Méthodes sismiques 1 - Les ondes sismiques - Moodle · ij, (i 6= j); l et m sont les constantes de...

Introduction

Dfinitions

quations dondes

Solutionsparticulires auxquations donde

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

MTHODES SISMIQUES1 - Les ondes sismiques

Bernard Giroux([email protected])

Institut national de la recherche scientifiqueCentre Eau Terre Environnement

Version 1.0.3Automne 2011
[email protected]

Introduction

Dfinitions

quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Gnralits

Les mthodes sismiques sont des techniques dimageriebases sur la mesure de la propagation des ondessismiques.Les ondes sismiques sont de nature mcanique.On peut dire dune onde que

cest une perturbation du milieu qui se propage dans lespaceet le temps ;sa propagation est fonction des proprits physiques dumilieu.

On peut dcrire le phnomne de la propagation des ondessismiques partir de

la loi de Hooke : reliant contrainte et dformation ;la 2e loi de Newton : reliant force et acclration.

Introduction

Dfinitions

quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Caractristiques lastiques des solides

Les relations entre contrainte et dformation pour unmatriau permettent de dcrire les proprits lastiques dece matriau, ainsi que les caractristiques (tel que lavitesse) des ondes qui sy propagent.Dfinitions :contrainte : force par unit de surface (F/A) en N/m2 ;dformation e : dformation unitaire Ll ou

VV .

lintrieur des limites dlasticit, la contrainte estproportionnelle la dformation (loi de Hooke).

Introduction

DfinitionsContrainte

Dformation encompression/dilatation

Dformation encisaillement

quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dfinitions

Module dYoung ou module dlasticit (E)

E =F/Al/l

=contrainte uniaxiale

dformation parallle la contrainte

avec F/A = P.

Module dlasticit volumique, ou bulk modulus (K)

Une contrainte hydrostatique P dans les trois axes orthogonauxentrane une changement de volume V.

K =contrainte volumique

dformation volumique=

F/AV/V

=P

V/V

1/K est appel compressibilit.

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dfinitions

Module (dlasticit) de cisaillement ou rigidit ()

Mesure du rapport contrainte/dformation dans le cas duncisaillement simple tangentiel. Dformation sans changementde volume.

=P

l/l=

P

;

est langle de dformation.

2e constante de Lam (incompressibilit du fluide)

= K 2/3

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dfinitions

Coefficient de Poisson ()

est la mesure du changement gomtrique dans la forme ducorps lastique (dans les directions orthogonales la directionde la contrainte)

=dformation transversale

dformation longitudinale=

W/Wl/l

est toujours infrieur 0.5. Pour la plupart des roches, 0.25. Le coefficient de Poisson est reli au module dYoungpar la 2e constante de Lam :

=E

(1 + )(1 2) .

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dfinitions

Les constantes lastiques sont indpendantes deux par deux.

K =E

3(1 2) ;

=E

2(1 + );

E =9K

3K + ;

=3K 26K + 2

.

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Contrainte

La contrainte est dfinie comme le rapport de la force sur lasurface

~ =~FA

.

Lorsque A tend vers zro,

~ =~FA

.

La contrainte normale (compression ou dilatation) sexprimepar Fn/A, la contrainte de cisaillement par Ft/A.

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Contrainte

Fn

F

Ft

A

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Contrainte

En 3D avec systme de rfrence x1, x2, x3 et une surfacedu2 du3 dont la normale est selon x1, les composantes de lacontrainte seront en compression selon 11 et encisaillement selon 21 et 31.Notation : le premier indice reprsente la direction de lacontrainte, et le deuxime indice est la direction de lanormale au plan sur lequel la contrainte agit.Ainsi, on trouvera neuf composantes totales possibles,soient :

trois contraintes de compression (ou dilatation) : 11, 22 et33six contraintes de cisaillement : 12, 21, 13, 31, 23 et 32 ;avec 12 = 21, 13 = 31 et 23 = 32.

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Contrainte

x3

x2x1

E

F

GD

A

B

CO

11

31

21

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dformation en compression/dilatation

O A A' B B'u1

dx1 u1+u1x1dx1

Dfinition : variation du dplacement subie par A et B sur lasparation originale entre A et B, i.e.

dformation =AB AB

ABou encore

e11 =(dx1 u1 + u1 + u1x1 dx1) dx1

dx1=

u1x1

,

et de manire gnrale

eii =uixi

, i = 1, 2, 3.

