métré TSOMGNE

Métrés et devis : 4 GC, ENSPY, année académique 2009-2010

1

CHAPITRE I : INTRODUCTION

I.1 MAITRE D’OUVRAGE - MAITRE D’ŒUVRE – ENTREPRISE

On désigne par Maître d’Ouvrage une personne morale de droit public pour qui sont réalisés les

Travaux Publics. Ils consistent à édifier, aménager ou entretenir des constructions de toutes natures

destinées à une collectivité d’usagers publics ou privés.

Le Maître d’Ouvrage peut être l’Etat. Il est dans ce cas représenté par un Ministère, une collectivité

territoriale, un établissement public, une institution nationale.

Un projet, pour être bien réalisé, se doit d’être étudié. Cette étude est confiée à une personne physique

ou morale appelée Maître d’œuvre. Elle peut être par la suite chargée de la surveillance et du contrôle

des travaux. Ces travaux sont exécutés par une Entreprise disposant de moyens matériels et

techniques indispensables pour des prestations selon les règles de l’art, les règles générales de

construction et ce en fonction des modalités propres. L’ensemble de ces dispositions est rappelé ou

précisé dans un document contractuel appelé Marché.

Le maître d’œuvre est un service technique public ou privé. Les cabinets d’ingénieur, les cabinets

d’architecte ; les géomètres sont des maîtres d’œuvre privés.

Il existe très souvent dans la terminologie des marchés, certaines attributions particulières :

- Chef du Service du Marché : Il apporte une assistance générale à caractère administratif ;

financier et technique au Maître d’Ouvrage aux stades de la définition, de l’élaboration, de

l’exécution et de la réception des prestations objet du marché.

- L’Ingénieur du marché : Il soumet à la signature du Chef de Service du Marché, tous les actes

qui ne sont pas traités par le Maître d’œuvre à savoir : le programme pour la réalisation des

travaux, les coûts et les délais.


2

I.2 PROJET ET CONSULTATION DES ENTREPRISES

Le projet est étudié par le maître d’œuvre et précise la nature des travaux ; les modes d’exécution et de

règlement. Les dossiers issus de l’étude comportent une multitude d’informations : ce sont des plans,

des quantités, des pièces écrites.

Parmi les pièces écrites on distingue :

- Le "cadre du bordereau des prix". Il définit les parties d’ouvrages qui donnent lieu à un règlement

propre. Il précise l’unité d’application correspondante.

Exemple : Ci-dessous, un extrait de cadre de bordereau de prix

Numéro des prix

Désignation des tâches Prix Unitaires Hors TVA en lettres (F CFA)

Unité Prix Unitaire hors TVA en F

CFA

1 GARDE-CORPS Ce prix rémunère, selon les conditions générales prévues au contrat, le

METRE LINEAIRE (ml) de garde-corps. Il rémunère tous les travaux

tels qu’ils sont décrits dans le Cahier des Clauses Techniques

Particulières (CCTP) et comprend notamment :

- la dépose des éléments détruits et défectueux et toutes sujétions,

- la fourniture et la mise en place des éléments de garde-corps y

compris les scellements des montants et peintures anti-

corrosives éventuelles.

- LE METRE LINEAIRE:

ML

- L’"avant métré". Il sert au calcul, avant les travaux, des quantités par parties d’ouvrages portées

dans le "cadre du bordereau des prix".

- Le "cadre du détail estimatif". Il vise la détermination du coût du projet en prenant en compte les

quantités inscrites en avant métré et les prix unitaires à porter ultérieurement au "bordereau des

prix". - Le "Cahier des Clauses Administratives Particulières (CCAP)". Son rôle est la précision de

l’objet du marché de travaux et des conditions administratives et financières.

- Le "Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP)". Il précise les modes d’exécution des

différents ouvrages et donne les spécifications au sujet des matériaux à mettre en œuvre.

L’estimation prévisionnelle obtenue à partir du " cadre du détail estimatif" donne, en deux étapes, le coût

le plus juste possible des travaux à réaliser.

• Dans la première étape, les montants des prix unitaires sont choisis par le maître d’œuvre qui

chiffre le projet par comparaison avec des travaux semblables exécutés récemment ou à partir de

séries de prix éditées par des services techniques. Ces valeurs sont majorées en fonction de

l’augmentation générale des coûts, ou minorées pour tenir compte de l’importance des travaux : de


3

"forts rendements" entraînent des économies. La simple évaluation qui en résulte, doit se situer au

dessus du prix réel que pratiquera l’entreprise de façon à laisser une marge de sécurité destinée à

faire face aux imprévues. Elle est confidentielle et communiquée au maître d’ouvrage pour qu’il

puisse réserver le financement correspondant.

• Le maître d’ouvrage consulte, conformément aux directives du code des Marchés Publics, les

entreprises jugées qualifiées. Celles-ci, dans une deuxième étape, chiffrent les travaux.

Les coûts unitaires sont calculés avec le plus d’exactitude possible en fonction des données du projet et

de l’expérience acquise à l’occasion de travaux antérieurs. Le montant prévisionnel le plus sûr des

ouvrages à réaliser est donné par cette estimation qui implique :

- La vérification des quantités figurant au "cadre du détail estimatif" et résultant de l’"avant -métré",

- La détermination précise des coûts unitaires à appliquer au "bordereau des prix",

- Leur report dans le "cadre du bordereau de prix", et dans le "cadre du détail estimatif",

Le "cadre du détail estimatif" se présente sous la forme d’un tableau classique avec des lignes et des

colonnes ;

- Chaque ligne, ordonnée de la même façon que sur le bordereau, retrace tous les éléments propres

au prix considéré ;

- Les premières colonnes donnent la numérotation, la désignation ou nature des travaux, la quantité

qui s’y rattache ;

- L’avant dernière est réservée aux prix unitaires qui, multipliés par les quantités portées

précédemment, donnent, par nature d’ouvrage, le montant de la dépense inscrit dans la colonne

finale.

