langue plus relâchée et plus proche de leur langage courant

les concepts mathématiques en jeu.

Mais il fallait aussi que j'expérimente sur d'autres modes d'explication que

le seul langage. En cela, je suivais les remarques faites lors des modules AP, lors

des visites des formateurs de l'IUFM dans ma classe et les conseils qu'a pu me

donner mon Responsable de Suivi de Mémoire. J'ai été ainsi amené à chercher

dans une autre direction, à chercher à faire varier les supports d'explication, plutôt

que de chercher une phrase � parfaite � qui rendrait tout beaucoup plus clair,

exercice qui m'apparaît maintenant comme ine�cace si le seul mode d'explication

envisagé reste sur le langage. Pourquoi se limiter et se compliquer la tâche quand

on a à sa disposition pas mal d'outils, que ce soit des objets matériels (pour la

géométrie surtout), l'utilisation des TICE ou, pour les fonctions en particulier, les

di�érents supports sur lesquels une notion est introduite et étudiée. Je décrirai

donc comment, dans une troisième partie, j'ai essayé de mettre à pro�t divers

supports d'explication pour transmettre une notion un peu formelle à mes élèves.

Les trois expériences décrites dans ce mémoire relèvent de trois démarches dif-

férentes. En e�et, si la première est une tentative directe pour essayer de mettre

mon langage à la portée des élèves, la seconde a pour objectif de donner une place

plus importante au discours des élèves, toujours avec cet objectif de travailler sur

le langage dans la visée d'une meilleure compréhension mutuelle. La dernière ten-

tative est plus spéci�que aux mathématiques, et cherche à pro�ter des di�érentes

présentations mathématiques d'un même concept pour mieux faire percevoir mon

explication par les élèves. Et pour di�érentes qu'elles soient, toutes ces expériences

sont des tentatives de répondre à la même question, qui est la problématique de

ce mémoire, à savoir :

Comment peut-on rendre le cours de mathématiques accessible aux élèves ?

La tentative décrite dans la première partie porte sur une leçon de révisions

de géométrie, concernant les théorèmes de Thalès et Pythagore, ainsi que les

angles entre une sécante et deux parallèles et les angles inscrits et au centre,

dans un cercle donc. Les deux tentatives décrites dans les parties 2 et 3 porte-

ront quant à elles sur les fonctions. La première consiste en la rédaction par les

4

élèves d'une �che d'objectifs pour le chapitre � Généralités sur les fonctions �.

La seconde relate un cours d'explication sur la dé�nition formelle de croissance

d'une fonction et sur l'utilisation de cette dé�nition, qui fera intervenir di�érents

supports des fonctions, di�érentes stratégies pour tenter de faire sentir aux élèves

le raisonnement qui est mis en place.

5

Chapitre 1

Séance d'explications sur un cours

1.1 Analyse a priori

Une semaine avant les vacances de Toussaint, alors que j'enseignais le chapitre

� Géométrie plane - Transformations �, je demande à mes élèves, à titre de Devoir

Maison, de rédiger un cours succinct sur les théorèmes de Thalès et Pythagore

ainsi que sur les angles alternes-internes et les angles inscrits. Les devoirs étaient

très variés, allant de la �che de révision à un cours très complet et très soigné en

passant par les listes de dé�nitions et propriétés sans �gures.

En guise de correction, je décide de leur distribuer un cours très détaillé sur ces

sujets (cf Annexe A pour deux extraits). Mais comme mes élèves se plaignaient

régulièrement de ne pas comprendre certaines phrases ou certains mots de mon

cours sans être jamais capables de me dire précisément ce qui leur posait problème,

je choisis de leur donner ce cours à lire en classe, dans la deuxième demi-heure

d'une séance dont la première moitié est consacrée à la correction du Devoir

Surveillé no 2.

Je vais commenter la rédaction de deux extraits du cours polycopié distribué.

Il est à noter que les �gures ne sont pas codées. L'explication en est toute

simple : je ne savais pas à l'époque comment coder les �gures à partir du logiciel

de géométrie utilisé1, et j'ai oublié de le faire à la main sur les pages imprimées

avant de faire les photocopies. Je me suis alors dit que je pouvais tout à fait pro�ter

de la situation pour voir comment les élèves réagiraient ; c'était donc l'occasion

rêvée pour reparler aux élèves du codage des �gures, de son importance pour

s'approprier un énoncé et répondre aux questions posées rien qu'en regardant la

�gure. Dans le deuxième extrait donné, on voit par exemple qu'il est impossible

1Ici, il s'agit de Geogebra ; depuis, je sais faire avec Geoplan.

7

de comprendre la démonstration parce qu'il manque une notation sur la �gure2.

On n'y voit pas non plus l'égalité entre les angles α et β, même si, dans une

situation aussi simple, la propriété reste visible. En revanche, dans la �gure de

l'énoncé du théorème des milieux, l'absence de codage de la �gure me paraît

plus préjudiciable. En e�et, il n'est pas si clair que ça que le point K se situe

exactement au milieu du segment [BC]3, et il est encore moins �agrant que l'on a

bien l'égalité de longueurs IJ=BK=KC. Si ce résultat est bien connu des élèves,

il n'en reste pas moins que visuellement, le codage de la �gure est essentiel, en

particulier en exercice.

J'ai choisi de mettre le théorème des milieux dans ce cours a�n de ne pas me

contenter d'une énumération de dé�nitions et théorèmes, suivis d'exemples. Je

voulais montrer que l'on cherchait, en montrant certaines propriétés, à en trouver

un certain nombre d'autres qui vont nous faciliter la tâche dans les exercices.

On pourrait discuter du choix de ce théorème, démontrable sans le théorème de

Thalès, mais cette démonstration a l'avantage de rester simple, au sens où il y a

peu d'étapes. Et puis un certain nombre d'élèves l'avaient placé dans leur cours.

J'ai donc voulu leur faire honneur en l'inscrivant dans ce cours. Par ailleurs, la

démonstration d'une équivalence me permettait de faire un retour sur ce qui avait

été fait la semaine précédente sur la logique.

Concernant le Nota Bene, je voulais que tout le monde trouve son compte

dans ce cours, et notamment que même les meilleurs élèves, qui auraient pu avoir

la sensation de tout connaître et tout maîtriser, aient quelque chose à glaner dans

la lecture de ce cours. La démonstration précédente leur est d'ailleurs particu-

lièrement destinée. En e�et, j'ai placé diverses démonstrations dans le cours qui

étaient destinées à une préparation à la restitution organisée de connaissances,

mais il s'agit de démonstrations courtes, comme celle du deuxième extrait. Pour

celle plus longue du théorème des milieux, elle est placée là plutôt pour stimuler

les élèves plus curieux.

En�n, la dernière remarque est une idée qui m'est venue à la lecture des cours

proposés par certains élèves, qui ressemblaient plus à des �ches de révision qu'à

un véritable cours. Ce n'était pas réellement ce que j'attendais, mais les �ches

proposées étaient assez intéressantes : claires, concises et exhaustives. J'ai donc

décidé de les intégrer, sous une forme légèrement di�érente, dans le cours que

j'allais leur distribuer. Mes énoncés sont alors moins précis que ceux présents

2L'anlge γ est l'angle entre d et d2 situé au-dessus de d2.3Il en est de même des points I et J, respectivement pour les segments [AB] et [AC].

8

dans les �ches, notamment parce que dans la correction que je leur distribue, ils

font suite au cours à proprement parler, auquel il est donc facile de se référer

à ce moment-là. On peut remarquer également que je ne dis pas qu'on peut

montrer que des droites ne sont pas parallèles ou que des rapports ne sont pas

égaux, alors qu'on utilise fréquemment Thalès dans ce but. Je ne voulais tout

simplement pas, à cet endroit qui est une sorte de résumé de cours, pas très loin

de la �che d'objectifs dont je vais parler plus longuement dans la deuxième partie

de ce mémoire, perdre des élèves un peu plus faibles en parlant de contraposée.

Le texte de la correction me paraît particulièrement adapté à l'exercice de

recherche de phrases puisqu'il n'y a pas de notion nouvelle, tout ayant déjà été

vu au collège, revu en cours et en exercices avant et après les vacances de Tous-

saint, sans oublier le cours-devoir maison évoqué ci-dessus. Mon intention est de

distribuer ce cours dans la deuxième moitié de l'heure a�n qu'ils lisent ce texte

et m'interpellent dès qu'un problème, de vocabulaire ou autre, se pose à eux. Par

ailleurs, une question de cours (évaluation courte de cinq à dix minutes en début

de cours) est prévue pour la semaine suivante, ce qui peut également motiver la

lecture des élèves. En�n, à ce moment-là de l'année, mes élèves ne travaillent plus

tellement, trouvant ce qui leur est donné trop di�cile ; cette activité ne comporte

aucune réelle di�culté, et j'espère donc les remettre ainsi au travail.

