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Comète de Halley IPSA M. Bouguechal 2014-2015 /24

INSTITUT POLYTECHNIQUE

DES SCIENCES AVANCEES

Département de physique

MINI-PROJET

PHYSIQUE I THEOREME DU MOMENT CINETIQUE :

APPLICATION A LA COMETE DE HALLEY

(Module Ph 11-mp2)

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A rendre le …………………..

(Edition 2014 - 2015)

INSTITUT POLYTECHNIQUE DES SCIENCES AVANCEES

7 / 9, rue Maurice Grandcoing – 94200 Ivry Sur Seine

* Tél. : 01.44.08.01.00 * Fax : 01.44.08.01.13 Etablissement Privé d’Enseignement Supérieur Technique – SIRET N° 433 695 632 00011 – APE 803Z

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Table des matières

1. PREMIERE PARTIE : Introduction ................................................................................... 3

A. OBJECTIF ................................................................................................................... 3

B. DESCRIPTION ........................................................................................................... 3

C. HISTORIQUE ............................................................................................................. 4

D. PROPRIETES DE L’ELLIPSE ................................................................................... 6

2. DEUXIEME PARTIE : Mécanique spatiale ....................................................................... 8

A. LES LOIS DE KEPLER .............................................................................................. 9

B. LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE ....................................................... 11

C. CONSERVATION DU MOMENT CINETIQUE .................................................... 12

D. CONSERVATION DE L’ENERGIE MECANIQUE ............................................... 12

E. FORMULE DE BINET ............................................................................................. 12

a) Première loi de Binet et expression de la vitesse ................................................... 12

b) Deuxième loi de Binet et expression de l’accélération .......................................... 13


MINI-PROJET : LE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE :


VERIFICATION DES LOIS DE KEPLER

Comète de Halley 1986

1. PREMIERE PARTIE : Introduction

A. OBJECTIF

1. Vérifier les lois de Kepler.

2. Vérifier le théorème du moment cinétique.

3. Vérifier la conservation de l’énergie mécanique totale.

4. Démontrer les formules de Binet.

5. Application à la comète de Halley

B. DESCRIPTION

Les comètes proviennent des régions les plus externes de notre Système Solaire, elles sont

formées d'un noyau solide, d'un diamètre compris entre 1 et 20 kilomètres, composée d'un

mélange de roches, de glace et de poussières. Au fur et à mesure que la comète s'approche du

Soleil, son noyau se réchauffe, et les glaces superficielles s'évaporent, entrainant l'apparition

d'une chevelure gazeuse de dimension importante pouvant aller jusqu’à la centaine de milliers

de kilomètres. Les gaz et poussières expulsés, sont repoussés par le vent solaire et composent

alors les queues de la comète. Une première queue bleutée, dite queue de gaz (ou de plasma),

pouvant atteindre plusieurs millions de kilomètres, se forme dans la direction opposée au

Soleil, engendrée par les ions sous l'effet des vents solaires. Une seconde queue, composée de

poussières éjectées du noyau par la pression du rayonnement solaire, forment une traînée

jaunâtre, plus large, plus diffuse et incurvée, ayant tendance à s'étendre dans le sillage de la

comète.

Edmond (ou Edmund) Halley ( 1656, Londres - 1742, Greenwich)

est un astronome et ingénieur britannique.

Ingénieur et scientifique pluridisciplinaire, il est surtout connu pour

avoir le premier déterminé la périodicité de la comète de 1682, qu'il

fixa par calcul à 76 ans environ. Lors du retour de cette comète en

1758, elle fut baptisée de son nom. C'est l'une des rares comètes qui

portent un autre nom que celui de leur découvreur.

« Dès mes plus tendres années, je me suis adonné à l’étude de l’astronomie », écrit-il dans ses mémoires. « [Elle m’apportait] un

plaisir si grand qu’il est impossible de l’expliquer à qui n’a pas fait

cette expérience. »


C. HISTORIQUE

La comète de Halley a été aperçue à différentes dates :

611 avant J.C 467 et 240

avant J.C 837 1066

1835, 1910 et

1986

Chine Chine Chine, Japon et

europe

tapisserie de

Bayeux

Pour l’historique de la comète de Halley, voir ce site, il est complet;

http://pgj.pagesperso-orange.fr/gdecomete.htm

L’astronomie est une des plus anciennes sciences de l’humanité, ses origines remontent au-

delà de l'Antiquité.