L’estimation obtenue dans ces conditions varie parfois dans de notables proportions d’une Entreprise à

l’autre, car les prix unitaires peuvent être appréciés fort différemment.


4

I.3 MARCHE ET REALISATION DES TRAVAUX

Le Maître d’Ouvrage compare les offres des entreprises en examinant, d’une part, l’estimation

chiffrée des coûts et, d’autre part, les documents justificatifs complémentaires tels que le

programme d’exécution, appelé aussi planning, les plans, les notes techniques.

Il qui choisit l’entreprise avec laquelle est passé le marché de travaux sur la base du projet établi

par le maître d’œuvre.

Ce contrat :

- Engage l’entreprise à réaliser les travaux conformément aux clauses techniques du projet, aux

prix proposés par elle et figurant au "bordereau des prix" complété,

- Oblige le maître d’ouvrage à régler les sommes correspondantes selon les dispositions

administratives arrêtées et les règles générales relatives aux marchés publics.

L’Entreprise, qui exécute les travaux sous la surveillance et le contrôle du maître d’œuvre, établit

les constats lui permettant de proposer les décomptes de règlement. Ces derniers sont vérifiés par

le maître d’œuvre qui les transmet au maître d’ouvrage pour paiement. Ainsi, le maître d’ouvrage

est le client de l’entreprise qui lui vend ses travaux au fur et à mesure de leur réalisation, sur la

base de prix unitaires déjà calculés


5

CADRE DU DETAIL ESTIMATIF


6

Bibliographie


7

1- Gousset, Jean Pierre. 2007. Le Métré CAO-DAO avec Autocad, étude de prix.

Coll. EYROLLES. Paris, 275 p. 2- Renaud, H. 1996. Dessin technique, lecture de plan, bâtiment – béton armé.

Coll. FOUCHER. Paris, 169 p.


8

CHAPITRE II : RAPPELS DE LECTURE DES PLANS

L’établissement des quantités fait appel dans la plus part des cas à des plans. Il est alors important

de savoir disséquer des plans de toute nature (routes, bâtiments, ouvrages d’art, constructions

métalliques, construction en bois, etc.)

Ce cours ne prétend pas enseigner de nouveau les éléments du dessin de génie civil. Il suggère

aux étudiants de se remettre à jour et fournit quelques indications d’ordre bibliographique.

Bibliographie

3- Gousset, Jean Pierre. 2007. Le Métré CAO-DAO avec Autocad, étude de prix. Coll. EYROLLES. Paris, 275 p.

4- Renaud, H. 1996. Dessin technique, lecture de plan, bâtiment – béton armé. Coll. FOUCHER. Paris, 169 p.


9

Devoir NB : dessins obligatoires

1- Donner sans démonstration les formules des surfaces planes suivantes : cercle, triangle,

quadrilatères, quadrilatères quelconques, polygones réguliers à n côtés, couronne circulaire,

ellipse, segment de parabole, secteur circulaire, surfaces limitées par une courbe

quelconque (formules de SIMPSON, PONCELET).

2- Enoncer le théorème de Guldin et quelques applications (surfaces de révolution telles que

cônes, troncs de cône, sphères, tranches de sphère).

3- Enoncer les différentes formules principales de mesure des lignes des classes de figures ci

après : triangle, circonférence, arc de cercle, polygones réguliers, hélice.

4- Définir « surface gauche » et énoncer la formule donnant la surface.

5- Donner les formules de calcul des surfaces et des volumes des corps suivants : polyèdres

(prisme droit, prisme oblique, tronc de prisme triangulaire, pyramide régulière, pyramide

quelconque, tronc de pyramide à bases parallèles, tas de sable), cônes et cylindres

(cylindre, tronc de cylindre, segment de tronc de cylindre, cylindre limité par deux surfaces

obliques, onglet de cylindre, cône à base circulaire, tronc de cône à base circulaire, cône à

base quelconque), corps sphériques (sphère, zone sphérique, calotte sphérique, secteur

sphérique, fuseau sphérique).

6- Donner les formules donnant les volumes des corps ci après : éllipsoïde, paraboloïde de

révolution.


11

CHAPITRE III : OUTILS GEOMETRIQUES

III.1 INTRODUCTION

L’établissement d’un avant-métré comporte l’évaluation de surfaces, cubes, poids de corps

complexes. Il nécessitera la décomposition de ceux-ci en corps élémentaires dont on saura

par des méthodes mathématiques déterminer les surfaces, volumes et poids. Il en sera

nécessaire de pouvoir déterminer ceux-ci à l’aide de formules ou de calculs.

Les formules à connaître seront donc celles donnant : les lignes, longueurs, largeurs,

hauteurs ou épaisseurs, rayons de cercles, angles, longueurs d’arcs…

Les surfaces, calculées en fonction de ces lignes,

Les volumes, calculés de même.

Les poids seront généralement obtenus par calcul préalable des volumes et multiplication

par le poids volumique des corps utilisés.

La détermination de ces éléments exige l’utilisation de formules, mathématiques,

géométriques, trigonométriques, logarithmiques. On peut également déterminer certains

éléments par le calcul intégral. Nous laisserons de côté cette méthode qui exige des

connaissances mathématiques assez élevées.

