Methodes Sismiques. Comportement Élastique Des Roches

8/20/2019 Methodes Sismiques. Comportement Élastique Des Roches

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Cours de prospection sismique

COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES

By Djeddi Mabrouk

Ce cours « Methodes Sismiques.Comportement élastique des roches » dispensé en

Géophysique au département de Géophysique de la FHC n’est pas encore entièrement achevé,il peut également subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des références absentes.N’hésitez pas à

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Si vous utilisez des données de ce travail , vous devez citer la référence en bibliographie de la façon

suivante :

Djeddi Mabrouk .Cours de prospection sismique (Comportement élastique des

roches).Département de Géophysique de la FHC.Université M’Hamed Bougara de BoumerdesAlgérie 03/2016.

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METHODES SISMIQUES. COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES

Introduction

La géophysique est une branche des sciences de la terre qui consiste à étudier les

propriétés physiques du globe terrestre.Elle englobe plusieurs disciplines tel que le

géomagnétisme, l’electrométrie ,la gravimétrie, la sismologie , la radiométrie ,

l’electromagnétisme et la méthode sismique d’exploration.

Cette dernière se divise principalement en deux grandes familles

- La sismique réflexion

- La sismique réfraction

Les deux méthodes se basent sur la propagation des ondes acoustiques(sismiques)

dans le sous-sol.

Caracteristiques élastiques des roches

Nous nous contenterons de rappeler très succintemenet la théorie d’élasticité qui est à labase de la bonne comprehension de la propagation des ondes élastiques (sismiques)

en effet, La théorie de l’élasticité des materiaux est à la base de la transmission des ondes

acoustiques(sismiques) et donc les méthodes d’exploration sismique et la sismologie tirent

profit de cette théorie. Il est donc utile de rappeler succinctement certains paramètres ou

modules élastiques pour un corps homogène et isotrope soumis à une contrainte sans subir

une déformation permanente.

Il n’existe pas de solides qui ne se déforment pas. Tout corps soumis à de très

faibles contraintes (forces par unité de surface) se déforme , il subit uncomportement élastique appelé domaine d’élasticité. On dit qu’il est élastique au

sens général du terme .Par la suite on considère que tout materiau homogène et

isotrope se trouvant à des températures et des presssions relativement faibles peut

être consideré parfaitement élastique , à condition que les déformations dont il était

l’objet , soient petites.

Dans ces conditions, on observe deux propriétés :

- Une relation linéaire entre la contrainte appliquée et la déformation du materiau.

- Une reversibilité de la déformation .Lorsque la contrainte appliquée cesse d’agir, le

corps retrouve son état initial.

Lorsqu’un corps est soumis à une force appliquée sur une petite surface , il subittrois(3) types de déformation

- Des déformations de compression

- Des déformations de tensioqui sont de même nature que les déformations de

compression.Dans les deux cas ce sont des déformations longitudinales.


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-Des déformations de cisaillement .La force appliquée est parallèle à la surface et la

déformation est de nature angulaire .

Les propriétés élastiques des materiaux sont regies par la loi de Robert Hooke

(physicien anglais 1635-1703) qui exprime une relation de proportionnalité entre

contraintes et déformations, relation que l’on peut établir par les constantes ou

modules élastiques.Ils caracterisent les propriétés élastiques des materiaux.

Rappel succint des contraintes et deformations

Contraintes

Lorsqu’une roche (solide) est soumise à des faibles contraintes, elle se déforme et

reprend sa forme initiale quand la contrainte cesse .La déformation est réversible,

c’est un comportement élastique. La contrainte se définit comme étant une force

appliquée à une certaine unité de surface. C’est une propriété ponctuelle(un tenseur)

.On distingue deux types de contraintes fig 1 (a).

- Les contraintes normales - Les contraintes de cisaillement

Fig 1 :(a) type de contrainte, (b) nombre de composantes de contrainte sur un petit cube

Il existe 9 composantes de contrainte sur un petit cube (fig1.b)dont

- 3 contraintes normales , , - 6 contraintes tengentielles(contraintes de cisaillement) xy , yx , xz , zx , yz, zy Les contraintes de cisaillement qui se correspondent sont égales

xy = yx = xz = zx = yz = zy

ab


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On peut donc representer les composantes des contraintes à l’aide d’une matrice .

| | Déformations

Les déformations sont des déplacements par unité de longueur causées par les

contraintes . La relation entre déformation et contrainte est souvent linéaire et la

transmission des ondes sismiques dans le sous –sol est permise par cette propriété

élastique des roches.

