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2 MICRO-ECONOMIE Concepteur du cours: Ridha saâdallah Université Virtuelle de Tunis 2006
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    MICRO-ECONOMIE

    Concepteur du cours: Ridha sadallah

    Universit Virtuelle de Tunis

    2006

  • 3

    Introduction Gnrale

    Dans l'attente d'une dfinition formelle et prcise laquelle nous aboutirons la

    fin de cette partie introductive, nous pouvons commencer par affirmer que la Micro-

    conomie est une branche de l'Economie ; elle-mme une science sociale dont l'objet

    est l'tude de la socit sous l'angle de ses activits conomiques telles que la

    production, la consommation et l'change. Une socit vue sous cet angle est encore

    appele une conomie.

    I- Qu'est-ce qu'une conomie ?

    Une conomie est compose d'units trs nombreuses agissant chacune comme

    un centre de dcision autonome et lies entre elles par un rseau complexe

    d'interdpendances.

    1- Les dcideurs

    On distingue deux grandes catgories de centres de dcision appels aussi

    agents conomiques : Les mnages et les entreprises.

    - Un mnage est un individu ou un groupe d'individus vivant ensemble et agissant

    comme un centre de dcision unique en matire de consommation. La famille

    constitue l'exemple type de mnage. Mais un mnage peut aussi tre constitu

    d'individus sans lien de parent entre eux tels que des tudiants partageant le mme

    logement.

    - Les entreprises sont des organismes o se droule l'activit de production. Elles

    peuvent prendre la forme soit d'entreprises individuelles o le propritaire est lui-

    mme le grant de son affaire, soit de socits de personnes ou de socits de

    capitaux. Dans une conomie de proprit prive les entreprises sont possdes par les

    mnages.

    A ct de ces deux ples majeurs de l'conomie, on considre deux autres

    agents : l'Etat et l'Extrieur.

  • 4

    L'Etat assure plusieurs fonctions. Il exerce d'abord une fonction de rgulation

    qui consiste dicter les rgles de jeu et le cadre institutionnel dans lequel se

    droule l'activit conomique. L'Etat exerce aussi une fonction de production dans

    la mesure o certains biens et services sont produits dans les services administratifs

    relevant de l'Etat. Enfin l'Etat joue un rle de redistribution de la rpartition

    primaire des revenus. L'Etat peut par exemple juger inacceptable qu'une partie de la

    population reste sans ressources parce qu'elle ne peut pas trouver d'emplois. Il peut

    dans ce cas prlever des impts qui serviront financer le versement d'allocations

    de chmage cette frange de la population, reste sans emplois.

    Les mnages, les entreprises et l'Etat suffisent dcrire une conomie

    lorsqu'elle n'entretient pas de relations avec le reste du monde, c'est--dire

    lorsqu'elle est ferme. Au contraire dans une conomie ouverte, il faut y ajouter un

    quatrime agent qui regroupe toutes les entits extrieures qui sont en relation avec

    cette conomie : les exportateurs, les importateurs et les investisseurs trangers. Cet

    agent s'appelle l'Extrieur.

    2- Les biens et services

    Les entreprises produisent des marchandises telles que l'acier, le charbon, les

    chaussures, les ordinateurs, les avions civils et militaires. Ils sont appels les biens.

    Elles produisent aussi des produits non tangibles appels services. L'assistance

    fournie par un avocat, la consultation d'un mdecin, l'assurance et le transport sont

    autant d'exemples de services.

    Pour produire, les entreprises ont besoin de biens et services produits par

    d'autres entreprises : machines, matires premires et produits semi-finis. Elles ont

    aussi besoin de biens non produits appels ressources primaires tels que les diffrents

    types de travail manuel ou intellectuel, la terre et les minerais enfouis dans le sous-

    sol. Les biens produits ou non produits utiliss par les entreprises dans leur activit de

    production sont aussi appels facteurs de production.

    En dfinitive on peut synthtiser le fonctionnement de toute conomie par la

    transformation au sein d'entreprises d'un stock de ressources afin de produire des

    biens et services destins satisfaire les besoins des mnages.

    II- La raret des ressources

  • 5

    Toute socit et tout individu sont confronts au dsquilibre des besoins

    quasiment illimits et des ressources ncessairement limites. Mme les socits les

    plus dveloppes, parfois qualifies de socits d'abondance, n'ont pas atteint et ne

    sont mme pas proches datteindre cette situation utopique des ressources illimites.

    Aux Etats Unis, le pays le plus riche du monde, un simple ajustement du niveau de

    vie de l'Amricain moyen pour galer celui du mdecin moyen exigerait une

    multiplication du revenu national par 4 ou 5. Alors que dire de ce qu'exigerait la

    satisfaction de tous les dsirs de tous les citoyens amricains ?

    La raret c'est dire l'insuffisance des ressources par rapport aux besoins, est

    donc un phnomne incontournable aussi bien pour les socits dans leur ensemble

    que pour les individus qui les composent. Elle a une double consquence. D'une part

    elle donne un sens l'tude des lois qui rgissent les conomies, c'est--dire

    l'Economie. Elle contraint d'autre part tous les agents conomiques faire des choix

    entre les usages alternatifs des ressources.

    1- La raret fondement de l'Economie

    Imaginons un instant que nous nous trouvons dans une socit d'opulence o les

    ressources sont abondantes tel point que tous les dsirs des individus et mme leurs

    fantaisies peuvent tre satisfaits. Dans une telle socit l'offre dpasse la demande de

    chaque bien et de chaque service. Les prix deviennent nuls et il n'y aurait pas de biens

    conomiques. C'est donc la raret des ressources qui donne un sens l'tude des lois

    qui rgissent les conomies. En effet, c'est parce que les ressources sont rares qu'il y a

    un besoin de savoir comment les socits et les individus s'organisent pour grer cette

    raret et pour satisfaire au mieux leurs dsirs, dfaut de pouvoir les satisfaire tous.

    2- La raret et la ncessit des choix

    Parce que les ressources ne suffisent pas satisfaire tous les besoins, la socit

    comme les agents qui la composent sont contraints de faire des choix.

    La socit doit choisir les biens qu'elle veut produire. Les entreprises doivent

    aussi choisir combien et comment produire, alors que les mnages doivent choisir

    quoi consommer.

    A- Le choix de la socit

    La raret des ressources implique que la socit ne peut pas produire des

    quantits infinies de tous les biens. Elle doit faire des choix entre la multitude de

  • 6

    biens et services qu'elle peut produire. Dcider par exemple s'il faut produire

    beaucoup de produits alimentaires pour se nourrir ou beaucoup de matriel militaire

    pour se dfendre ; beaucoup de machines qui ne produiront des biens de

    consommation que plus tard ou beaucoup de biens de consommation courante tout de

    suite quitte limiter sa capacit de production future faute d'investissements

    suffisants.

    La raret des ressources implique aussi qu'une fois la socit a bien utilis ses

    ressources pour produire certaines quantits de tous les biens, elle ne peut plus

    augmenter la quantit produite d'un bien que si elle diminue la quantit produite d'au

    moins un autre bien. Ce ncessaire arbitrage entre les quantits produites des

    diffrents biens traduit l'existence d'un prix l'augmentation de la production de

    n'importe quel bien. Ce prix s'appelle cot d'opportunit (ou aussi cot de

    renonciation). Un exemple pour mieux saisir cette ide de cot d'opportunit.

    Supposons pour simplifier qu'une socit produit deux biens seulement : du bl et des

    voitures. Admettons qu'elle a dcid de produire 9 units de bl en utilisant une partie

    de ses ressources. Avec le reste, elle ne pourra produire qu'au plus 3 units de

    voitures. Elle peut produire moins si elle n'est pas bien organise. Mais mme

    lorsqu'elle est parfaitement bien organise (on dit qu'elle est efficiente) elle ne peut

    produire plus de trois units. Alors que faire si elle veut produire 4 units de voitures?

    La seule issue est d'accepter une production moindre de bl, 5 units par exemple.

    L'unit supplmentaire de voitures aura donc cot la socit 4 units de bl. On

    dira que lorsque la socit produit 9 units de bl et 3 units de voitures, le cot

    d'opportunit d'une unit supplmentaire de voitures est 4 units de bl.

    B- Le choix des entreprises

    Les entreprises doivent rpondre la question : comment produire ? C'est dire

    quelle technique utiliser pour produire un certain bien. Avec beaucoup de main

    duvre ou grce des procds automatiss ? Elles doivent aussi choisir quoi et

    combien produire.

    C- Le choix des mnages

    La raret des ressources s'applique galement aux consommateurs. Ils ne

    peuvent de toute vidence pas acheter tout ce dont ils ont envie avec les ressources

    qu'ils possdent. Ils doivent donc choisir comment affecter ce qu'ils ont entre les biens

    disponibles, c'est dire dcider quoi et combien consommer. Un autre choix que

    doivent faire les consommateurs est de dcider chaque priode le montant de leurs

    ressources qu'ils veulent consacrer la consommation de la priode courante, c'est

  • 7

    dire dcider s'ils veulent dpenser exactement leurs revenus, ou plus en empruntant ou

    moins en pargnant.

  • Dfinition et objet de la micro-conomie

    8

    III- Interdpendance des choix et mcanisme de coordination

    Nous avons expliqu comment la raret des ressources contraint les mnages

    comme les entreprises faire des choix. Ces choix sont ncessairement

    interdpendants.

    En effet, en choisissant les quantits qu'ils veulent consommer des diffrents

    biens, les consommateurs sont limits par les ressources dont ils disposent, en

    particulier par la quantit de travail qu'ils veulent et peuvent vendre aux entreprises.

    Or cette quantit dpend du choix des entreprises quant la technique utilise :

    beaucoup de main duvre ou peu de main duvre. Ainsi les choix des mnages

    dpendent des choix techniques des entreprises.

    De mme les entreprises en choisissant ce qu'elles veulent produire et en

    quelles quantits sont influences par les choix des consommateurs relativement aux

    biens et aux quantits qu'ils veulent consommer. Ainsi les choix des entreprises sont

    aussi dpendants des choix des mnages.

    L'interdpendance de cette multitude de dcisions pose la question du

    mcanisme pouvant assurer leur cohrence. Qu'est-ce qui fait que ce que des mnages

    trs nombreux sans consultation entre eux voudraient acheter gale exactement ce que

    de l'autre ct un trs grand nombre d'entreprises voudraient vendre ?

    Deux mcanismes peuvent assurer cette fonction de coordination :

    l'intervention autoritaire de l'Etat et le fonctionnement dcentralis du march.

    Dans une conomie planifie pure, c'est le bureau du plan qui fixe les biens

    produire, en quelles quantits et de quelle faon. C'est aussi l'Etat qui supervise la

    distribution des biens produits.