Le présent chapitre est un formulaire donnant les valeurs des lignes, surfaces et volumes

des corps élémentaires usuels. Certains de ceux-ci apparaîtront rarement dans les avants-

métrés d’ouvrages courants. Ils apparaîtront rarement dans les avants-métrés d’ouvrages

courants. Il est bon cependant de pouvoir retrouver la formule donnant leur surface ou

volume, le cas échéant ; c’est pour cela qu’ils ont été indiqués, sans qu’il soit nécessaire de

les retenir de mémoire ; dans le cas de formules complexes, en effet, il est préférable

d’avoir recours à un texte que de se fier à sa mémoire.

12 Métrés et devis : 4 GC, ENSPY, année académique 2009-2010

III.2 MESURE DES LIGNES

III.2.1 Triangles Dénominations Figures Formules

Triangles rectangles

(L’angle A étant aigu)

Triangles quelconques

(L’angle A étant obtus)

Dans cette formule, représente le demi-périmètre, où :

Cercle inscrit

Rayon du cercle inscrit :

Cercle circonscrit

ou encore :


III.2.2 Polygones réguliers

Figures Côté Apothème1 Triangle équilatéral

Carré

Pentagone2 convexe

Hexagone

Octogone convexe

Décagone convexe

Dodécagone3 convexe

désigne le rayon du cercle circonscrit.

1 Perpendiculaire abaissée du centre d’un polygone régulier sur un de ses côtés ou du sommet d’une pyramide sur l’un des côtés de son polygone de base.

2 Polygone qui a cinq côtés et cinq angles.

3 Polygone qui a douze côtés.


III.3 MESURE DES SURFACES

Dénominations Figures Formules Triangles

Cas particuliers : carré, rectangle, parallélogramme, losange

Ou encore

sont les distances qui séparent 2 côtés parallèles.

Ou encore

Quadrilatères

Surf. ABCD = surf. ABC +surf.ACD Si le quadrilatère est inscriptible, c'est-à-dire si les angles opposés sont supplémentaires, on peut employer la formule :

Dans laquelle représente le demi-périmètre

Polygones

-

Surface en fonction du rayon r de cercle inscrit :

a : longueur du côté, n : nombre de côtés


III.3.1 Mesure des surfaces limitées par des courbes quelconques

Formule de SIMPSON Représentons par L la longueur ab, divisons cette longueur en un nombre n pair d’intervalles égaux et, par les points de divisions, menons les ordonnées

nn yyyy ,,...,, 110 − ; on remarquera que le nombre des ordonnées intermédiaires est impair.

[ ])...(2)...(43 2421310 −−+ ++++++++= nnn yyyyyyyynLS

Formule de PONCELET4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++++= −− )(

41)(

41)...(2 110131 nnn yyyyyyy

nLS

Surface limitée par une courbe fermée Il suffit de diviser par une droite cette surface en deux parties dont on évalue séparément les surfaces, que l’on totalise ensuite. I- Cercle, secteur et segment

Figures Formules

Cercle : ou

Secteur :

III.3.2 Cercle, secteur et segment

Zone circulaire

)( 22 rRS −= π

4 Dans la formule de PONCELET, les lettres ont la même signification que dans la formule de SIMPSON. En comparant ces deux formules, on se rend compte qu’elles donnent à peu près les mêmes résultats. La formule de PONCELET donne, dans certains cas, des résultats plus approchés, indépendamment de l’avantage qu’elle a de supprimer le calcul des ordonnées de rang pair.


Portion de zone Pour la portion de zone ABCD , on aura :

360)( 22 nrRS ×−

= π

n est exprimé en degrés. Dans le cas ci contre, la méthode consistant à faire la moyenne des développements des arcs AD et BC , et à multiplier par rR − est inexacte et doit être écartée. Il faut calculer la surface du secteurOBC , y ajouter celle du triangle OAB et déduire de ce total la surface du secteurOAD , soit : Surface ABCD = Surface OAB +Surface triangle OAB - surface secteurOAD .

II- Surface elliptiques

Surface de l’ellipse : abS π= avec ba, désignant respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe.

Surface d’un segment d’ellipse5 - Les cordes CD et EF sont parallèles au petit axe. Surface cdfe :

abSS ×= '

formule dans laquelle S égale la surface du segmentCDFE . - Si les cordes sont parallèles au grand axe, la formule

devient :

baSS ×= '

5 Le calcul de cette surface s’obtient par application de la formule générale : αcos.Ss = ,

s étant la projection sur un plan )( p de la surface S située dans un plan )(P , faisant un angle α avec le

plan )( p ; ici, αcos est égal à ab

ou ba

suivant le cas.


III.3.3 Surface de segment parabolique

La surface du segment parabolique symétrique par rapport à

l’axe de la parabole est égale est égale aux 32 de l’abscisse

multipliés par l’ordonnée, soit DCAB×32

Si le segment est quelconque, MPN , c'est-à-dire si la corde MN est oblique par rapport à l’axe DC , la surface est égale aux 3

2 de celle du triangle OMN , formé par la corde et les

deux tangentes à la parabole aux points M et N , soit :

232 OHMNS ×

=

Ou 3

OHMNS ×=


III.3.4 Surface des polyèdres et des corps ronds

Prisme droit Surface totale : PaS = P est le périmètre de base, a est l’arête du prisme

Prisme oblique Dans un prisme oblique, les arêtes ne sont pas perpendiculaires aux bases. La surface totale est égale à la somme de la surface des faces latérales et de celle des surfaces des bases. La surface latérale est formée de parallélogrammes dont la surface totale est égale au périmètre de la section abc multiplié par la longueur de l’arête AD . Tronc de prisme Dans la surface totale du tronc de prisme, il y a lieu d’évaluer séparément les rectangles, parallélogrammes ou trapèzes qui composent la surface latérale et les bases.