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


La variation selon les trois dimensions de lespace est

initialement sous contraintedxi dxi (1 + eii)

Le volume rsultant initial est donc V = dx1 dx2 dx3 et levolume sous contrainte est

V = dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33).

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Le coefficient de dilatation sera

=(V V)

V=

VV

=dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) dx1 dx2 dx3

dx1 dx2 dx3= (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) 1= 1 + (e11 + e22 + e33) + (e11e22 + e11e33 + e22e33

+e11e22e33) 1.

En ngligeant les produits des e11, e22 et e33, on a

= e11 + e22 + e33.

Lquation de londe P est exprime en fonction de .

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dformation en cisaillement

+

22

x2

x1(a) (b)

u2x1dx1

u1x2dx2

u1x1dx1

u2x2dx2

dx1

dx2

/2 + tan(/2 + ) =u1x2

dx2dx2

=u1x2

/2 = u2/x1

Introduction




quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Dformation en cisaillement

On dfinit e12 comme la dformation de cisaillement

e12 =u1x1

+u2x2

Langle de rotation autour de laxe x3 est

=12

(u2x1 u1

x2

) 3.

En trois dimensions, on a

e12 = e21 =u2x1

+u1x2

,

e23 = e32 =u3x2

+u2x3

,

e31 = e13 =u1x3

+u3x1

.

Introduction

Dfinitions

quations dondesOnde P

Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quations dondes

Soit une contrainte agissant sur un matriau lastique etprovoquant une dformation e.Suite cette contrainte, le matriau est hors dquilibre.Les forces scrivent comme

11x1

dx1,21x1

dx1,31x1

dx1;

Voyons comment ces forces peuvent tre relies unequantit mesurable.Dfinissons le vecteur de dplacement dune particule (oulment de volume) par

u = u1x1 + u2x2 + u3x3.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quations dondes

u (ou sa drive dans le temps) est la quantit mesure ensismique.

La deuxime loi de Newton relie 2u

t2 (lacclration) laforce exerce

2u1t2

= Forces agissant sur le volume selon x1

=11x1

+12x2

+13x3

o est la densit (constante) du matriau.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quations dondes

Par ailleurs, les dformations sont exprimes en termes descomposantes de u, i.e.

eij =12

(uixj

+ujxi

).

La loi de Hooke relie contraintes et dformations.La forme gnrale de la loi de Hooke scrit

ij = cijpqepq, (1)

o cijpq est un tenseur dordre 4 21 coefficientsindpendants.Pour un milieu isotrope, on a ii = + 2eii, etij = 2eij, (i 6= j) ; et sont les constantes de Lam.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quations dondes

On arrive ainsi a

2u1t2

= x1

+ 2e11x1

+ e12x2

+ e13x3

= x1

+

[2

2u1x21

+

(2u2

x1x2+

2u1x22

)

+

(2u3

x1x3+

2u1x23

)]

= x1

+ 2u1 +

x1

(u1x1

+u2x2

+u3x3

)= ( + )

x1

+ 2u1. (2)

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quations dondes

Selon les axes x2 et x3, on obtient

2u2t2

= ( + )x2

+ 2u2 (3)

et

2u3t2

= ( + )x3

+ 2u3. (4)

On peut exprimer les quations (2), (3) et (4) sous la formevectorielle comme

2ut2

= ( + ) + 2u. (5)

Cette quation permet de dcrire le mouvement desparticules dans un milieu lastique, homogne et isotrope.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde P

La forme gnrale de lquation donde est

1V2

2

t2= 2 (6)

avec V la vitesse de londe.En effectuant la divergence de (5) on obtient

12

2t2

= 2 (7)

qui dcrit la propagation dune perturbation se dplacantavec une vitesse =

( + 2)/.

(7) est lquation de londe P, qui se propage avec unevitesse .

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde P

L. Braille
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Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde S

Sil y a un mouvement de rotation, londe est dcrite par lerotationel de (5).Lquation vectorielle pour les ondes S scrit alors

12

2

t2= 2 (8)

en utilisant la dfinition des angles de rotation de ladformation tels que

1 =12

(u3x2 u2

x3

), 2 =

12

(u1x3 u3

x1

),

3 =12

(u2x1 u1

x2

).

et = 1x1 + 2x2 + 3x3 =

u2

.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde S

Le terme dcrit le cisaillement que subit le volume derfrence.Londe S se propage avec une vitesse =

/.

Les constantes dlasticit sont toujours positives lavitesse < .