    Dans une conomie librale pure, c'est au march seul qu'incombe la

    responsabilit d'assurer la cohrence des dcisions sans intervention de l'Etat, si ce

    n'est la fixation des rgles du jeu.

    Mais comment le march parvient-il orchestrer comme d'une main invisible

    toutes ces dcisions ?

    Observons d'abord que le march d'un bien ou d'un service est entendu dans le

    sens le plus gnral d'un mcanisme par lequel les acheteurs et les vendeurs

    interagissent pour en dterminer le prix et la quantit change.

  • Dfinition et objet de la micro-conomie

    9

    Les deux ples principaux du march sont les consommateurs d'une part et les

    entreprises d'autre part.

    Sur le march des ressources, les consommateurs offrent du travail aux

    entreprises. Ils sont guids par un certain nombre de facteurs, tels que le besoin de se

    procurer un revenu ou le got pour le travail ou au contraire la prfrence pour le

    loisir. Mais le facteur principal qui conduit les consommateurs offrir une quantit

    plus ou moins grande d'une certaine ressource est son prix : plus le prix est lev, plus

    les consommateurs sont disposs offrir les ressources dont ils disposent.

    Les entreprises ont besoin de ces mmes ressources pour produire. Elles sont

    guides par leur propre intrt, cest dire par la recherche du profit. Plus le prix des

    ressources est lev, plus le cot de production est lev, ce qui, toutes choses tant

    gales par ailleurs, implique des profits plus faibles. Sur le march de chaque

    ressource il y aura confrontation entre une offre qui crot avec le prix et une demande

    qui dcrot avec le prix. Si le prix est trop lev, la demande serait insuffisante pour

    absorber toute l'offre. Les consommateurs qui n'arrivent pas vendre ce qu'ils

    voulaient vendre ce prix seraient disposs accepter un prix infrieur, ce qui

    encouragerait les entreprises demander plus de cette ressource. Il y aurait donc un

    moment o le prix galiserait l'offre et la demande. C'est le prix d'quilibre. On

    pourrait conduire un raisonnement similaire pour montrer comment on est amen

    l'quilibre partir d'une situation o le prix est trop bas.

    Les consommateurs et les entreprises vont se rencontrer aussi sur les marchs

    des produits. L, les consommateurs vont se dcider sur les biens et les services qu'ils

    demandent et sur les quantits demandes en fonction d'un certain nombre de facteurs,

    tels que leurs gots pour tel ou tel produit, l'utilit que leur procure l'acquisition de tel

    ou tel bien, le revenu dont ils disposent mais surtout le prix de chaque bien ou de

    chaque service. Plus le prix est lev, moins on en demande, toutes choses tant

    gales par ailleurs. Pour les entreprises qui offrent ces produits, le prix est une recette.

    Plus le prix est lev, plus elles sont disposes en produire pour les vendre aux

    consommateurs. Le mme mcanisme soulign propos des marchs des ressources

    conduit l'quilibre du march c'est dire la dtermination du prix auquel la

    quantit demande par les consommateurs est exactement gale celle offerte par les

    entreprises.

    Remarquons que d'aprs le raisonnement que nous venons de faire, l'quilibre

    sur chaque march ne dpend que de l'offre et de la demande sur ce mme march.

    Tous les marchs sont indpendants. Cette proprit ne tient cependant que si la

  • Dfinition et objet de la micro-conomie

    10

    demande et l'offre sur un march ne dpendent que du prix du bien chang sur ce

    march ou si les prix des autres biens sont supposs inchangs. Or la demande d'un

    bien dpend non seulement du prix de ce bien mais des prix d'autres biens. La

    demande de poisson peut augmenter par exemple lorsque le prix de la viande

    augmente parce que les mnages substituent le bien dont le prix n'a pas augment au

    bien dont le prix a augment. La demande de sucre peut aussi diminuer lorsque le prix

    du th augmente parce que les mnages en consommant moins de th, consomment en

    mme temps moins de sucre.

    De la mme faon l'offre d'un bien dpend ct du prix de ce bien des prix de

    tous les facteurs de production.

    Donc la recherche de l'quilibre sur chaque march pris isolment (quilibre

    partiel) ne vaut en toute rigueur que si les prix des autres biens restent inchangs. Elle

    reste cependant pratiquement justifie lorsque les effets indirects (de la variation des

    prix des autres produits) sont peu importants en regard de l'effet direct de la variation

    du prix du bien considr.

    Lorsqu'on ne veut pas faire cette hypothse de stabilit des autres prix, on ne

    peut plus trouver l'quilibre sur un march indpendamment de ceux qui s'tablissent

    sur les autres marchs qui deviennent ainsi interdpendants. La coordination des

    dcisions, donc l'galisation des quantits demandes et des quantits offertes de tous

    les biens, exige la rsolution simultane des quilibres sur tous les marchs c'est dire

    l'quilibre gnral de l'conomie.

    Arrivs ce point, il est temps de clore cette introduction en proposant dabord

    une dfinition prcise de l'Economie, en prcisant ensuite ce qui distingue la Micro-

    conomie des autres branches de l'Economie et en fournissant enfin une esquisse de

    son contenu.

    IV - Dfinition et objet de la micro-conomie

    En parlant de la raret des ressources en tant que fondement de l'Economie

    nous nous tions particulirement rapprochs de la dfinition de l'Economie. En effet

    presque toutes les dfinitions qui en sont proposes sont construites autour de cette

    notion-cl de ressources rares. La dfinition suivante due E.Malinvaud en est un

    exemple : "L'Economie est la science qui tudie comment des ressources rares sont

    employes pour la satisfaction des besoins des hommes vivant en socit ; elle

    s'intresse d'une part aux oprations essentielles que sont la production, la

  • Dfinition et objet de la micro-conomie

    11

    distribution et la consommation des biens, d'autre part aux institutions et activits

    ayant pour objet de faciliter ces oprations."

    Depuis les annes trente et sous l'influence d'un grand conomiste du nom de J-

    M. Keynes, l'Economie est subdivise en Micro-conomie et Macro-conomie. Plus

    que des domaines ou des compartiments de l'Economie, la Micro et la Macro sont des

    approches diffrentes et complmentaires de traitement des questions conomiques.

    L'approche micro-conomique traite son sujet en respectant l'individualit de

    chaque agent et surtout de chaque bien alors que l'approche macro-conomique ne

    s'intresse qu' des agrgats de biens et d'agents.

    La Micro-conomie s'intresse aux questions suivantes :

    1- Le comportement de chaque agent (consommateur, producteur) la base des

    dcisions d'offre et de demande portant sur des biens particuliers.

    2- La formation des prix sur des marchs particuliers par interaction des

    dcisions d'offre et de demande portant sur un mme bien et en supposant que les prix

    des autres biens sont inchangs (quilibre partiel).

    3- La dtermination simultane des prix, et des quantits produites, changes

    et consommes de tous les biens (quilibre gnral).

    4- La comparaison, du point de vue de la socit, entre diffrents tats de

    l'conomie, caractriss chacun par un vecteur particulier de quantits produites et

    consommes (thorie de l'optimum social).

    Cest la premire srie de ces questions quest consacr le prsent ouvrage. Il

    se subdivise en deux parties :

    La premire traite du comportement du consommateur. Elle dveloppe dans un

    premier chapitre la thorie des choix du consommateur. Elle en reprend les principaux

    rsultats pour construire dans le second chapitre la thorie de la demande.

    Le comportement du producteur, objet de la deuxime partie, est analys en

    trois chapitres. Le premier est rserv une prsentation de la contrainte technique

    qui simpose lentreprise dans ses choix des quantits produites et des quantits

    utilises des facteurs de production. Il introduit ainsi les notions densemble et de

    fonction de production. Dans le deuxime chapitre, nous supposons momentanment

  • Dfinition et objet de la micro-conomie

    12

    rsolue la question du choix de la quantit produire et nous nous intressons la

    thorie de la demande de facteurs de production, quantit doutput donne. Nous en

    dduisons la thorie des cots de production. Dans le troisime et dernier chapitre,

    nous revenons sur lhypothse prcdente et nous nous intressons la question de la

    dtermination du volume optimal de production, lorsque lentreprise opre sur des

    marchs dinputs et doutput qualifis de concurrentiels.

  • L'quilibre du consommateur

    13

    Premire Partie : Comportement du consommateur

    Chapitre I : Thorie des choix du consommateur

    Dans ce chapitre, nous allons expliquer comment le consommateur choisit

    parmi tous les biens et services disponibles dans l'conomie ceux qu'il dsire acqurir

    et en quelles quantits.

    I- Le modle des choix du consommateur

    Les choix du consommateur sont supposs obir une certaine rationalit:

    obtenir le maximum de satisfaction sous la contrainte que ses dpenses ne dpassent

    pas le revenu dont il dispose.

    Nous supposons que le consommateur est capable de comparer l'utilit ou la

    satisfaction que lui procure la consommation de deux paniers de biens diffrents.

    En supposant qu'il existe n biens dans l'conomie et en appelant x1, x2,.....,xn les

    quantits consommes des n biens, on leur associe un niveau de satisfaction S(x1,

    x2,...,xn).

    Les prix p1, p2,...., pn sont des donnes exognes, refltant l'hypothse qu'aucun

    consommateur ne peut influencer les prix par ses propres dcisions. La dpense totale

    p1x1 + p2x2 + ... + pnxn ne doit pas dpasser le revenu du consommateur, R. Cette

    contrainte est appele contrainte budgtaire.

    Le modle des choix du consommateur peut donc s'crire formellement comme

    la dtermination d'un panier de consommation *n

    ,x ... ,*2

    x ,*1

    x tel que :

    )n

    x , ... ,2

    x ,1

    (x )n

    x , ... ,2

    x ,1

    S(x )*n

    x , ... , *2

    x ,*1

    S(x

    sous la contrainte

    ni

    1i

    pi *i

    x R,

    o X dsigne lensemble des paniers de consommation physiquement possibles.

    La rsolution du modle permet de trouver, sous certaines conditions, les

    quantits consommes en fonction des variables exognes : prix et revenu. Ces

    fonctions xi = gi (p1, p2,...,pn, R) sont appeles fonctions de demande.

  • L'quilibre du consommateur

    14

    II- Ensemble des consommations possibles et contrainte budgtaire

    1- Ensemble des consommations possibles

    Si on se limite aux biens de l'conomie qui sont acquis par le consommateur, la

    seule limite aux possibilits de consommation est que la quantit acquise de chaque

    bien ne peut tre ngative. L'ensemble des possibilits de consommation est alors

    reprsent par la partie de Rn dont aucune composante n'est ngative (fig. 1.1- a) .