1.2 Description de la séance

Le jeudi en question, je distribue donc un cours assez détaillé sur les triangles

et les angles (cf Annexe A). La consigne que je donne à mes élèves est de lire ce

cours et de m'appeler chaque fois que quelque chose leur pose problème. Je leur

précise que je fais cela en réaction à leurs plaintes concernant les phrases ou mots

de mon cours qu'ils ne comprennent pas, sans qu'ils aient jusqu'à présent su me

donner un exemple concret qui leur posait problème.

Au début, assez peu d'élèves se prêtent au jeu. Certains ont l'air de lire, mais

sans trop de conviction, et la plupart fait plus ou moins semblant de lire. Je leur

rappelle alors qu'ils seront interrogés la semaine suivante sur tout le cours de

géométrie, en précisant que, dans la perspective de la préparation à la restitution

organisée de connaissance4, il y aura notamment une question sur les démonstra-

tions faites en cours, ce qui inclut le polycopié que je viens de leur distribuer. À

partir de ce moment-là, ils commencent à vraiment regarder le document, tout au

4cf. note de service no 2003-070 du 29 avril 2003.

9

moins les démonstrations qui sont proposées. Viennent alors quelques questions :

� Il correspond à quoi γ sur la �gure5 ? �, question à laquelle l'élève sait en réalité

répondre, il s'agit plutôt d'une véri�cation.

La question la plus intéressante, à la fois sur le plan mathématique et au vu des

objectifs de cet exercice, serait celle-ci : � Ça veut dire quoi sens direct ? �. Un de

ses voisins lui répond alors : � C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. �

Nous venions de voir les rotations et les angles orientés dans le cours, ce qui

explique cette réponse spontanée. Je commence par lui dire qu'e�ectivement, on

a parlé de sens direct quand on a fait le cours sur les rotations ; je lui demande

alors de quels angles il peut s'agir ici, dans le cadre du théorème de Thalès. Devant

sa circonspection, je lui demande d'observer la démonstration à propos de laquelle

la question a été posée, de regarder sa structure en particulier. Il remarque qu'il y

a deux parties, l'une � intitulée � sens direct, l'autre sens réciproque. La semaine

précédente, nous avions travaillé en module sur le si et seulement si, et donc je

leur fais remarquer que la propriété à démontrer est une équivalence, que donc,

dans ce contexte, sens direct s'oppose à sens réciproque, que cela indique quel � Si

. . . , alors . . . � on cherche à démontrer. Toute cette explication pour conclure que

cela n'est pas encore capital à leur niveau, qu'il vaut mieux qu'ils gardent à l'esprit

la dé�nition du sens direct pour les rotations pour le moment, d'autant que la

démonstration qu'ils regardaient ne fera pas partie du programme de révision.

La suite du cours se passe sans réellement d'autre événement. Je fais tout de

même des remarques à un élève qui ne semble pas faire son travail. Celui-ci me

répond alors : � Mais Monsieur, je comprends tout ce qu'il y a dans ce cours, tout

ça on l'a déjà vu au collège, et je connais tout ça. J'ai survolé pour véri�er, et c'est

sûr, je comprends. � Là, j'ai eu beau lui expliquer que je ne faisais pas ça pour

voir s'il était capable de comprendre les notions abordées dans ce polycopié, mais

pour des questions de forme plutôt, je n'ai pas réussi à le faire changer d'avis.

1.3 Analyse a posteriori

Le bilan de cette activité est plutôt négatif, les élèves n'ayant absolument pas

fait ce que j'attendais d'eux ; mais surtout, ils n'ont pas fait grand chose tout

court pendant cette demi-séance. Je dois reconnaître avec un peu de recul que

l'activité proposée n'était pas très motivante pour eux. Voici plusieurs explications

possibles.

5cf. le 2e extrait de cours précédent.

10

S'il s'agit de réviser son cours, ils peuvent aussi bien le faire chez eux.

Ils n'ont pas non plus tellement besoin de ma présence pour expliquer les

choses, en tout cas pas pour un cours comme celui-ci qui leur est déjà connu et à

peu près bien compris. Cela étant, comme je l'ai fait remarquer aux élèves et dans

l'analyse a priori, ce cours polycopié contenait un certain nombre d'éléments qui

pouvaient pro�ter même aux meilleurs, et de nombreux exemples et remarques

pouvaient rappeler à un certain nombre d'élèves que toutes ces propriétés ne

s'appliquaient pas que dans les cas standards et très balisés dans lesquels on les

leur fait souvent appliquer au moment du brevet. Et par la suite, j'ai pu voir que

certains se servaient de ce cours quand ils se trouvaient confrontés à des situations

où l'application du théorème de Thalès n'était pas si évidente que cela.

Un autre problème est qu'ils avaient construit eux-mêmes ce cours avant les

vacances. Donc non seulement ce n'était pas nouveau, mais en plus ceux qui

avaient bien fait leur travail s'étaient très récemment rafraîchis la mémoire à

ce sujet, et avaient déjà fait une activité similaire de lecture de cours faits par

d'autres. En outre, ils ne retrouevaient pas vraiment ce qu'ils avaient fait, juste

le cours du professeur.

Par ailleurs, en voulant concentrer les esprits sur un point précis à étudier, j'ai

aboli toute motivation pour les élèves. Dans l'esprit d'une démarche scienti�que,

je ne souhaitais pas qu'interviennent d'autres facteurs que le problème de ma

formulation pour bien identi�er les points qui posaient problème aux élèves. Mais

�nalement, c'est du côté de la motivation que le parasitage l'activité proposée

s'est posé.

Les diverses questions qu'ils m'ont posées montrent qu'ils ont quand même

fait l'e�ort pour au moins essayer de respecter la consigne donnée.

En�n, il faut reconnaître que l'exercice proposé ne met pas vraiment les élèves

en activité, puisqu'ils se contentent de lire un document, et en cas de problème,

doivent appeler leur professeur pour écouter son explication. Tout ça n'est donc

guère stimulant.

En outre, il y a un problème avec la façon dont j'ai justi�é la séance en ques-

tion. En e�et, si je dis que cette activité va servir à remédier aux problèmes des

phrases et mots du cours non compris par les élèves, cela signi�e implicitement,

en tout cas de leur point de vue, qu'il y a e�ectivement un problème avec le

cours que je leur fais, ce qui évidemment ne va pas dans le sens du retour d'un

minimum de con�ance, mais risque au contraire d'augmenter leurs doutes quant

à ma capacité à leur expliquer des mathématiques. Et �nalement, il est possible

11

que cette activité ait eu un e�et totalement opposé à celui souhaité, qui était de

leur montrer que je tenais compte de leurs remarques.

Une autre conséquence que j'ai pu observer par la suite est que les élèves ne se

plaignaient plus de ne pas comprendre des mots ou phrases du cours, mais de ne

rien comprendre du tout, � de A à Z �. Pas plus réussi donc l'objectif d'essayer

de leur faire préciser ce qui n'est pas compris, puisqu'ils se réfugient maintenant

derrière une formulation encore plus vague de leur incompréhension.

L'absence de motivation des élèves peut s'expliquer également par le temps

trop long passé sur cette séquence de géométrie. Déjà, avant les vacances, les

élèves semblaient découragés et un peu fatigués de tant de géométrie, d'autant

que j'avais commencé par surévaluer leur niveau dans ce domaine6. Cette activité

est arrivée au point le plus bas de la motivation des élèves, qui est revenue aussitôt

le chapitre suivant � Inéquations et intervalles de R - Valeur absolue � commencé.Il est évident que je ne recommencerai pas une telle activité, pas sous la forme

proposée tout du moins. Pour stimuler un peu plus leur motivation, il aurait sans

doute été judicieux tout d'abord de me servir explicitement des documents qu'ils

avaient réalisés, a�n qu'ils se sentent plus impliqués dans le processus de création

de ce cours. Il faudrait en outre leur donner quelque chose de concret à réaliser,

a�n de les faire rentrer plus facilement dans l'exercice, comme par exemple leur

donner un énoncé de mon cru qu'ils devraient entièrement reformuler avec leurs

propres mots.

Une autre possibilité serait, à partir du cours fait en classe, d'essayer non

pas de comprendre toutes les phrases et voir ce qui pose un problème, mais

se proposer de dégager l'essentiel du cours, ce qui est e�ectivement utile à la

résolution d'exercices, en somme réaliser une �che d'objectifs. C'est cette option

que j'ai choisie et expérimentée sur le chapitre � Généralités sur les fonctions �

cette fois-ci.

En�n, il y a un problème avec la consigne : il aurait sans doute mieux valu

partir d'un énoncé de problème à leur faire rerédiger.