Les déformations dans la direction de contrainte entrainent toujours des déformations

dans les autres directions.

La figure 2 montre le domaine d’élasticité linéaire

de la courbe contrainte -

déformation .Il se caracterise par :-Une relation de proportionnalité entre la contrainte appliquée et la déformation dumateriau-une reversibilité de la déformation lorsqu’on relâche la force, le materiau revient àson état initialPour de très petites déformations, la courbe contrainte–déformation est linéaire, avec

une pente (module d’Young).La relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation est : = .

s’appelle module d’Young .Il représente la pente de la courbe

dans le domaine

d’élasticité L’unité du module d’Young est la même que celle d’une contrainte(force par unitéde surface,/).Comme les déformations sont sans unité,alors l’unité en systèmeinternational d’une pression est le Pascal ( = /2).Il ya également d’autres unités tel que :le é ( 1 = 10 le (1 =10 )le / 2 = 9.81 /2 le ℎ ( = 6.895.103 )


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fig2 :comportement des materiaux soumis à des efforts

Constantes élastiques des roches

1- Module d’Young

Les propriétés élastiques des materiaux sont definies par des constantes élastiques

permettant d’établir une relation entre la contrainte qui leur est appliquée et la

déformation engendrée.En 1676, le physicien anglais Robert Hooke(1635- 1703) a

établi une relation linéaire de proportionnalité entre les contraintes et lesdéformations , relation que l’on peut exprimer par les constantes élastiques

determinées comme suit :

Tout materiau isotrope soumis à une faible contrainte (force appliquée par unité de

surface, / ) subit un raccourcissement (ou un allongement) fig 3 (a,b) Le module d’Young s’exprime par la relation :

=

∆

= soit

= .

Si l’échantillon de section possède un diamètre , on aura :∆ = . = . = . . ∶ force appliquée :section initiale∆ ∶ Allongement (ou raccourcissement) du materiau sous l’action de la traction ou de

la compression

∶ longueur initiale

: module d’Young : contrainte


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: déformation ∶ Contrainte par unité de surface ∆ : allongement ou raccourcissement par unité de longueur.Ainsi, une tension appliquée sur les faces perpendiculaires d’un parallélépipèderectangle produit un allongement

∆ des arêtes parallèles à l’axe de la tension

.Le

rapport Tension/Allongement par unité de longueur est le module d’allongement oumodule d’Young defini par : = ∆

Fig 3 : (a) déformation de compression , (b) déformation de tension T

2- COEFFICIENT DE POISSON

C’est le mahématicien français Siméon Denis Poisson(1781-1840) qui a mis en

evidence analytiquement ce paramètre caractérisant comme le coefficient d’Young ,

une propriété intrinsèque du materiau, appelé depuis le coefficient de Poisson.

La tension qui provoque l’allongement ∆ s’accompagne d’une contraction relative ∆ des arêtes perpendiculaires à la direction de la tension fig3(a,b).Le rapport de la

contraction latérale à la dilatation longitudinale est le coefficient de Poisson .Celui-ciest defini par :

=∆∆

,∆

: variation des dimensions transverses


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Etant donné que = ∆ , on a ∆ = ∆ . = . ∆ ∶ retrécissement (ou allongement de l’épaisseur(diamètre). : epaisseur initiale (diametre initial).Le tableau 1 renferme les valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson

pour quelques roches (Mestat 1993). Il ressort que les roches tendres secaracterisent par le module d’Young faible notamment pour la marne et le calcaire

alors que les roches dures comme le granite et le marbre possèdent des valeurs

assez elévées. Le coefficient de Poisson est sans unité,dans la plupart des cas il est

égal à 0.25

Le coefficient de Poisson est defini par le rapport entre le retrécissement latéral et

l’allongement longitudinal quand un materiau est soumis à une force de traction

(dans le domaine élastique).Ainsi, il permet de caracteriser le retrécissement du

materiau perpendiculairement à la direction de l’éffort appliqué.

Le coefficient de Poisson (grandeur sans unité) est théoriquement égal à 0.25 pour

un materiau parfaitement isotrope.Il est habituellement compris entre 0.20 et 0.30

et ne depasse pas 0.50.