    Cependant, la thorie du consommateur peut utiliser le mme cadre pour

    reprsenter non seulement les biens acquis par les consommateurs mais aussi les

    prestations fournies par eux, en particulier le travail. Dans ce cas, une prestation est

    considre comme une consommation ngative et est donc compte ngativement. Si

    on se place dans le cas simple de deux biens dont le deuxime est le travail,

    l'ensemble des possibilits de consommation est reprsent par la partie du demi-plan

    correspondant des consommations non ngatives du premier bien et une

    consommation x2 de travail. La quantit de travail fournie est positive, elle est gale

    x2. Lide que le consommateur ne peut pas fournir plus dune quantit maximale de

    travail se traduit par la condition que x2 doit dpasser un minimum 2x (fig. 1.1- b).

    Figure 1.1 Ensemble des consommations physiquement possibles : (a) Les deux biens sont acquis. (b) Le bien

    2 peut tre fourni

    x1

    x2

    O

    (a)

    x1

    x2

    O

    (b)

  • L'quilibre du consommateur

    15

    x2

    x1

    2P

    R

    1P

    R

    M

    N P

    Figure 1.2 La contrainte budgtaire : le cas rgulier.

    O

    Sauf mention contraire, nous nous rfrons par la suite au cas classique o le

    consommateur ne fournit aucune prestation.

    2- Contrainte budgtaire

    A Le cas rgulier

    a La droite de budget

    Lorsque les choix du consommateur ne sont limits que par son revenu et quil

    nexiste ni taxes ni subventions (on parle alors de cas rgulier), la contrainte

    budgtaire est reprsente par l'inquation

    ni

    1i

    pi xi R.

    En se limitant deux biens, la contrainte budgtaire est reprsente par une

    droite, appele droite de budget (fig. 1.2).

    La droite de budget a pour quation :

    p1 x1 + p2 x2 = R ou x2 = - 2

    p1

    p x1 +

    2pR

    La pente de la droite de budget est donc gale en valeur absolue au rapport des prix

    des deux biens, appel aussi prix relatif. La ngativit de la pente signifie que pour un

    revenu donn, l'accroissement de la consommation d'un bien ne peut se faire qu'au

    dpens de la consommation d'un autre bien.

    B

    A

    P1x1 + p2x2 = R

  • L'quilibre du consommateur

    16

    La droite de budget coupe les axes en deux points A et B correspondant chacun la

    consommation dun seul bien. . Labscisse du point A reprsente la quantit maximale

    que peut consommer le mnage du bien 1, en lui consacrant la totalit de son revenu ;

    A( x1= 1

    PR , x2= 0). De mme, lordonne du point B, dsigne la consommation

    maximale du bien 2, lorsque le mnage lui consacre la totalit de son revenu ; B(

    x1=0, x2= 2

    PR ).

    La contrainte budgtaire rduit l'ensemble des possibilits de

    consommation. Le triangle au-dessous de la droite de budget reprsente les paniers de

    consommation qui satisfont l'inquation ci-dessus. A la frontire du triangle, cest

    dire sur la droite de budget, tout le revenu est puis alors qu' l'intrieur du triangle,

    la dpense est strictement infrieure au revenu. L'aire du premier quadrant situe au-

    dessus de la droite de budget correspond des consommations qui ne peuvent tre

    atteintes faute de moyens suffisants.

    b Dplacement de la droite de budget

    i - Si le revenu augmente alors que les prix relatifs sont inchangs, la droite de

    budget se dplace vers le haut paralllement elle-mme (fig. 1.3 -a).

    ii - Si le prix du bien 1 augmente, toutes choses tant gales par ailleurs, la

    pente augmente en valeur absolue (droite plus raide) et la droite de budget passe

    toujours par le point B (fig. 1.3 -b).

    iii - Si le prix du bien 2 augmente, ceteris paribus, la pente diminue en valeur

    absolue (droite plus aplatie) et la droite de budget passe toujours par le point A (fig.

    1.3 -c).

    iv - Si les deux prix augmentent dans la mme proportion, la pente de la droite

    de budget ne change pas, mais lordonne et labscisse lorigine diminuent. La

    droite de budget se dplace alors vers le bas, paralllement elle-mme.

    Une augmentation proportionnelle de tous les prix est donc quivalente une

    rduction dans la mme proportion du revenu. Elle est reprsente sur la figure 1.3 -a

    par le dplacement de la droite de budget de AB AB.

    v - Si les deux prix varient mais pas dans la mme proportion, la pente comme

    la position de la droite de budget varient. Par exemple si les deux prix augmentent,

    mais que le premier augmente plus que le deuxime, la droite de budget se dplace

  • L'quilibre du consommateur

    17

    vers le bas refltant la baisse du pouvoir dachat du revenu et devient plus raide

    puisque sa pente augmente en valeur absolue (fig. 1.3 -d).

    B La contrainte budgtaire en prsence de taxes ou de subventions :

    a - Impt direct sur le revenu

    Limposition du revenu ne modifie pas les prix relatifs et correspond donc

    simplement une rduction du revenu. La droite de budget se dplace donc vers le

    bas, paralllement elle-mme.

    Figure 1.3 Dplacement de la droite de budget. (a) Diminution quiproportionnelle de tous les prix, ou

    augmentation du revenu. (b) Augmentation du prix du bien 1 seulement. (c) Augmentation du prix du bien 2

    seulement.

    (d) Augmentation plus rapide du prix du bien 1.

    x2

    x1

    2P

    R

    1P

    R

    B

    B'

    A

    2P

    'R

    (c)

    O

    x2

    x1

    2P

    R

    '1P

    R

    1P

    R

    B

    A A'

    (b)

    O

    (a) x2

    x1

    2P

    R

    '1P

    R

    1P

    R

    B'

    A' A O

    B

    x2

    x1

    2P

    R

    1P

    R

    B

    B'

    A

    2P)1(

    R

    A'

    1P)1(

    R

    (d)

    O

  • L'quilibre du consommateur

    18

    Des allocations de revenu, comme les allocations familiales, agissent en sens

    inverse dun impt direct : la droite de budget se dplace vers le haut, paralllement

    elle-mme (fig. 1.3 -a).

    b - Impt indirect

    Limpt indirect, tel que limpt sur le chiffre daffaires ou la taxe sur la valeur

    ajoute, sanalyse du point de vue du consommateur comme une augmentation des

    prix. Lorsque limpt est uniforme cest dire quil frappe tous les biens en mme

    temps et au mme taux, son effet est alors identique une augmentation

    proportionnelle de tous les prix : la droite de budget se dplace paralllement elle-

    mme en se rapprochant de lorigine (fig. 1.3 -a). Si au contraire, les biens sont

    imposs des taux diffrents, alors la droite de budget se rapproche de lorigine, tout

    en changeant de pente (fig. 1.3 -d).

    c - Les subventions

    Lorsque les prix de certains biens sont subventionns, la subvention joue

    comme un impt ngatif : elle diminue le prix du bien objet de la subvention. La

    droite de budget se dplace vers le haut tout en changeant de pente si, comme cest

    gnralement le cas, la subvention nest pas uniforme (fig. 1.3 -d).

    C La contrainte budgtaire en prsence de subventions en nature ou de

    rationnement

    a - Les coupons dachat

    Il arrive que lEtat, jugeant insuffisant le revenu de certaines familles, leur

    accorde des coupons quelles peuvent utiliser pour acheter des biens de premire

    ncessit comme les produits alimentaires. Plusieurs modalits sont envisageables

    pour la distribution de ces coupons aux familles ncessiteuses. Nous en distinguerons

    trois :

    i - La distribution gratuite des coupons

    Groupons en deux les biens consomms : les biens alimentaires (1) et les autres

    (2). LEtat accorde un mnage ncessiteux des coupons dune valeur montaire V.

    Ils permettent dacqurir 1

    pV units de biens alimentaires.

  • L'quilibre du consommateur

    19

    Si la quantit consomme de biens alimentaires x1 est infrieure 1

    pV , le

    mnage dispose de tout son revenu pour lachat dune quantit 2

    pR des autres

    biens.

    Si x1 1

    pV sa contrainte budgtaire sexprime par :

    p1(x1 - 1

    pV ) + p2x2 = R p1x1 + p2x2 = R + V

    Elle est donc reprsente par une droite de pente : -2

    p1

    p (fig. 1.4 -a).

    ii - Lachat divisible de coupons subventionns

    Le mnage reoit une carte lui permettant dacheter des biens alimentaires

    dune valeur maximale V, un prix 1

    pVv infrieur au prix du march p1

    (1).

    A ce prix subventionn, le consommateur peut acheter, au maximum, 1

    pV

    units. Au-del il paie le prix normal p1.

    (1) Il en dcoule que V

    v doit tre infrieur lunit.

    Figure 1.4 (a) Distribution gratuite des coupons. (b) Achat divisible de coupons subventionns.

    (c) Achat indivisible de coupons subventionns..

    x2

    x1

    2P

    R

    1P

    V

    1P

    VR

    (a) x2

    x1

    2P

    vR

    1P

    V

    1P

    vVR

    (c) x2

    x1

    2P

    vR

    1P

    V

    1P

    vVR

    (a)

    O O O

  • L'quilibre du consommateur

    20

    Si x1 1

    pV la contrainte budgtaire est exprime par :

    x1 Vv p1 + p2 x2 = R

    Elle est reprsente par une droite ayant pour pente - 2

    p1

    pVv

    infrieure en valeur

    absolue 2

    p1

    p (fig. 1.4 -b).

    Si x1 1

    pV la contrainte budgtaire devient :

    1

    pV .

    1p

    Vv + (x1 -

    1pV ) p1 + x2 p2 = R p1 x1 + p2 x2 = R + V v

    La droite de budget a, sur cet intervalle, la mme pente que la droite de budget

    sans subvention (fig. 1.4 -b).

    iii - Lachat indivisible de coupons subventionns

    Contrairement au cas prcdent, les coupons dune valeur V sont achets en un

    seul bloc un prix v < V. Ils permettent dacheter un maximum de 1

    pV units de biens

    alimentaires. Si le mnage en achte moins, les coupons restants sont simplement

    inutiliss.

    Si x1 1

    pv le mnage nachte pas les coupons parce quil ne dpenserait

    ainsi que p1x1 < v. Lquation de sa contrainte budgtaire est alors :

    p1 x1 + p2 x2 = R

    Si 1

    pv x1

    1pV la dpense en biens alimentaires est constante ; elle est

    gale v. Le reste du revenu R-v permet dacheter x2 = 2

    pvR

    .

    Il faut noter que les coupons ne sont pleinement utiliss qu la limite, cest dire

    lorsque x1 = 1

    pV .