Pyramide et tronc de pyramide Pour une pyramide régulière, la surface totale est égale au produit du périmètre de la base par la moitié de l’apothème, augmenté de la surface de la base. Dans le cas d’une pyramide quelconque, il est nécessaire d’évaluer séparément chacune des faces latérales. Pour un tronc de pyramide régulière, la surface totale s’obtient en multipliant la somme des périmètres des deux bases par la moitié de l’apothème ; ajouter la surface des deux bases. Si le tronc de pyramide est quelconque, on procède comme pour la pyramide quelconque.

Cylindre droit : )(2 RHRS += π Cylindre oblique : La formule est la même que pour le prisme, S étant le périmètre de la section droite par la longueur H de la génératrice, plus la surface des deux bases. Cylindre tronqué et tronc de cylindre La surface totale du tronc de cylindre est égale au périmètre de la section droite multiplié par la longueur de la parallèle aux génératrices comprise entre les deux bases et passant par le centre de gravité du périmètre de cette section, plus la surface des bases. On peut aussi calculer ces surfaces en les développant sur un plan et en leur appliquant ensuite les formules de SIMPSON ou de PONCELET. Dans le cas de la figure de gauche de la cellule de droite, Surface latérale '2 ROOS π= alors que pour la figure d’extrême droite, Surface latérale 'ggarcABCDévelS ×⋅=


III.3.5 Surface coniques et surfaces sphériques

La surface totale du cône à base circulaire est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de l’apothème, plus la surface de la base. La surface latérale du tronc de cône6 droit est égale à la demi-somme des circonférences des bases parallèles multipliée par l’apothème :

ABrRABrRS ×+=×+

= )(2

22 πππ

Sphère 24 RS π=

Zone ou calotte sphérique RhS π2=

Dans cette formule, h représente la hauteur de la zone.

Fuseau ou onglet : 360

4 2 nRS ×= π

n étant l’angle du fuseau en degrés.

III.3.6 Surface de révolution

- Lignes brisées Lignes brisées irrégulières : La surface engendrée par chaque droite composant la ligne brisée (cône, tronc de cône, cylindre) est évaluée séparément. Il suffit ensuite de totaliser. Lignes brisées régulières : La surface engendrée par une ligne brisée régulière tournant autour d’un diamètre qui ne la coupe pas est égale au produit de la circonférence inscrite dans la ligne brisée par la projection de cette ligne sur ce diamètre, soit :

''2 DARS ×= π On peut aussi appliquer le théorème de GULDIN

tel que dans le paragraphe ci après.

6 Cette règle n’est pas applicable aux cônes ni aux troncs de cônes dont les bases ne sont pas circulaires, lorsque les bases sont elliptiques par exemple.

Lorsque le cône droit tronqué est déterminé par un plan oblique à la base (schéma ci après), on obtiendra la surface de ce tronc de cône en développant cette surface sur un plan ;il en est de même des segments de cône, des troncs de cône ou onglets coniques.


III.3.7 Courbes planes

Application du théorème de GULDIN : La surface engendrée par une courbe plane tournant

autour d’un axe situé dans son plan est égale à la longueur de cette courbe multipliée par la

circonférence que décrit son centre de gravité.

Ainsi, la surface décrite par AB est : ABRS ×= π2

Si la révolution n’est pas complète, la surface engendrée par la courbe plane est égale à la

longueur de cette courbe multipliée par l’arc décrit par son centre de gravité ; on a :

ABnRS ××=360

2π

Dans laquelle n est l’angle en degrés.

III.3.8 Surfaces gauches ou surfaces réglées La surface gauche est engendrée par une droite génératrice MN qui se déplace en

s’appuyant sur deux droites directrices AB et BC , de façon que l’on ait constamment :

MCMD

NBNA

=

Dans le cas particulier où les droites AD et BC sont dans 2 plans parallèles à un plan )(P dit plan

directeur (figure ci-dessus), la droite MN se déplace en restant parallèle à ce plan )(P .

Ces surfaces ne peuvent être calculées avec une approximation assez rigoureuse qu’à l’aide du

calcul intégral et, le plus souvent, les calculs en sont très longs.

On peut, en pratique, obtenir une approximation suffisante en procédant de la manière suivante :

Soit la surface gauche ABCD . Les quatre points A , B , C et D n’étant pas dans le même plan, si

nous traçons AC et BD , ces deux plans ne se couperont pas. Mesurons ou calculons les


longueurs AC et BD , puis les distances des sommets B et D à la droite AC et de C et A à BD .

On évaluera ensuite la surface des quatre triangles ABD ,CBD BAC et DAC .

La surface gauche totale sera obtenue au moyen de la formule :

2.. DACBACCBDABDsurfABCDSurf +++

=

III.4 VOLUME DES CORPS

III.4.1 Polyèdres et corps ronds - Polyèdres Volumes prismatiques

3. CFBEADABCsurfV ++

×=

3. CFBEADabcsurfV ++

×=

.. VolABCDHEFGVol = tronc de prisme

triangulaire ABDHEF + tronc de prisme

triangulaire BCDHEF


Pyramides et troncs de pyramides

Pyramide : 3hBV ×=

Tronc de pyramide à bases parallèles :

)(31 BbbBhV ++= où h représente la

longueur de la normale aux deux bases et B et

b les surfaces des deux bases.