Lexpression reliant et est =

12

(2

), ou alors

=

(0.5 1

)1/2,

o est le coefficient de Poisson.

Introduction

Dfinitions


Onde S


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde S

L. Braille
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Introduction

Dfinitions

quations dondes

Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane

Potentiels de dplacement

Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde plane

Lquation (5) nest pas toujours pratique pour dcrirecertains phnomnes, en particulier le partitionnement delnergie une interface.Par ailleurs, on sintresse souvent aux ondes Puniquement.Partant de lquation (6), considrons le cas o estfonction de x1 et de t seulement.Toute fonction = f (x1 Vt) est alors une solution delquation donde, en autant que est ses deux premiresdrives soient finies et continues.Le choix dune fonction donne par rapport une autredpend principalement des conditions aux frontires duproblme rsoudre.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde plane

y = f(x1)

y = f(Vt - x1)

Vt - x1 = 0donc x1 = Vt

t = 0

x

x

A

A

t = t

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Onde plane

La quantit x1 Vt est appele la phase de londe.Les surfaces sur lesquelles la phase est constante sont lesfronts donde.Dans le cas o la propagation se fait uniquement selon x1,ces surfaces sont planes et perpendiculaires x1, et on aalors affaire une onde plane.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Il est possible de trouver des solutions pour (7) et (8) enfonction de la dilatation et du cisaillement .Cependant, il est plus intressant davoir une expressionpour le dplacement (u) ou la vitesse (u/t) des particulesconstituants le milieu, ces quantits tant plus facilementmesurables.On introduit deux fonctions de potentiel (x1, x2, x3, t) et(x1, x2, x3, t), solutions de lquation donde (6), et partirdesquels le dplacement u peut tre obtenu.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Si lon pose et tel que

u = (

+

x3

)2x3, (9)

on peut montrer que

= u = 2 (10)2 = u = 2x2. (11)

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Considrons maintenant le cas simple o le potentiel estnul et que le potentiel ne varie que dans la direction x1(c.--d. = (x1, t)).Le dplacement des particules en un point sera dcrit par

u = =(

x1, 0, 0

).

Ce dplacement se fait donc dans la mme direction que lapropagation de londe.Cette onde est donc une onde P.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Si est nul en tout point et que varie seulement dans ladirection x1 (c.--d. = (x1, t)), le dplacement desparticules est dcrit par

u = =(

0,3x1

,2x1

).

Les particules se dplacent perpendiculairement ladirection de propagation de londe et nous sommes enprsence dune onde S.Londe S est souvent dcompose en une composanteverticale par rapport la direction de propagation (SV) eten une composante horizontale (SH), c.--d. londe estpolarise.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes harmoniques

Quelle forme peuvent prendre les potentiels dedplacement ?Les ondes harmoniques constituent la solution la plussimple pour rsoudre (9).Une onde harmonique monochromatique de vitesse V estdcrite par

= A sin k(lx1 + mx2 + nx3 Vt)

ou bien = A expj[{lx1+mx2+nx3)/V}t] . (12)

Cette onde se propage selon le cosinus directeur (l, m, n) eta une longueur donde gale = 2/k.La longueur donde est relie la vitesse et la frquence f(f = /2) par

V = f . (13)

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes harmoniques

Soit le cas simple dune onde P incidente la surfacesparant deux demi-espaces.

11

'1

A0 A1

B1

x3

x1

2

2

A2B2

2, 2, 2, 2, 2

1, 1, 1, 1, 1

onde Sonde P

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes harmoniques

Les fonctions de potentiel peuvent scrire

1(x1, x3, t) = A0 expi(

x1 sin 11

+x3 cos 1

1t)

+A1 expi(

x1 sin 1

1+

x3 cos 1

1t)

(14)

1(x1, x3, t) = B1 expi(

x1 sin 11

x3 cos 11 t)

x2 (15)

2(x1, x3, t) = A2 expi(

x1 sin 11

+x3 cos 1

1t)

(16)

2(x1, x3, t) = B2 expi(

x1 sin 22

+x3 cos 2

2t)

x2. (17)

Ces quations permettent de calculer le coefficient derflexion en fonction de langle dincidence : 1er pas pourune interprtation quantitative.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes de Rayleigh

Les ondes de Rayleigh sont dues linteraction des ondes Pet SV une surface libre.Soit x3 laxe vertical et la surface libre dans le plan x1-x2 x3 = 0, les contraintes 13, 23 et 33 y sont nulles.Considrons les potentiels de dplacement

= A exp [i(px1 + x3 t)]= A exp [x3] exp [i(px1 t)] ;

= B exp[i(px1 + x3 t)

]= B exp

[x3

]exp [i(px1 t)] .

o p = 1/c est la lenteur (inverse de la vitesse) horizontale.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes de Rayleigh

Les constantes et sont

=

12 p2 = i

= i

p2 1

2= i

1c2 1

2.