    Si x1 1

    pV le consommateur achtera les

    1pV premires units avec des

    coupons qui cotent v et le reste, x1-1

    pV , au prix p1. Sa contrainte budgtaire

    est donne par :

  • L'quilibre du consommateur

    21

    (x1 -1

    pV ) . p1 + x2 . p2 = R v

    p 1 . x1 + p2 . x2 = R + V v

    La courbe de budget est alors reprsente par deux segments de droite de mme

    pente (-2

    p1

    p) , spars par un segment de droite horizontale (fig. 1.4 -c).

    b - Le rationnement

    Un mnage est rationn lorsquil ne peut acheter au prix courant toute la

    quantit qu'il dsire. On peut distinguer deux cas de rationnement : Dans le premier,

    le mnage ne peut absolument pas dpasser une certaine quantit du bien rationn.

    Cest par exemple le cas dun bien import et distribu dans des magasins contrls

    des mnages disposant dune carte de rationnement. Dans le deuxime cas, le mnage

    a la possibilit de complter ses achats au prix de rationnement, en sadressant au

    march parallle, ou march noir. Il paiera bien sr un prix plus lev.

    i - Le rationnement absolu

    Lensemble des choix est contraint, en plus de la contrainte budgtaire, par une

    contrainte physique du type x1 1x et/ou x2 2x . La figure 1.5 -a reprsente le cas o

    seule le premier bien est rationn.

    ii - Le rationnement suppl par le march parallle

    Le mnage peut acheter jusqu 1

    x un prix subventionn p10. Au del il paie

    le prix des marchs p1 > p10.

    La contrainte budgtaire a deux expressions suivant que la quantit consomme

    est infrieure ou suprieure 1x .

    Si x1 1x 01

    P x1+ p2 x2 = R

    Si x1 1x 01

    P

    1x + p1 (x1 -

    1x ) + p2x2 =R

    p1 x1 + p2 x2 = R + (p1 01P ). 1x

    La figure 1.5 -b donne une reprsentation graphique de la contrainte budgtaire

    correspondant ce cas.

  • L'quilibre du consommateur

    22

    III- La reprsentation des gots des consommateurs : utilit et relation de

    prfrence

    1- La fonction d'utilit

    Pour reprsenter les prfrences ou les gots des consommateurs, les

    conomistes ont d'abord eu recours la notion d'utilit. Le consommateur achte un

    certain bien parce qu'il lui procure une certaine satisfaction. S'il prfre un sandwich

    une place de cinma, dans certaines circonstances, c'est que le sandwich lui procure

    plus d'utilit que le film. Formellement, on dfinit sur l'ensemble des consommations

    possibles une fonction S, dite fonction d'utilit qui associe chaque panier de

    consommation ( 01

    x , ..., 0n

    x ) une valeur S( 01

    x , ..., 0n

    x ), suppose constituer un bon

    indicateur de lutilit procure au consommateur par ce panier particulier.

    Si la notion d'utilit correspond bien l'intuition, elle n'est pas cependant sans

    poser un problme srieux, celui de la mesure. En effet, l'utilit est subjective et

    difficilement mesurable.

    Les conomistes ont d'abord raisonn comme si l'utilit tait mesurable et ont

    construit des fonctions d'utilit cardinales o l'utilit est mesure en termes d'units

    appeles "utils".

    Figure 1.5 (a) Rationnement absolu du bien 1. (b) Rationnement du bien 1 suppl par le march

    parallle.

    x2

    x1

    2P

    vR

    1P

    v

    1P

    V

    1P

    vVR

    1P

    V

    1P

    V

    2P

    R

    1P

    V

    (a) (b) x2

    x1

    2

    10

    1

    P

    xPR

    1x

    2P

    R

    1P

    V

    2

    01

    P

    P

    2

    1

    P

    P

    11

    011

    1

    xP

    PP

    P

    R

    O O

  • L'quilibre du consommateur

    23

    Les conomistes modernes se sont nanmoins dbarrasss de cette vision peu

    raliste et raisonnent maintenant en termes d'utilit ordinale. Ils supposent seulement

    qu'il est possible d'ordonner les satisfactions procures par deux paniers diffrents de

    consommation, sans attacher chacun des deux paniers un nombre particulier d'utils.

    La conception ordinale de l'utilit signifie que la fonction S n'est dfinie qu' une

    transformation monotone croissante prs : Si S ordonne deux paniers x1 et x

    2 tel que

    S(x1) < S(x

    2) et si est une transformation monotone croissante, la nouvelle fonction

    d'utilit U = (S) conserve l'ordre d'utilit des deux paniers x1 et x

    2 : U(x

    1) < U(x

    2).

    2- Sens de variation de la fonction d'utilit

    1) L'utilit augmente avec la consommation. En outre, il n'y a pas de limite

    suprieure l'utilit. Toute augmentation de consommation augmente la satisfaction.

    On dit qu'il y a absence de saturation.

    2) L'utilit de la premire unit consomme est plus leve que celle retire de

    la consommation de la seconde unit et ainsi de suite. L'utilit crot donc avec la

    consommation mais un taux dcroissant. L'utilit additionnelle procure par la

    Figure 1.6 Transformation monotone croissante dune fonction

    dutilit

    S

    U

    U(x1)

    Ux2)

    S(x1) S(x

    2)

    A

    B

    O

  • L'quilibre du consommateur

    24

    consommation d'une unit supplmentaire est appele utilit marginale. Cette

    hypothse exprime le principe de la dcroissance de l'utilit marginale.

    3- Utilit et ordre de prfrences

    La fonction d'utilit introduit une relation de prfrences sur l'ensemble des

    consommations possibles. On dit qu'un panier de consommation x1 est prfr un

    panier x2 ou lui est quivalent si et seulement si S(x

    1) S(x

    2). On note cette relation

    .

    x1 x2 S(x1) S(x2)

    On en dduit que x1 x2 (se lit x1 strictement prfr x2) si S(x1) > S(x2)

    En effet x1 x2 x1 x2 mais non x2 x1

    S(x1) S(x

    2) et non S(x

    2) S(x

    1)

    S(x1) > S(x

    2)

    On en dduit aussi que

    x1 ~ x

    2 (se lit x

    1 quivalent x

    2) si x

    1 x2 et x2 x1. En effet cette condition

    implique : S(x1) S(x

    2) et S(x

    2) S(x

    1) S(x

    1) = S(x

    2)

    La relation ~ est une relation d'quivalence, tous les paniers quivalents entre eux

    formant une classe d'quivalence.

    4- Courbes d'indiffrence

    A Notion de courbe et de carte dindiffrence

    Soit un panier de consommation x1 qui procure un niveau de satisfaction S0. Le

    consommateur peut accepter moins d'un bien contre plus d'un autre bien et garder le

    mme niveau de satisfaction. Par exemple, il peut accepter d'avoir 2 kg de viande de

    moins pour une paire de chaussures de plus. Ceci exprime une proprit frquemment

    rpandue dans l'conomie : les biens sont substituables entre eux du point de vue de

    leur facult de procurer de la satisfaction au consommateur. Comment se fait donc

    cette substitution ?

  • L'quilibre du consommateur

    25

    Nous allons considrer, pour simplifier, des paniers de consommation o les

    quantits consommes de tous les biens l'exception de deux, 1 et 2, sont inchanges.

    On sintresse alors toutes les combinaisons de consommation de ces deux biens

    (x1, x2) qui donnent la mme satisfaction. Ces combinaisons sont reprsentes dans le

    plan (x1, x2) par une courbe 0C . Parce que les paniers de consommation reprsents

    par des points sur la courbe 0C donnent tous la mme satisfaction, ils sont tous

    quivalents. Par exemple x1 ~ x

    2. Le consommateur est indiffrent entre tous ces

    paniers. C'est pourquoi cette courbe est appele courbe d'indiffrence (figure 1.7).

    Lorsqu'on fait varier le niveau de satisfaction on obtient d'autres courbes

    d'indiffrence, correspondant chacune un certain niveau de satisfaction. Par exemple

    la courbe 1C situe au-dessus de 0C correspond tous les paniers de consommation

    donnant un niveau d'utilit S1 > S0. Par contre la courbe 2C situe au-dessous de 0C

    reprsente les paniers de consommation procurant une satisfaction S2 < S0.

    L'ensemble des courbes d'indiffrence d'un mme consommateur forment sa carte

    d'indiffrence (fig. 1.8).

    B Une proprit importante des courbes dindiffrences

    Figure 1.7 Courbe dindiffrence

    x1

    x2

    1

    jx

    2

    jx

    1

    1x

    21x

    x2

    x2

    C

    0

    O

    Figure 1.8 Carte dindiffrence

    x1

    x2

    c

    C

    1

    C

    2

    O

  • L'quilibre du consommateur

    26

    Les courbes d'indiffrence ne se coupent pas. Dmontrons cette proprit par

    labsurde : Soit en effet deux courbes dindiffrence 0C et 1C correspondant deux

    niveaux dutilit S0 et S1 (figure 1.9). Soit maintenant trois paniers x1 , x

    2 et x

    3 tels

    que :

    x1 0C , x

    2 1C et x

    3 0C 1C .

    Supposons encore que S1 > S0.

    x1 0C et x

    3 0C x

    1 ~ x

    3

    x2 1C et x

    3 1C x

    2 ~ x

    3,

    En vertu de la transitivit de la relation d'quivalence, on dduit que x1 ~ x

    2 ; ce qui

    est impossible puisque S(x1) est par hypothse strictement infrieur S(x

    2).

    C Forme des courbes dindiffrence

    La courbe dindiffrence tant une reprsentation de tous les paniers considrs

    par le consommateur comme quivalents, donc procurant la mme utilit, la forme de

    cette courbe reflte la manire avec laquelle des quantits de diffrents biens

    contribuent procurer un certain niveau de satisfaction au consommateur.

    a La complmentarit parfaite

    On imagine que pour certains biens, la satisfaction ne peut augmenter que si la

    consommation de tous ces biens augmente en mme temps et dans les mmes

    proportions. Si par exemple 100 g de th et 500 g de sucre procurent ensemble un

    certain niveau de satisfaction, avoir 200 g de th avec la mme quantit de sucre,

    x1

    x2 x3

    C0

    x1

    x2

    C1

    Figure 1.9 Absurdit de l'intersection de deux courbes

    d'indiffrence

    O

  • L'quilibre du consommateur

    27

    laisse le niveau de satisfaction inchang. Pour que ce dernier augmente, il faut que le

    doublement de la quantit consomme de th soit accompagn dun doublement de la

    quantit de sucre. Le th et le sucre doivent dans ce cas tre combins dans des

    proportions fixes pour procurer des niveaux de satisfaction diffrents. Ils sont pour

    cette raison qualifis de parfaitement complmentaires.

