Méthodes Mathématiques pour

l’Ingénieurl’Ingénieur

Suite de la boite à outils …

en 5 séances de cours

+ 5 séances de TD

1

Sommaire

• Vecteurs et valeurs propres des matrices

• Applications aux systèmes d’équations

différentielles

• Intégrales curvilignes et multiples• Intégrales curvilignes et multiples

2

Objectifs – Auto-évaluation

A la fin de la matière, l’étudiant doit pouvoir :

• calculer les valeurs et vecteurs propres d’une

matrice de dimension 2 ou 3.

• appliquer la décomposition en éléments • appliquer la décomposition en éléments

propres à la résolution d’un système

d’équations différentielles

• calculer des intégrales curvilignes, de surface,

de volume avec changement de variables

3

Vecteurs et valeurs

propres des matrices

4

IntroductionDeux grandes classes de problèmes en algèbre linéaire :

• Résoudre un système linéaire d’équations

Déjà vu en STE3

bAX =• Trouver les éléments propres d’une matrices

X: vecteur propre

λ: valeur propre

L’objectif de ce cours

5

λXAX =

Pourquoi faire ?

• La détermination des éléments propres d’une matrice

carrée a de multiples applications: résonnance,

traitement d’image, géométrie, recherche sur le web,

balançoire, vibration, marché financier, résolution de balançoire, vibration, marché financier, résolution de

certaines équations aux dérivées partielles (équation de

la chaleur), des systèmes d’équations différentielles

ordinaires (EDO), …

• Voici un exemple concret à partir du système d’EDO

suivant …

6

Exemple introductif

• Système différentiel de taille 2:

• Les inconnues sont les fonctions

v(t) et w(t)

−=

−=

wvdt

dw

wvdt

dv

S32

54)(

• Il s’agit d’un problème aux conditions initiales tel que souvent rencontré en pratique (ex: modèle de type proie-prédateur)

• Ici on prendra v(0)=8 et w(0)=5 et le but du jeu est de trouver v(t) et w(t) pour t>0

7

Exemple introductif

• Ce système peut facilement être écrit sous forme matricielle. On pose pour cela:

−−

=

=

32

54A

w(t)

v(t)U(t)

• Le système différentiel (S) est alors équivalent à:

• C’est une équation linéaire du premier ordre pour la nouvelle inconnue U(t)

8

==

5

8U(0) avec AU,

dtdU

Exemple introductif• On sait résoudre cette équation sans problème dans le cas

scalaire (U(t)=u(t) est une fonction réelle et plus un vecteur:

• La solution est alors connue:

0)0( avec , uuaudt

du ==

[ ] tatat etueutueutu αβ )cos()0()0(Re)( :faiten ,)0()( ===• Le comportement pour les grandes valeurs de t dépend de la

valeur du paramètre (éventuellement complexe) a=α+iβ:

– α > 0: solution instable

– α < 0: solution amortie qui tend vers zéro

– β ≠ 0: solution oscillante amortie, instable ou à amplitude constante

9

[ ] tatat etueutueutu αβ )cos()0()0(Re)( :faiten ,)0()( ===

Exemple introductif• Retour au cas du système: on cherche une solution avec une

dépendance exponentielle:

• En injectant dans (S) on obtient:

==

t

t

zetw

yetvλ

λ

)(

)(forme la sous cherchée (S) desolution

• Qui se simplifie en

10

−=−=

zeyeze

zeyeyettt

ttt

λλλ

λλλ

λλ

32

54

==

=−=−

z

yXλXAX avec ematriciellnotation en ou

32

54

zzy

yzy

λλ

Exemple introductif• On obtient donc le problème aux valeurs propres suivant:

• Si l’on sait résoudre ce problème d’algèbre linéaire, c’est-à-

dire déterminer la ou les valeurs propres λ et les vecteurs

λXAX =

dire déterminer la ou les valeurs propres λ et les vecteurs

propres associés , alors on connait la solution du

système différentiel (S):

11

[ ]tzyX =

==

t

t

zetw

yetvλ

λ

)(

)(

Résolution de AX=λX• On remarque tout d’abord que:

• On se ramène à un problème de résolution de système linéaire du type :

( ) 0 :également écrires'peut =−= XλIAλXAX

linéaire du type :

• Mais b=0, X=0 est toujours solution !! Fin de l’histoire ?