=

12 p2 = i

= i

p2 1

2= i

1c2 1

2.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes de Rayleigh

En appliquant les conditions aux frontires, on trouve

u1 = Ap sin[(px1 t)][ex3

+12

(c2

2 2)

ex3]

(18)

et

u3 = Ap cos[(px1 t)][cex3

+1

2c

(c2

2 2)

ex3]

. (19)

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes de Rayleigh

Les dplacements ci-dessus ont une dpendanceharmonique en x1, et exponentielle en x3.Lamplitude dcrot exponentiellement en fonction de laprofondeur, londe est dite vanescente.Les dplacements selon x1 et x3 sont dphass de 90, et secombinent pour produire un mouvement ellipsoidal.En sismique dexploration, les ondes de Rayleigh sontsouvent appeles ground roll.On peut par ailleurs montrer que c (la vitesse de londe deRayleigh) est toujours infrieure .En gnrale, c vaut entre 0.9 et 0.95.

Introduction

Dfinitions

quations dondes



Ondes harmoniques

Ondes de Rayleigh

Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Ondes de Rayleigh

L. Braille
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Introduction

Dfinitions

quations dondes


Rais sismiquesRflexion dune ondeplane

Rfraction dune ondeplane

quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rais sismiques

Le rai sismique constitue unefaon simple de se reprsenter latrajectoire de propagation delonde.

0 2 4 6

15

10

5

0

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rflexion dune onde plane

Onde S rchie

Onde P rchie

Onde

incidente

A

B

C

x

x

xVS1VP1

VS1VP11

VS2VP22

i

rs

rp

Diagramme quivalent

Principe de Huygens-Fresnel

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Soit une front donde AB incident avec un angle i ;Le point A est la source dune onde P et dune onde SVconvertie ;Le temps requis pour aller de B C est gal au rayon xpour londe P et VS1VP1 x pour londe S ;

Si on trace une tangente du point C au front donde P, onvoit que langle de rflexion rp est gal langle i ;Pour londe S, langle de rflexion rs est donn par

sin rs =VS1VP1

sin i. (20)

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


On a ainsi que

sin iVP1

=sin rpVP1

=sin rsVS1

= p, (21)

o p est le paramtre du rai.Lorsque i = 0, le rapport entre lnergie rflchie etlnergie incidente est donn par

ErEi

0=

(2VP2 1VP1)2

(2VP2 + 1VP1)2 . (22)

Ce rapport dpend de limpdance acoustique (V). Si2V2 = 1V1, il ny a pas de rflexion.

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rfraction dune onde plane

VS1VP11

VS2VP22

xVS2VP1

xVP2VP1

A B

D

C

Onde

incidente

Onde S

rfracte

Onde P

rfracte

x

i

Rs

Rp

Diagramme quivalent

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Le temps requis pour aller de B C dans le milieu 1 est gal VP2VP1 x pour londe P dans le milieu 2, et

VS2VP1

x pour londeS.La gomtrie du problme nous dit galement que

sin i =BCAB

=x

ABet sin Rp =

ADAB

=VP2VP1

xAB

do on tire la loi de Snell

sin isin Rp

=VP1VP2

. (23)

Pour londe de cisaillement, on a

sin isin Rs

=VP1VS2

. (24)

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences


Lorsque sin i = VP1VP2 , sin Rp = 1 et Rp = 90, londe ne

pntre pas dans le deuxime matriau mais voyage linterface entre les deux milieux.Langle critique est dfini par

ic = sin1(

VP1VP2

). (25)

Pour tout angle dincidence i plus grand que ic, il ny a pasde rfraction et londe est totalement rflchie.Les lois de la rflexion et de la rfraction peuvent tresynthtiss en statuant qu une interface, le paramtre durai (quation (21)) a la mme valeur pour londe incidente,londe rflchie, et londe rfracte. Il sagit de la formegnrale de la loi de Snell.

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

Point de dpart : propagation dune perturbationdiscontinue dans un milieu homogne.Cette discontinuit est dfinie comme le produit de deuxfonctions, lune du temps et lautre de la position :

u(x, t) = U(t T)f (x) (26)

o T correspond au temps de parcours (travel time) etdpend de la position, c.--d. T = T(x) (problme nonlinaire).