    La fonction dutilit reprsentant un tel systme de prfrences est exprime

    par :

    S (x1 , x2) = Min (2

    a2

    x ,

    1a1

    x)

    o a1 et a2 sont les quantits minimales des deux biens qui procurent un niveau

    dutilit unitaire.

    Il est clair que la complmentarit parfaite exclut toute substitution entre les

    biens du point de vue de leur facult procurer de lutilit au consommateur,

    puisquon ne peut garder le mme niveau dutilit en diminuant la quantit

    consomme dun bien et en augmentant la quantit consomme de lautre.

    La courbe dindiffrence est reprsente par une querre dont le sommet

    indique les quantits minimales quil faut consommer des deux biens pour atteindre le

    niveau dutilit correspondant (figure 1.10). En ce point, la courbe dindiffrence

    nest pas diffrentiable.

    b La substitution parfaite

    S = 1

    S = 3

    a2

    a1

    x2

    x1

    Figure 1.10 Courbe dindiffrence entre des biens

    parfaitement complmentaires.

    O

  • L'quilibre du consommateur

    28

    A loppos de la complmentarit parfaite, donc de labsence totale de

    substitution, se trouve le cas de la substitution parfaite. Dans ce cas, la satisfaction du

    consommateur reste toujours inchange si on substitue une quantit donne dun

    bien, une quantit constante dun autre bien.

    Par exemple, le consommateur pourra trouver que sa satisfaction ne change pas

    si on lui donne deux kilogrammes de farine de plus et quon lui retire simultanment

    un kilogramme de semoule, et ce quelle que soit la quantit quil possde dj de

    farine et de semoule. En reprsentant la consommation de semoule en abscisse (x1) et

    celle de farine en ordonne (x2), une courbe dindiffrence est reprsente par une

    droite de pente 2 (fig. 1.11 - a).

    La fonction dutilit correspondant ce cas est reprsente par :

    S (x1 , x2) = a1x1 + a2x2 Un cas particulier de substitution parfaite correspond la substitution des deux

    biens dans le rapport 1/1.

    Il sagit alors dun mme bien du point de vue du consommateur puisquune

    unit dun bien contribue lutilit exactement autant quune unit de lautre bien.

    c La substitution imparfaite

    La substitution parfaite constitue un cas extrme. Il est plus naturel de supposer

    que la quantit que le consommateur exige dun bien pour accepter de cder une unit

    de lautre bien ne soit pas la mme suivant quil a beaucoup ou trs peu du bien cd.

    Figure 1.11 Courbe dindiffrence : (a) entre deux biens parfaitement substituables. (b) entre

    deux biens imparfaitement substituables.

    x2

    x1

    +2

    -1

    A

    (a) (b) x2

    x1

    A

    B +1

    +2

    -1 -2

    B

    O O

  • L'quilibre du consommateur

    29

    Dans ce cas, la courbe dindiffrence nest plus une droite mais elle est incurve (fig.

    1.11-b).

    Au point A, lorsque le consommateur a relativement peu du premier bien et

    beaucoup du deuxime, il est prt cder une unit du bien 1 contre deux units du

    bien 2. Mais lorsquil a relativement beaucoup du bien 1 (point B), il devient prt

    cder deux units du bien 1 contre seulement une unit supplmentaire du bien 2.

    Lexistence dun certain degr de substitution fini et non nul est le cas le plus

    couramment considr en conomie. Remarquons que plus la substitution est forte,

    plus la courbe dindiffrence est vase , se rapprochant dune droite, cest dire

    de la substitution parfaite. Au contraire, plus la substitution est faible, plus la courbe

    dindiffrence est resserre , se rapprochant de la courbe en querre caractristique

    de labsence de substitution (fig. 1.12).

    5- Taux Marginal de substitution

    En se dplaant le long d'une courbe d'indiffrence de gauche droite (fig.1.13)

    on substitue du bien 1 (bien alimentaire) au bien 2 (vtements) c'est--dire qu'on

    consomme de moins en moins de vtements et de plus en plus de biens alimentaires.

    En se dplaant de droite gauche on substitue au contraire le bien 2 au bien 1.

    Soit un panier de consommation reprsent par le point A( 01

    x , 02

    x ) et procurant

    une satisfaction S0.

    x2

    x1

    (a) x2

    x1

    (b)

    Figure 1.12 Courbe dindiffrence et de degr de substitution : (a) Substitution

    forte. (b) Substitution faible.

    O O

  • L'quilibre du consommateur

    30

    Considrons maintenant une petite augmentation x2 du bien 2. Pour que la

    satisfaction ne change pas, il faut qu'il y ait diminution de la consommation du bien 1.

    Soit x1 < 0 cette diminution. Cette substitution du bien 2 au bien 1 est reprsente

    par le dplacement du point A un point B proche de A et situ sur la mme courbe

    dindiffrence (figure 1.13-a).

    Le rapport 1

    2x

    x

    est appel taux marginal de substitution du bien 2 au bien 1

    entre les points A et B de la courbe dindiffrence. Il est not TMS2/1(A, B).

    Gomtriquement, il est reprsent par la valeur absolue de la pente de la droite qui

    relie les points A et B.

    Le TMS2/1 exprime ainsi la quantit du bien 2 que le consommateur exige si on

    lui demande de cder une unit supplmentaire du bien 1 (x1 = -1). Cest donc la

    valeur psychologique quattache le consommateur une unit du bien 1. Cette valeur

    est exprime en units du bien 2.

    Lorsque la variation de la consommation est infinitsimale, le point B devient

    voisin de A (figure 1.13-b). Le TMS du bien 2 au bien 1 au voisinage du point A,

    not TMS2/1(A), dsigne la valeur au point A du rapport 1

    dx2

    dx

    . Il est alors reprsent

    par la valeur absolue de la pente de la tangente au point A la courbe d'indiffrence

    dans le plan (x1,x2).

    x1

    x2

    A

    B

    01x

    01x + x1

    02x

    +

    x2

    02x

    O

    Figure 1.13 Taux marginal de substitution

  • L'quilibre du consommateur

    31

    Le TMS du bien 1 au bien 2 est gal au rapport2

    dx1

    dx

    . Il est, par dfinition,

    linverse du TMS du bien 2 au bien 1. Il est mesur par la valeur absolue de la pente

    de la tangente la courbe dindiffrence, mais dans le plan (x2 , x1).

    TMS1/2 . TMS2/1 = 1

    6- Proprits du Taux Marginal de Substitution.

    i - Le taux marginal de substitution du bien 2 au bien 1 est gal au rapport de

    l'utilit marginale de 1 celle de 2, ou encore la dsirabilit relative du bien 1 par

    rapport au bien 2 : '2

    S

    '1

    S.

    Considrons en effet la diffrentielle totale de la fonction de satisfaction au

    point ( 01

    x , 02

    x ).

    2.dx

    2x

    )02

    ,x01

    S(x

    1.dx

    1x

    )02

    ,x01

    x S( ) 0

    2x ,0

    1x dS(

    La variation le long de la courbe d'indiffrence implique que dS = 0 0

    2dx'

    2S

    1dx'

    1S

    2dx'

    2S

    1dx'

    1S

    '2

    S

    '1

    S =

    1dx

    2dx

    -

    ii - Le taux marginal de substitution d'un bien 2 un bien 1 dpend des

    quantits consommes (x1, x2). La pente de la tangente la courbe dindiffrence au

    point A nest pas la mme que la pente de la tangente au point B (figure 1.14).

    Figure 1.14 Dcroissance du taux marginal de

    substitution

    x1

    x2

    A

    B

    C0

    O

  • L'quilibre du consommateur

    32

    Le TMS est donc variable le long de la courbe dindiffrence. Mais dans quel

    sens varie-t-il ?

    Rappelons- nous que le TMS2/1 mesure la valeur subjective dune unit du bien

    1 exprime en units physiques du bien 2. Il est alors raisonnable de supposer que

    lorsquun consommateur a trs peu du bien 1(point A de la figure 1.14-a) il exige en

    contrepartie dune unit de ce bien une quantit relativement importante du bien 2. Au

    contraire lorsque le bien 1 est en abondance chez le consommateur, il accepterait de

    cder une unit de ce bien mme pour une quantit relativement faible du bien 2

    (point B de la figure 1.14-a). En rgle gnrale, plus on a dun bien, plus on est prt

    renoncer une plus grande quantit de ce bien en contrepartie dune petite

    augmentation de la consommation dun autre bien. Dans ce cas le rapport

    1dx

    2dx

    diminue mesure que x1 augmente. Le TMS2/1 est une fonction dcroissante de

    x1 et croissante de x2. La tangente la courbe d'indiffrence commence par tre

    presque verticale (pente trs leve) et finit par tre presque horizontale (pente

    presque nulle).

    La dcroissance du TMS signifie aussi que la courbe d'indiffrence tourne sa

    concavit vers le haut (elle est dite convexe) et que le consommateur prfre toujours

    une composition intermdiaire entre deux paniers chacun des deux paniers extrmes

    (figure 1.15). La fonction d'utilit qui satisfait cette proprit est dite strictement

    quasi-concave.

    x2

    x1

    x1

    x2

    x = x1 + (1 - ) x

    2

    C0

    S(x) > S(x1) = S(x

    2)

    Figure 1.15 Convexit de la courbe d'indiffrence

    O

  • L'quilibre du consommateur

    33

    Soit en effet deux paniers x1 et x

    2 , tels que S(x

    1) = S(x

    2) = S0.

    et soit x = x1 +(1-)x

    2 avec 0 0

    Le taux marginal de substitution de 2 1, associ la nouvelle fonction

    dutilit U, not "" est gal :

    = '2

    U

    '1

    U =

    '2

    S '

    '1

    S ' =

    '2

    S

    '1

    S = t

    On en dduit que si "t" est dcroissant, " " lest aussi. La dcroissance du

    TMS est donc une notion ordinale.

    7 - Exemples de fonctions dutilit

    On distingue plusieurs types de fonctions dutilit, constituant des

    reprsentations diffrentes des prfrences du consommateur.

  • L'quilibre du consommateur

    34

    Nous avons dj oppos les fonctions dutilit suivant quelles supposent ou

    non la substituabilit des biens pour procurer un mme niveau dutilit.

    On peut aussi les distinguer suivant quelles supposent ou non linfluence de la

    quantit consomme dun bien sur lutilit marginale d'un autre bien. Dans le cas o

    cette influence est absente, la fonction dutilit est dite additivement sparable. Elle

    est de la forme : S(x1 , x2) = u(x1) + v(x2).

    Le cas dune fonction dutilit biens parfaitement substituables constitue un

    cas particulier dune fonction additivement sparable : les deux fonctions u(x1) et

    v(x2) sont linaires.

    Un autre cas particulier de fonction dutilit additivement sparable est celui o

    lune des fonctions u et v est la fonction "identit" u(x1) = x1 ou v(x2) = x2.