)4(61 β++= bBHV

B et b représentent les bases parallèles et β

la section médiane faite à égale distance de

ces deux bases. Cette formule est valable pour

tout polyèdre ayant pour bases deux polygones

quelconques situés dans des plans parallèles et

pour faces des trapèzes ou des triangles.

Polyèdres tronqués à bases parallèles, dits également trapézoèdres

Volume du tas de cailloux, du tas de sable

ou de certains matériaux destinés à la

construction ou à l’entretien

[ ])2()2(6

''' aabaabHV +++=

H est la distance qui sépare les deux bases.

Corps ronds

Cylindre

hRhBV 2π=×=

Tronc de cylindre

hRhBV 2π=×= où 'OOh =

SurfaceV =' ABC × 'gg


Onglet cylindrique

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+

+= ACBsurfdc

dRhV .

12

3

Cônes : 3hBV ×= ou

3

2hRπ

Tronc de cône : )(31 22 rRrRHV ×++= π

Sphères

Secteur sphérique

)32 2hRV π=

Calotte sphérique ou tranche sphérique

)61

222 hhrV ππ

+××=

Tranche sphérique à deux bases

)61

22

2'2

hhRRV πππ+×

+=

Onglet sphérique

)3601

34 3

nRV ×=π

n , angle du fuseau en degrés.


III.4.2 Volume limité par une surface gauche Soit le volume ABCD , '''' DCBA . Rappelons que la surface ABCD étant gauche, la surface est décrite par la droite MN se déplaçant de AO à BC en s’appuyant sur AB et DC de telle façon que de telle façon que

NCDN

MBMA

= (voir paragraphe III.3.8). De même, dans la surface

'''' DCBA avec la droite '' NM . Pour calculer ce volume, on le décompose en troncs de prismes triangulaires par les plans verticaux menés suivant ''CA et ''BD . Le volume total est égal à la demi somme des volumes des prismes triangulaires ayant pour bases ''' CDA , ''' CBA , puis ''' BDA et ''' CDB .

Dans ce cas particulier où les plans ''BABA et ''CDCD , ''DADA et ''CBCB sont parallèles entre eux, et où '''' DCBA est un plan

perpendiculaire aux arêtes, c'est-à-dire que '''' DCBA est la section droite, on a :

)(21 ''''''''''' CBVolABCACDVolADCADDCCVolBBDDBBVolAAV +++=

[ ]4

dcbaLlV +++=

III.4.3 Application des formules de SIMPSON ou de PONCELET à l’évaluation des volumes Ces formules sont les mêmes que celles vues dans le cadre du calcul des surfaces limitées par

des courbes quelconques, avec cette différence que les ordonnées sont remplacées par des

sections.

Formule de SIMPSON

[ ])...(2)...(43 2421310 −−+ ++++++++= nnn SSSSSSySnLS

Formule de PONCELET

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++++= −− )(

41)(

41)...(2 110131 nnn SSSSSSS

nLS

Dans ces formules, L représente la distance ou la hauteur entre les deux sections extrêmes.

n représente le nombre d’intervalles pairs compris entre les sections ; S représente la surface

des sections.


Bibliographie



27 Métrés et devis : 4 GC, ENSPY, année académique 200 9-2010

CHAPITRE IV : CALCULS PRATIQUES

IV.1 RAPPELS

L’avant-métré et le métré sont des quantitatifs, par nature d’ouvrage, des valeurs servant de base

à l’estimation ou au règlement des travaux. Ils sont établis en tenant compte des unités de

référence données au « bordereau des prix » : longueur, surface, volume, poids.

L’avant-métré est préparé par le maître d’œuvre lors de la mise au point du projet en se servant

des plans, parfois sommaires, parfois très précis. Le métré est établi après les travaux à partir des

constats d’exécution ; les quantités qu’il mentionne, et qui donnent lieu à un règlement, sont

déterminées très rapidement lorsque l’avant-métré a été fait sérieusement à l’aide de plans exacts

et qu’aucune modification n’est intervenue au moment des travaux.

Souvent, le métré est appelé attachement, lorsque l’entreprise et le maître d’œuvre ont signé

ensemble ce document justificatif qui, de ce fait, est « pris en attachement ».

La pratique de ces calculs ne présente pas de difficulté mais nécessite, pour une bonne

compréhension réciproque du maître d’œuvre et de l’entreprise, la connaissance et l’application de

règles, ainsi que de conventions, développées dans le présent chapitre.

IV.2 GEOMETRIE ET PRESENTATION

IV.2.1 Notions mathématiques nécessaires Les plans des projets n’indiquent des dimensions. La détermination des quantités des diverses

parties constitutives d’un ouvrage implique le calcul de surfaces, de volumes ou de poids ; ce

décompte, qui n’est pas toujours possible à l’aide des seules cotes figurant sur les dessins,

nécessite parfois la recherche de dimensions complémentaires en appliquant les connaissances

acquises par la géométrie. Le chapitre III précédent récapitule les relations géométriques les plus

fréquemment employées.

Il est important de savoir :

- se servir des formules de SIMPSON,

- utiliser le théorème de GULDIN,

- connaître les cas dans lesquels un segment circulaire peut être assimilé à un segment de

parabole.

IV.2.2 Examen des dessins des ouvrages En examinant soigneusement les dessins représentant le projet, le technicien découvre

exactement quelles en sont les formes, puis trace des perspectives et cherche une décomposition

en figures géométriques simples, des ouvrages dont les dimensions linéaires sont connues ou

facilement calculables.


IV.2.3 Ordre de présentation des résultats L’avant-métré, de même que le métré, comprend autant d’articles qu’il existe de prix différents à

appliquer ; les mêmes numéros doivent se retrouver :

- à l’avant-métré (et au métré),

- au ‘’bordereau des prix’’,

- au détail estimatif.