Il est toujours inferieur ou égal à 0.50.S’il est égal à 0.50, le materiau est parfaitement

incompressible.Il existe des materiaux dits « auxétiques » qui ont un coefficient de Poisson

négatif.Ces materiaux deviennent plus épais dans la direction perpendiculaire à la traction.

Tableau 1

Materiau Module de Young E(GPa) Coefficient dePoisson

GraniteBasalteQuartziteGneissSchiste

10-8020-7030-9010-607 - 50

0.25-0.350.25-0.350.12-0.150.25-0.350.15-0.20

Calcaire très compactCalcaire compactCalcaire peu compact

Calcaire tendre

60-8030-6010-30

2- 10

0.25-0.350.25-0.350.25-0.35

0.25-0.35

MarneGrèsMolasseMarbreGypse

0.05-15-601.5-5

80-1102-6.5

0.25-0.350.25-0.350.25-0.350.27-0.300.27-0.30


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DETERMINATION DU COEFFICIENT DE POISSON

Le module d’Young et le coefficient de Poisson sont les deux paramètres de

déformabilité caracterisant les propriétés élastiques des roches qui sont directement

accessibles par les mesures experimentales.Ces deux paramètres physiques sont

étroitement liés à la nature pétrographique, à la parosité , au degré de saturation des

formations géologiques et bien d’autres .

La détermination du coefficient de Poisson s’effectue par la mesure des paramètres

acoustiques tel que :

- La mesure du temps de transit(ou la lenteur ∆ ) dans la formation géologiqueentre deux récepteurs à partir des données des diagraphies acoustiques (PSV,

cross-hole etc..)

- La deduction des vitesses et des ondes longitudinales et transversales- La vitesse est deduire à l’aide de la relation de Corbier(1983) comme suit : = ∆

La densité des formations géologiques est deduite sur le log de densité (à l’aide dela sonde de diagraphie gamma-gamma).

Le coefficient de Poisson est calculé directement à l’aide du rapport

/ comme

suit :

= −− , soit = /−

/−

Cas d’un milieu isotrope

Pour un milieu isotrope le coefficient de Poisson peut varier entre 0 et 0.5 , carle rapport / varie entre √ et l’infini. Cas d’un milieu anisotropePour un milieu anisotrope le rapport / peut être inferieur à √ . Il peut descendre jusqu’à 1.3 pour une roche saturée en gaz.

Les travaux de Vasil’ev et al(1962) sur le coefficient de Poisson montrent que :

- Les roches compactes de rapport / compris entre 1.6 et 2 se caracterisentpar un coefficient de Poisson oscillant entre 0.20 et 0.35


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- les roches déconsolidées de rapport / compris entre 2 et 5 se caracterisentpar un coefficient de Poisson oscillant entre 0.35 et 0.48

Les travaux de Domenico (1977) effectués dans les sables d’Ottawa fournissent les

valeurs suivantes :

-Pour les sables imprégnés de gaz

=..

-Pour les sables imprégnés d’eau ≈.

Fig :4 Rapport des vitesses des ondes longitudinales et transversales et coefficient de Poisson des

roches usuelles (document :IFP)

Il ressort que les sediments déconsolidés et saturés en eau se caracterisent par le

rapport / >2 et par >/ Les sediments consolidés ou les sables imprégnés d’hydrocarbures ont plutôt /


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3- MODULE D’INCOMPRESSIBILITE

Un parallélépipède soumis à une pression uniforme sur toute ses faces subit une

contraction.

Le coefficient d’incompressibilité

se caracterise donc par le changement relatif de

volume du parallélèpipède soumis à une pression ∆ .Si ∆ est la diminution de volume occasionnée par la pression ∆ sur le volume du parallèlépipède, est defini par :

= ∆∆ ou ∆ : Variation de volume

= ∆.∆ = s’appelle module de compressibilité Le Rapport ∆ ⁄ est appelé la dilatation ou contraction volumique par unité devolume sous l’effet de la contrainte .Il est proportionnel à la pressionOn a . ∆ ⁄ = ∆ OU = ∆∆ ⁄ =

∆ ⁄ =

avec ∆ ⁄ = (dilatation cubique)

:module d’incompressibilité (dynes/

2)

L’inverse de = s’appelle module de compressibilitéLe module d’incompressibilité est lié au module d’Young et le coefficient de Poisson

par la relation suivante :