    Considrons par exemple une fonction dutilit du type :

    S(x1 , x2) = x2 + u(x1)

    Elle a pour proprit que les courbes dindiffrence sont homothtiques, cest

    dire que la distance mesure verticalement entre deux courbes dindiffrence est

    constante.

    Soit en effet 0C la courbe dindiffrence ayant pour quation :

    S(x1 , x2) = x2 + u(x1) = k0 ou x2 = - u(x1) + k0 et soit 1C la courbe

    dindiffrence correspondant un niveau dutilit suprieur k1, son quation est :

    x2 = - u(x1) + k1

    La distance mesure verticalement entre 0C et 1C pour une consommation 01

    x

    est :

    - u( 01

    x ) + k1 [-u(01

    x ) + k0] = k1 k0

    On observe que cette distance ne dpend pas de x1. Elle est donc constante

    quelle que soit x1.

  • L'quilibre du consommateur

    35

    Le cas le plus gnral est cependant celui o la quantit consomme dun bien

    peut avoir un effet sur lutilit marginale de lautre. La fonction dutilit est alors non

    sparable. Un exemple frquemment utilis de fonction dutilit non sparable est la

    fonction Cobb-Douglas. Elle est de la forme :

    2

    x1

    ax )2

    x,1

    S(x

    IV- L'quilibre du consommateur

    1- La condition d'quilibre

    Le consommateur cherche utiliser le revenu dont il dispose de manire

    obtenir le maximum d'utilit. Les biens qu'il peut acheter sont caractriss par des

    utilits diffrentes et des prix diffrents.

    En divisant les utilits marginales par les prix, on obtient l'utilit marginale

    procure par le dernier dinar dpens acheter les diffrents biens. Supposons qu'il

    existe deux biens 1 et 2 tels que 1

    P

    '1

    S>

    2P

    '2

    S. Il est clair que le consommateur

    x2

    x1

    C1

    C0

    k1

    k0

    k1 - k0

    01x

    Figure 1.16 Courbes d'indiffrence homothtiques

    O

  • L'quilibre du consommateur

    36

    augmenterait son utilit totale en transfrant un dinar de l'achat du bien 2 l'achat du

    bien 1. En ce faisant, '1

    S diminue et '2

    S augmente. L'cart entre les utilits marginales

    du dernier dinar se rtrcit. S'il est toujours positif, le consommateur a intrt

    rpter la mme opration. Donc, le consommateur, soucieux de maximiser son

    utilit, continue de transfrer du revenu vers le bien 1 jusqu' ce que son utilit

    marginale par dinar dpens soit la mme que celle du bien 2.

    On trouve ainsi la condition fondamentale d'quilibre suivante :

    Pour un revenu et des prix donns, le consommateur obtient le maximum

    d'utilit lorsque l'utilit marginale du dernier dinar dpens acheter un bien est la

    mme que celle du dernier dinar dpens acheter n'importe quel autre bien.

    ip

    'i

    S =

    jp

    'j

    S

    = Cte i, j = 1,...,n.

    La valeur commune de ces rapports mesure l'utilit marginale procure par un dinar

    supplmentaire de revenu dpens acheter n'importe quel bien. Elle est pour cela

    appele l'utilit marginale du revenu.

    2- Dtermination gomtrique de l'quilibre.

    Revenons la carte d'indiffrence du consommateur. Elle est constitue d'une

    srie de courbes d'indiffrence correspondant chacune un niveau d'utilit particulier.

    Le dsir de maximiser l'utilit se traduit par la recherche de la courbe d'utilit la plus

    loigne possible de l'origine.

    Nous savons cependant que le consommateur est contraint par son revenu et

    que certaines courbes d'indiffrence sont inaccessibles, parce que correspondant des

    dpenses suprieures au revenu.

    Pour satisfaire la contrainte budgtaire, le consommateur doit donc chercher

    se placer sur une courbe qui est en contact avec la droite de budget et qui soit aussi

    loigne que possible de l'origine.

  • L'quilibre du consommateur

    37

    Nous savons cependant que le

    Supposons que le consommateur choisit de se placer sur une courbe

    d'indiffrence qui coupe la droite de budget en 2 points A et B. Ces deux points

    correspondent des plans de consommation quivalents et sont budgtairement

    ralisables. Nous savons cependant d'aprs la proprit de convexit des courbes

    d'indiffrence, que ni A ni B ne maximisent l'utilit et que tout point intrieur

    l'intervalle ]A,B[ procure une satisfaction suprieure tout en tant budgtairement

    possible. Le consommateur n'atteint donc le maximum d'utilit que si la courbe

    d'indiffrence qu'il choisit a un seul point de contact avec la droite de budget.

    L'quilibre est donc atteint au point de tangence de la droite de budget avec l'une des

    courbes d'indiffrence (point E).

    L'quilibre E est donc caractris par l'galit des pentes de la droite de budget

    et de la tangente la courbe d'indiffrence.

    2p

    1p

    = (E)'

    2S

    (E)'1

    S = TMS2/1 (E)

    On peut vrifier que cette condition d'galit des rapports des prix et du taux

    marginal de substitution est la mme que la condition d'galit des utilits marginales

    du dernier dinar utilis l'achat de diffrents biens:

    1p

    '1

    S =

    2p

    '2

    S

    '2

    S

    '1

    S =

    2p

    1p

    x2

    x1

    A

    E

    B

    Figure 1.17 Equilibre du consommateur.

    O

    0C

    1C

    2C

  • L'quilibre du consommateur

    38

    3- Dtermination analytique de l'quilibre

    Notons tout d'abord qu' l'quilibre tout le revenu est consomm. Graphiquement, on le voit en observant que le point d'quilibre est situ sur la droite de budget. On le dmontre aussi par l'absurde.

    En effet, supposons qu' l'quilibre x*, on a R < *ixiP xiPiPi . On peut alors accrotre avec le revenu restant la consommation de certains biens sans en diminuer celle d'aucun autre bien. L'utilit totale augmente, ce qui contredit lhypothse que x* correspond au maximum d'utilit. Nous remplaons donc dans le problme de maximisation de l'utilit la contrainte pi xi R par la contrainte pi xi = R.

    On montre en mathmatiques que la maximisation de la fonction S(x) sous la contrainte pi xi = R quivaut la maximisation de la fonction L(,x) = S(x) + [R-pi xi] o est un scalaire non ngatif.

    est appel multiplicateur de Lagrange et la fonction L est dite Lagrangien.

    Si le point correspondant l'utilit maximale, x*, est intrieur l'ensemble des consommations possibles (cest dire que toutes ses composantes sont strictement

    positives), une condition ncessaire du premier ordre de maximisation de la fonction L est que toutes ses drives partielles premires au point x* sont nulles :

    0 = *ixiPR =

    Let n , ... 1, = i 0 = iP*)*(x'iS = ixL

    La dernire quation exprime l'puisement du revenu l'quilibre, alors que le systme des n premires quations exprime qu' l'quilibre, l'utilit marginale de chaque bien est proportionnelle au prix :

    * = nP'nS= .................... =

    2P'2S =

    1P'1S

    On en dduit que pour un couple de biens 1 et 2, on a :

    1P* = )*(x'1Set

    2P* = )*(x'2S

  • L'quilibre du consommateur

    39

    2p1p = (x*)'2S

    (x*)'1S (Si * > 0)

    On retrouve la condition nonce auparavant, savoir l'galit entre le taux marginal de substitution et l'inverse du rapport des prix.

    Il faut bien observer que ces conditions du premier ordre ne sont en gnral nincessaires ni suffisantes.

    Elles ne sont ncessaires que si lquilibre est intrieur. Elles sont suffisantes lorsque les courbes dindiffrence sont convexes, ou, ce

    qui revient au mme, si la fonction dutilit est quasi-concave.On dmontre alors que tout vecteur de consommation x0 qui vrifie ces conditions maximise bien le Lagrangien L.

    4- Interprtation du multiplicateur de Lagrange.

    Montrons qu' l'quilibre le multiplicateur de Lagrange * dsigne l'utilit marginale du revenu 'RS

    Considrons partir d'un tat d'quilibre, l'effet d'une variation infinitsimale des prix et du revenu : dp1 et dR.

    Pour cela, crivons la diffrentielle totale de la fonction d'utilit au voisinage de l'quilibre x*, tout en prenant en considration les conditions dquilibre ci-dessus :

    n = i

    1 = i

    n = i

    1= i idxiP* = i)dx*(x'iS = dS

    Pour exprimer dS en fonction de dpi et dR, on va exprimer dxi en termes de dpiet dR en diffrentiant l'quation de budget au voisinage de l'quilibre :

    R = *ixiP

    idP*ix+idxiP = dR

    idP*ix - dR=idxiP

  • L'quilibre du consommateur

    40

    idP*ix* - dR* =idxiP* = dS

    RS

    = *

    et ip

    S

    = - * *ix

    On voit bien que * dsigne l'accroissement d'utilit d l'augmentation du revenu d'un montant infinitsimal, cest dire l'utilit marginale du revenu.

    5- Lquilibre en coin

    Lquilibre en coin dsigne une situation dans laquelle le panier de

    consommation optimale ne comporte pas des quantits strictement positives de tous les biens. Certains biens ne sont donc pas consomms lquilibre. Dans le cas simple limit deux biens, loptimum est situ sur lun des deux axes, c'est dire, sur

    la frontire des possibilits physiques de consommation.

    Soulignons dabord que pour que lquilibre soit en coin il faut que les courbes dindiffrence coupent lun des deux axes au moins. Autrement, une courbe

    dindiffrence est asymptotique aux deux axes ou des parallles aux axes. Le taux

    marginal de substitution varie alors entre zro et linfini. Il y aura donc bien un point tel que le TMS2/1 est gal au rapport des prix

    2

    1

    pp . Cest le cas de la figure 1.18 -a.

    Lorsque les courbes dindiffrence coupent lun des deux axes ou les deux en

    mme temps, on peut avoir un quilibre en coin. Cest le cas des figures 1.18-b, 1.18-c et 1.18 -d.

    Mais on peut aussi avoir un quilibre intrieur mme avec des courbes dindiffrence qui coupent les axes. La figure 1.18-e lillustre bien.

    A - Caractrisation graphique de lquilibre

    Lorsquon dispose de la carte dindiffrence du consommateur, on peut

    identifier le point dquilibre en parcourant la carte vers lextrieur tout en ayant un

    point de contact avec la droite de budget.