Si c'était à refaire, je pense que je leur passerais le document à lire à la

maison, avec pour exercice de relever tout ce qui leur pose problème ; et un travail

supplémentaire pour ceux qui n'auraient rien fait. Faire une consigne plus claire

aussi, plus spéci�que car je les ai sentis un peu perdus, même ceux qui essayaient

vraiment de faire ce que je leur avais demandé.

6Cette évaluation était basée sur le test de début d'année, plutôt réussi en ce qui concernela partie géométrie.

12

Chapitre 2

Préparation d'une �che d'objectifs


Depuis le début de l'année, à la �n de chaque chapitre, je distribue à mes

élèves une �che de révision, qui comporte une liste de savoirs et savoir-faire à res-

pectivement connaître et maîtriser, avec une série d'exercices pour appliquer ces

savoirs et savoir-faire, ces exercices étant accompagnés d'une solution succincte

(cf Annexe pour un exemple de telle �che).

A�n de préparer cette séance, je fais la lecture du mémoire professionnel de

Mehdi Zekhnini, selon les recommandations de mon responsable de suivi de mé-

moire. Il porte sur l'évaluation, et relate notamment une séance de construction

d'une �che d'objectifs avec les élèves. Une des leçons qu'il tire de la séance qu'il

a mise en place, est qu'il faut éviter de proposer comme activité le seul relevé des

savoirs et savoir-faire mis en oeuvre au cours de la leçon, qu'y ajouter des exer-

cices mettant e�ectivement en oeuvre les compétences en question permettrait

aux élèves de les identi�er plus facilement.

J'ai déjà réalisé moi-même la �che d'objectifs que j'attends des élèves au mo-

ment où j'ai commencé le chapitre, et sais donc précisément ce qui devrait ou non

se trouver sur leur feuille. La veille de la séance en question, je précise aux élèves

d'amener absolument leurs cahiers de cours et d'exercices, ainsi que leur livre.

Cependant, sans douter de la conclusion de M. Zekhnini, je n'ai pas l'intention de

donner un rôle central aux exercices pour identi�er les savoirs et savoir-faire mis

en oeuvre dans ce cours. En e�et, mon cours porte sur les fonctions, qui est une

notion nouvelle pour ces élèves de seconde, et les objectifs sont �nalement assez

bien identi�és dans le cours, certains étant même écrits explicitement en tant que

savoir-faire.

13

Il me semble par ailleurs important que les élèves soient en groupe pour cette

activité, d'une part pour qu'ils puissent s'entraider dans leur recherche, que celle-

ci soit plus fructueuse, mais aussi pour faciliter la recherche concernant les exer-

cices, où la distinction des savoir-faire utilisés nécessite sans doute plus que pour

leur identi�cation un débat entre les élèves.


Lors de la séance de modules du jeudi 11 janvier, je demande à mes élèves,

puisqu'on a atteint la �n du chapitre � Généralités sur les fonctions �, de réaliser

une �che d'objectifs qui serait comme les �ches d'objectifs que je leur avais dis-

tribuées à la �n des chapitres précédents. Je précise que, d'une part, je n'attends

pas d'eux qu'ils donnent de nouveaux exercices pour cette �che, et donc qu'ils

peuvent se servir de tous les exemples du cours et exercices faits en classe ou à

la maison, et d'autre part, je n'attends pas non plus la partie � solution rapide �

des exercices en question. Ils sont donc invités à regarder dans leur cours, leur

cahier d'exercices, leurs devoirs maison, leur livre...

Posée ainsi, la question les laisse perplexes. Je leur précise que ce que j'attends

d'eux est la liste des savoirs et savoir-faire vus en cours sur ce chapitre, en gros,

ce qu'il faut savoir pour pouvoir faire les exercices de ce chapitre. La surprise est

toujours de mise ; certains même ne semblent pas accepter l'idée que je leur fasse

faire ce qu'ils estiment être mon travail, puisque c'est moi qui fais ces �ches habi-

tuellement. Je leur précise que ça ne fait pas partie de mes devoirs de professeur

que de rédiger ces �ches, et que faire une �che de révision ou d'aide à la révision

est en général plutôt de leur ressort.

Parmi ceux qui se lancent dans l'activité, certains remarquent que leur livre

présente beaucoup d'aspects du cours sous la forme que je demande, notamment

en �n de chapitre. Ces élèves se mettent alors à recopier leur livre, ce qui m'oblige

à intervenir pour leur faire remarquer que telle notion ou telle propriété n'a pas

été vue en cours, et que, de la même façon, il peut y avoir des choses faites en

cours qui ne vont pas apparaître dans le livre, ou en tout cas pas dans ce chapitre-

ci. J'insiste sur l'importance de ne pas juste recopier des extraits du livre, et qu'il

serait peut-être plus intéressant pour eux d'essayer de reformuler tout ça avec

leurs propres mots.

Un autre écueil est que certains élèves vont recopier des dé�nitions ou des

propriétés du cours mot pour mot, ce qui s'éloigne alors doublement de l'objectif

14

qui est le mien. Je rappelle donc qu'on cherche à faire une liste d'objectifs, quelque

chose qui est plus de l'ordre du programme de révision que de la �che de révision.

Il est toutefois possible que j'ai employé cette expression en ayant répondu à une

question d'une élève ayant utilisé ces mots-là.

Par ailleurs, un autre problème qui se pose à eux est leur méconnaissance du

cours. Certes nous sommes juste à la rentrée des vacances de Noël, mais c'est

plutôt inqiétant, d'autant qu'ils avaient à me rendre pour la veille un Devoir

Libre (le no 6, cf Annexe) qui faisait le bilan de tout ce qu'on avait vu sur les

fonctions. Certains semblent découvrir dans le cours de leur voisin ou dans leur

propre cours qu'on a abordé telle ou telle notion. Quand je leur pose la question

de savoir si cette notion a été vue ou non en cours, ils restent perplexes, même

pour des choses vues la veille.

Tout le monde �nit par s'y mettre, plus ou moins volontiers, et produit une

liste qui me paraît à chaque fois relativement satsifaisante si l'on ne tient pas

compte du temps qu'ils ont passé dessus, et si l'on oublie qu'un des objectifs de

départ était de leur faire reformuler les choses avec leur langage propre.

À ceux qui ont �ni avant les autres, je rappelle qu'ils doivent encore cher-

cher des exercices illustrant chacun des savoir-faire. Cette consigne les laisse plus

perplexes encore que la précédente. Au �nal, rien n'apparaît sur leurs feuilles

concernant ces exercices, alors que certains groupes se sont e�ectivement penchés

sur la question.

Voyant que tous les groupes ont �ni d'établir leur liste d'objectifs, et que

l'heure est déjà très avancée, je leur demande d'envoyer chacun un représentant

écrire au tableau la liste que le groupe a établie. La �n de l'heure, i.e. quelques

cinq à dix minutes tout au plus, va se passer en discussion pour chercher à savoir

ce qu'il faudrait conserver, ce qui est répété, quels énoncés sont plus précis... Mais

aucune sélection concrète n'est réellement e�ectuée, notamment parce que chacun

cherche à défendre son travail plutôt que de regarder celui des autres et qu'il n'y

a pas de réel débat.

Faisons un commentaire sur les �ches des élèves1 Sur la �che de Zahra, on peut

observer qu'elle commence par citer mot pour mot des énoncés du cours. Elle a

par la suite noté qu'il ne fallait pas en tenir compte, sans doute parce que j'ai

bien précisé à toute la classe, après avoir vu ce qu'ils écrivaient, que je ne voulais

pas qu'ils recopient le cours, mais qu'ils dégagent ce qu'il fallait savoir et quelles

capacités étaient attendues d'eux. Pour éventuellement mieux comprendre, ils

1cf. Annexes.

15

pouvaient aussi regarder les �ches que je leur avais données pour les chapitres

précédents. En même temps, cette dé�nition suit un numéro 1, intitulé � Notion

de fonction et représentation �, ce qui veut peut-être dire que l'élève était en

train de préparer une �che de révision telle qu'elle les fait habituellement, tout

en incluant ce que j'avais demandé dans ma consigne. On peut remarquer aussi

le sixième objectif noté par l'élève : � Connaitre le vocabulaire et savoir l'utiliser

ainsi que les dé�nitions �. On peut y voir une façon, de la part de l'élève, de dire

que rien qu'apprendre le vocabulaire et bien le connaître, a�n de pouvoir l'utiliser,

est une réelle di�culté. Cette remarque vient donc appuyer la nécessité, observée

dans la partie � Analyse a posteriori � de la présence d'exercices d'entraînement

préalable à la rédaction demandée, a�n de bien illustrer ces dé�nitions, de pro�ter

de cet exercice pour revenir sur toutes les notions du cours encore �oues pour

les élèves. Faire donc de cette activité une autre forme d'évaluation ou d'auto-

évaluation pour les élèves. Toutes les remarques faites dans la partie suivante

sur la nécessaire présence d'exercices pour la rédaction d'une �che d'objectifs est

�nalement contenue dans le dernier objectif noté par l'élève, qui là encore tient

plus d'un programme de révision.