L’ordre à respecter ne fait pas l’objet de règles impératives. Il est plus simple, pour éviter les

omissions, de suivre une démarche logique, en traitant les différentes phases d’exécution des

travaux depuis les fouilles pour fondations jusqu’aux finitions. A partir d’un dessin, les calculs

seront effectués en allant de gauche à droite, pour les séries de profils d’un terrassement, ou de

bas en haut, pour les parties d’un ouvrage en béton.

Les calculs sont présentés sous forme de tableau en remplissant un cadre type aménagé en

fonction de la nature particulière de chaque cas étudié.

IV.3 TECHNIQUES DE CALCUL

IV.3.1 Tableau Le modèle ci après convient tout spécialement aux ouvrages en maçonnerie et en béton. Après

quelques adaptations, il peut être utilisé pour toutes les autres réalisations. Ainsi, dans un métré

de ferraillage, sont ajoutées des colonnes pour préciser les poids au mètre linéaire des différents

diamètres des barres d’acier.

Ce tableau, disposé sur une page entière, traditionnellement celle de gauche, est divisé en

plusieurs colonnes :

N°

Désignation

des ouvrages

Nombre de parties semblables

Dimensions Résultats

L

l

h

Auxiliaires

partiels

définitifs

- Le numéro correspond à celui des prix ou suit un ordre continu,

- La désignation des ouvrages précise les parties qui font l’objet du calcul,

- Le nombre de parties semblables met en évidence un chiffre qui servira de multiplicateur,

- Les ‘’dimensions’’ donnent les mesures servant au calcul : longueurs, largeurs, épaisseurs

ou hauteurs,

- Les résultats : auxiliaires, partiels, définitifs, reprennent les produits des valeurs

numériques inscrites sur une même ligne.

Il est indispensable de conserver tout au long des calculs la même orientation dans l’espace pour

les dimensions : longueurs, largeurs et hauteurs, qui sont perpendiculaires entre elles et qui

apparaissent généralement de la façon suivante sur les plans :


- longueur : lignes horizontales des vues en plan, ou lignes horizontales des coupes et des

vues de côté,

- hauteurs : lignes verticales des coupes et des vues de côté.

IV.3.2 Conseils pratiques Le technicien respecte, pour ses calculs, les conventions suivantes, s’il désire que son travail soit

vite compris et facilement vérifiable :

• Les multiplications sont présentées horizontalement : le produit de toutes les quantités

inscrites sur la même ligne, est porté dans une des colonnes ‘’résultats’’.

• Les additions et soustractions sont effectuées verticalement, dans une même colonne, en

disposant les nombres les uns en dessous des autres.

Pour les opérations successives :

- les valeurs positives sont additionnées entre elles,

- on procède ensuite de même pour les nombres négatifs,

- le deuxième total est déduit du premier.

Un trait horizontal est tiré en dessous des quantités à additionner, ou à retrancher, et le résultat est

inscrit, soit au dessous, soit en regard, dans la colonne suivante.

• Lorsque les opérations auxiliaires, effectuées sur la page de droite, remplissent plusieurs

lignes correspondant à une seule de la feuille de gauche, un espace en blanc est laissé à

gauche pour que tous les calculs figurent toujours vis-à-vis des résultats.

L’application de cette convention est facultative, si les calculs auxiliaires en page de droite sont

correctement séparés.

• La nature des ouvrages correspondants à un résultat est rappelée en regard dans la

colonne désignation.

• Les quantités, obtenues dans les colonnes des ‘’résultats’’ (auxiliaires ou partiel) réutilisées

par la suite, doivent être suivies, ou précédées, d’un repère (un caractère de l’alphabet par

exemple). La même lettre est inscrite à côté de la désignation de la partie d’ouvrage

considérée lorsque d’autres calculs reprennent ces valeurs.

• L’unité (Kg, m, m², m3, u pour l’unité etc.) est toujours précisée pour les résultats.

• L’orientation, qui reste la même dans l’espace pour chacune des trois dimensions est

repérée, soit sur les croquis annexes en page de droite, soit sur les dessins joints au métré

ou à l’avant métré.

h

L

l


IV.3.3 Méthodes de calcul Les méthodes de calcul seront précisées et utilisées ultérieurement dans de nombreux exemples,

et plus particulièrement en maçonnerie, où les différentes natures de matériaux constitutifs

fournissent des cas d’études particulièrement intéressants. Elles se classent en deux catégories :


Catégorie 1 : Décomposition en éléments.

Les parties de l’ouvrage sont décomposées en figures simples calculables : mais la marche à

suivre pour ce procédé n’obéit à aucune règle systématique et certains résultats ne sont pas

toujours très faciles à obtenir.

Catégorie 2 : Par surface ou volume circonscrit.

On détermine le volume d’un solide de forme simple, le plus souvent un parallélépipède

circonscrit à l’ensemble de l’ouvrage, dont les parties vides sont retranchées. Cette méthode

donne, par soustractions successives, des valeurs souvent difficiles à calculer directement ;elle

évite plus facilement les oublis.

IV.4 REMARQUES DIVERSES

IV.4.1 Récapitulation A la fin d’un avant métré, un tableau résume les résultats. Ce rappel est indispensable si, pour

simplifier les calculs, ceux-ci ont été effectués en considérant la moitié ou le quart de l’ouvrage

présentant des symétries ; les résultats doivent alors être multipliés par 2 ou 4 mais uniquement

lors de la récapitulation. De toute façon, en début de calcul, il convient de bien préciser que les

décomptes ne sont effectués que pour une partie des réalisations futures.