  • L'quilibre du consommateur

    41

    Dans le cas de la figure 1.18- b, il est clair que lquilibre maximisant lutilit

    du consommateur est atteint au point A. Le mnage ne consomme alors que du bien 1.

    x2

    x1 A

    B

    2

    1

    12

    P

    P)A(TMS

    (b)

    O

    x2

    x1

    2

    1

    P

    PTMS

    TMS

    TMS 0

    E

    (a)

    O

    B

    A

    x2

    x1 A

    B

    (c) x2

    x1 A

    B

    (d)

    O O

    x2

    x1 A

    B

    E

    C

    (d)

    O

    Figure 1.18 Equilibre en coin

  • L'quilibre du consommateur

    42

    Au point A, la pente de la tangente la courbe dindiffrence est suprieure en

    valeur absolue la pente de la droite de budget :

    TMS2/1 (A) > 2

    1

    p

    p

    La valeur subjective attache une unit supplmentaire du bien 1 est alors

    suprieure son prix du march (les deux tant exprims en units du bien 2). Le

    consommateur voudrait donc consommer davantage du bien 1. Mais parce que sa

    contrainte budgtaire ne le lui permet pas, il se suffit de la quantit correspondant au

    point A.

    Le mme raisonnement sapplique au cas o le panier de consommation

    optimal comporte exclusivement du bien 2 (figure 1.18-c et figure 1.18-d).

    Le TMS2/1 (B) < 2

    1

    p

    p. Au point B, la valeur subjective marginale dune unit du

    bien 1 est infrieure son prix relatif. Il en dcoule que la valeur subjective marginale

    dune unit du bien 2 est suprieure son prix relatif : TMS1/2(B) = (B)2/1

    TM S1

    > 1

    p2

    p.

    Le consommateur voudrait alors consommer davantage du bien 2, mais son

    revenu ne le lui permet pas. Il se contente alors de la consommation correspondant au

    point B.

    Cette mthode graphique de dtermination de lquilibre nest cependant pas

    pratique, si la carte des courbes dindiffrence nest pas pralablement trace. Dans ce

    cas, on devrait trouver lquilibre sur la base de la forme fonctionnelle de lutilit et

    des paramtres de la droite budgtaire. Il est alors impossible de prvoir a priori si

    lquilibre est intrieur ou en coin. Deux solutions sont alors envisageables pour

    dterminer le panier de consommation optimale. Une procdure par ttonnement qui

    consiste supposer dabord que lquilibre est intrieur, puis si on trouve aprs

    rsolution des conditions dun quilibre intrieur quil ne lest pas, on saura que

    lquilibre est en coin. La deuxime procdure permet de savoir si lquilibre est

    intrieur ou pas en comparant la valeur du TMS aux extrmits de la droite de budget

    la pente de celle-ci. On lappellera la procdure comparative. On donnera ci-aprs

    une description de ces deux procdures.

  • L'quilibre du consommateur

    43

    B - Dtermination de lquilibre par ttonnement

    On suppose que x* est intrieur au domaine des consommations physiquement

    possibles, c'est dire, *1

    x > 0 et *2

    x > 0 .

    On utilise alors les conditions ncessaires du premier ordre :

    2P1

    P

    )*(x'2

    S

    )*(x'1

    S

    R *

    2x

    2P *

    1x

    1P

    En rsolvant ce systme de deux quations, on obtient les solutions *1

    x et *2

    x .

    Alors si ces deux solutions sont strictement positives, lhypothse initiale est vrifie,

    lquilibre est intrieur et la rsolution sarrte.

    Si on trouve que le systme nadmet pas de solution ou que lune des deux

    solutions nest pas strictement positive ; c'est dire ngative ou nulle, alors lquilibre

    est en coin :

    Si *1

    x 0

    1x = 0 et

    2x =

    2p

    R constitue le panier de consommation

    optimal (point B des figures 1.18-c et 1.18-d).

    Si *2

    x 0 2

    x = 0 et 1

    x = 1

    p

    R constitue le panier de

    consommation optimal (point A de la figure 1.18-b).

    Si le systme nadmet pas de solution, on peut recourir soit la procdure comparative soit la mthode analytique dcrites ci-dessous.

    C - Procdure comparative de dtermination de lquilibre

  • L'quilibre du consommateur

    44

    Nous commenons par tablir le sens de variation du TMS le long de La droite

    de budget et nous nous plaons lextrmit en laquelle le TMS2/1 est maximum.

    Supposons que ce soit le point B1.

    Si le TMS2/1 en ce point B est trop faible par rapport au prix relatif 2

    1

    p

    p, il le

    sera sur toute la droite de budget. La valeur subjective dune unit du bien 1 est

    partout infrieure son prix relatif. Rciproquement la valeur subjective dune

    unit du bien 2 est partout suprieure son prix relatif. En tout point de la

    droite de budget le mnage voudra avoir plus du bien 2. Le maximum sera

    atteint au point B o le revenu est entirement dpens sur le bien 2. B est

    alors un quilibre en coin. Il a pour coordonnes *1

    x = 0 et *2

    x = 2

    pR

    (fig. 1.18-c

    et 1.18-d)

    Si le TMS2/1 au point B est suprieur au prix relatif 2

    1

    p

    p alors on cherche la

    valeur du TMS2/1 lautre extrmit.

    Si cette dernire est encoure suprieure au prix relatif, la valeur subjective dune unit du bien 1 est en tout point de la droite de budget suprieure

    son prix relatif. Le consommateur voudra toujours avoir plus du bien 1. Son

    quilibre est atteint lorsquil consacre tout son revenu ce bien, cest dire

    au point A. On est alors en prsence dun quilibre en coin de coordonnes

    *1

    x = 1

    pR

    , *2

    x = 0 (fig. 1.18-b).

    Si au contraire le prix relatif est encadr par les valeurs du TMS2/1 aux extrmits de la droite de budget, A et B il y aura ncessairement un point

    de la droite de budget autre que A et que B et en lequel le TMS2/1 est gal au

    prix relatif. Lquilibre est donc intrieur. Ses coordonnes sont solution du

    systme dquations '2

    S

    '1

    S=

    2p

    1p

    et R *2

    x 2

    p *1

    x 1

    p (fig. 1.18-e).

    Tableau rcapitulatif de la procdure comparative

    1 Cela correspond une hypothse de dcroissance du TMS2/1 le long de la droite de budget de B vers A. Un

    raisonnement analogue peut tre conduit sous lhypothse inverse dune croissance du TMS2/1de A vers B.

  • L'quilibre du consommateur

    45

    TMS2/1dcroissant de B vers A

    (croissant de A vers B) TMS2/1 croissant de B vers A

    (dcroissant de A vers B)

    TMS2/1 (B) p

    p

    2

    1 Equilibre de coin en B

    TMS2/1 (A) p

    p

    2

    1 Equilibre de coin en B

    TMS2/1(B)>TMS2/1(A)

    p

    p

    2

    1

    Equilibre de coin en A TMS2/1(A)>TMS2/1(B)

    p

    p

    2

    1

    Equilibre de coin en A

    TMS2/1 (A) p

    p

    2

    1

    TMS2/1(B)

    Equilibre intrieur TMS2/1(A)

    p

    p

    2

    1 TMS2/1(B) Equilibre intrieur

    D Dtermination analytique de lquilibre de coin

    Les mthodes dcrites plus haut sont utiles et relativement faciles mettre en

    uvre lorsque le nombre de biens est limit deux. Elles deviennent cependant

    impraticables, ds que le nombre de biens dpasse deux.

    Pour traiter le cas gnral plusieurs biens, tout en considrant la possibilit

    que le consommateur ne consomme pas l'quilibre de tous les biens, on rintroduit

    dans le problme de maximisation de faon explicite les contraintes de non ngativit

    des quantits consommes xi.

    Max S(x)

    pi xi = R

    xi 0 i = 1,...,n

    On dmontre alors que ce problme de maximisation sous contraintes se rduit

    la maximisation libre de la fonction :

    L = S(x) + (R - pi xi) +

    ni

    1i

    I xi

    o et les i sont n+1 multiplicateurs positifs ou nuls.

    Les conditions ncessaires du premier ordre s'crivent alors (Thorme de

    Khun-Tucker) :

    n ..., 1, i 0 *i

    i

    P* - )*(x'i

    S

    0 *ix

    iP -R

  • L'quilibre du consommateur

    46

    n ..., 1, i 0 *i

    x*i

    Si *i

    x > 0 *i

    = 0 )*(x'i

    S = *i

    P

    Si *i

    > 0 *i

    x = 0 )*(x'i

    S < *i

    P

    A l'quilibre il y a deux catgories de biens : ceux qui sont consomms, on les

    dsigne par l'indice h et ceux qui ne sont pas consomms, on les dsigne par l'indice

    k. On aura alors les conditions :

    hp

    (x*)'h

    S= * h = 1,....,l

    avec ( l + m = n)

    kp

    (x*)'k

    S< * k = 1,....,m

    Les biens dont l'quilibre l'utilit marginale du dernier dinar dpens est

    infrieure l'utilit marginale du revenu ne sont pas achets. Les biens consomms

    vrifient la mme condition trouve antrieurement, savoir l'galit de l'utilit

    marginale du dernier dinar dpens entre tous les biens consomms.

    6 Lquilibre anguleux

    On parle dquilibre anguleux, chaque fois que la contrainte budgtaire

    laquelle sajoute ventuellement la contrainte de rationnement dterminent une

    frontire de lensemble des consommations physiquement et financirement possibles

    reprsente par une ligne brise, et que lquilibre correspond au point anguleux de

    cette frontire. Il est clair que la condition de premier ordre (galit des pentes de la

    tangente la courbe dindiffrence et de la pente de la ligne de budget) ne sapplique

    pas, puisquen un point anguleux, la ligne de budget (ou la frontire de lensemble

    des choix ) nadmet pas de tangente et quil existe au contraire une demi- tangente

    droite et une demi- tangente gauche du point anguleux.

    Rappelons-nous que lensemble des choix a bien cette forme dans tous les cas

    o existent des subventions en nature sous forme de coupons ou un rationnement.

    Nous allons reprendre ci-aprs tous ces cas en appliquant la procdure par

    ttonnement et la procdure comparative de dtermination de lquilibre.

  • L'quilibre du consommateur

    47

    A - Cas des coupons distribus gratuitement

    a- Procdure par ttonnement

    En se rfrant au graphique 1.19 ci-dessous, il apparat clairement quaucun

    point du segment [B,C[ ne peut tre un quilibre parce quil npuise pas le revenu.

    Restent donc trois cas : lquilibre intrieur E, lquilibre anguleux C et

    lquilibre en coin A. Ne sachant pas a priori lequel des trois sera choisi, on procde

    par ttonnement :

    A

    B C

    1P

    V x1

    x2

    E

    A

    B C

    x1

    x2

    A

    B C

    1P

    V

    x1

    x2

    (a) (b)

    (c) Figure 1.19 Equilibre en cas de coupons

    distribus gratuitement pour l'achat du

    bien :

    (a) Equilibre intrieur (b) Equilibre anguleux (c) Equilibre en coin

  • L'quilibre du consommateur

    48

    On commence par supposer que lquilibre est intrieur et quil appartient au

    segment ]C,A[, cest dire que *1

    x > 1

    p

    V et *

    2x > 0

    On rsout les conditions du premier ordre et on compare les solutions aux

    conditions ci- dessus. Si elles sont vrifies lquilibre est donc bien intrieur et

    appartient ]C,A[.