Il est aussi intéressant de noter les di�érents titres données par les élèves pour

cette �che. Cela re�ète bien la sensation que la consigne n'était pas tellement

claire pour eux, ce qui explique les di�érents réajustements que j'ai dû e�ectuer

pour les amener à faire ce que j'avais précisément en tête.

Mon objectif est qu'une �che d'objectifs soit e�ectivement réalisée par les

élèves à la �n de cette séance de modules. Aussi vais-je changer la consigne pour

le deuxième groupe. Je laisse le travail e�ectué par la demi-classe précédente,

et propose aux nouveaux arrivants de faire le tri parmi tous les objectifs listés,

en vue de la rédaction d'une �che d'objectifs. Sur le moment, cette consigne me

paraît tout aussi intéressante, puisque cela doit les faire ré�échir aux nuances de

sens entre les di�érents mots employés, savoir quel objectif est plus précis, plus

général. Par ailleurs, comme leurs camarades précédemment, ils doivent identi�er

les notions e�ectivement vues en classe, et mettre de côté celles qui n'ont pas

encore été abordées.

Pour réaliser cette tâche, je leur laisse une quinzaine de minutes. Au cours de

ces quinze minutes, et assez rapidement d'ailleurs, je dois intervenir et montrer

sur un exemple ce que j'attends d'eux.

Après un début tout aussi di�cile qu'avec le premier groupe, le travail démarre

plus rapidement avec ce groupe, qui est de manière générale plus dynamique. Cela

16

étant, je m'aperçois que la sélection e�ectuée par certains est d'une simplicité

enfantine : ils ont choisi ce qui se trouvait sur le premier tableau. Il semblerait

qu'ils aient vaguement véri�é que les objectifs listés dans les autres tableaux se

retrouvent dans ceux qu'ils avaient sélectionnés, mais sans trop insister tout de

même. Devant cette petite déconvenue, j'essaie de leur expliquer pourquoi ils ne

peuvent se contenter de ce qu'ils ont en prenant des exemples d'objectifs qui ne

sont pas réellement contenus dans les leurs, mais cela ne semble pas les convaincre.

Plutôt que d'insister, je préfère leur demander de chercher des exercices, parmi

ceux que l'on a faits, illustrant leur liste d'objectifs.

Les groupes qui jouent réellement le jeu de la première consigne éprouvent

pas mal de di�cultés. J'essaie de les guider, de leur indiquer ce qu'ils pourraient

regarder pour faire un tri, notamment essayer de voir quels énoncés ne sont pas

pertinents ou bien ceux qui sont clairement moins précis. Un autre de leur pro-

blème est que, comme dans le groupe précédent, ils ne savent pas très bien ce

qui a ou n'a pas été vu en classe, ou me soutiennent que la notion de fonction

croissante n'est pas connue alors qu'on a revu cela la veille et que c'était dans le

Devoir Libre no 6, que certains m'ont pourtant rendu le jour même (sans doute

après l'avoir fait la veille).

Désireux d'avancer, je décide d'aller au tableau et d'animer le débat, de leur

poser des questions pour essayer de les guider vers une meilleure compréhension

des propositions faites au tableau. Les réponses sont obtenues di�cilement, les

élèves semblant un peu décontenancés, et au �nal, j'ai l'impression d'avoir quasi-

ment e�ectué ce tri tout seul.

Quand en�n ce tri est e�ectué, le temps qui reste pour la recherche des exer-

cices correspondant n'est pas su�sant. Certains ayant commencé plus tôt ce tra-

vail ont quand même trouvé des exercices illustrant pas loin de la moitié des

objectifs �naux2.


L'impression que me donne cette séance est un peu moins négative que celle

précédemment décrite, puisque quelque chose de concret en ressort �nalement.

Mais combien ce fut laborieux, et tout cela en deux heures de temps, contre une

demi-heure pour l'autre expérience. Et si globalement les élèves ont été plus actifs,

ce n'est pas encore su�sant, notamment parce qu'un certain nombre d'entre eux

2Je n'ai malheureusement pas conservé les travaux écrits par les élèves dans le second groupe.

17

n'a quasiment rien fait. Il faut toutefois préciser qu'ils ne font plus grand chose,

pour une majorité, depuis dix jours avant les vacances de Noël. Pour autant, ce

n'est guère satisfaisant.

Une autre chose qui a pu poser problème est que j'étais malade depuis deux

jours, donc épuisé et trop peu réactif, et encore moins dynamique que d'habitude.

Je ne les ai donc pas sans doute pas su�samment poussés au travail.

Le travail attendu d'écriture des objectifs par les élèves n'a pas tellement été

respecté non plus. En e�et, la plupart se sont contentés de recopier des phrases

du livre. Une explication possible est que ma consigne était trop �oue, que le seul

exemple des �ches précédentes ne leur su�sait pas à comprendre le travail que

j'attendais d'eux. Il est également possible qu'ils aient pris le livre par commodité,

parce qu'ils l'avaient déjà feuilleté et savaient qu'ils pourraient y trouver des

réponses toutes faites. Mais trois explications plus vraisemblables me viennent.

La première serait que les élèves n'ont pas un cours complet dans leur cahier.

J'ai en e�et remarqué en véri�ant leurs cahiers par la suite qu'il manquait à

certains élèves, très minoritaires tout de même, près de la moitié du cours ; pour

les autres, y compris des élèves que j'estimais très sérieux, il était malgré tout

courant de ne pas voir une partie d'un certain cours, qui n'était pas rattrapée

bien que ce cours ait eu lieu plusieurs semaines auparavant.

En outre, les élèves qui ont pris leur cours pour chercher les objectifs ont eu

plus de di�cultés que ceux qui ont pris le livre, puisque mon cours ne fait pas

explicitement apparaître ces objectifs, pas sous la forme attendue dans l'exercice

proposé ce jour-là du moins.

En�n, un problème de con�ance des élèves à mon égard et à l'égard de mon

cours a pu se poser. En e�et, si le retour à la partie calcul, avec les chapitres

� Inéquations et intervalles de R - Valeur absolue � et � Généralités sur les fonc-tions � avait bien débuté, après plusieurs cours sur les fonctions, leur mé�ance

semble être revenue, avec leur absence de travail. Et cette phase-là perdure à la

rentrée de janvier 2007. Et je pense qu'on peut expliquer ainsi le fait qu'ils se

soient spontanément dirigés vers leur livre et non leur cours manuscrit.

Outre le problème de la consigne �oue, je pense qu'il aurait été judicieux de

prendre le temps de bien expliquer aux élèves pourquoi je leur faisais faire cette

�che � à ma place �. Je n'aurais peut-être pas évité les remarques à ce sujet, mais

la consigne aurait paru un peu plus claire aux élèves. Faire suivre ma consigne

d'un petit discours d'une teneur semblable à ce qui suit me paraît maintenant

nécessaire : � Savoir identi�er ce qu'il faut savoir fait partie de votre travail, pour

18

montrer que vous avez un minimum de recul sur ce que vous faites, que vous êtes

capables de voir la démarche du cours, que vous n'apprenez pas bêtement une

série de propriétés et dé�nitions, mais que vous ré�échissez à ce que vous faites,

ou en tout cas, cela vous pousse dans cette direction-là, vous invite à entamer

cette ré�exion. Je ne devrais être là que pour dégager l'essentiel du super�u, ce

qui est exigible de ce qui est fait en supplément. �

Il est vrai que j'ai un problème de communication avec ma classe, que mes

annonces sont trop succinctes, quand j'en fais. Les élèves ne sont donc pas aidés

dans cette démarche de reconnaissance de la progression du cours.

La consigne donnée en deuxième heure me paraît être justi�able aux yeux des

élèves un peu de la même manière que la première.

Le principal problème avec ce que j'ai donné à faire au second groupe est

qu'ils arrivent devant une tâche assez importante sans idée précise de ce qu'ils

doivent faire. Il s'agit en e�et d'un exercice nouveau pour eux, au moins en

mathématiques. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je leur ai donné un ou deux

exemples de sélection/élimination de proposition d'objectifs, a�n de préciser un

peu ce que j'attendais d'eux. Dès lors, j'ai le sentiment que s'ils n'ont pas avancé

très vite, c'est autant parce qu'il s'agit d'un exercice délicat que parce qu'ils

n'avaient pas trop compris la consigne.