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

Lquation (26) est une solution de lquation (5) valide entout point lexception de la position de la source,considre ponctuelle.Considrons la composante selon x1, on a que

2U1t2

f = ( + )

x1

(U1fx1

+U2fx2

+U3fx3

)+ 2U1f .

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

En distribuant les drives partielles et le Laplacien, onobtient

2U1t2

f = ( + )

[f

2U1x21

+f

x1U1x1

+ U12fx21

+f

x1U1x1

+ f2U2

x1x2+

fx1

U2x2

+ U22f

x1x2+

fx2

U2x1

+ f2U3

x1x3+

fx1

U3x3

+ U32f

x1x3+

fx3

U3x1

]

+

[f

2U1x21

+f

x1U1x1

+ U12fx21

+f

x1U1x1

+ f2U1x22

+f

x2U1x2

+ U12fx22

+f

x2U1x2

+ f2U1x23

+f

x3U1x3

+ U12fx23

+f

x3U1x3

].

(27)

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

Or, U dpend de T qui son tour dpend de la position.On trouve ainsi une relation du type suivant pour lescomposantes de U

x2

(Uix1

)=

2Uit2

Tx1

Tx2 Ui

t2T

x1x2. (28)

Il faut maintenant combiner les composantes U1, U2 et U3,ce qui donne une expression complexe reliant les drivessecondes temporelles de U, les drives premires spatialeset temporelles de U, U ainsi que f et ses gradients.

Introduction

Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

Or, au voisinage du front donde, U fluctue plusrapidement que f , ce qui fait que Ut et

2Ut2 fluctuent

dautant plus vite.On peut alors dgager la condition suivante(

T T + 2

)(T T

)= 0. (29)

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Dfinitions

quations dondes




quation de leikonal

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

quation de leikonal

De lquation prcdente, on peut extraire lquation deleikonal

T T (

Tx1

)2+

(Tx2

)2+

(Tx3

)2= s2

o s = s(x) est la lenteur (inverse de la vitesse).Cette quation est la base de plusieurs algorithmes de tracde rai, trs utiliss en inversion/tomographie.

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Zone de Fresnel

Une rflexion est en ralit constitu dnergie rflchie parune aire relativement tendue.La zone de Fresnel est la surface partir de laquelle lnergierflchie nest pas dphase de plus dun quart de cycle,i.e. lnergie interfre de faon constructive.

source

hn

h1hh0

Pn

P0

R1

Rn

P1

P

R

dR

1re zone

1

2e R5e4e3e

Am

pli

tud

e

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Zone de Fresnel

Pour une onde de longueur donde , lamplituderetourne au point source en fonction du rayon estmaximum R1 = (h0/2)1/2 ;La contribution principale provient de la surface dfiniepar le cercle de rayon R1, que lon nomme premire zonede Fresnel, ou simplement zone de Fresnel.La premire zone de Fresnel est souvent utilise commemesure de la rsolution horizontale.Si le rflecteur est de dimension infrieure cette zone, sarponse est essentiellement celle dun point diffractant.

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Longueur donde

Le signal mesur est une ondelette, de frquencedominante f donne (bande passante donne) ;Pour une vitesse de propagation V donne, la longueurdonde est = V/f ;

Longueur donde (m)Frquence Vitesse (m/s)

(Hz) 1000 2000 3000 4000 50001 1000 2000 3000 4000 5000

40 25 50 75 100 125100 10 20 30 40 50500 2 4 6 8 10

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Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Vitesses sismiques des roches

Nature des terrains Vp [m/s] Vs [m/s] [g/cm3]boulis, terre vgtale 300-700 100-300 1.7-2.4sable sec 400-1200 100-500 1.5-1.7sable humide 1500-4000 400-1200 1.9-2.1argiles 1100-2500 200-800 2.0-2.4marnes 2000-3000 750-1500 2.1-2.6grs 3000-4500 1200-2800 2.1-2.4calcaires 3500-6000 2000-3300 2.4-2.7craie 2300-2600 1100-1300 1.8-2.3sel 4500-5500 2500-3100 2.1-2.3anhydrite 4000-5500 2200-3100 2.9-3.0dolomie 3500-6500 1900-3600 2.5-2.9granite 4500-6000 2500-3300 2.5-2.7basalte 5000-6000 2800-3400 2.7-3.1charbon 2200-2700 1000-1400 1.3-1.8eau 1450-1500 - 1glace 3400-3800 1700-1900 0.9huile 1200-1250 - 0.6-0.9

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rsolution et dtection

Pouvoir de rsolutioncapacit de sparer en profondeur deux horizons ;de lordre de /4 /2 selon la largeur de bande et leniveau de bruit.