IV.4.2 Unité, précision des résultats, erreurs à é viter Les résultats recherchés servent à calculer les dépenses :

- prévisionnelles pour l’avant métré,

- effectives pour le métré.

Dans le premier cas, il est intéressant d’arrondir les nombres en fonction du degré de précision

souhaité ; en revanche dans le second cas, il faut établir un métré précis car le caractère

comptable d’un règlement de travaux ne tolère aucune approximation.

Malgré tout le soin apporté au calcul, des fautes sont toujours possibles :

- compter deux fois la même valeur dans deux opérations différentes,

- négliger d’en calculer une,

- se tromper d’unité en situant mal la virgule,

- oublier de multiplier par le nombre de paries semblables.

Un calcul préalable rapide, donnant les ordres de grandeurs, permet bien souvent d’éviter ces

erreurs.


Bibliographie



3- Paulhac, F. 1977. L’expertise immobilière. Edition EYROLLES. Paris, 205 p.

4- Charlent, H. 1980. Traité de couverture. Dunod. Paris, 400 p.

5- Komar, A. 1989. Matériaux et éléments de construction. Edition Mir. Moscou, 540 p.


CHAPITRE V : METRE ET AVANT METRE DES OUVRAGES EN BOIS

V.1 GENERALITES

Matériau léger, le bois facilite le montage mécanise de tous les ouvrages. Matériau simplement

débité ou taillé (planche, madrier, bastaing, chevron,…), il sert principalement :

- à édifier des constructions provisoires : platelages, passerelles…

- ou à aider à la mise en œuvre des procédés divers : coffrages de béton, blindages de

fouilles.

Matériau élaboré avec soin sous forme de moderne de “ lamellé-collé ״utilisé pour reconstituer des

poutres longues, légères et esthétiques, il permet de réaliser des ouvrages définitifs : passerelles,

hall, ossature de bâtiment de grandes dimensions.

V.2 EMPLOI DES BOIS DEBITESOU TAILLES

V.2.1 Assemblage Les différentes tailles courantes de bois, exprimées, le plus souvent, en cm², mentionnées dans le

tableau ci après, sont désignées par la section transversale. La standardisation de ce matériau est

une des conditions de la mécanisation qui accélère la réalisation des travaux.

Nom Madrier Basting Chevron Tasseau Volige Liteau Planche

Epaisseur (cm) 8 3,2 à 6,5 6 à 8 2,5 à 4 1,2 à 1,8 2 à 2,12 2,7 à 5,4

Largeur 18 à 28 15,5 à 18 6 à 9 3,8 à 4 18 à 20 2,5 à 4 9 à 22

Les pièces sont réunies les unes aux autres par divers procédés d’assemblages. Certains,

traditionnels et très résistants : queue d’aronde, enture, tenon et mortaise, nécessitent un

personnel qualifié. D’autres modernes, sont plus simples : boulons de charpente à tête carrée,

broches, brides ou colliers métalliques.

V.2.2 Ouvrage provisoires Des passerelles, ou des ponts légers, sont parfois montés en utilisant comme ossature principale,

soit des poutres composées ou à treillis, soit de simples madriers posés sur champ en supportant

d’autres disposés de la même façon. Sur ces derniers, reposent les planches qui constituent le

platelage, c'est-à-dire la surface finale.

Le bois sert également à exécuter des appuis intermédiaires : ce sont les palées constituées par

des pieux, battus sur une ou plusieurs lignes, réunis en tête par un chapeau et contreventés par

des écharpes. Des chevalets comportant une semelle, des montants verticaux et des jambes de

force les coiffent pour augmenter leur hauteur.


Le soutien des coffrages ou des maçonneries pendant la prise du béton ou du mortier est assuré

par des cintres conçus avec des dispositifs de blocage et de déblocage permettant de les retirer

facilement et de les réutiliser au besoin pour d’autres ouvrages.

Les fermes forment l’ossature principale des cintres et des charpentes porteuses.

V.3 LE LAMELLE-COLLE

V.3.1 Fabrication en utilisation Le lamellé-collé est la superposition de planches minces, les lamelles, collés à fils parallèles les

unes sur les autres pour constituer des poutres ou des arcs de grande longueur et de fort

équarrissage pouvant supporter des charges importantes. On confectionne des poutres droites,

avec des éléments rectilignes, ou des arcs en cintrant les planches.

Cette technique, fruit de la modernisation d’un matériau traditionnel, permet des portées très

grandes aussi bien pour les édifices courants de 20 à 30 mètres, que pour les bâtiments industriels

de 40 à 70 mètres et les réalisations spectaculaires de 80 à 100 mètres.

Les lamellés, d’une épaisseur de 20 à 30 mm, qui servent à confectionner des pièces à section

généralement rectangulaire, sont fabriquées à partir des planches et réunis bout à bout au moyen

d’entures. Les éléments de grandes longueurs ainsi obtenus sont rabotés, car le collage ne peut

s’effectuer que sur des surfaces nettes et planes, puis enduits de colle et assemblées dans un

moule qui les maintient cintrés le temps nécessaire : de 16 à 20 heures avec des pressions de 3 à

15 Kg/cm2 selon la variété de colle. A condition de bien choisir cette dernière, toutes les essences

forestières sont pratiquement susceptibles d’être employées pour ce procédé.

Le lamellé-collé est toujours fabriqué dans un atelier dont la température et l’état hygrométrique

correspondent à des normes précises. Des conditions particulières sont en effet nécessaires pour

que les colles possèdent toutes les qualités requises de puissance, de résistance à l’eau, à

l’humidité, ainsi qu’aux attaques d’agents destructeurs.