Qu’est ce que l’astronomie ? L'astronomie est la science de l'observation des astres, elle

cherche à expliquer leur origine, leurs éventuelles évolutions et aussi l'influence qu'ils ont sur

la vie de tous les jours : marées…. etc. Cette influence se manifeste par certains phénomènes

exceptionnels tels que les éclipses, les comètes, etc.

L'étymologie du terme astronomie vient du grec αστρονομία (άστρον et νόμος) ce qui

signifie loi des astres.



Tycho Brahe (14 décembre 1546 — 24 octobre 1601), est un

astronome danois originaire de Scanie danoise, région historique du

Danemark qui fait maintenant partie de la Suède. Il est connu pour

avoir établi un catalogue d’étoiles précis pour son époque, ainsi que

pour avoir produit un modèle d’univers cherchant à combiner le

système géocentrique de Ptolémée et héliocentrique de Nicolas

Copernic.

Tycho Brahe a pu mener ses travaux en astronomie grâce à l’octroi

d’un domaine sur l’île de Ven où il fit construire un observatoire

astronomique qu’il appela Uraniborg et une pension annuelle

accordés par le roi Frédéric deux de Danemark.

De 1600 jusqu’à sa mort survenue en 1601, il fut assisté par

Johannes Kepler, qui allait plus tard utiliser ses données

astronomiques pour développer ses propres théories sur l’astronomie

et formuler les trois lois du mouvement des planètes dites lois de

Kepler.

Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, dans le

Bade-Wurtemberg et mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne en

Bavière, est un astronome allemand célèbre pour avoir étudié

l’hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de

Nicolas Copernic, et surtout pour avoir découvert que les planètes

ne tournent pas en cercle parfait autour du Soleil mais en suivant des

ellipses.

Sir Isaac Newton (4 janvier 1643 – 31 mars 1727 est un

philosophe, mathématicien, physicien, astronome et théologien

anglais. Il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique

classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création,

avec Leibniz, du calcul infinitésimal. En optique, il a développé une

théorie de la couleur basée sur l'observation selon laquelle un prisme

décompose la lumière blanche en un spectre visible. Il a aussi

inventé le télescope à réflexion composé d'un miroir primaire

concave appelé télescope de Newton.

En mécanique, il a établi les trois lois universelles du mouvement.

Newton a montré que le mouvement des objets sur Terre et des

corps célestes sont gouvernés par les mêmes lois naturelles ; en se

basant sur les lois de Kepler sur le mouvement des planètes, il

développa la loi universelle de la gravitation.


Nicolas Copernic , (1473-1543) , Prusse royale (Royaume de

Pologne), est un chanoine, médecin et astronome polonais. Il est

célèbre pour avoir développé et défendu la théorie de

l'héliocentrisme selon laquelle le Soleil se trouve au centre de

l'Univers et la Terre tourne autour. A l’époque, on pensait que la

terre se trouvait au centre et le soleil tournait autour. C’est le début

de ce qu’on appela La révolution copernicienne.

D. PROPRIETES DE L’ELLIPSE

F1F2a

b

ELLIPSE

O

a2 = b2 + c2

M

r

x

y

x

y

A’ A

A : périgée

A’ : apogée

F1 : terre

A : périhélie

A’ : aphélie

F1 : Soleil


M

F1F2a

b

MF1+MF2= 2 a

ELLIPSEa : demi grand axe

b : demi petit axe

O

F1; F2 : foyers

c

F1 F2 = 2 C distance focale

x

y

28/11/2013 18:22 M. Bouguechal 2012-2013 Comète de Halley

27

M

ELLIPSE

a2 = b2 + c2

F1A = r min = a(1 – e) = p / (1+ e)