Ces consignes ont un défaut majeur, celui de ne pas être très motivantes pour

les élèves. Outre leur caractère inhabituel, c'est un travail un peu aride proposé

ainsi. Je me rends bien compte de la nécessité de donner une place beaucoup

plus importante aux exercices, ou tout le moins une place préliminaire à l'activité

proposée ce jour-là. Car il ne s'agit pas seulement d'un problème d'austérité, mais

bien d'une di�culté réelle de recherche documentaire et analytique ; il faut savoir

où chercher des réponses, ce qui suppose d'une certaine façon d'avoir une idée du

résultat à trouver et un certain recul sur le cours, et donc leur donner un docu-

ment précis où ils n'ont plus qu'à se concentrer sur l'identi�cation des objectifs

aurait rendu l'exercice plus rapide, plus aisé, plus utile aussi, et certainement plus

attractif aux yeux des élèves.

Le travail sur les exercices, justement, qui a été peu abordé, permettait pour-

tant de véri�er que telle notion avait bien fait l'objet d'une évaluation. À cette �n,

il était toutefois nécessaire que les élèves aient bien noté les corrections ou aient

fait correctement l'exercice en question. Mais cette consigne sur les exercices me

paraît �nalement un peu du même type que la précédente, à savoir un peu trop

austère. En e�et, le travail que j'exige d'eux à ce moment-là est une lecture d'un

19

travail déjà fait, ce qui est sans doute moins intéressant aux yeux des élèves que

de faire des exercices, ce qui leur permettrait en outre de s'entraîner et plus seule-

ment de préparer un travail de révision. Et pour les élèves du premier groupe,

cette consigne leur a peut-être donné l'impression d'avoir encore la même chose

à faire, car il est vrai que les deux consignes données ne sont pas très éloignées.

Néanmoins, ceux qui se sont vraiment lancés dans cette recherche d'exercices

ont fait pas mal de révisions, notamment en essayant de voir s'ils savaient refaire

l'exercice, ce qui était d'ailleurs assez utile pour savoir à quel savoir ou savoir-faire

cette résolution d'exercice faisait appel.

Une autre possibilité serait de faire faire une partie du travail à la maison,

pour leur laisser un peu plus de temps pour repérer les subtilités des énoncés,

mais je ne suis pas sûr que cela marcherait, parce qu'il faudrait que les élèves y

consacrent su�samment de temps, ce qui n'est pas certain. Et il y a un certain

nombre de di�cultés qu'ils ne peuvent pas forcément repérer tous seuls, et là,

c'est aussi le travail du professeur de les aider sur ces points.

Toutefois, une façon de procéder qui aurait été plus judicieuse aurait été de

leur proposer une petite série d'exercices, par exemple celle que j'aurais mise sur

la �che d'objectifs si je l'avais rédigée comme je le faisais d'habitude, avec pour

but de leur faire identi�er les objectifs en question, pour ensuite aboutir à la �che

complète. Cette manière de procéder aurait permis à la fois de rendre plus concret

l'objectif à identi�er, de mettre les élèves en activité, de leur faire faire un bilan

de tout le chapitre, d'obtenir, relativement, rapidement une �che exploitable et

surtout, de leur faire réellement reformuler les idées du cours.

Pour ce qui est de l'improvisation du changement de travail pour le second

groupe, je ne suis pas certain que ce fut une bonne idée. En e�et, fatigué et malade,

il y avait peu de chances que je sois vraiment en mesure de recti�er à la volée

les problèmes qui se poseraient et que je n'avais nécessairement pas prévus. Cela

étant, si l'idée m'est venue, ce n'est pas seulement parce que je tenais à avoir une

�che �nie à l'issue de cette séance de modules. Je trouvais intéressante également

l'idée de faire collaborer les deux moitiés de la classe de façon complémentaire,

l'une faisant une partie du travail, l'autre enchaînant sur la suite pour obtenir un

travail complet au bout. Et même si ce n'est pas tout à fait le cas au bout du

compte, je pense que l'idée est à retenir. Mais une fois encore,cette idée pourrait

même plaire à la classe, à la double condition de la communiquer à la classe

justement, ce qui suppose de ne pas l'improviser (sinon, il est di�cile d'en parler

20

au premier groupe), d'en faire quelque chose de positif3, et d'essayer de rendre

chacune des deux activités un peu plus attractives.

On peut rajouter quelques remarques. Il est un peu risqué de tenter ce genre

de travail inhabituel, qui va donc susciter beaucoup de questions de la part des

élèves et autant d'interventions de ma part, alors que l'on est fatigué et malade.

Par ailleurs, je dois avouer que j'évaluais assez mal le temps que cette rédaction

allait prendre prendre aux élèves.

En guise de conclusion, il est intéressant de noter que j'en reviens à celle faite

par Mehdi Zekhnini dans son mémoire, que j'avais pourtant lu préalablement

à la préparation de cette séance, à savoir qu'il est capital de donner des exer-

cices ciblant précisément les di�érents objectifs du chapitre a�n de permettre une

activité réelle des élèves et que cette séance leur soit e�ectivement pro�table.

3Ne pas dire au deuxième groupe qu'ils vont faire ce que le premier n'a pas eu le temps defaire, mais qu'ils ont une tâche à accomplir qui vise à compléter le travail du premier groupepour �naliser une petit projet, par exemple

21

Chapitre 3

Di�érents supports pour expliquer

un point de cours


Lors de la deuxième visite d'une formatrice de l'IUFM, on m'a signalé qu'il

serait judicieux d'essayer de mettre vraiment à pro�t dans mon cours les di�é-

rents supports à la disposition des élèves lorsque l'on travaille sur les fonctions.

Lorsqu'est venu le moment du cours où j'allais introduire à une dé�nition un

peu plus formelle de la croissance, j'ai cherché à utiliser les di�érentes manières

de voir les fonctions abordées avec les élèves, a�n de les motiver et d'illustrer

cette dé�nition, et surtout de laisser la possibilité à des élèves aux mécanismes

de compréhension variés d'assimiler cette notion.

Après avoir repris le travail lors du chapitre de Statistiques, les élèves de cette

classe de 2e8 se sont beaucoup relâchés au niveau du travail en classe, se conten-

tant du minimum à la maison, et en même temps, une poignée d'élèves a fait

beaucoup d'e�orts, particulièrement en classe, tant pour essayer de comprendre

que pour faire les exercices demandés. Je ne suis pas certain que la participation

sera au rendez-vous, et donc il y a un risque que le cours se transforme complè-

tement en cours magistral. Et plus grave encore, s'ils n'essaient pas de travailler,

ils ne pourront pas comprendre la notion que je veux leur transmettre, d'autant

qu'elle est assez di�cile.

Au cours d'une discussion avec mon tuteur au sujet de la compréhension de

l'étude des variations d'une fonction par les élèves, celui-ci m'avait dit que cette

notion était l'une des plus di�ciles à comprendre pour les élèves de Seconde,

et que malheureusement, un très grand nombre d'élèves de Terminale S étaient

23

incapables de faire par eux-mêmes une telle étude, preuve sans doute qu'ils n'ont

toujours pas compris son utilité et/ou ses mécanismes. Il me paraissait donc

capital d'insister sur ce point dans mon cours, d'essayer de bien faire comprendre

aux élèves la démarche que l'on suivait.

La dé�nition que j'ai en tête1 est un peu un compromis entre la première ver-

sion de la dé�nition de croissance d'une fonction vue dans le chapitre précédent

sur les fonctions et une dé�nition purement algébrique. À vrai dire, la seule véri-

table amélioration, sans doute trop subtile, en tout cas dite comme ça, pour mes

élèves, est le fait que je précise que l'on travaille sur un intervalle. La dé�nition

n'est donc pas tellement plus formelle, mais plus rigoureuse ; son application, elle,

sera formelle, comme on le verra dans les exercices proposés, et les exemples que

je donne le seront également, ce qui reste donc dans l'esprit du programme à mon

avis2.

Pour présenter la dé�nition, je vais me baser sur les façons que l'on a déjà

vues pour reconnaître quand une fonction était croissante. Par ailleurs, cette dé-

�nition est insérée dans le cours sur la fonction carré, et donc je vais pro�ter de la

présence au tableau du graphe de la fonction et de son tableau de valeurs, qui se-

ront donc les deux supports qui me serviront à donner du sens à cette dé�nition.

Mais pour réellement impliquer les élèves et passer au formalisme, je vais étu-

dier formellement les variations d'une fonction du second degré, mise sous forme

canonique, puis faire faire le travail aux élèves. Pendant l'étude des variations,

il y a évidemment une étape, celle justement où l'on applique la fonction carré

qui va poser problème aux élèves ; ce sera donc le moment privilégié pour faire

intervenir les di�érentes manières de voir une fonction a�n d'essayer de leur faire

comprendre ce qui se passe, de bien insister sur la conservation de l'ordre ou le

renversement d'ordre suivant que la fonction est croissante ou décroissante.