    Si au contraire les solutions trouves sont telles que :

    *1

    x

    1p

    V lquilibre nest pas intrieur ; il est reprsent par le point

    anguleux C de coordonnes : 1

    x = 1

    pV ;

    2x =

    2PR

    Si les solutions trouves sont telles que :

    *2

    x 0 lquilibre est en coin (point A) de coordonnes :

    1

    x =1

    p

    R ;

    2x = 0

    b - Procdure comparative

    Si TMS 2/1 (C) 2

    1

    p

    p ==> Lquilibre est au point C = (

    1p

    V ;

    2p

    R), parce que

    le TMS2/1 dcrot en parcourant la ligne de budget de C vers A et reste donc

    toujours infrieur 2

    1

    p

    p.

    Si TMS 2/1 (C) > 2

    1

    p

    p > TMS 2/1 (A) ==> E ] C , A [ tel que

    Nous supposons dans ce qui suit que le TMS

    2/1 dcrot lorsquon parcourt la ligne de budget de B vers A. Il a t dj

    prcis quun raisonnement similaire s applique sous lhypothse inverse dune croissance du TMS2/1

    .

  • L'quilibre du consommateur

    49

    TMS 2/1 (E) = 2

    1

    p

    p ; E est lquilibre.

    Si TMS2/1 (A) 2

    1

    p

    p ==> A = ( )0,

    p

    VR

    1

    est lquilibre, parce que tout en

    diminuant, le TMS 2/1 reste toujours suprieur 2

    1

    p

    p.

    B - Achat divisible de coupons subventionns

    a Procdure par ttonnement

    Supposons que lquilibre soit en E1 ]C , A[ (figure 1.20) *1x >1

    p

    V et *

    2x > 0.

    Alors ( *1

    x , *2

    x ) devrait tre solution de 2P1

    P

    '2

    S

    '1

    S

    v -V R *2

    x2

    P *1

    x1

    P

    Si la solution de ce systme vrifie les conditions initiales, lquilibre est en E1 et la rsolution sarrte.

    A

    B

    C

    x2

    x1

    E

    1

    A

    B

    C

    x1

    x2

    E

    1

    (a) (b)

    A

    B

    C

    x1

    x2

    A

    B

    C

    x1

    x2 (c) (d)

    (e)

    O O

    O O

  • L'quilibre du consommateur

    50

    Si au contraire on trouve *2

    x 0 ==> A = (1

    p

    v-V+R ; 0) est le point

    dquilibre.

    Si *1

    x = 1

    pV ; *

    2x =

    2p

    v-R lquilibre est au point anguleux C.

    Si *1

    x < 1

    pV ; lquilibre est sur le segment [B,C[ mais on ne sait sil est

    intrieur au segment ou pas.

    Supposons que lquilibre appartienne ]B,C[, c'est dire 0 < *1

    x < 1

    pV

    On rsout alors le systme 2

    P1

    P *

    Vv =

    '2

    S

    '1

    S

    R = *2

    x2

    P + *1

    x1

    P * Vv

    Si la solution vrifie la double condition ci-dessus, lquilibre est en E2 et

    la rsolution est termine.

  • L'quilibre du consommateur

    51

    Si *1

    x 0 ==> lquilibre est en B = (0 , 2

    pR )

    b Procdure comparative

    Si TMS2/1 (B) 2

    p1

    p.

    Vv ==> Equilibre de coin en B = (0 ,

    2pR )

    Si TMS2/1 (C) < 2

    p1

    p.

    Vv < TMS2/1 (B) ==> Equilibre intrieur en E2 ]B,C[.

    Si 2

    p1

    p.

    Vv TMS2/1 (C)

    2p

    1p

    ==> Equilibre anguleux en C.

    Si TMS2/1 (A) < 2

    p1

    p < TMS2/1 (C) ==> Equilibre intrieur en E1 ]C,A[.

    Si TMS2/1 (A) 2

    p1

    p ==> Equilibre en coin en A.

    C - Achat indivisible de coupons subventionns

    a Procdure par ttonnement

    Il est dabord clair (figure 1.21) quaucun point du segment ]C,D[ ne peut tre

    un quilibre : La courbe dindiffrence aurait un minimum en un tel point, ce qui

    contredit la proprit de dcroissance de cette courbe.

    B

    C D

    x

    2

    (d)

    B

    C D

    x2 (c)

    A

    B

    C D

    x2

    x1

    E

    2

    (a)

    A

    B

    C D

    x1

    x2

    E

    1

    (b)

    O O

    O

  • L'quilibre du consommateur

    52

    De plus, le point C devrait en gnral tre exclu puisquau point D on

    consomme plus du bien 1 et la mme quantit du bien 2, ce qui procurera plus de

    satisfaction, sauf si lutilit marginale du bien 1 est nulle entre C et D.

    Il reste donc les deux quilibres en coin, lquilibre anguleux (D) et deux

    quilibres intrieurs sur ]B,C[ et sur ]D,A[.

    Supposons que x* ]D,A[ *1

    x > 1

    pV et *

    2x > 0.

    ( *1

    x , *2

    x ) serait alors solution de : 2

    P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    v- V + R = '2

    x2

    P + '1

    x1

    P

    Si la solution vrifie la double condition ci-dessus, lquilibre est atteint en un point intrieur E1.

    Si *2

    x 0 ==> Equilibre en coin en A de coordonnes 1

    p

    v- V+R =

    1x et

    2x = 0.

  • L'quilibre du consommateur

    53

    * Si *2

    x = 1

    p

    V==> Equilibre anguleux (D) de coordonnes :

    1

    1p

    Vx et

    2x = 2

    p

    v- R

    Si *1

    x < 1

    p

    V, lquilibre peut se trouver soit en D soit sur le segment

    [B,C[.

    Supposons que x* ]B,C[. Il serait alors solution de : 2

    P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    R = '2

    x2

    P + '1

    x1

    P

    Si la solution vrifie la condition dappartenance ]B,C[ ; c'est dire

    0 < *1

    x < 1

    p

    v lquilibre est en ce point E2.

    Si *1

    x 0 lquilibre est en B de coordonnes : 1x = 0 et 2x = 2

    p

    R .

    Si *1

    x > 1

    p

    v lquilibre est au point anguleux D de coordonnes 1x =

    1p

    V

    et 2x = 2

    p

    vR .

    b Procdure comparative

    Si TMS2/1 (B) 2

    1

    p

    p ==> Equilibre en coin ; B (0 , 2

    p

    R).

    Si TMS2/1 (C) Equilibre en E2 dont les coordonnes

    sont solution de : 2

    P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    R = '2

    x2

    P + '1

    x1

    P

    Si TMS2/1 (C) 2

    1

    p

    p et TMS2/1 (D) 2

    1

    p

    p ==> Equilibre au point anguleux D

    de coordonnes : *1

    x = 1

    p

    V et *

    2x =

    2p

    vR .

  • L'quilibre du consommateur

    54

    Si TMS2/1 (D) > 2

    1

    p

    p > TMS2/1 (A) lquilibre est en un point de ]A,D[ dont

    les coordonnes sont solution de : 2

    P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    v- V + R = '2

    x2

    p + '1

    x1

    p

    Si TMS2/1 (A) 2

    1

    p

    p lquilibre est au point A de coordonnes *1

    x = 1

    p

    vVR

    et *2

    x = 0.

    D - Rationnement absolu

    L encore, on peut exclure (figure 1.22) le segment [A,C[ parce quen tout

    point de ce segment, le revenu nest pas puis. Restent donc lquilibre anguleux

    (C), lquilibre en coin (B) et lquilibre intrieur (E).

    a Procdure par ttonnement

    Supposons que lquilibre soit en E ]B,C[. Le panier correspondant x* doit

    vrifier la condition : 0 < *1

    x < 1

    x .

    On cherche alors x* solution de :

    2P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    R = '2

    x2

    p + '1

    x1

    p

    Si *1

    x vrifie la condition ci-dessus E est bien lquilibre.

    Si *1

    x 0, lquilibre est en B (coin) de coordonnes (0 , 2

    p

    R )

    Si *1

    x 1

    x , lquilibre est en C (anguleux) de coordonnes (1

    x ,

    2

    11

    p

    xpR ).

    B

    C

    x2

    E

    B

    C

    x2

    (a)

  • L'quilibre du consommateur

    55

    b Procdure comparative

    Si TMS2/1 (B) 2

    1

    p

    p ==> lquilibre est en B (0 , 2

    p

    R ).

    Si TMS2/1 (C) lquilibre est en E ]B,C[ de

    coordonnes solution de 2

    P1

    P =

    '2

    S

    '1

    S

    R = '2

    x2

    p + '1

    x1

    p

    Si TMS2/1 (C) 2

    1

    p

    p , lquilibre est au point C de coordonnes (1

    x , 2

    11

    p

    xpR ).

    E - Rationnement suppl par le march parallle

    Formellement, ce cas se prsente de manire parfaitement similaire celui de

    lachat divisible de coupons subventionns, trait au paragraphe B ci-dessus. Il suffit

    alors de sy rfrer et de suivre la mme dmarche, en prenant soin bien sr de

  • L'quilibre du consommateur

    56

    modifier les paramtres 1

    p

    V par 1

    x , 2

    p

    vR par 2

    1

    0

    1

    p

    xpR , 1

    p

    vVR par

    1

    0

    1

    1

    x)p

    p1(

    p

    R et

    V

    vp1 par

    01

    p .

    7 Equilibre en cas de biens parfaitement complmentaires

    Lquilibre doit ncessairement appartenir la fois la droite de budget (A , B)

    et une courbe dindiffrence, la plus loigne possible de lorigine. Il est clair quun

    point dintersection, tel que C ou D, ne constitue pas un quilibre. Par exemple, au

    point C (x1c , a2), on peut conserver le mme niveau dutilit S0 tout en consommant

    moins du bien 1. On pargne alors p1(x1c a1) que lon peut utiliser pour acheter des

    quantits supplmentaires des deux biens dans la proportion (a1 , a2) et augmenter

    ainsi strictement lutilit.

    On en dduit que lquilibre E est ncessairement un point anguleux, situ sur

    la droite dquation x2 = 1

    a2

    a x1.

    Les coordonnes de E sont alors solution de : *1

    x1

    a2

    a = *

    2x