F1A’ = r max = a(1 + e) = p / (1- e)

b2 = a2(1-e2)

e = c/a 0 ≤ e < 1 c = e . a

p = a (1 – e2)

e = c/a = √(1-(b/a)2


2. DEUXIEME PARTIE : Mécanique spatiale

Nœud descendant

Nœud ascendant

Plan de l’orbite de la comète

Aphélie

Q Périhélie

q

Foyer

Comète

O

Demi petit-

axe

b Demi grand- axe

a

Foyer

SOLEIL

Ω

Ligne des nœuds

Plan de l’orbite terrestre L’écliptique

i

x


La ligne des nœuds est l'intersection du plan orbital de l'objet avec l'écliptique, elle relie les

nœuds ascendants et descendants.

Le nœud ascendant représente la position où l'orbite d'un corps céleste traverse l'écliptique

depuis l'hémisphère céleste Sud vers l'hémisphère Nord.

Le nœud descendant représente la position où l'orbite d'un corps céleste traverse l'écliptique

l'inclinaison i (entre 0 et 180 degrés) est l'angle que fait le plan orbital de la comète avec un

plan de référence. Ce dernier étant en général le plan de l'écliptique. (plan contenant la

trajectoire de la Terre) depuis l'hémisphère céleste Nord vers l'hémisphère Sud.

Trois angles permettent de positionner le plan de l'orbite dans l'espace :

La longitude du nœud ascendant de l'orbite Ω, c'est l'angle formé par la direction de

l'axe 0x et la direction du nœud ascendant de l'orbite,

l'inclinaison de l'orbite i, c'est l'angle formé par le plan de l'écliptique et le plan de

l'orbite,

l'argument du périastre ω, c'est l'angle formé par la direction du nœud ascendant et la

direction du périastre.

A. LES LOIS DE KEPLER

1. Enoncé de la première loi de Kepler (1609) : Chaque planète décrit autour du soleil

une orbite elliptique. Le soleil occupe l’un des foyers de l’ellipse.

The orbit of every planet is an ellipse with the Sun at one of the two foci.

The foci; singular focus.

Vérification de cette loi. On notera A : aphélie le point le plus éloigné du soleil,

P: périhélie le point le plus proche du soleil sur l ‘ellipse

O : le centre de l’ellipse.

a : le demi grand axe.

b : demi petit axe

On définit une ellipse de foyers F1 et F2 par l’ensemble des points M tel que :

MF1 +MF2 = cte = 2a.

On utilisera la figure donnant la trajectoire de la comète de Halley.

Montrer que la trajectoire de la comète est une ellipse.

Utilisez tous les points donnés sur la figure 1;

Dates MF1 MF2 MF1+MF2

Déterminer le demi-grand axe a ainsi que la distance focale F1F2= 2c de l’ellipse.

Déterminer l’excentricité e et le paramètre focal p de l’ellipse.


Vérifier que

On rappelle que l’équation d’une ellipse en coordonnées polaires est donnée par :

L’origine est au pôle F1 (soleil) avec e < 1

en utilisant le Solveur d’Excel, déterminer le paramètre focal p ainsi que

l’excentricité e de l’ellipse, représenter alors la trajectoire de la comète de

Halley. On utilisera un tableau comportant les dates (format de cellule : date), r

et θ de chaque point de la comète, il faudra passer en coordonnées

cartésiennes, car Excel ne permet pas de représentation directe en coordonnées

polaires. On prendra tous les points représentés sur la figure.

numéro date θ(°) r(u.a)

(mesuré)

r (u.a)

(calculé)

x(u.a) y(u.a)

1 09/02/1986 0 0.587

2. Enoncé de la deuxième loi de Kepler ( 1609 ) : Le rayon vecteur qui joint la planète

au soleil balaie des aires égales en des durées égales, quelles que soient ces durées.

A line joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal

intervals of time.

Vérifier cette loi et donner la vitesse aréolaire de la comète.

Numéro dates Base(u.a) Hauteur(u.a) Aire

(u.a2)

Vitesse

aréolaire(ua2/an)

1 01/01/1974

01/01/1978

2 01/01/1980

01/01/1984

3 01/01/2000

01/01/2004

4 T période= π ab =

N’oubliez pas de rendre la figure avec le tracé des aires.