• NON bien sûr ! On cherche une solution X non nulle

(pour qu’elle puisse avoir une utilité pour la résolution du système (S) …)

12

et : avec 0bλIAMbMX =−==

Résolution de AX=λX• Rappel du cours sur les systèmes linéaires:

singulièreest quedit on , cas le Dans

: si solutions de infinité uneou 0 -

:si uniquesolution 1 -

:admet carrée matrice avec

M0det(M)

0det(M)

0det(M)

MbMX

==

≠=

• Conséquence pour le problème aux valeurs propres:

13

( )

( ) 0λIAdet

Aλ

λIAM0X

XλIA0X

=−

−=≠=−=

:équationl'

résolvant en de propres valeursles chercheon dit Autrement

singulièreest où cas le dans place seon , solutions des

chercheon l' queet 0 desolution rsest toujou Puisque

Retour sur l’exemple• Avec la matrice A de l’exemple on a:

• Le déterminant de cette matrice de taille 2 se calcule

simplement:

−−−−

=

−

−−

=−λ

λλλ

32

54

10

01

32

54IA

simplement:

• C’est un polynôme d’ordre 2 (= taille de la matrice de départ).

On l’appelle polynôme caractéristique de A

• Ses racines annulent le déterminant de A-λλλλI; ce sont donc les

valeurs propres de A

14

( ) ( )( ) 2)2)(5(34 2 −−=−−−−−=− λλλλλIAdet

Retour sur l’exemple• Le polynôme caractéristique de A est d’ordre 2; il admet -1 et

+2 comme racine

• A admet donc 2 valeurs propres que l’on notera :

2et 1 21 =−= λλ

• Le cours sur les systèmes linéaires indique que pour les choix

λ=λ1 ou λ=λ2 (et uniquement pour ces choix), l’équation

AX=λX admet des solutions X non nulles

15

2et 1 21 =−= λλ

Retour sur l’exemple• Calcul du vecteur propre X1 associé à λ1: ses composantes

(y1, z1) vérifient le système d’équations:

( )( )

132

154

111

111

−=−−=−

zzy

yzy

• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et

équivalentes à :

• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [1,1]t

est vecteur propre de A associé à λ1=-1.

16

1par notamment vérifiée,0 1111 ===− zyzy

Retour sur l’exemple• Calcul du vecteur propre X2 associé à λ2: ses composantes

(y2, z2) vérifient le système d’équations:

( )( )

232

254

222

222

+=−+=−

zzy

yzy

• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et

équivalentes à :

• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [5,2]t

est vecteur propre de A associé à λ2=+2.

17

2et 5par notamment vérifiée,052 2222 ===− zyzy

Résolution de AX=λX

• Elle se fait en 3 étapes systématiques:

1. Calcul du déterminant de A-λλλλI

2. Détermination des racines du polynôme caractéristique 2. Détermination des racines du polynôme caractéristique

obtenu en écrivant : det(A-λλλλI)=0

3. Pour chaque racine (chaque valeur propre), résoudre le

système linéaire AX=λλλλX afin de déterminer le ou les

vecteurs propres associés.