= =

4- MODULE DE COULOMB

L’effet d’une contrainte de cisaillement appliquée sur les faces parallèles d’un

parallélépipède est de provoquer, sur chacune de ses faces, une déformation dite de

cisaillement sans changement du volume global (fig.5).Le rapportcontrainte/déformation de cisaillement est appelé module de Coulomb ou module de

rigidité .Lorsqu’une force agit parallèllement à la surface , la pression exercée seraégale à =


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Si la déformation provoquée est suffisamment faible ,et comme ≈ , onpeut ecrire :

= = . La constante de proportionnalité

s’appelle module de rigidité,module de

cisaillement, module de Coulomb, module de torsion ,coefficient de glissement ouencore coefficient de Lamé.Il a la dimension d’une contrainte ( /2).

Fig :5 Déformation de cisaillement

RELATIONS ENTRE LES DIFFERENTS MODULES ELASTIQUES (STATIQUES)

Le module de cisaillement est lié au coefficient de Poisson et au module d’Young par

la relation :

= + la connaissance du coefficient de Poisson et du module d’Young permet de determiner

le module d’incompressibilité

ou de son inverse

et le coefficient de Lamé

respectivement par les relations suivantes :

= = − = + − avec = = et = .− .+ Le module d’Young est.

= /


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Les roches à haute resistance tentent à avoir un grand module d’Young dependant de

plusieurs facteurs et notamment de la nature de la roche.

= = ++ = +

Pour la majorité des roches, le coefficient de Poisson se situe entre 0.15 et 0.4

module de cisaillement (shear modulus) est exprimé par. = + = − + Il mesure la rigidité d’un milieu c’est-à-dire le rapport de la contrainte tengentielle au

cisaillement correspondant ; plus est grand pour une contrainte donnée moins lemilieu se déforme.

Le module de cisaillement est nul = )pour un liquide qui ne resiste pas auxefforts tangentiels(liquide depourvu de toute rigidité, il se deforme sans contrainte ).Ilest designé en genie civil par la lettre .Le tableau 2 resume les differentes relationsexistant entre les differents paramètres élastiques.

Tableau 2

CALCUL DES MODULES D’ELASTICITE DYNAMIQUE

Les modules d’élasticité sont des paramètres qui caracterisent les propriétés

élastiques du mileu .Ils sont determinés par deux moyens :

1- Par des experiences de compression- traction . il s’agit de la déformation

statique(essais statiques)

2- A partir de la mesure des vitesses de propagation des ondes sismiques . Il s’agit

de la déformation dynamique (essais dynamiques). Il s’agit remonter auxmodules d’élasticité par la mesure du temps de propagation d’une onde


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sismique dans une roche.On utilise la méthode Cross-Hole qui consiste à

mesurer la vitesse des ondes sismiques entre forage ou encore la methode

Down-Hole (PSV profil sismique vertical) dont la source se trouve en surface.

Les modules ,, sont reliés aux vitesses des ondes sismiques longitudinales ettransversales et à la densité du milieu par les relations suivantes :

Le module de cisaillement et le module d’Young se deduisent à partir desvitesses des ondes sismiques longitudinales et transversales par lesexpressions suivantes :

= . . = − . . . Les unités sont respectivement

∶ en , : en/3 , : en / = . = .

=[ ( ) ]

[

]

En l’absence des données sur la vitesse des ondes de cisaillement , on utilise seulement dans le module d’Young en prenant le coefficient de Poisson égal à 0.25

Lorsque la vitesse est connue , on deduit le module d’Young par la relation = . . En outre, la vitesse des ondes sismiques longitudinales (

) depend du module

d’incompressibilité et du module de rigidité selon la relation qui suit : = + /√


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/ / / ⁄ granite 2500-2700 20-55 17-24 4200-5900 2600-3300 1.6-1.8 0.19-0.27

Basalte 2200-2800 25-65 13-32 4500-6200 2400-3400 1.8-1.9 0.28-0.30

Calcaire 2600-2800 20-60 10-38 3700-6300 2000-3700 1.7-1.85 0.23-0.29

Grès 1900-2600 10-55 2-19 2700-5600 1200-2700 2-2.25 0.35-0.38

Marnes 2000-2400 5-45 2-10 2000-5000 1000-2000 2-2.5 0.33-0.4Sols 1700-2000 0.01-10 0.005-0.5 100-2000 50-400 2-5 0.35-0.49

Tableau 2. parmètres élastiques pour differents materiaux présents dans subsurface (d’après Schön,

2011)

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