En déduire la constante des aires C en ua2/an.


3. Enoncé de la troisième loi de Kepler (1619): Si a est le demi-grand axe de l’orbite

de la planète autour du soleil et T sa période, a3/T

2 est une constante pour

l’ensemble des planètes du système solaire.

The square of the orbital period of a planet is directly proportional to the

cube of the semi-major axis of its orbit.

Calculer ce rapport pour la comète de Halley ( et autres comètes) et les planètes

du système solaire y compris les planètes naines. Faire un tableau. Conclusion.

Représenter graphiquement l’évolution de a3 en fonction de T

2 avec Excel en

échelle linéaire. N’oubliez pas de mettre les étiquettes de données. Conclusion.

Représenter graphiquement ( format A4) l’évolution de a en fonction de T avec Excel en échelle logarithmique (log-log) pour les planètes du système

solaire, ainsi que la comète de Halley. N’oubliez pas de compléter votre

graphique (Etiquettes de données, échelles, titre ….).

Sur le même graphique, même question pour Jupiter et ses satellites, Saturne et ses satellites. Conclusion.

Démontrer la troisième loi de Kepler

et en déduire la masse du

soleil.

B. LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE

1. Déterminer la variation du vecteur-vitesse (à représenter en choisissant une échelle

convenable) de la comète en plusieurs points différents. date θ(°) r(u.a)

(mesuré)

x(u.a) y(u.a) Vitesse

(ua/j)

Vitesse

(km/s)

a

(km/s2)

21/12/1985 25/12/1985 29/12/1985 05/01/1986 10/01/1986 15/01/1986 20/01/1986 25/01/1986 30/01/1986 05/02/1986 10/02/1986 15/02/1986 20/02/1986 26/02/1986 01/03/1986 05/03/1986 10/03/1986

Echelle pour le vecteur-vitesse 5 km/s pour un cm (recommandé)


2. Montrer graphiquement que la force qui s’exerce sur la comète est une force centrale.

3. Montrer que cette force est en 1/r2. Tracer la courbe accélération en fonction de 1/r

2.

4. Que peut-on en conclure ?

5. Montrer que l’on peut alors déterminer la masse du soleil, la calculer et la comparer à

la vraie valeur en déterminant l’incertitude relative. Utiliser le solveur d’Excel.

C. CONSERVATION DU MOMENT CINETIQUE

1. Montrer que dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur moment

cinétique est conservé.

2. Faire un schéma et le montrer graphiquement.

3. Que peut-on dire du moment des forces appliquées sur la comète ?

4. Que peut-on en déduire ?

5. Montrer qu’il y a une relation vectorielle entre le moment cinétique et la vitesse

aréolaire.

6. Déterminer alors la norme du vecteur moment cinétique par unité de masse de la

comète.

7. Déterminer la constante des aires C.

D. CONSERVATION DE L’ENERGIE MECANIQUE

1. Vérifier la conservation de l’énergie mécanique totale (Faire un tableau). Vérifier en

utilisant la formule ci-dessous. Conclusion.

2. Représenter sur un graphique, l’énergie potentielle, l’énergie cinétique et l’énergie

totale de la comète sur une période.

3. Que peut-on dire du signe de l’énergie totale. Conclusion.

E. FORMULE DE BINET

a) Première loi de Binet et expression de la vitesse

Montrer que, pour un mouvement à accélération centrale, on a :

avec

l’inverse de la norme du rayon vecteur

Indication : écrire la vitesse en coordonnées polaires.


b) Deuxième loi de Binet et expression de l’accélération

Montrer que, dans le cas d’un mouvement sous l’action d’une force centrale,

l’accélération peut s’écrire :

Indication : écrire l’accélération en coordonnées polaires.