Pouvoir de dtectionla plus petite couche qui puisse donner naissance unerflexion ;se situe entre /30 et /10.

Rsolution latralecapacit dindividualiserlatralement deux vnements ;relie la zone de Fresnel ;

Zone de Fresnel

/4

Bref : plus la longueur donde est courte (et la frquenceleve), meilleure est la rsolution.

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Frquence centrale et largeur de bande

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

Enveloppe spatiale

0 50 100 150 2001.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Signal

0 100 200 300 400 50010

15

1010

105

Spectre de puissance

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

Distance0 50 100 150 200

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Temps0 100 200 300 400 500

1015

1010

105

Frequence

fc

B

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Rsolution

Attnuation desondesOrigine et cause

Le facteur de qualitsismimque

Divergence gomtrique

Rfrences

Origine et cause

Lattnuation peut tre dfinie comme la diminution delamplitude et une perte prfrentielle des hautesfrquences du signal sismique, en fonction de la distancede propagation ou du temps.Cest un phnomne aux causes multiples.Un des facteurs principaux en est labsorption, cest--direla transformation de lnergie sismique en chaleur parfriction interne ou granulaire dans un milieu inlastique,ou entre un fluide et la matrice poreuse le contenant.Un autre facteur important est la diffusion (scattering) delnergie sismique occasionne par des htrognits defaibles dimensions.

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Rsolution




Rfrences

Le facteur de qualit sismique Q

Le facteur de qualit Q (adimensionnel) est gnralementutilis pour quantifier lattnuation propre un matriau ;Le facteur Q est inversement proportionnel lnergieabsorbe par le milieu lors dun cycle doscillation delonde

Q = 2/(fraction dnergie perdue par cycle)= 2/(E/E) (30)

Plus le matriau est de pitre qualit du point de vuesismique, plus lnergie de londe sismique dissipe (E)est grande, plus le facteur de qualit sera faible.

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Rsolution




Rfrences


Phnomne du une redistribution de lnergie enfonction de la surface occupe par le front donde.Son effet varie selon le type donde se propageant, soitquelle est plane, cylindrique ou sphrique.Dcrite par un rapport dintensit, lintensit I tant laquantit dnergie se propageant travers une surfacenormale la direction de propagation par unit de temps.Onde sphrique : surface = 4r2 dcroissance delintensit par linverse du carr de la distance la source.Onde plane : divergence nulle et intensit constante.

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quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rfrences

Rfrence gnrale

Sheriff, R. E. and Geldart, L. P. (1995). ExplorationSeismology. Cambridge University Press, 2nd edition

Pour aller plus loinAki, K. and Richards, P. G. (2002). Quantitative Seismology.University Science Books, Sausalito, CA, 2nd editionCarcione, J. M. (2007). Wave Fields in Real Media : WavePropagation in Anisotropic, Anelastic, Porous andElectromagnetic Media, volume 38 of Handbook of GeophysicalExploration : Seismic Exploration. Elsevier, 2nd editionCerven, V. (2005). Seismic Ray Theory. CambridgeUniversity Press

Introduction

Dfinitions

quations dondes


Rais sismiques

Rsolution

Attnuation desondes

Rfrences

Rfrences

Dahlen, F. A. and Tromp, J. (1998). Theoretical GlobalSeismology. Princeton University PressMavko, G., Mukerji, T., and Dvorkin, J. (2009). The RockPhysics Handbook. Cambridge University Press, 2 editionLay, T. and Wallace, T. C. (1995). Modern Global Seismology,volume 58 of International Geophysics Series. AcademicPress, San Diego
IntroductionDfinitionsContrainteDformation en compression/dilatationDformation en cisaillementquations d'ondesOnde POnde SSolutions particulires aux quations d'ondeOnde planePotentiels de dplacementOndes harmoniquesOndes de RayleighRais sismiquesRflexion d'une onde planeRfraction d'une onde planequation de l'eikonalRsolutionAttnuation des ondesOrigine et causeLe facteur de qualit sismimqueDivergence gomtriqueRfrences

Méthodes sismiques 1 - Les ondes sismiques - Moodle · ij, (i 6= j); l et m sont les constantes de...

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