Je commence par demander à mes élèves comment on avait dé�ni la notion

de croissance d'une fonction dans le précédent chapitre, intitulé � Généralités sur

1Soit f une fonction dé�nie sur D une partie de R.La fonction f est croissante sur un intervalle I contenu dans D si, lorsque la variable x, x ∈ I,

augmente, la variable y = f(x) augmente également.2Il est écrit dans le programme de mathématiques de la classe de seconde, concernant la

notion de croissance et décroissance d'une fonction : � On soulignera le fait qu'une fonctioncroissante conserve l'ordre, tandis qu'une fonction décroissante renverse l'ordre ; une dé�nitionformelle est ici attendue. �

24

les fonction �. Seuls quelques élèves me répondent qu'on voit qu'une fonction est

croissante quand la courbe � monte �, ce qui correspond peu ou prou à ce que

je leur avais donné comme première version de dé�nition. En revanche, j'obtiens

un succès moins franc lorsqu'il s'agit de leur faire dire comment on voit dans un

tableau de valeurs qu'une fonction est croissante ou décroissante, alors que j'avais

bien mis en évidence ces deux cas dans le chapitre en question.

Je tente de le leur faire retrouver, ce qui ne marche pas si mal. Même si c'est

loin d'être spontané, même si ce n'est pas tout à fait correct, les idées sont à peu

près là. Ce que j'attendais et que j'avais donné était � On voit dans un tableau

de valeurs qu'une fonction f est croissante si, quand la variable x augmente, la

variable y = f(x) augmente également �. Et les phrases que me donnent les élèves

sont plutôt du style � quand c'est plus grand au-dessus, c'est aussi plus grand

au-dessous3 �.

Je leur donne donc comme dé�nition � Une fonction f est croissante sur un

intervalle si et seulement si, lorsque la variable x augmente, la variable y = f(x)

augmente également �. Je donne alors, en même temps, la dé�nition de fonction

décroissante, en changeant la deuxième proposition de la dé�nition précédente en

� la variable y = f(x), elle, diminue �.

Je sens que cette dé�nition les laisse perplexes. Pour clari�er immédiatement

cette dé�nition, je donne une illustration de cette dé�nition sur les di�érents

supports que nous avons vus, à commencer par le support graphique. Et puisque

nous en sommes en train d'étudier la fonction carré, dont le graphe est encore

au tableau à ce moment-là, je me base sur ce graphe. Prenant appui sur ce que

nous avions déjà vu dans le premier chapitre sur les fonctions, je leur demande

quand la fonction carré est croissante, décroissante, comment ils le voient, ce à

quoi ils répondent spontanément : � parce que la courbe monte � (respectivement

� descend �). Maintenant, je leur demande de faire le rapport entre la courbe et

la dé�nition qui vient de leur être donnée. À ce moment-là, mon impression de

les avoir laissés perplexes avec la dé�nition proposée se con�rme.

À partir du graphique, en plaçant deux points sur l'axe des abscisses (les deux

sur R−, puis les deux sur R+), je tente de leur montrer pourquoi lorsque la fonctionest décroissante l'ordre de f(a) et f(b) est di�érent de celui de a et b, tandis que

lorsque la fonction est croissante, l'ordre reste inchangé. Je fais ensuite le rapport

entre cette éventuelle inversion d'ordre et la dé�nition. J'obtiens simplement des

3Les tableaux de valeur que je leur donne sont toujours présentés avec une ligne pour lesvaleurs de x et une ligne pour celles de y = f(x).

25

acquiescements sceptiques ; ils semblent en fait comprendre ce que je leur montre,

mais pas tellement le rapport avec ce que je dis, avec une version formalisée des

choses.

L'exercice qui suit consiste à montrer que la fonction x 7→ (x − 2)2 + 5 estdécroissante sur ] −∞; 2] (puis qu'elle est croissante sur [2; +∞[). Pour cela, jeprocède ainsi, en leur indiquant que c'est la méthode qu'ils devront suivre pour

prouver le sens de variation de toutes les fonctions (du second degré, pour le

moment).

Soit a ≤ b ≤ 2.

(−∞ f(d), ce qui

est bien ce qui est écrit dans ma série d'inégalités, à condition de remplacer c par

a−2 et d par b−2. Je ne suis pas alors certain que mon explication a bien touchétout le monde. Une des meilleures élèves de la classe me dit qu'elle ne comprend

pas mon graphique.

J'insiste sur le graphique, mais cette fois-ci, au lieu de placer les points c et

d, je place directement les points a− 2 et b− 2 sur R−, en espérant qu'ils ferontmieux le rapport avec les inégalités que l'on vient d'écrire. Il me semble que c'est

d'ailleurs le cas pour un certain nombre d'élèves, même si certains répondent sans

doute un � oui � de complaisance à mon � Est-ce que c'est compris maintenant ? �.

Le passage de l'avant-dernière étape à la dernière quant à lui a posé problème

à certains, ce qui m'a permis de me rendre compte qu'une partie de la classe

26

n'avait absolument pas compris ce que l'on cherchait à faire.

Résultat, me voilà obligé de revenir sur l'expression de la fonction que l'on

étudie, le rapport avec les di�érentes opérations que l'on a e�ectuées et en�n

avec la dernière inégalité que l'on trouve. Là, les élèves semblent avoir en�n

une meilleure idée de ce que l'on vient de faire, même si je sens bien qu'ils ne

comprennent toujours pas pourquoi on fait tout ça.

Ayant l'impression que le message n'est pas si mal passé que ça, je fais à côté

la démonstration de la croissance de la fonction

À ce moment-là, j'ai la sensation que de toute façon, les élèves n'arriveront

pas à une meilleure compréhension de ce qu'ils sont en train de faire tant que,

justement, ce ne sera pas eux qui seront en train de faire réellement, tant qu'ils

ne seront pas e�ectivement actifs. Je leur donne donc des exercices du livre où ils

auront l'occasion de comprendre petit à petit chacune des étapes en question, et

de mieux comprendre également le pourquoi de chacune des notations utilisées.

On passe donc à des exercices du livre du type de celui donné en Annexe D.

Comme prévu, très peu d'élèves se mettent au travail. Il est dès lors évident que

ceux qui ne s'y mettent pas n'ont aucune chance de comprendre. Mes menaces

n'y font pas grand chose, tout au plus font-ils semblant de recopier l'énoncé et

de chercher des justi�cations pour la première étape. Au �nal, il y a tout au

plus dix élèves qui travaillent vraiment. Le seul avantage que je peux voir à cette

situation, c'est que ceux (celles, devrais-je dire) qui veulent bien s'y mettre vont

pouvoir pro�ter d'un temps raisonnable d'explication, puisqu'il sera partagé entre

peu de personnes. Et comme en plus les personnes désirant travailler sont côte

à côte... C'est à ce moment-là, notamment avec les élèves les plus faibles que

je pense en�n à prendre des valeurs numériques pour illustrer mes propos sur

la croissance/décroissance de la fonction carré. Je m'aperçois aussi que ce n'est

pas très clair pour certains que −8 est plus petit que −5, ce qui évidemment nem'aide pas dans mes tentatives

Il y a à noter que deux choses nouvelles sont introduites à l'occasion de l'exer-

cice, en tout cas par rapport à ce qui a été fait dans l'exemple du cours, car en

réalité ces deux choses ont déjà été vues par ailleurs. Tout d'abord, le premier

exercice donné fait travailler sur un intervalle �ni, et donc on a une série de trois

inégalités à écrire à chaque ligne. J'ai beau préciser que la deuxième borne a le

même rôle que le −∞ (que j'ai noté entre parenthèses sur la première ligne parcequ'on ne le reporte pas dans les lignes suivantes, cette inégalité étant évidente),

que c'est la borne de l'intervalle sur lequel on travaille, ce n'est pas tout à fait

27

clair pour les élèves. Mais apparemment, ça le deviendra un peu plus quand, à

la dernière question de l'exercice, on demande sur quel intervalle la fonction est

croissante, et ça sera encore plus clair après le deuxième exercice du même type,

en tout cas pour la plupart. La deuxième nouveauté par rapport à ce qui été fait

dans le cours, c'est qu'on va trouver un coe�cient devant l'expression élevée au

carré. Les inégalités ayant été vues dans un chapitre précédent, il n'y a pas trop

besoin d'insister sur ce point, mais simplement de réconforter les élèves, en leur

con�rmant qu'il su�t de faire comme dans la résolution d'une inéquation. Ça ne

leur pose pas plus de problème que ça.

La correction se passe bien, il n'y a pas trop de questions, ce qui n'est guère

étonnant, puisque j'ai déjà vu ce qu'avaient fait tous ceux qui ont bien voulu se

lancer dans les exercices.