18

Re-Retour sur l’exemple• Deux solutions ont été obtenues pour le problème AX=λλλλX:

• Cela correspond à deux solutions pour le système différentiel

(S):

+=

−=

2

5 à nelproportion avec 2et

1

1 à nelproportion avec 1 XX λλ

(S):

• Comme le système différentiel (S) est linéaire, toute

combinaison linéaire de ces deux solutions est

potentiellement solution. La solution générale est alors:

19

=

=

2

5e et U(t)

1

1e U(t) 2tt-

+

=

2

5eC

1

1eC U(t) 2t

2t-

1

Re-Retour sur l’exemple• Les constantes C1 et C2 sont à déterminer en utilisant les

conditions initiales:

• Cela revient à résoudre le système linéaire suivant

==

+

==

5

8)0(

2

5C

1

1C 0)U(t 21 U

• Cela revient à résoudre le système linéaire suivant

• La solution recherchée pour le système différentiel (S) est

finalement:

20

=

=

1

3

C

Cest solution ladont

5

8

C

C

21

51

2

1

2

1

+=+=

−−

+

=

2tt-

2t-t2tt-

2e 3e)(

5e 3e)( :direàestc'

2

5e

1

13e U(t)

tw

tv

Eléments propres de quelques

matrices simples

• Matrice diagonale:

==

==

=

2

0;2

0

1;3

20

032211 XXA λλ

• Matrice de Projection

• Matrice de rotation

21

−==

==

=

1

1;0

1

1;1

2/12/1

2/12/12211 XXA λλ

réelnon ;2

3réelnon ;

2

3

2/32/1

2/12/32211 XXA

ii +=−=

−= λλ

Eléments propres de quelques

matrices simples

• Matrice défective:

!!1

1;1

1

1;1

01

1212211 XXXA =

==

==

−= λλ

• Valeur propre double

• Matrice non normale

22

==

+==

+−

=−=

−=1

0

0

;1

0

1

12

;1

0

12

1

;1

100

02/22/2

02/22/2

332211 XXXA λλλ

0:que remarqueOn

2

2;21

2

2;21

11

21

21

2211

≠⋅

−=−=

=+=

=

XX

XXA λλ

Quelques observations

• Le nombre de valeurs propres (éventuellement complexes) est

TOUJOURS égal à la taille de la matrice

• Le nombre de vecteurs propres réels PEUT être inférieur à la

taille de la matrice qui est alors dite défective

• Une matrice ne peut être défective que si elle admet une • Une matrice ne peut être défective que si elle admet une

valeur propre multiple. Autrement dit, deux valeurs propres

distinctes admettent des vecteurs propres distincts

• La somme des valeurs propres d’une matrice est égale à la

trace de cette matrice

• Le produit des valeurs propres d’une matrice est égal au

déterminant de cette matrice

23

Diagonalisation des matrices

• Si A est une matrice de taille n qui admet n vecteurs propres

distincts (linéairement indépendants), alors on dit que A est

diagonalisable. Si on note S la matrice dont les colonnes sont

les n vecteurs propres de A, alors on montre facilement:

• Dans ces trois égalité équivalentes, Λ Λ Λ Λ est une matrice

diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs

propres de A:

24

1−− Λ=== SSA;ASSΛ;SΛAS 1

=

=

MMMM

MMMM

K

MMMM

O

n

n

XXXSΛ

1 22

1

λ

λλ

Au sujet du terme « diagonalisable »

• Si A et B sont deux matrices carrées de même taille et qu’il

existe une matrice S inversible telle que

alors on dit que A et B sont semblables.

11 SBSA;ASSB;SBAS −− ===

alors on dit que A et B sont semblables.

• A est donc diagonalisable si elle est semblable à une matrice

diagonale.

25

Variables caractéristiques• Si la matrice A est diagonalisable:

• Le système différentiel initial peut s’écrire:

diagonale matrice avec 1 ΛΛ= −SSA

USdtdU

SUSSAUdtdU 111 −−− === Λ :soit Λ

• On introduit alors les variables caractéristiques:

qui permettent d’écrire le système sous la forme:

• On notera dans la suite:

26

USdt

SUSSAUdt

=== Λ :soit Λ

USW 1−=

Wdt

dWΛ=

=

2

1

W

WW

Re-Re-Retour sur l’exemple• Ecrit à partir des variables caractéristiques, le système

différentiel est découplé:

==

−==⇔=

2222

1111

2WWdW

WWdt

dW

λ

λΛW

dtdW

• Les variables caractéristiques évoluent de manière

indépendante l’une de l’autre

27

== 222 2WWdt

λ

== −

t

t

eWtW

eWtW2

22

11

)0()(

)0()(

Re-Re-Retour sur l’exemple• Les conditions initiales pour les variables caractéristiques

s’obtiennent simplement:

=

−

=

−

=

−−

=

==

−−−

38521)0(521)0(où d'

11

52

3

1

21

51 avec

1

1

vW

11 SUSW

• Les variables caractéristiques sont finalement égales à

28

== −

t

t

etW

etW2

2

1

)(

3)(

=

−−

=

−−

=

1

3

5

8

11

52

3

1

)0(

)0(

11

52

3

1)0(

)0(où d'

2

1

w

v

W

W

Re-Re-Retour sur l’exemple• Connaissant les variables caractéristiques, on peut retrouver

les variables primitives v(t) et w(t):

=

−−

=⇔=−

−

t

t

e

e

tw

tv2

3

21

51

)(

)( :direàestc'

SWUUSW 1

• On retrouve évidemment la même solution que

précédemment:

29

tetw 221)(

+=+=

2tt-

2t-t

2e 3e)(

5e 3e)(

tw

tv

Base propre• Si A est une matrice diagonalisable, elle admet n vecteurs

propres linéairement indépendants. Ces vecteurs constituent

une base appelée « base propre »

• Les colonnes de la matrice S contiennent les composantes des

vecteurs propres dans la base canonique: c’est aussi par vecteurs propres dans la base canonique: c’est aussi par

définition la matrice de passage de la base canonique (base

B) à la base propre (base B’)

• Si un vecteur admet X comme composantes dans la base

canonique et X’ dans la base propre, alors:

30

SPXPX BB'BB' == ,'ATTENTION !!

Changement de base• Dans le cas d’un système différentiel, cette formule de changement de

base permet de passer des variables primitives aux variables

caractéristiques et inversement

• En géométrie Euclidienne, elle permet de déterminer les composantes

d’un même vecteur lorsque représenté dans différentes bases :

SWUUSW 1 =⇔= −

d’un même vecteur lorsque représenté dans différentes bases :

31

( )( )jiB

jiB

V

V

V

V

jViVjViVV

y

x

y

x

yxyx

rr

rr

rrrrr

, base la dans

exprimées ','' de scomposante

lest contiennen de colonnes leset

; avec

:par liéessont scomposante Les

''

'

'

''

==

=

==

+=+=

BB'

BB'

P

V'VV'PV

X’y’

X

y Vr

ir

jr

'jr

'ir

Une application géométrique …• On s’intéresse à la courbe C d’équation :

• On montre que A est diagonalisable :

12

3

4

7

4

5 22 =++ xyyx

− 31102

=

==

73

35

4

1et avec ,1:ematriciell forme Sous AXAXX t

y

x

• On remarque que S est orthogonale: SSt=StS=I (ou bien S-1=St).

C’est toujours le cas pour les matrices symétriques (At=A) ou même

simplement normales (AtA=AAt)

• La courbe C admet donc également pour équation:

32

−=

=ΛΛ= −

13

31

2

1et

10

02 avec , S1SSA

( ) ( ) 1 :encoreou ,1 =Λ=Λ XSXSXSSX tttt t

Une application géométrique …• Exprimée à l’aide des coordonnées X’=StX= S-1X, l’équation de la courbe C

devient alors plus simple:

• C’est l’équation d’une ellipse de grand axe y’ et de petit axe x’

12 :encoreou ,1'' 22 =+=Λ y'x't XX

L’analyse en valeurs propres permet

33

X’y’

X

y

θ

L’analyse en valeurs propres permet de déterminer la bonne base pour observer /décrire la courbe C. Cette base est la base propre associée à la matrice A.

La formule de changement de base permet de se placer effectivement dans cette base.