Un point matériel de masse m décrit sous l’action d’une force centrale la conique

d’équation polaire :

Montrer que l’énergie totale est donnée par :


http://www.softwaregeek.com/create-crochet-graph-patterns/p1.html

(Papier millimétré à télécharger) ou sous Google images.

http://www.softwaregeek.com/create-crochet-graph-patterns/p1.html


numéro Date

1 09/02/86

2 15/02/86

3 01/03/86

4 15/03/86

5 01/04/86

6 1/5/86

7 1/6/86

8 1/7/86

9 1/8/86

10 1/9/86

11 1/10/86

12 1/11/86

13 1/12/86

14 1/1/87

15 1/2/87

16 1/3/87

17 1/4/87

18 1/5/87

19 1/6/87

20 1/7/87

21 1/8/87

22 1/9/87

23 1/10/87

24 1/11/87

25 1/12/87

26 1/1/88

27 1/1/89

28 1/1/90

29 1/1/91

30 1/1/92

31 1/1/93

32 1/1/94

33 1/1/95

34 1/1/96

35 1/1/97

36 1/1/98

37 1/1/99

38 1/1/00

39 1/1/02

40 1/1/04

41 1/1/06

42 1/1/08

43 1/1/10

44 1/1/12

45 1/1/14

46 1/1/20

47 8/10/23

48 1/1/50

49 1/1/55

50 1/1/60

51 1/1/65

52 1/1/70

53 1/1/72

54 1/1/74

55 1/1/76

56 1/1/78

57 1/1/80

58 1/1/82

59 1/1/83

60 1/1/84

61 1/6/84

62 1/1/85

63 1/2/85

64 1/3/85

65 1/4/85

66 1/5/85

67 1/6/85

68 1/7/85

69 1/8/85

70 1/9/85

71 1/10/85

72 1/11/85

73 1/12/85

74 1/1/86

75 1/2/86


Annexe : Comment tracer un vecteur accélération ?

Comment tracer le vecteur accélération au point C ?

Tracer les vecteurs vitesse en B : et en D : , ces vecteurs vitesse étant

respectivement colinéaires à AC et CE, on pourra donc les tracer sur les segments en

pointillés AC et CE.

Déplacer le vecteur vitesse en B: et le mettre à l’extrémité du vecteur vitesse en D:

, en l’orientant dans le sens opposé, on utilisera un compas (voir traits de compas

sur la figure).

La variation du vecteur vitesse est donnée par la différence des deux vecteurs : .

Le vecteur accélération est colinéaire à la variation du vecteur vitesse, on pourra le

tracer en choisissant une échelle et le translater au point C.

-

D

E

A B

C


10/12/1985

16/12/1985

21/12/1985 25/12/1985

29/12/1985

05/01/1986

10/01/1986

15/01/1986

20/01/1986

25/01/1986

30/01/1986

05/02/1986

10/02/1986

15/02/1986

20/02/1986

26/02/1986

01/03/1986

05/03/1986

10/03/1986

09/02/1986

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

-0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Trajectoire de la comète de Halley

Trajectoire de la comète de Halley Excentricité e = 0.9673 Demi grand axe a = 17.83 ua Période T = 75.32 a

ua

Trajectoire de la comète de Halley Excentricité e = 0.9673 Demi grand axe a = 17.83 ua Période T = 75.32 a

ua


Annexe

Planète a (UA) Tsid (an) i (degré) e

Mercure 0.3871 0.2408 7.0 0.206

Vénus 0.7233 0.6152 3.4 0.007

Terre 1.0000 1.0000 -- 0.017

Mars 1.5237 1.8808 1.8 0.093

Jupiter 5.2026 11.862 1.3 0.048

Saturne 9.5547 29.457 2.5 0.056

Uranus 19.218 84.020 0.8 0.046

Neptune 30.109 164.77 1.8 0.009

a : demi-gransd axe ; i : inclinaison sur l'écliptique ; e excentricité de l'orbite de chacune

des 8 planètes, T : période de révolution sidérale .


Liste de quelques comètes à courte période numérotées.