Trois variétés sont actuellement retenues :

- à la caséine pour les résineux et les feuillus tendres ;

- urées-formol, légèrement acides, parfois chargées avec des farines inertes, pour toutes les

essences ;

- résorcines pour les bois chimiquement neutres, recommandées pour toutes les

constructions à l’air libre ou soumises à l’humidité.

Après le collage et le pressage, les pièces sont découpées, rabotées, poncées soigneusement et

revêtues d’une ou de plusieurs couches de produits hydrofuge, ignifuge ou de conservation.


V.3.2 Transport, mise en place et entretien Les poutres ou les arcs façonnés en usine sont acheminés sur les lieux d’utilisation. Le transport

rend souvent nécessaire le tronçonnage de lamellés-collés en plusieurs morceaux qui devront être

rassemblées sur l’emplacement de montage.

Des précautions sont à prendre pour éviter les chocs brutaux et pour assembler les tronçons entre

eux, puis les poser correctement sur leurs appuis. Malgré le volume et les importantes dimensions

des pièces à manipuler, le lavage est réalisé à l’aide des engins classiques, par suite de la

légèreté du bois.

L’entretien d’un ouvrage en lamellé-collé est peu couteux : le bois résiste bien à la corrosion et à

l’action des agents atmosphériques ; son défaut est d’être inflammable.

Toutefois, au cours de la combustion d’un lamellé-collé, la température interne ne monte que

lentement et la surface se recouvre d’une couche carbonisée qui diminue l’apport de chaleur à la

partie non enflammée et empêche l’arrivée d’oxygène à la zone en ignition. Dans ces conditions, la

vitesse de pénétration du feu est lente pour une poutre de fort équarrissage ; elle ne dépasse pas

0,6 mm par minute.

La durée de résistance au cours d’un incendie est ainsi bien supérieure à celle d’une pièce

équivalente en métal ou en béton. Au-delà de 200°, les caractéristiques métalliques de l’acier

diminuent ; vers 600° la charpente se déforme et les poussés sur les murs, par suite de la

dilatation, provoquent l’effondrement. En revanche, l’arc et la poutre en lamellé-collé restent

stables tant que la partie intérieure non brûlée est assez résistante.

V.4 DEFINITION DES PRIX ET METRE OUVRAGES

L’estimation et le règlement des ouvrages tiennent compte :

- de la qualité (ou de l’essence) du bois,

- de la quantité utilisée : volume en m3,

- de la nature des travaux à réaliser et des difficultés de mise en œuvre.

V.4.1 Ouvrages provisoires - Platelages, passerelles, palées, etc. Le bois est payé au m3. Les conditions de règlement précisent s’il s’agit du volume réel, ouvrage

terminé, ou de celui à utiliser avant la découpe.

Tous les éléments quelque soit leurs dimensions, sont pris en considération et classés par

catégorie en commençant par les essences les plus chères. Dans chaque groupe, l’évaluation

s’effectue en suivant l’ordre d’importance des pièces. Le prix doit tenir compte des assemblages

métalliques lorsqu’ils sont nécessaires.

En complément de la valeur de la fourniture, il convient de préciser le coût de la mise en œuvre et

du démontage, avec remise en état des lieux après l’enlèvement de l’ouvrage.


Ces prestations sont généralement traitées au forfait. Mais, pour en déterminer le prix il faut

procéder au calcul préalable des quantités de matériaux, des temps de main d’œuvre et de durée

d’utilisation du matériel.

- Blindages – Cintres Le bois est payé au m² de surface blindée ou supportée par le cintre, en y incluant tous les

dispositifs de support. Des plus values sont à appliquer pour les grandes dimensions : fouilles

profondes, cintres de hauteur importante.

Les bois des blindages, difficilement récupérables dans les souterrains et dans les tranchées

étroites, sont abandonnés sur les lieux. Le prix de règlement est calculé en conséquence. Les

cintres, par contre, sont toujours récupérés et l’entreprise prévoit les cales, coins ou vérins

destinés à faciliter leur enlèvement et leur réemploi.

V.4.2 Ouvrages définitifs en lamellé-collé Le bois est payé au m3 ouvrage déterminé. La rémunération prend en compte, pour une nature de

lamelle et de colle bien précisée, le façonnage en atelier, le transport et le montage ainsi que les

dispositifs de fixation des parties de charpente entre elles et sur les supports d’extrémités.

V.4.2 Présentation de l’avant-métré et du métré Les tableaux habituels de calcul sont utilisés avec quelques adaptations : le technicien précise

dans une, ou deux colonnes, la section de la pièce considérée ; cette surface, multipliée par la

longueur voulue, donne le volume.

V.4 DEVOIR Faire l’avant métré de l’ouvrage en bois ci après.


Bibliographie

6- Moirant. 1965. Dictionnaire du bois, ses dérivées. Maison du dictionaire. Paris, 356 p.


8- Paulhac, F. 1977. L’expertise immobilière. Edition EYROLLES. Paris, 205 p.

9- Charlent, H. 1980. Traité de couverture. Dunod. Paris, 400 p.

10- Komar, A. 1989. Matériaux et éléments de construction. Edition Mir. Moscou, 540 p.


12- DUT. 1984. Règles de calcul et de conception des charpentes en bois, règles C.B. 71 Coll. EYROLLES. Paris, 181 p.

13- Riollot, C. 1998. Menuiserie du bâtiment, technologie professionnelle pratique. Dunod. Paris, 345 p.

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