Vecteurs et valeurs propres des

matrices

Consulter les notes de cours ‘Algèbre

34

Consulter les notes de cours ‘Algèbre linéaire’ pour plus de propriétés et

définitions

Intégrales curvilignes et

multiples

35

Introduction• Intégrale de Riemann bien connue pour les fonctions numériques à

une variable y=f(x):

x

f(x)

a b

∫=

b

ax

dxxf )(

• On a étudié en STE3 les fonctions de plusieurs variables et leur différentiabilité:– Dérivée directionnelle, partielle

– Gradient,

– Différentielle

– Matrice Jacobienne et Jacobien

• Dans les sciences de l’ingénieur, il est souvent utile voire indispensable de généraliser la notion d’intégrale aux fonctions de plusieurs variables

36

xa b

Intégrales curvilignes• Le domaine d’intégration est une courbe de l’espace (une

trajectoire).

• Exemple: la quantité d’énergie dépensée par un véhicule

pour aller du point A au point B suivant un itinéraire

• Ne peut pas être représentée par une intégrale de Riemann

qui vaut nécessairement zéro lorsque A=B …qui vaut nécessairement zéro lorsque A=B …

• Doit dépendre du chemin parcouru

37

A

B

Intégrales curvilignes• On se donne une courbe C de R2 (pourrait être R3) liant les deux points A

et B

• On se donne une suite de points M0, M1, …, Mn telle que

– M0=A

– Mn=B

– toutes les longueurs MiMi+1 sont identiques: M0M1 = M1M2 = … = MiMi+1 = … = Mn-1Mn

M M

• On se donne également une fonction f de deux variables:

38

A

BM0

M1

Mi Mi+1

Mn

),( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù

),(),(),(:

yx

Mfyxfyxf =a

Intégrales curvilignes• On note alors Sn la somme:

• Et on définit l’intégrale curviligne de f sur le parcours C comme la limite suivante:

[ ]111

1 segment du longueur la avec )( ++=

+∑= iiii

n

iiiin MMMMMMMfS

suivante:

• Remarques:

– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)

– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale curviligne: la fonction f, le parcours C, l’élément différentiel dl (ici la longueur de l’élément de parcours dl)

– Si elle existe, cette intégrale est un nombre (si f est une fonction scalaire)

39

nn

C

Sdlyxf∞→

=∫ lim),(

Un exemple concret …

( ) ?:

=−= ∫→BAC

dlyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

5AB :Rq:

== ∫→BAC

dl

40

0 1 2 3x

• dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque les coordonnées x et y

évoluent de dx et dy

• Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:

22 dydxdl +=

31 avec 2

1

2≤≤+= x

xy

: →BAC

Un exemple concret …

( ) ?:

=−= ∫→BAC

dlyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

41

0 1 2 3x

• Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une

intégrale de Riemann classique en x

dxdxdx

dydxdydxdl

2

5

4

111

222 =+=

+=+=

[ ] ABxx

dxx

xIx

x

≠=

−

=

−−= ∫=

= 2

5

2

1

22

1

2

5

2

5

2

1

231

3

1

23

1

Intégrales curvilignes• On peut définir de manière analogue les intégrales curvilignes

suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur C):

un vecteurest c' : scalaireun est c' :),(

scalaireun est c' : un vecteurest c' :),(

∫ ∫

∫∫

⋅C C

CC

dgdlyxg

dfdlyxf

r

• Dans le cas où A=B, C est un contour fermé et on note

42

... un vecteurest c' :),(∫

∫ ∫

∧C

C C

dlyxgr

∫∫C

delieu au C

Intégrales curvilignes• Propriétés:

primitive de exacte elledifférenti uneest si )()(

parcoursdu point un avec

::

:::

fdfAfBfdf

CO

ABCBAC

BOCOACBAC

−=

−=

+=

∫

∫∫

∫∫∫

→→

→→→

• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale de Riemann en

utilisant l’équation du parcours C sous une des formes

suivantes:

43

exacte elledifférenti uneest si 0

primitive de exacte elledifférenti uneest si )()(:

dfdf

fdfAfBfdf

C

BAC

=

−=

∫

∫→

[ ]BA ttttyy

txxyxxxyy ,

)(

)();();( ∈

==

==

Un exemple concret … suite

( ) ?:

=−= ∫→BAC

dlyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

5AB :Rq:

== ∫→BAC

dl

44

0 1 2 3x

• Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:

• dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque le paramètre t évolue dt

10 avec 1

12≤≤

+=+=

tty

tx

: →BAC

dtdtdt

dy

dt

dxdtdydxdl 514

2222 =+=

+

=+=

Un exemple concret … suite

( ) ?:

=−= ∫→BAC

dlyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

45

0 1 2 3x

• Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une

intégrale de Riemann classique en t

( ) ABt

dtttIt

t

≠=

=−−+= ∫

=

= 2

5

255112

1

0

21

0

Intégrales curvilignes• Exemples:

par t paramétrée courbe la delongueur :)(')('

et entre de graphedu longueur :)('1

22

2

)(:

∫∫

∫∫

=

=

==

+=

+=

B

B

A

tt

BA

xx

xxxyyC

dttytxdl

xxfdxxydl

46

( )

horaire-anti sens le dans parcourueet fermée supposée C dans contenue aire

)(')()(')(2

1

2

1

de long le vitessede champdu n circulatio:

)(

)(:

∫∫ ∫∫

∫

∫∫

=

=

=

==

−=−==−

⋅

B

A

A

tt

ttC CC

C

tt

tyy

txxC

dttxtytytxydxxdyydxxdy

CVdlVrr

Intégrales de surface• Le domaine d’intégration est une surface de l’espace

• Exemple: la quantité de pluie qui tombe sur le toit d’une

habitation

• La surface est orientée par son vecteur normal unitaire

• Elle peut être ouverte ou fermée

47

dSn à normal unitairevecteur :r

Élément de surface dS

Intégrales de surface• On se donne une surface S de R3

• On se donne une famille de N de portions élémentaires de S: dS0, dS1, …,

dSn telle que

– L’intersection des dSi est nulle (pas de recouvrement)

– Tout point de S appartient à un unique dSi (pas de trou)

– Les aires dAi des éléments de surface dSi sont toutes identiques: dA1 = dA2 = … = dAi = …

= dAN

dS

• On se donne également une fonction f de deux variables:

48

dS1

),,( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù

),(),,(),,(:

zyx

Mfzyxfzyxf =a

dS2

dS3

S

Intégrales de surface• On note alors Sn la somme:

• Et on définit l’intégrale de surface de f sur la surface S comme la limite suivante:

ii

n

iiiin dSMndAMfS surface deélément l' de centre le avec )(

1∑

=

= r

suivante:

• Remarques:

– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)

– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale surfacique: la fonction f, la surface orientée S, l’élément différentiel (ici l’aire de l’élément de surface fois le vecteur normal unitaire)

– Si elle existe, cette intégrale est un vecteur (f est une fonction scalaire)

49

nn

S

SdSnzyxf∞→

=∫∫ lim),,(r

Un exemple concret …

( ) ?ABC triangle:

=−= ∫∫S

dSyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

2ABC de Aire :RqABC triangle:

== ∫∫S

dS C(3,0)

50

0 1 2 3x

• dS est l’élément de surface généré lorsque les coordonnées x et y évoluent de

dx et dy

• La surface S est le triangle ABC. Son équation est par exemple:

dxdydS=

ABC triangle:S

31et 2

1

22

3

2≤≤+≤≤+− x

xy

x

Un exemple concret …

( ) ?ABC triangle:

=−= ∫∫S

dSyxI B(3,2)

A(1,1)

0 1 2 3

1

2

0

y

x

2ABC de Aire :RqABC triangle:

== ∫∫S

dS C(3,0)