Le bilan de cette séance est mitigé.

D'un côté, même si le cours précédent n'est pas encore su�samment bien

connu4, la participation a été relativement bonne et fructueuse, et le cours sur

les inéquations semblent être bien acquis. Ensuite, les élèves qui ont travaillé ont

plutôt réussi à bien s'en sortir sur les exercices, malgré un début très laborieux ;

de plus, ils semblaient motivés et réellement désireux d'y arriver. En�n, j'ai pu

observer lors de la séance suivante que, si les élèves avaient eu beaucoup de

di�cultés à remettre en place le raisonnement à la maison, une courte explication

leur a permis de repartir assez rapidement.

D'un autre côté, il y avait trop d'élèves qui n'ont pas même tenté de faire

les exercices en classe, et qui n'auront donc, a priori, pas beaucoup de chances

de savoir le remettre en place tous seuls par la suite. Ensuite, les explications

données en classe me laissent insatisfait. En tout cas, j'ai le sentiment qu'elles

n'ont pas toujours été très bien perçues par les élèves. Et les di�érents supports

n'ont pas toujours été exploités, en dépit de ce que j'avais prévu. Par ailleurs, je

n'ai pas l'impression que les élèves soient très autonomes sur ces exercices, et je ne

sais pas trop ce qu'ils sauront encore faire un mois après. Cela étant, comme il a

été précisé dans l'analyse a priori, cet aspect du cours de seconde est l'un des plus

di�ciles, et il est sans doute normal que les élèves éprouvent des di�cultés au

4Cela étant, ce n'est pas si étonnant que ça dans la mesure où je ne les ai pas beaucoupinterrogés là-dessus.

28

début, et que cette notion ne rentre qu'après plusieurs tentatives, espacées dans

l'année. Et j'ai bien l'intention d'y revenir lors de l'étude de la fonction inverse

et des fonctions rationnelles.

Il y a plusieurs pistes qui m'apparaissent clairement pour améliorer cette

séance.

L'une des toutes premières est de faire une part plus belle aux valeurs nu-

mériques. Certes, j'ai utilisé le tableau de valeurs au début, pour illustrer la

dé�nition, ce qui était bien, en particulier au vu de la façon dont cette dé�nition

a été amenée, mais au moment où je veux bien expliquer l'étape où l'on applique

la fonction carré dans l'étude des variations de la fonction x 7→ (x − 2)2 + 5, ileût sans doute été instructif pour les élèves d'instancier les réels a et b a�n qu'ils

se convainquent eux-mêmes. Peut-être que revenir au tableau de valeurs encore

une fois aurait permis de sentir un peu mieux ces variations.

La deuxième alternative que je vois est de faire utiliser aux élèves leur calcu-

latrice graphique et la fonction Trace sur le graphe de la fonction carré, ce qui

allie l'aspect graphique à l'aspect numérique et a en outre un côté dynamique,

puisque l'on peut faire varier à l'envi la position du point sur la courbe. Il est

aussi possible, dans le même ordre d'idée de faire cela au vidéoprojecteur.

Une autre approche possible serait d'essayer de faire formaliser aux élèves la

dé�nition de croissance. Je ne pense pas que, si j'avais essayé de procéder ainsi

après avoir donné et illustrer ma dé�nition de croissance, cette question aurait eu

un grand succès. Il est vraisemblable que pour faire une telle tentative, il faudrait

revoir complètement l'activité.

Une amélioration possible encore, qui est liée à ma façon de faire cours en

général, consisterait à essayer de mieux annoncer les activités que l'on commence,

à bien indiquer où on veut en venir, et comment on a l'intention d'y parvenir avant

de faire réellement le raisonnement dans tous ses détails. On a vu que le problème

se posait quand certains élèves ne saisissaient pas la dernière étape de la preuve,

celle où on remplaçait l'expression de f(a) par l'écriture � f(a) �.

Il serait peut-être préférable également de proposer au tout début un exercice

où les élèves ne sont pas perturbés par des di�érences avec ce qui vient d'être fait

en exemple, qui viennent un peu parasiter la compréhension de l'étape essentielle

du raisonnement. En revanche, proposer ces exercices un peu après est nécessaire,

car il faut que les élèves, à travers ces petites di�érences5, arrivent à une meilleure

compréhension de ce qu'ils font.

5Il s'agit des deux � nouveautés � évoquées plus haut, dans la description de la séance.

29

Conclusion

Si le bilan des trois séances décrites dans ce mémoire est globalement négatif,

on peut constater une évolution positive, et pas seulement parce que le bilan de

chacune des activités est un peu plus positif à chaque fois. Ce qui me paraît le

plus encourageant, c'est le fait qu'à l'issue de chacune des activités, non seule-

ment j'ai vu comment on pourrait l'améliorer, mais en plus de nouveaux modes

d'explication me sont apparus.

Parmi les améliorations possibles, pour toutes les activités, les consignes que

je donne aux élèves devront être plus soignées. Ensuite, faire plus systématique-

ment des allers-retours entre tous les di�érents supports accessibles aux élèves

est indispensable. Il serait également nécessaire de proposer des activités au vrai

sens du terme, qui donc mettrait vraiment les élèves au travail. Il y a donc un

travail à faire sur la forme, a�n d'essayer de stimuler plus la curiosité des élèves.

Faire intervenir les élèves à tous les niveaux de la création du cours serait une

autre façon de procéder.

J'ai déjà évoqué dans l'introduction des possibilités alternatives pour essayer

de mettre mon cours à meilleure portée des élèves. J'ai déjà trois séances infor-

matiques prévues, dont une destinée à la remédiation. Par ailleurs, l'utilisation

d'objets concrets, en géométrie pour manipulation ou en statistiques à des �ns

de simulation, me paraît une possibilité à ne pas négliger. Ces activités proposées

dans le cadre d'activités préparatoires vont rendre les explications ultérieures plus

concrètes aux élèves, qui auront une meilleure visualisation, une série d'exemples

qu'ils auront eux-mêmes créés.

Ce mémoire a été pour moi l'occasion de me rendre compte à quel point il

pouvait être béné�que de faire à la fois un compte-rendu de chaque séance, et

de revenir sur ce compte-rendu après un certain temps. En e�et, cette relecture

des impressions à chaud sur une séance permet de repérer, avec la perspective

des évaluations ultérieures, des points de cette séance qui n'allaient pas. Mais

ce qui m'a paru particulièrement intéressant, et surprenant, c'est de constater

31

qu'on pouvait lire dans cette description de la séance, au travers des di�érentes

remarques qu'on y fait, le germe d'idée d'améliorations ou d'idées alternatives.

32

Annexes

33

Annexe A

Extraits du cours polycopié sur des

révisions de géométrie

Proposition. Soient ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J un point de [AC].

Le point J est le milieu de [AC] si et seulement si la droite (IJ) est parallèle

à la droite (BC).

On a alors, si J est le milieu de [AC], l'égalité suivante : IJ =1

2BC.

Démonstration.

− sens direct : Si J est le milieu de [AC], on a l'égalité AIAB

=1

2=

AJ

AC, et

donc, par la récirpoque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (IJ) sont

parallèles.

− sens réciproque : Si les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, le théorèmede Thalès dans les triangles ABC et AIJ donne :

AI

AB=

AJ

AC. Puisque par

hypothèse I est le milieu de [AB],AI

AB=

1

2, et donc

AJ

AC=

1

2= 0, 5, et un

produit en croix nous donne immédiatement AJ = 0, 5×AC, ce qui prouvebien que J est le milieu de [AC].

35

� On vient de montrer l'équivalence. Donc si J est le milieu de [AC], les

droites (IJ) et (BC) sont parallèles, donc par le théorème de Thalès, on

a :IJ

BC=

AJ

AC=

1

2= 0, 5, et un produit en croix nous donne alors IJ =

0, 5×BC, ce qui est l'égalité souhaitée.

Nota Bene. Puisque cette proposition est une conséquence du théorème de Thalès

et de sa réciproque, cités plus haut, on dit que c'est un corollaire du théorème de

Thalès et de sa réciproque.

Remarque. En pratique :

� on utilise le théorème de Thalès lorsqu'on veut mesurer des longueurs.

� on utilise la réciproque pour montrer que deux droites sont parallèles.

Proposition. Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux.

Démonstration. Les angles α et γ sont supplémentaires, tout comme les angles β

et γ (ils sont adjacents et leur juxtaposition forme un angle plat, soit la droite d

pour β et γ, soit la droite d2 pour α et γ). Donc, on a α = β = 180o − γ.