---------------------------------------------------------------------------

comète périhélie q (UA) e i (°) P (ans)

---------------------------------------------------------------------------

1P/Halley 1986 Feb. 9.4 0.587 0.967 162.24 76.0

2P/Encke 2000 Sep. 9.7 0.340 0.847 11.76 3.30

3D/Biela 1852 Sep. 23.5 0.861 0.756 12.55 6.62

4P/Faye 1999 May 6.1 1.657 0.568 9.05 7.52

5D/Brorsen 1879 Mar. 31.0 0.590 0.810 29.38 5.46

6P/d'Arrest 1995 July 27.3 1.346 0.614 19.52 6.51

7P/Pons-Winnecke 1996 Jan. 2.4 1.256 0.634 22.30 6.37

8P/Tuttle 1994 June 25.2 0.998 0.824 54.69 13.5

9P/Tempel 1 2000 Jan. 2.6 1.500 0.519 10.54 5.51

10P/Tempel 2 1999 Sep. 8.4 1.482 0.523 11.98 5.47

alternate orbits: [epoch=1910-05-09.0] SAO/1910

select

Orbital Elements at Epoch 2449400.5 (1994-Feb-17.0) TDB

Reference: JPL J863/77 (heliocentric ecliptic J2000)

Element

Value Uncertainty (1-

sigma) Units

e 0.967142908462304 5.035e-09 a 17.8341442925537 3.8913e-08 AU

q 0.585978111516909 8.8924e-08 AU

i 162.262690579161 6.7791e-06 deg

node 58.42008097656843 9.0539e-06 deg

peri 111.3324851045177 1.1714e-05 deg

M 38.3842644764388 1.4226e-07 deg

tp

2446467.395317050925 (1986-Feb-

05.89531706) 4.7896e-06 JED

period

27509.1290731861 75.32

9.0034e-05 2.465e-07

d yr

n .01308656479244564 4.2831e-11 deg/d

Q 35.08231047359043 7.6546e-08 AU

Additional Model Parameters

Parameter Value Uncertainty (1-

sigma)

A1 [EST] 2.696463929511566E-

10 3.084E-11

A2 [EST] 1.554613388970244E-

10 3.205E-15

S0 [EST] 861.6729585598083 16.03

Orbit Determination Parameters # obs. used (total)

7428

data-arc span 57852 days (158.39 yr)

first obs. used 1835-08-21 last obs. used 1994-01-11

planetary ephem. DE405 SB-pert. ephem. SB405-CPV-2

fit RMS 1.0147 data source ORB

producer M.S.W. Keesey solution date 2001-Aug-02 13:51:39

Additional Information

Earth MOID = .0637815 AU T_jup = -0.605

(Source NASA 1P/ Halley comet)


Références :


(Histoire de la comète de Halley)

http://pdssbn.astro.umd.edu/volume/hal_0019/ephem/ephem.txt

http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?ID=c00001_0;orb=1;cov=0;log=0;cad=0#orb

(simulation java de la comète de Halley)

http://artemmis.univ-mrs.fr/im2/mecaspa/index.htm

(Mécanique spatiale)

http://www.minorplanetcenter.org/iau/MPEph/MPEph.html

(Éphémérides)

http://cometography.com/

http://lal.univ-lille1.fr/Documents_pedagogiques/OrbiteParPoVo.html

http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/donnees/comets/index.php


http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?ID=c00001_0;orb=1;cov=0;log=0;cad=0#orb

http://artemmis.univ-mrs.fr/im2/mecaspa/index.htm

http://www.minorplanetcenter.org/iau/MPEph/MPEph.html

http://cometography.com/

http://lal.univ-lille1.fr/Documents_pedagogiques/OrbiteParPoVo.html


INSTITUT

POLYTECHNIQU

E

DES SCIENCES

AVANCEES

Département de physique

MIN-PROJET

PHYSIQUE I THEOREME DU

MOMENT CINETIQUE :


(Module Ph 11-mp2)

(Edition 2014 - 2015)

INSTITUT POLYTECHNIQUE DES

SCIENCES AVANCEES

7 / 9, rue Maurice Grandcoing – 94200 Ivry Sur Seine * Tél. : 01.44.08.01.00 * Fax :

01.44.08.01.13

Etablissement Privé d’Enseignement Supérieur Technique – SIRET N° 433 695 632 00011 – APE

803Z

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