51

0 1 2 3xABC triangle:S

( ) [ ] ( ) ( ) dxxxxdxy

yxdxdyyxIxx

x

x

x

x

x

x

xy

∫∫∫ ∫==

+

+−

+

+−=

+

+−=

−−−=

−=

−=3

1

3

1

2

1

2

2

3

2

22

1

2

2

3

2

3

1

2

1

2

2

3

2

888

11

2

• Le calcul de l’intégrale de surface I se fait en la reformulant comme une

intégrale de Riemann double classique en x et y

( ) ( ) ( )ABC de Aire

3

8

3

1112

3

1

33

1

23

1

2 ≠=

−=−=+−= ∫∫==

xdxxdxxxI

xx

Intégrales de surface• On peut définir de manière analogue les intégrales de surface

suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur S):

un vecteurest c' :),,( un vecteurest c' :),,(

un vecteurest c' :),,( scalaireun est c' :),,(

SS

SS

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∧ dSnzyxgdSzyxg

zyxgddSzyxf

rrr

r

• Dans le cas où S est une surface fermée on note

52

... scalaireun est c' :),,(S

SS

∫∫ ⋅ dSnzyxgrr

∫∫∫∫SS

delieu au

Intégrales de surface• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale double de

Riemann en utilisant l’équation de la surface S sous une des

formes suivantes:

• Théorème de Fubini:

[ ][ ]maxmin

maxmin

,

,,

),(

),(

),(

);,();,();,(vvv

uuu

vuzz

vuyy

vuxx

yxzzzxyyzyxx∈∈

===

===

• Théorème de Fubini:

• Et aussi:

53

∫∫∫ ∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

×=

=

=dy

cy

bx

ax

dy

cy

bx

ax

bx

ax

dy

cy

dyyhdxxgdydxyxfdxdyyxf

yhxgyxf

)()(),(),(

:alors )()(),( siet fixés paramètres dessont det cb,a, si

∫ ∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

=

=

dy

cy

bx

ax

bx

ax

dy

cy

dydxyxfdxdyyxf ),(),(

:alors fixés paramètres dessont det cb,a, si

Intégrales de surface• Cas particulier: S est une partie du plan contenue entre les

graphes de deux fonctions numériques:

y

y=b(x)

y=a(x)

S

• Alors:

54

x

S

∫ ∫∫∫=

=

=

=

=

bx

ax

xby

xayS

dxdyyxfdxdyyxf)(

)(

),(),(

ba

Intégrales de surface• Changement de variables:

y

S

v

S’

==

⇔==

),(

),(

),(

),(

yxvv

yxuu

vuyy

vuxx

• Alors:

55

x

( )

0),(

),( :ation transformla deJacobien le avec

),(),,(),('

≠∂∂=

= ∫∫∫∫

vu

yxJJ

dudvJvuyvuxfdxdyyxfSS

u

Intégrales de surface• Exemples:

dxdyx

f

x

f

SdxdyS

:1

de Aire:

22

∫∫

∫∫

∂∂+

∂∂+

56

[ ]

SVdSnV

yxgzyxfz

dxdyyxgyxf

Syxfz

xx

S

S

S

surface la traversà vitessede champdu Flux :

),(et ),( surfaces les entre compris Volume

:),(),(

de dessusau ),( surface la de Aire

rrr

∫∫

∫∫

∫∫

⋅

==

−

−= ∂ ∂

Intégrales de volume• Le domaine d’intégration est une partie (volume) de l’espace

• Exemple: la quantité de nitrate dans une rivière

• On se donne une fonction de l’espace:

),,( scoordonnée de egéométriqupoint leest Moù

),(),,(),,(:

zyx

Mfzyxfzyxf =a

• Par une construction similaire à celle utilisée pour les

intégrales de surface, on définit l’intégrale volumique de f sur

un domaine Ω de l’espace et on note:

57

∫∫∫Ω

dxdydzzyxf ),,(

Intégrales de volume• La plupart des propriétés énoncées pour les intégrales de

surface se généralisent directement pour les intégrales de

volume:

– Théorème de Fubini

– Changement de variables avec l’aide du Jacobien

• Pour tout domaine Ω de l’espace:• Pour tout domaine Ω de l’espace:

58

),,(est volumiquemasse ladont de Masse :),,(

de Volume :

zyxdxdydzzyx

dxdydz

ρρ∫∫∫

∫∫∫

Ω

Ω

Ω

Ω