36

Annexe B

Quelques listes d'objectifs faites par

les élèves

38

Annexe C

Un exemple de �che d'objectifs

faite par mes soins

Chapitre 2 : Géométrie plane - Transformations

1. Savoir reconnaître et construire les centres remarquables des triangles.

2. Utiliser les théorèmes de Pythagore, Thalès ainsi que leurs réciproques.

3. Savoir faire des calculs en valeur exacte et en valeur approchée.

4. Utiliser les angles pour démontrer un résultat.

5. Utiliser la trigonométrie pour calculer des longueurs ou des angles.

6. Connaître (ou savoir retrouver) les valeurs de cos, sin et tan pour les angles 30˚,

45˚ et 60˚.

7. Savoir construire et savoir reconnaître l'image d'un point par les transformations

usuelles.

8. Savoir utiliser les propriétés des isométries pour démontrer un résultat.

Exercices tests

1. Soit ABC un triangle. Si H est l'orthocentre de ABC, A est-il l'orthocentre de

HBC?

2. Soit ABC un triangle tel que AB=7, BC=5 et AC=2√

6. Le triangle ABC est-il

rectangle en A ? en B ? en C ?

3. Exercice 66 p 73 du livre.

4. Soit M un point du cercle C de diamètre [AB]. La bissectrice de l'angle M̂ABcoupe le cercle C en N (en plus du point A). On veut montrer que les droites(AM) et (ON) sont parallèles. Pour cela, montrer que le triangle OAN est isocèle

en O. Conclure avec des considérations sur les angles.

43

5. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB=12 et AC = 4√

3. Donner

la valeur exacte de l'angle B̂.

Dans le triangle DEF rectangle en E, on a DF=11 et EF=7. Donner une valeur

approchée à 10−2 près de F̂ .

6. Exercice 8 page 261 (sans justi�cation).

7. Soient ABC un triangle rectangle en A, K ∈ [BC]. Soient T, S les images de Kpar la symétrie d'axe (AC) et (AB) respectivement. Déterminer les angles ĈAT

et B̂AS en utilisant les symétries mentionnées. En déduire que les points T, A et

S sont alignés.

Solutions rapides

1. Puisque H est l'orthocentre du triangle ABC, il est sur les hauteurs issues de

A, de B et de C. Donc, nous avons les relations (AH)⊥(BC), (AB)⊥(CH) et(AC)⊥(BH), ce qui signi�e que A est bien sur les trois hauteurs du triangle HBC,donc est son orthocentre.

2. AB2 = 49, BC2 = 25 et AC2 = 24. Donc AB2 = BC2 + AC2, et le triangle est

rectangle en C (donc il ne l'est pas en A, ni en B).

3. Par le théorème de Thalès, on a OLOA =OKOB et donc OL=20×

1315 =

523 .

On a OAOD =2028 =

57 et

OBOC =

1513+8 =

57 . Donc, par la réciproque du théorème de

Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

4. O est le centre de C et A et N sont deux points de ce cercle, donc OA=ON=lerayon du cercle. Le triangle OAN est donc bien isocèle en O. Donc, on a égalité

des angles ÔAN et ÔNA sont égaux. Mais la droite (AN) n'est autre que la

bissectrice de l'angle M̂AB, et par conséquent, N̂AM = N̂AO = ÂNO. Les

angles alternes-internes pour les droites (AM) et (BN) intersectées par la droite

(AN) sont donc égaux, et donc (AM) et (ON) sont parallèles.

5. On a tan(B̂) = ABAC =12

4√

3=√

3. Donc B̂ = 60˚.

On trouve cos(F̂ ) = EFDF =711 . Avec l'aide de la calculatrice, on en déduit F̂ '

50, 48˚.

6. cf. correction donnée en classe.

7. La symétrie conserve les angles, donc ĈAT = ĈAK et B̂AS = B̂AK. Or, B̂AK+

K̂AC = Â = 90˚ car ABC est rectangle en A. Donc T̂AS = T̂AC + ĈAK +

K̂AB + B̂AS = 2Â = 180˚, donc l'angle est plat : les points T, A et S sont donc

alignés.

44

Annexe D

La �che d'objectifs du chapitre

Chapitre 4 : Généralités sur les fonctions

1. Connaître la dé�nition d'une fonction.

2. Connaître 4 manières di�érentes de dé�nir une fonction : avec un graphique,

un tableau de valeurs, un programme de calcul, une formule.

3. Savoir calculer une image par une fonction.

4. Savoir remplir le tableau de valeurs.

5. Utiliser la calculatrice graphique pour remplir un tableau de valeurs, tracer

une courbe.

6. À partir d'un tableau de valeurs, savoir tracer une courbe.

7. Trouver graphiquement l'ensemble de dé�nition d'une fonction.

8. Trouver une image, un antécédent sur une courbe.

9. Savoir résoudre graphiquement une équation ou une inéquation.

10. Savoir reconnaître les sens de variation (croissance, décroissance) et extrema

(minimum, maximum) sur une courbe ou un tableau de valeurs.

11. Savoir faire un tableau de variation et y lire le sens de variation d'une

fonction.

12. Résoudre une équation ou une inéquation dans R.

13. Savoir montrer qu'un nombre est un extremum (minimum ou maximum)

d'une fonction.

Exercices tests Soit f la fonction dé�nie sur R par x 7→ 2x2 − 11x + 3.

1. Calculer l'image de -1 par f , puis celle de 5.

45

2. Remplir le tableau de valeurs suivant :

valeur de x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x)

3. À l'aide du tableau de valeurs ci-dessus, tracer la courbe représentative de

f sur l'intervalle [-5 ;8].

4. exercice 15 p 93 & exercice 16 a) p 93

5. exercice 20 p 94

6. Sur la courbe de l'exercice 20 p 94, résoudre l'équation f(x) = 1 puis

l'inéquation f(x) ≤ 0.

7. exercice 49 p 97 (sauf lecture d'image) pour la fonction f .

8. Soit g la fonction dé�nie sur R qui à un réel x associe x2 + 4x + 5. Montrerque le minimum de g est 1.

Solutions rapides

1. On a f(−1) = 2× (−1)2 − 11× (−1) + 3 = 2 + 11 + 3 = 16et f(5) = 2× 52 − 11× 5 + 3 = 50− 55 + 3 = −2.

2.valeur de x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 108 79 54 33 16 3 -6 -11 -12 -9 -2 9 24 43

3. cf la courbe au verso.

4. 15 p 93 : a) C'est faux, la fonction est dé�nie sur [−4; +∞[ (la courbecontinue au-delà de x = 2 et il n'y a pas de point au bout de la courbe, ce

qui nous indique que la fonction est dé�nie jusqu'en +∞.

b) C'est vrai : les pointillés indiquent que la fonction n'est pas dé�nie

en 3, le point sur la courbe en (5 ;3) indique que la fonction n'est pas dé�nie

au-delà de 5, et l'absence d'un tel point pour l'autre branche de la courbe

nous indique qu'elle est dé�nie jusqu'en −∞.

16 p 93 : a) C'est faux, car le crochet doit être ouvert en 6 pour correpondre

à la convention de la courbe.

5. f(−1) = 2 ; f(−3) = 0 ; f(1) = 3 et f(4) = 0.

6. L'équation f(x) = 1 a pour solution {−2, 1; 3, 4}. L'inéquation f(x) ≤ 0 apour solution ]−∞;−3] ∪ [4; +∞[.

46

7.x -1 2 5 7

10 10

f(x) ↘ ↗ ↘-6 -4

La fonction f est donc décroissante sur [−1; 2]∪ [5; 7] et croissante sur [2; 5].Le minimum de f est -6 qui est atteint en 2. Le maximum de f est 10 et il

est atteint en -1 et en 5.

8. On commence par montrer que quel que soit x réel, g(x) ≥ 1.Or g(x) ≥ 1 ≡ x2 + 4x + 5 ≥ 1 ≡ x2 + 4x + 4 ≥ 0 ≡ (x + 2)2 ≥ 0 ce quiest évidemment vrai. Donc on a bien que g(x) ≥ 1 pour x ∈ R. De plusg(−2) = 4− 8 + 5 = 1 et donc 1 est bien le minimum de g (on a pris -2 carla factorisation précédente avait fait apparaître x + 2 = x− (−2)).

47

Annexe E

Exercice sur l'étude de variations

d'une fonction

1. Justi�er chaque étape du raisonnement.On a : 3 ≤ a < b ≤ 5étape 1 : 0 ≤ a− 3 < b− 3 ≤ 2étape 2 : 0 ≤ (a− 3)2 < (b− 3)2 ≤ 4étape 3 : −1 ≤ (a− 3)2 − 1 < (b− 3)2 − 1 ≤ 3.

2. Soit f la fonction dé�nie sur [3; 5] par :

f(x) = (x− 3)2 − 1.

D'après le raisonnement précédent, que peut-on dire du sens de variation

de cette fonction f ?

Extrait du Déclic 2de Mathématiques, Hachette Éducation, ISBN 2.01.13.5373.4.

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